（运筹学与控制论专业论文）一类反应扩散方程可变号解的全局存在与爆炸.pdf

摘要 本文研究了一类反麻扩散方群叮变号解的全局存在j 爆炸问趣。 j r t o 工r 其中仃2 0 , p 1 我们证明了：p t = 1 + 2 ( k + 1 ) ( k 为非负整数) 是所研究问题的临界指数 如果m a x ( c r ，1 ) m a x ( 盯，p 女) ，那么存在以“。( x ) 彤n y - , 为初值的全局解。 关键词反应扩散方烈可变号解 爆炸临界指数无穷维动力系统 虑 九亍 ”x “0 “i 锼堋“，川 ，j-，、【 k a b s t r a c t i nt h i sp a p e r tw ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u po f s i g nc h a n g i n g s o l u t i o n st oc e r t a i nc l a s so fr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc a u c h y p r o b l e m f l “，= “，。+ ( ，+ 1 ) 一4 ，2 f x l 8 l “i ”一。“ 工只，t o f “( z ，o ) = “o ( x ) x 月 l w h e r e 盯0 ，p 1 i t i ss h o w nt h a t ，f o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e r tp i = 1 + 2 ( t + 1 ) i st h ec r i t i c a l e x p o n e n tf o rt h ea b o v ep r o b l e m ，i e i fm a x ( o ，1 ) m a x p ，p i ) ，t h e n t h e r ee x i s t sa g l o b a ls o l u t i o n w i t h “o ( x ) e 吃n t k e yw o r d s r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s s i g n c h a n g i n gs o l u t i o nb l o w u p c r i t i c a le x p o n e n ti n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m 致谢 经过三年的学习，我终丁完成了这篇学位论文。在论文完稿并临近毕业之际， 我由衷地感谢为培养我付出了丈量心斑的师蚝，以及帮助和支持我的亲人和友人们。 这儿年的学习和研究是在导师路钢教授的悉心指导下进行的三年前我对专业 一无所知，能有今天的一点进步无不倾注着恩师的心血和关怀。本文从选题到定 稿，始终得到路老师不厌其烦的指导。路老师身体力行地教育我如何做学问和做人， 使我从各方面进步。我要向恩师表达我的感谢之情：老师，您辛苦了! 您的教诲与 关怀学习将永远铭记在心。础 在此t 我衷心感谢刘伟费教授的指导和帮助。本文的一些想法羊结果，是受我 和刘老师讨论的启发而得到的。刘老师还耐心地帮我审搞并提山中肯的修改意见 使我受髓匪浅。 感谢r 列箨位老师儿年米给我学业上的指导：梁肇军教授，吴觉乾教授邓引 斌教授，肖冬梅教授汀更生教授以及张止杰教授，李。i , 1 日j j 老师。 在论文的打印中，徐平勇给了我很人的帮助：在论文的前期，我和刘吕良，赖 义生进行过一些交流在此表示感谢。 值此之际对支持我的家人表示深深的澍意。 最后，向评审这篇论文的各位前辈学者致以诚挚的敬意千谢忱! 作者 一九九九年而月丁棒子山 1 1 爆炸闯嚣 l 引言 反席扩散方程是一种抛物型偏微分方桴。它有物理，化学，或者生物学方面的实际 背景。比如，如果物体内各点温度不同就有热量从温度较高的地方流向温度较低的地方。 如果溶液中各点浓度不同就有分子从浓度犬的地方流向浓度小的地方。又如在反应堆中， 当中子分布的密度不均匀时，也发生巾子的迁移运动。凡是由丁物理昂的密度不同而产生 的运动，通称为扩散。 在数学上，描述热传导和扩散规律的是同一种方程，人们把它作为研究抛物型方程 的模型。我们来看一个热传导的例子。