（应用数学专业论文）具暂时免疫传染病模型的混沌性态.pdf

摘要 混沌作为二十世纪三大发现之一，其普遍性、复杂性和重要性已渐为 人们所接受在空气动力学、电子通讯、生物学中产生混沌现象的例子已是 屡见不鲜，而在传染病动力学中，是否也有混沌现象，我们至今尚未见到有 相关文献本文研究一类暂时免疫传染病模型( s i r s ) ，利用m i l n e k o v 方法 得到了该模型在周期小扰动下会出现混沌行为的结果 关键词：s i r s ；同宿轨；m i l n e k o v 方法；s m a l e b i r k h o f f 定理 a b s t r a c t c h a o s ，o n eo ft h et h r e eb i g g e s td i s c o v e r yo f s c i e n c ei n2 0 t h ，i t s u n i v e r s a l i t y ，c o m p l e x i t ya n di m p o r t a n c ea r ea c c e p t e db ym 0 8 t p e o p l e h o 陀v e r ，w h e t h e rt h e r ei sa l s oc h a o si nt h es p r e a d i n g o fe p i d e m i cd i s e a s e sw h i c h 牡ed e v a s t a t i n gr e c e n t ”a r s ，t h e r ei s n oe x p l i c i tr e s u l ti nr e l e v a n td o c u m e n t a r y i t h i sp a p e ri 8a i m e d a ts i r se p i d e m i cm o d e la n dg i v e sa8 e r i e so fs p e c u l a t e ，t h e n u t i l i z et h em e t h o do fm e l n i k o vg i v e sa p r o o fo f 幽a o si ns i r s e p i d e m i cm o d e l k e y w o r d s ：s i r s ；h o m o c l i n i co r b i t ；m e l n i k o vm e t h o d ；s m a l e - b i r k h o 行t h e o r e m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：羁l 互兰! 拿一刚胡：上塑鲑堕旦三垣 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：! 虱j ! 咝 指导教师签 学位论文作者签名：! 型j ! 聱 指导教师签 日 期：2 1 蚴邂日 名：描 期：扣惮 学位论文作者毕业后去向； 工作单位：盏盘墼墨芬学电话：丝照缒 通讯地址：盔塑崮酗堪釜潴担上大学 邮编：! 墨! ! 兰生 1预备知识 从1 9 6 3 年洛伦兹( k r e n z e ) 在数值实验中首先发现“蝴蝶效应”开 始，世界上便掀起了混沌研究的热潮。经过众多科学家的努力，人们发现： 大至洋流与大气的循环、宇宙中星体的运动，小至信号的传输、电子的移 动、甚至细胞的新陈代谢、刺激沿神经的传送等等在几乎所有的自然现象 中都有混沌的出现，混沌成为了人类进一步认识自然的手段 迄今为止，混沌还没有一个普遍适用的数学定义，人们用得比较多的 是由李天岩( l i t y ) 和约克( y o r k ej a ) 在1 9 7 5 年提出的l i y 0 r k e 定义， 即扁期3 意味着混沌；另一个是1 9 8 9 年d e v a n e y rl 给出的d e v 觚e y 定 义不管哪种定义，混沌都是指一种貌似无规则的运动，是在确定性非线性 系统中，不需附加任何随机因索亦可出现类似i 