（光学专业论文）冷原子介质中矢量光孤子的研究.pdf

华 中科 技 大学硕士学位论文 摘要 冷原子介质中光学非线性现象是近年来在量子光学领域人们比较感兴趣的热门课 题之一。对于冷原子介质中的时间与空间光孤子、矢量光孤子的研究是非常有意义的。 它主要研究超冷原子介质与光的相互作用系统由于电磁感应诱导出的各种新的非线性 现象， 尤其是超慢弱光无形变传输的现象。 本论文主要探讨了五能级冷原子介质中的矢 量光孤子的相关特性。它的主要内容如下： 我们分析了一个寿命展宽的 v 型五能级冷原子系统中的矢量光孤子，该系统同时 被一个弱线偏振探测光和两个强连续线偏振控制光耦合。 通过选择合适的参数， 如适当 的控制场强度、 单光子和双光子失谐量等， 我们发现在此系统中可以很容易实现各种类 型的矢量光孤子， 而且也可实现在光纤中很难实现的 manakov 矢量光孤子。另外， 我们 对矢量光孤子解进行了稳定性分析， 发现他们可以稳定地存在我们的系统。 总之， 本论文的研究不仅有助于理解和掌握相干非线性光学的新特性， 而且对全光 开关， 逻辑门和逻辑计算的设计有很大的应用价值。 关键词：光孤子冷原子介质电磁感应透明非线性薛定谔方程 i 华 中科 技 大学硕士学位论文 abstract nonlinear optical phenomena in a cold atomic media is a hot issue in current quantum optics region in recent years. the research of temporal optical solitons, spatial optical solitons and vector optical solitons in a cold atomic media is very meaningful, which aims to study the new nonlinear phenomena induced by quantum coherence in the interaction system of the cold atomic media and optical fi eld, in particular targets for the phenomena that light speed is slower than it in the vacuum and the wave form is undistorted. this thesis studies the related properties of vector optical solitons in a cold atomic media with fi ve-level structures. the main content is as follows: we theoretically analyze slow temporal vector optical solitons in a lifetime-broadened hyper fi ve-state atomic system, which is simultaneously coupled by two strong, linear-polarized contin- uous wave control fi elds and a weak, linear-polarized pulsed signal fi eld, having two orthogonally polarized components. through the selections of appropriate parameters such as control fi elds intensity, single-photon detuning, two-photon detuning and so on, we can easily realize the dif- ferent types of vector optical solitons. more importantly, the manakov vector solitons also can be realized in the system, which is diffi cult to be realized in optical fi ber. besides, we analyse the stability of vector optical soliton solutions and fi nd them may stably exist in our inspection system. in summary, these studies may be helpful not only to understand better the new characteristic of nonlinear optics in the cold atomic media but also to promising