考察一根均匀无限长细杆内热量传播的过程。 u ( x ，t ) 表示j 点在t 处的温度。细丰 = 内存在热源。其密度为f ( x ，) 蠼细杆的比热是c ， 线密度为p 那么我们可以确定该热传导所满足的规律： ”，= 口2 “。+ f ( x ，f ) ，其中f ( x ，) = 二f ( x ，f ) ，d 2 = 三，k 为热传导系数。 c pc p 我们感兴趣的是反应扩散方程的解会不会在某时刻变为无限大呢? 这种情况如 果发生了，就是我们所研究的解在有限时间里爆炸一一这是冈为扩散过程是不可逆的， 所以解如果爆炸，一定是在有限时间里爆炸。 对r 上述热传导问题而亩，这种情况是不可能发生的。事实上，若设初始温度为 u ( x ，o ) = b t 。“) 则可以写山其定解： u ( x ，f ) 2 g ( x - y ，t ) u o ( y ) 砂+ fl g o y ，卜s ) f ( y ，s ) a y a s 其中g ( x ，) = ( 4 d 2 刃) 2 e 一1 h 4 。 显然，解的存在区间是0 ，) ，我仃j 称解是全局存在的。如果把矗端的f ( x ，f ) 换为 厂m ) ，情况会否发生本质的变化呢? 换言之其解还是不是全局存在的? 不妨先看一个 简单的例子。设u ( x ，r ) = “( ，) ，f ( u ) = “。，考虑 、j d u d t = u 2 ”“7 l “( o b 拉。 0 i 该问题的定解为u ( t ) = 一_ 显然当r j l u o 时，h _ o 。，即解的存在区间 l j “o 是( ，l ) ，它在l 时刻爆炸了! 从实际背景来看，扩敞是阻j p 某一种量往某点犬量集聚的，或者说，扩散项起着抑 制解爆炸的作川。那么对 ：i 弱姜( x ) 解能否爆炸? 注意到t 1 2 对解的性态起十分 重要的作j i j j l t ；j i , j ”。琏否订足够的能力m 【i i l ：解的爆炸呢? 问题变得相当复杂了。 f u j i l a 前先给山了一个明确的答案。其止解肖定会在有限时间里爆炸! 1 2 f u j i t a 现象 f u j i l a 晟先研究了f 而的韧f f tt ；, 日题【i ： l ”r = a u + u ”，x e r ”，t 0 ，p l ， f ) iu ( x ，o ) = 口( ) o ，x e r ” l 并且得到了漂亮的结果：若l o ) ，( f ) 有正全局解。 f u j i t a 当时升不知道p = l + 2 r 时解是否会爆炸。w e i s s l e r 等人后来给出了同答： p = 1 + 2 疗时，任何止解都将爆炸。 从f u i t a 的结果。我们得出如f 结论： 其一，空间维数以和非线性化料度p 共同对解的性态起着决定性的作川。 其二，初值人小岛接影响着解是否会爆炸。 其三在p = 1 + 2 ，l 处发生了分歧：p l + 2 ”时可以存在全局解，而p 0 ， 工r “ 其中s 0 ，m ( 月一2 ) + n ，p m a x ( 1 ，”i 若h = 19 1 l j o - 一1 ，若”2 则仃 一2 0 2 ) + 表示月一2 的正部。他证明了：临界指数p 。= + s ( m 1 ) + ( 2 + 2 s + 口) n 如果 m a x ( 1 ，m ) 只则存在全局1 1 ! 解。 上述结论揭示了两个重要事实： ( 1 ) 方程中的所有参数m ，j ，盯，p 及空问维数n 共同影响解的性态。 ( 2 ) f 。h 4 “对解起着不稳定的作川。 由刊也所刚的方法l ：l t 较兆型，我们住这里简略地把其思路介纠一f 。只考虑较简单 的情况： “= a u + l x i 4 “9 墩个光滑的，径向对称的1 l ：增函数妒，使得0 妒1 ： 当| 叫1 时， p = 1 ； h 2 时妒= 0 对， 1 定义仍( 工) = o ( x 1 1 ) ，令 嵋( f ) = l “妒f d x ， q = r ”b i ，b i 是球心在原点的单何球。则 等= 一“仍出+ j 叫4 “”妒，出一“”| 妒f j 出+ t i x l 4 “”红出 佴利川h 6 i d e r 不等式，得剑 警_ c ( 州) ( 肿咖蚶仲+ 肘“”仍出t 其中 c ( ，) = 【胁r 州”“p 训竹却圳d r 7 9 = l n - 2 - ( n + a ) l h p c l c = c ( 妒，1 ) ， 与，无荚。