（信号与信息处理专业论文）近似重构余弦调制滤波器组的设计.pdf

摘要 正交镜像滤波器组( q m f b ) n j 伪正交镜像滤波器组( p q m f b ) 已经广泛的应用 于图像、语音编码和其他的领域。由于p q m f b 是通过对低通原型滤波器进行余弦 调制得到的，所以又被称为余弦调制滤波器组( c m f b ) 。在设计子带滤波器组时 c m f b 是一个很好的选择，这是因为c m f b 可以使用快速d c t 算法实现，而且需 要优化的参数远远少于q m f b 。 本论文主要研究了子带滤波器组的设计方法，尤其是余弦调制滤波器组的设 计，论文的工作主要有如下几个部分： 第一部分，我们首先研究了子带滤波器组和余弦调制滤波器组的基本理论、 用内插法设计滤波器以及种有效的迭代算法，然后提出了一种基于此内插法和 迭代算法的c m f b 的设计方法，这种方法使需要优化的参数大大的减少，特别适 用于设计子带较多的滤波器组。最后给出了设计的例子证明算法的有效性。 第二部分，我们在研究了频率掩模法设计具有窄过渡带的滤波器的实现方法 以及一种基于余弦调制的合并法设计非均匀滤波器组的设计方法，在上述研究的 基础上，提出了一种基于掩模法和合并法设计均匀非均匀c m f b 的设计方法，这 种方法继承了上述方法的优点，非常有效。并给出了仿真实例证明算法的有效性， 最后还给出了算法的优点及其在实际应用中的注意事项。 最后对上述工作进行了总结并探讨了未来研究的方向和内容。 关键词：近似重构，线性相位，余弦调制，频率掩模法 a b s t r a c t q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r i n g ( q m f ) a n dp s e u d o - q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r i n g ( p q m f ) a r et e c h n i q u e st h a th a v eb e e nw i d e l yu s e di ns u b b a n dc o d i n go fs p e e c h ，s u b b a n dc o d i n g o fi m a g e s ，a n do t h e r s t h ep q m fb a n ki sa l s oc a l l e dt h ec o s i n e m o d u l a t e df i l t e r ( c m f ) b a n k i t so b t a i n e dt h r o u 曲ac o s i n em o d u l a t i o no fa p r o t o t y p el o w p a s sf i l t e r i ng e n e r a l ， c m fi sp r e f e r r e dt oq m fi np r a c t i c a ld e s i g nb e c a u s ec m fc a nb ei m p l e m e n t e du s i n g f a s td c t t e c h n i q u e sa n dt h en u m b e ro fp a r a m e t e r st ob eo p t i m i z e di nt h ec m f i sm u c h s m a l l e rt h a nt h a ti nt h eq m f t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ed e s i g no ff i l t e rb a n k s ，w i t he m p h a s i so nd e s i g no fc o s i n e m o d u l a t e df i l t e rb a n k s i tc o n s i s t so fs e v e r a lp a r t sa sf o l l o w s ： p a r to n ed i s c u s s e sm o d u l a t e db a n k s ，c o s i n e - m o d u l a t e db a n k ，d e s i g n i n gf i l t e rw i t h i n t e r p o l a t i o n ，m a da l li t e r a t i v ea l g o r i t h m t h e na ne f f i c i e n td e s i g no fc o s i n e m o d u l a t e d f i l t e rb a n k si sp r o p o s e d a c c o r d i n gt ot h i sm e t h o d ，t h en u m b e ro f t h ep a r a m e t e r st ob