（光学专业论文）变形分数相关及其光学和数字式实现研究.pdf

5 1 8 3 j 变形分数相关及其光学和数字式实现研究 光学专业 研究生谢世伟指导教师郭永康 分数傅里叶光学是傅里叶光学的发展和延拓。是现代光学新分支，它可以 使我们用一个新的观点去审视光的传播、衍射、成像和信息处理等问题，并为 我们提供一种新的工具去处理这些问题。将分数傅里叶光学中的分数域概念和 傅里叶光学中的频谱概念相对应，可以发展分数傅里叶光学的很多应用。 基于傅里叶变换的相关是在光学上能够实现的一种重要运算，它已用于模 式识别和图像特征提取等。但传统的相关操作具有平移不变特性，因丽具有局 限性。基于分数傅里叶变换的分数相关比传统的相关更一般化，它是平移变化 的，从而可用于平移变化的物体识别。 本论文将分数相关与变形光学系统相结合，提出了变形分数相关的概念， 给出了其定义的数学表达式，通过理论分析，得出了产生极大相关输出的条件， 为确定其相应的分数傅里叶变换的分数阶提供了理论根据。 研究了分数傅里叶变换的离散形式及其快速算法，编制了计算程序获得了 变形分数相关的数字式实现。求解变形分数相关峰输出与分数阶的关系是高维 变量优化问题，基于理论分析的结果，采用模拟退火算法及自编程序对相关信 号产生缩放的情形进行了计算模拟。获得了优化的分数阶及相关输出，并对信 号发生移动时，相关峰的变化进行了计算模拟和分析。 论文提出了实现变形分数相关的光学装置，由于其结构复杂，提出并采用 计算全息方法实现了变形分数相关，可大为简化光学实现装置。 变形分数相关涉及更多的分数阶，可用于处理更复杂的图像识别。 关键词：变形分数傅里叶变换相关计算全息图像识别 s t u d y o n a n a m m p h i c f r a c t i o n a lc o r r e l a t i o na n d i t so p t i c a la n d d i g i t a li m p l e m e n t a t i o n m a i o r p o s t g r a d u a t e s h i w e ix i e o p t i c s s u p e r v i s o ry o n g k a n gg u o f r a c t i o n a lf o u r i e ro p t i c si sr e g a r d e da st h ed e v e l o p m e n ta n de x t e n s i o no ff o u r i e r o p t i c sa n di t h a sb e c o m ean e wb r a n c ho fm o d e r no p t i c s 。t h u san e wm a t h e m a t i c a l a n do p t i c a lt o o li sa c h i e v e d w i t ht h et o o l ，w ec a ns t u d yt h el i g h tw a v e p r o p a g a t i o n ， d i f f r a c t i o n ，i m a g e r ya n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g m a n ya p p l i c a t i o n sm a y b e e x p l o i t e d w h i l ef o u r i e rt r a n s f o r mi sr e p l a c e db yf r a c t i o nf o u r i e rt r f l n s f o r n l c o r r e l a t i o nb a s e do nf o u r i e rt r a n s f o r m ( f t ) i so n eo ft h em o s t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c a lo p e r a t i o n st h a tc a nb eo p t i c a l l yi m p l e m e n t e db e c a u s ei tc a l lb eu s e df o r p a t t e mr e c o g n i t i o na n di m a g ef e a t u r ee x t r a c t i o n ，a n ds oo n h o w e v e r ，s i n c ei ti sa s h i f t i n v a r i a n t o p e r a t i o n c o n d i t i o n a l c o r r e l a t i o ni sl i m i t e ds o m e t i m e s f r a c t i o n a l c o r r e l a t i o nf f c li st h eg e n e r a ln o t i o no fc o n d i t i o n