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基于高阶统计量和 混沌遗传算法地震子波提取方法的研究 霍志勇( 信号与信息处理) 指导教师：戴永寿教授 摘要 地震予波估计作为地震资料反摺积处理、波阻抗反演以及正演模拟 的基础工作，是国内外地震信号处理中长期研究的重要课题。地震子波 恢复的好坏直接影响地震信号处理质量，并影响资料解释。常规的地震 子波提取方法都要作一些真实地震资料难以满足的假设。为了克服上述 缺点，本文采用了基于地震汜录m a 模型假设的累积量拟合优化法进行 地震予波提取，它不仅能保留地震记录的相位信息，而且能有效消除具 有高斯分布的地震噪声。 累积量拟合优化法地震子波提取实质上是一个非线性反演问题，拟 合目标函数的求解是复杂的非线性优化问题。本文首先对遗传算法和混 沌优化方法两种非线性优化算法进行了研究，并将两种算法结合起来， 提出了一种新的适用于地震子波提取问题的混沌遗传算法。该算法能够 有效地维持种群的多样性，克服进化过程中的“早熟”现象。经典测试 函数的仿真实验结果表明混沌遗传算法能够迅速收敛到全局最优解，具 有较好的稳定性，是一种有效的非线性优化方法。将混沌遗传算法应用 于累积量拟合优化地震子波提敬中，合成地震数据和实际地震数据处理 结果表明混沌遗传算法对累积量拟合优化法地震子波提取具有良好的适 用性和稳定性。 通过上述新方法的应用，子波提取的准确度和效率得到了显著的提 高，同时也可以预见高阶统计量方法在地震勘探领域里将有着更加广阔 的应用前景。 关键词：地震子波提取，高阶统计量，拟合优化，混沌遗传算法 s e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o nb a s e do nh i g h o r d e r s t a t i s t i c sa n dc h a o t i cg e n e t i c a l g o r i t h m h u o z h i y o n g ( s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rd a iy o n g s h o u a b s t r a c t a st h eb a s i so fd e c o n v o l u t i o n ，w a v ei m p e d a n c ei n v e r s i o na n df o r w a r d m o d e l ，t h es e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o ni sal o n g t e r mr e s e a r c hi ns e i s m i cd a t a p r o c e s s i n g t h eq u a l i t yo fi t sr e c o v e r ya f f e c t st h es e i s m i cs i g n a lp r o c e s s i n g a n dd a t a e x p l a n a t i o nd i r e c t l y c o n v e n t i o n a lw a v e l e te x t r a c t i o nm e t h o d s u s u a l l yh a v ea s s u m p t i o nt h a tt h ew a v e l e ti si nc e r t a i nf o r m b a s e do nt h em a m o d e lh y p o t h e s i so ft h es e i s m i ct r a c e ，t h ec u m u l a n tm a t c h i n gm e t h o di s p r o p o s e di nt h i st h e s i s t h i sm e t h o dn o to n l yr e t a i n e dt h ep h a s ei n f o r m a t i o no f t h es e i s m i cd a t a ，b u ta l s oe f f e c t i v e l ye l i m i n a t e dt h eg a u s s i a nn o