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第二十四章 相似三角形第一节 比例线段一、比例线段【知识梳理】1、如果（或），那么就说a、b、c、d成比例；2、在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；3、如果a、b、c、d是比例线段，即（或）那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d是a、b、c的第四比例项。【典型例题】例1、已知线段3、4、6与x是成比例线段，则x_。参考答案：8、2、4.5例2、若，那么a、b、c的第四比例项d为_。参考答案：二、合比性质与等比性质【知识梳理】1、基本性质：两外项之积等于两内项之积；2、合比性质：如果，那么；3、等比性质：如果，那么。【典型例题】例3、若，则_。若，那么_。若，那么_。若，那么_。参考答案：例4、已知，如果，那么_。参考答案：40例5、如果，那么k_。参考答案：例6、已知a、b、c为ABC的三边，且，求ABC的面积。参考答案：，故为Rt，面积为150。三、比例中项与黄金分割【知识梳理】1、比例中项：如果比例的两个内项（或外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项。如时，b叫做a和c的比例中项，这时，；2、黄金分割：如图所示，如果点C把线段AB分割成AC和BC（ACBC）两条线段，且，那么称这种分割为黄金分割。点C叫做AB的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值叫做黄金分割数。【典型例题】例7、线段长分别为6和8的比例中项为_。参考答案：例8、已知线段a的长是10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，那么线段b的长度为_。参考答案：例9、已知：，求证：b是a与c的比例中项。ODCAB参考答案：，。故得证。例10、已知，如右图所示，在梯形ABCD中，ADBC，（1） 求证：；（2） 求证：是和的比例中项；（3） 求证：参考答案：（1）；（2）；故得证（3）；又；故得证。【课后练习】练习1、如果a4、b16、c8，那么a、b、c的第四比例项d_。 练习2、已知A、B两地的实际距离AB为5千米，在地图上的距离AB为2厘米，则这张地图的比例尺为_。 练习3、如果甲乙两地相距250km，那么在1:10000000的地图上他们相距_cm。 练习4、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的竹竿的影子长为2.5米，那么同时刻影长为30米的旗杆的高为_米。 练习5、若，则_。 练习6、若 ，那么_。 练习7、如果，那么_；_。练习8、已知，且，求a、b、c的值。 练习9、已知x、y、z为三个互不相同的正数，且，求的值。 练习10、已知a、b、c为非零实数，且满足，求的值。 练习11、若a是8和32的比例中项，则a_。 练习12、对于以下命题：（1）如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有；（2）如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；（3）如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，那么AC是AB与BC的比例中项；（4）如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB2，则。其中正确的命题有_。 练习13、已知线段AB的长为30cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长度。 练习14、据有关实验测定，当气温处于人体正常温度（37）的黄金比值时，人体感到最舒适，那么这个气温大约是_（精确到1） 练习15、已知a、b、c是ABC的边长，（1）若a4，c9，b是a、c的比例中项，求ABC的周长；（2）若，ABC的周长是120，求ABC的面积。 练习16、以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PFPD，以AF为边长做正方形AFEM，点M落在AD上。（1）试求AM、DM的长，；（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。 练习17、如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，求AD的长。 第二节 三角形一边的平行线一、三角形一边的平行线的性质定理及推论【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例；2、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。【典型例题】例1、如图所示：DEBC，EFAB，则下列比例式中不成立的是（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：D例2、已知：如图，在ABC中，DEBC，DGBF，（1）求证：；（2）如果，当E、F重合时，求AG、GE、EC的长。 参考答案：（1）利用等量代换得证；（2）；。例3、如图所示，DEBC，EFAB，求证： 参考答案：，故得证。例4、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF3BF，EF与BD相交于点G。求证：DG5BG参考答案：延长FE交DA的延长线与H，EBFEAH，AHBF，故得证。二、三角形的重心及其性质【知识梳理】1、三角形重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；2、三角形重心性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。【典型例题】例5、若点G是ABC的重心，则_。参考答案： 1:3例6、如图所示，BE是ABC的中线，G是ABC的重心，如果H是边BC上的点，且GHAC，那么_；_。 参考答案：【课后练习】练习1、如图，ABCD，AD与BC交于点O，AO4，BO6，AD16，求BC、OC的长。 