遣机行为( 内在随机性) 的现 象混沌系统最大的特点在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长 期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的，所以混沌的提出打破了拉普 拉斯决定论的经典理论 对于一个二维系统是否有混沌现象产生的判定通常我们可以通过判断 其是否有s m a l e 马蹄映射来实现，而s m a l e 马蹄的产生又可以利用m 出 n i k o v 解析方法来判定，只是这种方法要求系统受到一个周期性小扰动的影 响。而且未扰动系统必需有同宿轨或异宿圈存在下面我们就对判定一个二 维系统是否存在s m a l e 马蹄意义下漏沌现象的理论依据不加证明的叙述如 下 考虑二维周期扰动系统 士= ，( 茁) + e g ( z ，t )( 1 1 ) 其中z = ( z t ，z 2 ) ，= ( ，南) 7 ，9 = ( m ，9 2 ) 7 ，且存在t o 使得9 ( ，t + 其中z = ( zl ，z 2 ) 7 ，= ( ，2 ) 7 ，9 = ( m ，9 2 ) 7 ，且存在t o 使得9 ( z ，t + 1 t ) 三f ( z ，) 若未扰系统( e = o ) 的同宿轨记为卯( t ) ，则在扰动下该同宿轨破裂后的 稳定与不稳定流型在时刻t o 的距离可利用m e l n i k o v 函数来表示： 定义1 ( m e l n i k o v 函数) ，o 。 m ( t o ) = 7 ， 一) ) a g ( 9 0 0 一如) ，t ) 出 ( 1 2 ) j o 。 其中a 6 = 0 1 6 2 一0 2 6 1 ，若n = ( 口l ，n 2 ) t ，6 = ( 6 l ，6 2 ) t 定理1 ( s m 出e - b i r k h o f f 定理) 若m e l n i k o v 函数m ( t o ) 不依赖于，且 以亡0 为简单零点，即m ) = o ，m ( 如) o ，则h o 且足够小时，系统有 横截同宿点，即有s m a l e 马蹄产生，从而系统进入混沌状态 2 2具周期扰动的暂时免疫传染病模型 fs ( t ) = 一埘( ，s ) 一矗s + r 冗+ 口( ) j ( t ) = ，日( j ，s ) 一( 6 + ) ( 2 1 ) 【r ( t ) = t ，j 一( 6 + r ) r 这里s = s ( t ) 表示t 时刻易感者( s u s c e p t i b l e ) 数目，j = j ( t ) 表示t 时刻 染力，b ( ) 是出生率，它是= s + ，+ r 的函数，v 是由染病者转移到 s 有日( o ，s ) = o 将( 2 1 ) 式中三个方程相加得到。 我们仅在这个平衡态的人口范围内( 解平面s + i + r = 0 上) 来讨论传染病 发展的情况 方程( 2 1 ) 又被称为s i r s 模型，对于该模型已有众多学者进行过研 究如1 9 8 7 年，陈兰荪在文【1 中讨论了当日( ，s ) = 后，2 s 时的一些定性 稳定性等问题；1 9 8 6 年w e i m i n “n 在文【2 中用数值模拟的方法讨论了 h 0 p f 分支的存在性和由同宿分支产生极限环的可能性；1 9 9 2 年岳锡亭和 潘家齐在文 3 】及2 0 0 1 年李静在文【4 中分别用不同的方法证明了传染力 茸( j ，回= w s 时同宿分支的存在性2 0 0 3 年，s h i g u ir 肛a n 等人在文【5 中对s i r s 模型的传染力进行了修正，他们认为传染力在疾病流行的初始阶 段会随着感染者的增加而增强，但随着感染者的继续增多，感染者的有效 接触率会降低，故此时的传染力也会减小，在此基础上该文章首先给出了 极限环不存在，存在一个或两个以及有关其稳定性的条件，然后叉分析了 系统所谓的b o 酣a n o v - t a k e n 8 分支，即系统依次经历了鞍结点分支，h o p f 分支和同宿轨分支；2 0 0 4 年，d g r e e n h a l g h 等人在文1 1 0 】讨论了进行接种 疫苗对传染性疾病的流行所能带来的影响 从上述文章中可以看出，对传染力的不断修改引出了s i r s 模型很多 新的工作考虑到传染病的流行会受到包括周期性因素在内的多方面因素 的影响，而且许多传染病本身就具有很强的周期性，所以。