applications for the design of new types of all-optical switches, logic gates and logic computation. key words: optical soliton cold atomic medium eit nonlinear schr odinger equation ii 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知， 除文中已标明引用的内容外， 本论文不包含任何其他人或集体已经 发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授 权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于 保密， 在年解密后适用本授权书。 不保密 。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 日期：年月日 指导教师签名： 日期：年月日 华 中科 技 大学硕士学位论文 1绪论 1.1引言 孤子是最早在自然界观察到，并且可以在实验室产生的非线性现象之一，其历史 可以追溯到十九世纪三十年代。在 1834 年苏格兰造船师罗素 russell 在河流中偶然发现 了一种自然现象: 在一条狭窄的河道中，迅速拉动一条船前进，在船突然停下时，船头 就会形成一个孤立的水波，迅速离开船头，并以每小时 1415 km 的速度前进，而水波 的形状基本保持不变，直到前进了 23 km 后才逐渐消失。同时在这个非同寻常的水 峰两侧的河水也依然保持平静如初。russell 认为他所观察到的这个奇特的水峰是流体 运动的一个稳定解，并将其称之为“孤立波（solitary wave）1” 。russell 为研究水峰的 水动力学性质进行大量的实验工作，并且用人工方法在浅水槽中成功地激发了孤波如 图（1-1） ，并且发现孤波的一些重要性质：孤波在传输过程中保持波形和速度不变；两 个孤波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和速度；孤波的波幅愈高其传播速度愈快等， 孤波的发现开创了一个新的研究领域，但当时他并未能成功地从流体力学出发给孤立 波以合理的理论解释使物理学家们信服他的论断。直到 1895 年，荷兰科学家 korteweg 和他的学生 g.d.vrie 利用流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定 下， 建立了单向运动的浅水波运动方程， 即著名的 kdv 方程， 才从理论上证明了孤立波 的存在。1965 年，美国 prmceton 大学的应用数学家 zabusky 和bell实验室的 kruskal2对 等离子体中孤立波间的非线性碰撞过程进行了大量的研究，通过数值模拟方法发现： 两个或多个孤立波在相互碰撞之后，仍然保持原来的波形和速度继续向前传播，呈现 出“粒子”现象，因此他们引入了“孤子（soliton） ”这一概念用来描述这种具有粒子性 质的孤立波。1967 年，美国研究小组 ggkm 提出了逆散射方法，它解决了一大类孤子 演化方程的求解问题。逆散射方法的提出是应用数学的一次重大突破，不但为应用数 学开拓了一个新的领域，而且也为孤子物理学的研究提供了数学工具。随后 p.d.lax 于 1968 年通过引入 lax 对，将孤子演化方程的求解问题和求 lax 对的问题联系起来，从 而使逆散射方法的数学形式表达得更为简洁。 此后几年， 逆散射方法被推广应用到其他 孤子演化方程的求解。 自提出孤子概念以来，孤子理论及其应用研究得到了科学界的广泛青睐和执着研 究，因而人们在孤子方面取得了大量的科研成果，人们相继在很多学科中寻找到了孤 子，如固体物理、激光、电气工程、等离子体等。近几十年来，人们对非线性偏微分方 程35进行了大量的研究，结果发现孤子是自然界一种相当普遍的非线性现象。经过科 学家们多年的辛勤工作和研究， 人们发现孤子无处不在， 在各色各样的系统中都能够发 现和观察到孤子现象，从涡旋星系的密度波64、海洋冲击波、等离子体、光纤中光的传 1 华 中科 技 大学硕士学位论文 输、分子系统、生物系统、超流氦、超导约翰瑟结、玻色爱因斯坦凝聚体到基本粒子等， 都存在孤子现象。到目前为止， 在数学、 物理、 生物学、 宇宙学以及其它许多学科中， 孤 子理论依然是最活跃的研究课题之一65。经过人们对孤子理论的深入研究，最近人们 对孤子的研究呈现了四个特点：（1）由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化 方程组； （2）由经典理论到量子理论； （3）由单一学科到多学科交叉； （4）由理论研究到 实际应用。在各类学科中， 物理学科中孤子的研究尤其盛行， 也取得了非常大的成就。 图 1-1 russell 于1834 年观察到的浅水孤立波再现图。