（应用数学专业论文）抛物型方程的集中质量法.pdf

独创声明 y5 9 8 4 0 5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 导的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。- 9 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 沦文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：二j 日诗多季导师签字：劫铹 签字日期：2 0 0 4 年4 月z 日签字日期：2 0 0 4 年u 月w 日 抛物型方程的集中质量法 孙鹏举 山东师范大学数学科学学院。济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 了抛物型积分微分方程的集中质量法 二维线性积分微分方程 ，t 矗扛，t ) w + 6 0 ，t ，r ) v u d r = ，白，) ，扛，t ) n 正j = 【0 ，列 ju 社o ( z ) ，z q ， 0 ，( ，t ) a q 正 与二维非线性积分微分方程 ， lu c v f n ( u ) v + 6 ( ，t ，f ，u ) v u d t ) = ，( ) ，( z ，t ) n j i l “ 1 “( 2 ，o ) = u o ( $ ) ，z f 2 ， i 【t ( 卫，t ) = o ，( 。，t ) a n 正 的有限元集中质量法关于线性积分微分方程得到了最优的1 , p 和l p ( 2 ps 。) 模误差估计及u v h u 超收敛的w 1 p ( 2 曼pso o ) 模估计；对非线性积分微分方程 得到了1 t ( 2 p so 。) 和最优的工2 模估计 第二章考虑二维线性积分微分方程 iu t v ，t ) v u + 上6 ( 吼r ) v 钍打) = m ，t ) ，( 日t ) n z j = n 明， u ( z ，0 ) = “o ( z ) ，茹n ， l lu ( o ，t ) = o ，( z ，t ) a q 正 的广义差分集中质量法。建立了广义r i t z v o l t e r r a 投影，得到牡一w u 的1 ，p 和 i f ( 2 p o 。) 模误差估计和d 似一w 让) ，= l ，2 的p 和w 1 p ( 2s p so 。) 模误 差估计，从而得到u u 的最优w 1 , p 和l p ( 2 p o o ) 模误差估计 2 关键词：集中质量方法，积分微分方程，有限元集中质量法，广义 差分集中质量方法，误差估计 分类号；0 2 4 1 8 3 l u m p e dm a s sm e t h e d sf o rp a r a b o l i ct y p e e q u 觚i o n s s u n p e n g j u d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m mu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t 卜一v 小( 州) v ”+ z 。6 ( 叫，坍u 打) = m ，f ) 巾，蚱队正j = 【0 明， “( 。，0 ) = u o ( z ) ，。q ， f 扯c v f n ( 坍“+ 上。f f ，圳) v 础) = m ) i ( 州) e n z u ( $ ，0 ) = t o ( 。) ，z n ， 【“( 8 t ) = 0 ，( 。，t ) 勰x z 卜一v n ( 州) v u + j ( 2 b ( 刈，巾u 州= m ，巩( 州) q j t ，邛m u ( z ，0 ) = “o ( 。) ，。n ， lu ( 茹，t ) = 0 ，( o ，t ) a n j i 4 岛a n dw 1 , p - n o r m e r r o re s t i m a t e so ft h eg e n e r a l i z e dr i t z - v o l t e r r a p r o j e c t i o n 让一w “ a n dw 1 , pa n d 扩- n o r me r r o re s t i m a t e so fd ( “一w u ) ，k = 1 ，2a r em a d e ，t h e nw e o b t a i nl 口a n dw l , p n o r me r r o re s t i m a t e so fu u k e yw o r d s ：l u m p e d m a s s m e t h o d s ，i n t e g t o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， af i n i t ee l e m e n t l u m p e d m a s s m e t h o d ， ag e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e l u m p e d m a s s m e t h o d ， e r r o re s t i m a t e s c i a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 ，8 5 第一章二维积分微分方程有限元集中质量法 1 1引言 本章我们考虑二维线性积分微分方程 “t v 。