（应用数学专业论文）周期异方差时间序列的季节单位根检验.pdf

摘要 草位根检验问题是金融时间序列分析中的一个重要课题，它足检验数据是 否具有平稳特性的一个基本方法；同时，金融时间序列往往具有一定的零节周 期性。这样对季节性时间序列进行单位根检验是很必要的。 在前人已有研究成果的基础上，本文主要研究了误差项具有不同方差的季 节单位根检验问题，采用不同的参数估计方法，构造检验统计量，得到了如i - 成果； 1 、给出了周期异方差季节单位根模型的定义，基于传统的最小二乘估计方 法，构造检验统计量，并得到统计量的极限分布，模拟计算给出了统计量在同 方差时的经验分位数，并分析了周期异方差对检验水平的影响。 2 、对检验模型中的系数参数提出一种基于工具变量的c a u c h y 估 ，并在 该估计下，构造极限分布具有标准正态分布形式的检验统计量，模拟结果说明 误差项的周期异方差对统计量的检验水平没有影响。 3 、采用加权最小二乘估计，对周期异方差季节单位根模型中的参数进行估 计，用两步的方法消除了误差项的异方差性，得到的统计量的极限分布不含误 差项的方差，并证明其为标准w i e n e r 过程的泛函。 关键词：周期异方差；季节单位根检验；最小二乘估计；工具变量：c a u c h y 估计；g a u s s 检验；加权最小二乘估计；统计量的极限分布 a bs t r a c t u n i tr o o tt e s t si ne c o n o m i ct i m es e r i e sh a sb e e np a i dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n i nr e c e n ty e a r s ，a n ds e a s o n a lp e r i o d i c i t yi so n eo fa l li m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c si n e c o n o m i ct i m es e r i e s t h u s ，t e s t i n gu n i tr o o ti ns e a s o n a lt i m es e r i e si sn e c e s s a r y i n t h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h a tt e s t i n gs e a s o n a lu n i tr o o tw h i c hh a sp e r i o d i c a l h e t e r o s c e d a s t i cs h o c k s ，w ei n t r o d u c ed i f f e r e n tp a r a m e t e re s t i m a t o r s ，c o n s t r u c tt e s t s t a t i s t i c s ，a n do b t a i ns o m er e s u l t sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，p e r i o d i c a lh e t e r o s c e d a s t i cs e a s o n a lu n i tr o o tm o d e li sp r o p o s e dt e s t s t a t i s t i c sa n dt h e i rl i m i td i s t r i b u t i o n sa r eo b t a i n e db a s e do nl e a s ts q u a r ee s t i m a t i o n s i m u l a t ec a l c u l a t i o n sg i v et h a te m p i r i c a lc r i t i c a lv a l u e su n d e rs a m ev a r i a n c e sa n d p e r i o d i c a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yh a se f f e c tt ot h et e s ts i z e i nc h a p t e r3 ，ac a u c h ye s t i m a t o rb a s e do ni n s t r u m e n tv a r i a b l ei sp r o p o s e d t h e n ， t h et e s ts t a t i s t i ci sc o n s t r u c t e da n dt h el i m i td i s t r i