a lc o r r e l a t i o n ，b e c a u s ei ti sb a s e d o nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ( f r t ) f cc a nb e u s e di ns h i f t - v a r i a n t o b i e c t r e c o g n i t i o nb e c a u s ei ti sa s h i 缸v a r i a n to p e r a t i o n a n a m o r p h i cf r a c t i o n a lc o r r e l a t i o ni sp r o p o s e di nt h i sp a n e rw h e nw ec o m b i n ef c a n da n a m o r p h i co p t i c a ls y s t e ma n ds i m u l t a n e o u s l yi t sm a t h e m a t i c a le x p r e s s i o ni s p r e s e n t e d t h r o u g ht h e o r e t i e a la n a l y s i s t h ec o n d i t i o no f m a x i m u mc o r r e l a t i o np e a k a p p e a r i n gi s o b t a i n e d w h i c hp r o v i d e st h eb a s i st h a th o wt os e a r c ht h ef r a c t i o n a l o r d e r st h a tc o n c e r n i n gt ot h ec o r r e l a t i o np e a k t h ed i s c r e t ee x p r e s s i o no ff r t i ss t u d i e da n d p r e s e n t e d a n dp r o g r a mi sc o m p o s e d a c c o r d i n gt ot h ef a s ta l g o r i t h m ，s ot h a tt h ed i g i t a li m p l e m e n t a t i o no fa n a m o r p h i cf c b e c o m e sp o s s i b l e t h ec o n n e c t i o no fa n a m o r p h i cf c p e a ka n df r a c t i o n a lo r d e r si sa p r o b l e mo fh i g h e r d i m e n s i o n a l o p t i m i z a t i o n b a s e d o nt h e o r e t i e a l a n a l y s i s a n d s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h ma n dp r o g r a m sw e c o r n p o s e ，t h eo p t i m i z e do r d e r sa n d c o r r e l a t i o np e a k sa r eg a i n e dw h i l et h ep a t t e r n sd e t e c t e dh a v ed i l a t i o n s h i f tp a t t e r n c o r r e l a t i o ni sa l s oa n a l y z e d a no p t i c a l s e t u pi m p l e m e n t a t i o no fa n a m o r p h i cf ci ss u g g e s t e d i no r d e rt o s i m p l i f yi t ，w ep r o p o s et ou s ec o m p u t e r - g e n e r a t e dh o l o g r a p h y ( c g h ) t oi m p l e m e n t a n a m o r p h i cf c s i n c em o r ef r a c t i o n a lo r d e r sa r ei n v o l v e di ni t a n a m o r p h i ef cc a nb eu s e di n m o r e c o m p l e xp a t t e r nr e c o g n i t i o n k e yw o r d s ：a n a m o r p h i c f r a c t i o n a lf o u r i e r t r m l s f o r m ( a f r t ) ，c o r r e l a t i o n c o m p u t e r - g e n e r a t e dh o l o g r a m ( c g h ) ，p a t t e mr e c o g n i t i o n 第一章前言 四j i i 大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 从傅里叶光学到分数傅里叶光学 傅里叶变换是十九世纪数学上的伟大成就之一，因其为线性系统分析提供 了有力工具，至今仍在科学和工程的众多领域起着不可估量的作用。