( 。，t ) 孔+ z 6 ( 叫，r ) v u 打) _ m ，t ) ，( 州) o z t ，= 0 】列， “( z ，o ) = “o ( 。) ，。n ， ( 1 1 1 ) u ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q j 其中系数a , b ，f 为nxi o ，t 上的光滑有界函数，满足0 o 卓口( 马t ) sa + 。o ，1 妄n ( z ，驯矿，i 暴。( z i ) i n + ，i b ( x , t ) l ai 裳6 ( 。，圳冬ai 丽0 2 6 ( 。fs g 铷q 且它们的解牡存在唯一与二维非线性积分微分方程 j 一v a ( u ) v u + b ( x ，t ，7 ，u ) v u d t = ，( t ) ，( z ，t ) n z i j 0 u ( z ，o ) = u 0 ( 。) ，z q ， ( 1 1 2 ) l 【“( z ，t ) = o ，( z ，t ) a n 一 同上，其系数a , b ，f 及a , b 关于t 的一、二阶偏导数皆有界以下用g 表示广义常 数，e 表示小正常数，它们在不同处可取不同的值 文献 1 】中提出的对抛物方程的集中质量法使离散格式的求解极为简单，而具 有同标准有限元相同的误差精度本文将该方法应用到抛物型积分微分方程，对线 性积分微分方程( 1 1 1 ) 得到了最优的l , p 及l p 估计，对非线性方程( 1 1 2 ) 仅得 到w 1 一及最优的工2 估计 1 2半离散有限元集中质量格式及一些引理 令“，9 ( n ) 和日m ( q ) = ”，2 ( q ) ( m = 0 ，1 ，1 pso 。) 为通常的s o b l e v 空 间，相应的范数为：。 n = j j j j 一( n ) ，删m n = l i 1 | 日m ( n ) ，i i | | m ，2 = i i ，= 1 1 j l o 6 怙对任意的函数“，定义范数 j ， ij t , c t ) l l 。，= i i n u ( 0 1 1 。+ 枷明u ( s ) d s ) j = o o ” 在讨论中也假设ncr 2 为有界凸多边形区域，将区域q 进行正规拟一致三角剖 分，记此剖分族为 ( r ) ，0 h h o l ，r 表示剖分单元三角形，h 表示单元三角 形的最大直径。定义线性有限元逼近空间 甄= v h 硪( q ) ；v h l ，p 1 ，v 丁 设r 是剖分族以中的一个三角形，且只j ，0 = 1 ，2 ，3 ) 为它的三个顶点，考虑数 值积分公式 训归i l s 蚤3 她加z ”d z ， ( 1 2 - 1 ) 其中s 表示单元三角形的面积，以上近似公式对一次多项式是精确成立的，且 由b r a m b l e - h i l b e r t 引理【1 】 f q r ， o ) 一 d z f c h 2 f f d 。u | f l ，( ，) ， ( 1 2 2 ) ” 川= 2 我们可以定义瓯中内积的一种逼近 ( 妒，x ) = g ，h ( 妒x ) ，i i 妒l i z = ( 妒，妒) ( 1 1 2 3 ) r 由( 1 2 2 ) 知( ，) h 是n 上内积的种逼近，且”与f f o 是最上两个等价的 范数，即存在两个正常数研，岛，满足 0 1 1 1 妒1 1 0 i 妒l l hsc 2 1 1 曲1 1 0 ，邯瓯( 1 , 2 4 ) 为得到最优误差估计，我们还引入求积误差 e h ( v ，仙) = ( w ) h 一扣， ) ( 1 2 5 ) 引理1 2 1 对w ，x 魏，有 l 珊韧训川圳 ；十歹1 = 1 ( 1 2 证明由( 1 , 2 2 ) ，对v 妒，x 懿， i q n ( 妒x ) 一c x d x l c h 2 l i d “( 妒x ) i i l ：( ，) ，0 - 2 7 ) 。