（概率论与数理统计专业论文）广义pareto分布.pdf

摘要 从p a r c t o 分布的诞生到现在已有1 5 0 多年的历史了随着时间的推移、社会的发 展，p a r c t o 分布也在不断地完善、改进、推广，从而形成了多种形式的p a r c t o 分布、广 义p a _ r c t o 分布乃至p a r e t o 分布族p a r c t o 分布族由于其具有的优良性质得到诸多学科 研究者的青睐本文首先对p a r e t o 分布的发展作了简单的介绍，并介绍_ rp a r c t o 分布 族在经济学、社会学、环境学、保险精算学中的广泛应用p a r e t o 分布族中的两个分布 已被列入精算师常用的八大分布之中，由此可见p a r e t o 分布族的实际应用价值，也说明 了我们对p a r c t o 分布族研究的重要意义 本文第二章分别介绍了p a r e t o 分布族中各个分布的密度函数、矩、众数、f i s h e r 信 息阵、次序统计量、参数估计等一些性质，并介绍了p a r c t o 分布族内各个分布之间以及 它们与其它分布之间的相互关系从而可以比较清楚地了解到p a r c t o 分布族中的各个 分布是如何发展而来的，它们之间有何关系，它们之间有什么区别同时还可以了解到 p a r e t o 分布族中的各个分布与均匀分布、f 分布、b c t a 分布以及z 分布之间的关系 第三章是本文的重点。也是本文的重要创新之处本章主要包括四部分内容，第一部 分主要描述广义p a r e t o 分布的一些基本性质，给出广义p a r c t o 分市的两种特殊形式， 并对广义p a r e t o 分布的一些数字特征进行研究用图的形式描述了不同参数取值对分布 形状及位性的不同影响，当参数p 取正整数时，采用数学归纳的方法推导出广义p a r c t o 分布的分布函数，这是本文的创新点之一第二部分主要是参数的估计，包括矩估计、 极大似然估计、区间估计，以及基于正态逼近的一些推断本文证明了矩估计和极大似 然估计的同变性，这是本文的又一创新点对次序统计量的部分相关性质也作了研究 第三部分主要研究假设检验，区间估计是一种参数的估计方法但同时也是一种参数假设 检验的方法，该部分对区间估计的检验方法进行了探讨似然比方法足很重要的一种假 设检验方法，同样在本文中似然比检验方法发挥了其强大的威力第四部分主要讨论了 广义p a r c t o 分布在实际中的应用，并通过棒球运动员收入的例子和飓风损失的例子进行 了说明 5 a b s t r a c t p a r e t od i s t r i b u t i o na p p e a r e d1 5 0y e a r sa g o w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t y ，p a r e t o d i s t r i b u t i o nh a sb e e ni m p r o v e da n de x t e n d c dt os e v e r n lk i n d so fp a r e t od i s t r i b u t i o n ， w h i c hf o r m e dp a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l y p a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l yd e s e r v e ss om a n y r e s e a r c h e r s la t t e n t i o nb e c a u s eo fi t s e x c e l l e n tp r o p e r t i e s t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ed e - v e l o p m c n to fp a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l ya n di t sa p p l i c a t i o ni ne c o n o m i c s ，s o c i o l o g y ， e u t h e n i c sa n da c t u a r i a ls t a t i s t i c st w eo fp a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l yl l a v eo f t e nb e e n u s e db