（力学专业论文）一类时滞神经网络系统的混沌行为与控制同步.pdf

ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o t o n g j iu n i v e r s i t yi nc o n f o r m i t yw i t ht h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fd o c t o ro fp h i l o s o p h y c h a o t i cb e h a v i o r sa n dc o n t r o ls y n c h r o n i z a t i o no f ac l a s so ft i m ed e l a y e dn e ur a in e t w o r k s t i m e - d e l a y e dn e ur an e t w o rs i ( s u p p o s e db yt h en a t u r a lo u t s t a n d i n gy o u n gf u n d so fc h i n a , g r a n tn o 10 6 2 5 2 1l ， t h en n s fo fc h i n a ，g r a n tn o 10 5 3 2 0 5 0 a n dp r o g r a mo fs h a n g h a is u b j e c tc h i e fs c i e n t i s t ，n o 0 8 x d14 0 4 4 ) c a n d i d a t e ：d o n gz h a n g s t u d e n tn u m b e r ：0 7 1 0 1 0 1 0 0 5 s c h o o l d e p a r t m e n t ：s c h o o lo f a e r o s p a c ee n g i n e e r i n g a n da p p l i e dm e c h a n i c s d i s c i p l i n e ：m e c h a n i c s m a j o r ：m e c h a n i c s s u p e r v i s o r ：p r o f j i a nx u m a y , 2 0 1 0 学吖大胁洲冈砌 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 犯铄 洲。年g 月f 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：犯屯钍 沙l o 年岔月f e l 同济人学博十学位论文摘要 摘要 在保密通信中，混沌系统作为密码产生器起着“加密”的作用，找到能够产 生复杂时间序列的混沌和超混沌系统对保密通信是很有意义的。混沌同步在保密 通信中起着“解密”的作用，混沌同步是混沌保密通信中的关键技术之一。因此， 混沌动力学与混沌同步控制的研究有着重要的理论意义和巨大的应用价值。时滞 动力系统为无穷维系统，即使简单的结构也可以创生多个正l y a p u n o v 指数，产 生具有极高随机性和不可预测性的超混沌时间序列。本文针对一类时滞神经网络 系统，围绕时滞诱发的混沌、超混沌行为和时滞混沌系统在不同情况下的同步问 题进行了理论研究和数值仿真，得到了一些结果。 首先，在一个新的带有正弦激活函数的时滞人工神经网络系统中，找到了混 沌和超混沌吸引子。运用h o p f 分岔定理、l y a p u n o v 指数、吸引子相图、p o i n c a r 6 截面和功率谱分析，验证了随着时滞参数的变化，系统可以产生丰富的动力学行 为，特别是混沌运动和超混沌运动。接着，讨论了这类时滞混沌神经网络系统在 单向耦合的非线性控制器作用下的渐近同步和指数同步。通过 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法和h a l a n a y 不等式引理分别给出了系统渐近同步和 指数同步的充分条件，通过引入控制矩阵正定的条件，避免了繁复的l m i 计算， 简化了控制算法。然后，考虑了环境的变化和外界的扰动对系统的影响，研究了 这类时滞混沌神经网络在部分参数未知的情况下的自适应同步。基于l y a p u n o v 稳定性理论，根据各种参数未知的情况，设计了两种不同的自适应控制器。数值 模拟证明了理论分析的正确性。还有，考虑了增强保密性和远距离通信等因素， 讨论了这类时滞混沌神经网络的脉冲滞后同步。利用m 矩阵理论分析了相应的 脉冲泛函微分方程的稳定性，建立了时滞依赖的全局同步的不等式准则。数值分 析验证了理论结果的有效性，并发现了时滞可以影响同步的速率和参数区域。另 外，为了获得快速通信，研究了在这类时滞混沌系统中，具有不同的结构和参数 的两个神经网络的映射同步。基于滑模变结构控制理论，首先构造了一个积分滑 模面并设计了一个积分滑模控制器来保证系统轨迹可以到达指定的滑模面，而后 利用l k 函数和l m i 技术给出了时滞依赖的同步条件，在这些条件下，误差系 统会全局渐近地稳定在指定的滑模面上。数值仿真说明了理论结果的可行性和有 效性，突破了原来定义的时滞上界，并建立了控制器增益矩阵与映射同步模式和 速率的关系。最后，以这类时滞混沌神经网络为例，先是分别基于p y r a g a s 的连 续变量反馈同步法和本文给出的非线性耦合同步法提出了保密通信方案，并通过 数值仿真进行了验证，也对两种方法进行了比较：然后又提出了基于混沌系统的 同济人学博士学位论文摘要 初值和时滞参数值的混合加密方案。 本文的创新点有：结合t a k e n s 相空间重构理论和w o l f 方法，提出了计算时 滞动力系统多个l y a p u n o v 指数的方法；通过引入h a l a n a y 不等式引理和控制矩 阵正定的条件，给出了控制时滞混沌系统指数同步的简便算法；对于相异的两个 时滞混沌神经网络，推出了新的时滞依赖的映射同步条件，以实例验证了l k 方法和l m i 技术的保守性，突破了以前文献定义的时滞上界，建立了通过调节 增益矩阵控制同步模式与速率的关系。 本文的研究结果表明，时滞混沌神经网络系统结构简单、时间序列复杂，在 各种工程需求下，通过选择合适的控制方法可以实现不同类型的同步模式，适用 于保密通信中。 