（应用数学专业论文）分数阶微分方程的稳定性.pdf

2 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声鼹：我悔守学术遵德，豢逍严谨学风。艨呈交的学位论文， 是本人在导烬瓣摆鼯下，独立避 于磺究工终骚取 寻骢或果。除文中已职穗注 骤鄹g l 受敬起骞辨，本论文不包含媸何其 也个人或集体既经发表或撰写过的 作品及成皋的内容。论文为本人亲自撰黧，我对所骂豹内容负责，并完全意 识到本声明的法律缕果由本人承担。 学位论文作糟签名：俞瞵 网期国叶年坟月劫日 3 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文 乍者究全7 解学校青必傈警、使雳学位论文熬麓定，遐意学校 保謦井自潜家露关帮 j 袋槐梅送交论文熬复翠馋翻瞧子舨，龛诤论文被查阂 或偻阙。本人授权衮华大学可以将本学锭论文戆全郏或黟分内容缡入有关数 据瘁进圣亍捡索，可以采震影印、续印或 曩撼等复豢8 手段像夺郡五缡零学位论 文。 保密口，在 本学位论文属予不保密 学位论文作者缀名： 念铰 日期：￥年明w 目 年解密艏适用本版权书 指导教师签名 加刷 日期：o 一9 年t l 月h 日 1 摘要 在这篇论文中，我们把经典阶微分方程的有关理论推广到分数阶微 分方程的情形。首先，通过对l i p s c h i t z 条件的一个改进，推广了分数阶微分 方程解的存在性的现有结果。这个结果将在j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i s a n da p p l i c a t i o n s 上发表。 第二，我们还给出了分数阶微分方程的解关于它的导数阶数连续依赖性 的估计式，利用这一估计式可以用来求得某些分数阶微分方程的近似解。这 个结果总结在我们的文章2 1 中。 第三，我们利用l a p l a c e 变换和带奇性的g r o n w a l l 不等式研究了分数阶 线性系统和一些线性扰动系统的稳定性，并得到了线性系统稳定的充分必 要。这些结果总结在我们的文章 1 】中。 关键词：分数阶微分方程，存在性，线性系统，稳定性 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r s o m eb a s i ct h e o r yf o rf i r s to r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 毡 g e n e r a l i z e dt ot h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t ，b yu s i n gas u i t a b l e e x t e n s i o no ft h el i p s c h i t zc o n d i t i o n ，w eg a v eag e n e r a lr e s u l to fe x i s t e n c e ，w h i c h e x t e n d e dp r e c e d i n gr e s u l t s 。t h i sr e s u l ti np a p e r3 ，t ob ep u b l i s h e di 矬j o u r n a l o fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ， s e c o n d lw eg i v ea ne s t i m a t ea b o u tt h es o l u t i o nd e p e n d e n c eo nf r a c t i o n a l o r d e r ，u s i n gt h ee s t i m a t et oo b t a i ns o m ea p p r o p r i a t es o l u t i o nf o rs u c h d i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s s u c hr e s u l t sa p p e a r e di np a p e r2 t h i r d ，w eu s e dl a p l a c et r a n s f o r ma n dg r o n w a l li n e q u a l i t yw i t hs i m u l - t a n e o u s l yt os t u d yt h es t a b i l i t yo ff r a c t i o n a