利用数形结合思想解应用题初探 (李长斌).doc

3利用数形结合解决数学问题初探陕西省安康职业技术学院北校区 李长斌 邮编：725000摘要: 数形结合是根据数学问题的条件与结论间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙结合并寻找解题途径，使问题得到解决，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面。从而把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。关键词:数形结合 解应用题 分析 总结一、数形结合的历史和形成过程：早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形结合起来了。早在宋元时期，我国古代数学家系统引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系，17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期得不到解决的问题，如尺规作图三大不能问题等，最终借助代数方法得到圆满解决。 数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，实现数形结合的方法通常有：（1）实数与数轴上点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式。数形结合的关键是 “以形助数”和“以数辅形”两者巧妙的结合。解近似值时，却无法得到答案。这时我们就要想到数形结合。上面的题看起来不好下手，但有了函数图像，一切问题都解决了。我们要善于总结、分析那一类问题用什么解法最好。解: 根据题意，可知这是一个二次函数，图象是抛物线，对称轴是X=-1，且该抛物线开口向上。X的取值不是任意实数，而是一个区间。这是条件二次函数求最值，图象上最高点的纵坐标是最大值，最低点的纵坐标是最小值，因而准确作图，利用图形的直观性，巧妙的数形结合是解题的键。如图，显然图象的最高点的坐标是（，），最低点的坐标是（-1，-4）。当x= -1时，函数y有最小值-4；当x= 时，y有最大值 。 例4.K取什么实数时，方程-2x+3=K有四个互不相等的实数根？下面我们来用数形结合解这道题：构造两个函数，并作出当x0和x0时的图象。如图：由于原方程有四个根，其几何意义为两函数的图象有四个交点,所以k的范围是：2K3.。例(5).设x,y,zR.0xyz. 求证: sinx+siny+sinz+2sinxcosy+sinycosz解sinx+siny+sinz+2sinxcosy+sinycosz不等式移项得:sinx(cosx-cosy)+ siny(cosy-cosz)+sinzcosz单位圆的面积为，且x，y，zR，0xyz阴影部分的面积为sinx(cosx-cosy)+ siny(cosy-cosz)+ sinzcosz单位圆的面积为。sinx+siny+sinz+2sinxcosy+sinycosz对这类不等式问题，用数转形的方法，就能很直观地探索出不等式的几何意义，运用几何图形解决代数问题。例6方程x-1-y-1=1 确定的曲线围成的图形面积是多少?解:(1) 当x1,y1时有: (2)当x1,y1时有:-(x-1)+(y-1)=1 -(x-1)-(y-1)=1 y=x+1 y=-x+1(3)当x1,y1时有: (4)当x1,y1时有: x-1-（y-1）=1 x-1+(y-1)=1y=x-1 y=-x+3如图，所求图形面积就是小正方形的面积，为：由x的取值范围脱掉绝对值符号，把方程转化为函数，利用图象可看出所求图形的形状是正方形。这类问题离开了数形结合，真是难以入手。要会数形结合，见数思形，使问题得以解决。三、对数形结合的总结:总之，数形结合解题灵活巧妙，其思想方法应用广泛，常见的有：方程和不等式问题中；求函数的值域、最值问题中；复数和三角函数运算与证明中。运用数形结合的方法，直观且易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。但我们在数形结合时，要注意几个问题:1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系。2、通过坐标系做好“数”与“形”之间的相互转化。3、要正确确定变量的取值范围。华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这句话经典地概括了数与形的关系和数形不分家的真谛。可见，它的作用不可低估。我们要在以后的教学中，培养学生多思考并善于用数形结合的思想来解决问题。这样，才能很好地开发学生的数学思维，为学生架起沟通代数与几何的桥梁。参考文献：1 高等数学解题方法 湖北工商院数学教研室 华中理工大学出版社 19962 数学解题思路与技能培养 樊顺厚 中国纺织出版社 1998 3 高等数学上下册 , 肖亚兰，科学出版社 4 高等数学( 第五版 )