练习2、如图，EFBC，FGCD，若AE4cm，BE10cm,AC15cm,AG3cm，试求AF和DG的长。 练习3、已知：EFAD，FGBC，求证： 练习4、已知：P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，过P做直线PQ，交AD于点N，交BC于点M，交CD的延长线于点Q，交AC于点O；（1）求证：；（2）如果将直线PQ绕点P旋转，当Q点与D点重合时，你将得到什么样的等积式？并证明你的结论。 练习5、如图，在ABC中，DEBC，。（1）求AE和CE的长；（2）求ABC的面积。 练习6、在ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N。求证：。 练习7、已知，如图所示，在等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC，D为垂足，点M在AD上，且，过点M作MNAC，交边AB于点N，求的值。 练习8、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是BD上一点，E、M、P、N、F共线，B、A、E共线，D、C、F共线，求证： 练习9、如图所示，在ABC中，DEBC，（1）若，分别求、的值；（2）若，求。 练习10、如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，F是BC延长线上一点，联结OF交CD于点E，若AD6，AB4，CF8，求CE的长。 练习11、在ABC中，C90，AC8，BC6，求正方形CDEF的面积。 练习12、如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别在AB、AC上，且BDCE，DE的延长线交BC的延长线于点F。求证： 练习13、已知：在ABC中，AM为中线，D为AB上一点，CD交AM于E，求证： 练习14、如图，在ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AEAF，EF的延长线交BC的延长线于点D，求证： 练习15、如图，过ABC的顶点C任作一条直线，与边AB及中线AD分别交于F和E。求证： 练习16、如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N为BD的三等分点，联结CM并延长，交AB于点E，联结EN并延长，交CD于点F，求DF:AB的值。 练习17、若点G是ABC的重心，点F在BC上，GFAC，则GF：AC_。练习18、在等腰ABC中，ABAC6，BC8，G是重心，则AG_。 练习19、直角三角形的两条直角边分别是6和8，它的重心到斜边中点的距离为_。 练习20、如图1，在RtABC中，ACB90，G是ABC重心，那么_；如图2，在RtABC中，ACB90，A30，G是ABC重心，那么_；如图3，G是ABC重心，过G作DEAB，与BC、AC分别相交于点D、E。那么_。 练习21、在ABC中，G是重心，AG8，求点C到直线AG的距离。 三、三角形一边的平行线的判定定理及推论【知识梳理】1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【典型例题】例1、如图1，已知点D是AB上一点，如果DEBC，DFAC，点E、F分别在AC、BC上，那么下列比例式中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D） 参考答案：B例2、如图2，ABC是锐角三角形，下列条件中，不能判定DEBC的条件是（ ）（A） （B） （C） （D） 参考答案：D例3、如图3，已知下列条件中：；。其中能判定ABCD的条件是（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：B四、平行线分线段成比例定理及平行线等分线段定理【知识梳理】1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例；2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。【典型例题】例4、如下图1，已知AC8，CE4，BD6，DF3，那么_（会、不会）有。 参考答案：不会例5、如下图2，已知直线，DF10，EF4，BC3，那么AB_。参考答案：例6、如下图3，在ABC中，当满足条件_（可多选）时，DEBC。 ；参考答案： 1、3、4【课后练习】练习1、ABC的边AB、AC上各有一点D、E，使DEBC的条件是（ ）（A）；（B）；（C）；（D） 练习2、在ABC中，D、E分别为AB、AC上一点，能推出DEBC的条件是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）； 练习3、已知，OD4，OA6，OF5，FC2.5，且DEAB，求的值。 练习4、如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线AC上任意一点，过点P作两条直线，分别与AD、BC相交于点E、G，与AB、DC相交于点F、H。求证：EFHG 练习5、已知如图1.在平行四边形ABCD中，F为AD中点，AE:BE1:2，AC交EF与点G，那么AG:GC_。 练习6、已知如图2，在ABC中，AD与CE交于点F，BD:DC1:2，F为AD的中点，那么CF:FE_。 练习7、如图3，在ABC中，AM是边BC的中线，O为AM上的任意一点，BO的延长线交AC与点D，CO的延长线交AB与点E，求证：EDBC 练习8、如图4，已知，那么_。 练习9、如图5，在PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，已知，那么_。 练习10、如图6，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB，交AC与点E，AB15，AC10，那么DE_。 练习11、如图，点D、E分别是AB、AC上的点，且ADAE，联结DE并延长交BC与点F，求证： 练习12、如图所示， 在梯形ABCD中，ABCD，M为AB中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，BD与MC交于F，求证：EFAB 练习13、如图1，直线，AB3，AC5，EF1.6，那么DF_。 