b u t i o ni ss t a n d a r dn o r m a lr e g a r d l e s s o fp e r i o do fs e a s o n a l 时s i m u l a t i o n ss h o wt h a td i f f e r e n tp e r i o d m a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y h a sn oi n f l u e n c et ot h et e s ts i z e i nc h a p t e r4 ，w e i g h e dl e a s ts q u a r ee s t i m a t i o ni si n t r o d u c e di nt h et e s tm o d e la n d t h e np e r i o d i c a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yi sr e m o v e d t h el i m i td i s t r i b u t i o n so fs t a t i s t i c s w h i c ha r ef u n c t i o n a lo fs t a n d a r dw i e n e rp r o c e s sa n dd o n th a v ev a r i a n c eo fe r r o r s a r eg a i n e d k e y w o r d s ：p e r i o d i c a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ( p h ) ；s e a s o n a lu n i tr o o tt e s t ；l e a s t s q u a r ee s t i m a t i o n ( l s e ) ；i n s t r u m e n t a lv a r i a b l e ( i v ) ；c a u c h ye s t i m a t i o n ；g a u s s i a nt e s t ； w e i g h e dl e a s ts q u a r ee s t i m a t i o n ( w l s e ) ；l i m i td i s t r i b u t i o no fs t a t i s t i c s 两北工业人学坝卜学位论文 第一章前言 人们在研究金融时间序列时，发现许多经济指标的数据并不具有平稳过程 的特征。对于非平稳时间序列，传统的数理统计和经济计量学方法显得无能为 力，特别是传统的中心极限定理不再适用。单位根过程是最常见的非平稳过程 之，由于它在现代金融学、宏观经济学的理论和实践中的广泛应用，对r 社f 讧 根过程的研究成为当今计量经济学的主要课题之，特别是自上世纪8 0 年代以 柬，出现了许多理论与实践上的重大突破。：i 另一方面，许多金融时间序列是在一年之内定期地度量的，从而很可能表 现出季节规律性。例如建筑施： 活动在冬季的月份中将减少，失业率在夏天魈 于峰值等。季节性波动成为时阅序列的一个明显的特征。 2 】 这样，综合以上两个因素，在季节t e 时间序列中检验是否存在单位报是非 常有必要的。尤其是自上世纪8 0 年代以来，随着d i c k e y 等人 1 对普通的一阶 单位根检验理论的完备，季节单位根的研究受到人们更为广泛的关注。 在实际的季节性经济金融数据中，往往会出现不同季节的波动情况不同， 可能某个季节的波动比其它季节剧烈得多。这就可以考虑不同季节时间序列的 误差项的方差是不同的，即在含有周期异方差的时间序列中检验单位根。本论 文主要研究了在含有周期异方差的季节性时间序列中单位根检验的问题。 本章1 1 节介绍单位根过程的一般定义及假设检验的基本步骤：1 2 节 介绍季节单位根过程的简要发展历史及其研究现状；1 3 节给出了本论文中 用到的一些预备知识：1 4 节介绍本文主要工作。 1 。1 单位根过疆及假设检验 本节给出了单位根过程的定义及常用的检验方法。 定义1 1 1 ( 单位根过程u n i tr o o tp r o c e s s 1 ) 称随机过程，t = 1 , 2 ，) 是 一单位根过程，记为i ( 1 ) ，如果满足 西北丁业大学颤 j 学位论文 其中，p = 1 ， q ，r = 1 , 2 ，) 为一平稳过程。 如果“，r = 1 ，2 一- 为独立同分布序列，均值为零，方差为仃2 。则如 称为随机游动。随机游动是单位根过程的一种特殊情况。 在随机过程 x l = a 七p x c _ + t ； 中，若a 0 ，户= 1 ，饥，f ：1 , 2 ，) 为一平稳过程，则称 _ 服从带漂移的单 位根过程。 