7 = 2 7 又已知妒，x 在每个单元r 上均为线性函数，利用t t s l d e r 不等式 i q ， ( 币x ) 一c x d x l c h 2 1 1 妒1 1 1 ，l i x | 1 1 p ， ( 1 2 8 ) 故上式对r 求和并利用h s l d e r 不等式得 1 5 ( 妒，x ) c h 2 i i 妒l h ，p i l x l h p ， 证毕。口 问题( 1 1 1 ) 的弱形式是求u 础( n ) ，t j ，使得 ( ”) + ( 巾，f ) v u 胁) + ( z i 1 r ) v u d r , v v ) = ( m ，瓴珐咖嘲( n ) ， i ( ，0 ) = ”o ( 1 2 9 ) 对v u 日8 ( q ) ，引入其r i t z 投影和r i t z v o l t e r r a 投影，分别定义如下 r h = r h ( t ) ：础( n ) - - - - 4s h ，0 tst ，满足 ( o ( ，t ) v ( “一r h u ) ，v x ) = 0 ，v ) ( 瓯( 1 2 1 0 ) = y h ( t ) ：硎( n ) 叫魏，0 冬t t ，满足 ( 口扛，) v ( 一“) ，v ) + ( 6 ( z ， 一 ，) = ，v x () 易见( o ) = o t r ) v 0 v h u ) d rv x 0 s h 1 2 11vhr h ( 0 ) 定义( 1 2 9 ) 的半离散集中质量逼近格式为求映射u ( t ) ：j 鼠使得 ，一 j ( 巩，x ) h + ( 。( z , t ) v 配v x ) + ( 上6 ( x ，t , 7 - ) v u d z , v x ) = ，。) ，) ( ) ，呶s h ， jv ( o ) = g o ， n ， ( 1 2 1 2 ) 此处u o 品，满足 ( n ( z ，o ) v v o ，v x ) = ( ，( 0 ) ，x ) 一( ( v h u ) t ( 0 ) ，x ) h 一( r h u t ( o ) 一u t ( 0 ) ，x ) ，x 瓯( 1 2 1 3 ) 其中u d o ) = i ( o ) 一v ( 口( z ，0 ) v u o ) ，v ( v h , h ( 0 ) = v u t ( 0 ) 记误差u 一珏= ( u v u ) + ( v h u t ) = o ( t ) + p ( t ) ，且记 o ( t l ， ) = ( n ( t ，七) v t ，v 锄) ， 8 6 ( “， ) = ( 6 ( f ，一x ) v u 0 ) d r ，v ”) ， j u a t ( u ， ) = ( a t ( t ，z ) v u ，v ) ， r t b t ( u ，u ) = ( b t ( t ，z ) v “( r ) d t ，v ) ， j u b l ( “，口) = ( b ( t ，z ) v u ，v ”) 利用( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 2 ) 及( 1 2 1 1 ) 可得 ( 0 c ，x ) h + a ( o ，) ) + b ( o ，) ( ) = ( u h ，t 一( v h u h ，x ) h + a ( u h 一硫u ，x ) 4 - b ( u h v h u ，) ( ) = ( ，x ) 一( ( u ) t ，x ) 一n ( “，x ) 一b ( u ，) ( ) = ( 地，x ) 一( ( 垓) f ，x ) = 一( m ，x ) 一5 ( ( 碥u ) 。，x ) ， 即得误差方程为 ( 0 ，x ) h + a ( o ，) ( ) + b ( o ，x ) = - ( m ，x ) 一e ( ( h u ) ，) ( ) ( 1 2 - 1 4 ) 引理1 2 。2 1 2 1 3 】设5 = 0 ，1 ，2 ，对r i t z v o l t e r r a 投影有下列估计t i i d ( u v h “) i o ，p + h l d ( u v h ) f l l ，p c h 2 f | “f f 。，2 2s p 。o ( 1 2 1 5 ) i i d ；c u v h u ) l l 。c h 2 一“ll n h l l 一”i i u l l 。，2 ，o 。， m = 0 ，1 ( 1 2 1 6 ) 对r i t z 投影亦有估计： s | f d ( u r u ) | f o ，p + h l l d ( u r h “) f l l ，p 茎c h 2 f | 磁 i 2 p ， 2s p o 。( 1 2 。a t ) j = o 为估计最大模，我们引入离散格林函数，准格林函数，有下面的引理 引理1 2 3 【9 m 1 【1 1 n = 2 时， l e * 1 1 。14 - l 也g ：一以g ! i l 。