（计算数学专业论文）cahnhilliard方程的大时间步长方法的数值模拟.pdf

中文摘要 中文摘要 c a h n - h i l l i a r d 方程最初用来模拟二元合金在淬火到一种不稳定状态时所发生的 相分离现象，随着理论的发展，它在其它领域也得到广泛应用。例如s p i n o d a l 分解问 题，f i c k i a n 扩散问题，二相流问题以及相排序动力学等问题均可用c a h n - h i l l i a r d 方 程来建模。由于该方程具有很强的非线性性质，构造高效的数值方法具有一定的难 度。本文旨在考察最近由多位作者引入的所谓大时间步长方法，进一步研究附加 的稳定项( 被称为公项”) 对计算结果的影响。我们获得的主要结果如下：首先，针 对c a l m h i l l i a r d 方程的周期性问题，通过能量估计对其进行稳定性分析，证明了解的 存在唯一性；其次，利用大步长时间离散方法，结合f o u r i e r 空间谱离散，考察了稳定 项中常凯对数值解的影响。我们的数值试验发现，虽拟项确实起到了增加时间步 长的作用，但不恰当的使用a 值将导致数值解的发散，即当计算时闷充分长时，大时 间步长方法可能得到与无稳定化方法完全不同的解。我们还发现，导致发散的a 值随 扩散系数的不同而不同。最后，为了从理论上解释上述现象，我们针对一阶格式详细 推导了数值解的误差与a 值和扩散系数的依赖关系，并显式提供了大时间步长方法收 敛的一个充分条件。 关键词：c a l m h i l l i a r d 方程；大时间步长方法；稳定性；收敛性 m 英文摘要 英文摘要 t h ec a h n h i l l i a r de q u a t i o nw a so r i g i n a l l yi n t r o d u c e dt od e s c r i b ep h a s es e p a r a t i o no f t h em o l t e nb i n a r ya l l o yw h i c hi sr a p i d l yq u e n c h e dt ol o w e rt e m p e r a t u r e ，a n dt h e ne x t e n s i v e l y a p p l i e dt oo t h e rf i e l d ss u c ha ss p i n o d a ld e c o m p o s i t i o n ，f i c k i a nd i f f u s i o n ，a n dt w o - p h a s e f l o w b o t ht h ef o u r t ha n dt h en o n l i n e a rt e r m sm a k et h ec a h n h i l l i a r de q u a t i o ns t i f fa n d d i f f i c u l tt os o l v en u m e r i c a l l y i nt h i sp a p e r , w es t u d yas o - c a l l e d “l a r g et i m e s t e p p i n g m e t h o d ，r e c e n t l yp r o p o s e da n di n v e s t i g a t e db ys e v e r a la u t h o r s s p e c i a l l y , w ef o c u so nt h e i m p a c to ft h es t a b i l i z a t i o nt e r m ( c a l l e d a t e r m ) o i lt h en u m e r i c a ls o l u t i o n s t h em a i n r e s u l t so ft h i sw o r ka r e 弱f o l l o w ：f i r s t l y , b yu s i n gae n e r g ye s t i m a t i o nm e t h o d , w ee s t a b l i s h t h ew e l l - p o s e d n e s so ft h ec a h n h i l l i a r de q u a t i o nw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i s i sa g e n e r a l i z a t i o no fa ne x i s t i n gr e s u l tf o rt h en e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s