ya c t u a r y s o ，i ti ss i g n i f i c a t i v et or e s e a r c hp a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l y p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，m o m e n t ，m o d e ，f i s hi n f o r m a t i o nn m t r i x ，o r d e r s t a t i s t i c s a n dp a r a m e t e re s t i m a t o ri si n t r o d u c e di nt h es e c o n dp a r tt h er e l a t i o na m o n gt h ep a r e t o d i s t r i b u t i o nf a m i l yi n s i d ei si n t r o d u c e dt o o s u c hw ec a nu n d c r s t a n dt h ed e v e l o p m e n to f p a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l y a n dw ec a nk n o wt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ed i s t r i b u t i o n so f p a r e t od i s t r i b u t i o nf a m i l ya n du n i f o r md i s t r i b u t i o n ，fd i s t r i b u t i o n ，b e t ad i s t r i b u t i o n ，z d i s t r i b u t i o n g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o ni si n t r o d u c e di nt h et h i r dp a r tw h i c hi st h ek e y s t o n e o ft h i sp a p e r t h ed i f f e r e n c eb e t w e e n g e n e r a l i z e dp a r e t o d i s t r i b u t i o na n dt h ep a r e t od i s t r i b u t i o nm e n t i o n e di nt h ep a p e ro fl i h a i f e ni st h eb o u n do fv a r i a b l ei se x t e n d e d ，p a r a m e t e r i sa d d e dt ot h r e eb a s e do nt i l e p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na n do t h e rc h a r a c t e r s ，t h e m o m e n ta n dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no fg c n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o na r ec a l c u l a t e d t h e p a r a m e t e re s t i m a t o r si n c l u d i n gm o m e n te s t i m a t o r ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o ra n d i n t c r v a ie s t i m a t o ra r ea n a l y z e d b a s e do nt i mn o r n l a li n f e r s o i n cc h a r a c t c r so fm a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t o ra r er e s e a r c h e d o r d e l s t a t i s t i c sa n di t s ld i s t r i b u t