l + 叫馥g ! j 1 + i i o , c ；l l o ，1 q ( 1 2 1 8 ) i g ：一g ；i l ，1 - i - i 也谚f l ，1 c 仇fl i l 1 ( 1 2 1 9 ) 引理1 2 4 设“o 和分别是问题( 1 2 9 ) 和( 1 _ 2 1 2 ) 的初值，则 i i u d o ) 一( v z u ) t ( 0 ) i j c h 2 1 1 u t ( o ) ( 1 2 2 0 ) i i ( u 一) ( o ) f i l c h 2 l l 咖l h + i l u d o ) t 1 2 ( 1 2 2 1 ) 9 证明利用( 1 2 1 3 ) 和( 1 2 1 2 ) ( r h u d o ) 一t ( o ) ，x ) = ( ，( o ) ，x ) 一( ( k ) ( o ) ，x ) 一( 8 ( 。，o ) v v o ，v x ) = ( 仉( o ) 一( v h u ) ( 0 ) ) ，x ) h = ( 巩( 0 ) ，x ) h ，x 5 h ， 在上式中，令x = 巩( o ) 得 吼( o ) f | 2s | i - r h u t ( o ) 一u t ( o ) l l l l o ( o ) l l c h 2 l l t , d o ) l h l l o ( o ) l l ， 利用范数 从与”jj 之间的等价性即证( 1 2 2 0 ) 成立 在误差方程( 1 2 1 4 ) 中令扭0 可得 ( o d o ) ，x ) h + 扣0 ，o w e ( o ) ，v x ) = ( n ( o ) ，) ( ) 一e ( ( v h 毗) ( o ) ，x ) ，( 1 2 2 2 ) 令x = 口( o ) ，利用口( ，) 的正定性及引理1 2 1 o ，i i o ( o ) 1 1 sc l i o t ( o ) l l h l l e ( o ) l l h + i i p t ( o ) l l l l o ( o ) t i + c h 2 i | ( ) t ( o ) | | 1 i i o ( o ) 1 1 1 ，( 1 2 2 3 ) 利用范数”队与j i 间的等价性及i i o ( o ) l i i i o ( o ) 1 1 1 得 f l e ( o ) t l l c l i e , ( o ) t f + f f 肌( o ) f f + h 2 f l ( v h ) t ( o ) t l i ，( 1 2 2 4 ) 利用( 1 2 2 0 ) 及( 1 2 1 5 ) 即证( 1 2 2 1 ) 成立 口 引理1 2 5 设“和u 分别是问题( 1 2 ，9 ) 和( 1 2 1 2 ) 的解，则 i l o d l + i l o l l l c h 2 1 1 “。1 1 1 + i l u t ( o ) 1 1 2 + 上i l u l l ；，2 2 打阿 ( 1 2 2 5 ) 证明。对误差方程( 1 2 1 4 ) 两边关于t 求导，得 ( o t ，) + a ( o t ，x ) = - a d o ，x ) 一6 l ( 口，x ) b d o ，) 一( p t t ，x ) ( ( “) “，x ) ，( 1 2 2 6 1 令x = 巩，则 拗d 刚n 2 怕俐 = 刚j 川+ z 黼打+ 洲脬 ( 1 2 2 7 1 + l l p t d l 2 - 1 - i i o t l l 2 - i - c h 4 0 ( “) “1 1 7 + 5 慨晾 利用范数”与| | 间的等价性，得 j - i i l l e t l l 2 + i t o d l c h 4 懒洲ni i 删+ 2 + 加日胁 ， ( 1 1 2 ，2 8 ) 1 0 j | 巩0 2 + f o j j 巩j j ；d r j l 巩( 。川2 ，- ，i - g z 。f ( u ) 圳懵+ j i m 川2( 1 2 2 9 ) 制f 2 + z 7 i i 酬l 猢机 卜叫 i i o ( t ) 腑si i o ( 。) 惦+ c f o j j 口j j d t + s f o 。o 巩j | d r ， ( 1 2 2 9 ) 与( 1 2 3 0 ) 相加得 ，#，t 0 吼1 1 2 + j j 口腑+ j j 巩膳d r ij 巩( o ) jj 2 + l i o ( o ) l l + e l l o d l 2 + i l o l t a , - j oj 0 + c o ( 4 i i ( v h “) “1 1 1 2 + l i p c f i l 2 打- 由g r o n w a l l 引理可得 i i o t i l 2 + i 1 0 1 1 ：t l o , ( o ) 1 1 2 + i i o ( o ) l l + ct h 4 0 ( u ) “f f ；+ l i p & ) 打 利用( 1 2 1 5 ) 及引理1 2 4 得 i i o c l l 2 + i 1 0 1 1 冬c h 4 胍( 0 ) | i ；+ 1 1 圳 + z i f 毗。