最常见的单位根检验方法是首先假定误差项 虬 为独立同分布的白噪声序 列，分以下四种情况讨论： 情况一：假设数据由_ = p _ 一1 + “，产生，并在其中检验假设 h o ：p = 1 ；h i ：p 1 情况二：假设数据由而= 腑一t + “f 产生，在模型t = a + p x f l 十坼中检验假 设 h o ：p = i ，口= 0 ；h i ：p 1 ，口0 情况三：假设数据由x ，= 口+ 嬲一i + 科。产生，并在其中检验假设 h o ：p = l ：h i ：p l 情况四：假设数据由x i = 口+ p x + 蜥产生，在模型一= g + p x p l + s t + u ，中 检验假设 h o ：p = l ，占= 0 ：h l ：p 1 ，万0 在以上的各种情况下，分别考虑统计量t ( p - 1 ) 和f = 篓曷的极限分布， 其中，t 是样本容量，声是参数p 的最小二乘估计- s e ( 声) 是声的标准差的估计 2 西北工业大学硕i 学位论文 值。经过计算可得，这两个统计餐的极限分布都是标准w i e n e r 过程的泛函，用 m o n t ec a r l o 方法可以模拟统i 量的经验分位数，从而进行假设检验，称之为 d f 检验。见 1 】2 2 节， 进一步，可以把原假设中误差项“，是独立同分布的白噪声序列扩展为其服 从一平稳的m a ) 过程，称之为p p 检验，见 1 1 2 3 节；还可以假设数据生成过 程t 服从含单位根的p 阶自回归过程，即在一个a r ( p ) 过程中检验是否存在单 位根算子l 一三，称之为a d f 检验，见【1 】2 4 节。 1 2 季节单位根过程的研究历史与现状 在时间序列中，通常当在某个季节的观测值具有与其他季节的观测值显：著 刁i 同的特征时，称之为季节性。在季节性模型中，一个变量同它上一年同一季 度的值的关系可能比它同前一季度的值的相关性更为密切。 由于季节性是经济与金融时闽序列的重要特征之一，在季节性模型中，检 验单位根就显得尤为重要。早在上世纪7 0 年代，b o x 和j e n k i m s 就提出利用季 节差分算子。= 1 一来消除季节时间序列中的非平稳性方法。这里，d 表示 年中可观测的季节的数目，对于季度数据就有d = 4 ，对于月份数据，就有 d = 1 2 。如果可观测的样本容量为年，则总的观测数据丁就等于d n 。 1 2 1 季节模型的描述方法 1 确定性季节过程： 称时间序列 y t ，t = o ，1 ，2 ， 为确定性季节过程，如果它满足： d ”= 口o + d j ，+ ， = i 其中，d ，是一个季节开关变量，有如下定义： f 1 t = n d + j ，_ ，= l ，2 ，d d i s2 1 0 其他 两北工业大学侦l + 学位论文 即当时间r 落入第_ ，季时，= l ，2 ，d ，p ，为1 ，否则为0 。q 是随机干扰项 一般认为是均值为0 ，方差为0 1 2 的独立同分布的白噪声序列。在该模型中，同 一季节的观测值不随年代的变化而发生变化，即只要观测数据只和儿u s ) 同 时落入第季时，就都等于+ 甜，是确定不变的。该模型能精确地用于预报， 但模型形式过于确定化，显然不符合实际情况的需要。 2 平稳季节随机过程： 称时间序列 y t ，r = o ，1 ，2 ，) 为平稳季节随机过程，如果它满足： o ( 己) 以。“+ ， 其中，中( l ) = 1 一q 三- 一p 的特征多项式1 - a l z - 一口。z p = o 的根都在单 位圆外，以保证只是平稳i r ( p ) 过程。“是确定的均值函数，它可以包括常数 均值项，常数趋势项，季节均值项，季节趋势项或者它们的组合等。仍足随 机干扰项。由于m 是季节性时间序列，可以令只= 均( m ，= l ，2 ，d ，表示 第”年第_ ，季的观测值。 3 非平稳季节随机过程： 称时间序列 以，= o ，1 ，2 ， 为非平稳季节随机过程，如果它满足： m ( ) 只= “+ q ， 其中，滞所多项式( 三) 中含有季节单位根因子卜，d i ，若令 中( 上) = ( 卜) 甲( ) ，贝l j v ( z ) 的特征多项式的根都落在单位圆外。该模型具 有长记忆性，随机干扰项对m 有长期的影响。对该模型经过d 阶差分后即为 平稳的季节过程，见上述过程2 。 1 2 2 季节单位掇过程的研究 本小节考虑上述的第3 种情况，即含有季节单位根因子l 一的非平稳季节 4 西北t 业大学顺l - 学位论文 过程，称之为含钶单位根的季商模型。 l d i c k e y , h a s z a , f u l l e r ( d h f ) ( 1 9 8 4 ) 文献5 ： 如果时间序列 儿) 满足： a d yc = c r y , 一d 十u l ， 其中，a = 0 ，a 。= l 一是d 阶的季节差分算子，坼是具有均值为0 ，方差为 盯z m 的随机误差项，这是对一般的一阶单位根模型的简单推广。 