在数学中， 傅里叶变换作为一个纯数学工具可用于讨论其它变换，在物理学中，傅里叶变 换被赋予特定的物理意义用于处理物理现象。一个波形，无论是光波的，电磁 波的还是声波的，以及它们的谱，在物理上都可以绘制成图像并且可以测量， 示波器可以使人们观察到电磁波，频谱仪可以使人们观察到光谱或电磁波谱， 这些波形和它们的谱各自构成傅里叶变换对，用傅里叶分析的方法可以将这些 物理概念联系在一起。 我们知道，在一个系统具备线性和平移不变性的条件下，输入谐波的输出 是谐波本身，并且具有相同的频率，这是因为复指数函数是线性平移不变系统 的本征函数，而脉冲响应函数的傅里叶变换是其本征值。因此傅里叶变换在线 性系统的分析和处理中扮演了重要的角色，并取得了巨大的成功。 1 9 4 6 年d u f f i e x 将傅里叶变换引入光学领域，1 9 6 0 年激光器的诞生提供了 相干性很好的光源，由此逐渐发展形成现代光学的重要分支傅里叶光学。 在傅里叶光学中，应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、成像 和变换问题，用改变频谱的方法处理相干成像系统中的光信息；用频谱被改变 的观点评价非相干成像系统的像质，傅里叶光学已经在许多领域取得了重要的 应用。 二十世纪术叶分数傅里叶变换理论取得很大的发展。1 9 9 3 年m e n d l o v i c 和 o z a k t a s 等人将其引入光学，并和l o h m a n n 等人分别提出用光波在二次型梯度 四j i l 大掌硕士学位论文 折射率介质中的传播或用透镜系统实现分数傅里叶变换的方法。经过几年的研 究，1 9 9 5 年o z a k m s 等提出了分数傅里叶光学的概念。 分数傅里叶变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ) 是更广义的傅里叶变换。分 数傅里叫光学是将数学中的分数傅里叶变换引入光学而形成的现代光学新分 支，它是傅罩b i 光学的发展和延拓，它可以使我们用一个新的观点去审视光的 传播、成像和信息处理等问题，并为我们提供一种新的工具去处理这些问题。 分数傅里1 1 i 变换的最重要的参量是它的分数阶，它的引入使得傅里叶变换成为 分数傅里1 1 f 变换的一种特殊情况，或者酷分数傅里叶变换是傅里叶变换的更为 一般的情况。傅卑叶光学中的频域也就成为分数傅里叶光学中的连续分布的分 数域的特殊位置。傅里叶变换中的每一个特性和每一种应用都是分数傅里叶变 换的一种特殊情况。因此，在发展已经相当完善的使用傅里叶变换和频域概念 的每一个领域都存在用分数傅里叶变换推广和改善的可能性，这就为分数傅里 叶光学的发展提供了广阔的空间，导致它在光学和信息处理中必将有更多的应 用。因此，分数傅里叶光学已成为近年来信息光学前沿研究的一个热点。这方 面的些工作已经有所报导，如： w i g n e r 旋转与分数傅里叶变换： 每一个图像或者信号都能够间接并唯一地用个w i g n e r 分布函数来描述 i i 】1 2 1 ，如果信号发生某种变化，那么其w i g n e r 分布函数也会发生定的变化。 如信号在自由空间的传输对应w i g n e r 分数函数的水平剪切，通过一个透镜的 传输对应w i g n e r 分数函数的垂直剪切，对信号作傅里叶变换对应w i g n e r 分数 函数的9 0 度或万2 弧度的旋转。这样，将信号的w i g n e r 分数函数作庐= p 厅2 弧度的旋转就定义为分数傅里叶变换，p 是分数阶。这样，分数傅里叶变换对 应w i g n e r 分布函数在相空间的旋转，用它来研究相空间的理论具有明显的优 势。 分数傅里叶域w i e n e r 滤波 在信号处理的大量事例中，有效信号常常受噪声影响而扭曲或模糊，人们 一般采用在空间域或时间域或频率域滤波的方法来处理受到破坏的信号，以此 第一| 前 s t 四j j l 大掌硕士掌位论文 期望得到较好的输出。当变换系统是空间不变或时间不变系统的时候，这种处 理往往是有效的。但是，如果系统是空间变化或时间变化系统时，一般说来这 样处理不能获得满意的结果。分数傅里叶变换具有空间变化特性，空间域或时 间域对应分数阶为0 的分数域，频率域对应分数阶为l 的分数域，当分数阶在 0 至1 之间时，则变换结果既有空间信息又有频率信息，在这样的空频域或时 频域中滤波能耿到独特的效果。在大多数情况下，一个有效信号的w i g n e r 分 布和噪声是重叠的，有时在0 域和l 域都无法将两者分开，但在一定的分数域 中信号和噪声却是能分离的。