i s e t h ec u m u l a n tm a t c h i n gm e t h o dw a san o n l i n e a ri n v e r s i o nq u e s t i o n e s s e n t i a l l y ，a n ds o l v i n gt h et a r g e tf u n c t i o nw a s ah i g h l yn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h i st h e s i sd e t a i l e d l y s t u d i e dg e n e t i c a l g o r i t h m s a n dc h a o t i c o p t i m i z a t i o nm e t h o d ，t h e nc o m b i n e dt h e mt op r o p o s e ac h a o t i cg e n e t i c a l g o r i t h m ( c g a ) f o rs e i s m i c w a v e l e tc a l c u l a t i o n t h ec h a o t i cg e n e t i c a l g o r i t h me f f e c t i v e l ym a i t a i n sp o p u l a t i o nd i v e r s i t ya n d a v o i dp r e m a t u r e p h e n o m e n o ni l lt h ee v o l u t i o n s e v e r a lt y p i c a lb e n c h m a r kf u n c t i o n sn u m e r i c a l s i m u l a t i o n ss h o wt h a tc g aj sa ne f f e c t i v en o n l i n e a rj n v e r s i o na l g o r i t h mw i t h f a s tg l o b a lc o n v e r g e n c ya n dh i g hs t a b i l i t y t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n dr e a l s e i s m i cd a t a p r o c e s s i n gd e m o n s t r a t e t h ea p p l i c a t i o na n ds t a b i l i t yo ft h e w a v e l e te s t i m a t i o nm e t h o db a s e do nf o u r t h o r d e rm a t c h i n ga n dc g a t h ep r e c i s i o na n de f f i c i e n c yo ft h es e i s m i cw a v e l e te x t r a c t i o ng a i n o b v i o u s i m p r o v e m e n t w i t ht h e a p p l i c a t i o n o ft h en e wm e t h o d t h e a c h i e v e m e n t si n d i c a t et h eb r o a da p p l i c a t i o nf u t u r eo fh i g h o r d e rs t a t i s t i c si n t h ef i e l do ft h es e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g k e yw o r d s ：s e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o n ，h i g h - o r d e rc u m u l a n t ，c u m u l a n tm a t c h i n g c h a o t i cg e n e t i ca l g o r i t h m