关键词：时滞，神经网络，混沌同步，l y a p u n o v 稳定性，自适应控制，脉冲控 制，积分滑模控制 a b s t r a c t i n s e c u r i t yc o m m u n i c a t i o n ，t h eu t i l i t y c r y p t o g r a mg e n e r a t o r i ti s v a l u a b l ef o r o fc h a o t i cs y s t e mi s “e n c r y p t i o n a sa c h a o t i cs e c u r i t yc o m m u n i c a t i o nt of i n d c h a o t i co rh y p e r c h a o t i cs y s t e m sw h i c hc a ng e n e r a t ec o m p l e xt i m es e r i e s w h i l et h e d u t yo fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni s “d e c r y p t i o n ，i ti s ak e yt e c h n o l o g yf o rc h a o t i c s e c u r i t yc o m m u n i c a t i o n t h e r e f o r e ，t h es t u d y o nc h a o t i cd y n a m i c sa n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n h a si m p o r t a n ta c a d e m i ca n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t i m e d e l a y e d d y n a m i c a ls y s t e mi s a ni n f i n i t e d i m e n s i o ns y s t e m ，e v e ni fas i m p l es t r u c t u r ec a n g e n e r a t el a r g en u m b e r so fp o s i t i v el y a p u n o ve x p o n e n t sa n dh i g h l ys t o c h a s t i ca n d u n p r e d i c t a b l eh y p e r c h a o t i ct i m es e r i e s i nt h i sp a p e r t h ec h a o t i ca n dh y p e r c h a o f i c b e h a v i o r si n d u c e db yt i m ed e l a ya n ds e v e r a lk i n d so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni n d i f f e r e n tc o n d i t i o n sa r ea n a l y z e dt h e o r e t i c a l l ya n ds i m u l a t e dn u m e r i c a l l yf o rac l a s so f t i m ed e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s t h em a i nr e s u l t si n t h i sp a p e ra r es u m m a r i z e da s f o l l o w s f i r s to fa l l ，t h i sp a p e rp r e s e n t sa l li n f i n i t e d i m e n s i o nh y p e r c h a o t i ct i m e - d e l a y e d a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r kw i t hs i n u s o i d a la c t i v a t i o nf u n c t i o n t h eh y p e r c h a o t i cd e l a y e d s y s t e mi ss t u d i e db yl y a p u n o ve x p o n e n t ，p h a s ed i a g r a m ，p o i n c a r ds e c t i o na n dp o w e r s p e c t r u m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a t 也en e ws y s t e m s b e h a v i o rc a nb e c o n v e r g e n t ，p e r i o d i c ，c h a o t i ca n dh y p e r c h a o t i cw h e n t h et i m e - d e l a yp a r a m e t e rv a r i e s s e c o n d l y ，t h ea s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o na n de x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo f t h i sc l a s so ft i m e d e l a y e dc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k si sd i s c u s s e d au n i d i r e c t i o n a l c o u p l