（应用数学专业论文）二阶非线性方程及方程组解的存在性和应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 二阶非线性方程及方程组解的存在性和应用 摘要 非线性泛函分析是应用数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界 中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性边 值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前分析数学中 研究最为活跃的领域之一其中，在具体应用数学模型和物理背景的基础上提 取出来的多点边值方程问题和脉冲方程具有重要的理论意义和应用价值本文 利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论并结合上下解方法等，研究了几类奇异 非线性微分方程，方程组，脉冲微积分方程解的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章； 在第一章中，我们利用拓扑度理论，讨论了一类二阶m 点边值方程组问 题 一t ”+ q t 上= o ( t ) ，( ，”，n u ) ，z ( 0 ，1 ) ， 一t ， + 声t ，= b ( t ) g ( t ，u ，t 2 t t ) ，( 0 ，1 ) ， m - 2 m 一2 钍( o ) = a i u ( ( i ) ，珏1 ) = 趣珏( 跳 ) i = 1i = 1 m - 2m - 2 口( o ) = q ( 6 ) ， ( 1 ) = d i v ( e i ) 正解的存在性，其中n ( ) ，b ( t ) c ( ( o ，1 ) ，r + ) nl 1 ( 0 ，1 ) ；，g c ( j r + r + ，r + ) ，j = 0 ，1 1 ，s ( t ，0 ，0 ) = 9 ( t ，0 ，0 ) = o ；口，卢 一7 r 2 ，0 e l ( m 一2 l ，a i ，b i ，岛，d i f 0 ，+ o o ) ( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ；a ( t ) ，6 ( ) 在t = 0 ，1 处有奇点 ， 伍钮) ( t ) = ( t ，s ) 凹( s ) d s ， ，0 其中( t ，8 ) c d ，r + 】( i = 1 ，2 ) ，d = ( z ，8 ) l0 8 t ) 在，g 关于第二个变 元次线性或者超线性的条件下，我们得到了至少有一个正解本章研究的方程 类型本质的推广了文 9 】所讨论的方程类型 曲阜师范大学硕士学位沦文 在第二章中，利用锥理论和单调迭代技巧研究了如下初值问题 f 牡 = ，( 烈u ，t u ，s t l ) ，d = 【0 ，口】，尹t 七， ja u l t ：t = k ( 1 i ( t k ) ，u m 七) ) ， 1 呲钆) ) 惫_ 1 ，2 ，仇 0 卜( o ) = “( o ) = x l 解的存在性，其中算子t ，s 分别是v o l t e r a l 型和f r e d h o l r n 型算子在上解 或者下解存在性的条件下，我们得到边值问题( 2 o ) 最大解或最小解存在性结 果 在第三章中，研究了奇异二阶三点边值问题 lu ”( ) + ，( t ，让( ) ) = 0 ，0 t 1 ， tu ( 0 ) _ 0 们) ：刚砒 ，。巾 其中0 卢 1 ，0 叩 一7 r 2 ，0 ( 1 ( 击一2 【0 ，+ 。) ( i = 1 ，2 ，仇一2 ) ；口( ) ，6 ( t ) m a yb es i n g u l a ra t t = 0 ，1 ( 互酬归z 。坼s ) 吣) 如 i nw h i c hk i ( t ，s ) c d ，r + 】( i = 1 ，2 ) w h e r ed = ( 瓦s ) 10 s 味u n d e r t h ec o n d i t i o n so f ，ga r es u p l i n e a ro rs u b l i n e a r ，w eo b t a i na tl e a s to n ep o s i t i v e 8 0 l u t i o n t h ep r o b l e mw ei n v e s t i g a t e di sm o r eg e n e r a lt h a nt h a ti sc o n s i d e r e d i nf 9 1 ，a n do u rr e s u l t sg e n e r a l i z ea n de x t e n dp r e v i o u sr e s u l t si nt h e f i e l d t i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ec o n et h e o r e ma n dm o m o t o n ei t e r a t i v et e c h 。 