v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：爨多御年月2 同 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公靠论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 2 川年6 月乙f t 1 年易月；同 中国袖人学( 华尔) 硕十论文第1 章前言 第1 章前言 1 ，1 课题背景及研究意义 随着全球对石油这一重要能源要求的不断增加，以及科学技术水平的 飞速发展，石油勘探已不满足于认清地下地质构造，找到有利油气富集构 造的水平。目的石油勘探己进入精细勘探阶段，力图对地震资料精细处理 分析，从中找到更隐蔽的油气有利圈闭，并定量的分析、描述地下地质储 层岩石孔隙度、泥质含量、渗透率等参数的空j 日j 分御情况，为油气开发提 供可靠的地质依据。 地震勘探方法是地球物理勘探重要方法之一。它主要是通过人工激发 震源产生地震波，地震波在向地下传播中遇到两种不同地层分界面时就会 产生反射i ”。在地面上用检波器记录不同时间反射波的振幅，经过对地震 记录的处理分析地下的地质构造以及地层岩石物性等，为寻找油气和其他 勘探目的提供有利依据。在地震勘探【2 】领域，随着野外地震资料采集和记 录过程同趋复杂化，室内地震资料数字处理中消除或削弱各种干扰因素以 及人为影响的问题已变得越柬越突出了。目f ；i ，提高分辨率的处理方法主 要还是采用反褶积技术| 3j ，而地震子波估计是地震资料反褶积处理、地震 波阻抗反演和地震诈演模型的基础1 4 】。所有这些使得地震子波估计问题研 究一直得到人们的高度重视。因此可以说，对地震子波的研究在地球物理 勘探领域中是一个重要的研究课题。 在过去几十年的常规地震信号处理中，人们都把二阶统计( 如相关函 数，功率谱密度函数等) 作为主要的处理手段 5 “，但是二阶统计本身存在 很多的不足，首先，在功率谱估计的过程中，如果把随机过程看作是不同 谐波分量的组合体，必须假设各个谐波分量互不相关，然后再估计各个频 率成分的能量分布，这样各个频率分量的相位关系受到抑制。因此，该方 法只对线性系统有效。此外，相关函数与功率谱中所包含的信息只能完整 的描述个已知均值的高斯过程，即其应用取决于信号的高斯性假设。再 次，自相关与功率谱只能提供所研究信号的幅度信息，而不能提供相位信 息，也就是浼，自相关与功率谱估计技术不能解决非最小相位系统的辨识 中国_ i 油人学( 华东) 硕十论文第1 章前言 及建模问题。最后，自相关与功率谱估计技术处理许多问题的前提是假设 所观测到的噪声是高斯白噪声，而不能处理非高斯噪声或有色噪声。为了 解决这些问题，人们引入了高阶累积量这一新的数字特征。 近年来，随着高阶统计理论进一步发展和完善，高阶统计信号处理已 经渗透到信号处理各个领域，并涌现出了大量理论和应用研究成果们。 高阶统计量“3 j 是描述随机过程二阶以上统计特性的一种数学工具，它是 在二阶统计基础上发展起来的，同时克服了二阶统计量因缺少相位信息而 无法直接处理非最小相位系统的固有缺陷，并包含更为丰富的内容。高阶 统计包括高阶累积量和高阶矩，同样与自相关函数的傅立叶变换定义为函 数的功率谱类似，高阶累积量的多维傅立叶变换定义为高阶谱( 或称多谱) 1 4 1o 高阶统计量与二阶统计量( 自相关函数) 相比具有三方面显著的优点： ( 1 ) 高阶累积量具有对高斯有色噪声恒为零的特点，因而可用于提取高斯 有色噪声中的非高斯信号：( 2 ) 高阶累积量含有系统的相位信息，因而可 用于非最小梢位系统辨以：( 3 ) 高阶统计量可用于检测和描述系统的非线 性，如检测高斯信号或：作高斯信号。这些特征使得高阶统计量已成为信号 处理领域中一种新的强有力的工具，其应用范围已涉及通信、声纳、雷达、 语音处理、图像处理、地球物理、生物医学工程、故障诊断等领域。而高 阶统计量方法在石油物探上的应用，很可能为石油、天然气的勘探开发开 辟出新的前景。 1 。2 地震子波估计研究现状 地震子波是一段具有确定的起始时白j 和有限能量有限延续长度的信 号，它是地震记录中地震的基本单元。一般认为，地震震源激发时所产生 的地震波仅是一个延续时自j 极短的尖脉冲。随着尖脉冲在粘弹性介质中传 播，尖脉冲的高频成份很快衰减，波形随之增长，变成了一个具有有限频 带宽度和一定延续时i 日j 的地震子波。