ll i n e a rs y s t e m sa n d i t sp e r t u r b e d l i n e a rs y s t e m s ，t h e no b t a i n e ds o m ei n t e r e s t e dr e s u l t s t h e s er e s u l t sa p p e a r e d i np a p e r1 y uc h e n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db yg a o g u o z h u k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e x i s t e n c e ，l i n e a rs y s t e m s ， s t a b i l i t y 3 刖舌 本毕业论文主要是研究分数阶微分方程的解的存在性，延拓性，线性系 统的稳定性。 提到分数阶微分方程，我们不得不谈到分数阶微积分理论。在这方面的 最初研究我们可以追溯g l j l e i b n i z 创立微积分的那个年代，在1 6 9 5 年9 月3 ( ) 日 的l e i b n i z 1 】的日记中已经提到了非整数阶微积分理论的一些初步理论问 题，他在该日记中讨论了；阶的微积分理论。l e i b n i z 的日记导致了任意阶微 积分理论的诞生。 在过去的几十年中，很多作者指出分数阶微积分理论成为解决一些比如 流体力学，某些理论物理等问题非常有用的数学工具，它们能很好地描述一 些实际问题的各种复杂的性质。这一点可以从很多分数阶的模型得到证明。 一些基础的理论物理问题也开始偏爱分数阶微积分理论。然而，在这些模型 中动力系统模型占有很多的比例。 分数阶微积分理论为分数阶微分方程的出现提供了必要的理论和应用基 础。在这个古老而又年青的领域里，无数前辈的出色工作为我们奠定了良好 的基础。注意到在这一领域中，数值模拟和数值解法方面的工作居多，对于 基本理论的研究还不多。针对这一现象，我们根据现有的一些文献资料，试 图研究分数阶微分方程的基本理论，建立某些有价值的结果。 第1 章绪论 讨论分数阶微分方程，不得不谈到分数阶微积分，它的英文说法 为”f r a c t i o n a lc a l c u l u s ”。其实，把它翻译成分数阶微积分或分数阶微分 方程是值得商榷的，因为它可以取一切实数而并非只有分数。只是人 们都已习惯这样的说法了，我们也就沿用这一说法。而这一概念最早出 现在1 6 9 5 年9 月3 0 日l e i b n i z 1 1 的日记中，他在该日记中讨论了 阶的微积 分，从而标志着这一理论的萌芽的出现。在在漫长的数学史长河中，有 许多优秀的数学家先后在l e i b n i z 提出这一想法以后，比如f o u r i e r ，e u l e r ， l a p l a c e ，c o u r a n t ，h i l b e r t ，r i e s z ，m a b r a m o w i t z 等都曾在这一领域中辛 勤耕耘，包括诸多大数学家在内的数学家的不解努力，欧氏测度下的分数阶 微积分理论日趋完美。尽管如此，由于不同的定义方式适合不同的研究问 题，从而到目前为止，在分数阶微积分理论中由多种不同的定义方式，最为 著名的不外乎r i e m a a n l i o u v i l l e 定义和g r u n w a l d l e t n i k o v 定义。在我们的论 文中采用的是前者。 1 1分数阶微分方程出现的背景 n l 微积分，即整数阶微积分是描述经典物理及相关学科理论的解析数学工 具，就是说局部理论的数学模型归结为线性的或非线性微分方程的定解问 1 1 分数阶微分方程出现的背景 7 题，而非局部理论的数学模型归结为积分一微分方程的定解问题特别是，在 建立这些理论模型时，往往要依据对称性原理导出一些守恒定律，如f i c k 的 扩散定律，f o u r i e r 的热传导定律和牛二定律，用整数阶微积分描述的理论 模型已经积累起来并已有被人们接受的方法和经验 当人们进入到研究复杂系统和复杂现象时，相继出现了一些新兴学科， 自组织理论和混沌动力系统依然用整数阶的非线性微分方程来描述，而后将 问题归结到复杂系统对参数的连续依赖性问题，解决了不连续变( 演) 化过 程的研究。分形几何是复杂性科学的几何学，由于分形集的欧氏测度不存 在，用豪斯道夫测度取代了欧氏测度，从而产生了测度观的改变，在物理学 上导致了从整数型量纲数向分数型量纲数的转变。高安秀树f l i 曾经指出，处 理分形问题共有四种方法：重整化群，量纲分析，稳定分布和分数阶微积 分。