这样就得到常微分不等式 。扩 卟 + k 以邶 r d w l d t ( i x i 。“”伊，d x ) 7 9 - c d ”一2 一“+ 。m 7p + c ：，一一，”i 【p 一1 ” ，如果盯 n ( p 一1 1 如所周知，若w 是一个正的连续函数，且满足常微分不等式c l w c w q ，其中c 是 d t 正的常数，口 1 那么w 是增加的，且存在一个有限数r ，使l i m 。w ( o = m 根据这个 结果马上就可以得山w j ( ，) 在有限时间里爆炸，进而u ( x ，f ) 爆炸。即存在t 0 ，使得当 f 7 时， i “( z ，t ) d x ，d 为r ”中韵有限区域。 常微分不等式在这里起了关键作用。实际上，在研究反应扩散方程的爆炸问题时， 微分不等式是一个重要的l ：具。j 1 1 同样的方法，文【7 1r 还考虑了如f 退化抛物问题： ， 段震高r h 4 嚣隆0 伽一1 ) 伽+ 1 ) 栉( 1 一所) 一( 1 + 一h2 s ) ，在r ”上连续。则临界指 数p 。= m + ( 1 + 埘+ 2 s + 盯) i ，p = p 。属丁爆炸情形。 类垄1 i 方程组中的f u j i t a 现象 反应扩散方程组较之数量方榉而言，研究的困难要人得多。闲此这方面的结果也较 少。谈及方程纽，人们自然要问：f u j i t a 现象会发生吗? 如果会，可否确定山临界指数? 方程绗和方程之间是否有何种关系昵? 已有的一些结论问答了这些提问，可参见 2 j 中的 文献。 关于f u j 池方程组的研究，我们简要介纠【3 ，4 ，5 】的结论。 文【3 】考虑下面的初值问题： ( 1 5 ) “= a u + “n 。v h2 ，x r ”，f 0 ， ，= a v + “7 1 1p ”，x r “，t 0 ， u ( x ，o ) = l g o ( z ) o ， v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 4 p ，0 ，i ，= 1 , 2 ，pj 2 p 0 令，：盟竺k 二! 鲍如二纽型，b ：旦旦 且。则 l + p i 2 一p 2 2l 十p t 2 一p 2 2 i j 若0 r l ，( “o ，v o ) b c ( r ”r ”，r + r + ) ，则每个止解都全局存在。 2 ) 若i ( r l + 2 n ，( ，v o ) g g ，则每个止解都全局存在；然而若( “。，v 。) g g 则 相应的正解将在有限时间里爆炸。 4 ) 若r = l + 2 n ，0 b o ，s f 仃( 工) 国一q 矿 ij g = d ( x l d ( x ) 们( r “，r + ) ，i n 0 口( j ) o 比较该结论和f u j i m 的结果我们看山方挫组雨i 方程之问的确有较紧密关系的关系。 文【4 】还讨论了有界区域上的方程纽初边值问题： 鲁础，警州蝴叫“锄 ， 岫， o h 2 加上d i r i c h l e t 边界条件“( 一4 ，) = “，f ) = o 或n 。m a 。n 边界条什垦i 宴竺生= 掣= 0 或混合边界条件 “- a , 归掣。0 “ “2 ( 一舀，t ) = 1 t 2 ( 臼，f ) = 0 初值“，( x ，o ) = “m ( z ) 0 前面介绍过，文【6 1 住研究数越方税的爆炸时。典型地运h j 了微分不等式的方法。对 方程组来说照样可以使用这一工：具，只不过更凼雉更复杂而已。 文f 4 】在处理上面的问题时，很巧妙地把对偏微分方挫组的研究等价变形成为对常微 分不等式的研究，得到了清晰明了的结果。我们介宝 一下其思想。 首先令o ) = 石7 t c 。s ( 荔) 是f 面特征值嗣题的规范化的第一特征函数， j 。十丑庐= o ， 一a 0 ，使得 c l ( t 一，) 一。s u p ，。月u ( x ，) = u ( o ，i ) c 2 ( r f ) 一“ c i ( 丁一f ) 一声s u p ，。b v ( x ，t ) = v ( o ，t ) c 2 ( 7 一f ) ，( o ，t ) 其巾口= ( | i ，+ o ( p q 一1 ) 卢= ( q + 1 ) ( p q 一1 ) i i 扩散引起爆炸的现象 扩散不仅没能抑伟4 爆炸，反而促使爆炸的发生! 