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基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究中文摘要 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 中文摘要 随着技术的发展，激光诱导的红外光热辐射技术在不同曲面形状样品的无损检测 方面的应用越来越广。而激光光热辐射技术中的关键理论问题是被测物体中的温度场 分布问题，特别是被测物体为非平面物体时，问题就越显复杂。 在本论文中，我们应用g r e e n 函数方法研究了非均匀多层球介质中的温度场分布。 首先，简单介绍了有关g r e e n 函数的基本知识；接着，利用g r e e n 函数方法具体求解 出两层介质球时的g r e e n 函数，并给出了双层球的温度场分布，又从数值分析的角度， 对两层a i s l l 0 1 8 碳钢球样品在不同薄膜参数下模拟并进行了讨论；随后，为了应用 g r e e n 函数方法研究任意多层介质球中的温度场分布规律，我们又具体计算了三层 球、四层球中的g r e e n 函数，最后，通过利用矩阵法，从理论上给出多层介质球时的 g r e e n 函数的递推关系。在解决多层介质球时的g r e e n 函数时有两种思路：一种思路 是根据不同层球背景下( 以一层、两层、三层、四层) 的g r e e n 函数形式进行具体的类 比分析，总结一般多层介质球时的g r e e n 函数应该具有的规律：另一种思路则直接对多 层介质球的问题进行求解。但是为了最后结果的表示的方便，两种思路都用到了矩阵 法，我们还建立两种思路所得结果之间的联系和一致性，并对一般多层介质球结构情 况下的得到g r e e n 函数从理论上进行了特例验证，研究了其退化情况，发现其退化情 形与相应直接求出的一层、两层、三层、四层的结果完全一致。在文章的最后，给出 了多层球模型下的温度场分布。从结果看出，其中的角度部分与单层球、双层球问题 的结果完全一样，差异仅在径向部分。 本论文的多层介质球的g r e e n 函数及相应的温度场的结果为光热辐射技术定量 检测连续非均匀球状样品的热物理性质( 如金属球形表面硬化层) 提供了一般化模型 和方法，适用于任意形状的入射光束。 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 中文摘要 关键词：光热辐射，红外检测、格林函数、矩阵法、多层球介质、无损检测 作者：谢广喜 指导教师：王钦华 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 a b s t r a c t t e m p e r a t u r e f i e l d so f i n h o m o g e n e o u ss o l i ds p h e r e b a s e do ng r e e nf u n c t i o nm e t h o d a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g i e s ，t h ea p p l i c a t i o n so fp h o t o t h e r m a lt e c h n i q u e si n t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fm a t e r i a l so fv a r i o u ss h a p e s 、 ，i t l lc u r v a t u r eb e c o m em o r ea n dm o r e p o p u l a r o n eo ft h ek e yi s s u e s i nq u a n t a t i t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no fc u r v e ds a m p l eu s i n g p h o t o t h e r m a lm e t h o di st h et h e o r e t i c a lm o d e l l i n go ft h et e m p e r a t u r ef i e l di nt h es a m p l e i n t h i st h e s i s ，w ep r e s e n tt h er e s u l t so ft h et e m p e r a t u r ef i e l di ni n h o m o g e n e o u sl a y e r e d s p h e r i c a ls a m p l e su s i n gg r e e n sf u n c t i o nm e t h o d f i r s t l y , t h eb a s i cc o n c e p ta b o u tt h e g r e e n