e d n o n l i n e a rc o n t r o l l e ri s d e s i g n e d t od e a lw i t hi t b a s e d o n l y a p u n o v k r a s o v s k i i f u n c t i o n a lm e t h o da n dh a l a n a yi n e q u a l i t yt h e o r e mt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o na n de x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n a r eg i v e nr e s p e c t i v e l y t h ec o m p l e xl m ic a l c u l a t i o ni sa v o i d e da n dc o n t r o la l g o r i t h m i ss i m p l i f i e db yt h ea d d i t i o n a la s s u m p t i o no fc o n t r o lm a t r i xb e i n gp o s i t i v ed e f i n i t e t h ee f f e c to ns y s t e mo fe n v i r o n m e n t a lc h a n g ea n de x t e r n a lp e r t u r b a t i o ni sc o n s i d e r e d a n dt h ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft h i sc l a s so ft i m e d e l a y e dc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k s w i t hu n k n o w np a r a m e t e r si sr e s e a r c h e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yc r i t e r i o n ，t w o a d a p t i v e c o n t r o l l e r s a r ed e s i g n e da c c o r d i n gt od i f f e r e n tu n c e r t a i np a r a m e t e r s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt os u p p o r tt h ea n a l y t i cr e s u l t s t h ei m p u l s i v el a g s y n c h r o n i z a t i o no ft h i sc l a s so ft i m e d e l a y e dc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k si s a l s os t u d i e d 1 1 1 里旦笪! 望璺! ! 堡坚羔望竺! ! 竺! 竺! ：! ! ! ! 竺兰竺旦! 羔垒! 兰璺竺一 f 0 rm ec o n s i d e r a t i o no fs e c u r i t ye n h a n c e m e n ta n dl o n gd i s t a n c ec o m m u n i c a t i o n i h e s t a b i l i t yo fr e l e v a n ti m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i sa n a l y z e db ym e a n s o fm m a t r i xt h e o r ya n dt h ed e l a y d e p e n d e n ti n e q u a l i t y c r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e df o r g l o b a ls y n c h r o n i z a t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so f t h e o r e t i c a l r e s u l t sa n df i n dt h a tt i m e d e l a yc a l lc h a n g et h es y n c h r o n o u ss p e e da n dp a r a m e t e r r e g i o n i na d d i t i o n ，f o ra c h i e v i n gf a s tc o m m u n i c a t i o n ，t h ep r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e mi sr e s e a r c h e d f o rd i f f e r e n tc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a yb y e m p l o y i n gi n t e g r a ls l i d i n gm o d ec o n t r o l l e r as l i d i n gm o d es u r f a c e i sa p p r o r t i a t e l y c o n s n u c t e da n da ni n t e g r a ls l i d i n gm o d ec o n t r o l l e ri ss y n t h e s i z e d t og u a r a n t e et h e r e a c h a b i l i t yo ft h es