练习14、如图2，直线，DE6，那么DF_。 练习15、如图，已知在ABC中，AB8，BC9，AC10，EFBC，且AEF与梯形BCEF周长相等，求EF的长。 练习16、如图在梯形ABCD中，ADBC，AD8，BC12，EFAD，且AE:EB2:3,求EF的长。 练习17、如图，AM3，BM5，CM4.5，EF16，求DM、EK、FK的长。 练习18、如图，AEBFCGDH，AE12，DH16，AH交BF于M，求BM与CG的长。 练习19、如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，过O作EFBC交AB于E，DC于F。（1）求证：OEOF；（2）求证： 练习20、如图，在梯形ABCD中，ADBC，2ADBC，联结AC、BD，O是BD的中点，过O作EFAC交AB、BC于点E、F，且AC12cm，求EF的长。 练习21、如图，在ABC中，ABAC，D为BC上的一点，使得（m0、n0），E为AD中点，联结CE并延长交AB于点F。（1）求的值；（2）如果BF2AF，那么AD所在的直线与边BC有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）点F能否为AB的中点？如果能，求出相对应的的值，如果不能，证明你的结论。 练习22、如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AB4，BC3，取线段AB上一点P，过点P作AC的平行线交BC于E，联结EO，并延长交AD于F，联结PF。（1）求证：PFBD；（2）设AP的长为x,PEF的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。 第三节 相似三角形一、相似三角形的判定一【知识梳理】1、相似三角形概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形，对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点。2、相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。3、判定定理一：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。此定理可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。【典型例题】例1、如图1，在ABC中，C90，DEFG是正方形，点G、F在AC、BC上，DE在AB上，则图中相似的三角形共有_对；参考答案：6例2、如图2，在ABC中，DEBC，GFAC，图中与ABC相似的三角形有_个；参考答案：3例3、如图3，ADEABC，并且ADEB，那么下列比例式中正确的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）参考答案：D二、相似三角形的判定二【知识梳理】判定定理二：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。此定理可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。【典型例题】例4、如图1，在平行四边形ABCD中，AB8，AD4，E为AD中点，在AB上取一点F，使得CBFCDE，那么AF_；参考答案：7例5、如图2，D、E分别是AB、AC边上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ABE和ACD相似的是（ ）（A）BC；（B）ADCAEB；（C）BECD，ABAC；（D）AD:ACAE:AB参考答案：C例6、如图3，在ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定APC和ACB相似的条件是（ ）（A）ACPB；（B）APCACB；（C）；（D）参考答案：D三、相似三角形的判定三【知识梳理】判定定理三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。此定理可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。【典型例题】例7、以下的结论,其中正确的有_。 三边对应成比例的两个三角形相似； 边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似； 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； 一个角对应相等的两个等腰三角形相似。 参考答案：1、3 例8、下列命题中，假命题是（ ）（A）顶角相等的两个等腰三角形相似；（B）有一个底角相等的两个等腰三角形相似；（C）有一个角相等的两个等腰三角形相似；（D）腰长与底边长对应成比例的两个等腰三角形相似。参考答案：C例9、在ABC中，ABAC，点D在AC上，ADBDBC，E是AB的中点，下列结论不正确的是（ ）（A）DEAB；（B）A30；（C）；（D）BD平分ABC参考答案：B例10、在正方形ABCD中，F是BC上一点，EAAF，AE交CD的延长线于点E，联结EF交AD于点G，求证：参考答案：先证明ABFADE，故BFDE，在证明EDGECF，得证。四、两个直角三角形相似的判定定理【知识梳理】判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。此定理可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。【典型例题】例11、有下列命题：一个锐角相等的两个直角三角形相似；两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；两边成比例的两个直角三角形相似。其中真命题有_。参考答案：1、2、3例12、如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AEBE，求证：ADECDB。并求出BD:DE的大小。