2k u n s l ( 1 9 9 7 ) 文献6 如果时间序列 以 满足： a , t y r = 0 5 l m l - t - + 口d l m 一( d 一1 1 + p y , 一d + “f ， 该模型是在模型l 的基础上，考虑加入h 的多个滞后项，即y t 。，只。项， 其中要求一一= p = 0 ， 3o s b o m c h u i ，s m i t h ，b i r c h e n h a l l ( o c s b ) ( 2 0 0 2 ) 文献7 1 如果时间序列 满足； a d m = a ( 只1 4 - h 一2 + + m d ) + 殷片一d + i t t ， 其中，要求届= 屈= 0 。这里考虑的是二次差分，在模型 a a 。x t = 1 a 。一+ 岛缸一。q - u t 中，若令缸= h ，则得到该模型，它还可以改写 成j 只= 届( 咒1 + m 一2 + + m 。1 ) + ( 崩+ 屈) 只一d + “。的形式a 这样就可以看成是 在模型2 中加一限制性条件q = 口：一= 口。因此，单位根的假设为 届= 反= 0 4h e l l e b e r g ，e n g l e r e ，g r a n g e r c w j ，y o o b ，s ( 1 - m g y ) ( 1 9 9 0 ) 文献8 如果时间序列 y t 满足： j m = 互z j ，_ i + u t ， 两北工业夫学颤已学位论立 这是经典的季节单位根过程，后来很多人都是基于此研究的。它依赖予单位根 算子1 一的分解，它可以分解为d 个因子，考虑各个因子，即各个不同的频率 上是否具有单位根，并且不同频率问是相互独立的。其中，互。是由h 的某些 滞后项的线性组合组成，对每一个系数z 是否为0 的检验可以确定在该频率上 是否具有单位根。若曩= 0 ，说明第j 个频率上确实具确单位根。 5f r a n s e s ( 1 9 9 4 ) 文献9 如果时间序列 只) 满足： d a d y , = 以( 鲲，卫1 - i - - , + 口m d ) + “。， j z l 该模型连同下面的模型6 都已扩展到具有周期性的季节性模型。该模型是对模 型2 的扩展，其中，p ，是上面定义的季节开关变量，当时阁，落入第季时 它为1 ，否则为0 。注意这里m 的每一滞后项”。，i = 】，d 的系数是变化的 原假设季节单位根成立时，要求仍，= 仍，一- = o ，= 1 ，2 ，d 5g h y s e l s ，h a l l ，l e e ( g h l ) ( 1 9 9 6 ) 文献10 如果时间序列 只 满足： a 。m = 帮。d j 一。+ q ， 这单也是在周期性模型中检验单位裰，其中，d 。的定义同上，对每组 万。= o ，= 1 ，5 的检验可以确定第f 个频率上是否具有单位根。 1 2 3d h f 型季节单位根过程的研究 设时间序列 y f 满足模型 ( 卜d ) 儿= “ 其中，“是独立同分布的自噪声序列，d 是季节周期，f = 1 ，2 ，r ，在原假殴 6 两北工业入学破 学位论文 h 。：p = 1 ，季节单位根成立时，基于最小二乘估计，可以得到如下统计嚣的极 限分布： d ；( 砰( ，) 一1 ) ? p 。净蒜 pr 2 ，、 一h 1 、，一 其中，p 是参数p 的最小二乘估计，s e ( b ) 是芦的标准差的估计值。 该漠型是对一阶单位根模型的简单推广，研究起来比较方便。d i c k e y 等在 文 5 中研究了这种最简单的季节单位根过程，以及模型中包括共同均值和季节 均值统计量的极限分布：金兰等在文 1 1 ，1 2 中考虑模型中含有季节趋势和季 节均值的情形。 1 2 4h e g y 型季节单位根过程的研究 该模型是h e t l e b e r g 等1 9 9 0 年在文献 8 中提出的。它依赖于季节单位根算 子l 一的分解，从谱分析的角度考虑不同的频率上是否具有单位根。 首先考虑周期d = 4 的简单情况，模型可写成： g ( 三) k 矿y ：一( 4 h s ) = ， 其中，已经在模型中加入确定性成分，季节均值项一和季节趋势项， s = 一3 ，- 2 ，一t ，0 ，= 1 ，2 ，t ，口( ) = l 一哆是关于上的四次多项式。波动 变量+ ，是一独立同分布的正态随机变量，该模型经交形为 对口( 上) 进行分解，则有： 口( 三) 矗。= 以+ 鼓( 4 f + s ) + v ， 塑州郭陲 等 泐 p 焉 口( ) = ( 1 一口。) ( 1 十口：_ ) ( + 2 a 。三+ ( a ；+ g ：) r ) ， 这时原假设为h 。：口( 三) = 1 - r 可以分解为： h 。= n ：，l i ，h “：= l ，k = l ，2 ，3 ，h 。