这的确是一种既有趣又奇怪的现象。 也引起了一些人的注意，但目前结果其少。就作者所知。文【2 3 】给出了第一个这样的例子。 最近g u e d d a 和k i r a n e 在f 2 l 】中构造了f 面的例子。 对f i f i i 的常微分系统瓤舟，j 鳃全局存谯。 j ( ，) = u ( o v ( o ，0 ， ( 1 7 ) v ( ，) = - 2 ，f 0 ， i “( 0 ) = ，v ( o ) = v o 但是，加上扩敝项以后的初值问题， ( 1 8 ) “，( t ，) “。( z ，) = u ( x ，o r ( x , ，) ， v ，( x ，) 一v 。( x ，) = 一2 ， 吣，。) = 击e - x d 2 , v ( 邶) = z 2 鳃却在t = 3 7 r ，8 时刻爆炸! 1 5 研究f u j i t a 现象的常用方法 ， 0 z r f 0 ，x r ， x r 大致说米，有以卜一些常j ：i j 的方法。 i ) 化偏微分方程( 组) 为常微分不等式。 该方法可以说是最基本的研究f u j i t a 现象的方法。 2 ) 上卜j 辑的方法( 或称单调方法) 。 此法既可以证明解的存在性又可以川来讨论解的爆炸。可参见【5 ，1 9 】 3 特征值方法。可参地【1 9 】 4 ) 平衡解方法。 通过构造一个平衡解，证明全局解的存在性：或者通过研究平衡解稳定与否，来考 虑以它为初值的解是否全局存在。 5 ) 不变区域的方法。 该方法受启发于常微分方程不变区域的理论。实际运用起来有相当的难度。可参见 【5 ，1 9 】 1 6 可变号解问题中的f u j i t a 现象 长期以来，人们的兴趣都集中在对正解的讨论上。关于可变号解的结果几乎没有。 导致这种状况的根本原因是方法上的：由于解变号导致其爆炸方向有两个：m 和一， 因此无法稃利用比较原理。如此一来。微分不等式这个强有力的工具便失效了。 只是近几年，才出现少许此方面的结果。m i z o g u c h i 和y a n a g i d a 在此领域迈出了第 一步。他们首先考虑了如f 的柯两问霹【8 】： f iq 、j “，= “。+ i ”卜”，工r ， o ， 、7 u ( x ，o ) = “。( 工) ， 工r 7 他们得到：l 临界指数p 。= l + 2 ( k 十i ) 即：如果i p 茎p ，那么任何以“。 n 为 初值的解都在有限时间里爆炸；然而如果p p t 则存在以e 。n 彬为初值的全局 解。符号的定义见2 要求“。h ：的限制是方法上的。t ：5 ，了去掉这一限制太强的条件，作者义讨论了更一 般的情况【9 】： m 傲篇p - i x 瑚e r j 如 现住只要求初值u 。结果表明，临界指数仍然烂p 。= i + 2 ( k + 1 ) 若1 p k 则有一个全局解。他f j 还 l i e n 3 t ，假使k u o l l j l 2 “”- - ) c o ( h jo 。) ，那么任何解都不会是全局的。 上面两个结果都是针对一维的。对高维情形 = “+ “ u ( x ，) = “o ( x ) ， u ( x ，) = o ， 他们也给山了一些结果【1 2 】 x q ， 0 ， x q x 国 这里q 是r ”中的一个锥。作者得到；存在一个临界指数n i 使得如果1 n ，刚对任意充分小 的初值，双极爆炸不会发生。 此处的临界指数也是可以显式写i j l 的，它依赖丁l a p l a c e b e l t r a m i 算子的特征值。设 月2 ，m j 。w 2 分别是该箅子在o n s ”。上的第一d i r i c h l e t 特征值和第二特征值， w o ，w 2 0 ，r 2 分别是( 十n 一2 ) = w ，i = 1 , 2 的1 f 负根，则临界指数 胪m a 。( 1 + 再鬲h 焘) 他们还i i j 究了f 丽的初边值问题【l o 】： ( i 1 2 ) “，= “。+ a f ( “) ， u ( x ，0 ) = “o ( x ) ， u ( o ，) = u ( 1 ，) = o 工( o ，1 ) ， 0 ， x ( o ，1 ) ， 对，惭f 徽黼奇溅九o ) 吣 蝴2 觚则 = 舞厅2 ( 七= 0 ，l ，) 在卜而意义之卜i 起其临界指数：如嫩丑以那么任何解部将爆炸( 7 他 ： 【0 , 1 】上k 玖娈峙) ；如果0 0 ， x r 我们先绎出有关定义。