参考答案：，利用两边及夹角得证，。例13、如图，AD为RtABC的斜边上的高，E为AC的中点，求证：参考答案：FDBEDCCBAD。利用两角证明FBDFDA。得证。例14、如图，在RtABC中，C90，G是重心，AGCG，求证：ABCCAG参考答案：ACGCAB，利用两角证明可得证。【课后练习】练习1、如图4，BD、CE是ABC的高，那么图中共有_对相似三角形； 练习2、如图5，ABCDEF，那么图中有_对相似三角形；练习3、如图6，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，那么满足这样条件的直线有_条。 练习4、如图，在ABC中，B90，点D是AC的中点，EDAC，交AB于点E，（1）求证：ADEABC；（2）若AC10，BE2，求AB的长。 练习5、如图，在ABC中，ACB90，D是AB的中点，EDAB交AC于F，交BC的延长线于E，求证：DECDCF 练习6、如图，在等边ABC中，BDCE，AD、BE交于点F，求证：BDFABD 练习7、如图，在平行四边形ABCD中，AD3，AB4，BE2，（1）图中共有几对相似三角形？它们的相似比分别是多少？（2）求DG:GF:FE。 练习8、如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC，（1）求证：ABFEAD；（2）若AB4，BAE30，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下，若AD3，求BF的长。 练习9、下列结论中，不一定正确的是（ ）（A） 有一个角相等，两条边对应成比例的两个三角形相似；（B） 顺次联结三角形各边中点所得到的三角形与原三角形相似；（C） 有两边和其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似；（D） 一条斜边和一条直角边长分别为7、4和14、8的两个直角三角形相似。 练习10、下面的结论中，错误的是（ ）（A） 两个等腰三角形中有一个角相等，这两个三角形相似；（B） 两个等腰三角形的顶角相等，这两个三角形相似；（C） 两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，这两个三角形相似；（D） 两个等腰三角形的底角相等，这两个三角形相似。练习11、已知下列命题：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有的直角三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似。其中真命题有_。 练习12、如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，FGAD，分别交DE、AE与点F、G，3AE2AB，AD:AC2:3，那么EGF与BAC相似吗？若相似，请说明理由。 练习13、如图，已知DAEBAC，ADEABC，求证：（1）ADEABC；（2）ABDACE 练习14、如图，C、D在线段AB上，且PCD是等边三角形，（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB；（2）当PDBACP时，试求APB的度数。 练习15、如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，（1）求证：ABDACE；（2）求证：AEDACB；（3）如果A60，求证： 练习16、如图，在ABC中D为AC上一点，CD2DA，BAC45，BDC60，CEBD，E为垂足，连结AE。求证（1）EDDA；（2）EBAEAB；（3） 练习17、给出以下条件：（1）ABC的两个角分别是58和70，DEF的两个角分别是58和52；（2）ABC的两边长为4和，夹角为40，DEF的两边长为和，夹角为40；（3）ABC的边长分别是5、6、8，DEF的边长分别是、3、4；（4）在ABC中，C90，AC3，BC4，在DEF中，F90，DF6，EF8其中能判定ABC与DEF相似的条件是_。 练习18、如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B、C，且AB8，DC6，BC14，BC上是否存在点P使得ABP与DCP相似，若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。 练习19、如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，（1）求证：ADQQCP；（2）求证：APQADQ 练习20、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，（1）求证：ACFGCA；（2）求12的度数 练习21、如图，在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，DEDF，AEDF。（1）找出图中相似的三角形，并证明你的结论；（2）求证： 练习22、下列命题中，假命题是（ ）（A）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（B）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（C）各有一个角是50的两个直角三角形相似；（D）凡是直角三角形都相似 练习23、如图，ABC与ADB中，ABCADB90，AC5cm，AB4cm,若图中的两个直角三角形相似，求AD的长。 练习24、如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC，求证：（1）AEFDCE；（2）AEFECF 练习25、已知，平行四边形ABCD中，DBC45，DEBC于E，BFCD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G。求证：（1）ABBH；（2） 练习26、如图，在ABC中，BAC90，D是BC中点，AEAD，AE交CB的延长线于点E，（1）求证：EABECA；（2）ABE和ADC是否一定相似？如果一定相似，请证明；如果不一定相似，那么增加怎样的条件，才能使得它们相似？ 