摄于 scott russell aqueduct，苏格兰首府爱丁 堡附近的 union canal， 1995 年 7 月。引自 www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.html。 1.2光孤子 光孤子（optical soliton）是自然界各种孤子现象中的最具有应用价值的一种孤子， 是非线性光学研究领域的热门课题之一。光孤子是描述局域化光脉冲在介质传播过程 中波形保持不变， 这些脉冲即使发生相互碰撞后， 仍能保持它们的振幅和速度不变继续 前进。从物理机理的角度来看， 它可以理解为光波在介质中传播过程中线性效应（色散 效应或衍射效应）和克尔非线性效应（相位调制效应或聚焦效应）达到了平衡的一种状 态。根据形成的物理机制不同，光孤子分为时间光孤子、空间光孤子和时空光孤子，也 可分为标量光孤子和矢量光孤子。 1.2.1时间光孤子 hasegawa 和 tappert56在 1973 年提出了时间光孤子（temporal optical soliton）的概 念， 他们预言当光纤的线性色散效应和非线性自相位调制效应达到相互平衡时， 光脉冲 可以在光纤中无色散地传播， 因为这种光脉冲沿时间轴传播时脉冲宽度保持不变， 所以 被称为时间光孤子。 他们系统地研究了光纤中光脉冲的传输特性， 通过理论计算发现光 纤中的线性色散效应和非线性自相位调制效应可以达到平衡时，在光纤中能够实现时 间光孤子。在 1980 年，mollenaner57等人在实验上利用光纤观察到了脉宽为 7ps 的光孤 子，并提出将光纤中的光孤子用作传递信息的载体，构建一种新的光纤通信系统方案， 2 华 中科 技 大学硕士学位论文 称为光孤子通信。自在实验上实现时间光孤子以来， 时间光孤子就一直备受关注， 对于 时间孤子的研究已经趋于成熟，该成果已经成功应用于光纤孤子通信，光孤子通信是 实现超长距离高速通信的重要手段， 它被认为是第五代光纤通信系统。近年来， 美、 日、 英等国相继进行了光孤子通信实验。由于光孤子通信具有容量大、 误码率低、 抗干扰能 力强、 传输距离长、 中继设备放大简单等优点， 将在未来光通信领域具有很好的应用前 景。 1.2.2空间光孤子 众所周知， 光脉冲在线性色散介质中传播时因色散脉冲会发生展宽， 光脉冲因为介 质色散而在时域上展宽。然而，在无色散介质中，脉冲的群速度等于相速度，其传播过 程中在时间轴上不会展宽。但是一束窄光脉冲， 即使在真空中传播， 由于波动的固有特 性衍射，随着传播距离的增加，光束会变得越来越宽，初始入射光束越窄，其在横 向展宽的就越快，如图（1-2） 。而非线性介质的自聚焦（或自散焦）效应则有相反的效 果，会使在非线性介质中传输的光束变窄。当非线性介质的自聚焦（或自散焦）效应与 光束的衍射发散作用相平衡时，光束在介质内无衍射向前传播，在传播过程中其形状 和速度都保持不变，即形成了空间光孤子（spatial optical soliton） 。chiao6在 1964 年开 创了空间光孤子的工作，提出了在克尔非线性介质中发散光束可能自陷，之后有关空 间光孤子的理论研究5860得到了广泛的开展。在 1974 年人们开始了空间光孤子的实验 研究， 随着材料科学和现代非线性光学迅猛发展， 新型的光孤子不断出现。1992 年， m. segev7等人从理论上分析了在一定外加电场作用下，光折变材料中光束有自陷的可能 性， 预言了光折变空间光孤子的存在。 不久， 在 1993 年， g. c. duree 和 g. j. salarno8等 人便在掺杂铌酸锶钡晶体中观察到了稳定了光折变空间光孤子。空间光孤子有独特而 优越的传输性能，它在光计算、光通信、光开关、光互连、光波导等领域具有巨大的潜 在应用前景， 己经引起世界各地很多科研工作者的极大兴趣， 成为非线性光学研究领域 的热点和重点913。总之， 空间光孤子相关研究还处在不断发展完善中。 图 1-2 光束横截面的空间形状（实线）和波前相位（虚线）示意图，上排：自聚焦；中排：自然衍射； 下排： 孤子形成。图片来自文献 10。 3 华 中科 技 大学硕士学位论文 1.2.3时空光孤子 若光脉冲在色散介质中传播， 则它不仅在时域上因为色散而展宽， 同时在空间域也 因衍射变得越来越宽， 就像一个不断膨胀的皮球一样， 如图（1-4a）所示。人们知道介质 的非线性相位调制效应和非线性自聚焦（或自散焦）效应都能够使在非线性介质中传 输的光脉冲变窄，如果非线性介质的色散效应和非线性自相位调制效应达到平衡的同 时，介质的非线性自聚焦（或自散焦）效应与光束的衍射展宽效应也达到平衡，那么光 脉冲就能既无色散又无衍射且在时间维度上保持波形不变地在介质中向前传播，此时 形成的这种更为特殊的光孤子，其在传播过程中在空间各个方向及时间轴上都不会展 宽， 就像实物粒子一样， 这便就是时空光孤子1416。因时空光孤子在介质中传播就如同 高速飞行的子弹一样， 所以也称其为“光子弹”（light-bullet）14， 如图（1-4） 。 图 1-3 （a）既有衍射又有色散时的光脉冲的传播示意图； （b）光脉冲在非线性介质中传播时的时空 孤子形成及传播示意图。