严格地说，前面两种方法仅仅是物理方法，还不能提供解析的数学工 具。特别是进入分形动力学研究以后，人们期待着有种可用的数学工具和 可依据的基本原理来建立数学模型。而日趋完美的欧氏测度下的分数阶微积 分理论成了一种研究这类问题有力的数学工具。分形理论的发展为分数阶微 积分理论提供了一个更好的前景，尤其是在建立一些自相似和可渗透结构的 动力系统过程的模型中。 最近几年，分数阶微积分理论被广泛地应用于各个领域，比如连续 力学和统计力学，布朗运动及分数阶扩散方程f 3 1 ，描述种的繁殖的数学模 型 4 ，5 】，一些软组织和人体心脏的脉搏模型1 6 】等。 这些数学模型、系统和过程的模拟，都是基于对分数阶微积分的一些性 质的描述上，很自然地导致了分数阶微分方程的出现。也就是说，我们在上 面提到的这些应用为分数阶微分方程的出现提供了应用背景。 1 2 研究现状 8 我们已在前面简单地提到了分数阶微积分的发展历史。这里我们再 次列举在分数阶微积分理论中的各个不同方面的一些奠基性工作。他们 是s s a m k o ，a k i l b a s ，和0 m a r i c h e v 7 ，r g o r e n f l o 和s v e s s e l l a 8 ，v k i r y a k o v a 9 ， a c m c b r i d e 1 0 l k s m i l l e r 和b r d s 8 1 l j ，k n i s h i m o t o 1 2 1 ，b r u b i n 1 3 j ，f m a i n a r d i 和r g o r e n f l o 1 4 1 以及y u r o s s i k h i n 和m s h i t i k o v 1 5 这些工作为分数阶微 分方程的出现提供了一些理论上的基础。 1 2 研究现状 在早期，有作者| 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 1 提出了几种求解分数阶微分方程逼近 解的方法。在这些文献中，他们主要研究了一些低阶的情况，给出了一些 数值计算方法及其这些方法的收敛性和稳定性的分析。这些工作也可推广 到相应的高阶情况。自从1 9 8 0 年以来，世界上有很多数学家致力于研究高 阶的a l b e l v o l t e r r a 积分方程( 分数阶微分方程可以化为相应的a l b e l v o l t e r r a 积分方程) 的数值解法，由于一些所谓的分数阶多步方法在计算中没有太大 的价值，导致了这一工作一直受到人们的关注f 2 1 1 。 另一方面，我们也来关注一下这一方面的理论结果。在理论研究方面， 有很多关于存在性方面的研究【2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】，但是这些结果无一例外地 全都假定了满足李氏条件，而且证明的方法也和经典方程样。换句话说， 这些工作基本上可以说只是经典方程的一个顺延。对于线性微分方程，系 统性的定性分析的结果较少，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求 解f 2 5 1 。尽管如此，对于分数解微分方程的求解的很多常用方法也是有一些 缺陷的。在文献 1 1 ，2 6 1 中描述的方法只是针对于有理数阶的微分方程，不能 适用于任意阶的微分方程。另一方面，有一种交叉的方法f 7 ，它能够求解一 l 。3 本文的蔓要工作 9 些任意阶鲍方程，但是只是对于一些j # 常简单的方瑕才会有效，还商一些 级数方法 2 6 1 。还有作者运用了单( 双) 参数m i t t a g l e f f i e r i 垂l 数的方法和运 薅l a p l a c e 变换来求躺一类方稷，在文教1 2 7 l 中鸯分绍。 1 3 本文的主要工作 基予淤上分聿露，我们主要傲7 获下工 警： 1 改进已有的存在性的绥果，主簧思路是给出了比l i p s c h i t z 条件熨广泛 的形式；给出解对初值和方糨阶数的连续依赖性的一个结果，并可用米数值 逼避分数玲方程熬辫。 2 给出线性系统的一些结果，主骥是稳定性方面的一些结果。主骥思路 是搬双参数m i t t a g - l e f f i e r 函数推广鞠裙应静簸阵形式，蘑l a p l a c e 交换绘窭 解的表达式，然后用带奇性的g r o n w a l l 不等式作解估计，讨论解的各种稳定 性的充分必黉条件，给出相应的一些扰动系统稳定性的判据。 硬谂文只是对令除段工搀鲍一个，l 、结，终者棼望越在今后的黾野究孛 做出更多好的结果。 第2 章基本定理 2 1弓f 言 设t 是时嘲变量， t ，j 是实数轴上的区闻，也可以是无穷区闼。