我们考虑具有周 期小扰动的传染力：日( j ，s ) = f s + s 5 j ( b + r ) 8 i n 【( b + r ) q ，k 是常 数这里，我们对扰动项作出一些解释：从后文( 3 ) 可以看到同宿轨的得 出需要做一系列的变换，为了保证这里对传染力日( ，s ) 如的扰动项最终 恰好对同宿轨产生一个周期小扰动，且能取如ss i n ( t ) 这样较简单的形式， 就要求这里的扰动项必须是e 的5 次阶，同时对扰动的振幅和频率等也有 4 定的限制这时系统( 2 1 ) 化为： f ，( t ) = o ，2 一，3 一七彤2 一( 6 + u ) ，+ 5 ( 6 + r ) ，2s i n 砖( 6 + ) 纠 r ( t ) = ，一( 6 + r ) r( 2 3 ) 【s = 0 一，一r 我们把( 2 3 ) 称为具周期扰动的暂时免疫传染病模型，本文的目的就是要 证明在一定条件下( 2 3 ) 存在着复杂的混沌行为由预备知识我们知道，要 想证明系统存在混沌现象，必要前提是其未扰动系统存在同宿轨道或异宿 轨道，故下面我们先给出系统( 2 3 ) 的未扰系统同宿轨的存在性 5 未扰系统同宿轨的存在性 令系统( 2 3 ) 中= 0 ，贝f j 其未扰系统为： 以下我们仅在相平面( i ，r ) 上的三角形区域e e = ( x ，y ) ：。j r ，兄，f o ，咒o ，+ r 0 ) ( 3 1 ) 内考虑系统( 3 1 ) 的轨线性态，且文 1 】已指出e 是系统( 3 1 ) 的不变域，吸 引不变集 这里我们参照文【3 】。文【4 】以给出同宿轨的存在性和参数表达式作变 换，令 t = 寿，= 嘉z ，r = 罕 则系统( 3 1 ) 化为 ，6 + r 钉 6 + m 2 丽j 且总假定2 0 ，m o ，n o 俪。， 仃= v o ( 3 ，2 ) 对( 3 2 ) 的简单分析可知：当舻一4 m ( 1 + 1 ) o 时，系统有两个非平 凡奇点m ( z 1 ，z 1 ) ，( 筇2 ，口2 ) 一型尊， 6 一型乎 嚣 掣* 计 z m 一 妒 尬 叫 z o | i = 如万害 ，-i_li，、ii_l 瞄? 一“引“净2 一心2 一舻刈 2 + 2 c 。， a = ( ，2j ) d e t ( a ) = ( f + 1 ) z ；一m = o 面 打( a ) = m 一2 。；一l = o 亍 图1 如上图，在z 。一m 平面内我们可以清楚地看到：曲线面和亍将第一 象限分成了三个区域在曲线百的左侧即区域b 中系统只有一个平衡点， 在曲线面的右侧系统有三个平衡点，并且平衡点( z 。，。z ) 具有不同的稳 定性，同时还可知当参数从区域。穿越曲线亍到达区域c 时，( z 。，茁。) 会 从稳定的焦点或结点变到中心( 在曲线亍上) 再变到不稳定的焦点或结点 7 在曲线亍上平衡点m 与n 重合成复合平衡点，这时系统的动力学行为将 是较为复杂的，尤其是在曲线面和曲线亍的交点p ( 1 ，l + 1 ) 附近系统将 会呈现更为复杂的动力学行为下面我们就具体考虑当参数取在p 点附近 时系统轨线的几何性质 首先注意到在p 点有：m 一 一1 = o ，z ；= 1 ，扎= 2 m 这时阵 a 化为了： 4 = ( ；二；) 这是一个以0 为特征值，代数重数为2 ，几何重数为1 的阵，因此可以选取 对应于它的零特征根的两个特征向量： 一( ：) ，1 、 e 22io ( ：) 妣，柑盼渤 p 邓( 3 。) 【磐：d ( 。一6 b ) + 5 卢，1 十s 。，2 + 。