图来源于文献 11。 z y x 图 1-4 衍射效应和色散效应与非线性自聚焦效应同时平衡时形成时空光孤子的示意图。图来源于 12。 1.2.4标量光孤子 众所周知，一束脉冲在光纤中传输过程中会产生色散（或脉冲随时间展宽） 。这个 现象的产生主要是因为石英玻璃的折射率不是常数，而是频率的函数。对于光脉冲来 说， 它是可以表示为不同频率分量的组合， 它在介质中传输过程中介质的色散引起不同 频率分量传输速率不同， 造成光脉冲在传输过程中发生形变。介质的色散有两种：正常 色散和反常色散。 如果长波在介质传播过程中的传播速度比较快， 则我们说此介质的色 散为正常色散；反之，我们则说此介质的色散为反常色散。经研究可知：光脉冲在介质 中的传输特性在正常色散区域和反常色散区域中是有所不同的，在正常色散区域光脉 冲的高频分量蓝移， 而低频分量红移， 且高频分量较低频分量传输得慢；光脉冲在反常 色散区域传输情况正好和在正常色散区域的相反；但是两者的最终结果都会导致光脉 冲被展宽。 对于局限在一定空间区域的窄脉冲在介质中传输时， 因为衍射效应光束也将 会被展宽。 当光脉冲的强度比较大时， 像光纤这样的绝缘介质对光脉冲的的响应呈现非 4 华 中科 技 大学硕士学位论文 线性，光强越大，非线性越明显。在特殊情况下，在光纤中低阶非线性效应能够产生很 多奇特的现象， 如四波混频和非线性折射率等等。这些效应主要是依靠于光强， 常常称 之为克尔非线性效应。 需要提出的是， 四波混频效应只有在满足相位匹配条件下才能够 实现。大部分非线性效应都源于非线性折射率， 非线性折射率是光强的函数， 可以表示 为： n = n0+ n2|e|2(1-1) n0为线性折射率，n2为非线性折射率系数（克尔系数） 。介质对光场的响应延迟在飞秒 量级上，所以可以认为介质对光场的响应是即时的。由于相移 n，所以要产生频 率移动 = /t，由此式可知：光脉冲的前半部分光强随时间的增加而不断增加， 相位落后越来越大，使得频移小于零，即光脉冲的频率变低，即红移；脉冲的后半部分 光强随时间的增加而不断减小， 相位落后越来越小， 使得频移大于零， 即光脉冲的频率 变高， 即蓝移， 此效应被称为自相位调制。结果， 在正常色散区域， 光脉冲被展宽；在反 常色散区域， 光脉冲被压缩。前面提到， 光脉冲在介质中传输过程中由于色散效应脉冲 会被展宽。则在反常色散区域， 在合适的条件下， 色散效应和自相位调制效应达到了动 态平衡， 光脉冲在介质中传播过程中波形和速度保持不变， 即形成了光孤子。描述这样 的光脉冲传输的理想的数学模型是非线性薛定谔方程（简称：nlse） ： iu z 1 2 2u t2 + |u|2u = 0(1-2) u(z,t) 为光场的复振幅，z 为归一化传播距离，t 为归一化传播时间。其中，第二项表 示色散项，第三项表示克尔非线性效应项。对于正常色散区域，色散系数为正；对于反 常色散区域，色散系数为负。式（1-2）我们称之为标量非线性薛定谔方程，它的稳定的 孤子解我称之为标量孤子解。通过数值模拟及实验检验， 我们发现， 光孤子之间的碰撞 是弹性的， 它们的幅度和群速度在碰撞过程中以及碰撞之后都不会发生改变， 呈现粒子 特性， 如图（1-5） ， 只有相位和位置在碰撞过程中发生变化。 图 1-5 两个标量光孤子碰撞示意图，振幅和群速度都不变。两个光孤子的碰撞效应是位移和相移， 在这里没有描述。 5 华 中科 技 大学硕士学位论文 1.2.5矢量光孤子 当由两个或两个以上的偏振（或频率）光束组成的光脉冲在非线性介质中传输时， 我们也应该考虑光束之间的相互作用。 这样的情况下， 光脉冲在介质中传播时将会用一 类耦合薛定谔方程组描述， 可允许矢量光孤子的传输。 对于由两部分组成的光脉冲在理 想的无损耗的介质中传播时，不考虑高阶非线性效应和只考虑和强度有关的克尔非线 性效应， 则光脉冲的两个部分所遵循的耦合非线性薛定谔方程组（简称：cnlse）为： u1 z 1 2 2u1 t2 + 2(|u1|2+ |u2|2)u1=0(1-3) u2 z 1 2 2u2 t2 + 2(|u2|2+ |u1|2)u2=0 u1(z,t) 和 u2(z,t) 为光场的复振幅， 为非线性系数， 为对非线性效应贡献的自相位 调制和交叉相位调制的比率。只有当 = 1 时，方程组（1-3）是完全可积的。此方程首 先是由 manakov 在 1973 利用逆散射方法17解出了矢量孤子解-manakov 矢量孤子解。当 6= 1 时，对于一些特殊的情况，我们通过数值分析和某些近似也可得到矢量孤子解。 和标量光孤子相比， 矢量光孤子有更丰富的碰撞动力学。 前面提到标量光孤子间碰撞时 只相位和位置发生变化，而矢量光孤子碰撞时除了发生相移和位移外，孤子间会发生 能量交换，这个过程如图（1-6）所示。而且在碰撞过程中满足两个守恒关系：每个孤子 的能量是守恒的；每个部分的能量是守恒的。可以看出当它们碰撞之后， 当孤子的一部 分能量增加时， 那么它的另一部分能量就减少， 另一个孤子的情况与其恰恰相反。实验 室55已经观测到矢量光孤子间的碰撞过程。