：= o ； 相应的备择假设为： i - 1 1 = u ：；l q ，h “吒 1 ，k = l ，2 ，3 ，h “吼o ， 对口( ) 做进步变化，有： 口( 三) = ( 1 一) 一，q l ( i + l + l 2 + 口) + z ：l ( i l + l 2 一r ) + ，r ，f ( 1 - e ) + z ；工( 1 一r ) 这样，把模型可写成： a 4 x 4 = 雹x i 巾拇1 + 刀i 屯一+ + 7 9 3 x 一2 + 万4 屯m + 川+ 以+ 瓯( 4 t + s ) + v 4 ， 其中，x 1 4 f + ，= ( 1 + 三+ 三2 + r ) k 。， x ：。+ 。= - ( 1 - l + l 2 - o ) x , ，+ 。， 鼍，4 f + 。= 一( 1 - 三2 ) 。 通过构造f 统计量f l ，t 2 ，t 3 和t 4 ，分别来检验啊= 0 ( 零频率) ，7 2 = 0 ( 刀 频率) ，和= 礼= 0 ( 共扼* r 1 2 频率) 是否具有单位根。或用f 统计量e ：。来 检验万。= 7 ：= 乃= 以= 0 ，所有频率上是否都具有单位根。 文献 1 3 把以上的检验方法推广到任意周期d 上；文献 1 4 研究了在个 高阶的自回归过程中检验季节单位根，文献 1 5 用加权最小二乘估计来估计参 数：文献 1 6 采用的是b o o t r a p 的方法；文献 1 7 研究的是季节均值和季节趋 势的在各个频率上的分解问题：文献 1 8 采用了c a u c h y 的估计方法翻均傻递归 调籀的方法：文献 1 9 考虑引起不同季节变化的方差不同的问颞。 1 。3 预备知识 本文的工作是在基于上节中提到的季节性单位根模型及其主要结论的攀 8 西北t 业人学硕士学位论史 碰卜展开的，并且要用到一些随机过程的知汉，为了便于将下文叙述清楚，本 节主要介绍些预备知识。 定义1 3 1 ( d 阶单整序列 2 ) 一个时问序列 t ，如果在d 阶差分后具肖。f 稳可逆的a r m a 表现形式，而浚序列的d i 阶差分后仍是非平稳的，则该序列 具有d 阶单整性，记为x t ，( d ) 。 换言之，如果序列t 是非平稳序列，b , a x t = o - l ) 4 t 是平稳序列，则序列_ 是l ( d ) 序列。 定义1 3 2 ( 标准w i e n e r 过程 1 】) 标准w i e n e r 过程 ( ，) ，f “o ，1 是定义径 闭区间【o ，1 上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件： ( i ) w ( 0 1 = 0 ； ( i i ) 对闭区间【o ，1 上任何一组有限分割o t l t 2 0 ，使得p ( 石，五) 占时，有 i g ( 爪，) ) 一g ( 2 ( 啪； o ， j t = l ( i i ) e i r l 2 和全部，成立， ( i i i ) 去r 2 呻，盯2 ， 【一i 则有于弓一dn ( o ，盯2 ) 成立。 其中，”_ 一表示依概率收敛，”1 ”表示依分布收敛。 1 4 本文主要工作 本文是在已有的单位根过程的假设检验基础上，考虑在含有周期异方差的 季节性时间序列中，采用不同的参数估计方法，构造统计量，检验单位根，并 考虑了周期异方差对统计量的检验水平的影响，最后给出了实例分析，说明捧 文所给出的检验方法的有效性。 第二章首先给出了周期异方差季节单位根模型的定义，利用最小j 乘估计 方法，构造了两个检验统计量，并得到他们的极限分布都是标准w i e n e r 过程的 泛函，并与各个季节的方差的比值有关，与不同季节的方差的顺序无关。用 m o n t ec a r l o 方法模拟得到同方差下统计量的经验分位数表，以及周期异方差对 西北t 业人学硕 学位论文 检验水平的影响。最后，给出了在实际的检验问题中，应该首先检验误差项是 否存在异方差，继而进行季节单位根的检验。 第三章基于工具变量的c a u c h y 估计方法对检验模型中的参数进行估计构 造具有渐近于标准正态分布的统计量，并且极限分布与季节周期和误差项的周 期异方差无关。把该c a u c h y 估计方法与传统的最小二乘估计方法比较，得到在 单位根成立时，该估计方法是明显优于传统的最小二乘估计的。模拟计算说明 周期异方差对统计量的检验水平不产生影响。最后，模拟算例和实例分析都说 明了该检验方法的简便性和有效性。 第四章采用加权最小二乘估计的方法，对模型中的系数参数进行估计。首 先利用最小二乘估计对系数做初估计，得到各个季节的残照的方差估计值后， 作为权重系数，对系数参数进行再估计。基于这样的加权估计，构造统计量并 得到其极限分布与各个季节的误差项的方差无关，是标准w i e n e r 过程的泛函， 并说明周期异方差对统计量的检验水平没有影响。最后，模拟算例和实例分析 说明了该方法的有效性。 