eo p t i m i z e d i s g r e a t l yr e d u c e d i ti sv e r ye f f i c i e n c yt od e s i g nt h ep r o t o t y p ef i l t e ro fu n i f o r mc m fw i t hm o r e c h a n n e l s a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h em e t h o d i np a r tt w o ，w er e s e a r c ht h ed e s i g n i n gf i l t e rw i t hf r e q u e n c y - r e s p o n s em a s k i n ga n dt h e d e s i g n i n gn o n u n i f o r mf i l t e rb a n k sw i t hm e r g i n gt h en e x tb a n k so fc o s i n e m o d u l a t e d f i l t e rb a n k sb a s e do nt h er e s e a r c ha b o v e ，w es h o wa na l g o r i t h mt od e s i g nu n i f o r ma n d n o n u n i f o r mc o s i n e m o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h em e t h o di se f f i c i e n tf o ri n h e r i t i n gt h ev i r t u eo f i t e r a l i v e ，f r e q u e n c y r e s p o n s em a s k i n g w ea l s os h o wa ne x a m p l e f i n a l l yw es h o wt h es u m m a r yo fa b o v ew o r ka n df o r e c a s to ff u t u r er e s e a r c h k e y w o r d s ：n e a rp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n ，l i n e a rp h a s e ，c o s i n e m o d u l a t e df i l t e r b a n k s ， f r e q u e n c y r e s p o n s em a s k i n g 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 盔圆垃硇同期1 2 ：! ：! ! 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的舰定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公稚论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：玉凰强：豳日期! z ：! ：! ! 导师签名： 纭丕熟日期1 2 ：兰：! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 子带滤波器组概述 在许多数字信号处理中，一个系统中通常会存在不同的抽样率，希望对抽样 率进行转换，要求数字系统能工作在多抽样率状态。近2 0 年来，建立在抽样率转 换理论及其系统实现基础上的多抽样率信号处理受到了很大的关注。其中，子带 滤波器组已经形成了比较完善的理论体系，在实际中其应用也从最初的语音处理 扩展到通信、图像编码，压缩、自适应滤波、雷达、快速计算、系统辨识、噪声消 除等许多领域。 予带滤波器组的基本结构如下图1 1 所示，。它也被称为“分析一合成”滤波器组 系统。图中的h ( z ) ，( 0 f m 1 ) 称为分析滤波器组，q ( z ) ，( 0 i m 一1 ) 称 为合成滤波器组，上m 和个m 分别是上、下采样器【1 】。 图1 1 子带滤波器组的基本结构 子带数字信号处理的概念最早是在2 0 世纪7 0 年代中期提出来的 2 - - 6 。如图 1 1 ，信号x ( n ) 通过分析滤波器组日( z ) ，分解成m 个子带信号咒( 疗) ，然后针对各 子带信号的特点分别进行处理，例如信号的压缩、编码传输等，处理后，再由各 个经过合成滤波器组g ( z ) 对子带信号进行合成，重构信号i ( ) 。 将x ( n ) 通过日( z ) 分裂成m 个子带信号，子带信号的带宽将是原来的1 m ， 因此它们的抽样率可降低m 倍。为了恢复信号，合成滤波器组g ( z ) 之前应加上m 倍的插值器。