n i q u e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no ff o l l o w i n gs e c o n d o r d e r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： j = 【0 ，a j ，t t k ， 七= 1 ，2 ，m ， ( 2 0 ) w h e r eti sv o l t e r a lo p e t a t o ra n dsi sf r e d h o l m w i t ht h ee x i s t e n c eo fs u p e r s o l u t i o no rl o w e rs o l u t i o n ，t h em a x i m a lo rm i n i m a ls o l u t u t i o nc a nb eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，f o l l o w i n gs e c o n d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m f 乱 ( ) + l ( t ，牡( ) ) = 0 ，0 t 1 ， l 让( o ) = 0 ，钆( 1 ) = p u ( 卵) ， ( 3 0 ) i sc o n s i d e r e db ym e a n so fi t e r a t i v et e c h n i q u ea n df i x e di n d e xw h e r e0 p 1 ，0 叩 1 ，f m a yb es i n g u l a ra tu = 0 a n dt = 0 ，1 u n d e rs o m ec o n d i t i o n s c o n c e r n i n gn o n l i n e a rt e r m io n ep o s i t i v es o l u t i o nc a l l b eo b t a i n e d k e y w o r d s ：m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；m o m o t o n ei t e r a t i v e ；e q u a - t i o ns y s t e m ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l i n t e g r oe q u a t i o n ；t h r e e ，p o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；f i x e dp o i n t ；c o n e 0 l ”砖坟班枣以 - ： 吼 材 以 z d 埘 = ，心吣 ，($k， 驰 i l ：。 肥 矿 一 ll比川 ll吼u以 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文二阶非线性方程及方程组解的存 在性和应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明 确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 储貅棚氛吼捌绎f 月哆 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 二阶非线性方程及方程组解的存在性和应用系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归 曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全 了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范 大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部 分内容 作者签名： 纠佑吣期；沙弼穸乡 导师签名：日期： 第一章一类二阶m 点边值方程组问题的正解 1 1 引言 由于二阶多点边值问题理论上的发展和潜在的应用，许多作者致力于这一 方面的研究并得n - f 大量的关于正解存在的结果，见文f 1 5 】及其参考文献 最近，文【6 】研究二阶三点边值问题 其中0 f ( 0 ，1 ) ，7 7 ( 0 ，1 ) ，q 卵 - t r 2 ，0 ( 1 ( m 一2 0 ，仍( o ) 0 