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一类具有阶段结构的捕食模型性态分析 应用数学专业硕士研究生袁媛 指导教师刘贤宁副教授 摘要 本文主要考虑了捕食者具有一般性功能反应的阶段结构捕食模型以及阶段结构捕食模型 中食饵采取鹰鸽对策的同题全文共分三章，前两章均假设供予捕食者和食饵的资源是充裕 的。第一章研究了具有一般性功能反应函数的阶段结构捕食模型我们假设食饵种群中幼年 个体和成年个体由一个确定年龄来划分开，并且捕食者仅捕食幼年食饵我们以幼年食饵个 体之间的密度制约率作为分支变量得到在一定条件下将出现超临界h o p f 分支并得到了系 统一致持续生存和边界平衡点全局渐近稳定的充分条件所得结论具有一般性，适用于具有 h o l l i l l gt y p e - i i 、i i i ，瞰) s e n z w e i g 和l v l e v 功能反应函数的捕食模型，并通过数值模拟验证 了这些结论 第二章研究了比率依赖的食饵带阶段结构捕食模型在假设捕食者仅捕食幼年食饵基础 上，讨论了平衡点的存在性由于系统在原点处不能线性化，局部稳定性分析运用了线性化和 系统变换的方法，结果发现原点总保持不稳定性，说明系统是持续生存的此外，我们还证明 了当正平衡点存在时系统是一致持续生存的，并利用极限系统理论和杜拉克判剧研究了边界 平衡点全局稳定性，这表明此时捕食者种群将绝灭所得结论适用于具有h o l l i i l g 幻，p 争i i 、 i i i 和r o s e n z w e i g 功能反应函数的捕食模型，最后通过数值模拟来验证所得结论 第三章考虑了食饵具有阶段结构和鹰鸽对策的捕食模型考虑到实际情况，假设成年食 饵赖以生存和繁殖的资源有限，因此成年食饵为了生存和繁殖要发生争夺资源的竞争在模 型中我们考虑成年食饵采取鹰鸽对策，并且在竞争中采取鹰鸽对策获得的收益直接影响到成 年食饵的生育率对此模型，我们分收益大于和小于损伤代价( g c 和g c 和g o ；对z o ，( z ) 0 ；l i m ( o ) = l 0 ，( 0 ) 0 ( 1 。l 。4 ) 根据解的存在唯性定理【3 6 】，我们可知( 1 1 3 ) 有满足初始条件( 1 1 4 ) 的唯一的 解 8 1 2平衡点的局部稳定性和h o p f 分支 我们容易得到模型( 1 1 3 ) 在第一象限内至多有三个平衡点t 岛( o ，o ，o ) ，历( 虿1 ，- 2 ，o ) 和正平衡点驴( z ：，z ；，旷) ，这里 z 1 2 z ： = 掣，动= 掣c ， 一1 i 丢) ，z ；= 乏咖一1 ( 丢) ，妙= 皇三二! 型生鱼_ = 三! j 主= 。螋拿咖一1 ( 丢) 鲁= 厶( z ) ，z 形，p r ， 幺警( 肋) 0 j r 0 = ( 一d 三一- 丢三) ， 以= r _ 一引 矿：坠塑型型型磷塑逊竺巡型， ，+ = ( 一d 1 一c ：兰二( z ) 可一；七) 巨瓣蕊嚣懈妒2 6 7 它是个关于d 1 + c + 2 驴i + ；) 旷的二次式令 矿：f 竺二：垒：! 堕2 1 ：= 堡! 至! 垡生2 = f 垡! ! 型生i 2 里：! o _ 一1 如果叩 矿，n 1 口2 一n 3 o 那么p ( z 厶z ；，矿) 是局部渐近稳定的如果o t 7 o h o p f 分支发生当特征方程( 1 2 5 ) 有一对纯虚根a 1 。2 和一个实根a 3 如果讪是 ( 1 ，2 5 ) 的个解，那么分离实部和虚部，我们可以得到u 2 = 口2 ，口1 口2 一口3 = o 在 7 = 矿处，方程( 1 2 5 ) 的根为 a 1 ，2 = 士t 啪，入3 = 口l ( 7 ) 1 1 这里岫= i n 2 ( 矿) i 一般情况f ，二次方程( 1 2 5 ) 的根为， a l ，2 ( 叩) 5a 士 t 、俪丽，入3 = 一口1 ( 叩) 利用h 0 p f 分支存在性定理，我们验证临界条件 鸳掣h o ( 江l ，2 ) 五石一i 叼2 矿于u l f 上二， 为了达到这个目的，方程( 1 2 5 ) 关于叼的微分可化为。 c 3 a 2 + 2 m + 。：，+ a 2 等+ a 等+ 等= 。