s e c o n d l y , b yc o m b i n i n gt h el a r g et i m e - s t e p p i n gf i n i t e - d i f f e r e n c ei nt i m ea n df o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d i ns p a c e ，as e r i e so fn u m e r i c a le x p e r i m e n t si sc a r r i e do u tt oi n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo f t h ea - t e r mo nt h es i m u l a t i o nr e s u l t s o u rn u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o wt h a tt h ea - t e r m ， a l t h o u g hs t a b i l i z et h ec a l c u l a t i o n s ，h a sp r o f o u n di m p a c to nt h el o n gt e r mb e h a v i o ro ft h e n u m e r i c a ls o l u t i o n s m o r e o v e r , i ti sf o u n dt h a tt h i si n f l u e n c ed e p e n d so nt h ed i f f u s i o n c o e f f i c i e n t f i n a l l y , i no r d e rt om a k ee v i d e n to ft h ei n f l u e n c eo ft h ea t e r m ，a ne r r o re s t i m a t ef o rt h ef i r s t - o r d e rs c h e m ei sd e r i v e d as u 街c i e n tc o n d i t i o nf o rc o n v e r g e n c ei sp r o v i d e d k e yw o r d s ：c a l m h i u i a r de q u a t i o n ；t i m e s t e p p i n gs c h e m e ；s t a b i l i t y ；c o n v e r g e n c e i v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人 在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式 标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) 稀兔 加7 年岁月7 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文 的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 i 、保密 () ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名：淘花 导师签名： 日期：2 。呷年芗月 日 日期：鸡哞6 月断 第一节引言 第一节引言 c a l m h i l l i a r d 方程，简称c h 方程，最早由c a h n 和i - i i l l i a r d i ，2 】提出，最初用来模拟二 元合金在淬火到一种不稳定状态时所发生的相分离现象。随着理论的发展，它在其它 领域也得到广泛应用。例如s p i n o d a l 分解问题 3 1 ，f i e k i a n 扩散问题 4 1 ，二相流问题以及 相排序动力学等问题均可用c h 方程来建模。 在不同的问题中，c h 方程的形式有所不同。设q = ( o ，l 1 ) ( o ，如) ，( l ，如 o ) 是r 2 中的一个矩形区域，q 中的任意点用字母z = o l ，规) 表示，时间变量用f 表示。 设r 是一个正的常数。本文要研究的c h 方程的形式如下： l ，窑( 一i c a u 州妫， ( 引) q ( o m “( ，f ) 是以l 为周期的函数， 协( o ，卅， ( 1 - 1 ) l “( z ，0 ) = l 0 ( z ) ， z q ， 其中 ，( h ) = u ( u 2 一1 ) ，( 1 2 ) u 0 表示一个适当的初始值。 