一个地震子波一般有二至三个相位的 延续长度，大约有l o o m s 左右。地震波是以地震子波的形式在地下传播。 1 2 1 常规地震子波估计的应用现状 地震予波估计的基本框架就是褶积模型，也就是包含子波以及反射系 数序列再加上噪声的地震道l i 1 7 1o 如果子波已知，那么反射系数可以被反 中国i 油人学( 华东) 硕十论文第1 章前言 演为尖脉冲序列，从而为地震资料数字处理提供有力的依据。 目丽，地震子波信号的提取方法可以分为两大类1 1 副：第一类是确定性 ( d e t e r m i n i s t i c ) 子波提取方法，第二类是统计( s t a t i s t i c a l ) 性子波提取方法。 确定性子波提取方法l i ”“，指的是利用声波测井和密度测井资料，首 先计算出反射系数序列，然后结合井旁地震道由褶积理论求出地震子波， 其中假设地震系数需要由测井等方法得到。传统的维纳最小平方滤波法、 谱除法、广义线性反演方法都是经典的确定性子波估计方法。确定性子波 提取方法的优点是不需要对反射系数序列的分布做任何假设，就能得到较 为准确的地震子波，缺点是需要利用测井资料首先求得反射系数序列。 统计性子波提取方法是利用信号处理技术对有限的地震数据记录进 行统计处理。充分利用地震数据记录的幅值、相位、频率等各种信息，提 取更适用的子波来提高地震勘探结果的准确性。统计性子波提取方法的优 点是不需要测井资料，也可以得到地震子波的估计，但缺点是需要对所用 4 的地震资料和地下的反射系数序列的分行进行某种假谢”1 。统计性方法首 先由r o b i n s o n ( 1 9 7 5 ) 提出，它基于这样的假设，即地震子波是时不变的， 地下反射是具有白噪谱的随机序列【2 ”，且地震道不含噪声。则观测的地震 道的自相关就给定了地震子波的自相关的一个估计，也就是已知了地震子 波的振幅谱，对于子波的相位谱，则必须给出一些假设( 最小相位、零相 位、最大相位) 。实际上地震子波是一种混合相位子波1 2 “j ，因此基于自 相笑的统计性子波估计方法不能得到准确的结果。 对于提取子波的两类方法而言，确定性子波提取方法由于需要震源信 息以及测井资料计算反射系数，因而应用范围受到限制。而统计性( 二阶 统计量) 子波提取方法，一般需要假设地下反射系数是满足高斯分布的白 噪声，地震子波满足最小相位且地震记录不含噪声，这些假设都与实际情 况不符1 2 ”。因此，许多研究者提出了一些基于不同准则和假设的非最小 相位子波提取方法眇2 8 i ，如同态子波估计技术、在l p 模准则下的l p 模 反褶积、最小熵反褶积等等。但是，目的这几种主要的统计性地震子波提 取方法是基于二阶统计量的，在处理过程中损失了信号的相位信息，这对 于求取准确地震予波而占是不利的。 中国i i 油人学( 华尔) 硕十论文第1 章前言 1 2 2 高阶累积量地震子波估计的应用现状 随着高阶统计量方法在信号处理领域的广泛应用和研究，地球物理工 作者逐渐认识到应用高阶统计量方法可以从地震资料中提取一个非最小 相位的实际地震子波。目f i 人们从四个不同的角度研究了高阶统计量提取 地震子波的方法，即基于累积量的拟合优化法、基于累积量的矩阵方程法、 基于双谱的相位重构法和基于倒三谱一累积量方程的地震子波估计。 ( 1 1 基于累积量的拟合优化法的地震子波提取 应用商阶累积量拟合法( h i g h o r d e rc u m u l a n t sm a t c h i n ga p p r o a c h ) 提取 子波【2 9 3 i 】无须对予波做任何假设，并能有效消除具有高斯分稚的地震噪 声。根据t u g n a i t i ”】提出的实际数据四阶累积量与m a 过程中子波四阶矩 的拟合来估计混合相位子波的方法，l a z e a r i ”】首先将高阶统计量应用到了 地震资料信号处理中，从真诈意义上抛弃了地震子波处理中的最小相位假 设。该累积量拟合优化方法进行地震资料的混合相位地震子波的估计，根 据地震数掘处理的经验假设地震反射系数为非高斯的、平稳的、统计独立 的随机过程，地震记录中的噪声为高斯有色噪声，利用高阶统计量的定义 与性质，可建立如下优化问题的目标函数： e = c 旷m 。 2 ( 1 1 ) 其中c 4 。为地震数据的四阶累积量， 为估计的地震子波的四阶矩， 目标函数f 为地震予波的函数，且目标函数的求解是一个非线性多参数多 极值的优化问题。