sf u n c t i o ni s i n 仃o d u c e d t h e n ，t h eg r e e n sf u n c t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n g t e m e p r a t u r eo fab i - l a y e r e ds p h e r i c a ls a m p l eu n d e ri l l u m i n a t i o no fa na r b i t r a r yi n c i d e n t b e a mi sd e r i v e d ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h et h e r m a lw a v ef i e l do faa i s i1018b a s e d s p h e r i c a ls o l i dw i t i ld i f f e r e n tt h i nf i l ma r ed i s c u s s e du s i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t oo b t a i n t h et e m p e r a t u r ef i e l do fam u l t i - l a y e rs p h e r e s ，t h eg r e e n sf u n c t i o na n dt h et e m p a r a t u r e f i e l do fat h r e e l a y e ra n df o u r - l a y e rs p h e r i c a ls o l i d sa r ef u r t h e rd e r i v e d ，r e s p e c t i v e l y l a s t l y , t h eg r e e n sf u n c t i o na n dt h et e m p e r a t u r ef i e l do fam u l t i l a y e rs p h e r i c a ls o l i di so b t a i n e d b a s e do nm a t r i xi t e r a t i o nm e t h o d t w om e t h o d sa r eu s e di nt h ed e r i v a t i o no ft h eg r e e n s f u n c t i o na n dt h et e m p e r a t u r ef i e l d so ft h em u l t i l a y e rs t r u c t u r e s ：o n ei sa n a l o g o u sm e t h o d b yc o m p a r i n gt h eg r e e n - f u c t i o n so fs i n g l e - l a y e r , b i - - l a y e r , t h r e e - l a y e ra n df o u r - l a y e r s p h e r i c a ls o l i d s ，a n df i n d i n go u tt h ei t e r a t i o nm a t r i xf o rt h em u l t i - l a y e rs p h e r e s ，t h eo t h e r o n ei st h ed i r e c td e r i v a t i o no ft h eg r e e n sf u n c t i o nb a s e do nt h ei t e r a t i o nr e l a t i o n s h i po ft h e m u l t i l a y e rs t r u c t u r e s t h er e l a t i o n s h i po ft h et w om e t h o d si s e s t a b l i s h e da n dt h e c o n s i s t e n c yi sd i s c u s s e d t h er e s u l t sa r ev e r i f i e df r o ms o m es p e c i a lc a s e si nw h i c ht h e m u l t i - l a y e rm o d e lc a nb er e d u c e dt ot h ec a s eo ft h es i n g l e l a y e r , b i - l a y e r , t h r e e l a y e ra n d f o u r - l a y e rs p h e r i c a ls o l i d s ，r e s p e c t i v e l y i ti sf o u n