注意到在( 1 2 ) 中所给出的，是一个光滑函数的微分，该函数在“= 士l 处取得整 体极小值0 ，即 m ) = ，7 ( 强) ，这里f ( 比) = 去( “2 一1 ) 2 ( 1 - 3 ) 方程( 1 1 ) 第一个等式是流量j 的质量守恒方程，其中流量，定义为： _ ，= v ( g a g - f ( u ) ) c h 方程具有如下重要性质： ( 1 ) 能量非增，即：象e ( f ) 0 ，其中： 耶) = 脏l v “1 2 州“) 】如( 1 - 4 ) 称为广义g i n z b e r g - l a n d a u 自由能量泛函。在1 8 9 3 年，v a nd e rw a a l s 首次提出这个函数， 准确地描述了二元混合物的自由能量。 第一节引言 ( 2 ) 质量守恒，即 掰( z ，f ) d z = u o d z = m ，v t ( 0 ，丁】 事实上，利用周期边条件，我们有 丢上距( 2 ，) 如= 上害d z = 上( 一r a u + 厂( 口) ) d z fa = 以q 云( 一l f a u - t - f ( “) ) d z = 0 ，v t e ( o ，丁1 方程( 1 1 ) 最初用来描述包含二种物质的混合物质( 比如合金、玻璃、聚合物等) 在 淬火到一种不稳定状态时所发生的相分离。其中“是指混合物中两种物质之一的浓 度。c h 方程性质( 1 ) 和( 2 ) 的物理意义是：在周期性条件下，物质与容器壁之问不存在 相互作用，质量保持不变。同时，由热力学原理可知，混合物的自由能量随着时间呈衰 减趋势。一般而言，反应过程会不断发展，最终将达到一个稳定的状态，此时与之相 联系的能量泛函极小 c h 方程具有很强的非线性性质，构造高效的数值方法具有一定的难度。该方程的 数值方法已见许多文献【5 - 1 4 l ，从这些文献来看，建立保持l y a p u n o v 泛函( 一种能量非增 泛函) 及质量不变的离散格式是数值方法的关键。例如e l l i o t t 等【8 1 2 应用协调有限元方 法和隐式时间离散格式进行数值计算，在其全离散格式中，由于不存在l y a p u n o v 泛函， 其数值解的点值有界性估计不能建立。e l l i o t t 等i z o l 利用方程的混合形式，给出了一个 半离散格式，此格式保持方程所具有的能量非增及质量不变性质，并对有限元的质量 集中法进行了分析。d u 等【7 1 讨论了一维c h 方程的d i r i c h l e t 问题，利用混合形式，建立 了半离散和全离散格式，此格式保持能量非增性质。f u f i h a t a 1 5 , 1 6 】建立了一个保持能 量耗散性质和质量不变的差分格式。叶、程等f 1 7 1 8 1 利用f o u r i e r 谱方法、f o u r i e r 配点法 对一维c h 方程的周期问题进行了研究，叶、程等【1 9 1 利用l e g e n d r e 谱方法对一维c h 方 程的n e u m a n n 问题进行了研究。f e n g 等 2 0 , 2 1 应用混合有限元法研究高维c h 方程。 本文目的在于考虑c h 方程的时间高稳定空间高精度数值解法。z h u 等 2 2 1 提出了 一种稳定化的大时间步长半隐差分i f o u r i e r 谱方法来求解c h 方程。其主要思想是：对 时间离散采用半隐式格式，即对于方程( 1 1 ) 中的四阶项采用隐式处理，非线性二阶项 则采用显式处理，并增加一项稳定项用以增加格式的稳定性。随后，x u 等 2 3 1 将该思 想推广至l j m o l e c u l a rb e a me p i t a x y ( 简称m b e ) 模型中，称稳定项为“a 项”，详细分析了 该项对格式稳定性的影响。接着，a i 2 4 】和h e 等【矧将x u 等【2 3 】的稳定性分析方法应用 到c h 方程中，确认了“a 一项对求解c h 方程的稳定性的作用。 本文旨在进一步考查c h 方程的大时间步长方法，研究增加的“a 项”对计算结果 2 第一节引言 的影响。本文所做的工作如下： 针对c h 方程的周期性问题，通过能量估计对其进行稳定性分析，证明了解的存 在唯一性。这一结果推广了文1 1 2 关于n e u m a n n 边条件的一个结论。 考察了大步长时间离f z 受f o u r i e r 空间谱方法 2 2 , 2 6 - 2 8 1 的收敛性与a 值的依赖关系， 推导了一阶格式的误差估计。 数值试验显示，虽然从形式上看，添加的“a 项 与格式的整体阶数一致，但是， 稳定化的大时间步长方法对解的长时间行为的影响是显著的。特别是，当扩散系数较 小时，稳定化的解可能收敛到一个与真实解完全不同的定常解。