矢量孤子有其独特的应用价值，如以碰撞 为基础的逻辑计算， 信息传输等等。 图 1-6 一个矢量孤子碰撞示意图，引起了相移和位移（图中无显示）类似于标量孤子。矢量孤子碰 撞也展示了孤子间的能量交换。 光孤子不仅在物理的一些基础理论的、 探讨、 验证及概念的深化等方面也有着重要 的意义和科学研究价值， 而且在应用方面有着广阔的前景， 可能成为新一代的光通信和 高速全光开光。因此，关于光孤子的理论与实验研究有很重要的意义。在本论文中，我 们将针对冷原子介质中矢量光孤子的实现与相关特性进行详细的研究。 6 华 中科 技 大学硕士学位论文 1.3本论文研究背景、 国内外现状及进展 在进入 21 世纪之际， 人们纷纷预测未来科学和技术的发展。有的认为 21 世纪将是 生命科技的世纪；有的认为 21 世纪将要进入信息社会；还有的认为新材料，新能源将 得到极大的发展，非线性科学将是最活跃的研究领域之一。而光孤子是非线性领域科 学研究的一个非常重要的方向， 如光孤子在光纤通讯中的应用具有高码率、 长距离（无 需中继器）和大容量的优点， 可以构成超高速速传输系统， 引起了学术界和工业界的重 视， 投入了大量的人力和资金从事光孤子通信的研究， 并已取得了重大进展， 光孤子在 通讯领域的应用是它最具有潜力的应用领域。前面我们提到，光孤子是光脉冲在非线 性介质中传播过程中可以保持波形形状不变一种的电磁波，产生这种现象的主要原因 在于于介质的克尔非线性效应（相位调制效应或聚焦效应）和线性效应（色散效应或衍 射效应）在光场激发的作用下达到了相互竞争与平衡。光纤是一种产生光孤子的传统 非线性介质。然而，依据经典光学的色散理论18，介质的折射率在共振频率附近变化 很大， 非线性效应也比较大， 但是同时也伴随着很大的吸收。这就会使得共振频率附近 下光脉冲会被吸收、 衰减和畸变， 因此为了形成光孤子， 我们通常选用光的频率都要远 离共振区，这样远共振区产生的非线性会很弱，而要想得到明显的非线性效应来平衡 线性效应以形成光孤子，就需要很强的光脉冲。强光脉冲在介质中传播足够长的距离， 这就意味着损耗的增大。 近年来， 日益成熟的电磁感应透明 （electroma gnetically induced transparency， 简称 eit）技术为解决上述困难提供了很好的机会。 20 世纪 90 年代 kocharovslaya 和 khanin35,36以及 standford 大学的 harris19,20等人发 展了电磁感应透明技术。电磁感应透明效应就是利用原子相干效应来控制原子对光的 吸收和色散特性。电磁感应透明效应引起介质的线性和非线性极化率发生极大的变化， 从而使介质具有如下迷人的独特光学特性：介质的线性吸收减少， 线性色散增强；原子 与光量子态之间的转化易于相干控制； 原子介质在弱光场下具有显著的非线性效应。 由 于这些特性且迷人的光学特性，所以有关电磁感应透明的问题受到了学术界广泛的关 注和研究，冷原子介质中的电磁感应透明效应可引起许多有趣和重要的效应66，例如 光的极慢或超快传播、 光的存储和提取、 非线性效应的极大增强（可提高百万倍左右） 、 增强的非线性混频效应等等。 研究表明： 冷原子介质中很小光强度的激光就可显示出显 著的非线性光学效应，有时只需要一个或几个光子的光强就可显示出可观测的非线性 光学效应。 这导致一个重要的新研究方向或新学科的产生： 冷原子介质中弱光场下的非 线性光学。 光波在介质传播过程中介质的色散导致了其波形扭曲变形，这样极大地限制了光 作为信息传输载体在光信息科学方面的应用。 为避免光波的损耗， 我们在研究光孤子时 光场的频率通常选择远离介质的共振频率，但这导致光孤子的速度一般为真空光速或 接近真空光速， 不能得到慢光。令人惊喜的是， 在 2004 年， wu 和 deng 论证了在三能级 冷原子系统可以实现超慢时间光孤子的23。同年，wu 和 yang 研究了在四能级原子系 7 华 中科 技 大学硕士学位论文 统中实现超慢光孤子， 在适当的激发条件下， 亮孤子和暗孤子都能产生24。由于工作在 原子共振频率附近， 冷原子中的超慢光孤子具有许多新奇的物理特性。 例如产生超慢光 孤子仅需极低的入射光强（功率为微瓦量级甚至更低） ，孤子的传播速度大大低于真空 中的光速等。这些特点使得超慢光孤子可望成为新型的光信息传输和处理的理想载体， 值得进行认真深入的探索。如图（1-7a）为 型三能级冷原子系统中超慢时间光孤子随 时间演化的图，图（1-7b）模拟了光脉冲在冷原子介质中传播过程，很显然光脉冲在沿 时间轴传播过程中波形保持不变。由于冷原子介质中的超慢时间光孤子有很好的物理 特性，越来越受人们的关注，已经成为研究热点之一25,26。在这十几年中，还有许许多 多相关的理论工作， 这些工作使得电磁感应光透明的研究范围更加广泛， 研究程度更加 深刻， 理论结构更加严谨， 内容框架更加丰满2731。 2 1 2 c ? p ? c ? p ? 