卢，3 + t 卢2 ，4 一矿l 卢s + e 。( 1 一 ) 卢z ，2 = 一( 1 十1 ) 筇1 ) 2 0 + 【2 6 2 3 ( 1 + 1 ) 6 1 】2 一( 1 + 1 ) 3 ，3 = 一f ( 6 1 ) 2 + 【4 如2 ( 3 f + 2 ) 占1 o 一( 3 f + 2 ) 2 巨， s ， 函数为日( 口，p ) = 2 + ；6 舻口。2 ) ，综上易知系统( 3 5 ) 过鞍点( a b ，o ) d 。( r ) = 一器s e c z 乎r + g ( 3 6 ) 肿) ：一巡竽融。乎川 乎r 9 4混沌的存在性 下面我们回到系统( 2 3 ) ，这里，我们将要考虑的是周期小扰动最终对 参数取在p 点时的系统的同宿轨的影响 同样，对( 2 3 ) 做变换： 则一方面 t = 南，= 嘉z ，咒= 华” 豢= 等筹一学扎后糍扎e 宰，掣z 2 邓刊等m 吣州【嘉班i n ( 盯) 号窒：鱼0 z 。一生一 号磊2 f 川。旷一。r z嘲一寒茁柑执；n 嘉 故有： 筹= m z 砘2 一m 删) 柑$ 2 嘉0 s i n ( 吲 ( 这里仍有2 = 警 o ，m = 鬻 o ，仃= 孕o o ) 另一方面： 等= 丛娑塞= 掣叫m ) 罕可 出 d 亍 以t ，、7 。 号粤：z y r 所以有： 等一( 船一护一川卅也2 ：蚓 l 宰：z 一， 1 0 ( 4 ，1 ) 又由于，当= 0 时，系统( 4 1 ) 就是( 3 ，2 ) ，故仍令让= 。一z 2 ，u = f 一石2 ，则有 接着，仍然令 在这些标定下 d u _ _ d 亍 又由于 礼】札2 一f u 3 一 ( 。2 + 让) 2 一2 吼t 札3 附) e 2 r = = ，z 2 = l + 2 6 l ，m = f + 1 + e 2 如 筹= 等= s 3 等= 钍一”= s 3 卢等等= 卢而2 面2r 丽2 钍一”25 。卢辛石2 卢 ( 4 2 ) 学= s 3 等+ s 4 箬= s 3 卢+ e 4 卢 ( m 一2 z ；) ( 5 2 0 十e 3 卢) 一【( 3 + 1 ) 一叫( e 20 ：+ s 3 卢) 2 一f ( s 2 a + 3 卢) 3 名( 茁。+ 如+ 即) 2 ( 如+ 即+ 瑚2 ；0 s i n f = 争筹= 州如一2 ( f + 1 ) 6 - 一( 2 + 1 ) 凸4 + 叫p ( 如一2 f 以一2 f a ) + 圭0 s i n r 】 + e 2 【一( f + 1 ) d o + ( 2 如一3 ( f + 1 ) 6 1 ) 口2 0 + 1 ) 0 3 】 + 5 3 卢 一f 如+ ( 4 6 2 2 ( 3 f + 2 ) 6 1 ) o 一( 3 f + 2 ) 0 f 2 】+ ( + 占1 ) s i n r + 4 卢2 【2 如一( 3 f + 1 ) 6 l 一( 3 f + 1 ) “】+ 卢s i n r e 5 f 卢3 + 2 ( 1 一f ) p 2 = ：( n 一6 ) + 爿+ s 2 矗+ e 3 卢矗+ 4 卢2 丘+ e 5 z 卢3 + 2 ( 1 一f ) 卢2 = 血( 口一6 ) + s 爿+ o ( 2 ) 1 1 现 射州 一 蚴沁 卜 却舻 一 妣万 咖万 这里：爿= 卢( d 2 2 f 6 1 2 f a ) + js i n r 荔三三n 一。a ，+ 。，i + 一是+ 一卢尼+ 一卢。矗+ 一。卢。+ 护。一。，芦。c a s ， f 辨= + 坳= 卢 i 筹= ，2 + g z + o ( e 2 ) = 口。一6 a ) + e 啦+ o ( s 2 ) ( 4 4 ) r 十。 m ( 下0 ) = 。 ，( 0 o ( 下一下b ) ，风盯一r o ) ) 9 ( q o ( 丁一下b ) ，卢o ( 下一下o ) ，r ) d r ，十 = ，( a o ( 丁) ，岛( r ) ) g ( o o ( 7 一) ，岛( 7 - ) ，7 - + ，n ) d 7 r 十 = ( d o ( r ) ，岛( 丁) ) - 9 z ( a o ( 下) ，岛( r ) ，7 一+ ) 打 j 一 = c ( 6 z _ 2 2 6 ，也俐) + 去0 刖s i n ( r + 伯) ：掣( 如划卜警) e 剃川字小舯( 字r 渺 1 2 + 驾产es e c 暇字小卿( 字r 弦 雩；炳e 。础z ( 字小州雩r ) s i n ( 丁打 由于 同理 所以 ，佃黜t t 2 出 j 一。 = ；f 十o os e c 2 d t t 九3 t dj 一。 = 扣e c 脚埘圳! 器+ 2 e 黜肌砒圳 ：；( 。+ z e 彬= ；( 川- ；) = 畚 cs e c 肌钟t 出= j e s 咖4 t 执3 t j 一。o = 孤e c 脚州t ) i 三器+ 4 e s e 甜川肫d t1 = ；( 。壶) = 盖 es e c 玳字r 暇字r ) 打= 去。鑫 es e c 识字r 暇字r = 击。盖 因此关键在于计算积分 k es 砒。( 字 ( 字下) s i n ( 丁d r = 去e 僦2 川胁s i n c 杀d t 下面运用留数定理计算该积分，令 f ( z ) ：s e c 胪z t 耽e ( 舞+ ”) 1 3 则有 悃f ( z ) 出：广。靴危2 2 抛e ( 舞州如f ( z ) 出= s e 如2 2 t 耽e 2 ( 于佃如 j o o ，一。 = e 删盹m 删o s ( 去如+ t e 僦心嘶鹪i n ( 隽刊如 于是有 而 ，= 去，me 砟 ，+ 。f ) 如：+ 0 0s e c 2 z t z e i ( 孑鼍+ q d z f ( z ) 如= 删炉z t 耽e “急恂j d z j j o o 下面考查 ：e i m 厂佃s e c 2 z t 舷( 考；如 j o 。 f l ( z ) ：= s e c 危2 z t 如e ( 惫) 在围道m n p q ( 如图2 ) 上的复积分 由于 只( z ) ：= s e c 舻z t z e ( 舞)= ( 南) 2 筹治=篙筹e 哓 f e 。+ e 。) 3 所以毋( z ) 在m n p q 中有两个三级极点：句= ；i ，施= ；莉 q ( 一r ，2 州) 2 们 p ( r ，2 7 r i ) 2 2 = 3 而2 z 1 = ，r i 2 m ( 一r ，o ) 0 ( o ，o )( 最o ) 图2 1 4 于是由留数定理 丸p 。f l ( z ) 如= 2 们 r e s = 一f l ( 。) + 兄e s 。f 2 ( z ) 】 = 2 州( 4 + 萼) e 意i + ( 4 + 萼) e 翻 下面计算上式最左端 屯尸口f 1 ( z ) 出= 厶f 1 ( z ) 出+ 厶p 毋( z ) 如+ 二qf l ( 。) 如+ 厶 ff l ( z ) 出 其中 厶耻) d z = 仁眦) 出 二口眦= 一等篇e 訾出 = 一e 高篇e i 撩出2 _ e 而上r 菅看希e 嚆出 ：一。高，rf l ( 茁) 出 j 一冗 厶p 毋一j ( 州筹篇e 嘲州屹” 厶m 眦= 一广筹篙e 嘲珊训妇 对于k 。f 1 k 1 如，因为 i i 广篙篝哥e 嘲酬圳s 警瑞z 丌 故氏pf l ( z ) 出o ( 当冗+ 。时) ，同理如mf l ( z ) 如o ( 当 r _ + o 。时) 于是联立( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，令r + o o 再结合留数定理可得： ( 1 一e 麓) ef 1 ( z ) 如= 克p 口f l ( z ) 如= 2 丌( 4 + 萼) ( e 击一e 舞) 因此： l 佃f 1 ( z ) 如：( 8 + 娑) 丌受三至 上。f 1 ( z ) 如= ( 8 + 詈) 丌i 素 j 一 u l 一口一o 于是 所以 邓+ 詈箦 一ft 邓+ 制 ，= 去，m e 即) 出 = 去伽眇e 郫m = 去诽咖训s + 蔫， = 一去c s + 端咖伯 帅，= 掣c 如嘲一警，去蠢+ 掣。