o 是稚墼囱 量，嚣w ，w 是n 维歇氏空间酽中的区域，也可以是无界区域或全空间。 考虑微分方程 d 8 0 一，( ，x ；2 il ) 其右端向熬函数，( t ，。) 强，w 上连续；d 8 是表示分数阶微分，它的定义方 式如下： 嗍) = 南暴小叫州一f ( o ) d o ，( n - l c z n ) ( 2 1 2 ) 通常我们假定0 o 阶积分表达式如下： ，。坤) = 丽1 o 。( t 一旷1 邶) 甜 这里我们还需要这样的引理： 引理1 2 3 】假定z ( t ) g ( ，) 和，( t ，。( t ) ) a ( d ) ，如果方程( 2 1 1 ) 的解存 在，那么它的积分方程形式如下 邢) = 丽1 序叫”1 胛州明瑚 这里r 是一个g a m m a 函数。 引理2 1 2 s 】( s c h a u d e r 不动点定理) 如果u 是个b a n a c h 空间x 中的闭的 有界凸子集，t ：u u 是等度连续，那么丁在c ，中有一个不动点 下面我们只给出个存在性的结果，如果对于这一问题有兴趣，可以参 考些相应的文献 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 。 定理1 如果函数，是在，r 上的一个连续函数，并假定它满足： f ，( ，z ) 一，( o ，y ) a ( t ) h ( r )( 2 2 ，i ) 这里的 ( r ) 在 0 ，o 。) 和 ( o ) = 0 ，r = f z 一乩ii 。a ( t ) i m 对于t ，那么方 程( 2 1 1 ) 存在解。( f ) 在区间 o ，剧，这里的声是满足届 0 并定义范数ij ，= m a xj f ( t ，。) j ，t i t j 蚓s 。 选定皿，厅使得0s 皿t ，0 护v ，悭r f a + 1 ) 驴，定义函数咖在e ( l ，r ) 中的一个集合a = a ( p ，口) ，使得它满足( o ) 一0 和对于所有的t 七都 有j 庐( t ) l 兰声。 2 2 分数阶微分方粳解的存在性 1 2 集合蠢是一个裔界静溺凸榘。 对予任意瓣毋a ，遴过苏下方式定义一个丞数0 垂 g ) = 志z 垆“拶磁蚴瑚，t 易 2 ) 在矗藿嚣鹣g 静不魂煮是牧敛予簸方程在冀孛鹃解静。我们疲瘸s c h a u d e r 习 0 和h ( 1 x f i ) = l z y l ，那么条件可以简化为l i s p c h i t z 条 件。 2 3解对初值和阶数的连续依赖性 前面我们讨论了方程的存在唯一性，这里我们先给出相应的初值问题。 d c , - 1 x ( t ) l b o = ” ( 23 1 ) 2 3 解对初值和阶数的连续依赣性 1 4 我们在前面得到的存在唯一性结果对于初值问题同样成立。在经典微 分方程中，人们往往要讨论当初值z o 变化时，方程的解随。o 变化而变化的情 况。在文献【2 3 】中，也讨论了分数阶微分方程的解当它的右端函数有一个变 化时相应的解的变化情况。这些结果我们在这里不再叙述，有兴趣的读者可 以参阅文献【2 3 】。 这里我们主要来讨论一个分数阶微分方程特有的问题，即解和方程阶数 之间的变化情况，并给出一个相应的估计式。在给出这个结果以前，先来看 几个有关的不等式。 在讨论经典的常微分方程时常常用至l j o r o n w a l l 不等式： 设”( f ) o 在 t o ，卅上连续，若存在正常数g 上，育 u ( t ) - c + l z i ”( s ) d s 。明) 则 v ( t ) c e 忙。” 正如叶其孝 2 9 】所说，讨论抽象方程时常常要用到以下带奇性的g r o n w 甜1 不 等式：如果 ( t ) o 在 t o ，t 】上连续，如果存在常数d ，b ，d 0 ，它与a 无关，使得 v ( t ) m a ( t 【t o ，丁】) 成立。这- - g r o n w a l l 不等式在抽象微分方程和抛物型偏微分方程中发挥了较 大的作用，但是它还不能完全适用于我们讨论的问题，因此我们对此作了一 些必要的改进。 2 3 解对初值和阶数的连续依赖性 1 5 引理3 如果u ( t ) o 是在i t o ，列上的连续函数，如果存在常数b ，a i ，使 得 0 ) s 口( t ) + b ( t s ) 。一1 v ( s ) d s ，t o t t ，( 2 3 2 ) 那么 ( t ) 曼n ( t ) 口( t ) + n ( s ) e 2 c 1 ( s ) e ( 1 + 侥) ( “。) d s ，( 2 3 3 ) 这里的q ( t ) ；j n ：- - 。1 ( 华) ，仍= 普警。 