器北丁业大学硕 学位论文 第二章周期异方差的季节单位根模型 本章给出带有周期异方差的季节单位根模型的定义，基于传统的最小二朵 估计方法，构造检验统计量，并得到统计量的极限分布，用m o n t ec a r l o 方法模 拟计算统计量在同方差对的经验分位数，以及周期异方差对检验水平的影响， 并考虑在检验模型中加入趋势项和均值项后，统计量的极限分布发生的变化问 题。最后给出了检验的实例。 本章各节安排如下：2 1 节给出周期异方差季节单位根模型的定义；2 2 节基于最小二乘估计，构造了两个检验统计蹙，并褥到统计量的极限分布；2 3 节研究周期异方差对统计量的检验水平的影响，得到检验水平只与各个季节的 方差的e e 值有关，与各个季节方差的顺序无关的结论；2 4 节给出了经济计量 学中检验周期异方差的方法及一般步骤；2 5 节把模型加以推广，在检验模型 中加入确定性成分，季节均值项和季节趋势项；2 6 节给出了两个实际算例， 说明该方法的有效性。 2 1周期异方差的季节单位根模囊的定义 定义2 1 1( 季节单位根过程) 如果时给定时间序列 m ) 作用一阶季节 差分算子= i - l 。后，序列为平稳可逆过程，其中，d 为季节周期，为滞后 算子，使得l y ；= y 。，则称该序列为一阶季节单整序列，该过程服从季节单位 根过程。即( 1 - l d ) y , = x t ，t 是一平稳可逆过程。记为_ l ( 1 ) 戚 a d y t = x t ( o ) ，i ( o ) 为一平稳过程。 注意这里的季节单位根过程与定义1 3 1 不同，定义1 3 1 的d 阶单整序 列是对序列 只 作用d 次一阶差分算子1 一五，即作用算子( 1 一上) 。后序列为平稳 可逆过程，而这里是作用一阶季节差分算子1 一后，序列为平稳可逆过程。 由于这里的序列 m 具有季节性，且季节周期为d ，可以把m 分解为束盘 蘧北t 业大学硕：卜学位论文 不同的季节的观测值，令m = y a m 。，j = l ，2 ，d ，它表示第踞年第j 季节的 观测值。这里，乩+ ，不仅与它的前期值儿一。有关，更踅要的是，它与l j 年该 季节的值朋l 】+ ，密切相关，呈现出明显的季节性。 如果对于不同季节s ，5 = 1 2 ，d ， 一。) ， = l ，2 ，的波动变化差异比 较大，就应该考虑引起不同季节变化的随机扰动项的方差是不同的，得到带有 周期异方差的季节单位根模型。 考虑具有周期异方差的季节单位根模型( 2 】1 ) ： y | 一p y l _ d 。v 中( 上) v ，= d “，= 瓯，盯，- n ( 0 ，1 ) ( 1 一a ) ( 卜b ) ( 卜c ) ( 2 1 1 ) 驴托”箸d a ， 其中，p = 1 ，t = 1 ，2 ，t ，d 为季节周期，总的样本容量丁与季节周期d 之间 一般有t = d n ，则为表示年代的变量的样本容量，l 为滞后算予，中( ) 为 一j p 阶滞后多项式，它的特征方程西( z ) = l 一办= 一戎z 2 一丸z 9 = o 的根都在单 位圆外。这样，可以保证可逆过程v f = 甲( 三) “，= 伤一，具有唯一表示形式， 其中，系数q 满足杰，h i m ，记擎( 1 ) = 杰竹。岛是独立同分布，且服从均值 j = 0 j = 0 为0 ，方差为l 标准正态分布，瓯是一个季节开关变量，使得残差u t 落入第j 季 啦u t = o i s t 可设原假设h 。为p ：1 ，即季节单位根模型成立；相应的备择假设h ，为 p l ，即序列 只) 是一平稳随机序列。 j 要韭三! ! ：燮塑登壁堡苎 一 一般地，可把模型( 2 i i ) 改写为如下简单的表达形式： m = p y , 一d + 砖。m ( 2 1 2 ) j = 1 其中，解释性变量是由m 的滞后d 项只一。和作用季节差分算子后的。儿的滞后 项，一。，a 。x 一，组成。这罩的误差项q 是相互独立的，鼠期望为0 ，但不 具有相同的方差，方差随着时间f 落入不同的季节而不同，而同一季节的方差是 相同的这是与一般的自回归模型的不同之处。 2 2 模型的参数估计 本节基于模型( 2 1 2 ) 中系数参数p 的最小二乘估计，构造不同的统计量 来检验h o ：p = l ，即以) 服从季节单位根过程：h ；：p 1 ，即n 服从平稳过程。 记”等”表示弱收敛，”_ 。”表示依概率收敛。 引理2 1 对不同的季节j ，s = l ，d ，在原假设h 。季节单位根成立h 寸，即 。= 以( h + 。下都有： ( j ) 一2 砉刃。m 妒2 ( 1 ) 霹f 蟛( ，) 西， ( i i ) y a ，l 】+ ，+ ，。妒( 1 ) zf ( ，) 饥， ( i i i ) 。一，_ ，； ，= 0 ，1 。2 ， ( 如) 。薯如。