i o n so fg e n e r a l i z e d p a r e t od i s t r i b u t i o na r ei n t r o d u c e d l i k e l i h o o d r a t i ot e s ti sai m p o r t a n tp a r a m e t e rt e s t m e t h o dw h i c hi t i s a p p l i e dt og e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o np l a yk e yr o l ei n p r a c t i c a lc a s e s ，s u c ha si n c o m ed a t ae x c e e daf i x e db o u n d h u r r i c a n el o s sa n ds oo n i ti s i m p o r t a n tt or e s e a r c hg e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n 6 南新艳硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 朱仲义教授华东师范大学统计系主席 程依明副教授华东师范大学统计系 丁邦俊副教授华东师范大学统计系 4 学位论文独创性声明 本人所呈变的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明井表示谢 意 作者签名；镉i 斗4 色 日期；玉惦曩， 学位论文授权使用声明 本人完余了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位沦 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位沦文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要 亡编出版保密的学位论文在解密后 适用奉规定 日期；知f f 、3 ， 学位论文作者签名嗍二艳j 3 日期：山甜r f 9 导师签名2 嗍卜百 第一章绪论 1p a r e t o 分布族的发展历史 p a r e t o 分布是根据出生在意大利的瑞士经济学教授v i l f r e d op a r e t o ( 1 8 4 8 1 9 2 3 ) 的名 字来命名的关于p a r e t o 分布及其相似分布的研究源于1 8 9 7 年在罗马出版的由v i k f r c d o p a r c t o 著的经济学书 1 一p ( x 1 = g z o 其中f ( x ) 为收入不超过z 的个体所占的比列其中c 为某个实数，o 为正数这一分 布我们称之为经典的p a r e t o 分布 在p a r e t o 分布刚刚出现的一段时期内，很多经济学家采用它对各种收入数据进行拟 合研究分析，曾经一度引起了p a r e t o 分布应用的热潮但随着经验的逐步积累，人们发 现p a r e t o 分布并不适合用来拟合整个收入范围内的数据，只是对高收入人群部分的数据 拟合的比较好这样p a r c t o 分布的研究和应用进入r 相对低潮的阶段相关研究人员开 始重新认真仔细地研究p a r e t o 的一些性质和应用事实上，收入分布是后尾分布，丽 p a r e t o 分布是典型的偏态、后尾分布，因此p a r c t o 分布理所当然地在研究收入分布的尾 部情况时发挥重要作用，正如正态分布在试验科学中所起的作用一样 在p a r e t o 分布f ( z ) = l c x l 中，q 称为p a r e t o 指数，p a r c t o 发现参数q 在1 5 附近作微小的变化因此他一直认为有某种潜在的规律来决定收入分布的形式 例如在日本，每年个人所得税超过1 0 0 0 万日元的人被称为“高收入纳税人”，他们的收 入分布遵循p a r e t o 规律，且p a r e t o 指数通常在2 0 左右变动，在日本经济泡沫破灭时， p a r c t o 指数的变动范围为1 8 2 0 除个人收入外，公司高收入分布也遵循p a r e t o 分 布，在日本年收入超过4 ，0 0 0 万日元的公司被称为“高收入公司”。