这种情况的一个特殊例子是啁啾滤波【3 l ，由于啁 啾和d e l t a 函数能够通过分数傅里叶变换互相转化，因此可以先将啁啾转化为 d e l t a 函数后再通过一低通滤波器在适当的位置将此d e l t a 函数滤掉，最后作反 变换回到原信号域，得到消除了蜩啾噪声的有效信号。 分数傅里时变换研究负二次型渐变折射率介质成像 输入光束的横向复振幅分布在渐变折射率( g r i n ) 介质中的传输可以用p 阶分数傅里时变换来描述，分数阶p 与传输距离成正比，随传输距离线性增加。 用表示渐变折射率介质中心的最大折射率，l , l ，表示渐变折射率介质的最小折 射率，令z = ( ，n ，) j ，d 。s z 丌2 ，在传输方向上当z = “时，渐变折射率介 质实现傅罩叶变换，z = 2 d 。实现坐标反转的像，z = 4 d 。实现正立的原像。当 把介质长度剪切成p d 。p 为分数时，则实现分数阶为p 的分数傅里叶变换。 理论推导结果是负二次型渐变折射率介质和分数傅里叶变换有着共同的本征 模式，分数傅里叶变换可作为研究其成像问题的理想工具【4 】。 分数傅里叶变换全息图 出于分数傅罩叶变换中分数阶的特性，用它可以制成一种全新的全息图一 一分数傅里叶变换全息图( f r t h ) 。它是利用物光波经分数傅里叶变换后的光 波与参考光波干涉所形成的干涉图样，它不仅记录了物光波的信息，还记录有 分数傅罩叶变换系统的信息，因而具有更多的设计和编码的自由度 1 5 6 1 1 7 1 1 8 1 1 9 i o 。 第一章前言 四j i l 大掌 蕊士学位论，二 另外，分数傅里叶变换与盖伯变换和小波变换等有密切的联系，它对特定 信号的处理具有传统变换所不具有和无法比拟的优点| ：1 2 l ；由于部分相干成像 系统的互强度i u 用分数傅里叶t 变换来表示，因此可以将分数傅里叶变换用于部 分相干成像系统的研究t ”1 。 分数傅里叶变换在光学信息处理中能够实现更多的操作，它的更多应用期 待着人们去进一步开拓。 1 2 相关分数相关变形分数相关 在光学上能够实现的数学变换中，相关是其中重要的一种运算，因为它具 有多种用途，t ：l 女n 模式识别、图像特征提取和物体定位等。利用傅里叶相干光 学系统可以实现相关操作，如v a n d e r l u g t4 f 相干装置【i4 j 和与其类似的非相干 装置，以及级连变换相关器| l6 l 等。传统的相关操作具有平移不变的特性，即 输入面的平移在输出面上会产生与原输入面相同的相关结果。或者说，如果输 入物体被视为许多点源的集合，无论点源的具体位置在哪里，物体上的每个点 都会在输出面上产生相同的点扩展函数，输出面上点扩展函数的位置与输入面 上的点源对应。在许多情况下，这个性质都是必要的，但在有的情况下，物体 的位置提供了一个额外的编码特征，这时相关的平移不变性质就会给问题的解 决带来不便。 基于分数傅晕叶变换的深入研究，人们用分数傅里叶变换代替傅里叶变换 定义了分数相关，从而使传统相关的概念更为般化。由于分数傅里叶变换的 空变性质，分数相关在一般情况下是平移变化的，这一特点可以促使利用分数 相关进行平移变化物体识别成为可能。分数傅里叶变换的分数阶p = 0 和p = l 时变换的结果分别对应纯空问信息和纯频谱信息，所以，在0 p 1 的范围内 实施分数傅里叶变换后得到的结果既有空间信息，又有频谱信息。另外，分数 第一章前言 t i n i t i 大掌硕士掌位论文 傅里叶变换的分数阶p = 0 和| p = 1 分别对应完全空变和空不变的情况，只要选 取合适的分数阶p ，以此调节空变的程度，将变换的结果制作成滤波器，就可 以实现物体识别的作用。 变形技术( a n a m o r p h i ct e c h n o l o g y ) 被广泛用于多种特殊系统。例如在一 维傅里叶变换和：维正交方向的成像问题中被用于光学数据处理【2 0 】【2 1 1 。1 9 8 4 年s z o p l i k 等人提出在平面光波照明下，用互相垂直的不同焦距的柱透镜实现 变形傅里叶变换的思想f 2 2 】。基于此思想，一个变形二维光学处理器被提出( 2 3 】。 1 9 8 5 年a n d r e s 等人进一步提出使用球面光波照明器1 2 4 j ，在此情况下，用两个 互相垂直的柱透镜可以获得精确的傅里叶变换和更大的角放大率。1 9 9 0 年 b o n e t 等人基于球面光波照明的非对称傅里叶变换，提出了一种匹配滤波变形 相关器，该相关器具有更高的角分辨率1 2 ”，并且在多个匹配滤波器的帮助下， 司。以去除在物体识别过程中可能存在的模糊信息【2 引。 将变形傅里i i i 变换扩展到分数域，分数傅里1 1 f 。变换和变形光学的结合产生 了在两主轴上具有不同分数阶的变形分数傅里叶变换操作，这一特点将大大拓 展分数傅罩叶变换系统的应用。1 9 9 5 年m e n d l o v i c 等人经过理论研究设计了变 形分数傅里叶变换光学装置( 柱透镜等的组合) 1 2 ”，实现了变形分数傅里叶变换。 