第1课时平面向量的线性运算与基本定理.doc

第1课时平面向量的线性运算与基本定理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.4平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.6平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.7判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(3).()(4)向量ab与ba是相反向量()(5)若ab，bc，则ac.()(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(8)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(9)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()考点一平面向量的概念命题点判断有关向量的模、方向、相等、共线、单位向量等概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入大一轮复习数学(理)A.BC D解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：A方法引航(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故选C.答案：C考点二平面向量基本定理与线性运算命题点1.利用基本定理进行线性运算2.利用基本定理求参数3.利用向量线性运算研究几何性质例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.abB.abC.ab D.ab解析：如图，由题意知，DEBE13DFAB，abab.答案：B(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，其中，R，则_.解析：在平行四边形中，有，因E、F分别为CD、BC的中点，()，()，则，则.答案：(3)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若abc0，则A_.解析：由G为ABC的重心知0，则，因此a b c()0，又，不共线，所以acbc0，即abc.由余弦定理得cos A，又0A，所以A.答案：方法引航用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.1在本例(1)中已知条件不变，求用a和b表示解：ABCD为平行四边形，(ab)由题意得(ab)2若将本例(2)改为：如图所示，在四边形ABCD中，E为BC的中点，且xy，则3x2y_.解析：又E为BC的中点()，根据平面向量的基本定理，知y，x，所以3x2y321.答案：13将本例(3)改为：若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为_解析：设AB的中点为D，由5 3，得3322，即32.如图所示故C，M，D三点共线，且.所以ABM与ABC的面积之比为.答案：考点三平面向量基本定理与坐标运算命题点1.已知点的坐标求向量坐标2.已知向量坐标进行向量坐标运算例3(1)如图，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量a，b，则()A.abBabCab D.ab解析：根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直角三角形，由CD1，得CEED，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，(1,0)，(1,1)，令，则有，得，ab.答案：B(2)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7) D(3,9)解析：由a(2,4)知2a(4,8)，所以2ab(4,8)(1,1)(5,7)答案：A1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：选A.A(1,3)，B(4，1)，(3，4)，|5，与同向的单位向量为.2若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)则c()Aab B.abC.ab Dab解析：选B.设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.考点四向量共线问题命题点1.判定向量共线2.利用向量共线求参数3.三点共线与向量例4(1)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)解析：由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B事实上，a(3,2)2e1e2.答案：B(2)(2016高考全国甲卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b=(3，2)，ab，2m120，所以m6.答案：6(3)已知ABC的三个顶点A，B，C及所在平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在边AB上 DP在边AC上解析：由，得20，2，即，C、P、A三点共线答案：D方法引航(1)两向量平行的充要条件,若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法,判断三点是否共线，先求由三点组成的任意两个向量，然后再按两向量共线进行判定.1若在本例(1)中，A，B，C，D的四组向量e1e2与e2同向的有哪些解：由题意可知A，C，D中都是e1e2A组e1e2(1,2)e2，C组e1e2(3,5)(6,10)(9,15)(6,10)，D组e1e20，故与e2同向的有A，C，D.2已知b(3，2)求使ab，且|a|13时a的值解：设ab(3，2)|a|13，|13，|，.a(3，2)，或a(3，2)3设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2 B4C6 D8解析：选D.(a，1)(1，2)(a1,1)，(b,0)(1，2)(b1,2)，A，B，C三点共线，2(a1)b1，2ab1.(2ab)22428，当且仅当即2ab时，取等号思想方法用函数与方程思想求解向量的线性运算典例给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得，所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.回顾反思根据向量相等，建立实数方程(组)，把变量表示为函数求最值高考真题体验1(2014高考广东卷)已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0) D(4,3)解析：选B.由于a(1,2)，b(3,1)，于是ba(3,1)(1,2)(2，1)，选B.2(2015高考课标全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：选A.设C(x，y)，A(0,1)，(4，3)，解得C(4，2)，又B(3,2)，(7，4)，选A.3(2015高考课标全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.解析：选A.由题意得，故选A.4(2016高考北京卷)设a，b是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选D.取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D.5(2015高考课标全国)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：由于ab与a2b平行，所以存在R，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0,120，解得.答案：6(2015高考北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：由题中条件得()xy，所以x，y.答案：课时规范训练A组基础演练1设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2B3C4 D6解析：选B.ab，264x0，解得x3.2若向量(2,3)，(4,7)，则等于()A(2，4) B(2,4)C(6,10) D(6，10)解析：选A.由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4)3在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)解析：选B.33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)4如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么()A.B.C.D.解析：选D.在CEF中，.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.5已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()Aa BbCc D0解析：选D.ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a.，即，abccc0.6若a(1,2)，b(3,0)，(2ab)(amb)，则m()A B.C2 D2解析：选A.a(1,2)，b(3,0)，2ab(1,4)，amb(13m,2)，又(2ab)(amb)，124(13m)0，m.7如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，yBx，yCx，yDx，y解析：选A.由题意知，又2，所以()，所以x，y.8若a，b为已知向量，且(4a3c)3(5c4b)0，则c_.解析：(4a3c)3(5c4b)0，则a2c15c12b0，13c12ba，cba.答案：ba9设向量a，b不共线，且k1ak2b，h1ah2b，若manb，则实数m_，n_.解析：(k1h1)a(k2h2)bmanb，由平面向量基本定理知mk1h1，nk2h2.答案：k1h1k2h210已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案：B组能力突破1设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，则“a(4,2