令 似如，= 赤燃鬈蓦囊 众所周知，线性边值问题 一乱”( t ) + a u ( t ) = 0 ，u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 一u ”( t ) + p ( t ) = 0 ，v ( o ) = v ( 1 ) = 0 分别具有g r e e n 函数g 1 ( ，s ) ，g 2 ( t ，s ) 3 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 引理1 2 4 ( 9 】g ( ，s ) ( i = 1 ，2 ) 具有下面的性质： i ) g i ( 友8 ) 0 ，t ，s ( 0 ，1 ) ； i i ) g ( t ，s ) c ；g i ( s ，s ) ，t ，s 0 ，1 】，_ p i ( t ) c i ，砂 ( ) c i ，t 【0 ，1 】； i i i ) g ( t ，8 ) 5 i g i ( t ，t ) g i ( 8 ，s ) ，t ，s 【0 ，1 】，妒i ( ) 5 i g t ( ，t ) ，妒i 5 i g i ( t ，t ) ，t 【0 ，l 】，其中，若q 0 ，则c ：= 1 ，5 i = ? o ，若q = 0 ，则 c 1 21 ，6 l2 1 ；若一7 1 - 2 g 啡r a i n d 】鼬，f ) g ( s ，s ) 狐赢掣- - c r i g i ( 椭吲e 勰即f 0 l 】， 其中厩= m i n t e c ，d 1g ( t ，z ) 0 ，仉= 警 0 ，i = 1 ，2 为了方便，我们作以下假设： ( 肌) m 一2 竹l 一2l r n 一2 m 一2 妒t ( 白) 1 ，咖，( 白) 1 ，c j 妒2 ( ( j ) 1 ，咖2 ( 白) 1 ， j = 1j = l j = l j = l ( 飓) a 1 = a 22 2 垆( 白) 歹m ：m 1 2 幻妒l ( 白) 一1 歹m ：- 1 2 勺妒2 ( 白) j m ：- 1 2 西妒2 ( 白) 一1 4 与2 呵矽- ( 白) 一1 篙2 如妒，( 白) 篙2 勺妒2 ( 白) 一1 篙2 嘭咖( ( j ) 0 ， 0 ， 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 凰) = 嚣躏1g - ( t ，s ) 。( s ) d s jh 一汹 0 厶 ： 孢 = 第一章一类二阶i n 点边值问题方程组的正解 分别具有唯一解u ( ) ，勘( t ) ，它们分别由下式给出 其中 牡( ) = j 5 0 1 g 1 ( 君，s ) 叼( s ) 如+ a ( ? 7 ( s ) ) 妒，( ) + b ( 叼( s ) ) 矽z ( ) ， 吣) = z 1 g 2 s ) 如) d s + c s ) ) 谳昧( s ) ) 似九 a ( 叩( s ) ) = b ( 刀( s ) ) = c ( ( s ) ) = d ( f ( s ) ) = l 1 1 a i 1 a 2 1 a 2 ；2 詹g - ( 白，s ) 叼( s ) 矗s 凳。勺妒( 白) 一1 蹄2 易fg 1 ( 白，s ) 叼( s ) d s 蹄2b 矽- ( 白) 等口j 妒l ( 白) e j la j g t ( 白，s ) 叼( s ) d s 篙2 乃p t ( 白) 1 高2 如詹g z ( 岛，s ) 露( s ) 如 j ：1 m - 2c j 片g 2 ( 白，s ) f ( s ) 如凳，c j 妒2 ( g ) 一1 答2 面对国( 白，s ) 荨( s ) 凼篙2 匆锄( 白) j m ：- ，2 勺妒2 ( 白)。c j 片g z ( 白，s ) ( s ) d s 篙2 奶妒z ( 白) 1 j m ：- 。2 呜爿g z ( 白，s ) f ( s ) d s ( 1 2 4 ) 显然，如果函数7 7 ( t ) ，d t ) c o ，1 1 ，7 7 ( ) ，f ( 亡) 芝0 ，那么由上面的引理可得出 b v p ( 1 2 3 ) ，b v p ( 1 2 。4 ) 的解珏( t ) ，v ( t ) 0 注1 2 1 设函数h ( s ) c o ，1 】，若存在常数 如 0 使得h ( s ) m o ，那 么，a ( o ( s ) 九( s ) ) a ( o ( s ) ) 现在我们考察b v p ( 1 0 ) 6 反 一d卸一甜 ，j、， 钉 剐：，+ = ；h 一 z = 抛 = 移 一 “ 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 2 7 向量( t t ，咎) c 2 ( o ，1 c 2 i o ，1 】是b v p ( 1 0 ) 的一个解当且 仅当( i t ，v ) c o ，1 】c o ，1 】是下面积分方程组的解： 