令p ( x ) = p ，“，t 尺定义 q = 忸上可测函数“f f 。i 1 7 肚 o o j ， 1 s 口 m ， h ；= 扭上可测函数“。02 + “：胁 。0 分别赋以范数i “i 。= ( 。i “i 。肛& 7 “和i i i i = ( 。0z 十“：b y “ 对r 上的实值函数，1 2 , z ( f ) = s u p 0 i 存在一o o x i x 2 xj + j 使十耵( ) ( x 。) o ，j = 1 , 2 ，j 所有定义征rl 的t 垮变i 的实函数组成个架合。配为 = 溶上的函耋妒l z ( 厂) = ，k 为非负整数。 2 2 主要结果 我们的土要结果如d 卜 定理1 对每个。水负摧数七，令n = i + 2 ( k + i ) ，0 s 盯 0 ， ( 2 2 甜( x ，o ) = “。( 石) ， 工月+ ， i ( o ，) = 0 ， 0 定义 q ( r + ) = k + 上可测函数“f l i “l ”肛扛 m j ，1 sq m h ；( r + ) = k + 上可测函数“慷+ 0 2 + “：) 础 m ， 9 ) l x 4( ， 口 ( “ 十 i i ”f 聊 = x ( “ ，j(_ill 对r + 上的实值函数厂，记 z + ( f ) = s u p i ，0 i 存在0 x i x 2 x 川 o o 使怒f ( x ，) ， x 。) o ，j = 1 , 2 ，歹j 所有定义在r + 上的k 次变号的实函数矧成一1 、集合记为 ：= 忸+ 上的函堂咿k + ( ) = t j k 为非负整数- 我们得到： 定理2 对侮个非负整数女，令p ：= 1 + 1 ( k + 1 ) ，当o 口 0 ， 算r + f 0 定理3对每个非负整数女，却：= 1 + 2 ，( 2 t + 1 ) ，当。蔓盯p 时 ”若l 正，划对某个初值“。( j ) 彬( 尺+ ) n ：，则( 2 3 ) 存在 全局解n 把见= i + 2 ( k + 1 ) 和o 盯 m a x ( 盯，3 ) = 3 时有全局解： = 3 m a x ( 盯，1 ) m a x ( c t ，2 ) = 2 p i i 1 a x ( o - ，2 ) = 2 p m a x ( a ，2 ) = 口 k = 1 时育全局解： 刚有全肠解； 时有全局解： i - f l a x ( o ，1 ) p 2 m a x ( o r ，1 ) m a x ( o ，5 3 ) - - 2p m a x p ，5 3 ) k = 2 有全局解； 时有全局解i= 仃时有全局解； p 2 = 5 3 m a x p ，1 ) ，5 3 i l l a x ( o ，1 ) p 5 3m a x ( o r ，1 ) 0 时临界指数是 p i = p o = 3 同样地分析定理2 和定理3 ，我f j 亦可把它 f j 分别改写为： 定理2 1 ) 如果o 盯( 3 2 ，则p = 1 + l ，( 后+ 1 ) 是( 2 2 ) 的临界指数： 2 ) 如果盯 3 2 ，则( 2 2 ) 的每个解都是全局的： 3 ) 如聚口= 3 2 t 则；bk = 0 时，( 2 2 ) f f j 解都赴全埔的：而! k 0 时，临界指数为 p = j = 2 定理3 i ) 如果o s 口 5 3 ，n ( 2 - 3 ) 的每个解都是伞局的： 3 ) 如果c r = 5 3 ，则k = 0 时( 2 3 ) 的每个解都是全局的：当k 0 时临界指数为 p = p o = 3 f 面我 j 把y u a n w e ；q i ，f u j i l a 和本文的结果做一比较 、非线性项 r j x “l f ，。s 0 ( f + 1 ) 2 i x l 。”一“ h ， 若”= 1 则盯 一i ( c r 0 ) 解 ( p i ) 岩：h 2 则仃 一2 p ，( m ，s ，0 - ，丹) = 非负解 p 。( ) = 1 + 2 h m + s ( m 1 1 + ( 2 + 2 j + ( r ) h 变号解 p 。( t ) = 1 + 2 ( k + 1 ) 由此霜山，怍线性项f i x l 。