在变形分数傅里1 1 变换的基础上，本文提出将分数相关的概念推广到变形分数 相关。由于平移变化的程度可以用分数阶来控制【2 8 l ，继而可以在两个主轴上实 施不同分数阶的分数傅里叶变换，从而实现两个方向上不同的平移变化程度， 这样既可以减少运算量，又可以提高系统的信噪比，改善系统的性能。 1 3 本论文的研究内容 本沦文以发展分数傅里叶变换的实际应用为目的，以傅里叶光学中的相关 概念为基础，提出了变形分数相关的概念，并对其光学和数字式实现方法作了 比较深入的研究。 四j i i 太掌硕士掌位髓? 二 从分数傅早叶变换的积分定义及其基本性质出发，写出了分数傅里叶变换 的离散形式，发展了计算分数傅里叶变换的快速算法，并将之程序化，作为后 续工作的计算工具；考虑到两个方向上实施不同的分数阶变换，即两个方向上 不同的平移变换程度，研究了变形分数傅里叶变换。通过理论分析，得出了产 生极大相关峰的条件，即变形分数相关与分数傅里叶变换分数阶和图像特征应 满足的条件。基于理论分析的结果，采用模拟退火优化算法求变形分数相关， 对优化前后的计算结果进行了对比分析。论文采用计算机数字计算并首次采用 编制变形分数傅里叶变换计算全息图1 2 9 j 【3 0 】的方法实现了变形分数相关，简化了 光学实现装置，得到了比较理想的变形分数相关结果。 6 第= 章分数傅里叶。变换 四j 大掌司e 士掌位论文 第二章分数傅里叶变换 本章给 _ 了分数傅里叶变换的积分定义和分数傅里叶变换的一些基本性 质，这些性质在研究分数傅里叶变换理论及其应用时十分有效。接着介绍了本 论文采用的实现分数傅里叶变换的光学方法。从分数傅里叶变换的积分定义出 发推导出离散分数傅里叶变换的形式，并应用快速傅里叶变换实现离散分数傅 里叶变换的快速计算。最后介绍了变形分数傅里叶变换的定义及其光学实现的 方法。 2 1 分数傅里叶变换的定义 函数f ( x ) 的p 阶分数傅里叶变换( f r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r m ，简写为f r t ) 定义为： f m ) 】- m ) b p ( x , u ) d x ( 2 - 1 ) b p ( x ，“) = a pe x p i n ( x 2c o t 庐- 2 x u c s c # + “2c o t 庐) 】( 2 2 ) 4 ；e x p l - i ( # i r 4 - 2 ) 。或4 ；厕( 2 - 3 ) i s i n 驴l 第；章分数傅里叶变换 四j 大掌硕士学位论文 b i , x ，“) 是分数傅里叶变换的核函数，p 为f r t 的分数阶，0 l p l e x p ( i 2 , m i s c ) f ( z ) 】= e x p ( - i n f f 2s i n a c o s a ) e x p ( i 2 历r 4 0 0 s a ! ) f p s ( d 1 一f 。) ( 2 - 1 1 ) 8 定标法则 分数傅里叶变换的输入信号的尺度发生变化时，不仅会引入一个与尺度因 子有关的二次位相，而且还使分数傅里叶变换的阶次发生了改变， i f 附m 雌i 驯1 - i c o t a 。i 唧脚2 c o t 叩一鲁) 】亿 f e 【厂g 汁坐竺! 1 。 。 其中m 是输入信号的尺度变化因子，m 是实数，但m o ，m 。d = p 州2 ， 并且有t a n a = m t a n a ，口与a 在同一象限。这与传统的傅里叶变换有着明 显的不同。 9 乘法法则 f 7 k ”，酬= g c o s o - - s i n a ( i 2 石) 一d d u f f ，驴g ) 】 ( 2 1 3 ) 1 0 微商法则 ， ( f 2 石) 一叫对厂o ) - i s i n 口+ c 。s 口( i 2 厅) 一- a d u f ，扩g ) 】( 2 1 4 ) 第= 章分数傅里叶变换 四j i i 大学司l 士掌位论文 1 1 混合积法则 f p k 训出) ”s ( - ) l = 【( _ s i n d + f z l 2 c o s d ) s i n 口+ l l c o s a d d u i u s i n 口c 。s 口d 2 d 2 “y 1 驴洲 ( 2 1 5 ) 1 2 帕色伐定律 同传统的傅里叶变换相同，分数傅里叶变换也是能量守恒的，满足帕色伐 定律 j 1 s ( d 2 d x ；矿1 r ( - ) 1 2 d u ( 2 1 6 ) 分数傅里叶变换还有许多其他性质，在此不一一列举，可参看文献。 由于分数傅罩叶变换具有周期性，只要两次或更多次变换的分数阶之和等 于4 的整数倍，则变换的结果将仍为原函数。基于此，人们没有象傅里叶变换 一样定义一个逆分数傅里叶变换，而事实上将傅里叶变换和逆傅里叶变换放在 分数域上来看，它们只是分数阶为1 和1 的荫次分数傅里叶变换，并且 1 + ( 一1 ) = 0 ，0 是4 的整数( o ) 倍，变换结果自然应该还原成原函数。这只是分 数傅里叶变换实现原函数众多途径中很特殊的一个，从此也可以理解分数傅里 叶变换是更一般的傅里叶变换，而傅里叶变换是分数傅里叶变换个非常特殊 的例子。 