方差计算公式的证明.doc

方差计算公式的证明（1） 用新数据法求平均数当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x,+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x1,=x1-a, x2,=x2-a, xn,=xn-a x,=1n(x1,+x2,+xn,)是新数据的平均数（通常把x1, x2, xn,叫做原数据，x1, x2, xn, 叫做新数据）。证明：把左边的数据相加，把右边的数据相加，得到一个等式：x1,+x2,+xn,=x1-a+x2-a+xn-ax1,+x2,+xn,=(x1+x2+xn)-nax1,+x2,+xn,n=(x1+x2+xn)na 即x,=x-a 亦即x=x,+a（2） 方差的基本公式方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据x1，x2，xn中，各数据与他们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“S2”表示，即:S2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2(3) 方差的简化计算公式 S2=1n(x12 +x22 +xn2 )-nx2 也可写成S2=1n(x12 +x22 +xn2 )-x2 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明： S2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 S2=1nx12-2x1x+x2 +x22-2x2x+x2 +xn2-2xnx+x2=1n(x12 +x22 +xn2 )-2(x1+x2+xn)x+nx2=1n(x12 +x22 +xn2 )-2n(x1+x2+xn)nx+nx2=1n(x12 +x22 +xn2 )-2nx2+nx2 =1n(x12 +x22 +xn2 )-nx2 =1n(x12 +x22 +xn2 )- x2.(I) 根据，有x1=x1,+a, x2=x2,+a,xn=xn,+a,和x=x,+a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有： S2 =1n(x12 +x22 +xn2 )-x2 =1n（x1,+a）2+（x2,+a）2+（xn,+a）2-( x,+a)2 =1n(x1,2+x2,2+xn,2)+2a(x1,+x1,+xn,)+na2-(x,2+2x,a+a2) =1n(x1,2+x2,2+xn,2)+2a(x1,+x1,+xn,)n+a2-x,2-2x,a-a2 =1n(x1,2+x2,2+xn,2)+ 2x,a+a2-x,2-2x,a-a2 =1n(x1,2+x2,2+xn,2) -x,2.(II) 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方差S2都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据x1, x2, xn计算方差；简化公式（II）按新数据x1, x2, xn,计算方差，计算出的方差相同。(4) 用新数据法计算方差 原数据x1, x2, xn的方差与新数据x1,=x1-a, x2,=x2-a, xn,=xn-a的方差相等。也就是说，根据方差的基本公式，求得的x1, x2, xn,的方差就等于原数据x1, x2, xn的方差。 证明： 把式里的每一个式子的两边，减去式的两边（左边-左边，右边-右边）有： x1,-x,=(x1-a)-(x-a)=x1-x x2,-x,=(x2-a)-(x-a)=x2-x xn,-x,=(xn-a)-(x-a)=xn-x 再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2： （x1,-x,）2=（x1-x）2 （x2,-x,）2=（x2-x）2（xn,-x,）2=（n-x）2最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：1n（x1,-x,）2+（x2,-x,）2+（