证明采用文献【2 9 】和文献【3 0 】中的方法，我们可以得到 o ) s o o ) + b f ：( t s ) 。一1 【n + 6 e 0 一r ) 。一1 d r d s 口( t ) 1 + 6 学】+ 6 2e 圻。一s ) “一1 ( s r ) 。一1 d s v ( r ) d r ( 2 3 4 ) = n ( t ) 【1 + 6 【! = 警芒 + 6 2 警斟i ：o ( t r ) 2 口一1 ”( 下) d t 重复这个过程 我们可以得到 吣胁薹( 华n 错肛r 严打( 2 3 脚 现在固定n 使得它满足0 啪 0 ) ( 3 1 4 ) 在区间【0 ，卅上是收敛的。事实上，我们有 ( 删妻k = 0 裂 o , f l o ) ( 3 1 5 ) 由关系式 ) _ 薹菘硒“。仉黔o ) 1 ( 3 1 6 ) 我们可以得出结论m i t t a g - l e m e r 矩阵函数取，口) 是一般矩阵指数函数e 的 一个自然的推广，也就是说，一般的矩阵指数函数是m i t t a g _ l e 毋e r 矩阵函数 的一个特列。 当。= l ，口= 1 时，作为一个特列，我们可以看到 最1 ( a ) = e 4( 3 1 7 ) 这里我们简单地叙述如何得到m i t t a g _ l e 扭e r 矩阵函数的l a p l a c e 变换的方法 具体的思路和文献【2 7 】类似的。 首先，我们能证明得到 ( e “e “) d r = ( ，干4 ) ，i i a i i j i a , 2 3 2存在唯一性 缀多文献瞧经绘出了鞍多熬有关分数黔徽分方程在一维空阗中酌毒在唯一性 的结果。作者在这里想给出线性系统的存在唯一的结果。 我们嚣考虑的问蹶如下 d 8 。= 点擘) 茁+ 蕈( t )( 3 , 2 1 ) 3 2 存在唯一性2 2 和相应的初始条件 d “x ( o i # 0 = r l ( 322 ) 这里的z 口，a ( t ) 是一个佗n 矩阵函数，9 ( t ) 是一个礼维的向量函数。 定理1 假定在方程( 3 2 1 ) 中的a ( t ) 和9 ( t ) 是在区间【0 】b 上的连续函 数，那么初值问题( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 的解在这个区间 o ，6 上唯一地存在。 证明对于以上的问题，我们可队得到以下的等价的积分方程 z ( t ) 2 南t a - 1 + i 。帅) z ( t ) + 删 ( 32 3 ) 接下去的证明过程和文献【2 7 1 类似。 注解1 对于线性系统的解是在整个a ，卅区间上存在的，而非在一个小 区间上存在，这一点和非线性时有很大的区别。 定理2 矩阵 v ( t ) = t ”1 玩，。( a t 4 )( 3 2 4 ) 是下面方程的一个矩阵解 d 。z = a z ( 3 2 5 ) 并且满足 d ”1 圣( t ) l b 0 = j ( 3 2 6 ) 证明对于这个矩阵，我们可以推出 d 。一1 圣( 母= d 。一1 i t “一1 及，。( a ) 】 = d a - 1 i t 。一1 ( 刊与+ 岛+ + 虫警毒手) ( 3 2 7 ) = j + 籍+ + 斜 因此垂( t ) 满足条件( 3 2 6 ) 。 3 3l a p l a c e 变换 同时，我们也可以得到 d o 圣( t ) = d 。e a ，。( a 垆) = a ( 南+ 篙+ + 错) ( 3 - 2 8 ) = a 玩。( a ) = a 西( t ) 所以我们可以得到结论圣( t ) 是线性微分方程的一个解并且满足条件 ( 3 2 6 ) 。 注解2 当o l = 1 时，上面的方程( 3 2 5 ) 简化成 士= a o 和公式( 3 2 4 ) 也简化为西( t ) = e m ，它是简化后的方程的个基本解矩 阵。 3 3 l a p l a c e 变换 在经典微分方程中，l a p l a c e 变换是求解线性方程的一种有效的常用方法。 因此我们也希望这种方法能应用于求解分数阶线性系统，并且作为我们研究 分数阶线性系统定性理论的一种工具。基于此，我们首先给出对于分数阶线 性系统l a p l a n c e 变换存在的证明。 考虑分数阶线性系统 d 。z = a x + 9 0 ) ，d a - - 1 z ( t ) i t ：o = 町( 3 3 1 ) 这里的a 是一个nxn 常数矩阵9 ( ) 是一个n 向量函数。 定理3 如果存在常数m 0 和口 0 使得对于足够大的t ，都有 1 i g ( t ) l l m e “( 3 3 2 ) 量：兰塞塑! 筮! 塞丝 丝 成立，那么方程的解妒( 0 和它的分数阶导数d 。