h ( z ) 的作用一方面是将x ( ”) 分成m 个子带信号，另一方面是作为 抽取前的抗混叠滤波器。g ( z ) 的作用一方面将信号重建，另一方面是作为插值后 的去除映像滤波器。 近似重构余弦调制滤波器组的设计 显然，上述的处理方法可以提高信号处理的效率，将一个信号分解成许多子 信号是信号处理中常用的方法。例如：设m = 2 ，那么图1 2 中( 2 ) 和蜀( 力的频 率特性分别为0 石2 和石，2 石，前者为低频后者为高频。设得到的x o ( n ) 是x ( 拧) 的低频部分，而( 力是高频部分。若x ( h ) 是一低频信号其抽样频率为2 0 k h z ，即其 大多能量集中x o ( n ) 内，而在而( 甩) 含有很少信号能量，每个采样需1 6 b i t 量化，这 样数据率为3 2 0 k b i t s s 。如果对x o ( n ) 仍1 6 b i t 量化，子带而( 拧) 具有较少的能量，只 用4 b i t 量化。这样总的数据量为1 6 0 + 4 0 = 2 0 0 k b i t s s 。 e ( p 。) f = 0，= 1f = 0 厂 吖 。 | o 2 7 r2 万 m 图1 2 分析滤波器组的频率响应 如图1 1 信号由x ( 胛) 分解，处理和综合得到量( 胛) ，希望z ( n ) = 章( ，z ) ，然而这个 要求是非常困难的。如果子带滤波器组系统的输入输出之间有量( ”) = x ( n d ) 的关 系，即输出是输入的纯延时，d 为延时的采样数，则称为完全重构( p e r f e c t r e e o n s t r u c t i o n ，简称p r ) 系统。此处，我们不考虑由于信号的编码和处理算法所带 来的失真，仅从滤波器组上考虑。图1 1 中i ( 以) 对x ( 丹) 的失真主要来自以下方面： ( 1 ) 混叠失真。是由于分析滤波器组和合成滤波器组的频带不能完全分开。 ( 2 ) 幅度及相位失真。是由于分析和合成滤波器组的频带在同代内部是全通 函数，其相频特性不具有线性相位。 因此我们进行滤波器组设计时的首要任务就是要减小甚至消除各种失真的现 象。各种各样的滤波器组理论都是围绕着如何消除失真、得到更好处理性能展开 的。下面我们将简要介绍一下滤波器组理论的研究发展情况。 早在2 0 世纪7 0 年代中期，子带数字信号处理的概念就被提出来 2 - - 6 1 ，主要 目的是为了减少计算复杂度、减少传输速率和节约存储单元。1 9 8 0 年j o h n s t o n 提 出了一种两通道正交镜像滤波器组( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ，简称q m f ) 7 1 ，它可 以完全消除混迭失真和相位失真，只存在微小的幅度失真，子带滤波器组才开始 逐渐受到人们的关注。到了1 9 8 6 年，s m i t h 和b a m w e l 8 提出了共轭正交滤波器 组( c o n j u g a t eq u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ，简称c q f ) ，首次实现了完全重构。接着， 在1 9 8 7 年滤波器组的发展取得重大突破：v a i a 3 ，a n a t h a n 系统地提出了m 通道政教 第一章绪论 3 滤波器组理论f 9 1 ，引入了多相位( p o l y p h a s e ) 分解的方法，对滤波器组进行分析和 设计，极大的简化了滤波器组设计的思想，为滤波器组的实现提供了一种可靠的 结构。1 9 9 2 年，k o i l p i l l a i1 zd 【1 l 】给出了余弦调制( c o s i n e - m o d u l a t e df i l t e rb a n k , 简称c m f b ) 的彭带滤波器组的完全重构条件。这些工作不但极大的推动了子带 滤波器组理论的研究，同时还为后续的深入研究提供了丰富的理论基础。 随着子带滤波器组理论的逐濒成熟，出现了各种类型的滤波器组。研究表明， 有实际意义的两通道的完全重构线性相位正交滤波器组是不存在的，也就是说功 率互补条件和线性相位条件是互不相容的。n g u y e n 和v a i d y a n a t h a n 在1 9 8 9 年提出 了一种双正交两通道的线性相位滤波器组；1 9 9 0 年，他们又提出了m 带线性相位 滤波器组，还相应的给出了一种格型分解算法 2 1 】。s o m a n , v a i d y a n a t h a n 和n g u y e n 在1 9 9 3 年提出了肘通道线性相位正交滤波器组的理论【2 2 1 。t r a nt id 研究了任意 长度、任意通道的线性相位滤波器组的理论、结构、设计方法以及在图像处理中 的应用【1 3 - 1 5 】。 另一个研究的热点是非均匀滤波器组理论。所谓的非均匀，是指滤波器组的 频带划分不是均匀的，因此这时的采样率就不是整数而是分数。在很多应用中， 需要非均匀滤波器组。