我们认为这是一个重 要的发现：这意味着，虽然“a 项确实起到了增加时间步长的作用，但不恰当的使 用a 值将导致数值解的发散，即当计算时间充分长时，大时间步长方法得到的解可能 不是真实解。我们给出了格式收敛的一个充分条件。 3 第二节连续问题及稳定性性质 第二节连续问题及稳定性性质 本节讨论方程( 1 1 ) 的稳定性和解的存在唯一性。 为引入问题( 1 1 ) 的变分形式，我们先定义一些函数空间。令令l 2 ( q ) 为q 上的平 方l e _ b e s g u e 可积的函数空间，l 2 ) 上的内积定义为： ( 训= 上“池， 相应的范数： = 识而 酽( q ) 为通常的s o b l e v 窄_ 间，其上的范数、半范分别用i i i l ，、l k 表示。记，( q ) 为q 上 以为周期无穷次可微的实函数空间，雄，( q ) 定义为( q ) 在范数 g 下 的闭包，。h 。彤p - q ，皂1 1 q ，的对偶空间。令q r = q ( o ，丁) ，l r ( o ，丁；艰，( q ) ) = 碾，僻) ，居l l u l l ；d t ) 。 问题( 1 1 ) 的变分形式为：寻找口：q 矿_ 足， 且“ r 僻+ ；l 2 ( a ) ) n l 2 ( o ，r ) ；壤，( q ) ) ，满足 ( a 掰，l ，) + ( v 厂( “) ，v 1 ，) + k ( l ，血) = 0 ，v y 艰r ( q ) ，v ie ( o ，丁) ( 2 1 ) i 砧 ，0 ) = u o 、- 引理2 1 ：【2 9 】如果比( z ，t ) 是方程( 1 1 ) 的一个解，则有如下的能量不等式成立 其中，e ( f ) 由下式给出： f ( u ) 由( 1 - 3 ) 式定义。 e o ) e ( o ) ， v t 0( 2 - 2 ) e ( t ) = 脏l v 肌i 删地 ( 2 - 3 ) 证明：由方程( 1 1 ) 可知，对于任意属于f ( q ) 的函数9 ，有如下等式成立 ( 妄如咄9 ) ：( ( 一心+ m ) ) ，办 ( 2 4 ) 其中( ，) 表示r 空间中的标准内积。 4 第二节连续问题及稳定性性质 在( 2 - 4 ) 式中取缈= 一l c a u + ，( “) ，即得： ( 岳h o ，f ) ，一心+ m ) ) = ( ( 一心+ m ) ) ，一l c a u + f ( “) ) 接下来进行分部积分，由“的周期性，我们有： k ( v 妄。，f ) ，v “) + ( 妄“，f ) ，( “) ) = 一( v ( 一配h + ，( “) ) ，v ( 一配妇+ ，( “) ) ) 利用( 1 3 ) 式，我们推得： 兰丢二附d 蚪丢上脚) d x = - a l v ( 一心州州阳z so ， 由( 2 3 ) 式中e ( f ) 的定义，我们可以得到 磊d e ( f ) 0 定理证毕。 一 引理2 1 说明了能量随着时间的发展而衰减。 引理2 2 ：如果“( z ，t ) 是方程( 1 1 ) 的一个解，则有如下的能量不等式成立 ( u ( x ，f ) ，1 ) = ( u o ，1 ) ， v t 0 ( 2 5 ) 其证明在( 2 _ 4 ) 式中取9 = 1 即可得到。 引理( 2 2 ) 说明了质量随着时间的发展而不变。 在讨论方程( 1 1 ) 解的存在唯一性之前，先引入以下不等式。 f r i e d r i c h s 不等式 p o i n c a r e 不等式 n i r e n b e r g 不等式 删c ( a ) m ，铷碳，( q ) ( 2 6 ) 肛i i c ( a ) i y ( f n y 。) 州2 ) ，协日1 ( q ) ( 2 - 7 ) l i d j v l l c ll i 矿v l l 各i | 1 ，| | 占口+ c 2 l | v 0 职， 岔l，一1=丢+口(；limm p) + ( 1 一口) 昙 ，l、r 以7口 ( 2 8 ) ( 2 9 ) i v l i l v l ll l a v l l ， v y 碓，( q ) ( 2 一l o ) 5 第二节连续问题及稳定性性质 参考l l z | ，我们有。如f 定理： 定理2 1 ：q 是r 2 的有界区域，如果n 2 r ( q ) ，则方程( 1 一1 ) 存在唯其一解，g u 驴( o ，r ；艰r ( q ) ) 证明：在方程( 1 1 ) 两边乘以“，对变戥积分， 三历d 陋i i z + r i i a u l l 2 + 上帅) v “2 出= o 。 