让( ) = g l ( t ，s ) a ( s ) f ( s ，移( s ) ，乃秽( s ) ) 如+ a ( a ( s ) f ( s ，u ( s ) ，正u ( s ) ) 妒t ( ) ，0 + b ( 口( s ) ，( s ，刀( s ) ，互移( s ) ) ) 妒l ( ) ，t 【0 ，l 】， ，1 1 v ( t ) = g 2 ( ，s ) 6 ( s ) 夕( s ，“( s ) ，死( s ) ) 幽+ c ( 6 ( s ) 9 ( s ，珏( s ) ，疋( s ) ) ) 忱( ) ，0 + d ( 6 ( s ) 9 ( s ，乱( s ) ，疋( s ) ) ) 仍( z ) ，t ( 0 ，1 j 【1 2 5 ) 根据引理1 2 6 很容易得此结论 令e = zlz c o ，1 】) ，p = ( z elx ( t ) 0 ，t 【0 ，1 j ) ，p 1 = ( z p m i n t c ，田x ( t ) , 7 1 1 2 1 1 ) ，众所周知，在范数忪 l = m a x t e o ，l jl z ( ) i 意义下， e 是一个b a n a c h 空间，p p l 是b a n a c h 空间e 中的锥 定义算子t ：p 1 - - 4e 如下： t u ( t ) = z 1g t ( t ，s ) 口( s ) ，( s ，z 1g z ( s ，丁) 6 ( 丁) 9 ( 丁，u ( 下) ，正u ( r ) ) d 丁 + c ( 6 ( 丁) 虿( 7 - ) ) 妒2 ( s ) + d ( 6 ( 丁) 虿( 丁) ) 砂2 ( s ) ，孔钞( s ) ) d s + a ( q ( s ) 灭s ) ) 妒l ( ) + b ( a ( s ) 氕s ) ) 砂- ( ) ， 其中 钞( s ) = g 2 ( s ，丁) 6 ( 丁) 9 ( r ，u ( 丁) ，乃仳( 丁) ) d 丁+ c ( 6 ( 丁) 夕( 7 - ，乱( r ) ，疋u ( 下) ) ) 妒2 ( s ) + d ( b ( r ) g ( t ，u ( r ) ，噩缸( 丁) ) ) 砂2 ( s ) ， 氕s ) = ，( s ，f 0 1a 2 ( ) 6 ( r ) 9 ( 础( 丁) ，疋u ( 丁) ) d 丁+ g ( 6 ( 丁) 夕( 丁，u ( r ) ) 妒2 ( s ) + d ( 6 ( 丁) 9 ( 丁，缸( r ) ) 如( s ) ，7 1 秽( s ) ) ， 歹( r ) = 夕( 丁，u ( 丁) ，死让( 丁) ) 7 第一章一类二阶m 点边值问题方程组的正解 引理1 2 8 算子t ：p l _ e 是有界全连续算子，并且丁( p 1 ) p 1 证明i ) 分别定义算子凰，k l ，r ，f l ，a 和b ：p l _ e 如下： 蠡，0 珏( t ) = g ( ，s ) a ( s ) u ( s ) d s ，vt 【0 ，1 】，让c o ，l 】， j 0 ，1 k l u ( t ) = g ( ，s ) 6 ( s ) “( s ) 幽，vt 【0 ，1 】，“c o ，1 】， ，0 五( 亡) = a 0 ( s ) 氕s ) ) 妒。( t ) ，b u ( t ) = b ( o ( s ) 氕s ) ) 矽。( t ) ， f 1 u ( t ) = 歹( z ) ，f o u ( t ) = ，( t ) ， 其中，( t ) ，歹( t ) 由( 1 2 6 ) 式给出那么， t = k o f o + a + b 根据【1 2 ，l e m m a3 1 】的证明方法，易证明算子，k - 是全连续的有界算子 根据函数，和夕的连续性，可以证明算子r ，r 是全连续的有界算子同样 地，算子a 和召也是全连续算子所以，算子t ：p 1 _ e 是全连续的 i i ) 由算子t 的定义可得， t u ( t ) o 1 g ( p ，s ) f ( s ) d s + 盯a ( 8 ( s ) 灭s ) ) 汐。( ) + a b ( a ( s ) 氕s ) ) 砂t ( ) ，0 盯丁u ( 弘) ，vt 【c ，d 】，p 【0 ，1 】， 这样就有， m i n 。t u ( t ) l i t uj 1 t e c ，d 】 一。 