比如在图像变换中，我们常常将图像分解成低频分量和高 频分量，经过多级分解以后，这里的“低频”和“高频”并不是严格的按照缈= 频率 划分的，这里的“低频”部分占有更宽的频带范围。这样采用非均匀的滤波器组经过 一次分解就可以完成，然后再根据各子带的特点进行压缩、编码，显然会更有效 率。但是由于这种非均匀的频带划分，使得整个滤波器组的完全重构特性难以保 证。1 9 8 6 年，c o x 1 5 1 提出用两个多通道均匀滤波器合并设计非均匀滤波组的思想。 但是当时完全重构的多通道滤波器组还没有很好的设计方法，所以他得到的是伪 q m f 非均匀滤波器组。h o a n gp q 和v a i d y a n a t h a np p _ 【1 6 】在1 9 8 9 年提出了完全 重构的非均匀滤波器组理论，给出了消除混迭分量的条件，但没有给出设计方法。 1 9 9 1 年n a y e b ik 等人提出了非均匀滤波器组的时域设计方法。1 9 9 3 年k o v a c e v i ej 和v e a e r l im 在他们发表的文章中给出了两个变换定理，将上下采样器和滤波器 位置等效互换，引入多相位分析，获得一个等效的滤波器，从而简化了分析和设 计。1 9 9 5 年，w a d as h i g e o 提出了在频域中设计非均匀滤波器组的方法，在确定各 滤波器的中心频率点和带宽后，单独设计每一个滤波器，以完全重构作为目标函 数用q u a s i - n e w t o n 方法优化。此方法可以得到线性相位的非均匀滤波组，但设计 过程复杂，而且不易得到频率特性较好的滤波器所得到的滤波器组是非完全重 构的。1 9 7 7 年，c h e nt ，q i u l 和b a i e 探讨了通用非均匀滤波器组的架构和应用 问题，也在这一年，“j 、n g u y e nt q 和t a n t a r a t a n as 发表了近似完全重构的非 均匀滤波器组设计方法，他们将非均匀滤波器组等效变换成均匀滤波器组，然后 利用c m f b 方法设计。l e ej j 和l e e 提出合并相邻c m f b 通道方法设计了非均 4 近似重构余弦调制滤波器组的设计 匀滤波器组，b gk o kc w 等进一步总结此方法，提出了非均匀调制滤波器组的 概念，给出了完全重构的条件，利用均匀调制滤波器合成得到，这是设计彤带非 均匀滤波器组的较好方法。1 9 9 9 年，s o n yj 1 8 等指出了非均匀滤波器组存在的一 些问题，分析了任意整数抽取因子的非均匀滤波器组完全重构必要条件。2 0 0 0 年， c h a ns c 1 9 1 提出了基于两级合并结构和c m f b 的完全重构非均匀滤波器组设 计方法，这是最新的设计方法。到目前为止，还没有人提出非均匀线性相位的完 全重构滤波器组的设计方法。 在应用方面，子带滤波器组最早是用在语音压缩编码中，正如我们在前面给 出的例子一样，采用予带滤波器组可以有效的提高压缩效率。同样的思想也被应 用到图像的子带编码中。o l i v i e re g g e r 【2 0 、j o l l nww o o d s 2 1 等在这方面做了很 多有意义的工作。同时，子带滤波器组和多速率信号处理的思想还被应用到通信( 包 括c d m a ) 系统、雷达信号处理、数字多路器以及噪声抑制等许多领域。 面： 1 2 本文的主要工作 本文受国家自然科学基金资助( n o 6 0 4 7 2 0 8 6 ) 。主要研究内容包括以下几个方 ( 1 ) 研究一种有效的迭代法优化原型滤波器的脉冲响应系数； ( 2 ) 研究了内插法设计原型滤波器、掩模法设计原型滤波器和用合并法设 计非均匀余弦调制滤波器组。 ( 3 ) 在上述研究的基础上，提出了一种基于内插法和一种有效的迭代法设 计原型滤波器，这种方法使需要优化的参数大大的减少。给出了设计的例子证 明算法的有效性。 ( 4 ) 在上述掩模法设计原型滤波器的基础上，提出了一种基于掩模法和合 并法设计均匀非均余弦调制滤波器组，并给出了设计的例子柬证明这种方法的 有效性。 具体各章节的安排如下： 第二章：概述了子带滤波器组的基本结构和理论，介绍了多相位分解理论和 n o b e l 等效理论。 第三章：介绍了多通道滤波器；在引入调制法设计m 通道滤波器下，介绍了 余弦调制滤波器组的理论及该理论下的余弦调制滤波器组的设计方法：提出了一 种基于内插法和一种有效的迭代法设计原型滤波器的余弦调制滤波器组的设计方 法，这种方法使需要优化的参数大大的减少，特别适用于设计子带较多的滤波器 组。最后给出了设计的例子证明算法的有效性。 第一章绪论 5 第四章：介绍了掩模法设计原型滤波器的方法；介绍了基于余弦调制下合并 法设计非均匀滤波器组的理论设计条件； 匀非均匀余弦调制滤波器组的设计方法， 有效性。 给出了一种基于掩模法和合并法设计均 最后给出了设计的例子来证明此算法的 第五章：总结与展望，简要总结了论文的研究工作，阐述了上述研究中的不 足和下一步工作的方向。 6 近似重构余弦调制滤波器组的设计 第二章信号的抽取与插值 多抽样率数字信号处理的核心是信号抽样率的转换及滤波器组。