l a z e a r 2 5 1 和h a r g r e a v e s i ”1 采用梯度下降法进行优化求 解，文献 3 4 ，3 5 1 分别采用模拟退火和混沌优化束求解上述目标函数，同 时引入一个时窗函数来改善高阶累积量计算中对信号长度的要求，应用非 线性优化算法也在一定程度上改善了累积量拟合优化的计算效率和精度。 文献f 3 ，1 8 1 在目标函数中引入了对地震子波空变的测井约束，同时采用高 阶累积量矩阵的奇异值特征来确定子波的长度。 ( 2 ) 基于累积量的矩阵方程法的地震子波提取 该方法的实质就是针对f i r 系统使用高阶累积量的m a 参数估计。 4 中国i 油人学( 华尔) 硕十论文第1 章前言 通过寻找信号累积量( i 聊，n ) 和系统响应的线性关系，建立m a 模型参数 矗( f ) 与输出信号高阶累积量的一套矩阵方程，求解咳方程组既可得到f i r 系统的响应参数。地震记录可以看成一个含加性色噪声的f i r 系统，因此 可以利用地震数据的累积量来估计系统的响应即地震子波。文献 2 6 ，2 9 】 在f i r 系统条件下利用如下的矩阵方程进行了地震子波的估计试验。 杰 ( f ) c ( q ，f f ) = c 。( ，o ) c t 3 ( g ，o ) c h ( 口，日) ( 1 2 ) 羔矿( 0 c h ( g ，f + f ) ：c 。( ，o ) c 。( q ，q ) c “( g ，o ) ( 1 3 ) 其中，- 4 ，1 ，0 ，1 ，qq 为地震子波的长度，k 为选择的累积量的阶 二数。该方法计算时间短，对于压制加性高斯色噪声具有很好的效果。 譬 ( 3 ) 基于双谱的子波相位重构法 ： 利用高阶累计量包含信号的相位信息特点，来克服地震资料反褶积处 理中对地震子波相位的限制，采用了地震信号的双谱来重构地震子波的相 位信息，利用了地震信号的功率谱来求取地震子波的振幅谱，将这两部分 信息合并即可重构出地震资料中的地震子波，然后利用从实际资料中估计 的地震子波对地震剖面进行子波处理，达到提高地震资料分辨率的目的。 其双谱重构相位采用了一种递归的b r 算法。其表达式为： 氟( 咖三1 2 r 咖胁一n ( 4 , ( 0 - - , i ) 如i ( 1 4 ) 其中纯为地震子波的相位谱，g ，锡) 为信号双谱中的相位谱。该方 法直接利用双谱估计出地震予波的相位谱，这对于地震记录的子波剩余静 校讵、消除子波相位影响具有一定的应用价值。 ( 4 ) 基于倒三谱一累积量方程的子波估计 首先将一个混合相位的地震子波分解成最大相位信号和最小相位信 中国f 釉人学( 华自：) 硕十论文第1 章前言 号两部分的褶积，然后从高阶统计量和高阶谱的定义及性质出发，即可建 立如下所示的信号倒三谱于信号累积量的一个超定方程组： 其中m 为信号四阶累积量的峰度，尬( 毛幻七3 ) 为信号的倒三谱，它 包含了地震予波的最大相位和最小相位信息，c 4 y ( r i r 2 旬) 为地震信号的四 阶累积量。在最小二乘意义下求解上述超定方程组即可恢复出地震资料中 的混合相位予波。咳方法一般较为稳定，能有效克服高阶累积量估计地震 子波中的多解性。 根据目前的研究现状来看，在地震子波估计这一传统的题目中还有很 多的工作有待于改进。现代信号处理等新技术的引入，也仅仅是处于初始 阶段。研究人员只是将高阶统计量与地震子波的处理进行了简单的结合， 仅仅是从理论一卜r 进行了探讨并进行了一些仿真试验，说明其可行性而己， 基本上还没有人真i f 地将两者的结合应用到实际的资料处理中，对于所应 用对象的优效性与准确度也值得进一步的研究与探讨。 1 ，3 研究内容 ( 1 ) 应用高阶统计量参数化谱估计方法建模，进行地震子波估研究。 高阶统计量保留了信号的所有相位信息且高斯信号的高阶累积量恒等于 零。利用此方法具有对任意相位子波和任意高斯噪声信号盲目的特性，对 地震记录信号进行累积量拟合分析，选取合适的概率模型和优化准则进行 地震予波估计，建立一个累积量拟合的目标函数。 ( 2 ) 非线性优化方法的研究。对建立的累积量拟合目标函数进行最优 化求解涉及非线性多极值全局寻优问题，分析综合常规非线性优化方法的 优缺点和使用限制条件。在此基础上，针对地震记录信号和地震子波的特 点，选用了混沌遗传算法。该方法能有效克服遗传算法早熟现象、局部寻 优能力较差等缺点，具有一定的可行性。 ( 3 ) 混沌遗传算法性能分析及其改进完善。