3 (a) 冷原子介质中 型三能级系统 fig. 2.surfaceplotsoftherelativeprobeintensity versus dimensionless time h?t and distance j?l.left, jvp?vp0j2exp?2aj?, where jvpj2is the numerical solu- tion to eq. (7); right, single bright soliton of eq. (9) as given by jvp?vp0j2? sech2?h?t? in eq. (10).l ? 1 cm, t ? 1.0 3 1026s, and the other parameters are explained in the text. (b) 超慢时间光孤子 图 1-7型三能级冷原子系统中的超慢时间光孤子, 图来源于文献 23。 1.4本论文所做的工作 如上所述，在冷原子介质中光孤子的产生已经受到人们的大量关注。众所周知，光 孤子可分为标量光孤子和矢量光孤子。 最近几年内， 人们对冷原子介质中的标量光孤子 做了大量的研究23,24,32,33，然而对矢量光孤子的研究就相对来说却少了很多。我们最近 主要对在冷原子介质中的矢量时间光孤子做了深入的研究。本论文主要是介绍我们最 近一段的工作和成果。本论文的主要工作就是采用半经典的理论方法来研究冷原子介 质中的超慢矢量时间光孤子的形成。论文的主要内容如下： 第一章，我们简单地总结了孤子的研究发展历史以及我们相关研究课题的基础知 识， 并简单介绍了电磁感应透明效应的相关知识和理论发展。第二章， 我们介绍了处理 原子与场相互作用问题的一些基本理论知识和方法。 在第三章中，我们主要从两个方面对三能级冷原子介质中的电磁感应透明效应进 行了理论分析和研究。首先我们通过分析原子的几率幅方程和光场遵循的麦克斯韦方 程， 并采用了偶极近似、 旋波近似以及缓变包络近似， 发现在合适的条件下介质对探测 场的吸收及介质的色散都趋近于零， 介质在强耦合相干场下呈现完全透明现象， 即电磁 感应透明。然后我们又从缀饰态理论来分析了产生电磁感应透明效应的物理思想。最 8 华 中科 技 大学硕士学位论文 终， 我们证明了在冷原子介质中可以实现电磁感应透明效应。 第四章是论文的主体部分，详细介绍了我们所做的相关理论研究工作。在这一章， 我们首先简单地介绍了冷原子介质中很经典的 型三能级系统中超慢光孤子的产生， 详述了它的理论和研究方法。然后介绍了我们所做的主要研究工作研究了 v 型五 能级冷原子介质中矢量光孤子的形成与传播。我们从薛定谔方程和第二章介绍的在缓 变包络近似下光场在介质中传播的演化方程，并利用了傅里叶变换和级数展开的数学 方法， 导出了描述探测光不同偏振分量函数所遵循的耦合非线性薛定谔方程组， 得到了 各种类型的矢量时间光孤子， 从而说明在此系统中可以实现各类矢量光孤子解。 通过调 整系统参数， 该方程组能够转变为标准的 manakov 方程， 并支持稳定的 manakov 矢量光 孤子， 也说明在此系统中可实现在光纤中很难实现的 manakov 矢量光孤子， 并且我们也 验证了矢量光孤子传播的稳定性。 9 华 中科 技 大学硕士学位论文 2与本论文相关的基本理论工具 在量子光学领域，最主要、最核心的研究内容之一就是光场和物质的相互作用。一 个与之相匹配的量子理论一般分别为全量子理论和半经典理论。全量子理论是指光场 和原子（分子）同时量子化，或者说光场和原子（分子）的运动规律全部遵从薛定谔方 程。从理论上来说， 这种全量子理论可以处理涉及激光的所有问题， 但是在具体使用中 往往非常复杂。半经典理论就是指把原子（分子）量子化， 而把光场看成经典的电磁场。 在半经典量子理论中人们以薛定谔方程来描述量子化的原子或分子系统，而以麦克斯 韦方程来描述经典的光波场。 为了简化处理问题的步骤， 人们经常利用半经典量子理论 来处理一些光场与物质的相互作用问题。实践证明， 在许多情况下， 半经典理论就足以 用来处理各种问题并解释在研究中观察到的各种现象了。半经典量子理论只是人们用 来研究量子光学的一个大的理论框架。 在研究一些具体的物理问题时， 往往会涉及到一 些与之相对应的技术手段或处理方法。因此， 为了更好的理解本论文的主要内容， 在本 章中我们将会简单地介绍一些与本论文相关的基本理论工具。 2.1描述量子系统的三种基本绘景 在量子力学中，我们可以采用三种不同的绘景来描述同一量子系统，即薛定谔绘 景， 海森堡绘景和相互作用绘景。 这同对经典质点的描述可以采用坐标矢基不变而态矢 随时间改变的描述方式、也可以采用态矢不变而坐标基矢随时间改变的描述方式相似， 很明显这两种描述方式的数学表示是不同的，但他们所描述质点的客观运动规律是相 同的。量子力学中，对系统采用三种不同的绘景，意味着采用三种不同的描述方式。当 三者描述同一客体时， 其反应的微观客体运动规律应是同一的。 因此三种绘景具有严格 的对应关系，可以相互转化。究竟采用何种绘景描述量子系统，要根据系统的特征，选 取最易揭示其物理特性， 最方便求解的绘景来描述。 2.1.1薛定谔绘景 在薛定谔绘景中（简称 s 绘景：schr odinger picture） ，系统波函数是随着时间变化 的， 而力学量不随时间变化。 