，z 打) 证毕口 1 3线性积分微分方程的最优结果 定理1 3 1 设u 和u 分别是问题( 1 2 9 ) 和( 1 2 1 2 ) 的解，u 为“的r i t z v o l t e r r a 投影，则有下面超收敛估计成立： ，三 i l e l i l ，p c h 2 1 1 t l o m o ) 2 + 删坫，p + ( 上i l u l l , 2 , 2 d ， 2 ) ，2 p o 。，( 1 叫 l i l o l l l ，o o g 2 i l n h l u 。m 。) 1 1 2 + 1 , 2 , o o - - 嵋；2 ，2 d r 衙( 1 3 2 ) 证明( 1 ) 2 p 0 0 时，引入辅助同题：设也为的某一个偏导数，西础) 满足 a ( v ，垂) = 一扣，九) ，v u 础( q ) ( 1 3 3 ) 删 叫 鼢 锄 0 七 曼 z n q 0 m 且有先验估计： 1 1 0 1 1 1 c 1 1 西1 1 。p l = 南 ( 1 - 3 4 ) 则利用误差方程( 1 2 1 4 ) ( 0 。，咖) = a ( o ，西) = a ( o ，圣) + b ( o ，h 币一圣) = 一( p t ，西) 一c d ( v h ) ，v h 圣) 一( 巩，v h 垂) h b ( 0 ，圣) = 1 1 十2 十厶+ 厶， 由w 1 ( n ) q 铲( o ) 和( 1 3 4 ) lj y h cjj5c l l y h 西1 1 1 g l i 圣j j l 一c 1 1 4 1 1 0 ，p ， ( 1 3 5 ) 1 1 1 l i m i l l 刮 c l l p , l l l l 毋l l o ， i 如i c h 2 ( t ) f 1 1 护西f | l c h 2 i i ( v h u ) d l 巾1 1 1 1 0 ，巾 f 厶isc l l o t l l l l 刚 sc l i o , i i i i i i o 一， j 厶i c 1 1 0 1 1 1 ，p d r l l t j 5 l l o ，p ， j 0 综上估计 i i o o x o , p = c c e l p 。黜9 l l t ) , f( n ) ，0 jj g h 2 | | ( h u ) t i l l ，p + i i m o + i 旧i i + c j o 1 1 0 1 1 1 ，p 打 由g r o n w a l l 引理推得 1 1 日i i l ，p 曼g 2 | | ( k t ) 1 1 1 ，p + h m 0 + i i o d ( 1 3 6 ) 利用( 1 2 1 5 ) 及( 1 2 2 5 ) 即证( 1 3 1 ) 成立 ( 2 ) p = 。时，令馥g 导数型准格林函数岛q 的有限元逼近，其对应于双 线性形式( 口( z ，) v ，v - ) ，则利用误差方程( 1 2 1 4 ) 可得 也口= a ( o ，以g ! ) = 一( m ，以g ! ) “( ( t ) f ，以g ) 一，包g ；) 一b ( e ，晚g j 一如g ：) 一b ( e ，晚g ：) 1 2 = j l + 2 + 3 + 4 + 5 ， 利用引理1 2 3 可推出 l iso i i p t l l l l a = g ；l i sc i i n h l l l p t l l ， i 如i c h 2 i i ( v a u ) t l h ，。i l o = g = h l l t ，1 c h 2 ii n 叫i i ( 玩”) 忆o o ， f 矗 c i f 6 1 1 o = a ：i i c 1 - h l l l e t l l ， l 1 4 1 - c o 恻l ，。i l a , a # 一& g ：i i l , l d l g i l ，。d r ， j 毛1 = l b ( e ，0 = g ：) 1 = j ( n ( d b ) v o ，v 巩g ：) 打l ：i ( 。v ( o 一1 阳) 一n v ( 。b ) o ，v o ：a ；) d r i = j z 。也p h ( a - q 毋) 打+ z 。( v ( 咧a - l b ) 8 ) , o z g 驯 “pt g 上i l p h e l t , , o o d r + g 川呲。d t i l & g l l | o ，lj oj u a 上俐l ，o 。4 7 ， 综合上述估计 8 1 ，o 。g l n h l h 2 1 1 ( v h t , ) t l | l ，。+ l 风 4 - i l e d l + g 上l l 纠l l ， 由g r o n w a l l 引理得 i l 口1 1 1 ，。