dt l l a tt h er e s u l t so ft h eg r e e n sf u c t i o no f t h e m u l t i l a y e rs p h e r i c a l s o l i d si sd i f f i r e n tf r o ms i n g l e - l a y e r , b i l a y e ra n dt h r e e l a y e r s p h e r i c a ls o l i di nt h er a d i a lp o r t i o n ，b u tt h es a m ed e p e n d e n c ei na n g u l a rp o r t i o n t h e i i i 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 a b s t r a c t r e s u l t so ft h et h e s i sp r o v i d eag e n e r a l i z e dt h e o r e t i c a lt o o lf o rt h eq u a n t a t i t i v ee v a l u a t i o no f t h e r m o p h y s i c a lp r o p e r t i e s ( s u c h 舔c a s eh a r d e n e ds t e e lb a l l s ) o fi n h o m o g e n e o u ss p h e r i c a l s o l i d sw i ma r b i t r a r yi n c i d e n tb e a m s k e y w o r d s ：p h o t o t h e r m a lr a d i o m e t r y , i n f r a r e dd e t e c t i o n ，g r e e n sf u n c t i o n ，t e m p e r a t u r ef i e l d ， m a t r i xm e t h o d ，m u l t i l a y e rs p h e r i c a ls o l i d s ，n o n d e s t r u c t i v et e s t i v w r i t t e n b y ： s u p e r v i s e db y ： g u a n g x ix i e c h i n h u aw a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名：壅i 盔日期：丝学二 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期：型皿l e l 期：塞竺2 1 盍： 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 第一章引言 第一章引言 1 1 研究背景及意义 自1 9 7 9 年n o r d a l 和k a i l s 诅d 【1 】报道以来，光热辐射测量( p h o t o t h e r m a lr a d i o m e t r y , p t r ) 技术，在理论和应用上都得到了迅速发展1 2 吲。随着各种激光光源和制冷红外 探测器的应用，p t r 在表面科学【6 】，层状复合材料检测【7 - 8 】和光热光谱 9 1 等方面日益受 到重视。p t r 技术是在光声光谱( p h o t o a c o u s t i cs p e c t r o s c o p y , p a s ) 技术的基础上发 展起来的一种新型的非接触的无损检测技术。它最初应用于光学测量，逐渐发展到测 量热学参数。p t r 的基本原理是：用一束被调制的激光照射被测样品，样品吸收光能 量后，产生周期性的温度涨落，在样品表面产生一个温度场的分布，其红外辐射也发 生相应的变化。采用适当的红外探测器，即可探测样品的热辐射光热信号( p t r 信号) 。由于p t r 技术是一种非接触检测技术，所以它除了具有p a s 技术的一些优点 外，还克服了p a s 方法在检测中必须使被测样品与接收器保持接触和对样品尺寸有 一定限制的缺点。因而近年来随着p t r 技术的发展，它已经逐步成为各种材料性质 无损检测的有力工具之一【l o - 1 6 1 。但是，几十年来p t r 都局限于平面样品的研究上( 这 是由于在该技术的发展初期，为避免样品几何形状影响所带来的复杂性，主要研究 p t r 技术新的特性和探测原理) 。然而我们容易发现，在许多的武器装备中，球形、圆 柱形和圆锥形是比较典型的形状，研究这些空间结构下温度场的分布情况有其一般性 及代表性，因而对多层结构的球样品或圆柱进行研究是十分有意义的。同时在民用的 很多实际生产和实际应用中，样品的形状很多也不是平面的，如圆柱的螺丝、钉子、 球形的滚球轴承等。最近几年来，一些曲面样品的p t r 研究【1 7 。