由厂( h ) 定义可知： y ( u ) = 3 沪一1 一1 ， 由上二式，容易得到： 三历d 肛1 1 2 + k i i a u l l 2 i i v 训2 sl l 缸i l l l m l l 虿i c + i 1i i “1 1 2 利用不等式( 2 1 0 ) 、g r o n w a l l 不等式以及引理( 2 1 ) ，我们就有： ) i l l + r l l l l 2 d t c r ，( o ，孔 ( 2 1 1 ) 根据方程( 1 1 ) 质量守恒性质可知： 上的出= o = 上“。，) d tv t ( o ，丁】( 2 - 1 2 ) i 圭i s o b o l e v s 嵌入定理，可知： l l u l l , 臼，峋 ( 2 - 1 3 ) i ：h n i r e n b e r g 不等式( 2 8 ) ，我们有： i l u l l 。c l i a 2 u l l 口i l u l l l 彳口，其中口= ( 1 + 3 q 2 ) ， ( 2 1 4 ) i i v “陋 。 e 3 一l 。， a 3 赠 l 矿刚帅( 岛) 一邢) 一l ， o u o 雌，( q ) ，则有下面的误差估计： i l u c m ) 一u l l o c ( k ，l l o ，a ) ( 峋) 钿f ( 3 - 1 1 ) 其中c ( i c ，l i o ，a ) 表示与k 、u o 、a 有关的正常数，c ( k ，) 表示与k 、l i o 有关的正常数。 证明：记e n = 雎( 1 露) 一u a ，x 寸( 2 - 1 ) 在，岛+ l l 上积分，则硬。 击( “( 岛+ 1 ) 一砧( 岛) ，v ) + a ( v ( “( 岛+ 1 ) 一“( 岛) ) ，v v ) + ( ( “( 岛) 一u 3 ( 岛) ) ，1 ，) + k ( 血( + i ) ，a v ) = ( e n + l , y ) ，月品，( q ) ， 其中 ( e 州， ，) ：- a ( 广+ 1 ( 西“) 出，d + 一【l 厶f t + 1 ( t - - t n + 1 ) ( a “一3 铲a “) 出，d + 三( ( h m 地v ) ，v n 0 ( 3 1 2 ) 式减( 2 1 ) 式，得到： 古( 矿+ 1 一矿，y ) + a ( v ( 矿+ 1 一九v v ) + ，c ( 舻，v ) + ( 3 1 矿1 2 1 , r e v v ) + 3 ( 2 u ( t n ) e n l 1 2 ，v h ( ) v v ) = ( e 一+ 1 ，v ) ，v ve 月孟，( q ) ，v n o 在( 3 1 2 ) 式中取，= 矿，则有： 西1 ( 扩1 肛i t ：t 1 3 + i i ：+ 1 一圳3 ) + k i l 舻+ 1 幅 + a 百( 1 l v 矿+ 1 l 晤一i i v ：1 1 5 + i i v ( e n + 1 一矿) f 1 5 ) + 吾( 3 i “n 1 2 一l ，i v ：+ 1 1 2 + l v ：1 2 一i v ( 矿+ 1 一矿) j 1 2 ) l o 第三节大步长时间离散方法 + 3 ( i 矿1 2 + 2 u n 矿，v 比( 岛) v 矿+ 1 ) = ( 矿+ l ，矿+ 1 ) ( 3 1 2 ) 利用y 0 u n g 不等式、s c h w a 舵不等式以及引理( 3 2 ) ，僦1 - ( 3 1 2 ) 式的最后三项： 3 ( 2 u n ：，v 掰( ) v 矿+ 1 ) 一三l l 矿v 矿+ 1 恬一6 ( 1 ：i 2 ，6 i v ( “( 岛) ) 1 2 ) ， 乏( 2 矿矿，v 距( 岛) v 矿+ 1 ) = ；( f 矿1 2 ，- i v ( ：+ 1 一矿) 1 2 + | v ：1 2 + l v 矿+ 1 1 2 ) + 3 ( i 矿1 2 ，v u v 矿+ 1 ) 寻( i 矿1 2 ，一l v ( + 1 一矿) 1 2 + l v ：1 2 ) 一妄( 1 矿1 2 ，l v 矿1 2 ) 吾( 1 ：1 2 , - i v ( ：+ 1 一矿) 1 2 ) 一芸i i 矿i i 乙l | v 矿i 居) 吾( 1 e 1 2 , - i v ( ：+ l 一矿) 1 2 ) 一寻c l l 矿| | 。( 1 1 ：1 1 。+ o 矿l i 。) i | v 矿l 屠 兰( 1 ：1 2 , - i v ( 矿一硎2 ) 一翱舻惦 一；c li i v l l ，l l l 2 0 ( c _ 主+ 6 1i l v 矿i | 3 ) i l 圳蚕 ( e n + 1 , 矿+ 1 ) f + 1 ( 似+ 1 ) 1 1 脚1 1 0 + 3 i i 撕2 西蹦) 1 1 。) d t l l e + 1i i 。