， 即 c 扩一端 因此我们有 啦n 亟铲h = s 咖恤( 耖= 矿 一咖 r e 【一骞我嚣k 讪) 刊州酬一蒜端】) 一州一篆糟) 州州一糟) 一州一鬈糟学， 一咖 一丽丽蔷鲁i 丽) 钏 因此，当7 = 矿时系统( 1 1 3 ) 在正平衡点e + ( z ；，z ；，矿) 出现超临界h o p f 分支，在 苴圈胃将m 孤一桑葫i 稳常的周期懈 口 1 3 一致持续生存 定义1 3 1 系统p j 砂称为是永久生存的，如果存在一个紧区域dct n t 碎， 使得系统仃j 圳满足初始条件仃j 彳，的每个解z ( t ) 最终进入并且停留在区域d 中 1 2 引理1 3 1 如果如 七6 ，那么系统p j 砂满足初始条件仃，j 的所有解都 是正的并且是最终有界的 证明：设( z 1 ( t ) ，z 2 ( ) ，y ( t ) ) 是系统( 1 1 3 ) 满足初始条件( 1 1 4 ) 的任意一解定 义 p ( ) = 忌z 1 ( t ) + z 2 ( t ) + ( t ) 沿着系统( 1 1 3 ) 的正解计算p ( ) 的导数，我们可以得到 声0 ) = 忌6 2 2 一七( d 1 + c ) z 1 一惫7 7 z + c z l 一如z 2 一r 影 = 一七( 西+ c ) z 1 一( d 2 一b ) z 2 一r 可+ c z l 一忌叩z 一a p ( t ) 一七t 7 z ；+ c z l s 一却( t ) + 南， 这里a = m i n ( r 如一酌，d 1 + c ) 因为假设如 地所以a o 由比较原理【3 9 】可 解得p ( t ) c e 一胤+ c 2 ( 4 a 七，7 ) ( c 是常数) 所以 1 警j d ( t ) s 赢2 胪l 1 n ， 因此，存在正常数慨 m = 1 ，2 ，3 ) 和噩 o ，使得当t 丑时，戤( t ) s 尬 ( i = 1 ，2 ) ，可( t ) 毛由解的存在唯性定理知，系统( 1 1 3 ) 有满足初始条件( 1 1 4 ) 的唯一解，并且所有解都是正的 口 考虑一个度量为d 的度量空间x t 是x 1 上的连续半流，即一个连续映射 f ：f 0 ，删xx x ，它有以下的性质； 噩。易= 珞8 ，s o ；乃( z ) = 霸2 x 这里，丑表示从x 到x 的映射，给定正( z ) = t ( t ，z ) 通过z 的正轨线矿( z ) 定义 为7 + ( 。) = 乩 0 t ( 咖e ) ，并且它u 极限集为u ) = o g lu t r t ( ) z ) ，这里c l 表示闭包定义一个不变紧子集的稳定集。似) 为 i 矿8 ( a ) = 。：z x ，u ( z ) 9 ，叫( z ) ca ， 特定的不变集为五= 叱如u ( z ) 1 3 满足 ( 日1 ) 假设x 是开子集x o 的闭包；锻。是非空的，并且是x o 的边界t ( t ) t ( ) ：x o x o ，? ( ) ：狱o _ a x o 引理1 3 2 似据口趔阢z 拥勰矗迥t h e o r e m 名。j ，p 3 9 刎假设荆满足( 日1 ) 和 例存在一个幻o ，使得对 t o ，t 例是紧的； 一砂t 例在x 中是点耗散的； 似砂山是孤立的，并且没有环覆盖m 那么删是一致持续生存的当且仅当对每个必m ，矽3 ( 尬) n x o = 毋 定理1 3 1 满足初始条件以_ f 名 的系统以j 砂是一致持续生存的，如果 如 七6 ，6 c 如( d l + c ) 且七( _ 1 ) 只 证明：首先我们证明r 晕= ( z 1 ，z 2 ，可) ：童1 o ，z 2 o ，可o ) 的边界一致地排 斥系统( 1 1 3 ) 的正解令 ( z 1 ，z 2 ，暑，) ：z 1 o ，z 2 o ，秒 o ， 噩 = ( z 1 ，z 2 ，薯，) ：z l o ，z 2 o ，管= o ) ， 恐= ( z 1 ，z 2 ，) ：z 1 = o ，z 2 o ，夕o 】， 注意到x = 凰u 噩u 托，a = 噩u 拖，= x 下面我们能证明引理1 3 2 的条件是满足的由x 的定义知，a 凰和五( i - o ， 1 ，2 ) 关于系统( 1 1 3 ) 都是正不变的，所以( 日1 ) 是满足的而且由引理1 3 1 知， 存在一个紧区域d ，使得系统( 1 1 3 ) 的初值在x 中的所有解最终都将进入并停留 在区域d 中那么引理1 3 2 的条件( i ) 和( 瓴) 都满足系统( 1 1 3 ) 在a 弱上有两 个常数解：赢c 恐，瓦cx 。，其中 局= ( z 1 ，z 2 ，s ，) ：2 1 = z 2 = 0 ，暑，= 0 ) 蜀= ( z l ，z 2 ，可) ：z 1 = ( 6 c d 2 ( d 1 + c ) ) ( d 2 7 ) ，z 2 = ( 6 c d 2 ( d 1 + c ) ) c ( 透叩) ，可= o ) 1 4 如果( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，y ( t ) ) 是( 1 1 3 ) 的初值从墨出发的解，那么 ， z j ( 。) = k 2 一c z l 一d l z l 一叩z ；， ( 1 3 7 ) i 牙2 ( ) = 1 一d 2 2 2 ， 它有两个平衡点( o ，o ) 和( 窑1 ，- 2 ) = ( ( 钯一如 l + e ) ) ( 如刁) ，( 沈一如( d l + c ) ) c ( 透野) ) 容易证明当( d 1 + c ) d 2 6 c 时，( 面1 ，互2 ) 不存在，并且( o ，o ) 是局部渐近稳定的如 果( d 1 + c ) d 2 。 