对上述算法进行数据仿真 6 中国_ i 油人学( 华尔) 硕十论文第1 章前言 实验，根掘实验结果对算法性能进行综合分析，并提出相关的改进方法 使其不断完善。最后通过对实际地震资料数据的处理，绘制地震剖面图 与处理前的剖面图进行对比，进一步验证该方法的可行性。 中国i 油人学( 华尔) 硕十论文第3 章混沌遗传算法 第2 章高阶统计量的基本知识 在数字信号处理中，随机信号的统计特性可以用二阶统计量( 时域为 相关函数，频域为功率谱) 来描述，也可以用信号的高阶统计量来描述。 相关函数和功率谱存在一些缺点，例如它们具有等价性，不能辨识非最小 相位系统；它们对加t e 噪声敏感，一般只能处理加性白噪声的观测数据。 为了克服这些缺点，就必须使用三阶或更高阶的统计量，一般包括高阶矩、 高阶累积量及高阶谱，它们统称高阶统计量。基于高阶统计量的信号分析 称为信号的高阶统计分析，也称非高斯信号处理。由于高阶累积量在理论 上可以完全抑制高斯噪声的影响( 高阶矩没有这样的性质) ；而高阶谱包含 了比二阶更多的信息，随机信号的二阶谱( 功率谱) 可以反映信号各谐波的 幅度信息，但不包含相位信息，而高阶谱不仅可以反映各谐波的幅度，也 可以反映各谐波的相位：因此高阶统计量特别是高阶累积量和高阶谱在数 字信号处理领域受到很多关注。 2 1 特征函数 随机过程常用 坝己，) n 表示，定义为两个自变量f q 和f 丁 的一个集合函数。其i f j ，q 为随机变量簇的样本空间，r 为参数t 的集合。 随机过程坦己，) 能以两种方法描述：表示成随机变量簇 坝二，) ，乃对 任意如t ，段己f ，) 随机变量；表示成，上的一个函数集致厶f ) ，6 q ， 对任何给定的6 q ，坦专，) 是一个样本函数，即一个过程的实现。 为简便，常将随机过程的自变量亡略去，将随机过程坝专，) 的样本函 数记作工( ，) ，将样本函数的采样值构成的随机序列，记作，1 ) ，将随机过 程记作朋，) 或x j 。 对单个随机变量x ，对应概率密度函数胴，其特征函数声( ) 定义为： 矿( 埘) = ( z ) p d x = e p 1 “】 ( 2 1 ) 中国4 釉人q - ( 华东) 硕十论文第3 章混沌遗传算法 我们称其为第一特征函数，它实际上是概率密度函数他) 傅罩叶变换。 对痧( 埘) 的对数： p ( 缈) = i n ( 甜) ( 2 2 ) 通常称( 2 2 ) 为随机变鼍x 的第二特征函数。 将其推广到f 维( 谱估计) ：则 个随机变量 五，) 的联合 特征函数为： 妒( q ，( 9 2 峨) = e e x p j ( m , x i + 哆x 2 + + ( 1 n x n ) 】 其第二特征函数为： g v ( c o l ，2 ，) = i n ( q ，吐，啡) ( 2 4 ) 2 2 高阶统计量的定义 高阶统计量，通常指高于二阶的统计量，一般包括高阶矩、高阶累积 量及其谱( 此外，还有倒谱和循环累积量) ，信号的高阶谱( 在此特指累积量 谱) 是由信号的高阶累积量柬定义的。 221 随机变量的高阶矩和高阶累积量 对砖岛一特征函数式( 2 1 ) 求女阶导数得： ( 珊) = d 妒( ) ，d 缈。= re x p7 “) 9 ( 2 5 ) 中国i i 油人学( 华尔) 硕十论文第3 章概沌遗传算法 定义随机变量x 的k 阶( 原点) 矩仉和中心矩以分别为【1 1 1 ： m d e e x _ e 石厂( x ) d x 纯一d e f e ( x - q ) = ( x 一7 7 ) f c x ) d x ( 2 6 ) ( 2 7 ) 式中口= e 扛) 代表随机变量x 的一阶矩，即均值。对于零均值的随机变 量工，其k 阶原点矩和k 阶中心矩等价。令随机变量和随机信号的均值为零， 则由式( 2 5 ) 中令= o ，即可求出x 的k 阶矩为： = e x ) _ ( 一j ) d # ( c o ) d c o l 。= ( 一j ) 矿( o ) ( 2 8 ) 其山随机变j “i n x 的第特征函数的k 阶导数生成，故常将第一特征函数 m ( m ) 称为矩生成函数i 。 与k 阶矩的定义式相类似，可定义随机变量x 的k 阶累积量为： 气= ( 一j ) 。d l n 驴( a o d r o i = ( 一j ) ( o ) ( 2 9 ) 与( 2 8 ) 类似，( 2 9 ) 由随机变量x 的第二特征函数的七阶导数生成，第一 特征函数又称为累积量生成函数1 。 