下亟我们将 详细讨论抽样率转换的理论和方法及子带滤波器组的一些基本概念。 2 1 信号的抽取与插值 抽取( 下采样) 和插值( 上采样) 是组成予带滤波器组的基本组成部分，由 它们来完成抽样率的转换。下面主要讨论三种情况：整数因子m 的下采样、整数 因子三的上采样、分数因子上m 的变数率。 2 1 1 下采样器 一个典型的下采样器可以用图2 1 ( a ) 所示的输入一输出关系来描述。 x ( 以) 岖卜y o ( 胛) ( a ) x ( ) 屯卜y l ( n ) ( b ) 圈2 1 ( a ) 一f - 采样器( b ) 上采样器 时刻n 的输出等于时刻m n 的输入( 图2 2 ) ，输出输入之间的关系可表示为： y d ( 疗) = x ( m n ) ( 2 1 ) 可见输出序列中只保留了那些采样序号为射的倍数的采样点，或者说是从输 入序列抽取出这样的采样点，因此下采样操作也叫做抽取。这样通过下采样就可 以达到降低采样率的目的。同时这样的操作意味着信号在时域的压缩，因此在频 域中信号的频谱将会产生相应的扩展，输出输入的频率关系可表示为 一 o ，- 2 k x 删。) = 面l 一m - 。i x 、e j 了) ( 2 2 ) 其含义是，将信号x ( 力作m 倍的抽取后，所得信号的频谱等于将原信号x ( 厅) 的频谱x ( e ，“) 先做肘倍的扩展，再在m 轴上作2 k x ( k = 1 ，2 ，m 一1 ) 倍的移位，幅 度降为原来的i i m 后再叠加。z 域关系为： 第二章信号的抽取与插值 m ) 2 吉艺k ( 眈百i ) ，矽i 勺 ( 2 3 ) 2 $ ( 口) 图2 2 m = 2 时的下采样操作y o ( n ) 一z ( o ) x ( 2 ) 工( 4 ) 7 下采样后，信号的频谱如图2 3 所示。根据抽样定理若z 2 正，那么抽样的 频谱不会发生混叠。对x ( 疗) 作m 倍的抽样得到y ( n ) ，若要保证由y ( ”) 重建x ( 疗) ， 那么要求z 2 织。在图2 3 中，上述条件没有得到满足，所以会产生混叠。 x ( d ”) 。j 入j j j 一 一2 石一万一雌0嗥12霄缈 2 r ( d - ) ， 一2 石一石一峨0q 石 2 石 国 图2 3m = 2 时的卜采样操作信号的频谱 8 近似重构余弦调制滤波器组的设计 为避免产生混叠现象，信号x ( 胛) 的频谱要限制在卜石，肘，；, r i m 】。 在下取样之前先经过一个低通滤波器，压缩其频带，如图2 4 所示， 理想低通滤波器，其频率响应为： 胪，= ：，嚣州材 令滤波后的输出为v ( n ) ，则： v ( 九) = h ( k ) x ( n - i 。1 对v ( n ) 抽取后的序列为y ( 胛) ，则： 烈九) = v ( 胁) = h ( k ) x ( m n 一七) t 。 那么： = x ( k ) h ( m n - k ) i l “ 因此，通常 h c z ) 是一个 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) y ( p 。) = 面1m 刍- i x ( e j ( a - - 2 k l t ) l m ) h ( e j ( m - 2 k x ) l m ) ( 2 7 ) 图2 4 抽取的框图 2 1 2 上采样器 上采样器可以用图2 1 c o ) 所示的输入一输出关系来描述。其实质是在输入信号 x ( n ) 的相邻两个采样点之间插入工一1 个零点( 图2 5 ) ，即： 腑) ：卜9 当呈- 整数 ( 2 8 ) l 0 其它 如图2 5 所示。x ( n ) 和y ，( 哟之间的频率关系为： y ( e 佃) = x 0 山) ( 2 9 ) y ( z ) = x ( z ) ( 2 1 0 ) 第二章信号的抽取与插值 9 式中，y ( e j 4 ) 和x ( 一。) 都是周期的，x ( e 一) 得周期是2 丌，但x ( e ，“) 的周期为 2 z r l ，r ( e ”) 的周期也为2 7 r l 。式( 2 9 ) 的含义是：在一石石的范围内，x ( 一。) 的带宽被压缩了工倍，同时产生了三一1 个映像，因此y ( e ”) 在一，r 石内包含了上个 x ( e ”) 的压缩样本。如图2 6 所示。 ( 口) ( 6 ) 图2 5 信号的插值 ( a ) x ( 栉) 原信号( b ) 插入三一1 个零后得到的_ y ( 力，l = 2 2 n - 一，r 一嗥0嗥口 2 n - 一2 ，f一口0 j l 2 n f _ d 图2 6 插值后对频率的影响 0 近似重构余弦调制滤波器组的设计 实际上，如图2 5 通过零插值的方法是毫无意义的，因为补零不可能增加信息， 有效的方法是将y ( 帕前再加一个低通滤波器。 缈，= 锰嚣州7 亿 c 为一常数，令y ( n ) 通过滤波器前的输入为v ( 力。框图为图2 7 ： 图2 7 插值后滤波框图 ( z ) 的作用有两个，一个是去除了v ( e ，。) 中多余的上一1 个映像，二是实现了 对v ( n 1 中填充零点的平滑。 