“”明娃地列i l 解起着更不稳定的作j f 】，这种作j i i 较之 “”而言更为强烈。但在考虑可变号解的问题时我们不能指望得到相似的结果。从l e v i n e 下面的这段话中我们知道q i 的结论是情理之中的。而我们所考虑的应该是一种新现象。 “i ns o m eo ft h er e f e r e n c e s ，t h en o n l i n e a r i t y “”i sr e p l a c e db y ，i x l 。, p t h ec r i t i c a l n u m b e r sa r ec h a n g e dt or e f l e c tt h ed e p e n d e n c eo nka n d 盯f o re x a m p l e f o rt h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e m ( f ) w i t ht h i sr e p l a c e m e n t ，i np l a c eo fp ，n ) w eh a v e 硝h ，k , c r ) ：i + 坐 ” ( i ns o m ec a s e s ，o - - 2i sa l l o w e d h o w e v e r , i na l lc a s e s ，k 0 ) w em i g h ti n t u i t i v e l ye x p e c tt h a ts u c hn o n l i n e a r i t i e sw o u l dh a v ea g r e a t e rd e s t a b i l i z i n gi n f l u e n c e o us o l u t i o n so ft h ea b o v ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st h a nf o rw h i c hk = 盯= 0a n d f r o m t h el i t e r a t u r ec i t e da b o v e ，w ea r en o td i s a p p o i n t e d ” 2 3 附注 由上面的分析我们知道，问题( 2 i ) 中的非线性项( ，+ 1 ) 1 ”i x i 4 h ”1 “应该是l e v i n e 所说的另一种“s u c hn o n l i n e a r i t i e s ”主要的挥别在r ，在f i x l 。”中要求k 0 ，而 盯 一2 可以为负；与本文所考虑的情况不同。这种形式上的不同所带来的内涵上的差 别是巨大的。的确，由定理l 可以看出如f 一些有趣的事实： 1 ) 变量t ，x 对解起着嗣婕经的作用，这与非负解的情况截然不同。 砼当a 2 时解的变号敬壤不誊确全蜀餐钓存在性 3 ) 临界指数比通常正解临界指数要小这是因为解的变号抑制了爆炸的倾向。 3 1 问魇的变换 3 主要结果的证明 1 2 o j r 容易看山，( 2 1 ) 的解在有限时间里爆炸l j ( 3 i ) 的解在有限时间里爆炸是等价的。 定义一个线性算子一： 一妒= ”十罢+ 匕妒 z p 一1 考虑特征值问题 ( 3 2 ) a 矿= 丑p日： 在解此特征值问题之前，我们给山一个酞入结果。该嵌入在证明中起着极重要的作 用。关 j ：该嵌入的证明有兴趣的凄者可以参阅【1 7 】 命题1h 1 ( r ) 嵌入到c ”2 ( 月) 中即：( 月) b - - ) c “2 ( r ) 这里c ”2 ( r ) 是h 石i d e r 指数为l 2 的h 6 l d e r 空间。 下面的嵌入也是成立的。 栉( r 卜q ( 月) 这里q ( r ) 延由所有r 上的连续有猝函数组成的空间 爿：( 尺) 卜r ( r ) ，且该嵌入是紧的。 从这些嵌入马上可以得到： 命题2 任取“一( r ) ，存在常数m 0 ，使得i 叫兰坳“” “ r 】：妒h ：( r ) ，我口删以假设( j ，) = h ( y ) e 7 7 把它代入七式1 1 就彳! _ ： 剑； ( 3 3 ) h “一考h + i 马一五一；) h = o 众所周知，( 3 3 ) 4 kh e r m i t e 微分方程，h e r m i t e 多项式是其解。