2 2 2 随机过程的高阶矩和高阶累积量 没 x ( 疗) 是一零均值的k 阶平稳随机过程，由式( 2 3 ) 和式( 2 8 ) 联合可 得，陔过和! 的k 阶矩定义为： ，( ，气一i ) = m o n x ( n ) ，x ( 玎+ r 1 ) ，x ( n + q 1 ) ( 2 1 0 ) 中国_ i 油人学( 华尔) 硕十论文第3 章混沌遗传算法 其中，f ( f = 1 2 ，k 一1 ) 是任意实数。 其k 阶累积量定义为： g 。( r r 。l k i ) = c u m x ( n ) ，x ( n + 7 i ) ，x ( n + o 1 ) ( 2 1 1 ) 其中，f ，( i = 1 2 ，k 一1 ) 是任意实数。 对一零均值的随机过程 “珂) ，其高阶累积量也可定义为： l _ ( r i ，l k i ) = e 工( 疗) ，x ( n + r i ) ，x ( n + f 一i ) ( 2 1 2 ) 一e g ( 打) g ( 厅+ - t i ) ，g ( ，z + r k 1 ) ) 硷3 ， g ( ”) - b - x ( n ) 有相同二阶统计量的高斯随机过程。由此定义 可知：高阶累积量不仅是其高阶相关性的一种度量，它也是非高斯性的一 种度量，即高阶累积量描述了随机过程偏离正念的程度。 由以上分析知高阶累积量和高阶矩有如下转换关系】： r e a l ) = z 。l q ：c 。( 1 p k ) i ) p - i ( p - 1 ) ! 兀( 0 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 式( 2 1 3 ) 称为累积量一矩转换公式，简称c - m 公式，式( 2 1 4 ) 称为矩一累 积量转换公式，简称m - c 公式。其中= 1 2 ，七代表随机向量坂助= 口l ， x 2 ，j k 的元素下标集合，q 表示易中所含划分的个数，么表示易的第个划 分，u ：；，k2 ，。g 应依次取为l 2 - ，女为随机向量的维数。p 表示所有 厶对应的集合所确定函数求和。 中国f i 油人学( 华尔) 硕十论文第3 章偶沌遗传算法 2 2 3 随机过程的高阶累积量谱和高阶矩谱 众所周知，信号的功率港密度定义为其自相关函数的傅罩叶变换。类 似的，可e i j 此定义高阶矩和商阶累积量的潜。 对零均值的女阶平稳随机过程 工( ) ) ，若其阶矩函数设7 ( f ，q 一。) 满足绝对可和条件，即： 坍h ( 吒，“一1 ) l 。 则其k 阶矩谱存在并定义为k 阶矩的缸1 维离散傅罩叶变换，即： ( 2 1 5 ) 象黔l ” k 舞) e x p ( 麓”( 0 2 r 2 + 训 ( 2 1 6 ) 疗k ( r l lj ( r l +，+ 4 一l “一i ) ) 、7 其中i q 胁ti = 1 2 ，七- l ，q + 哆+ + 嚷一血。 同样，若其七阶累积量函数c 0 ( 一，0 一。) 满足绝对可和条件，即 f q ( r i ，r k 。) i o o n 2 2 1h 1 2 ” 或者 钟 ( 1 + lr i ) f c 0 ( ，0 一) j o ，对于任意的占 0 和任意x v ， 在x 的s 邻域内存在y 和自然数h ，使得c l ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 艿。 ( 2 ) 厂是拓扑传递的：对于y 上的任意一对丌集y ，存在k o ，使得 j 厂 ) n y 矿。 ( 3 ) 厂的周期点集中在v 中稠密。 中国i 油人学( 华尔) 硕十论文第3 章混沌遗传算法 则称厂是在d e v a n e y 意义下v 上混沌映射或混沌运动。 对于初值的敏感依赖性，意味着无论x ，y 离得多么近，在厂的作用 下两者的轨道都可以分丌较大的距离，而且在每个点x 的附近都可以找 到离它很近，而在的作用下终于分道扬镳的点y 对这样的厂，如果用 计算机计算它的轨道，任何微小的初始误差，经过若干次迭代后都将导致 计算结果的失效。 拓扑传递性意昧着任一点的邻域在厂的作用下将“撤遍”整个度量 空间v ，这说明厂不可能细分或不能分解为两个在厂下相互影响的子系 统。 上述两条一般说束是随机系统的特征，但第三条周期点的稠密 性，却又表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，形似紊乱 而实则有序。 3 2 2 混沌运动的特征 混