2 3 分数傅里叶变换的光学实现 第：；章分数傅里叶变揍 四，h 大学司e 士掌位论文 分数傅熙叶变换的光学宓现方式通常有两种，一种是m e n d l o v i c 和o z a k t a s 等提出的用渐变折射率介质作为分数傅里叶变换器，介质的长度对应变换的分 数阶。另祧是l o h m a n n 提出晌塌普通透镜实现分数博里时变换1 2 t 。由于本论 文豹王俸袋蠲豹蹙l o h r n a n nl 嫠挚透镜系统，繇以下支是套缮照实联方式。 图2 。l 所示为l o h m a n nl 型分数傅罩叶变换系统，输入面和输出筒到透 镜的距离均为z ，透镜的焦暇为厂。当z 和厂满鼹下列条件时。输如黼数g “) 为输入函数g ( x ) 的p 阶分数傅熙叶变换： z 翩阱，= s ；訇 其中，矗称为标准焦距“，当变换系统确定时为常数。 斗 一 u l t p u t 强2 - t 实现尹蹬势数耩墼跨变换的l o h m a n nl 型光学装置 2 1 7 ) 基于l o h m a n ni 型变换系统，分数傅里叶变换可以用一种更为简单的形式表 示【2 1 ： g 如) = f 魄 x 强 濑，e x 收半 h 激斗 弘秘 竿) 扣x p ( 等h 半卜 第= 章分数傅里叶变换 四j i i 夫掌司e 士学位论文 式中 丁一，i t a n ( ) ，s = a 石s j n ( ) ，z = zs i n ，= p 三 ( 2 ”1 9 ) 丑是光波长z 是标准焦距。 特另u 地，当分数阶p = 1 时，z = f ，上式为一般的傅里时变换，即一般的傅里 叶变换为分数傅黾叶变换的一种特殊情况；当p = 2 时，由式( 2 1 7 ) 有z = 2 z ， 或者利用分数傅坦叶变换的可加性，可以分解为两个傅里叶变换的叠加，也得 到z = 2 ，这时有 g 0 ) = g ( - x )r 2 - 2 0 ) 表示物函数的2 阶分数傅里叶变换为物函数本身，只是发生了坐标反演，这与 前文的分析一致。 2 4 离散分数傅里叶变换的快速算法 为了研究与分数傅里叶变换有关的些应用，需要进行大量的模拟计算。 与傅里叶变换类似，如果直接从定义式( 例如式( 2 。1 ) ) 来计算分数傅里叶变换， 计算量将特别大，尤其是在高维空间中，几乎更难实施，因此必须采用快速算 法。本节从分数傅里叶变换的积分定义出发推导出分数傅里叶变换的离散形 式，又将此离散形式表示成为卷积，根据卷积与傅里叶变换的关系，从而可应 用快速傅里叶变换实现离散分数傅里叶交换的快速计算。这为进一步开展分数 傅里叶变换的研究提供了一个非常有用的计算工具。 将( 2 - 2 ) 代入( 2 1 ) ，分数傅里叶变换的积分定义重写如下 第= 章分数傅里叶变换 四j i i 大学碘士掌位论文 令： f 【厂( x ) _ 4 厂( x ) e x p i ，r ( x 2 c o t 一2 x u c s c 庐+ “2c o t ) l d x ( 2 - 2 1 ) 1 c o t 西= ， rc 8 。妒2 i f 2 2 2 ) ! ) b i 2 2 1 ) 与为： f r 厂c x ，一= 一，ff ( x ) e x p d r x 2 ，+ ，u 2 一，e x 一r z 石善 c 扛 c z z ， 由于a 。不含积分变量，可将其提到积分号外。 首先把函数 x ) 拓展成为周期函数f ( x + n m ) ，其中x 【o ，m 】， ”( - m ，+ o 。) ，一和m 都是整数。下面对当”= o 时的函数，g + ，删) 即，g ) 进 行抽样。设矗 ) 是f 驴g ) 】的抽样函数，其中女= o ，m 一1 抽样闻距为1 ， 则抽样频率为。 所以，式( 2 2 3 ) 离散化为： 删叫，击薹州唧陋警猕扣丌警 或 腓一r 击萋删唧陋擎，d 吨石矧 倍z 。， 上式即为分数傅琨叶变换的离散形式。下面对式f 2 2 4 1 作一些调整。 第= 章分数傅里叶变换四川大掌硕士学位论文 力2 舞m - i 糕a g se x 渊p ，丢删砷疆去1h x p | 切罾i 。 根据卷积的定义 或 g g ) = g g ) = p 如一口 似k g k 口 式( 2 2 6 ) 实际上是一个卷积运算。 令： 删m 志一斟2 则式f 2 2 6 ) 变为 甲( s ) = e x p 卜爿 r 2 2 7 ) f 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) f 2 3 0 ) 堕魍 ，l一 凇 t剖惦 勘d 瓴卜 生 上峪 牮告+一m，t ，吨 p 州 一 第= 章分敦傅里叶变换 四j i i 大掌硕士学位论文 如果令 眦胁，扣h 去一击h 喇嘶， p ， 则式( 2 3 0 ) 写为 ， 1i - r ， 以= a p 面te * p l 切峙 f 2 3 2 ) 一，( 七) = 一妊) 中b ) tv ( s ) ( 2 3 3 ) 根据卷积与傅里叶变换的关系： 其中 式( 2 31 ) 可写为 ，g ) + b ) 盟! 呻f 船) h 倍) s ( d + b ) 卜旦! 