练习27、如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，DEAC于点E，M是DE的中点，BE于AM交于点N，求证：EBCDAM 练习28、如图，在ABC中，D是AB上的一点，AECD，垂足为E，AD2，DB1，且ACB60，求AE的长及ACD的度数。 练习29、如图，在正方形ABCD中，AB2，P是边BC上与B、C不重合的任意一点，DQAP于点Q，当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PAx，DQy，求y与x的函数关系式，并求出这个函数的定义域 练习30、如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3cm，BC7cm，B60，P为下底BC上一点（不与B、C重合），联结AP，过点P作射线PE，交DC于点E，使得APE60。（1）设BPx，CEy，求出y与x的函数解析式；（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC5:3？如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由。（3）在第（2）题中，如果把DE:EC5:3改为DE:EC1:9，那么第（2）小题的结论是否仍然成立？为什么？ 五、 相似三角形的性质【知识梳理】1、 相似三角形对应边成比例，对应角相等；2、 相似三角形性质定理一：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形的相似比；3、 相似三角形性质定理二：相似三角形周长的比等于相似比；4、 相似三角形性质定理三：相似三角形面积的比等于相似比的平方。【典型例题】例1、若ABCDEF，AB:DE2:3，如果BC边上的中线长为3，那么EF边上的中线长为_。参考答案:例2、在ABC中，DEFABC，若DEF的最长边为，那么它的最短边的长度为_。参考答案:例3、如图，在ABC中，BC10，BC上的高AD8，矩形EFMN相邻两边NE:EF3:5，求矩形EFMN的周长。参考答案:设NM5k,NE3k，得。周长为。例4、如图，在ABC中，AB4，点D是AB的中点，E在AC上，且AE1，CE7，若，求。参考答案:先证明ADEACB，有，即，。例5、如图，点C在线段BE上，ABC和CDE是等边三角形，联结BD，AE，分别与AC、DC相交于点M、N。求证：CMCN。参考答案:先证明BCDACE（SAS），BDCAEC，证明CMDCNE（ASA）。得证。例6、如图，在ABC中，D、E是边BC上的两点，且BD:DE:EC1:2:3，DGAB，EFAC，DG与EF交于点P，过点P作HLBC，分别与边AB、AC相交于点L、H，求的值。参考答案:设FLk，BL2k,，。【课后练习】练习1、若ABCDEF，相似比为3:2，DEFGMN，相似比为2:5,如果A的角平分线长为6，那么G的角平分线长为_。 练习2、若ABCDEF，相似比为4:3，DEFGMN，相似比为2:1，那么ABCGMN，且相似比为_。 练习3、如图，G为ABC的重心，过G作EFBC交边AB、AC于E、F，分别作ABC和AEF的角平分线BP、EQ。求的值。 练习4、如图，ABC是等边三角形，AB4，D是边AC上一动点，（与A、C 不重合），EF垂直平分BD，分别交边AE、BC于点E、F。（1）求ADE和CFD的周长的和；（2）设CDx，AEy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域。 练习5、如图，在ABC中，DEBC，交AB于D，交AC于E，且AB16cm，AC12cm，BC20cm，（1）如果ADE和ABC的周长比为2:3，求AD的长；（2）如果ADE和四边形BCED的周长比为6:17，求AD的长。 练习6、如图，在边长为6的等边ABC中，D在边AB上，点E在边AC上，将ABC沿着直线DE折叠，使点A刚好与BC边上的点P重合，若BPD与CEP的面积比为9:4，求BP的长。 练习7、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DEBC，EFAC，FDAB，若ABC的面积为72,求DEF的面积。 练习8、如图，在ABC中，D、E是边AB上的点，且ADDFFB，DEEGBC，求ABC被分成的三部分的面积比。 练习9、如图，AC平分BAD，。求证： 练习10、如图，矩形DEFG内接于ABC，AHBC，DG与AH相交于点K，BC48，高AH16，（1）当DG18时，求AK的长；（2）设AK的长为x，矩形DEFG的周长为C，面积为S，分别求出与的解析式；（3）内接矩形DEFG的长和宽是否可能都大于10？如果可能，那么请说明如何作出这样的矩形。 练习11、如图，在ABC中，ABAC5，BC6，D是BC上的一点，DEAB于点E，FDBC于点D，当D在BC上运动时，是否能使？如果可能，求出BE的长，如果不可能，请说明理由。 练习12、如图，APQ为等边三角形，BAC120，PQ4，设BP为x,CQ为y，求y与x的函数解析式，并求出它的定义域。 练习13、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5cm，ABDC2cm，P为边AD上一点，（1）联结PB、PC，BPC恰好等于A，求AP的长；（2）以点P为顶点，作BPNA，交边BC所在的直线于点E，当点E与点C的距离为1cm时，求AP的长。 练习14、如图，在RtABC中，角BAC90，ADBC于D，E是AC上任一点，连结BE，过点A作AFBE于F，求证： 练习15、如图，矩形DEFG内接于锐角ABC，AH是BC边上的高，AH6，BC12，（1）若GF2EF，求矩形DEFG的面积；（2）若GFx，求y与x的函数关系式。 第四节 平面向量的线性运算一、实数与向量相乘【知识梳理】1、 实数与向量相乘的意义：一般地，设n为正整数，为向量，那么我们用表示n个相加，用表示n个相加，又当m为正整数时，表示与同向且长度为的向量。2、 实数与向量相乘的运算的规定：设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记做。3、 实数与向量相乘满足实数加法的分配律：设m、n为实数，则，4、 实数与向量相乘满足实数加法的分配律：设m、n为实数，则5、 平行向量定理