+ k r + 11 1 删i i f i l a ：+ l f l o i i 丢1 1 ：+ z | 1 3 + 翱舻+ l l l 5 + 4 ( k + 似+ 1 ) ) 出f + 1i i 酬枷 + 3 6 a t f f + 1i i a ( u 2 酬胁 - ，矗 同样，估计( 3 1 3 ) 式中的最后一项： 广+ 1 惭2 a “) l 1 0 2 d t 2f “1 懈“i v “1 2 + 2 “a 山临 j t n j t t + 4 广惭v h v 西h + “寿训弛 1 6 f 知+ 1 ( 1 i d , “l i b , v “i j 4 4 + i i “l l 冬l l 西“i i 艺- i l a u l l 0 2 ) a t + 8 ，( 1 6 1 1 椎i i v “嵫+ i i “1 1 4 - 1 1 硒帕西 4 0 ( q + 5 c o c ) 广+ 1 删；( j i a 甜1 1 2 4 + i l a a 帕出 第三节大步长时间离散方法 i 妇y o u n g 不等式、s c h w a r t z 不等式，我们有 三( 1 l v + 11 1 5 + i l 时肥丽7 k ( i i 舻+ 11 1 5 + i l a e 哟+ 瓦1 ( 2 妙1 一e n l l 0 2 + 3 1 1 e 2 ) ，( 3 1 3 ) 丢l l 矿+ 1i 1 0 2 - o ， c 3 t 7 ， a 3 糟 l 矿铘帅( 岛) 一矿1 2 卜1 ， ， p - i y n + l y n 磊y n + h n ，v n 0 由引理( 3 3 ) 、( 3 1 ) 、定理( 3 1 ) ，我们就有 其中 i | 惦+ a l i v 惦+ k l l a e 1 1 3 c ( r ，a ) e c ( k u o ) t , a t 2 ，( 3 1 8 ) c o c , l l o ，a ) = 8 ( k + ( 1 + a ) 2 + c o ( r ，坳) ) m e 一1 ，h + 1 ( j j 西脚j 晤+ i l 西“惦) 出， ( 3 1 9 ) c l l o ，a ) = 8 ( k + ( 1 + a ) 2 ，坳) ) z ”1 ( j j 西脚j 晤+ i l 西“惦) 出， ( 3 雎= u ” 1 2 第三节大步长时间离散方法 l ，疗一1 1 c ( k ，的) = k 一1 + 石+ 3 c e ( 1 l v l l ，l l l 0 2 ( c _ 主十6 k 一1i l v u l l 0 2 ) ) ( 3 2 0 ) 。 n = o 综上所述，可以得到： l l “( ) 一i | o c ( r ，u 0 ，a ) ，( k 峋) 出 定理证毕。 注释3 2 ：加和h e 等 2 4 2 5 提到增批项可以放大时间步长，而条件( 3 1 0 ) 通过k 限制 了址，使得当衙艮小时，为了保持解的精度，时间步长也必须很小。这就说明增加a 项 可以放大时间步长，但不一定能保证解的收敛性。另外，式( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 分别说明误 差随h 减小而减小，随k 增大而减小。后面的数值实验将会体现这一特点。 3 3 高阶时间离散格式 与构造一阶格式的方法类似，相应地构造出二阶时间离散格式，对u t 使用二阶向 后差分法，对非线性项的显式处理，同时对于四阶项的隐式处理，采用二阶外插法， 得到二阶时间离散格式： 3 u n + l _ _ 订4 u i n + u n - z = a ( 2 f ( u n ) 一f ( u n - i ) ) 一k a 2 u n + l ，以0 但是，和经典一阶的半隐格式( 不含增加的a 项) 一样，在数值试验中，证实了此 格式不能使用较大的时间步长。即在计算中必须用较小的时间步长以保证稳定性。这 在后面进行的数值试验中同样得到了验证。 与前面一阶格式中的添加项相类似，在此格式中，增加a 项，这一项与该格式的 整体阶数相一致，并且保持该格式稳定。此格式如下：( b d 2 e p 2 ) ： 3 u n + l _ _ 苡4 u 7 n + u n - l ：a 甜z l ，i + ，( 2 矿一矿一1 ) 一x a 2 矿+ l ， 尼o ，( 3 - 2 1 ) 其中南u n ：= u a + l 一2 u n + u n 一1 和往常一样，迭代开始时的扩( z ) 由初始条件给出，而“1 ( z ) 则由一阶格式( 3 2 ) 计算得到。 最近，h e 、等【2 4 ，捌提出了格式( 3 2 1 ) ，并且通过数值实验说明：适当选择正 常数，可以改进原问题的稳定性，可以采用较大的时间步长进行数值计算，此格 式( 3 2 1 ) 仍然保持能量随时间非增的性质。然而并没有得到与一阶格式想类似的稳定 性结果和误差估计。在本文的后一节，我们通过数值实验考查格式( 3 2 1 ) a 项对方程 数值解的影响。 