m 一，圭 盯：p 2 ( ，) w 2 ( 1 ) 一b + 鬈； j = 0 ，1 ，2 ， 其中，嵋( ，) ，j = 1 ，d 是相互独立且同分布的标准w i e n e r 过程，盯j 为引起 两北下业大学颤 二学位论艾 第s 季波动的残差变量一d n + s 的方差，= 盯? 昵识。，妒( 1 ) = 妒， ，；c )，；0 证明由 1 中第一章定理1 9 的( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) 和( 8 ) 式易得结论成立。一 定理2 1考虑模型( 2 1 2 ) 中季节单位根成立，即p = 1 时，有 妻一f w s ( r ) 。吐一f r ) 0 吐 叭铲d j 覆s = l 可丽 妒( 1 ) ：【蟛 ，) 毋 l a ) ( b 、 成立。其中，a = m m 一。正。是参数p 的最小二乘估计，s e ( f i o ) 是磊的 f = p + l，f ；p 1 1 y = i y i x p + u ( 2 2 1 ) y = ( y ，+ 。，y ，) ，y = ( + 。一。，一，y 。) ，p = ( p ，钙，唬，一，矗) ， u=e“，+，“，x=：yl，：；yr9二：二!y二， u = ( i ) 一，“，) ，x = i !； l ， l d7 一l d 一2 dr 一，j d 。= 纰( ( ) ，( ) 一i p 。，) ， 则参数向量b 的最小二乘估计6 可由下面的式子得到： 其中 d 心一p - 叫d 。y ! x u ( 2 2 2 ) 了rj 一炒! 竹 心一f m i 。缸一项一。d 一，一d 一( 黯 k 西北工业大学硕j 岸位论史 矗= d 。e y ；x y ! x j d 。 在原假设成立时，由引理2 i ( i ) 式得 tdd， f 2 正。= 4 若乏2 小2 _ ”。j 妒2 ( 1 ) 乏f 嵋( r ) d r 垒玎，( 或记做7 7 ) f i5 0lh o 【 = l 由引理2 1 ( i v ) 式和( i i i ) 式分别可知 r n o m 一。d 只，j o ， 其中 综上 又由引理2 ，1 ( i i ) 式得 r m ( f ，) 2 “扩 矗一( 强，) “窆m 一。坼= n - i y m 棚+ ，+ ，j 伊( 1 ) fk ( r ) 机 r *j 2 1 月2 i 一-ii 由连续映照定理容易得到( a ) 成立。 下面考虑戌的标准差 其中 是p + 1 维的选择向量。 又有 则 s e ( 磊) = 疗2 2 e ；+ 。矗。e p + l e p + 。= ( 1 ，o ，o ) 。， 疗2 = 高，薹，( m 一磊m 一。一喜舌。m 一，) 2 吉喜一 西北工业大学硕f ：学位论文 带入f o 的表达式，即得 成立。 注( 1 ) 统计量n ( a 1 ) 的极限分布与相关性系数p ( 1 ) 有关而t o 的极限 分布始终与妒( 1 ) 无关，当q 独立同分稚时，即v = q 时，有妒( 1 ) = 1 ，! i l i j e 4 叫i ( r ) 机一f ( r ) 机 m 衍”j 丽 霹f e ( ，) 毋 ( 2 ) 该定理的结论是d i c k e y 等1 9 8 4 文 5 的推广。当订= 盯；一= 口；时， 即模型中引起每一季节变化的方差是相同的，本文的结论就与文 5 的结论相 同。 ( 3 ) 统计量n ( a 1 ) 和f 0 的极限分布是标准w i e n e r 过程的泛函，该极限 分布只与比值q ：0 2 _ - ：有关，若该比值不变，则统计量极限分布保持不变 又由于嵋( r ) ，s = l ，d 是相互独立同分布的标准w i e n e r 过程，只要不同的 d t ，s = l ，d 在和式o s 中所占的比例不变，统计量极限分布亦不变，与各季 节的t ，s = l ，d 的顺序无关。 一 毋 0帆一峨 一强 “一长。缸一州了r 厶 一n 啊 。 吒 两：t ：r 此人学碳l 一学位论文 2 3 周期异方差对检验水平的影响 为了说明周期异方差对样本容量有限情形时的统计量检验水平的影响，芦 先考虑数据是在同方差季节单位根成立时产生的。取季节周期d = 4 ，为简便起 见，不考虑序列的相关性，即v = q 。假设数据生成过程为( 1 一p 三4 ) 儿= “。， ，) = l ，s = 1 ，4 ，l = 1 ，n ，_ 。+ 。= 0 ，”0 ，误差项“4 = 吒氏， s 。