p e c i f i e ds l i d i n gs u r f a c e t h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e e n o rd y n a m i c a ls y s t e mi nt h es p e c i f i e ds w i t c h i n gs u r f a c ei s i n v e s t i g a t e dw i t ht h e l y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a lm e t h o d ad e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n i s d e r i v e da n dt h em a x i m u mt i m e d e l a yv a l u ei so b t a i n e db yu s i n gt h el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t yt e c h n i q u e as i m u l a t i o ne x a m p l e i s f i n a l l ye x p l o i t e d t oi l l u s t r a t et h e f e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e da p p r o a c h ，v e r i f yt h ec o n s e r v a t i v e n e s so f l km e t l l o da n dl m it e c h n i q u e ，a n de x h i b i tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ec o n v e r g e n c e v e l o c i t yo fe r r o rs y s t e ma n d t h eg a i nm a t r i x f i n a l l y , w e t a k et h i sc l a s so f t i m e d e l a y e dc h a o t i cn e u r a l n e t w o r ka sa ne x a m p l ea n dp r e s e n tt h ep r o p o s a l t o r s e c u r i t vc o m m u n i c a t i o nb a s e do nt h ec o n t i n u o u sv a r i a b l ef e e d b a c km e t h o da n dt h e n o n l i n e a rc o u p l i n ga p p r o a c hg i v e nb yt h i sp a p e rr e s p e c t i v e l y t h es i m u l a t i o n s a r e d r o v i d e dt oi l l u s t r a t e t h ec o r r e c t n e s so ft h e o r e t i c a la n a l y s i s a n dc o m p a r et h e d e c r y p t i o ne f f e c to fa b o v e t w om e t h o d s t h e n ，am i x e de n c r y p t i o ns c h e m e i sa l s op u t f o n a r db a s e do nt h ei n i t i a lv a l u ea n dp a r a m e t e rv a l u eo ft i m e 。d e l a y t h em a i ni n n o v a t i o n so ft h i sp a p e ra r es h o w na sf o l l o w s f i r s t l y , a na p p r o a c h c o m b i n i n gt a k e n s ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nt h e o r yw i t hw o l fm e t h o d i sp r e s e n t e d t oc o m p u r em u l t i p l el y a p u n o ve x p o n e n t si n at i m e - d e l a y e dd y n a m i c a ls y s t e m s e c o n d l v t h ep a p e rp r o p o s e sas i m p l e a n dc o n v e n i e n ta l g o r i t h mf o ro b t a l n i n g e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no ft i m e d e l a y e dc h a o t i cs y s t e m s ，b yi n t r o d u c i n gh a l a n a y i n e q u a l i t vl e m m aa n dt h ec o n d i t i o no fc o n t r o lm a t r i xb e i n gp o s i t i v ed e f i n i t e t h i r d l y , an e wd e l a y d e p e n d e n tp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n d i t i o n i ss u g g e s t e df o rt w o n o n i d e n t i c a lt i m e d e l a y e dc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k s ，t h e c o n s e r v a t i v e n e s so tl 。