框图2 7 的时域关系： ) ，( n ) = x ( k ) h ( n 一肛) ( 2 1 2 ) 2 1 3 分数倍变速 分数倍变速就是将抽取和插值相结合的抽样率转换。若希望抽样率的转换为 l m ，就是通过将三倍内插和m 倍抽取级联起来实现。如图2 8 所示： 图2 8 分数倍实现框图 因为日( z ) 既要去除v ( e j 。) 的映像又要防止抽取后的插值。 应为： ，：卜悟爿 1 0 ，其它 图2 8 的频率关系为： y ( e ”) = x ( e 脚) 因此，它的频率晌 ( 2 1 3 ) 第二章信号的抽取与插值 u ( 口”) = 矿( e ”) 日0 ”) = x ( 8 ”) 日( p ”) ：j 肼c e 血，埘n 仨，寺) b 其它 y ( e t m ) 2 玄荟u ( e j t ”2 k x ) t u ) ：g m - i lm - l 肆“飞m i n 悟万 ： 肆“飞 鲕n 悟万 【0 ， 其它 文献【2 2 】给出了信号抽取与插值的概论性介绍。 2 2 n o b l e 等效 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 在子带滤波器组理论中，n o b l e 等效【2 3 】是一个非常重要的概念，特别是在多相 位分解中，利用这种等效单元可以大大简化子带滤波器组的结构。主要有如下几 个关系。 等效一：两个信号分别被常数乘以后相加然后抽取( 插值) 等于它们各自抽 取( 插值) 后再被乘相加。 等效二：信号延迟m 个样本后作m 倍抽取和先抽取肘倍再延迟一个单位等 效。如图2 9 的( a ) 所示。 等效三：信号单位延迟后作三倍插值和先做工倍插值再延迟个样本等效。如 图2 9 的( b ) 所示。 ( a ) x c 廿，三x 固二- ( b ) 图2 9 ( a ) 等效一图( b ) 等效二幽 等效四：一个肘倍下采样器跟一个滤波器级联h ( z ) 等效于一个滤波器 月( ) 跟一个m 倍下采样器级联；一个滤波器日( z ) 跟一个肘倍上采样器级联等 效于一个m 倍上采样器跟一个h ( z ) 滤波器级联。 近似重构余弦调制滤波器组的设计 三蜴匹卜酽 ( a ) 兰盟匝卜匝p ( b ) 图2 1 0 等效四图 2 。3 多相位分解 信号的多相位分解在多抽样率信号处理中有着重要作用。使用多相位表示不 但可以在抽样率的转换过程中省掉许多不必要的计算，从而大大提高运算的效率， 另一方面多相结构还是多抽样率信号中的工具，常用于理论推导。对于任意有限 长度的序列 ( ”) ，我们都可以将其分解为m 个子序列e k ( 坊： e a n ) = h ( m n + t ) ，0 k m 一1 ( 2 1 6 ) 这样e 。( 门) 就称为厅( ”) 的i - 型肘多相位分解，其z 域表示为： ( z ) = 。m - 。- 1z 4 b ( ，) ( 2 1 7 ) 当然我们也可以令： e k ( n ) = h ( m n + m k - 1 ) ，0 k m - 1 ( 2 1 8 ) 称为矗( 疗) 的i l ，型m 多相位分解，其z 域表示为： ( z ) = = z 州“巨( ) ( 2 1 9 ) 上述多相位分解可以大大简化滤波器组的实现。例如，信号工( 哟经过滤波器 h ( z ) 再下2 采样， - i p a 有两种实现结构：图2 1 l ( a ) 是直接实现。图2 1 1 ( b ) 是多相 位分解实现。显然图2 1 1 ( b ) 结构中的滤波计算量要少于图2 i k a ) 。其中 ( z ) = e o ( z 2 ) + z 一巨( z 2 ) 。 第二章信号的抽取和插值 州j 囫廿y 1 3 砌强州 图2 1 1 多相位分解 1 4 近似重构余弦调制滤波器组的殴计 第三章m 通道余弦谓制滤波器组 上一章我们介绍了组成滤波器组的一些基本概念两通道滤波器组在小波变 换的中得到了广泛的应用，而多通道滤波器组在音频、视频分析处理也得到了广 泛应用。本章的第一节讨论m 通道的一般问题，并且弓 入调制滤波器组的基本概 念，它是一种复数滤波器组，第二节介绍余弦调制滤波器组，它是一种实数滤波 器组，第三节给出了一种有效的余弦调制滤波器组的设计方法。 3 1m 通道滤波器组 3 1 1m 通道滤波器组中的基本关系 图3 1 是一个标准的m 通道的滤波器组，图中各处信号相互之间的关系，即 丝吨至r 丝叵丑业回姐叫五 b 厅五卜业l r 了习巧( ；) ，同出! 1 r 苫i 如果设： 图3 1m 通道的滤波器绢 0 ) = x ( z ) h ，( 二) ( 3 1 ) i ：( ：) ：面 1 乞4 - 1 也( 嘭：m ，) f 3 2 ) = 嶷州：”= ”、 户圪( - - 1 ，= 面 l 台 - i ( ：f f 二脚：吒) ( 3 3 ) g k ( ：) “( 二) ( 3 ，4 ) x ( ：吮) 4 。( z j g ( ：) 女；o ，m。