所以，r 只cp 1 证毕 引理1 2 9 若札o p l 是算子丁的不动点，那么向量( u 0 ， o ) 是b v p ( 1 2 5 ) 的一个正解，其中v 0 由式子( 1 2 6 ) 给出 1 3 主要结果 8 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 3 1 若假设( ( 日- ) ) 一( 风) 成立，并且下面条件成立： m l m 7 2 l a l 4 l ， 4 1 l 1 l 2 m 1 口如+ 芝c ( 6 ( r ) ) + 哇d ( 6 ( 7 一) ) 】+ c * i l , l 2 m 2 十c ；c ( 6 盯) ) + 呸d ( 6 ( 丁) ) a ( o ( s ) ) + b ( n ( s ) ) s1 ， 那么，b v p ( 1 0 ) 至少有一个正解 证明i ) 由l l 和l 2 的定义可得，存在常数6 l 0 使得 ( 1 ：3 1 ) ( 1 3 2 ) f ( t ，让， ) l l u ，g ( t ，u ，v ) l 2 u ，v t 【0 ，1 】，钉【0 ，r o ， t t 【0 ，6 1 】( 1 3 3 ) 又因为9 ( t ，0 ，0 ) = 0 ，算子孔连续，存在常数5 2 0 使得 令 互v ( t ) r o ，v 陋| | 如 = 珏el 珏| 6 ， ( 1 3 4 ) 其中6 = m i n s l ，如 ，则q 6 是b a n a c h 空间e 中的有界开集，并且p q 6 我们证明 l i t 翟l l m l m 2 l 3 l 4 4 墨 4 g 2 ( s ，丁) 6 ( 丁) g ( 丁，“( 丁) ，t 2 扎( 丁) ) d 丁 l u l l i l u l l ，v 牡p 1n 勰r ， h t u t l 1 1 u 1 1 ，v 让最n o g t r 由引理1 2 1 ，b v p ( 1 0 ) 至少有一个正解 推论1 3 1 若l 3 = l 4 = + o 。并且l l , - - l 2 = 0 ，那么，b v p ( 1 0 ) 至 少有一个正解 1 1 第一章 一类二阶m 点边值问题方程组的正解 其中 定理1 3 2 若假设( 日1 ) 一( 风) 成立，下面条件满足： pw 0 ，7 1 0 使得 ，( s )= 小，1g 2 ( 蹦) ) 夕( 丁，让( 丁) ，疋( 丁) ) d 丁+ c ( ) 歹( 丁) ) 以s ) ( 1 3 6 ) + d ( 6 ( 7 - ) 歹( 7 ) ) 妒2 ( s ) ，五抄) l ，f o a z ( s ，( ) 妣珏( 丁) ，死缸( r ) ) d 丁+ p ( 万( 丁) ) 妒。( s ) ( 1 3 7 ) + d ( 6 ( 丁) 歹( 7 ) ) 矽2 ( s ) + 加， 夕( 7 | ，u o - ) ，瓦钍( 7 ) ) l s u ( r ) + 1 ，vu 尸1 我们证明 s = ( u p 1lt u = a u ，入1 ) 是p l 中的有界子集合设u s ，那么，存在常数入1 使得 u ( t ) = 支1 丁姐( 亡) = 令 去 z 1g - ( ，s ) n ( s ) 厂( s ，z 1g z ( s ，丁) 6 ( 丁) 夕( r ，u ( 丁) ，死也( 丁) ) d 丁 + c ( 6 ( 下) 虿( 丁) ) 眵2 ( s ) + d ( 6 ( 丁虿( 丁) ) 妒2 ( s ) ，a 钞( s ) ) 幽 + a ( 。( s ) 氕s ) ) 妒( t ) + b ( 。( s ) 氕s ) ) 螂) 五= 妻z 1g m s ) n ( s ) 小，f o g 2 ( s ，巾( 咖( 础( 丁) ，死让( 丁) ) d 丁 + c ( 6 ( 丁) 虿( 下) ) 妒z ( s ) + d ( 6 ( 丁) 虿( 丁) ) 姒s ) ，n 秒( s ) ) d s ， 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 那么， 且 以= 亡【a ( n ( s ) 歹( s ) ) 妒- ( t ) + b ( o ( s ) ，( s ) ) 矽( t ) 】， u ( t ) = j 1 + j 2 ， 。 以s 去z 1g m j s ) 。( s ) l ，f o a 2 ( s ，啪( 丁) 9 ( r ，u ( 丁) ，正u ( 丁) ) d 丁 + c ( 6 ( 丁) 虿( 丁) ) 妒z ( s ) + d ( 6 ( 丁) 虿( 丁) ) 妒z ( s ) + 帕) d s 去z 1g 心，s ) 。( s ) l ，0 1g 2 ( s ，丁) 6 ( 丁) ( 幻如) 怕) d 丁 + ( l 8 l l u l l + ，y 1 ) 呓( c ( 6 ( 丁) ) + d ( 6 ( 7 ) ) ) + 7 0 d s 妻尬钧+ ：lf o g ( 如) 口( s ) l ，m 2 l 8 + 尥，y t + 畦8 l l u i i ( c ( b ( 丁) ) + d ( 6 ( 丁) ) ) + c ；7 l ( c ( 6 ( 丁) ) + d ( 6 ( 7 ，) ) ) d s x 17 3 + l l u l l 妻p ，让s 其中 加：m 。l 7 7 , 3 o + l m 2 + 甾( c ( 6 ( 丁) ) + 。