此绘景通常用于解决存在不随时间改变的相互作用的量子 力学问题。系统波函数 |si， 力学量 as和密度算符 s所满足的方程如下： i|si t =h|si(2-1) |s(t)i=exp(iht )|s(0)i 10 华 中科 技 大学硕士学位论文 is t =hi,s as t =0 h asi=hs|as|si = tr(sas) 2.1.2海森堡绘景 在海森堡绘景中（简称 h 绘景：heisenberg picture） ，系统波函数不随时间变化，而 力学量随时间变化， 薛定谔绘景比较适用于保守系统。系统波函数 |hi， 力学量 ah和 密度算符 h所满足的方程如下： |h(t)i=|h(0)i = s(0)(2-2) i tah(t) =ah(t),h(t) ah(t)=exp(iht/)asexp(iht/) |ahi=hh(t)|ah|hi = hs(t)|as|si = tr(s(0)ah) 2.1.3相互作用绘景 在相互作用绘景中（简称 i 绘景：interaction picture） ，系统波函数是随时间变化的， 同时力学量也随时间变化的。系统波函数 |ii， 力学量 ai和密度算符 i所满足的方程 如下： h=ha+ hb(2-3) ai=exp(iha/)asexp(ihat/) hi=exp(iha/)hbexp(ihat/) =exp(iha/)sexp(ihat/) |ii=exp(ihat/)|si i tai(t) =ai(t),hi(t) i|ii t =hi|ii i t =hi, |aii=hi|ai|hi = h|as|si = tr(sas) 在这三种绘景中，描述同一系统时，系统的力学量算符的本征值，平均值都是相同的。 对于具体问题， 具体分析， 选择数学上较容易求解且更能揭示物理规律的绘景来处理问 题。在我们通常研究的场与物质相互作用问题中， 一般都采用相互作用绘景。 11 华 中科 技 大学硕士学位论文 2.2半经典理论下系统的哈密顿量 在原子（单原子或多原子系统）和激光场（单模光场或多模光场）相互作用系统中， 辐射场和原子都将具有量子特性， 而这些特性在经典物理范围内是不能揭示出来的。 在 本章中我们只介绍原子和激光相互作用的半经典理论。 如上所述半经典理论， 也就是在 讨论原子与光相互作用时，认为原子的运动服从量子力学规律，即将原子看做量子化 的，考虑其能级结构，而光场则是经典的电磁场，它的运动服从经典电动力学规律，不 考虑其量子化。 2.2.1原子与光场相互作用的理论模型 众所周知，实际原子的谱结构都是比较复杂的，例如自然界最简单的氢原子，它的 本征频谱就由一组束缚分离谱和一连续谱组成， 其能级都是简并的， 所以精确讨论多原 子系与光场的相互作用是不可能的，即使讨论单原子与光场的相互作用也难以给出精 确的解释， 通常需要借助一些假设。电磁场诱导原子不同本征态间的许多跃迁， 然而最 可能的跃迁是原子是原子本征频率与光场频率近似相等的跃迁， 所以最自然的、 最简单 的假设是原子只有两个非简并的能级， 称之为两能级原子。 接下来就以两能级单原子为 例， 考虑其与单模光场相互作用问题。 系统的哈密顿量 a ? e g ? 图 2-1 两能级原子与单模光场相互作用 如图（2-1）所示 |ei 和 |gi 分别为原子的上能级（激发态）和下能级（基态） ， 为单 模光场的频率， 0是原子的跃迁频率， 假设 e和 g分别为原子的上能级和下能级的本 征频率，则原子的跃迁频率为 0= e g。它子与光相互作用系统的能量是单模光场 能量、单个原子能量和原子与光场的相互作用能量之和，则系统的哈密顿量一般表示 为： h = ha+ hf+ hl(2-4) 这里 ha， hf， hl分别为单原子、 单模光场、 单原子和单模光场相互作用部分的哈密顿 12 华 中科 技 大学硕士学位论文 量。我们采用半经典近似理论， 则系统的哈密顿量为： h = ha+ hl(2-5) 原子的哈密顿量一般表示为： ha= p2 2m + v (r)(2-6) 其中 m 和 p 分别是原子的质量和质心运动的动量，v (r) 是原子的固有能，即电子和原 子核的相互作用势能。在薛定谔绘景中，原子的本征矢可记为 |ei和 |gi，则 |ei,|gi 构 成一组完备集， 由完备性条件 |eihe| + |gihg| = 1， 可以把原子的哈密顿量表示为 ha= p2 2m + e|ei + g|gi(2-7) 上式中的第一项就是原子的质心动能，e和 g就是上能级和下能级的本征能 量， e+g为原子内态能。 原子质心坐标和质心动量满足对易关系xi,pj = iij(i,j = x,y,z)，xi和 pj分别代表在坐标表象下原子质心坐标和质心动量在 i 和 j 方向的分量。 原子与光场相互作用哈密顿量可以用光场矢势 a( r,t) 表示为： hl= e 2m( p a + a p) + e2 2m a2(2-8) 上式中的第二项描述光场不同模式之间的相互作用，与第一项相比常可以忽略不计。 