妒( t ) 也都满足类似的不等 式，也靛怒说它们翡l a p l a n c e 交换楚箨在懿。 证明可以找到一个足够大的f ，使得对于所有的t t ，均有不等式 l l g ( t ) i | m e “ 成立。 我们w 以镘到原方糕的解可以写为： 妒0 ) e 南t 。1 + f 南詹p “一1 妒( 口) + 岔( 口) 】d p = 武b t 。一1 + 南譬 e ) = - 1 【a 妒( 口) + g ( p ) d 口 ( 3 3 - 3 ) + 最再岔一8 ) ”1 陋妒# ) 4 - g ( 铜始 这个解妒( t ) 是在o t o 。上唯一的，也是连续的，我们可以得到a l p 0 ) + 9 ( 在区悯( o ，习上是裔界的，换句话说，存在一个 o 使得 n 南严1 + 志z ? 辞一咿以l 酬盼删删墨耳 4 ) 当t s 时，我们有e 一“基e “。 这样藏蕊客了 帅) 炉蒸耳e “+ 焉辱( 。一旷1 e 棚舵“ 胁5 、 + 慧嚣8 8 ) ”1 i i a l l l l 妒( 0 ) 1 1 d e 对于公式( 3 3 5 ) 的第：部分，我们可以推导出 l i 恙譬o 一口) ”1 e 甜d ( g e ”i l l 蔫瑟秘一8 ) 8 1 r 5 8 一妨酾 f 3 3 6 1 l i i 爵再。一f ) 。e 一。一1 1 十i f 卉岛o p ) 。d e 一4 “一i i 蔓8 蒜 一r ) 4 e ”。卜砷9 + l l 嚣鹣m a x o 一8 ) 谯e 一4 。一妁8 这里盼8 陬t 。 3 3l a p l a c e 交换 注意到0 s a 0 ，这就蕴含着存在常数，p 使得 肿) = 蓦( 等等煺彬 对于公式( 3 3 1 3 ) ，我们可以推导出 r )sk l e 库+ k l c 2 后e 础e ( 1 + b ) ( 一8 ) d s = 删+ 2 l c 2 e ( 1 + 。2 慷m 啪5 ( 3 3 1 4 ) = k l e 脚+ l 髋( e 肼一e 1 + 凸。) ( k l + l h 一，e 9 + 1 + 凸h ， 因此，可以得到以下的不等式 i l 妒。川( 七l + i 慧i ) e ( p + 口+ 1 + c t 2 ) t ( 3 3 1 5 ) 我们注意到 d 。妒0 ) 兰a i p 0 ) + g ( t ) ，( 3 3 1 6 ) 可以推导出 l i d 。l p ( t ) | | 兰i i a i i l i o ( t ) l l + i i g ( t ) l i ( 3 3 1 7 ) 把公式( 3 3 1 5 ) 代入公式( 3 3 1 7 ) ，可以推出 归吲驯l 础k l a 圳i i l 篇薹箸 慨。 s (+ m ) e 啪押” 因此，方程的解妒( c ) 和它的分数阶导数d 。妒( t ) 都满足类似于( 3 3 2 ) 的不 等式，也就是说它们的l 叩l a n c e 变换是存在的。 由于我们证明了分数阶线性系统l a p l a n c e 变换的存在性，我们可以用它 来寻找相应线性方程的解。比如说， d z ：一a x , t 0( 3 3 1 9 ) 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 和 d 一 茹( t ) i k o = o 对于这一问题，我们应用l a p l a c e t 变换可阻得到 x 扫扫；+ a x o ，) = c 从而得到 x 0 ) = ( p j + a ) 一1 c 由逆变换( 3 1 1 3 ) 可以给出方程( 3 3 1 9 ) 和( 3 3 2 0 ) 的解 z ( ) = c t 一 ( - a t 一 ) 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 在这一节中，我们主要叙述线性系统 d 。茁= a o ( 3 3 2 0 ) ( 3 3 2 1 ) ( 3 3 2 2 ) ( 3 4 1 ) 稳定性的一些充分必要条件。同时也给出了和它相关的一些扰动系统稳定性 判据。比如 d o 。= a x + b ( t ) 。( 3 4 2 ) 为了实现这一点，我们首先要$ 1 j 用l a p l a n c e 变换给和双参数的m i t t a g - l e f f l e r 矩阵函数给出系统解的表达式。 定理4 对于线性系统( 3 4 1 ) 满足初始条件 d 。一1 。( t ) l t ：如= = g( 3 4 3 ) 那么它的解可以由以下表达式给出 x ( t ) = c t ”1 取，。