它们的收入分布遵循 p a r c t o 规律，且p a r e t o 指数在1 0 附近变动 在经济领域中，经济学家主要致力于采用适当的方法对参数a 进行估计通常都假设 a 1 ，实践证明这个假设是很合理的在b r e s c i a n i t u r r o n i ( 1 9 3 9 ) 中提出f - “a 的实际值 落在相对较小的区间中，大于在1 5 附近波动”的观点，并且认为“引起a 波动的原因更多 的是来自统计资料的不精确而非现实经济现象本身的原因4 3 0 年之后，c r a m e r ( 1 9 7 1 ) 记载有“在发达国家中，a 的值已从1 9 世纪的16 18 上升为1 9 2l * 在过去的6 0 年中，p a r c t o 定律受到一些著名经济学家的反驳，如p i g o u ( 1 9 3 2 1 、 s h i r r a s ( 1 9 3 5 ) 、h a y a k a w a ( 1 9 5 1 ) 但最近又有很多经济学家尝试用p a r c t o 分布或其相近 分布取解释一些经验现象如s t c i n d l ( 1 9 6 5 ) ，m a n d e l b r o t ( 1 9 6 0 ，1 9 6 3 ，1 9 6 7 ) ，h a g s t r o e m ( 1 9 6 0 ) 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 2 o r d ( 1 9 7 5 ) 徐龙炳在金融研究中的“中国股票收益稳态特性”一文中指出，股票市场具有 复杂的非线性动力系统的特征，既受确定性规律支配，同时又表现出某种随机现象，具 有时变性、随机性、模糊性的特点早在有效市场假说完全形成之前，人们已经发现了市 场收益不符合正态分布的假定，收益率之间也不独立大量的实证研究表明，股票收益 分布明显偏离正态分布，呈现厚尾特性，很多金融学家采用p a r c t o 分布对此经济现象进 行研究探讨 全民在医疗保健方面的消费情况对国家出台医疗政策有很大影响经研究发现单个 病人的保健消费数据典型地呈现偏态、厚尾，p a r e t o 被用来分析尾部情况 p a r e t o 分布族在环境学中也有很广泛的应用，如对海浪，风力、气温、降雨等自然 现象的研究很多都采用了p a r e t o 分布族sc a b r a s 和m e c a s t e l l a n o s 对n i d d 河流的 1 9 3 4 年到1 9 6 9 年的年度最大流量作了统计分析，该河流位于英格兰 h m s i n g o r ew e i r 洪水灾害带来的损失不可估量，科学地分析某地区历史降雨记录数据，准确有效地 预测现有及未来降雨情况显得尤为重要2 0 0 4 年s e r g u ifj u a r e z 等人用p a r e t o 分布对 自从1 9 0 4 年至2 0 0 2 年月度累计降雨量超过3 0 0 m m 的历史数据进行了探讨研究 一个多世纪以来随着p a r e t o 分布在各个领域的广泛应用，对此感兴趣的学者越来越 多，并在不断研究的同时对p a r e t o 分布进行改进发展得到多种推广形式，我们称之为广 义p a r c t o 分布前人的研究大多数是两个参数的p a r e t o ，在本文中我们将对三参数的 广义p a r e t o 分布进行研究p a r e t o 分布的最原始的形式如下 一 f 父( z ) = p ( x z ) = ( 二) 。，k 0 ，口 0 ， z 七 x 这足p e a r s o nv 1 分布找们记为x p ( 州，a ) p a r e t o 又提出两种p a r e t o 分布，p a r e t o ( i i ) ( c ，a ) 分布( 有时也称为l o m a x 分布) ， n 8 取( z ) = 1 一万击币 。0 这也足p c a r s o n v l 分布l o m a x ( 1 9 5 4 ) 用该分布来对商业失败数据作分析当c ；l 时为标准p ( i i ) 分布，其p d f 为p x ( x ) = a ( 1 + ) 1 ，z 0 ，a 0 生存函数为 氏( z ) = ( 1 + 。) ， z 0 ， a 0 随着理论和实际应用的需要，引入位置参数“，p ( i i ) 分布的生存函数为段( z ) = ( 1 + ! 