1 3 第四节数值结果 第四节数值结果 本节根据前面提出的算法对较长时间丁进行数值实验，并给出数据结果以验证理 论分析所得到的结论，考查“a 项 对方程( 1 - 1 ) 的数值解的影响，并考查方程( 1 1 ) 的 数值解。 给数值结果之前，先考察方程的全离散格式。 我们将在空间离散上使用f o u r i e r i 普方法，众所周知，f o u r i e r i 普方法是求解周期性 问题最合适的方法之一 令置为一个正整数，并定义 s r = s p a n e x p ( - i k x ) ，k = ( k l ，k 2 ) ，一k k l ，k 2 k ) 格式( 3 2 ) 的f o u r i e r i 普逼近可写做： 寻找以+ 1 s k ，使得 击( 啦! 一磙，缈) + k ( 啦! ，9 ) + a ( v “才1 ，v 9 ) ( 4 - - 1 ) = ( a 吆+ ，( 赡) ，9 ) ，v 9 踞 同样地，格式( 3 2 1 ) 的f o u r i e r 谱逼近为如下形式： 寻找以+ 1 s k ，使得 面1 ( 3 “1 4 “凳+ “f 1 ，9 ) + k ( “才1 ，妒) + a ( v 以+ 1 ，v 妒) ( 4 - 2 ) = ( 一2 a 吆+ a a 磙- 1 + ，( 2 峻一l 管1 ) ，9 ) ，v 9 在实际计算中，以+ 1 是由f o u r i e r 展开的截断函数来表示的： x 以+ 1 = e k + 1 e x p ( - i k x ) ( 4 3 ) k 1 k 2 = 一k 然后将这一展开式代入到( 3 2 ) 或( 3 2 1 ) 中便得到由展开系数罐栩，k l ，勉= - k ，k ，构成的一个线性系统。 需要注意的是，由于在( 4 1 ) 和( 4 2 ) 中所有关于世1 的隐式项都是线性的，因此， 在该线性系统中，群+ 1 的方程是与不同的k 相独立的。 实际上，将格式( 4 1 ) 中的+ 1 表示成( 4 3 ) 的形式，并将( 4 1 ) 中的检验函数9 选 择为的基函数：e x p ( - i k x ) ，对于每一个模k ，我们都可以在f o u r i e r 空间中得到一个 1 4 第四节数值结果 线性万程组： 牮刊砰矿+ a j 啊i + 1 = a l k l 2 驴 i z2 f - - 稿k ) k ， ( 4 4 ) 其中= 厢，且五表示函数，的第k 模的f o u f i e r 系数。 同样的过程作用在( 3 2 1 ) 上，我们可以类似地得到 型掣俐4 矿圳2 矿 = 2 a l k l 2 耀一a l k l 2 罐一l l 七1 2 ，( 2 磙一川 1 ) ：_ 根据以上全离散格式进行数值实验，我们选择q = 0 ，2 石】2 作为计算区域，在空 间方向上使用双周期性边界条件 首先，对提出的时间离散格式进行精度比较。 在方程( 1 一1 ) 中，选取l 1 0 0 ) = 0 2 s i n ( x 1 ) s i n ( x 2 ) ，计算区域为q = 【0 ，2 硼2 ，由于精 确解未知，使用格式( 3 2 1 ) 在f = 0 0 0 0 0 0 1 和k - - 6 4 的数值结果作为精确解，固定k = 0 0 1 、t = 0 1 ，表1 分别列出了格式( 3 2 ) 、( 3 2 1 ) 在范数p 和r 下的误差。同样固 定k = 0 1 、t = 0 1 ，表2 分别给出的是格式( 3 2 ) 、( 3 2 1 ) 在范数r 和r 下的误差。同样 固定k = 0 1 、t = l ，表3 分别显示的是格式( 3 2 ) 、( 3 2 1 ) 在范数铲和r 下的误差。 通过观察表1 、表2 、表3 的数据，我们得到以下的结论： 当a 取一固定值时，一阶时间离散格式( 3 2 ) 稳定，并且在范数l 2 和r 意义下，误 差关于时间步长& 有一阶精度，这与理论结果相符合。 当a 取一固定值时，二阶时间离散格式( 3 2 1 ) 稳定，并且在范数驴和r 意义下， 误差关于时间步长垃有二阶精度，这与理论结果相符合。 当a 取一固定值时，在范数f 和r 意义下，格式( 3 2 ) 、( 3 2 1 ) 的误差随a 的值增大 而增大，但其增长速度相泓的增长速度而言，其增长速度可以忽略不计。因此 对于k 的值在适当范围内和时间丁在适当范围内，增加的“a 项 对于精度的影 响是很有限的。 一当& 、a 和丁取固定值时，对于k 取不同值时，在范数l 2 和r 的误差也不同，这说 明误差的增长与k 的值有关。 