这样，如果令五，和 ，分别表示( 3 2 ) 的第，特征值和特征幽数，我们可以写出它们的显式表达式： 五，= 圭一出，蚧( y ) = h ，( y ) g v u 4 2 口一1 7 ” h ，( ，) 是阶h e r m i t e 多项式，h ，( ，) = ( 一i ) p ，7 4 罢p 一2 “， j = 0 , t ， c拼 姓然的， ( 3 4 ) o 卒 p p ；丑= o i v p = p ；五女 p 芙于h e r m i t e 多项式。我们有以。r 结论。 性质1 偶数阶h e r m i t e 多项式是偶函数奇数阶h e r m i t e 多项式是奇函数。 ， 口 y 十p 一 p + i叱 y 2 + l l y 口m= _ = ，f ( v v 性质2j 阶多项式只【y ) 在r 上恰有，个不相同的实根，在r 上+ 晗l q j 2 】个互 不相同的实根。 性质3h e r m i t e 多项式之问- 仃递摊天系 1 2 ；_ 一h j 小；q ( 小l 2h “( 加。 性质4h e r m i t e 多项式在r 上组成一个带权p 一，的完备正交函数系。 山h e r m i t e 多项式的v i l 二交性和完备性我f f j 知道，经过适当的规范化以后， n ( y ) ) 知就构成h ：的一个标准正交基。舣一个止整数k ，使得以一，0 ， 0 定义h + = s p a n g y ，：0 ，s k 一1 ) ，h 一= 妒鲫 ，：，女) ，则h + 和厅一在h ： 及g 中正交因此可以把；分解成+ 和j v 一的直和，即： ：= h + o h 一 3 2 先验估计：全局解的一致有界性 在本1 ，我们对( 3 1 ) 的全局解作个先验估计，以便为主要定理的证明做好必要的 准备。定义与( 2 i ) 相关的能量 即) 3 琏v ；一赤 击帅| ，j t l l 磅，v e 彤 这里及以后，为简便起见我们把( 3 1 ) a j 解v ( y ，s ) 简记为v ( s ) 抛物方程的理论告诉我们， 如果v ( s ) 是( 3 1 ) 的以以( r ) 为初值的全局解，那么 v ( s ) 雕( r ) ，v ( s ) l ： e ( p ) j 1 有如r 性质。 引理1 e ( v ( j ) ) 是s 的单凋减函数。 证：既然v ( j ) 样( j r ) - 我们很容易得到v 。y p _ o ，y ，v ，p 0 0 0 0 ) 这样在 ( 3 1 ) 的两边同时乘以vp 并进行分部积分便有 ( 3 5 ) 塑掣：蛳s 吩o as 这就是醢，e ( v ( j ) ) 是j 的单调减函数，而【上( 3 1 ) 足一个梯度系统。 引理2 如果v ( s ) 是( 3 1 ) 的一个全局解- 那么l i m e ( y ( 。) ) 存在且有限。 i i f ( 反证法) 令y ( 0 是( 3 1 ) 的一个全局解a 假设l i r a ，e ( y ( s ) ) 不存在，那么阁为 e ( v ( s ) ) 是单调减少的，必有占( v 0 ) ) 一“- - - o o ) 一般不失性，可以假设e ( v 。) 0 4 令，( s ) = n ( ，) i ：础，那么，( s ) = 了1 ) i ：，“( s ) = f w 。p a y 在( 3 1 ) 的两边同时乘以y p 进行分部积分，得 ( 3 6 ) 广吣) = - 1 v 删：+ 吉卜圳4 r p a y 由e ( v ( j ) ) 的定义，可以把上式弓为 ( 3 7 ) ，= 一2 e ( v ( 呦+ 等吖r p a y l口十 州 冈为我们已经假改e ( v ( j ) ) 一o o ( s 0 0 ) 那么厂，- 厂” o o ( s + ) 我们的目的是从( 3 6 ) 得到矛盾。为此，需要对其端进行估计。而凼雉就在丁 l m 。i v ( j ”1 码，下面我n 塌：处理它。 令p ，是( 3 2 ) 的第个特征函数- 若下式中的各积分都存在我们得到 ”( s ) 蚧i p d y u v ( s 渺，| 磅+ l , i v ( s ) ，眇 因为是v ( s ) 全局解，对每个吲定的j ，v o ) h ：这样，由前面的嵌入我们知道，存 在m = 肘。( j ) ，使得卜o w m p “”，a ，( 5 ) 有界。