z 去盖 + 挈去知+ 矧s i n 罚 = ：p + q + r s i n 伯 因此，当i 警f 1 时m ) 有简单零点，也就是说同宿轨破裂之后 稳定流形和不稳定流形发生了横截相交，从而产生了混沌 定理2 当系统参数满足条件i 警i 1 时，m ) 有简单零点， 从而具周期小扰动的s i r s 传染病模型有混沌解存在 1 6 参考文献 1 】陈兰荪，生物动力学系统讲义，中国科学院数学所，1 9 8 7 2 】w e i m i l i n ，i e v j a ，s a a n dy ，1w a 8 a ，i n u e n 佃o fn o l i e a ri c j d e i l tr 砒e s u p o nt h eb e h 矗v i o ro fs i r se p i d 唧i o l o g i c a lm o d e l 8 ，j m a t hb i o l o g y2 3 ，1 9 8 6 【3 潘家齐，岳锡亭。具暂时免疫传染病模型的无限周期分支，东北师大学 报自然科学版，1 9 9 2 【4 1 李静，具暂时免疫传染病模型的同宿分支，2 0 0 3 1 5 r u a s h 吨u i g 1 0 b a la n a l y b i s | ap r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hn o m o n o t o 血c f u n c t i o n a lr e s p o i l s e j j s i a mja p p lm a t h ，2 0 0 1 ，6 l ( 4 ) ：1 4 4 5 1 4 7 2 1 6 js w i g g i s ，i m m d u c t j o nt oa p p l 沁dn o n l i n e a rd y n a m i c a is y s t e m sa n dc h a o s ，s p r i n 舻r ，1 9 9 6 【7 沈家骐，余伯华，非线性扰动系统的紊动性态，数学学报2 ，1 9 8 8 8 1 张立震，黄德斌，郭荣伟，周期扰动下卫星运动系统的动力学性质，应 用数学与计算数学学报，2 0 0 4 【9 】s h i g u ir u 锄jw i n d lw a i l 舀d y 眦i c 虬b e h a v i o r0 fa ne p i d e i r 血瑚【o d e lw n a o n l i n e 肛j n c i d e n c er a t e ，j o u r n a lo fd i 腼e t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 3 【1 0 】d g r e e i l h a l g h ，q j a 噩h a n ，f i l e w j s ，h d p f b i 缸c a t i o ni nt w os 1 r sd e n s i t y d 印e n d e n te p i d e m i cm o d e l 8 ，m a t h e n a t i c a la n dc o m p u t e rm o n - d e l l i n g 2 0 0 4 1 1 】h w h e t h c o t e ，p 啪d e nd r i e s s c l l e ) s o m ee p i d e m i 0 1 0 9 i c mm o d e lw i t hn o n - l i n e a ri c i d e n c e ，j m a t h b i 0 1 2 9 ( 1 9 9 1 ) 2 7 l 一2 8 7 m l 1 z a n a ，jr i v e r o ，m u h i p a r a m e t r i c b m r c a t i o n sf o ra 脚d e li e p i d e m 址 o g