2 2 】也获得很多成果。 王钦华教授等人首先对单层和两层圆柱样品进行了相应的理论和实验的研究，并且取 得了很好的结果。他们利用g r e e n 函数法推导出了两者的温度场的理论模型【1 7 d 扪，然后 又应用g r e e n 函数法对单层均匀球样品进行研究且与实验结果进行比较【l 引。s a l a r z a r 等人随后也提出了新的方法一一矩阵法，研究了多层圆柱以及球型样品的温度场 2 0 - 2 2 ，他们主要是利用温度与内外表面的热通量成线性关系推导出每层的温度场，并 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究第一章引言 进而得到整个样品的温度场分布。我们注意到：s a l a r z a r 方法只能求出材料表面的温 度场，且要求激光光斑强度均匀；而g r e e n 函数法则无此限制，只要我们求出相应的 g r e e n 函数，理论上可计算由任意热源( 热源的激光光斑形状、大小) 引起的样品内 任意位置的温度场分布。同时，国内科研机构对有关问题也非常重视，比如在2 0 0 7 年 国家自然科学基金研究报告中，在爆炸与冲击力学部分，提到优先支持的领域及重要 科学问题，将“温度场的测量技术及相关基础理论研究，专门作一条目列出【2 3 1 。 1 2 本论文的主要内容 本文首先简单介绍了有关g r e e n 函数的基本知识，接着利用g r e e n 函数方法具体 求解出两层介质球时的g r e e n 函数，并给出的双层球的温度场分布，又从数值分析的 角度，对两层球a i s l l 0 1 8 碳钢样品的在不同薄膜情况( 参数) 下模拟并进行了讨论。 并将理论推算结果与模拟实验的结果进行对比，二者吻合得很好。为了应用g r e e n 函 数方法研究多层介质球中的温度场分布规律，随后，我们又具体计算了三层球、四层球 中的g r e e n 函数，最后利用矩阵法和递推关系，从理论上给出多层介质球时的g r e e n 函 数，最后得到多层介质球时的g r e e n 函数结果时有两种思路：一种思路是根据不同层 球背景下( 以一层、两层、三层、四层) 的g r e e n 函数形式进行具体的类比分析，总结 一般多层介质球时的g r e e n 函数应具有的规律；另一种思路则直接对多层介质球的问 题进行求解，但是为了方便最后结果的表示，两种思路都用到矩阵法，最后，我们还 建立两种思路所得结果之间的联系。并对一般多层介质球结构情况下的得到g r e e n 函 数从理论上进行了验证，研究了其退化情况，发现其退化情形与相应直接求出的一 层、两层、三层、四层的结果完全一致。解决了非均匀球状样品任意温度场的求解问 题，对光热辐射技术进行材料热物理性质和缺陷的定量非接触无损检测具有直接的重 要意义。 2 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 第二章g r e p 刀函数方法的理论基础及典型算例 2 1g r e e n 函数方法的思想背景 g r e e n 函数又称为点源影响函数，它表示一个点源在一定的边界条件和初值条件 下所产生的场。由于任意分布的源所产生的场可视为空间许多点源产生的场的叠加， 因此一旦求出g r e e n 函数，理论上就可求出任意分布的源所产生的场( 利用g r e e n 公式， 将原来的一个边值问题转化为计算一个与g r e e n 函数有关的积分) 。g r e e n 函数方法在 近代物理学尤其是在凝聚态物理【2 4 】、电磁场理论口5 。2 7 1 及非线性方程网、积分方程【2 9 】 等问题的求解中均有重要作用。 当我们参阅不同版本的数学物理方法参考书3 0 。3 8 1 时，经常发现不同形式的 g r e e n 函数定义，如 三g l ( ，t o ) = 8 ( r 一，o ) ( 2 1 1 ) l g 2 ( ，r o ) = 一艿( ，- r o ) ( 2 1 2 ) l g 3 ( ，r o ) = - - 4 死8 ( r r o ) ( 2 1 3 ) 等等。那么，这些定义之间是相互矛盾的还是统一的，如果是统一的，其一般形式有 是怎样的呢? 其实，这些不同形式的g r e e n 函数其本质是一致的，下面以点电荷周围的 静电场为例具体说明，此时l 暑a 为拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子。 “：一旦：一8 ( r - r o )( 2 1 4 ) 占0占o 与( 2 1 1 ) 对照，知其表示在点r = 一r o 电量q 大小为氏的负电荷周围的电势，于是 g 。：皂 4 刀苫oi ，一，0 = 一_ _ 三_ ；与( 2 1 2 ) 对照，知其表示在点，= r o 电量9 2 大小为f 。 4 万i ，一，0l 的正电荷周围的电势，于是g 2 = _ 三 一 4 z r 6 0i ，一r ol ：二三一；与( 2 1 3 ) 对照，知其表示 4 z ci ，一，0i 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 在点，= r o 电量口，大小为4 昭。