一m l l l l t 第三章m 通道余弦调制滤波器组 4 ( z ) = h a z i ) g a z ) ( 3 5 ) k = o 那么： 足( z ) = 4 ( z ) 鼻。嘭) ( 3 6 ) 却 我们都知道z ( z 嘭) i ：。一= x 【e 。”2 “】，即当f o 时为x ( e 。4 ) 的移位，因此 霄( p ，4 ) x ( e j 。) 及其移位的加权和。若，0 ，x e j ( ”2 “】是混叠分量，应想办 法去除。若，= 0 ， ，一l 矗( 2 ) = n a z ) o , ( z ) ( 3 7 ) i 。0 是去除失真后的转移函数。 3 1 2 调制滤波器组 m 通道滤波器组的设计有很多种方法，但总的说来，有两种，就是准确重建和 近似重建。准确重建设计需要使用复杂的非线性化优化程序，而当子带数目很多 时，滤波器的参数也相应增多。近似重建中，很多的滤波器组的设计方法都是在 最优的准则下分别设计出m 个分析滤波器，然后按一定关系得出综合滤波器。一 种简单的办法是只需设计出一个原型滤波器，然后通过对其调制来得到m 通道滤 波器组，这样简化了设计并减少了复杂性。此节先引出d f t 滤波器组，它是一种 复数调制滤波器组。 我们先分析滤波器组某一条支路的特性。假设一个低通原型滤波器的单位抽 样响应为觑坊，它的z 变换为日( z ) ，通带为q ，肘一 ，m 。设图3 1 中第女条支路 上的分析滤波器为吼( z ) ，并设： 钆( 行) = h ( n ) e j 2 “，k = o ，l ，m l ( 3 8 ) 则： 也( z ) = h ( z e l 2 “) = h ( z 哦) ( 3 9 ) 可以看出m 个分析滤波器是由厅( m 通过复数调制来得到，调制因子是： e x p ( j 2 7 r l m l m ) ，相应的频谱是对h ( e j - ) 做均匀移位得到的，每次移位2 z l m 。这 m 个分析滤波器是一个最大均匀抽取滤波器组。根据采样定理，为防止日。( e 一) 之 问有混叠，h ( e j “1 的截止频率应小于z ，m 。 设图3 1 表示的是一d f t 滤波器组。我们来讨论一下该滤波器组的计算问题， 不失一般性，对于其中的第k 条支路，其分析滤波器如图3 2 所示： 6 近似重构余弦调制滤波器组的设计 由上一章的讨论可得 图3 2m 通道滤波器组的第k 条支路 v a n ) = x k ( m n ) 矗( 月) = x ( 甩) + h k ( n ) = x ( n - m ) h ( m ) e 2 “ v a n ) = x ( m n m ) h ( m ) e 口“ ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 事实上，利用调制方法设计滤波器组的优点不仅由于其设计方法简单有效， 而且它可以利用快速傅罩叶变换，减少运算量。下面就是利用多相结构理论和d f t 减少运算量的方法。 利用多相结构，按照上一章所述，将m 倍抽取移到滤波器的前面，得到的滤 波器组如图3 3 所示，图中： 研= m r + ，r ( ，+ o 。) ，z = 0 ，1 ，m 一1 而( 甩) = x ( m n 一，) ( 3 1 3 ) p ，( 功= 厅( 万+ ，) ( 以) = 而( 玎) + p a n ) m t h ( n ) = ( h 1 2 x m i mk = o ，i ，1 m 一1 i - - 0 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 由图3 3 可以看出，在求出t l ( n ) 后，求v a n ) 时可以利用d f t 依次求出。节约 了时间。我们设原型滤波器的长度为n ，对于m 通道的滤波器组，那么p a n ) 的长 度为n m ，那么在某时刻将f ，( 功，f - 0 ，l ，m 一1 全部求出所需乘法( ，m ) m = n 次，t l ( n ) 作一个m 点的d f t ，所需乘法次数为m l g m 2 ，所以图3 - 3 所需乘法次 数的总数为：+ m l g m ，2 。 由于巩( z ) = h ( z 嘭) ，即每一个分析滤波器都是由h ( z ) 依次移位得到的，因 此设计时只需设计一个原型低通滤波器何( z ) 就可。 假设m = 8 ，h ( n ) 的长度是4 8 ，则危( 甩) ，f = o ，l ，7 的长度也是4 8 ，对图3 2 ， 假定m 倍抽取器已移到滤波器之前，如图4 3 的一条支路，那么，计算出一个v 。( 胛) 需要4 8 次乘法，将之全部求出需要3 8 4 次乘法。按图3 3 的结构，由于 第三章m 通道余弦调制滤波器组 1 7 p a n ) ，i = o ，1 ，7 的长度均为4 8 8 = 6 ，将n 时刻的f ，( 栉) ，i = o ，l ，7 全部求出所需乘 法是4 8 次，再将( 九) ，i = o ，l ，7 作一8 点的d f t 运算，所需乘法8 1 9 8 ，2 = 1 2 0 。 这样完成图3 3 的运算量一共为4 8 + 1 2 = 6 0 次。 