茎c 1 n h l h 2 1 1 ( v h u ) , h ，* 4 - i i p , i i + i l e d l 利用引理1 2 ，2 、1 2 5 即证( 1 3 2 ) 成立口 ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 定理1 3 2 设“，u 分别是( l 2 9 ) 的解和( 1 2 1 2 ) 的解，“为“的r i 珏 v o l t e r r a 投影，则 l i 一圳g i i l + i i u 。( o ) 1 1 2 + i i 地2 护+ 盯i i “嵫，2 打风2 s p o o ，( 1 删 1 3 i i v - u l l 吣g h 2 i l “。1 1 l + m 酬2 + i i u | | 1 2 p + n 呕2 ，2 d r ) i ) ，2s p o 。，( 1 3 j o ) ，t 1 咿一“g “ 1 1 u o l l 啦，2 + m o ) 1 1 2 + 1 1 1 1 o o + 上恻；盔2 d r ) 2 ) ， ( 1 3 1 1 ) f l u - u 帆s 掰jl n n 。j j l ，2 ，2 + m 0 ) j j 2 + u i i i , 2 , o oh - 厢u 嵫，2 岫j ) ，( 1 a 1 2 ) 证明注意到u u = 口+ p ，利用引理1 2 2 及定理1 3 i 即可证得( 1 3 9 ) 和 ( 1 3 ，1 1 ) 成立又 f f o f f o psf f p f | l ，p ， 2s p o o ( 1 3 1 3 ) 利用( 1 3 1 3 ) 、引理1 2 2 及定理1 3 1 即可证得( 1 3 1 0 ) 和( 1 3 1 2 ) 成立 口 1 4非线性积分微分方程 我们考虑二维非线性积分微分方程( 1 1 2 ) f - i 题( 1 1 2 ) 的弱形式是求“础( n ) ，j ，使得 卜洲) + ( 0 ( u 胁胁) + ( 上b ( u ) v u d r , v v ) = ( 1 ( u ) , v ) , v v 础( 哦( 1 4 | 1 ) 【t 正( z ，o ) = u o ， 定义问题( 1 4 1 ) 的r i t z - v o l t e r r a 投影v h u ( t ) ：【0 ，明_ 甄，满足 ( 。( “) v ( “( ，。) 一“( 。) ) ，v x ) + ( 上6 ( 。r “) v ( “( ，苫) 一v h u ( t ) ) d r , v x ) = o ， v x 魏，王n ，0 s s t 引理1 4 1 1 4 1 6 】【2 0 】若k = 0 ，l ，2 则 d # ( h “一“) i k + i 钟( h “一 ) i ，psc h 2 i i , , j i 女，2 加2 p o 。 i i d ：= ( v h u t | ) 。c h 2 一”li n h l l 一”1 1 1 1 女。2 ，。，m = 0 ，1 ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 定义问题( 1 4 1 ) 的半离散有限元集中质量格式为寻找映射矿p ) ：l ，+ 乳使： ( ) 州。( u ) v u , v x ) + ( f o 吣 印胁，v 加( 邶) ，x ) i( 1 4 5 ) 【矿( $ ，o ) = 矾， 1 4 我们选择初值逼近矾满足 ( ( u o ) v ( “o 一) ，v x ) = 0 x 鼠， ( 1 4 6 ) 利用( 1 4 i ) 、( 1 4 2 ) 及( 1 4 5 ) 可得误差方程 r 0 ( o t ，x ) h + ( 。( u ) v 口，v ) ( ) + ( b ( u ) v o d ：，v ) ( ) p t j u = ( ( o ( “) 一a ( 矿) ) 可t + ( 6 ) 一6 ( 扩) ) v u d t , v x ) ( 1 4 7 ) j 0 + ( ，( u ) 一f ( u ) 一p t ，x ) 一e ( ( v h ) ，) ( ) 引理1 4 2 ( 1 6 】设u 础( n ) n c 2 ( 0 ，列n ) ，毗n l o 。