( a t “) ( 3 4 4 ) 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 2 8 证明对于方程( 3 4 1 ) 应用l a p l a n c e 变换以及注意到相应的初始条件 ( 3 4 3 ) ，可以得到 d a - 1 z ( 句i k 幻= c 从而可以进一步推导出 x ( p ) p “一c = a x ( p ) ( 3 4 5 ) 再利用相应的逆变抉，可以得到 z ( t ) = c t ”1 及。( a t 。) ( 3 4 6 ) 定理5 对于线性系统( 3 4 2 ) 和初始条件( 3 4 3 ) ，它们的解由以下表 达式给出 p z ( t ) = c t 。一1 b ，。( a t 8 ) + o 一0 ) 。- 1 玩，。( 4 0 一口) 。) b ( o ) d o ( 3 4 7 ) d t o 证明和定理4 的证明类似。 定理6 线性系统( 3 4 1 ) 耜其初始条件( 3 4 3 ) 在t o2 口 o n 是一致 渐近稳定的，当且仅当 0 鼠，。( a t o ) | | m ，t o t 。 证明从定理4 的结果，我们可以得到此线性系统的解为 x ( t ) = c t ”1 b p ( a t 。) ， 从而可以进一步得到 慨t ) i | = f | a t ”1 玩。( a t 。) | | 曼i v i i i , 。b ，。( a t 。) i i m i c i i t 。一1 f ( 3 ，4 8 ) sm 卢”1 i c l 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 为了使得i z ( t ) l 成立，我们可以选取 因此我们说这个解是稳定的。 注意到 c i t ( q ) + t o ，都有 i i 。( 0 i is m b t ”1 o 都是一致渐近稳定 也就是说，对于o o 使得对于任意 的t 亡0 + z t o 卢 0 ，i c l 0 ，我们可以推导得到 l i e ，a ( a t 一1 ) i i m p “+ 。 = m ( 南) 1 。 ( 3 - 4 - 1 4 ) m 这样我们就证明了结论。 定理7 假设对于任意的 o 都有关系式 | | 矿。1 段。( a u 。) 1 1 k( 34 1 5 ) 成立，钆n 的连续矩阵函数b ( t ) ，当t o 卢 0 时有不等式 ，o 。 i i b ( t ) l l d t o o( 3 4 1 6 ) j t 0 那么系统( 3 4 2 ) 和其初始条件( 3 ，4 3 ) 的解是稳定的；此夕 ，如果| | b ( 圳 护，并且卢 一。那么该系统将是一致渐近稳定的。 证明系统( 3 4 ，2 ) 和其相应的初始条件解的表达式为 z o ) = c t a - 1 e o 。( a t “) + o 日) 。一1 既，( a o 一口) 8 ) b ( o ) x ( o ) d o ( 3 4 1 7 ) u t o 我们可以进一步得到 f f 。( t ) f f = f f e f ”1 毋。( a t 。) f + ei i ( t 一口) 。一1 鼠，。( a o 一口) 。) 1 1 1 1 b ( 0 ) l l l l x ( 0 ) l l d 0 ( 3 4 1 8 ) i l c t ”1 r ，a ( a t 。) 1 1 + ek i i b ( 0 ) i i i i 。( 0 ) i l a 0 用g r o n w a l l 不等式，我4 j j n n 推导得到 i l x ( t ) l t m c t o e k 丘i i b ( o ) l l 由 ( 3 4 1 9 ) 注意到嚣i i b ( o ) l l d o 0 这个系统是稳定的。 如果jj b ( t ) jj h t 4 ，对于公式( 3 4 1 9 ) 再用一次g r o n w a l l 不等式可以得到： l i * ( t ) i i 曼m c l l t ”1 忡k m c i i b ( o i i o l e k f ：o l i b ( 。) 1 1 甜d o m c ij t “一1ij + k m c h o a 邮一1 e 丘l i b ( 。) 1 1 8 9 船 、 。 。 ( 3 4 2 0 1 再一次注意到臂 b ( o ) i i d o o o 和卢 一。，我们可以得到当t o 。时，有 忙( t ) | | 一0 成立。所以结论成立。 定理8 如果 0 u 。一1 以，n ( a u 。) 0 m e - v , 0 札 ， ( 3 4 2 1 ) 和l l f ( t ，z ) 0 忙l | 对于忙0 0 时是一致渐近稳定的。 