萨) 一， z p e ， 0 通常肛非负，假定a 大于 1 ，这样可以保证期望为有限值，该分布表示为尸( ，驯p ，g 口) p a r e t o 提出的第三种 分布是 取( z ) = 卜渤，z o i z 十乙厂 记为x p ( i i i ) ( a ，b ，c ) 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 3 a r n o l d ( 1 9 8 3 ) 定义了p ( i v ) ( i t ，叽1 ，a ) ，其分布函数为 f x ( z ) = ( 1 十( 掣) l v ) ，z 芦，q ， o f e l l e r ( 1 9 7 1 ) 定义了一个p a r e t o 分布，称为f e l l e r p a r e t o 分布构造方法如下： 殳y 是标准b e t a ( 7 l ，m ) 分布，令w = y 一1 其密度函数为 p l - ( y ) = ( b ( ，y 1 ，似) ) y 7 1 _ ( 1 一g ) 一，0 0 则称x 为标准p a r e t o 分布 其密度函数为 出) 2 高砰 若x 来自标准p a r e t o 分布，则x _ 1 也是标准p a r e t o 分布 2 2p a r e t o ( i ) ( a ，) 分布 该分布由p a r e t o 提出，又称为p e a r s o n ( v 1 ) 分布 2 2 1p a r e t o ( i ) ( 口，a ) 分布的定义 定义2 2 ：若x 的分布函数为 f ( z ) = 1 一( ；) ，x o 我们称x 为p a r e t o ( 1 ) ( a ，o ) 分布 第二章p a x e t o 分布族 华东师范大学硕士论文5 2 2 2p a r e t o ( i ) ( 口，o ) 分布的数字特征 其d 阶矩为：e ( x 6 ) = ( 1 一) ， 6 1 方差为： y 。r ( x ) = 面前面 。 2 众数为：m o d e ( x ) = 玎 2 2 3p a r e t o ( i ) 分布的相关性质 ( 1 ) 若u r ( 1 ，1 ) 为标准指数分布随机变量，则x = 口e ：一p ( 联以a ) ( 2 ) 若x 。，x 2 磐p a r e t o ( 1 ) ( 1 ，1 ) ，则 p ( x 。+ 托 z ) = ；+ 2 l o g i ( x 一- i ) z 2 ( 3 ) 若x ，置，足独立同为p ( 州l ，o ) 分布的r v ，n p o s s i o n ( 7 ) ，且与 x ，五，独立，记y = x ，则 l = 1 p ( y y ) 一7 y o 其实这个结果并不依赖于n 尾否足p o s s i o n 分布，上式对任何取值为非负整数、期望为 ，y 的r v n 都成立 ( 4 ) 若x 1 ，局，x 。来自p ( 州口，d ) 的样本，令其次序统计量为x ( ) x ( 2 ) x ( n ) ，设如 定义r k 小，一毫等，则 2 r h b 兰 】= h + l 其中一j p ( ，) ( 1 ，d ( n j + 1 ) ) 且 p ( r k m m ) = 豁叫删i b i j = k 1 4 - 1l = k l v 岩) m 。 z ) = 。“m 小” ( 旦芑) ，j j + l 。 。 ( 5 ) 若x - ，恐，墨。独立同分布，x p ( ，) ( 口，) 当口已知时，有 l o a ( x d , 7 ) 一r ( t ，。) ，n i 。9 ( 置加) 一r ( n ，1 ) = 1 o 的1 0 0 ( 1 7 ) 的置信区间为 第二章p a r e t o 分布族 华东师范大学硕士论文6 其中：t = il 。9 ( x 。口) ，r 2 ( n ，1 ) 是f ( n ，1 ) 约o 2 分位数 当q 已知时， n a l o g ( 五n a ) 一r ( 1 ，1 ) o - 的1 0 0 ( 1 7 ) 置信区间为： x ( 1 ) ( 7 2 ) 1 ( “，x ( 1 ) ( 1 7 2 ) i ( “ 当j ，口都未知时， n 占2 五1 ) 5e 细( 五x ( 1 ) ) 】_ 1 ( 寺，a ) 是( 口，a ) 的强相合估计，且a ，a 相互独立且有 弛a 一1 r ( n 一1 ，i ) ，7 搬f 口9 ( 玎夕盘) r ( 1 ，i ) 此时，( 口，q ) 的l 0 0 0 一，y ) 置信域为： ( 盯，。) a c l n o t d g ，5 e 一出( m 1 盯 寿e 一出( “8 ) 其中：q2 f , 2 ( n 一1 ，1 ) ，g = r l 一2 ( n 一1 ，1 ) ，d l l o g o 2 ) ， d 1 = 一l o g ( q 2 ) ，q = 1 一川广= 了 ( 6 ) 若：r i p ( ，) ( ，皿) i = l ，2 ，- 一，n 则z = x 。