二lf 皓归皓) f g ) = f r r f ( d 】 日 ) = f f 7 弘b ) 】 ( 2 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) 丘， ) = 4 ) 胛。矩肿( ) 】【肿( 甲( 2 3 7 ) 上式即是利用快速傅里叶变换计算分数傅里叶变换的公式。 一般地，上式可以推广到二维，因为离散计算时两个方向是分离计算的。 这样，将式( 2 3 7 ) 推广到二维锝到： ，：j g ，k ，) = 4 ；n g ，) f f 7 1 往声下t ( 中) 】【胛( 甲( 2 - 3 8 ) 其中 第= 章分数傅里叶变换 日j i l 大掌硕士掌位论文 排砌，小十持一斟2 h ，文南一抖 s ，和z 的定义见式( 2 2 2 ) 。 唧 ，石剖唧愕 2 5 变形分数傅里叶变换( a n a m o r p h icf r t ) 2 5 1 变形分数傅里叶变换的定义 即 设函数r ( x ，y ) 在x 和y 两个方向上是可分离变量函数 ，g ，y ) = 一g 珑) 佗- 3 9 ) ( 2 4 0 ) 其二维分数傅里叶变换写为： f 【，( x ，y ) 】_ f 0 抚) 】 = f p 旺g 舻( y ) 】 佗4 1 ) = ( x ) 啡( 工，“) 凼以( j ，) 啡( 弘v ) d y 若在两个方向i ：变换的分数阶不相等，则叫做变形分数傅里叶变换 第= 章分数傅里叶变换 ，7 ： _ ( x ) f 。比0 ) 】= 一( x ) ( x ，“) d x 厶( y ) ( y ，v ) 咖( 2 - 4 2 ) 利用变形分数傅里叶变换可以沿两个主轴实现不同分数阶的分数傅里叶变换， 因此可以在两个方向上实现不同的操作，实现一般分数傅里叶变换不能实现的 一些应用，如：变形分数相关和变形蜩啾滤波等，从而大大拓展分数傅里叶变 换的应用。 2 5 2 变形分数傅里叶变换的光学实现 图2 2 是变形分数傅里叶变换的光学实现示意图。 ， ， l k ，_ j 嘛r 7 c i 7 口二 ? - 厂彤 乞j g ( 一z 五 。 图2 - 2 柱透镜实现变形分数傅里叶变换 其中主要的光学元件是两个柱透镜c l 和c ：，其焦距分别表示为正和，v 。柱透 镜的特点是一个方向上的曲率半径为无穷大，只在一个方向对光场发生作用。 正因为此，利用柱透镜可以实现一次只对x 方向或y 方向实施分数傅里叶变换， 而保持另一个方向不变的目的，从而实现变形分数傅里叶变换。变换过程中的 第= 章分数傅里叶变换 四川大掌硕士学位论文 分数阶可以由柱透镜的焦距i ，：和 或距离z ，和z ，米调节。图中的参数可参见 式( 2 17 ) 。 第三章变形分数相关 四j 大学硕士掌位论文 第三章变形分数相关 本章从相关的定义出发引出分数相关的定义，基于变形分数傅里叶变换， 提出变形分数相关的概念，给出了变形分数相关的表达式及其实现框图。论文 通过理论分析得出在一定条件下，变形分数相关与分数傅里叶变换分数阶的关 系，为求解获得理想相关输出所需的变形分数傅里叶变换的分数阶提供了理论 依据。 3 1 相关n 叫及其光学实现 两个函数，0 ，y ) 和g ( x ，y ) 的互相关定义为含参变量的无穷积分，即： c m b ，y ) = j ( x ，y ) 咯( x ，y ) = j ，q t 卢一y ) g q ，卢脚 3 - 1 其中参变量x ，y ，积分变量口，卢均为实数，而函数，和g 可以是实数也可以是 复数。t 是共轭符号，o 表示相关。 当f ( x ，y ) = g ( x ，y ) 时，得到函数，0 ，y ) 的自相关定义： c 0 ，y ) = ，0 ，y ) q ， g ，y ) = 肜+ q 一一声一y ) ，q ，声_ 吲矽 3 2 相关和卷积有如下关系 第三章变形分数相关四jj | 夫掌硕士学位论文 厂0 ，y ) o g ( x ，y ) = ，+ ( _ x , - y ) g ( x ，y ) 厂g ，y 渺g ，y ) = 厂+ - x ，一y ) f ( x ，y ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 根据卷积定理，两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数分别作傅里叶变换 后的乘积，因此卷积i _ i _ 以用傅里叶变换来计算，再通过相关与卷积的关系，可 以用傅里叶变换来表示相关运算。 、r ( x ，y ) o g g ，y ) = 厂- x ，一y ) + g ( x ，y ) = 胛一 胛【，- x , - j ，) 】f f t g ( x ，y ) ( 3 - 5 ) = 胛 胛【，( w ) 】f f t g ( x ，y ) 】) 下图为采取级连方式的自相关光学实现示意图。图中石和 分别表示两个透镜 的焦距，匹配滤波器可以采用光学全息的方法制作2 8 i ，滤波函数是信号频谱的 复共轭函数，信号频谱乘以滤波函数后。匹配滤波器将完全抵消入射波前的全 部弯曲，透射场是一个振幅加权但位相均匀的平面波前，经傅里叶透镜l e n s 2 后在输出平面上产生信号的自相关光斑。