（应用数学专业论文）分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用.pdf

出象大学博士_ 学位论文 分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用 季蓉o，1 4 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 穗导老耀：徐骥瑜教授 摘要 “数学是给予万物高深莫测的别名的艺术而分数阶微积分这一美丽的乍听 起来有些神秘的一名称正是这些别名中的一个它同时也是数学理论妁精华。 一 i g o rp o d l u b n y ，1 9 9 9 到目前为止，分数阶微分算子和分数阶积分算子在粘弹性理论中得到了最广泛的 应恩许多文献孛提到应用分数阶微分作为糕弹性材辫的数学模型是俘缀塞然的事情。 值得一提的是，分数阶理论之所以在粘弹性材料建模上得到如此大的发展的主要原因 是分数阶材料在工程领域的广泛应用并且，只要给予适当的假设，几乎所有的分数 酚模型都麓很好豹舞纳材瓣的变形特征，并对解释实际阕题起着糨当大的俸用基于 这些理论和实践的研究，并且考虑到粘弹性材料的四大特征，松弛、蠕变、预调和滞 后，徐明瑜教授和我提供了一种新瞬粘弹性材料特性的数学描述并将其作为本学术论 文的第一大部分内容这些理论可以直接稽导各种材料试验并且率富了现有的结果 这篇博士论文的另一部分阐述的是分数阶微积分在控制理论中的应用目前，受 许多物理现象的窟发，世界莲匿晦的学者 】应焉含有分数阶导数和积分的分数阶本梅 关系和分数阶系统方程在不同领域做出了越来越多的贡献这些新模型比起经典的整 数阶模型更胜一筹。另外，分数阶导数和积分为描述不同事物的记忆性和遗传性提供 了令有力的工具。这是分数阶模型最磺显的特征之一丽对，也是分数阶粘弹性模 型在实际中得到如此成功实践的原因之一尽管如此，e l j 于缺少相应的数学工具，分 数阶动力系统的研究只占据了控割系统理论和疲尾很小的一部分空阕。尽管在分数阶 控制领域也有一些成功的尝试，但总的来说在时域中的讨论几乎被避开了为了填补 这项空白，我们( 我的导师，合作者和我自己) 发表了一系列这方面的学术论文并希望 这些有关基毽理论的文章有助于分数阶徽积分在理论帮应甩方面的发爱首先，我船 导出了分数阶l y a p u n o v 直接方法，它是系统渐进稳定的充分条件同时，我们还提出 了m i t t a g - l e f f l e r 稳定的概念，它是指数稳定的广义形式另外，我们还研究了分数阶 通焉鑫适应稳定理论基予这些理论，我们还做了一系列缒有很好绪栗的试验，但基 于本文的连贯性和可读性，这一部分被省略掉了第三，在对分数阶通用自适应稳定 阕题的研究中，我们墨答了 么时候( 广义) m i t t a g - l e f f l e r 垂数是n u s s b a u m 丞数? ”。 这一理论提供了一类全新的n u s s b a u m 函数通过应用这一类新的函数，我们得到了 山东大学博士学位论文 许多成功的试验和仿真结果最后，在对上述问题的研究中，我们得到了许多灵感和 启示，丰富了我们下一步的研究内容 总之，在未来的时间里将会涌现出更多的分数阶，物理问题我们引用下面的话 来作为本文陈述部分的结束； “所有的系统需要一个含有分数阶导数的方程来描述系统对所有之前发生的 事情都有记忆性用发生过的事情来预测未来是有必要的 这个结论是明显且不可避免的：逝去的事物仍有记忆换句话说，一切自然事物 都是分数阶的 - s w e s t e r l u n d ，1 9 9 1 本学位论文的正文部分共分六章： 在第一章中，我们介绍了r i e m a n n - l i o u v i l l e 和c a p u t o 分数阶算子的基本概念和 性质另外，我们还列出了m i t t a g - l e f f l e r 函数，两参数m i t t a g l e f f l e r ，广义m i t t a g l e f f l e r 函数( 三参数m i t t a g - l e f f l e r 函数) 和四参数m i t t a g - l e f f l e r 函数的基本定义这 些函数是许多分数阶微分方程的基本解此外，我们给出了f o xh 函数的定义和无穷 项级数表示这种函数包含了几乎所有在应用数学和统计学领域被广泛应用的特殊函 数：m i t t a g l e f f l e r 类型函数，广义超越几何函数，广义b e s s e l 函数和m e i j e r sg 函数， 等等在本章的最后，我们对分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中应用的发 展作了精要概括 本章内容是一个分数阶微积分及其应用的基本介绍和精要概括所有的这些定义 和内容都在随后的各个章节中得到了应用，并且，这些定义和特殊函数的性质使本文 更易于读者理解 在第二章中，我们首先证明了整数阶k e l v i n 模型在锯齿波加载下的滞后和预调 随后，我们证明了产生滞后和预调的模型和输入的充分条件我们还讨论了滞后和预 调的单调和极限性质我们证明了滞后回环的宽度单调递减趋于非负值同时我们还 证明了，应用分数阶k e l v i n 模型和准线性理论以上结果仍然成立 我们是第一个给出分数阶粘弹性固体材料滞后和预调的数学描述的科研小组。这 一工作给许多材料学试验提供了理论依据和支持另外，基于各式各样真实的材料试 验，我们可以通过调整模型参数来更好的描述和指导分数阶模型在更大范围内的应用 和实践 在第三章中，我们讨论了粘弹性固体材料模型滞后回环和能量损耗的变化和趋势 我们的结论之一是：( 3 4 1 5 ) 式的正负是判断第( 礼+ 1 ) 周期和第佗个周期能量损耗变 化的充要条件我们还证明了b o l t z m a n n 叠加原理对于周期输入的适用性应用分数 阶k e l v i n 模型和准线性理论，本章中上述结论仍成立 在真实材料的运动中，能量损耗几乎是不可避免的现象尤其是在周期加载下能 量损耗的趋势和极限性质是一项非常有意义的工作，这也是本章的主要内容基于整 山东大学博士学位论文 数阶模型和分数阶模型，叠加原理和拟线性原理，这一问题得到了较好的回答并希望 其结论有助于指导实际材料试验 在第四章中，我们提出了m i t t a g l e f f l e r 稳定的定义和分数阶里亚普诺夫直接方 法我们还证明了分数阶比较原理另外，应用c a p u t o 分数阶微积分算子，我们扩展 了r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶系统的应用为了支持这些理论，我们还提供了个实例 m i t t a g l e f f l e r 稳定这一新定义是经典的指数衰减的扩展它还可以在更广泛的意 义下来描述整数阶和分数阶系统的稳定性理论 在第五章中，应用分数阶通用自适应稳定理论，我们研究了三种分数阶标量系统 的稳定性问题这三种系统是：( i ) 分数阶动力，整数阶控制；( i i ) 分数阶动力，分数阶 控制；( u i ) 含有分数阶粘弹性材料和分数阶电磁力学模型的通用自适应稳定问题文 章证明了这三种情况下控制量的有界性另外，我们还首次证明了对于m i t t a g l e f f l e r 函数五0 ( 