m 点 d f t 矩阵 w 二 图3 3m 通道d f t 滤波器组 由上可以看出，设计d f t 滤波器组的方法简单，而且可以用d f t 进行运算， 使运算量大大减少，但是它是一种复数调制滤波器组，这样对实信号经过分析滤 波器处理，子带信号会变成复信号。下一节介绍一种实数调制滤波器组余弦 调制滤波器组。 3 2 余弦调制滤波器组 2 0 世纪8 0 年代初，n u s s b a u m e rh j 【3 l 】首先提出了伪q m f 的概念，后来 r o t h w e i l e rj h 【3 2 】、c h up l 【3 3 】等有对内容作了发展，形成了基于“余弦调 制”来设计m 通道滤波器组的方法，v a i d y a n a t h a np p 【3 4 对该方法作了较为详 细的讨论。余弦调制滤波器组( c o s i n e m o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，c m f b ) 的总的思路 是，若给定一个实序列的低通原型滤波器 ( ，1 ) ，令 瑶( 肛) = h ( n ) e “2 ” ( 3 1 7 ) h o - ( n ) = h ( n ) e 一“7 2 ” ( 3 1 8 ) 将二者结合起来即可得到一个实的滤波器 ( 以) = 瞄( ，1 ) + 佑( ”) = 2 h ( 门) c 。s ( 互；t r 万n ) 将日( z ) i t 另l j f i e + ( 2 k + 1 ) 7 c 2 m 的频率移位，然后相结合即可得到 h a 押) = 2 i z ( 胛) c 。s ( ! ! ：! j ；竽) ，= o ，l ，一，m l 从而产生m 个实的且是均匀抽取的分析滤波器组。 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 坚 垄! 些里塑叁垦塑堡! 鲨鎏墨垒塑塑堡 3 2 1 滤波器组构造过程 给定一个低通原型滤波器矗( 力，且h ( n ) 是实序列的，因此其幅度响应是关于 0 9 = 0 对称的，令其截至频率为+ z 2 m ，因此带宽为z m 令： p a n ) = ( 咒) 方，k = o ，l ，2 m l( 3 2 1 ) 式中，。= e 1 2 “，则对应的z 变换和频率响应分别为： t a z ) = h ( z ) ，k = o ，l ，2 m - i ( 3 2 2 ) 最0 ”) = h ( e j ( ”k x l m ) ) ，k = 0 , 1 ，2 m l( 3 2 3 ) 由于p a n ) ，k = 0 ，l ，2 m 一1 仍然是复序列，因此有： 阪( p ”) j - 1 只m t ( p ”) i ，k = o ，l ，2 m - 1 即k ”) i 和陋m - k ( b 抽) l 是关于国= o 对称的，所以将见( ) 和岛m - k ) 相结合， 产生新的滤波器是实系数的，其带宽为2 n - i m ，但p o ( n ) 的带宽仍然是n l m 。为 了保证分析滤波器组具有相同的带宽，将( 3 2 1 ) 式的移位方式稍作改变，可以得 到如下一组新的滤波器： 窖l ( ，1 ) = 域咒) z + o s ) n , k = o ，l ，2 m 一1 q ( z ) = 日( z 降嚣” ) ，k = o ，l ，2 m i o k ( p 。) = h ( e 州+ o 。7 “) ，k = o ，1 ，一，2 m 一1 并且有l q ( e i m ) 卜i q 2 m - i - k ( e - - ) l 。 将q k ( n )q 2 m - k ( 帕相结合，令： 巩( z ) = c - l ( z w 名, ”) = q q ( z ) v a z ) = c ：( z 纾篙“5 ) = q 2 m - l - k ( z ) 式中，c k 是模为1 的常数，令： h a z ) = 吼以( z ) + k ( z ) ，女= o ，l ，m 一1 式中t 吼也是模为1 的常数。由于： 一， 日( z ) - - z l l ( n ) z ” n f f i 0 是f i r 实系数低通滤波器，那么由式( 3 2 9 ) 得到的： ( 3 ，2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 第三章m 通道余弦调制滤波器组1 9 峨= ( n ) z - l k = 0 , 1 ，m - 1 n ，劬 也是f i r 的，且他们具有相同的阶次。并且由于以，圪，q ，嚷的共轭特性，吃( h ) 也 是实系数的。显然，风( z ) 是低通的，h 。一，( z ) 是高通的，其余则是带通的。 可选择： g r z ) = 以u l ( z ) + k ( 2 ) ，k = o ，l ， f l ( 3 3 0 ) 作为综合滤波器。式中，巩是模为1 的常数，g o ( z ) ，g 0 一，( z ) 和 h o ( z ) ，f 0 一。( z ) 具有相同的幅频响应。式( 3 2 7 )