n ( 0 ，1 ) ，首先在同方差o l = 0 2 = 毋= 0 4 = l 时，不同的样本容量 1 2 ，2 5 ，1 0 0 下，模拟得到( 成一1 ) 和r o 统计量的经验分位数临界值，见表 2 】 表2 1 同方差下( a - 1 ) t o 检验的分位数衰 统计量( 反- 1 ) 小于表中数值的概率 o 0 10 0 2 5 o 0 5o 1 00 9 00 9 50 9 7 5o 9 9 n = 1 23 5 22 7 8 2 1 9一1 6 2o 6 9o 8 8 1 0 6l2 0 n = 2 5 3 6 62 8 82 2 61 6 50 6 40 8 40 9 81 1 6 n = 1 0 0 3 8 42 9 0一2 3 31 ，7 0o 6 2o 8 109 611 5 统计量吒小表中数值的概率 0 0 l0 0 2 5 o 0 5 0 ，1 0 0 9 0 0 9 50 9 7 5 09 9 n = 1 22 5 82 2 2 一1 8 7一1 5 11 1 21 5 0 1 8 6 23 2 n = 2 52 5 72 2 2 - 1 8 81 5 21 1 1 1 4 51 8 02 1 7 n = 1 0 02 5 62 2 3一l8 9一1 5 41 0 91 4 31 7 52 1 l 在进行假设检验的时候，首先给定检验水平口，一般取口= 0 0 1 ，0 0 5 ，o 1 由给定的样本构造统计量( a - 1 ) 和f 0t 计算它们的实际值，并与上表中给定 的临界值相比较，当实际值明显小于临界值时，则拒绝季节单位根，认为p 服 从平稳过程。反之，接受h 。，认为y t 服从季节单位根过程。 下面讨论在给定水平口= 0 0 5 时，误差项的周期异方差一，s = l ，2 ，3 ，4 对榆 9 西北工业人学颁七学位论文 验水平的影响。这里，仅考虑表2 2 中列出的a 到h 各种情况，其他情况类似 括号内的数字分别表示不同季节的误差项的标准差q ，c r 2 ，巳，吼的值。 褒2 ，2 不同情况下误差顶的标准羞 ab d ( 1 ，1 ，l ，1 ) ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 )- 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 2 ，4 ，6 ，8 ) h ( 1 0 ，1 0 ，l ，i ) ( 1 0 ，1 ，1 0 ，1 ) ( 1 0 ，l ，l ，1 0 )( 1 ，1 0 ，1 0 ，1 ) 用m o n t ec a r l o 方法模拟计算由表2 2 给出的a 到h 各种情况下，周期异方 差对n ( a 1 ) 和统计量的检验水平的影响。模拟结果见表2 3 表2 3 周期异方差下n ( a - 1 ) 和f o 统计量的检黢水平 n = 1 2 n = 2 5n = 1 0 0 情 ( a - 1 ) r o n ( , b o 一1 ) f o n ( ；o - 1 ) 况 a0 0 5 0 1 0 0 5 0 1 0 0 4 8 30 0 5 2 00 0 4 8 90 0 5 2 1 b0 0 6 3 l 0 0 5 5 2 0 0 5 2 60 0 4 8 50 0 4 7 60 0 5 0 7 c 0 0 9 9 50 0 9 8 6 0 0 8 9 30 0 9 0 30 0 8 4 90 0 8 9 2 do 】0 3 7 0 0 9 9 20 0 9 1 20 0 9 2 4 0 。0 9 8 2 0 0 8 8 3 e0 1 5 9 80 1 5 2 3 0 1 5 2 60 1 5 3 6o 1 5 1 4o 1 5 0 8 f 0 1 5 8 80 1 6 0 20 ，1 4 9 9 0 1 5 0 20 1 5 2 50 1 5 6 3 g0 1 6 4 3 0 1 5 7 80 1 5 4 7 0 1 5 5 60 1 5 4 80 1 4 9 2 h 0 1 5 9 80 1 4 9 50 1 4 9 2 0 1 5 2 50 1 4 9 00 1 4 8 5 从表2 3 可以看出a 与b ，c 与d 情况检验水平基本相同，说明周期异方差 下统计量的极限分布与只与各个季节方差的比值有关；e ，f ，g ，1 4 情况检验水平 基本相同，说明该极限分布与不同季节方差的顺序无关，这与上述定理2 1 的 结论一致。 2 4 有关周期异方差的检验问题 由2 3 节可知季节性周期异方差的存在对统计量的检验水平产生影h | f ! j ，并 两北工业大学彤! 上学位论立 且一般的异方差的存在可以使得最小二乘估计不再是最d 、方差估计，使一般参 数的显著性检验失效，从而致使参数的置信区间的建立发生困难和预测的精确 度降低，因此，对异方差的检验变得尤为重要。般的经济计量学中介绍的检 验方法有图示检验法、w h i t e 检验、b r e u s c h p a g a n 检验、g o l d f e l d q u a n d t 检 验、g l e j s e r 检验、p a r k 检验等。 本节根据季节性模型中误差项可能含有周期异方差的特点，选用戈德菲尔 德一匡特德( g o l d f e l d q u a n d t ) 检验的扩展方法来检验季节单位根模型中的周 期异方差性，见 2 6 2 节。在实际问题中，在检验某组数据是否符合季