因此 掣+ 掣：一e 州胁【卿z ；+ ( c + c f 2 ) j o ，存在一正常数t 使得z l ( t ) 虿l 一，z 2 ( t ) - 2 e ，可( t ) ( 一r + 七( 虿l e ) ) 如果e _ o ，( 虿1 一) _ ( - 1 ) 那么( - 1 一) 妒( _ 1 ) 一因此当一o o 时，有 y ( t ) 夕( o ) e x p ( 惫咖( 虿1 一) 一，) t 】 可( o ) 唧 ( 七( 妒( 虿1 ) 一) 一r ) t 】o 。， 这矛盾于3 ，( t ) 舫时( z 1 ( ) ，z 2 ( d ，拶( t ) ) 是最终有界的，由 此证明了当d 2 硒，6 c d 2 ( d 1 + c ) 且七( 舅1 ) r 时系统( 1 1 3 ) 的永久性 口 1 6 推论1 3 1 假设系统p j 剀属于日d f f t 唧，j r 型，即西( z ) = l z ( m + z ) ，那 么系统是一致持续生存的如果条件d 2 胁，6 c d 2 ( d 1 + c ) 并且七l ( 6 c d 2 ( d 1 + c ) ) ( m d 2 叩+ 6 c d 2 ( d l + c ) ) r 成立 推论1 3 2 假设系统口。! 剀属于日扰2 t 姐j 型，即咖( z ) = 眈2 ( m + z 2 ) ， 那么系统是一致持续生存的如果d 2 胁，6 c d 2 ( d 1 + c ) 并且七l ( 6 c d 2 ( d 1 + c ) ) 2 ( m 叩2 + ( 6 c d 2 ( d l + c ) ) 2 ) r 成立 推论1 3 3 假设系统n j 砂属于r d s e n 2 叫e 国功能性反应型，即( z ) = 二轳( g 老6 ，6 c 如( 疵+ c ) 并且七三( 沈一 d 2 ( d 1 + c ) ) 9 ( d 2 叩) 9 r 成立 推论1 3 4 假设系统口圳属于j 们e u 7 s 功能性反应型，即咖( z ) = l ( 1 一e 一) ， 那么系统是一致持续生存的如果d 2 七6 ，6 c d 2 ( d l + c ) 并且七l ( 1 一e x p _ 【一n ( b c 一 如( d 1 + c ) ) a f 2 t 7 ) ) r 成立 定理1 3 2 如果七三 r ，那么系统以j 彰是不一致持续生存的 证明：设( z l ( t ) ，z 2 ( t ) ，秒( ) ) 是系统( 1 1 3 ) 满足初始条件( 1 1 4 ) 的一正解我们 假设七工 7 - 由系统( 1 1 3 ) 的第三个方程知 这意味着 雪( t ) ( 七l r ) ( t ) ， 箩0 ) 可( o ) e ( 知二一r ) t 因此，如果七三 r 我们有1 i m t 。爹( ) = o 在这种情况下，捕食者种群将灭 绝。口 1 4 平衡点的全局稳定性 定理1 4 1 如果惫l r 和( d 1 + c ) d 2 6 c 成立，那么局( 虿1 ，_ 2 ，0 ) 是全局渐 近稳定的 证明：假设( z 10 ) ，z 2 0 ) ，秒( ) ) 是系统( 1 1 3 ) 满足初始条件( i i ，4 ) 的正解由 定理1 3 2 的证明知，当七己 ，时，u m h + 掣( t ) = o 于是我们考虑下面一个极限 1 7 系统： z 1 ) = 缸2 一c z l 一d 1 。1 一秘；， z 2 ( t )= c z l 一d 2 2 2 ， ( 1 4 1 0 ) 暑 = o 它有两个平衡点( o ，o ，o ) 和( 虿l ，现，o ) ，其中( - 1 ，_ 2 ，o ) 存在如果( d 1 + c ) 也 6 c ，那么( z 1 ，_ 2 ) 不存在，并且( o ，o ) 是稳定的如果( d 1 + c ) d 2 。 我们得到 掣+ 掣：一e 蚶触：陋7 7 z + ( d l + c + d 2 ) 】 。，2 三i ：f 。，s 三 口1o o 0 口3 a 1 2口1 口5a 4口3 0 ， 第二章具有一般性比率依赖功能反应的阶段结构捕食模型 性态分析 2 1引言 前一节我们对具有一般性功能反应的阶段结构捕食模型的性态进行了分析， 其中功