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 3 2 证明条件( 3 4 2 1 ) 蕴含着 i l 既，。( a 垆) 0 k ，t o 茎t 0 是一个常数。 对于系统( 3 4 2 2 ) ，它的解为 z ( t ) = c t ”1 既。( a 垆) + l ( t p ) 。一1 i g ，。( j 4 0 一日) 。) ，z ( p ) ) 硼 我们容易得到 1 | 。( t ) l i m c e 一竹+ m e - 7 ( t 一。) l l x ( o ) l l d o j 口 令 踯) = m e z e 1 ( t 。硼) l l d o 对于( 3 4 2 5 ) ，我们在其两边同时对t 求导可得： 冗e t ) = - - t m e f ；e - y ( ) l l x ( o ) l l d o + m e i i x ( t ) i i - r r ( t ) + m e ( m c e 一巾+ r ( t ) ) = ( m e 一1 ) r ( t ) + m 2 c e e 一哪， 因此可以根据比较定理得到 只( t ) s m 2 傀e ( m e - r ) f # e m 5 d s 从而可以得到 ( 3 4 2 3 ) ( 3 4 2 4 ) ( 3 4 ，2 5 ) ( 3 4 2 6 ) ( 3 42 7 ) 。( t ) i l m c e 一哪+ m 2 c e e 一讲+ m 2 c c e ( m 5 1 ) 。一m 6 芦( 34 2 8 ) 显然，对于所有的t 都满足l l x ( t ) l i 口，t t o 我们可以选取合理的7 使得 m c 一7 0 ， 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 3 3 又注意到，如果l t x ( t o ) l i = i i c l i 刍，那么 i i x ( t ) l i 口 这样，就蕴含了该系统的解是一致渐近稳定的。现在，我们给出相应的例子 来验证我们的定理的。 例1 考虑分数阶微分方程 或者它的矩阵形式 d o z l = a x l + b z 2 d o z 2 = 凹1 - t - d x 2 d o o = a z g = p 一1 z 系统( 3 4 2 9 ) 可以转化为以下的等价形式 d o y = b y b = p l a p ( 3 4 2 9 ) 在相似变换下有 ( 3 4 3 0 ) ( 3 4 3 1 ) ( 3 4 3 2 ) 注意到如果该系统的初始条件是这样给定的z ( 0 ) = z o ，那么相应的初始条件 可由以下公式给出 y ( 0 1 = y o = p x 0 阵矩 2、 o o 靴 o c 奇，非 = 数 a 常实个 一 示表来 f 止口我 里 着 这 接 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 b = ， d 。“l 2 a 1 1 ( 3 4 3 3 删_ 啪l 。a - 1 风舢垆) 3 4 ) y 2 ( t ) = y 0 2 t ”1 玩。( k 2 t 。) 如果a 1 0 和 2 0 ，我们可以用文献f 2 7 ，p p 3 5 】定理1 6 得到 阻如删耳晶 阻如尸) | 寺函， 再用定理6 ，我们可以得到结论该系统的解是一致渐近稳定的。接着， 我们假定矩阵a 有两个相异的特征根a 1 = a 2 = a ，和b 是一个j o r d a n 标准型 b = 1 ( t ) = 0 1 t 。一1 玩，。( 矿) 十v 0 2f o ( t 一口) 。一1 既p ( ( t 一8 ) 。) 口8 1 e 。，。( p 。) d o y 2 ( t ) = y 0 2 t ”1 玩，。( x t “) 3 4 线性系统及其扰动系统的稳定性 3 5 如果a 0 ，我们可以用文献 2 7 ，p p 3 5 的i 定理i 6 得到 阪a ( 舻) j 寺锄， 因此 1 9 1 ( o i l k 胪1 i + m 1 名( 。一) , 1 - l t ? c , - l d o i 眦3 7 、 = i k ) 、t “i + m 最产 、 所以在条件o 【0 ，；) 下，当t o o 时，有关系式 啦( t ) 一0 ，( t ) 一0 成立。 因此我们可以得到结论在口【0 ，i 1 ) 这种情形下，系统的解是一致渐近 稳定的。 第4 章展望 本文主要考虑了分数阶微分方程的存在性，连续依赖性和线性系统的稳定性 等基本理论问题。在这里，我们主要分析一下可以进一步深入研究的几个问 题。 第一，我们把l i p s c