k m e t h o da n dl m it e c h n i q u ei sv e r i f i e dt h r o u g ha ne x a m p l e ，t h em a x i m u m t i m e 。d e l a y v a l u ed e f i n e di np r e v i o u sr e f e r e n c e si sb r e a k e dt h r o u g h ，a n dt h er e l a t i o n s o fg m n m a t r i xa n ds y n c h r o n o u sm o d ea n ds p e e df i r ee s t a b l i s h e d i v t o n g j iu n i v e r s i t yd o c t o r o fp h i l o s o p h ya b s t r a c t t h er e s e a r c hr e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e rs h o wt h a tt h es t r u c t u r eo ft i m e - d e l a y e d c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k si sr a t h e rs i m p l ew h i l et h e i rt i m es e r i e sa r ev e r yc o m p l e x ， d i f f e r e n ts y n c h r o n o u sm o d ec a nb er e a l i z e db ys e l e c t i n ga p p r o p r i a t ec o n t r o lm e t h o d u n d e re a c hk i n d o fe n g i n e e r i n gn e e d ，a n ds o t h e y a r ea p p l i c a b l et os e c u r i t y c o m m u n i c a t i o np r o j e c t k e yw o r d s ：t i m ed e l a y , n e u r a ln e t w o r k ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o vs t a b i l i t y , a d a p t i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，i n t e g r a ls l i d i n gm o d ec o n t r o l v 同济人学博十学位论文目录 目录 第1 章绪论1 1 1 混沌学的发展1 1 2 混沌与传统力学4 1 3 混沌的基本理论5 1 4 混沌控制与同步8 1 5 混沌系统同步研究的进展1 0 1 6 课题的意义和本文主要研究内容1 3 1 7 本文的创新点1 5 第2 章时滞诱发的神经网络系统的混沌和超混沌行为1 6 2 1 引言16 2 2 模型描述1 6 2 3 平衡点和h o p f 分岔的存在性1 7 2 3 1 平衡点的存在性1 7 2 3 2h o p f 分岔的存在性： 18 2 4 时滞诱发的系统的混沌和超混沌行为2 1 2 4 1 通过l y a p u n o v 指数判别2 2 2 4 2 通过二维和三维吸引子投影图判别2 4 2 4 3 通过p o i n c a r 6 截面判别2 6 2 4 4 通过功率谱判别2 7 2 5 本章小结3 0 第3 章时滞混沌神经网络系统的渐近同步和指数同步3 1 3 1 引言- 二3l 3 2 一类混沌时滞神经网络模型3 2 3 3 几种同步的定义3 3 3 4 时滞混沌神经网络系统的同步3 3 3 4 1 渐近同步3 4 3 4 2 指数同步3 5 3 4 3 鲁棒性分析3 7 3 4 4 同步方法的优点3 7 3 5 数值仿真3 8 3 5 1 网络的混沌和超混沌行为3 8 3 5 2 网络系统的同步仿真3 9 3 6 本章小结4 l 第4 章带有不确定参数的时滞混沌神经网络的自适应同步4 2 4 1 引言4 2 v i i 同济人学博十学位论文目录 4 2 白适应控制方法简介4 2 4 2 1 工程实际中的不确定性4 3 4 2 2 白适应控制系统的方案分类4 4 4 3 模型描述及初步准备4 5 4 4 白适应同步控制器设计一4 6 4 5 数值仿真5 0 4 6 本章小结5 3 第5 章基于m 矩阵的时滞混沌神经网络的脉冲滞后同步5 4 5 1 引言5 4 5 2 脉冲控制方法简介5 5 5 2 1 脉冲控制的概念和分类5 5 5 2 2 脉冲控制的数学模型5 6 5 2 3 线性与非线性脉冲控制5 6 5 3 模型描述和预备工作5 7 5 4 混沌神经网络脉冲滞后同步的理论分析5 9 5 5 例证和数值仿真一6 2 ：5 6 本章小结一6 7 第6 章通过积分滑模控制器实现的不同混沌时滞神经网络的映射同步6 8 6 1 引言一6 8 6 2 滑模变结构控制方法简介6 9 6 2 1 滑模变结构控制基本原理7 0 6 2 2 滑动模态的存在和到达条件7 1 6 2 3 等效控制及滑动模态方程7 2 6 2 4 滑模控制器设计基本方法7 3 6 2 5 滑模变结构控制系统的抖振问题7 4 6 2 6 准滑动模态控制原理7 5 6 3 问题描述和初步准备7 6 6 4 滑模控制器设计和分析7 7 6 4 1 滑模面和等效控制器设计7 7 6 4 2 可到达性分析和抖振削减7 8 6 4 3 滑模运动的稳定性分析7 9 6 5 数值仿真8 2 6 6 本章小结8 7 第7 章时滞混沌神经网络在保密通信中的应用探索8 8 7 1 引言一8 8 7 2 混沌保密通信的原理和方法8 