的负电荷周围的电势，于是 g s = 二箕：一占。因此，这些不同形式的g 旭p 刀函数是源点处电荷量大 4 7 r c oi ，一厂oil ，一i 小( 正负) 不同所致，一般情形可记为 l g ( r ，t o ) = 叩8 ( r 一)( 2 1 5 ) 表示在点，= 电量g 大小为c s 。的电荷周围的电势，于是 g = 4 嬲ol ，一厂o4 万i ，一 其中c 取不同的值，就对应着各种参考书中不同的g r e e n 函数定义形式了。 2 2 不同坐标系中的j 函数 ( 2 1 6 ) g r e e n 函数与狄拉克万函数之间存在着密切的联系，因为g r e e n 函数方法要用到 点源( 如点电荷、质点等) 的密度概念，为了表示点源的密度，就必须要引入万函数。所以， 为了讨论不同坐标系中的g r e e n 函数，就必须先研究在不同坐标系下的狄拉克万函数 形式。 在n 维空间直角坐标系中，有 8 ( x l ，x 2 ，x 3 ，x n ) = 8 ( x i ) 万( x 2 ) 8 ( x 。)( 2 2 1 ) 但在曲线坐标系中( 常见的是正交曲线坐标系如极坐标、柱坐标、球坐标等) ，情况不 再这么简单，一般地，考虑长度元为“，o = 1 , 2 ，3 ) 的一个正交曲线坐标系( 其中h j 为 比例系数或度规系数，u ，是曲线坐标) ，则有 万(；一i)：8(u_1-ulo)_8(uz-uzo)8(u了，-一uso) ( 2 2 2 ) ，z i h ，圾 式中，是由坐标原点指向p ( x ，y ，z ) ，r o 是由坐标原点指向p o ( x 。，y o ，z 。) ，如果三维情 况退化为二维时，右边第三项就消失了，但问题的关键是我们不能随意地省略其中一 项( 因为必须要保证万函数的积分为1 ) ，恰当的方法是三个比例系数对一个要省略的 4 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 坐标的积分来代替原来的分母，如考虑与矽无关的球面坐标，则分母变为 r 2s i n 酗l f j = 2 万2s i n o ，如与矽及p 均无关的球面坐标，则分母变为 f d o f 7 r 2 s i n o d f k = 4 万2 ，有关问题的常见情况如下表所示口5 2 6 】： 在三种常见坐标系下的狄拉克万函数 直 万( x ，y ，z )万( x ，力万( x ) 角 8 ( x x o ) j ( j ，一j ，o ) 万( z z o )8 ( x x o ) 万( y - y o ), f i x x o ) 坐 标 柱 8 ( p ，矽，z )a ( p ，矽)万( p ) 面 8 ( p 一风) 万( 一九) 万( z z o )8 ( p p o ) 8 ( z z o )8 ( p p o ) 坐 p2 x p2 矽 标 球 6 ( r ，0 ，)8 ( r ，秒)万( ，) 面 万( ，一r o ) 8 ( o o o ) j ( 矽一九)8 ( r 一) 万( 口一吼)6 ( r r o ) 坐 r 2s i n02 刀2s i n e4 刀2 标 注：关于球面坐标，我们后面经常碰到的万函数是 亟2 兰堑登等i 竺堑必的形式，但要注意这时的分母应为，2 而不是 ，2s i n o ( - 与表中的形式稍有不同) 。 2 3 本征函数法 g r e e n 函数的具体求法很多，但多要结合具体的边界条件( 如电像法对问题的几何 对称性要求很高，积分变换法主要运用于无界问题) ，我们这里主要介绍一下本征函 数法的思路，由于这种方法的应用极其广泛，我们后面涉及到温度场的具体问题将主 要使用此方法求g r e e n 函数。 5 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 第二章c h 朗函数的理论基础及典型算例 设是线性微分算子， 印= - f ( 2 3 1 ) 是一个算子方程，( 其中是已知函数) ，不考虑问题的严格性，假设上有一个正交归 一完备的本征函数集合 纯( x ) ，即 工纯( x ) = 以吼( x ) ( 2 3 2 ) 其中 是相应的本征值，将待求的y 与已知的厂均以 纸o ) ) 为基展开，有 y = 口。纯( x ) ，( 其中口。待定) ( 2 3 3 ) n = l 厂= 尾( x ) ，( 尾= ( 纯，门，可求) ( 2 3 4 ) n = l 将( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 代回算子方程( 2 3 1 ) 得 o o a o 砂= 三口。纯= 口。三= 口。以= 一厂= 一尾纯，即 n = ln = l n = l = 1 ( 以+ 尾) 纯= 0 ， 又是线性无关的，由( 2 3 5 ) 定出：一肇，因此 以 y = 一羔n = l 缸a , n ( x ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 注：上面暂未考虑丸= 0 的情形。