所谓“匹配”，实质上是在频域对输 入信号频谱的位相补偿，形成平面位相分布。 。 ， 矗 、 、 ， f 2 、 图3 - 1 自相关的光学实现示意图 因为相关操作在光学信息处理中经常被用来确定输入物体和目标物体的 相似程度，因此可应用于模式识别、图像特征提取和物体定位等。由于傅里叶 变换具有平移不变性，相关操作也具有平移不变的特性，即输入面的平移在输 第三章变形分数相关四j i l 大掌硕士掌位论文 出面上会产生相同的相关结果。在许多情况下，这个性质都是必要的，但在有 的情况下，物体的位置提供了一个额外的编码特征，这时相关的平移不变性质 就会成为解决问题的障碍。 3 2 分数相关和变形分数相关 鉴于相关的平移不变性给实际应用带来的局限，在考虑分数傅里叶变换与 傅里叶变换的关系后，用分数傅里叶变换取代傅里叶变换，可定义分数相关【2 8 1 ： 其中 或者简记为 j j f ( x i ，：+ g ：) e x p i n y l ( x ，“，x 1 ，x 2 ) 】( 3 6 ) e x p - i 2 n g , 2 g ，l f ，x 2 眦l d x 2 d u ，硝= 半一半+ 半 p ， 一= , t f o t a n ( # 。xs 。= v os i n ( c 1 ) , 谚= 口( 刀2 ) 咒= 矾t a n ( c 2 ls ：= a f os i n ( c 2 ) , 政= 口：铆2 ) e = 矾t a n ( o , ) ，s ，= 矾s i n 协l 识= t ) t 3 仞2 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 一l o ) ( 3 - 1 1 ) 、1， 三墨 + 生 一 一一s ， = 、j xx 0y 第三章变彩分数相关四川大掌硕士掌位论文 ( ? 。( x ) = f m f p 。( x ) 】f ”【f ：b ，) ( 3 - 1 2 ) 其中f g ) 承l f ：o ：) 表示两个相关函数，一和x ：表示两个函数的空间坐标，“是 分数域坐标，x 是分数相关结果的空间坐标，、口，和口，是分数相关中分数 傅旱叶变换的分数阶，丑是光波长，是常数。 当a = 口：= = 0 时，上式对应两个函数的乘积c = t l ( 而) 1 2 ( x ：) ，当 a = a ：= l , a ；= 1 时，上式过渡到一般相关，此时的分数相关具有平移不变性。 但是，当分数阶在0 到1 之间取值时，由于分数傅里叶变换的平移变化性质， 这时分数相关则是平移变化的，这就能满足一些特殊情况下的要求。 但是有一种情况，比如一个信号在一个方向上发生缩放或平移，另一个方 向保持不变，或者发生缩放或平移的量不同，要识别出如此情况下的信号，在 两个方向实施的分数傅里叶变换的分数阶就不同。鉴于这一事实，本文提出了 变形分数相关的概念。 假设相关的两个信号f ( x ，y ) 和g ( 口，6 ) 在x 和y 两个方向上是可分离变量的，即 f ( x ，y ) = _ ( x ) 五( y ) ，、 g ( a ，b ) = g ，( a ) g ：( b ) 参照( 2 1 8 ) 分数傅里叶变换的表达式，将其扩展到二维，并在两个方向上取不 同的分数阶，可以得到更一般的分数相关，即变形分数相关： 第三章竞稻分数相关 四j i l 大学硕士掌位论文 c 。，( z ，“，) = f 。“p v ) l ：，。扣“ur 【厂g ，y ) 】f m n + k 0 ，6 ) 】) 一愕h 矧 整理后得到 h 零蜘唧e x p ( 等h 十一e d 等h 等h h 等脚小x 等h 等h h 等p 帅( 等h 等h h 爿e x 等卜h 爿e x p 半卜。1 4 ， 吒心川。唧 胁x 等卜f i ! f 2 ( y ) e x p ( 等p 童似x p ( 等卜弘k p 等卜 | c x p 耐b + 毒一毒 e d 埘删匕+ 毒一毒 幽 x - t 万v 2 ( i + 亍 - 毒 e x ” 一，z 石r ( 毒 + j 一毒 d 、， 2 4 第j 章变形分数相关 目j i i 大掌硕士掌位论文 ( 3 1 5 ) 式中q ，q ，p 。，p 。o ，分别是对作相关运算的两个函数，g ，y ) 和g ( a ，b ) 以及 c 0 ，v ) 实施分数傅罩叶变换的分数阶，t 和s 的表达式见式( 3 - 9 ) ( 3 一1 1 ) a 下面是实现变形分数相关的框图： 图3 - 2 变形分数相关实现框图 其意义是对g ( a ，6 ) 在x 和y 方向上实施p 。和p 。的分数傅里叶变换，然后求其共 轭，对s ( x ，y ) 在x 和y 方向上实施吼和q 。的分数傅里叶变换，将两个结果相乘， 再作分数阶为和，的分数傅里叶变换，最后得到变形分数相关。 变形分数相关是横向和纵向实施不同分数阶的分数相关，它是对分数相关 的扩展，当横向和纵向的分数阶相等的时候，变形分数相关变成为分数相关。 在变形分数相关中要实施三次分数傅里叶变换，而一个分数傅里叶变换在两个 方向上取不同的分数阶，从而会产生六个分数阶