五的密度函数为： 蹦牡 案鍪：，罴： 一 寒a l + a 2 t 蓉瓣) 广嚣 ( 7 ) 若x 尸( ，) ( 七，o ) ，当y = x 一1 时，y 的密度函数为w ( ，) = a k n n ，0 我们称x 为p a r e t o ( i i ) ( p ，口，n ) 分布 2 3 2p a r e t o ( i i ) ( 2 ，o - 1 ) 分布的数字特征 d 瓶跗弘煎擎业- i 咿 吣 o 我们称x 为p a r e t o ( i i i ) ( # ，o r ，7 ) 分布 2 4 2p a r e t o ( i i i ) ( # ，7 ) 分布的数字特征 6 阶矩：e ( x 6 ) = o r 6 r o 一1 6 ) r ( 1 + 5 )一7 1 d 7 1 期望：e ( x ) = a r ( 1 7 ) r ( 14 - - f )一7 - 1 6 帅 帅 o 我们称x 为p a r e t o ( i v ) 分布 2 5 2p a r e t o ( i v ) 分布的矩及其相关性质 ( 1 ) e ( x 5 ) = 盯6 r ( q 一7 6 ) r ( 1 7 6 ) 一 一1 6 z 铮五 z对所有i 都成立所以 x 1 ，x 2 ，一，x n p ( il 7 ) ( p ，口，1 ，a ) ：争x ( 1 ) p ( ，y ) ( “盯，7 ，n n ) p ( i v ) ( o ，吒7 ，。) 的f i s h e r 信息矩阵为 ! f 生i12 二业f ! ) ! j = 1 1 5 口( 口+ 2 j 璺【i 丛生二型1 2 = ! l 兰生f 虫业! ( 叫! 【生f 生二生【! 址 中( d + 2 ) 妒( 口) 一p ( 1 ) 一1 ( 五干币离1 第二章p a r e t o 分布族 2 6f e l l e r p a r e t o 分布 2 6 1f e l l e r p a r e t o 分布的定义 华东师范大学硕士论文1 0 1 9 7 1 年，f e l l e r 用一种不同的方法定义了一个p a r e t o 分布，y b e t a ( 7 l ，7 2 ) y ( y ) 5l 暖而1 ”一1 ( 1 一g ) “一1 ，o 0 ，我们定义w = p + 盯( y 一l p ，w 的分布为f e l l e 卜p a r e t o 分布，记为w f p ( “仃，7 ，7 1 ，7 2 ) 其密度函数为 如( 卟丽1 ( 半) 恤n 卜1 ( ，十( 孚) 聊) m 卢 当2 2 = l 时，p a r e t o ( i v ) 与f e l l e r p a r e t o 是一致的，即 p a r e t o ( i v ) ( p ，盯，7 ，0 1 ) = f p ( p ，o r ，7 ，a ，1 ) 2 6 2f e l l e r - p a r e t o 分布的数字特征及其相关性质 众数 w f p ( 芦，盯，7 ，7 l ，蚀) ，当，y y 2 时，m o d e ( w ) = 灿+ 盯【( 舰一 ) ( 7 l + 7 ) 1 1 矩 若w jf p ( , u ，o r ，7 ，7 1 ，y 2 ) ，w + = ( w 一弘) 口，贝4 w 一f p ( o ，1 ，m 7 1 ，加) 实际上，w = ( y 一1 ) ，其中y b e t a ( 7 t ，m ) 下面计算d 阶矩 e ( ) = e ( y - * - 1 1 = z 1 丽( 了i - - y , ，一6 眇- 1 ( 1 刊一曲 ：皇! ! ! 二! 至丝! 盟 日( 7 l ，加) ：! f 2 1 二! 坐堕型 r ( 1 ) r ( m ) 一竺 j 1 时，p ( x ) 是单峰函数，且在精处 达到最大值 本文主要研究广义p a r e t o 分布的一般形式，它的一些特殊形式的性质可以由一般形 式的性质来得到 1 2 第三章广义p a r e t o 分布华东师范大学硕士沦文 1 3 参数向量( o ，卢，a ) 的变化导致广义p a r c t o 分布密度曲线的变化，下面给出了不同参 数值下的广义p a r c t o ( 记为g p ) 分布的概率密度函数图像。 图( 3 ) 镰l 章广义p a r e t o 舟毒 华东师范大学硕士 仑文 1 4 3 2g p 分布的分布函数 随机变量的取值带有不确定性，要想元整地描述陋机变量的特祉，全向揭不随机受 量取值的发生机制，探求随机想象客观存在的规律性，对分布函数的研究足很有必要的， 下面我们就用数学归纳方法来给出在p 取正整数时广义p a r e t o 随机变量的分布函数的 表达式 当z = i 时， p ( ) ：了羔，z o ，q o ，a o p ( 。) 2 i x - = f 丽，z o ，o o ，a o 州垆一等等 。，口 。，a 。 f 2 ( ) = 小a 删斋斋 ( 一群鲁) 卜z 群洁d z 瞅，一高* 一( 圭) 。