( 6 ( 丁) ) ) ) ， 加= m t + 甾( c ( 6 ( 丁) ) + d ( 6 ( 丁) ) ) ) ， j 口= m l l 7 l 8m 2 + c ；( c ( b ( 下) ) + d ( 6 ( 丁) ) ) 由( 1 3 7 ) 式， 氕s ) 冬l ， 尬( l s l | + 7 。) + 4 ( l s i l u | l + 7 - ) ( c ( 6 ( 丁) ) + d ( 6 ( 丁) ) ) + 加 = l 7 l 8 + c ；( c ( 6 ( 7 一) ) + d ( 6 ( 7 - ) ) ) l i t 正l l + l ， 7 t + c b t ( c ( 6 ( 7 ) ) + d ( 6 ( 下) ) ) + 拍 这样就有 如= x 1p ( n ( s ) 冗s ) ) 妒。( t ) + b ( n ( s ) 氕s ) ) 矽( t ) 去讹+ i l 去矿，v u s ， 1 3 其中 饥= c ： a ( 。( s ) + 口( 。( s ) il l ，( 7 + 霞7 ( c ( 6 ( r ) 夕) + d ( 6 ( 丁) ) ) ) + 伽 ， 矿= 西己7 厶； a ( 。( s ) + b ( q ( s ) 】 + 芝( c ( 6 ( 7 一) ) + d ( 6 ( f ) ) ) 因为a 1 ，可得 u ( ) 舶+ 饥+ ( p + 矿) 1 1 u i i 竹+ 饥+ ( | p + 矿) 仃蜒m 【。i ，n d ju ( 。) ，v 。 0 1 】，t 正s 根据条件( 1 3 6 ) ，知道 【c m i n d lu ( 。) m ，v u s ， 其中m = 端是一固定常数因而， 怯t l - 翱r a i ，d 】n 雄) 扣 这意味着s 是最中的有界集令 r = s u p u 只la u = t u ，a 1 ) ， q 元= 也p ll i l u l l 只) ， 那么由集合s 的定义，t z = p z ，z a q 豆辛p 0 ( r ) 使得 其中 i ( t ，q ，nr ，p 1 ) = 0 ， q ，= u p l 珏i i 7 ，7 6 ) 它的证明与定理1 3 1 相仿所以， i ( t ，p 1nq 豆瓯，p 1 ) = i c t ，p 1nq 元，1 i ) 一i ( t ，只nq r ，p 1 ) = 1 0 = 1 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 这样，b v p ( 1 0 ) 至少有一个正解 推论1 3 2 若假设( 日1 ) 一( h 3 ) 成立，l s = l 6 = + o o 且l t = l 8 = 0 ， b v p ( 1 0 ) 至少有一个正解 注1 3 3若假设( 日1 ) 一( 凰) 成立，当厂，9 关于第二个变元是超线性或 者次线性时，b v p ( 1 0 ) 至少有一个正解 1 4 例子u p- 下面我们给出一个具体的例子来说明我们结论考虑下面的三点边值方程 组问题b v p ( 1 4 1 ) “= 万1 雨1n 可丽杀丽nu 4 卅“ 南舢可靠山矿 艇哦4 u c 。，= 互1u ( 圭) ，u c l ，= 亏1 扎( 丢) ， c 。，= 五1 ( 圭) ，u c l ，= 5 1u ( 去) ， 其中( 古，s ) c ( d ，r + ) ( 1 = 1 ，2 ) ，d = ( ，8 ) j0 s z 1 ) ，那么， b v p ( 1 4 1 ) 至少有一个正解 证明令 。( t ) = 万1 ，邢，也，u ) = 1 - - 毛u 2 1 - 丽1 让2 + 让4 ， = 磊1 ，m 乱，u ) = 1 - - - ! - - u 3 + 而1 l + t 札；- a t - u 5 , 2 石，m 乱，u ) _ 而札5 m = 3 ，口。= 丢 6 l = j 1 ，c - = 丢d l = 5 1 ， 0 使得 f ( t ，z ，可，1 1 , ，u ) 一( ，z 。y ，“，u + ) m ( y 一可+ ) ， 其中 l k ( x ，y ) i k ( x ，y ) ，以( r ) k ( z ，) ，青一1 2 ，m ， y o ( t ) z z z o u ) 端( f ) y + s 矽 z j ( ) v y o ( t ) 扎+ u t z o ( t ) ，s y o ( t ) su + u s z o ( ) ，t z 曲阜师范大学硕士学位论文 g 3 ：存在非负常数。七，乩使得 l i i 七( z ，y ) 一i k ( x + ，可) | | a k l l x z + l l + 6 七l l y y + i l ，z ，y ，z + ，y + e 显然地，本章中考虑的脉冲微分方程类型( 2 0 ) 要比上面介绍的广泛本文借 鉴文【2 2 】的研究方法，减弱了 2 2 】的条件g 2 ，深化了他的结果，在只有一个 上解或者下解的条件下得到了问题( 2 0 ) 解，并得到了迭代序列 2 2 预备知识 在下面的讨论中，令j = ( 0 ，1 】，0 = t o t l t 2 t m t i n + l = 1 ，以= ( 如，惫+ l 】，k = 0 ，1 ，2 ，m ，j 7 = j t 1 ，t 2 ，m ) ， 一嗡m a s x m t k + t - - t k ”雄) = o 。