显然，若以= 0 ，则只有相应的尾= 0 ，解才存 在，在这种情况下，解不唯一，对于任何解都可以加上丸= 0 相应本征函数的任意倍 数，故我们下面暂且假设，对所有的聆，以0 ) 。则 一喜半卜喜半体c 蝴如一虐华溅 ( 2 3 7 ) 6 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 第二章g r e e n 函数的理论摹础及典型算例 记y = ，g ( x , x 0 ) 厂( x 。) a x 。，则 g ( x , x o ) ：一羔掣 ( 2 3 8 ) n f f i l 7 ( 这就是g r e e n 函数的本征函数展开的表达式，若算子三是自伴( 厄密) 算子。则g r e e n 函数g ( x ，) 还是对称的，即g ( x ，) = g ( x 。，x ) ( 理由见下文) 。 而由 三g ( 础。) 一z f p n ( x ) 伊 ( x o ) ：一妻纯( x 兢( x 。) 三一m ，x 。) ( 2 3 9 ) n = l 7 n = l 我们发现 p ( x ，x 。y ( x o ) a x 。= o o ( x ) 体) 厂( x o ) a x 。：兰纯( x ) ( 纯，厂) ：厂( x ) ( 2 3 1 0 ) n f f i ln f f i l l i t l ( x ，) 具有狄拉克万函数万 一) 性质，于是l g ( x ，x o ) = 一8 ( x x 。) 。这就是 g r e e n 函数与万函数的关系。 下面讨论典型算子：l 兰v 2 + 茁2 的在三维空间中的g r e e n 函数，令 三g ：一8 ( r - t o ) 口 ( 2 3 1 1 ) 在球坐标系中，有 万( ；一西= 堑堂型笋幽 渊2 ) 将万函数的角度部分以正交完备函数集 ( 秒，缈) 圪( o o ，) ) 为基展开，有 i 6 ( c o s o c o s o o ) 8 ( f p 一) = ( 秒，缈) ( 岛，) ( 2 3 1 3 ) 将g 陀阴函数g ( ；li ；缈) 也以 ( 9 ，伊) 圪( 岛，) 为基展开有 g ( ；i 石；国) ：主圭g f m ( r , r o ；c o ) ( 9 ，伊) 圪( 皖，) ( 2 3 1 4 ) 7 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 将( 2 3 1 2 ) 、( 2 3 1 3 ) 、( 2 3 1 4 ) 代入( 2 3 1 1 ) 方程得 吾嘉鼬) 】+ 竽k 删= 一掣( 2 3 1 5 ， 相应的齐次方程正是关于g ，肼的s p h e r i c a lb e s s e l 方程，一般情况下其解为 g 拥( ，r o ；c o ) = a ，肌j t ( 丘r ) + b j m n ，( 肘)( 2 3 1 6 ) ( 注：这个齐次方程的解也可表为碍1 2 ( ) 暑 ( 灯) i n ，( 驴) 的线性组合或 ( 灯) 与 f 2 ( 灯) 的线性组合【3 1 1 ，如本文的第三章研究双层介质球模型的g r e e n 函数时，主要 是用研1 2 ( k r ) 暑 ( 矿) 1 - i n ，( k r ) 的线性组合，而在第四章研究多层介质球模型的g 阳p 刀 函数时，则主要是用以歹，( k r ) 及玎，( k r ) 线性组合，产生这种差异的原因是：从整个问题 的思考到获得最后的结果是有一个过程的，前期关于双层球问题的处理主要是基于相 应的单层球问题解决方法的直接移植，故也使用了其中取基函数的惯例，以研1 2 为基 函数，但此法在后来的数值模拟时，还是要退到以五( 灯) 及珂，( 驴) 为基函数的思路上 来；于是对于多层介质球模型，经过多次试探，我们最后采用直接以j t ( t r r ) 及刀，( 材) 为基 函数表示的思路，因为这种表示形式可能更有利于我们发现规律，事实上也正是如 此。同时，为了揭示解决整个问题的思考过程，我们没有刻意追求两层球问题g r e e n 函数与后面的多层球问题的g r e e n 函数在表现形式上的统一，而保留了其原来的形 式) 。 而在，= r o 处，g ，朋连续，但其导函数不连续，满足 导“， ，o ；酬耐一万dg l m ( r , r o ；c o ) i 两一去( 2 3 1 7 ) 以上这些结果是本文的重要理论基础，将在后面研究问题的过程经常用到。 在本小节的最后，简单地讨论一下g r e e n 函数的对称性问题，这对我们后面要解 决的问题非常重要，我们将经常利用这种对称性以减小计算量( 值得注意，虽然我们 求解的是由有关待定系数为未知量组成的一次方程组，但这些未知量的系数形式还是 8 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 很复杂的，稍有不慎，就可能出错，j l g r e e n 函数中的待定系数处在消元过程的末端， 故少引入两个未知数至少可减少三分之一计算的总工作量) 。