( ，十羔) p ( z ) = 1 4 璺一= 掣i x ；：每，z 。，n 。，a 。 第三章p - xp a r e r o 分布 华东师范大学硕士论文 1 5 乃( ) = j 0 = f 一 ! i ! 1 2 1 1 兰2 2 爻6 0 2 ( a4 - z ) 。+ 3 n ( o4 - 1 ) 舻z 2 1 r ( o ) 一 2 ( a4 - z ) ”2 n ( 4 - 1 ) 舻t 2 2 ( a4 - ) o + 2 ) i + j o o t o z c 川，斋斋a z = 一丽1 ( 熹) ( 啦) + 等南十帮( 南) 2 ) 当p = 4 时， ，( z ) = ! 竺二三j i ! 掣i x j ；苫，z 。，。 。，a 。 r ( t ) t 坚堂幽 ( o + 1 ) ( o4 - 2 ) z 3 f 3 ( t ) 一 6 ( a4 - z ) o + 3 a o 一 丙丽们 ) 卜上。 a ( q4 - 1 ) 陋+ 2 ) t 3 6 ( a + 1 a + 3 1 堕! ! ! 竺! ! 丝二 2 ( + z ) “3 t i 茁 - 一丽1 ( 熹) 。( 啦) 十耕南+ 帮( 杰) 2 + 帮( 南) 3 由上述推导的分布函数可以看出，当卢= 女时，广义p a r c t o 分布的分布函数为 肿) - l 一丽1 ( 熹) 。( 器+ 帮两t 卜+ 掣( 击) 卜1 ) 下面采用数学归纳法对广义p a x e t o 分布的分布函数形式进行证明卢= 1 时， 肿，= j ( 群籍d x = - c 击，。 假设当p = k 时， 础) = l 一丽1 ( 南) 。( 鬻+ 耕丽t 扣+ 紫( 南) “1 ) 当声一七+ 1 时，密度函数为 p ( x 1 =r ( a + + 1 1 a o z 。 r ( o ) r ( 七十1 ) ( a + 。) o + 。+ 1 z 0 口 0 a 0 第三章广义p a r e t o 分布 所以 华东师范大学硕士论文 1 6 枷，= f o t 粼南出 = ( 一志筹糌) i + z 。黼誊杀 2 l 一碌丽万玎而两几十上承面两虿而 = 踯卜丽1 ( 熹) 。( 黼( 南) ) = ，一丽1 ( 熹) 。( 踹+ 帮两t 卜+ 黼( 南) ) 由数学归纳法可以证明在p 取正整数时，o p ( a ，口，a ) 的分布函数为 即一志( 熹) 。( 器+ 帮丽t 扣- + 端 3 3g p 分布的矩估计 3 3 1g p 分布的矩估计的计算 p z = e x = 厂黼筹知血 = 等器铲a = 当a 。 ，2 可研矿“2i 1 o 弘。= 脚= z ”黼煮鲁出 = 等器铲牡器” p * = 删= 厂黼两a c l a ：( g 一+ k ) - i 妇 ：r ( o 齐- 弋k ) i r ( 鬲f i - + k ) 舻 a r ( q 1 r 、( p 1 “ y n r x = 日x 2 一( e x ) 2 = ( 坚言群一! 垫吝录料) a 2 根据上述的各阶矩，我们可以有如下方法得到参数的矩估计 设x h 一，五。屉来自g p 总体的一个样本。以脚记总体的r 阶原点矩，m ，记由 x ”一，虬得到的r 阶样本原点矩，即 第三章广义p a r e t o 分布华东师范大学硕士论文1 7 仨 占- 舻删；m ，一：壹w 由下述方程式可解得( o ，芦， ) fp 。= 告a ( 3 - 3 1 ) 舒= 躺a ( 3 删 【筮= 躺a ( 3 删 ( 3 24 ) ( 32 5 ) 邮删得：卢= ( 糍哥一- ) 。 将p 代入( 3 3 ，5 ) 中解得： a = 面2 。q 一t 2 3 卢- l 十2 # 蕊；+ 1 垒9 ，( 芦t ，弘。，脚) 卢= ( ；蠢三 考) 一1 = 石孬i 笔号潍皇啦( 芦。，芦。，芦。) 铲一锩兰辨皇咖- 脚肭) 则 & = 鬲而2 。m l m 2 3 。- - ；+ 2 m 而；+ 1 - 6 g l ( m - ，m 。，m 。) 阳慕哥p = 意毫意2 篙籍2 9 2 m 舢， s 2 铲m - = 篇慕篱毫静垒咖。，m 。， 虢 铲铲 鹦瞄 = | i 段m 出脚 第三章广义p a r c t o 分布 华东师范大学硕士论文 1 8 3 ，3 ，2g p 分布的矩佑计魄基本性质 设x g p ( a ，卢，a ) ，x 的密度函数为 出，= 黼煮鲁 现使x 发生量纲变化，即x 变为x ，记y = x ，则y 的密度函数为 咖，= 黼器 ! ! ! 旦i ：! ! ：! r ( o ) r ( 口) ( 南 + y ) 4 + 口 即y kxg 尸( n ，阢从) ，参数乜，卢不变，a 变为从，正