2 ( o ) ) ，“为由( 1 4 2 ) 式定义的u 的r i t z v o l t e r r a 投影，则存在常数a = g ( u ) ，使 f i v u lr o ，o o + l i v ( v “) h i o ，* a( 1 4 8 ) 引理1 4 3 设“o 和分别是问题( 1 1 2 ) 和( 1 ，4 5 ) 的初值，则有 i i o d o ) l i c h l l - o l h + ( o ) 1 ) ，( 1 4 9 ) 其中u ( 0 ) = f ( u o ) 一v ( a ( u o ) w o ) 证明在误差方程( 1 4 7 ) 中取t = 0 ，并令x = o ( o ) 得 ( o d o ) ，仇( o ) ) + ( o ( u o w e ( o ) ，r e d o ) ) = ( 陋( u o ) 一口( u o ) 】v ( u ) ( 0 ) ，v o d o ) ) + ( ，( u o ) 一，( u o ) 一p t ( o ) ，o r ( o ) ) f 1 4 1 0 ) 一“( ( h “) f ( 0 ) ，巩( o ) ) = 1 1 + 屯+ 1 3 ， 其中 1 1 1 f c l ( t ) ( 0 ) f o ，o 。( 旧( o ) 0 + i i p ( o ) 1 1 ) l l e , ( o ) l l ， j 2 is ( i i o ( o ) i l + l i p ( o ) + l i p d o ) 1 1 ) l l o , ( o ) l l ， f 厶l c h 2 l l ( v h u ) d o ) l hf i o d o ) l h c h l l ( h u ) , ( o ) l h l l o d o ) l l ， 利用以上各式，注意到o ( o ) = 0 并利用引理1 4 2 得 1 1 8 t ( o ) j j z c ( h l l ( v h u h ( o ) l h + i i p ( o ) + i i p t ( o ) 1 1 ) l l o d o ) l l ，( 1 4 1 1 ) 1 5 利用引理1 4 1 及( 1 2 4 ) 有 i i o ( o ) l i c h l l u o l l l + i i “( o ) 1 1 1 ) 证毕口 i 兰c h 2 | 1 2 2 d r ( 1 4 1 2 ) = ( ( 。( ”) 一。( t r ) ) v ”+ 上( 6 ( “) “( u ) ) v v h u d r , v o ) f 1 屯1 3 1 j 0f 141 3 1 刚卅+ 川2 + 加卅+ 圳2 ) 打) + 割毗 丘j c ( 1 l o l l 2 + i i p l l 2 + j l 仇i | 2 ) ， c h 4 | l ( ) t 旧+ 釉p | j ； ( 。( 矿) v o , v o ) + ( ( 。，) ；：gz 2 1 1 p i i d r ，(14)vob ( u ) v o d tv o - 等l l e l l 1 41 4j ( o ( 矿) + ( ，) i g ，1 1 p i i d r ， ( 0 。 ，0 墨1 1 8 z + g | 】9 1 l g ( h + 4 1 ( v h u ) t l i + | | 9 1 1 2 + i i 纠1 2 + | | m i 严( 1 4 1 5 ) + ( | f 纠1 2 + | | p f f + i | p 2 ) 函 ， f f 日假+ 。f o t i l o l l d r _ i l o ( o ) 以l l h + c f o 篡小川谨+ j i 刮1 2 + i i 所2 ) 打( 1 4 1 6 ) + d 翩州2 + 加胁池 ”“ 1 6 由g r o n w a l l 引理推得 r r i 1 0 1 1 z + c 1 1 口1 1 i d r cf h 4 l l ( v h u ) t i i + i l p l l 2 + l i p 1 1 2 d r j 0，0 一 利用引理1 4 1 得 l i o l l h f l e ( o ) l l h 十c h 2 1 2 2 d r ， 由( 1 2 4 ) ，并注意到o ( o ) = 0 即证结论成立口 ( 1 4 i t ) ( 1 4 1 8 ) 定理1 4 5 设“为问题( 1 1 2 ) 的解，为u 的r i t z v o l t e r r a 投影，则 l i e ds c h f l “o l + ( o ) 1 1 l + 删2 a 2 + 上；列味 ( 1 _ 4 1 9 ) 证明误差方程( 1 4 7 ) 两边关于t 求导，再令x = 巩得 ( 目f l i 巩) + ( a ( u ) v o t ，v o t ) = - ( a 。( u ) 阢v 口，r o t ) 一( b ( v ) v o ，v 巩) 一( b d u ) u , v o ，v o , ) + ( ( 0 ( u ) n ( 矿) ) t v u ，v 巩) + ( a ( u ) 一o ( v ) ) v ( v h ) ，v 巩) + ( ( 6 ( 乱) 6 ( 矿) ) v “，v 巩) + ( ( 6 ( “) 一6 ( ，) ) v v h u d r ，v o ) + ( ( ，( u ) 一，( “) ) t p u ，巩) 5 ( ( “) m 仇) 宅，l + - + 局， 利用e 一不等式有 f ( 口u ( v ) o t v o ，r o t ) j + l ( “( u ) ( u ) w o ，r o t ) i sc l l o d 3 ，。