因为矢量势中含有坐标算符 r，所以 r, p 6= 0。一般来说，原子的尺度要比光波场 小（k r 1） ，因此可以将外加光场的矢势 a（r, t）按坐标 r0（中心势场 v（r）的中心 位置坐标）展开。也就是说在处理光与物质相互作用问题时，忽略原子线度，我们可以 认为原子处于一个振幅不变的平面波电磁场中， 这就是通常所说的偶极近似 （或长波近 似） 。偶极近似有如下的数学表达式： a( r,t)= a( r0+ r1,t) = a(t)ei k( r0+ r1) = a(t)ei k r0 = a( r0,t)(2-9) 其中 r1为束缚电子相对于势场中心的位置坐标。在偶极近似下， r, p = 0， 从而原子与 光场相互作用哈密顿量简化为： hl= e m (p a)(2-10) 当光场和原子共振时，也即是 0= ，则在偶极近似下原子与光场的相互作用哈密顿 量 hl为： hl= e r e( r) = d e( r)(2-11) d = e r 为原子的电偶极矩。在本论文中我们只研究原子与光相互作用的半经典理论， 13 华 中科 技 大学硕士学位论文 把光场看成经典的电磁场。电场一般采用这样的形式表示： e( r,t) = e0cos(t)(2-12) e0和 分别表示电场的振幅和偏振方向。利用原子的完备性条件 |eihe| + |gihg| = 1， 则 原子与光场相互作用哈密顿量变为： hl=(|eihe| + |gihg|)d e0(|eihe| + |gihg|)cos(t)(2-13) =(deg|eihg| + dge|gihe|)cos(t) =(0|eihg| + 0|gihe|)cos(t) 其中 0= dege0/ 为 rabi 频率，deg= he|d |gi = d ge = |deg|ei为电偶极矩阵元， 是电偶极矩阵元的相位。利用关系式 cos(t) = (eit+ eit)/2，系统的相互作用哈密顿 量则可表示为： hl= 0 2 (ei(t)|eihg| + ei(t)|gihe|) + (ei(t+)|eihg| + ei(t+)|gihe|)(2-14) 需说明的是这里的 0= |dege0/|，(ei(t+)|eihg| + ei(t+)|gihe|) 是（随时间）快变的 量，在计算中将其忽略，这样一种近似方法被称为旋波近似。在旋波近似下，相互作用 部分的哈密顿量为： hl= 0 2 (ei(t)|eihg| + ei(t)|gihe|)(2-15) 因为 | ei = ei|ei |ei，(ei| eihg| + ei|gih e|) = | eihg| + |gih e|，则式（2-15）可表 示为： hl= (eit|eihg| + eit|gihe|)(2-16) 这里的 = 0/2 定义为 rabi 频率的一半。综上可知原子与光场相互作用系统的哈密顿 量为： h = p2 2m + e|ei + g|gi (eit|eihg| + eit|gihe|)(2-17) 2.2.2不同绘景下系统的哈密顿量 薛定谔绘景中的哈密顿量 以上是在薛定谔绘景中研究了原子与光场相互作用系统的哈密顿量，得到系统的 哈密顿量为：hs= p2/2m+0|ei+g|gi(eit|eihg|+eit|gihe|)， 根据完备性条 件 |eihe| + |gihg| = 1， 系统的哈密顿量可表示为： hs= p2 2m + 0|ei (eit|eihg| + eit|gihe|) + g(2-18) 14 华 中科 技 大学硕士学位论文 式中 0= e g，g是一个常数因子，以二能级原子的基态作为能量参考点，即取 eg= g= 0， 则有 hs= p2 2m + a|ei (eit|eihg| + eit|gihe|)(2-19) 在我们研究的系统中， 一般采用比较强的光场， 也即是rabi 频率远远大于原子动能， 这 样就可以忽略原子的动能项， 则系统的哈密顿量表示为： hs= a|ei (eit|eihg| + eit|gihe|)(2-20) 相互作用绘景中的哈密顿量 由式（2-20）可以看出系统的哈密顿量中含有时间因子，这将会在研究上造成一定 的困难（特别是对于多能级原子系统） 。接下来，我们把哈密顿量转换到相互作用绘景 下， 通过选取适当的哈密顿量来消除时间因子。光与原子相互作用的实际过程中， 光场 的频率 接近于原子的本征频率 a， 有一定的偏差， 如图 （2-2） 。图 （2-2） 中 = a ? e g ? ? a ? ?/ gea ? 图 2-2 两能级原子与单模光场相互作用 是频率失谐量。 下面， 我们介绍两种通过选取适当的自由哈密顿量来消除时间因子的方 法。 第 一 种 方 法： 取 自 由 哈 密 顿 量 为 h0=a|eihe|， 则 相 互 作 用 哈 密 顿 量 为 hl= (eit|eihg| + eit|gihe|) 转 化 到 相 互 作 用 绘 景 中，利 用 式 hi= exp(ih0t/)hlexp(ih0t/) 和 |jihk| ein|nihn|t|jihk| = |jihk|eijtikt，则可以得