所以 删4 酌膨川肭9 p “2 痧 o o 由h d i d e r 不等式， 心v ( 帆忉( v ( s ) r p c ) m 州( u 厅”即触) m + ” ( 蹦肌( s ) rp a y ) 帅川( 纠”即磅) m 州 s ( 删4 旧r 磅少1 ( 批r ”腑) 川”“ c ( 1 i y l 4 l v ( s ) 1 9 + p a y ) 1 “p + 自此以后，c ，c ，j = 0 , 1 ，代表正的常数。 当o 盯 p 时一l 一c r p 0 ，所以l i 川可即咖 另一方面，y ，p 在 i y l i 上有界。因而 “v ( 帆渺( k l y l 4 俐”p a y ) ( 圹m r ”p a y ) m + ” c u 卅4 i 酬”1 磅) 帅+ ” c ( 【i 叫4 i v ( s ) i ”+ p a y ) 。“” ( 3 8 ) 舭j 渺，眇c ( 川。i v ( s ) p a y ) 帅 取v o ) ：，v ( j ) = v + ( s ) + v o ) ，v + ( ) + ，v 一( j ) h 一经计锋生 ( 3 - ，) 协轷击) 除一厶) e ( 3 1 。) 陌s ) 卜p l - i i v 叫：一 h s ) 睁。 其中凡雨l 分别趄( 3 2 ) 的第0 利第k 特征值。t h ( 3 9 ) 币i ( 3 ，l o ) 得小 ( 3 1 1 ) s ) 卜p l - i ) 怪一a 。”s 堰 既耵洲，v + ( 班黔州办删= p ，自p a 训恒等式 忡，卜羝i = os ，i 冀k - ic 幽腑，2 ( 3 1 2 ) i v + ( s ) i i c 【1 y 1 4 i v ( s ) l ”+ p d y ) 2 “，+ 1 结果，就有。f 面的成立 ( 3 1 3 ) ，) 卜p l - il v ( s ) 睁一c z ( 删4 l ，十i 磅) 2 岍1 因而，e h ( 3 。7 ) 得到 ( 3 1 4 ) 广譬) 卜沙1s 小( p + 1 ) 胍心 舻协晰，广筹吖r p a y ，e ( v o ) 0 使得f ( s ) f ”0 ) ( 1 + f 1 ) f ( j ) 2 当5 充分人以后成立。易验讧e ( ，( s ) 一4 ) ”0 ，这说明当 s 充分大时f 叫是凹函数a 然而这是不可能的。因为厂( j ) 一- - 0 0 o 。) 即当j 充 分大以后，厂( j ) 邓非改变凹性不可。结论得证。 利月j 上面nj i t l 及前面的嵌入马上得到 引理31 阪砹v ( s ) 是( 3 1 ) 胸全局解，那么 1 ) i v ( j ：关于j 一致有界。 2 ) 8 p r a y ( j r 关于j 一致有界。 证：1 ) 如引理2 - f 4 1 t z v + ( j ) h + ，v - ( j ) h 一，由( 3 9 ) 币i ( 3 1 0 ) 得到 ) 卜击除氓i 以s ) _ 以h 堰 一( 氐一以) r ( s ) 卜丑。m i 由e ( v ( s ) ) 的定义及( 3 1 2 ) 我们得到 广阱( 川) 耶) 2 字似：一击俐：) 一c o ( j , l y l 。i v ( s _ ”+ 1 p a y ) 2 “p + 1 + c 。i v ( j ) l ： 注意鲥( 巾) ) s e ( v 。) jn 一。f v ( 叫”。触詈等f i i ( 一) + 2 目) 】，廊埘h 6 i d e f 不 等式可以得到 帆s ) i = ilv ( s ) v ，( s ) 础卜l , l v ( s ) v ，o ) p 咖 ( 3 l s ) s ( f v ( j ) 2 p a y ) “2 ( j ：v ：( 5 ) p a y ) “2 = 阻，蜘1 圳“2 此 c , l v ( s ) i ；厂“( s ) + ( p + 1 ) e ( v ( s ) ) + c 。( i 川4 i v ( s ) i ”+ p a y ) 2 “9 + 厂( s ) 十( p 十1 ) e ( y ( j ) ) 十c ? 【厂”( j ) 十2 e ( v o ) 】2 “”1 这样就有厂( s ) c 3 + q 厂”( s ) + c 5 【，”( j ) + 2 e ( v o ) 】2 “ c ，+ c 4 j v ，( s ：