但并不是任意时侯的 g r e e n 函数都具有对称性的，是否对称与算子三的厄米性( 自伴性) 有密切的联系， 般地，若算子三对于任意的函数厂和g 有 ( 厂，上苫) = ( l f ，g ) ( 2 3 1 8 ) 其中( z ，f 2 ) 揪c z ，厶) = f 石( x 溉( x ) 出定义的内积，则称算子是对称的，这种 算子称为自伴( 厄密) 算子，其相应的g r e e n 函数才是对称的( 本文后面碰到的情形都是 自伴算子) 3 0 - 3 1 。 2 4g r e e n 函数已知时温度场的求法 由参考文献h 0 1 知，当g r e e n 函数已知时，温度场方程( 其中k 是材料的热传导率， 倪是材料的热扩散率) v z 丁( ；，c o ) 一盯2 ( 缈) r ( ；，c o ) ：一去q ( ；，缈) ( 2 4 1 ) 的解可写为 咖) _ ( 驴( i 郴隔缈) d z o ， - oj 一一 + 口q g 驴lr o ；o j ) v o 丁( 厂，缈) - t ( r ，国) v o g ( rlr o ；t o ) , d s o ( 2 4 2 ) 品 本文讨论的具体问题中所涉及到的体热源q ( ；，国) 暑0 ，则( 2 4 2 ) 可退化为 - 6 o - 一 丁驴，国) = 口4 r o c , ：i 厂o ；彩) v o 丁( ，彩) 一丁p ，c o ) v o o ( ri 厂o ；彩) 】d s o ( 2 4 3 ) 品 如结合相应的边界条件，上式还可进一步简化。 2 5 两个典型公式的更正 在利用g r e e n 函数方法研究球状或柱状介质中的温度场时，经常会碰到b e s s e l 函数、n e u m a n n 函数、s p h e r i c a lb e s s e l 函数、s p h e r i c a ln e u m a n n 函数等有关的恒等 9 基于格林函数方法的非均匀球介质中温度场分布研究 第二章g r e e n 函数的理论基础及典型算例 式，也经常会用到朗斯( w r o n s k i a n ) 公式。但参考文献【3 9 4 0 1 却各有一个公式是错的， 由于这两个参考文献的权威性，读者很容易对有关结果未加验证而直接引用，故在此 提一下，以引起对有关内容感兴趣的读者注意。 【公式1 】 + 。：生旦 一爿，( ，1 )( 2 5 1 ) 其中石三石 ) 表示j 阶的印厅p ，删b e s s e l 函，彳兰导石 ) 。这个表达式出自参考文 献口9 1 ，但正确的应为 ， + i = 二- 力一z ，( ，1 ) 。( 2 5 2 ) 因为有递推关系 矗1 芝型五一心( ，1 )( 2 5 一3 )- ，“。2 ，一j ，一l ，【，2l j【2 3 | ) 及 1 爿2 焘 扎一( 7 + 1 ) + 1 w 1 ) ( 2 5 4 ) 将前式代入后式消去五一。即得 z ：= lj f ，一歹，+ l ，( z 1 ) 或_ ，+ l ：三歹，一歹；，( z 1 ) xx 【公式2 】 矿 研1 2 ( 确) ，歹，( 矾) 】- 搿1 固( 峨) ( 导吼( 耵) 】i ，；龟) 一五( 确) ( 导 ，搿1 力沁肌：临) = 千虿i a r d r 、 耵： ( 2 5 5 ) 其中【彳( x ) ，召( x ) 】= a ( x ) b ( x ) 一b ( x ) a ( x ) 表示二阶的朗斯( w r o n s k i a n ) 公式， 研1 2 ( x ) 兰j t ( x ) + _ i n ，( x ) 分别表示，阶的第一、二类球汉克尔( s p h e r i c a lh a n k e l ) 函数。 这个表达式出自参考文献【4 0 】，我们很容易与朗斯基( 册移瑚舡绷) 公式的定义对照后发 现，此处乃是作者笔误或印刷错误，正确的应为 【碍1 2 ( ) ，力( ) 暑巧1 2 ( 确) ( _ d a r 阱( 灯) 】j ，龟) 一力( 确) ( 导d r 蟛1 2 ( 灯) 】i 。而) = 千寿 、 旺： ( 2 5 6 ) 1 0 基于格林函数方法的非均匀球介质第三章用g r e e n 函数方法研究双层均匀球介质中温度场的分布 第三章用g r e e 玎函数方法研究双层均匀球介质中 温度场的分布 为了用g r e e n 函数方法研究多层均匀球介质中温度场的分布，详细地讨论双层均 匀球介质中温度场的分布情形是十分必要的，我们后面将会看到，多层问题与双层( 乃 至单层) 问题的代入积分公式的步骤以及角度部分的形式是完全相似的，主要差异在 其径向部分，且问题的要害在于求出每一种情形下的g r e e n 函数。因此，后面第四章的 重点放在多层g r e e n 函数的探求上，而相应的温度场的计算则从略处理了。 3 1 双层球模型中的g r e e n 函数 x 图3 1 内径为a 外径为b 的双层球样品。区域i 和i i 中的热导率及热扩散系数分 别为( k l ，口1 ) ，( 后2 ，口2 ) ，入射的激光是一个圆形光斑，它与z 轴成y 角 内径为a 、外径为b 的双层球样品。