础 s ) 小) 旭剐归z 1 呻，s ) 小) 如 。其中 k ( t ，s ) c d ，r + 】，h ( t ，8 ) c j zr + 】，d = ( ，s ) l o s t 1 ) 假设( e ，”f f ) 是一个实b a n a c h 空间e 中的非空闭凸集p 称为锥，如果它 满足：i ) a 尸p a 0 ；i i ) 尸n 一尸= p ) 关于锥理论，可参阅文献【1 3 1 6 】， 为了方便作下面的记号： c 【ze 】= u lu ( t ) ：j 斗e 连续) ， p c i j e 】= “l 让( ) ：以- a e 连续，“( 毒) 存在，七= 1 ，2 ，m ) ， p c i ze 】= u i 乱( t ) ：j k _ e 连续可微，且，讹) 存在，k = l ，2 ，m ， c 2 f ze 】= 珏i 珏”( ) ：了一e 连续) 令足= z p c i j , e 】lz o ) ，p + = 夕e i 夕( z ) 0 ，z p ) ，我f 知 道，若尸正规，则r 正规 1 9 第：蕈 一类抽象的混合型脉冲微积分方氍初值问题的解 引理2 2 1 【2 4j 假设u p c i j ，e 】足有界集合，并f l 在以( 七= 1 ，2 ，r n ) 上 等度连续，则 ( u ) = q ( f 川= s u i ) 恤( 让( z ) ) | 味 其中口表示k u r a t o w s k i 非紧性测度，u ( j ) = 祝( z ) e “以f j ) ，u ( t ) = u ( z ) e iu u ) ，t j 现在我们考虑( 2 0 ) ，首先给出下面的假设 ( h i ) ：存在向量函数l t o p c ime 】nc 2 【l ，1 2j 满足： l 扎：；i ( t ，u o ，乱：，t u o ，s u o ) ，t j = 【0 ，1 】，t t 七， ia u o l , ：i = i k ( u o ( t k ) ，u ：( c 七) ) ， ia 4 1 , ：。足( u o ( 七) ，乱；( ) ) ，尼= 1 ，2 ，m ， l l “( o ) = z o ，札j ( o ) ：n 我们称让。是( 2 0 ) 的下解 ( ) ：存在非负函数船( z ) ，( ) ，l ( t ) 使得 y ( t ，i t ，1 3 ，w ，2 ) 一( t ，i t + ，u + ，w 4 ，孑) 一m ( ) ( 乱一u ) 一| ( ) ( u ? j ) 一l ( z ) ( 训一+ ) ， 其中 u o ( t ) 儿+ u ，u ：( ) 钉+ 茎 l j 7 u o ( ) 冬w 冬1 ，s u o ( ) z + 2 ( 风) ：存在非负常数l 七，l * k ，c k 使得 ( z ，z ) 一e ( z ，( z + ) ) l k ( x z + ) l ：( z 一( z ) ) ， 0 l k ( x ，z ) 一l k ( x z + ) ) 冬e 七( z 一( z ) ) ， 其中 u o ( t ) z z u ( z + ) z 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 4 4 ) ：存在非负常数纵，“使得 l i k ( x ，y ) 一厶( z + ，可| l o 七l i z z i i + b k l l y 一可f i ，z ，z + ，y ，y e ( 1 t 5 ) ：存在向量函数h ( t ) c 【z e 】和常向量q 七使得 i ( t ，i t ，“7 ，t u ，s u ) ( f ) ，厶( u ( 靠) ，牡( 如) ) q 七，u o ( t ) “( 亏) ，乱： ) u 7 ) ( 风) ：存在常数d l ，d 2 0 使得 a ( i c t ，b 1 ，b 2 ，t b l ，s b l ) ) d l a ( b 1 ) + d 2 a ( b 2 ) ， 其中b l ，玩是b a n a c h 空间e 中的有界集 记q = 让p c i 【ze 】nc 2 ( ，吲f “( t ) 2t i o ( ) ，t l 讹) 钍：( t ) 在脉冲微 分方程( 2 0 ) 中，令z = 姐，则( 2 0 ) 变为如下的问题： t 上，= z a u l t ：t 。= 厶( u ( 如) ，z ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，仇， z = ，( t ，缸，z