9 7 2 1 混沌保密通信的原理8 9 7 2 2 混沌加密方法9 0 同济人学尊十学位论文目录 7 3 基于时滞超混沌神经网络同步方法的保密通信仿真9 3 7 3 1 基于连续变量反馈同步法的混沌保密通信仿真9 3 7 3 2 基于非线性耦合同步法的混沌保密通信仿真9 4 7 4 基于时滞超混沌神经网络的初值和参数的混合加密系统一9 5 7 4 1 对称密钥和非对称密钥技术9 5 7 4 2 时滞超混沌神经网络在混合加密系统中的应用9 8 7 5 本章小结1 0 1 第8 章总结1 0 3 8 1 本文的主要工作1 0 3 8 2 进一步的研究工作1 0 4 致谢10 5 参考文献1 0 6 攻读博士期间撰写或发表的论文1 1 7 l x 第1 章绪论 第1 章绪论 非线性系统科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，它几乎涉及了自然 科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。它不仅拓 展与丰富了经典的线性系统理论，而且与其它学科相互渗透，也促进了相应边缘 学科的发展。混沌作为非线性系统所具有的一种特殊复杂的动力学行为，其最大 的特点就在于本身是一个确定性系统，却展示出明显的非确定性运动的特征，正 是由于这个奇异特性，人们对混沌的研究产生了浓厚的兴趣。混沌所揭示的自然 界与人类社会中普遍存在的复杂与简单的统一、有序与无序的统一、确定性与随 机性的统一，大大开拓了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识l lj 。 1 1 混沌学的发展 混沌通常是指确定性动力系统的长期行为对系统的初始状态异常敏感，轨道 间相互分离却又不发散，而且无法精确重复的现象。它是非线性系统普遍具有的 一种复杂动力学行为，被公认为2 0 世纪最重要的科学发现之j 2 。7 1 。 2 0 世纪初，法国数学家、物理学家p o i n c a r 6 在研究天体力学特别是三体问 题时，发现了混沌现象。在科学的价值一书中，他提出了著名的p o i n c a r 6 猜想：“可以发生这样的情况：初始条件的微小误差在最后的现象中产生了极大 的差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差，于是预言变得不可能”。这一 描述实际上已经蕴含了“确定性系统具有内在随机性”，这一混沌系统的重要特 征【2 1 。 早期混沌研究的一个重要阶段是把p o i n c a r 6 的拓扑动力学思想推广应用到 耗散系统。1 9 1 8 年d u f f i n g 对具有非线性恢复力项的受迫振动进行了深入研究， 提出了许多奇妙的非线性振动现象，并建立了标准化的动力学方程d u f f i n g 方程。 1 9 2 7 年荷兰物理学家v a n d e r p o l 在研究三相复振荡器时，建立了著名的v a n d e r p o l 方程。早期混沌探索的另一个突出领域是在生态领域，经过数代人的努力，提炼 出了l o g i s t i c 方程：以+ 。= 以( 1 _ 一，) ，这就是描述生物种群系统演化的典型方 程，常称为虫口模型。 在混沌学研究的中期，即本世纪五六十年代，k a m 定理的发现被公认为创 建混沌学理论的历史性标记。1 9 5 4 年，前苏联概率论大师k o l m o g o r o v 在探索概 率起源的过程中，发现了h a m i l t o n i a n 函数中发生微小变化时，条件周期运动依 然保持，这说明不仅耗散系统存在p o i n c a r 6 猜想，在保守系统中也存在p o i n c a r 6 1 同济人学博十学位论文一类时滞神经网络系统的混沌行为与控制同步 猜想。1 9 6 3 年，k o l m o g o r o v 的学生a r n o l d 对此作了严格的数学证明。几乎与此 同时，瑞典数学家m o s e r 对此作了改进表述，并独立完成了数学证明。k a m 定 理就是以他们三人的名字命名的。该定理被国际混沌学界公认为是这一新学科的 第一个开端。 混沌学研究的另一个重大突破发生在遍布于现实世界的耗散系统。1 9 6 3 年， 美国气象学家l o r e n z 在研究大气对流模型时发现这个确定性系统的有规则行为， 同时也观察到同一系统在某些条件下可呈现非周期的无规则行为。他敏感地意识 到：一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以被放大为成倍的变 化，而混沌的含义就是这些点无处不在【8 】。随后l o r e n z 在大气科学杂志上发 表了著名的文章确定性非周期流( d e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w ) 。在接下来 的研究中，他提出了一系列混沌运动的特征，如确定性、非周期性、对初值敏感 性、不可预测性和第一个奇怪吸引子l o r e l l z 吸引子，为耗散系统中的混沌研 究开辟了道路。 七十年代是混沌学发展史上光辉灿烂的年代混沌学作为一门科学正式 诞生。1 9 7 0 年，美国科学家k u h n 出版了科学革命的结构一书，对混沌学的 发展推波助澜。1 9 7 5 年，马里兰大学的数学家李天岩和他的导师y o r k e 联合在 美国数学杂志上发表了轰动整个学术界的论文周期三意味着混沌( t h e p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ) ，首次使用了“c h a o s ”这个词【9 】。1 9 7 6 年，美国生 物学家m a y 在自然杂志上发表了综述性文章具有非常复杂动力学的简单 数学模型( s i m p l e m a t h e m a t i c a lm o d e l sw i t hv e r yc o m p l i c a t e dd y n a m i c s ) ，给出 了周期窗口、叉形分翁、切分岔、不动点谐波等混沌学名词1 1 0 】。同年，法国青年 数学家m a n d e l b r o t 在科学杂志上提出了“英国的海岸线有多长”? 答案是 出人意料的“不确定”，它取决于测量时所用