i l v o l l 2 + e l i ( u ) 惦，。i i v o i l 2 + e l l v o d l 2 ， j 厶isc 1 1 v o l l 2 + e l l v o t l l 2 ， i 五js i ( k ( u ) o w o ，v o , ) l d r + lj ( k ( u ) ( u ) , v o ，v o t ) i d r j 0，0 _ c o 3 ，。| i v oj j 2 d r + g z l l ( v h u ) 眶。f l y 口j 1 2 d r + e 忡刚2 ， l isc l l v w h u ) 1 1 3 o 。( 1 l o t l l 2 + j i p t l l 2 ) + e l l v o , 1 1 2 ， i 厶lsc l l v ( v j , , * ) , 1 1 3 。( 1 1 0 1 1 2 + j i p l l 2 ) 十e l l v o d l 2 ， l 凡i c l l v ( v h ) l l o a 。( 1 l o l l 2 + i i p l l 2 ) + e l l v o i 胪， 蚓g 上i i v w h u ) 帱，o j i l 巩1 1 2 + i i p = 1 1 2 ) 打+ e i i v 巩1 1 2 ， i 厶isc ( 1 l o d l 2 + j l 风0 2 + i l p 1 1 2 ) ， 1 7 且 马i 兰c h 2 i i ( v h u ) # # 0 11 1 0 i l l l c h 4 i i ( v h ) 1 l + e f f 巩帽 ( a ( 矿w o t ，v o t ) n 。r 5 7 0 t 1 1 2 ， 综上，利用jj v “| i 及 i v ( u ) oj j 的有界性可得 夏口t i 2 + i i o , 1 1 1 2 g 4 f f ( “) “| f + f f p | f 2 + f | m 2 + f i p 扎f f 2 + c ( j l o dj o ，。+ 1 ) 1 1 0 l l + i i o l l 2 + | j 巩j 1 2 )( 1 4 2 0 ) + g i i 巩l | 2 + ( i l 巩l i o ，+ 1 ) i n i + | f m i | 2 打 j 0 ( 1 4 2 0 ) 两边关于积分得 f i + z 胁i l o t ( o ) 1 1 2 + g 上( u ) t t l l + i l p l l 2 - i - l i p l n 2 d - r + 口f ( i j 巩j 盔。+ 1 ) j j 纠 + o ij 2 + j j 岛 j 2 ) 西。 + g l f l l i m 2 + l l 巩2 - i - ( 1 1 0 1 1 1 3 ，o 。+ 1 ) l l o i l i d s d t j 0 ，0一 田( 1 - 4 1 2 ) 千f i j 班任原叫瑶得 l l o t l l 。，o o l i o l i l c h i i o t l i b i l o l l c h - 2 l l o t l l h 2 z 。i i 呲2 ，2 d r c ( t ) | | o , i i 由( 1 4 t 2 ) ( 1 4 2 2 ) 及引理1 4 1 得 f i 巩i f 2 + o 巩l i d rs i i o , ( o lj 1 1 + 口 4 1 1 u j j ；，2 。+ o i | ”j 瞪：，。) + * l l o d l 2 + z 7 i i 础幽 打- v 利用g r o n w a l l 引理有 i i o , 1 1 + z j j 以；打s 1 1 0 , ( 。) j 限+ c h 4 ( 1 1 u i i ；, 2 , 2 - - z 。i i “l 艮，2 ) ， 由( 1 2 4 ) 和( 1 4 9 ) 得 i i o , r 1 2 c h 2 0 1 铷l l l + i i 砘( o ) i | i ) 2 + 俐；2 2 + 肼u 慨，2 ) 1 8 锄 鹚 哪 蚴 删 删 0 0 q 定理1 4 6 设t ，u 分别是( 1 4 1 ) 的解和( 1 4 5 ) 的解，为“的r i t z - v o l t e r r a 投影，则 “ 兰 i o l l 岫g h l u o ( o ) 1 1 l + 1 1 u 1 | 2 , 2 , p q - j c 删i , 2 , p d