1 5 第四节数值结果 aa tb d l 愿p 18 d 2 ，e p 2 p e r r o r z 尸e 们f l 2 一e f r o ，r e r r o r o o l2 6 2 8 6 e 5 7 9 1 0 l e 一47 3 1 2 0 e 62 4 4 2 0 e 4 o o q 51 4 3 9 i e 54 4 2 4 9 e 一42 0 6 1 5 e 67 1 2 0 0 e 5 o o 0 0 2 57 5 6 16 e 一62 3 5 6 9 e 4 5 4 6 7 6 e 7i 9 l o o e 5 o 0 0 1 2 53 8 81 4 e 61 2 1 8 9 e - 41 4 2 3 i e 75 o ( ) 0 0 e 6 o 0 0 0 6 2 51 9 6 7 9 e 66 1 9 9 9 e 54 1 2 8 9 e 81 2 9 9 1 9 e 6 0 0 12 6 7 1 2 e 58 0 2 1 0 e 47 4 1 3 8 e 62 4 7 3 9 e 4 o 0 0 5 1 4 6 2 3 e 54 4 8 9 9 e 42 0 9 0 2 e 67 2 1 0 0 e i l 5 o 0 l 0 0 0 2 57 6 8 5 7 e 62 3 9 2 9 e 45 5 3 6 9 e 71 9 2 9 9 e 5 0 0 0 1 2 53 9 4 5 7 e 6 1 2 3 7 9 e 41 4 3 6 8 e 75 o ( ) o o e 。6 0 0 0 0 6 2 52 0 0 1 3 e 66 2 9 9 9 e 54 1 8 4 7 e 81 3 0 0 0 e 一6 o 0 l3 。0 5 3 l e 59 0 6 0 0 8 48 3 1 8 1 e 一62 7 5 7 9 8 4 o 0 0 51 6 7 2 2 e 一55 0 6 9 9 e 42 3 4 5 7 e 68 o 1 0 0 e 5 o 1 o 0 0 2 58 7 9 6 4 b 62 7 0 8 9 e - 46 2 1 9 1 8 72 1 6 0 0 f - 5 o 0 0 1 2 54 51 9 0 e 61 4 0 3 9 e 41 6 1 4 5 e 75 6 ) 0 0 e 一6 o 0 0 0 6 2 52 2 9 11 e 6 7 1 4 9 9 e 54 6 2 5 8 e 81 5 0 0 0 e 6 0 o l6 6 0 5 4 e 一51 8 0 5 9 e 31 6 9 7 8 e 55 3 8 9 9 e 4 o 0 0 53 6 7 9 8 e 51 0 4 9 9 e 34 8 7 9 8 e 61 6 1 3 9 e - 4 1 o 0 0 2 51 9 6 4 7 e 55 7 5 0 0 e 4 1 3 0 2 9 e 64 3 8 9 9 e 一5 o o o l 2 51 0 1 9 6 e 53 0 1 9 9 e 一43 3 6 0 5 e 71 1 嘲) o e 一5 o 0 0 0 6 2 55 2 0 2 6 e 一61 5 5 4 9 e 48 8 6 3 0 e 83 o o o o e 6 o o l 1 0 11 7 e - 4 2 6 2 7 9 e 3 2 5 8 6 1 e 57 9 6 5 9 e 一4 0 0 0 55 7 3 2 9 e 5l 。5 6 9 9 e 一37 6 0 3 2 e 62 4 7 6 0 e 4 2 0 0 0 2 53 11 0 5 e 一58 8 5 9 9 e 42 0 5 2 6 e 66 8 2 9 9 e 5 0 0 0 1 2 51 6 3 3 3 e 54 7 6 0 0 e 45 3 0 9 3 e 71 7 7 9 9 e 5 0 0 0 0 6 2 58 3 9 19 e 62 4 6 9 9 e - 41 3 6 6 8 e 一74 5 0 0 0 e 一6 表l ：r = 0 0 1 ，t - - 0 1 ，l m o d f = 6 4 不同时间步长址时，精度的比较 1 6 第四节数值结果 aa tb d i 愿p 1b d 2 ，e p 2 e e f r o rr e l t o fl 2 e r r o rr - e l t o r 0 o l4 3 5 0 4 2 e 58 2 3 9 9 6 e - 43 1 5 0 1 4 e 66 。4 9 9 9 0 e 一5 o 0 0 5 2 3 0 3 8l e 5 4 3 7 9 9 2 e 48 0 1 2 4 l e 7 1 7 0 0 0 0 e o o 0 0 2 51 1 8 7 0 2 e 52 2 6 0 0 4 e 42 0 3 2 11 e 75 0 0 0 0 0 e 6 0 0 0 1 2 56 0 2 9 1i e 61 1 5 0 0 2 e _ 45 4 1 4 0 2 e 81 钙1 9 9 8 e 6 0 0 0 0 6 2 53 0 3 7 9 1 e 65 8 0 0 0 l e 51 4 0 5 9 3 e 81 o ( ) 0 0 0 e 6 o 0 11