其中区域i ( 0 ，a ) 和i i ( a ，b ) 中的热 导率及热扩散系数分别为( k t ，) ，( k s ，口：) ，假设在点( ，岛，) a r o 6 有一单位强度 的点热源，在外边界，= b 满足第二类齐次边界条件。 l l 基于格林函数方法的非均匀球介质 第三章用g r e e n 函数方法研究双层均匀球介质中温度场的分布 程 在区域i ，其热物理性能参数为( 毛，口。) ，脉冲响应函数日( ；li ；力) 满足齐次方 ；1w 0 2 r h - - ；国) 】+ 上r 2s i n 8 讣n 口品而雨 + 志鲁日( 7t o ；缈) 一盯? ( 国) 日( ；it o ；c o ) = o ( o r 口) ( 3 1 1 ) 在区域i i ，其热物理性能参数为( 七：，口：) ，g r e e n 函数g ( ；ii ；缈) 满足非齐次方 程 7 1 矿0 2k fi ；国) 】+ 而1 品卜刍g 石；彩) + 丽1 矿0 2g 内石；缈) 一z ( 缈) g ( 7v o ；国) ：一8 ( r - r o ) , ，( e o s0 - 丁c o s a o ) 8 ( - 一# o ) ( 口 为基展开有 x - - x gi ；缈) ：妻圭( ，；国) ( p ，缈) 圪( 岛，仇) g ( lr o 。；彩) ：主壹( r , r o ；c o ) ( p ，伊) 呓( 岛，) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 其中k ，g 加是待定的系数函数，将( 3 1 4 ) 式代入方程( 3 1 1 ) ，我们得到径向函数满足 的方程 1 2 基于格林函数方法的非均匀球介质第三章用g r e e n 函数方法研究双层均匀球介质中温度场的分布 其解为 吾嘉( ，删+ 砰一半h l m ( ) - 0 ，( ，r o ；c o ) = a 肺j ，( k ，) ，( ，口) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 注：一般情况f ( 3 1 6 ) 的解应为( ，t o ；c o ) = a 加j t ( t q r ) + b l m 以，( k l r ) ，其中 五( z ) 暑丢+ ；( z ) 是，阶的球贝塞尔( 印h e r i c a l & 鼬e ，) 函数，门，( z ) 兰丢+ ；( z ) 是， 阶的球诺依谩( 印厅p ，删n e u m a n n ) 函数，但是在这里，l ，( 确，) 必须舍去，因为当，专0 时丹，( 一r ) 将发散) 。 同理，将方程( 3 1 5 ) 代入( 3 1 2 ) ，我们得到径向函数满足 ；嘉鼬) 】+ 卜竽k 删= 一等 n m ， 设方程( 3 1 8 ) 相应的齐次方程的解为 以，群品：尝熬( 。a 归 - r 驯r o ) ， ， ( r ：，) z ( 砭，) 量 ( r ：，) 砌，( k ，) ，在，= 处， g k 【，r o ；国) i r = r ；2g k 【r ，t o ；国) i , - r o - 【3 l l u ) 在方程( 3 1 8 ) 两边同乘以并积分，积分区间为：，= r o 一占到，= + s ，( 最后令占专0 ) 得： 寿( ，舻) 】| ，i 舌一万d ，g f 埘( ，舻) 】i 矿一鬲1 即昙“，0 ；酬，疗一万d “， ，o ；训rr o = 一上口, 2 r 0 2 ( 3 1 1 1 ) 又在r ：a 处有 基于格林函数方法的非均匀球介质第三章用g r e e n 函数方法研究双层均匀球介质中温度场的分布 h ( rlt o ；t o ) l ，：。= g ( rir o ；c o ) l ，；口 o h ( rjr o ；c o ) ，剐= k 2 在，= b 处，假设满足第二类齐次边界条件 0 g ( r 1 ；国) i ，；6 = 0 ，害口 ( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) ( 3 1 1 4 ) 结合前面的假设，解以上的方程( 3 1 1 0 ) 、( 3 1 1 1 ) 、( 3 1 1 2 ) 、( 3 1 1 3 ) 、( 3 1 1 4 ) 口加j t ( t q a ) = 6 f 珊研d ( 誓2 口) + c 加搿2 ( k 2 口) a r m j l ( k l a ) = 及l 6 f 埘搿1 ( 砭口) + 硝2 ( a ) 】 k 蟛n ( x 2 r o ) + c 加碍2 ( x 2 r o ) = d 加群d ( 鬈2 t o ) + p 加硝2 ( ) d i m 研d ( k 2 r o ) + e ，卅碍2 ( 屹) 卜 b t m 研1 y ( x 2 r o ) + c 加巧2 ( 砭，o ) 】= 一与 口2 百 d 加群1 ( 砭6 ) + 嘭2 ( 砭6 ) 】= 0 ( 其中厦。量k 2 k 。) 由( 3 1 1 7 ) 得( 丸一6 f 册) 搿1 ( k 2 r 0 ) 4 ( p ，卅一c 加) 嘭2 ( 砭，0 ) = 0 ，即 ( 锣