一入垆) 当o t ( 2 ，3 和入 0 时是n u s s b a u m 函数几个仿真结果验证了以上 的理论 通用自适应稳定理论看似一件神奇的事情，因为，它可以在不知道系统参数的情 况下保证系统的稳定性这一理论在整数阶系统中已经得到了完善的发展但是，它 在分数阶系统中的应用还是一个新课题另外，我们已经证明了应用当m i t t a g l e f f l e r 函数是n u s s b a u m 函数时这一理论在理论和实验中都是非常有意义的工作 在第六章中，我们建立了广义m i t t a g - l e t t t e r 函数和n u s s b a u m 函数之间的关系 另外，当广义m i t t a g - l e f f l e r 函数是n u s s b a u m 函数时，这些广义m i t t a g l e f f l e r 函数的 导数仍然是n u s s b a u m 函数其中的m a t l a b 图像应用了y a n g q u a nc h e n 老师编辑的m 文件最后，我们讨论了h e s s e n b e r g 矩阵的行列式问题 这一工作意义非常，因为，当我们把“( 广义) m i t t a g - l e f f l e r 函数是n u s s b a u m 函 数”应用到直流永磁电动机的通用自适应稳定实验中时，得到了非常好的结论出于 连贯性的考虑，这一部分并没有出现在本文中 关键词：分数阶微积分；粘弹性材料；稳定性；通用自适应稳定；n u s s b a u m 函数 由东大学博士学位论文 i i i i ii i i i ii i ii i f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n s t o s c o e l a s t 薹c l 笺t e r i a la n dc o n t r o l t h e o r y y a hk ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) s u p e r v i s o r ：p r o f m i n g y ux u a b s t r a c t m a t h e m a t i c s 豇t h ea r to f g i v i n gt h i n g sm i s l e a d i n gn a m e s 强eb e a u t i f u l - a n da tf i r s t 如出m y s t e r i o u s n & r 1 e t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s i s j u s to n eo f t h et h o s em i s n o m e r sw h i c ha l e t h ee s s c l l c eo f m a t h e m a t i c s k i g o rp o d l u b n y , 19 9 9 。 t od a t e ，t h em o s te x t e n s i v ea p p l i e a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a la n di n t e g r a lo p e r a t o r s i si t sa p p l i c a t i o n st ot h ev i s c o e l a s t i ct h e o r y i ti sm e n t i o n e di nm a n yl i t e r a t u r e st h a tt h eu s eo f f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sf o rt h em a t h e m a t i c a lm o d e l i n go f v i s c o e l a s t i cm a t e r i a l si sq u i t en a t u r a l i ts h o u l db em e n t i o n e dt h a tt h em a i nr e a s o n sf o rt h et h e o r e t i c a ld e v e l o p m e n ta r em a i n l yt h e w i d eu s eo ff r a c t i o n a lm a t e r i a l si nv a r i o u sf i e l d so f e n g i n e e r i n g a l m o s ta l lo ft h ef r a c t i o n a l a p p r o a c h e st og e n e r a l i z a t i o n so f t h el a w so f d e f o r m a t i o n h a v eb e e nf o u n du s e f u lf o rs o l v i n g p r a c t i c a lp r o b l e m so fv i s c o e l a s t i c i t y , i ft h er e s u l t sa r ep r o p e r l yi n t e r p r e t e d 1 】b a s e do n t h e s et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lr e s e a r c h e sa n dm o t i v a t e db yt h ef o u rp r o p e r t i e so f v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s ，r e l a x a t i o n ，c r e e p ，p r e c o n d i t i o na n dh y s t e r e s i s ，p r o f m i n g y ux ua n did e v e l o p e d s o m en e wk i n d so fm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o n so fv i s c o e l a s t i cp h e n o m e n a , w h i c hc a l lg u i d e d i r e c t l yt h em a t e r i a le x p e r i m e n t sa n de n r i c ht h ec u r r e n tr e s u l t s t h eo t h e rp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o ni st h ea p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a lc a l c u l u st ot h ec o n t r o l t h e o r y a tp r e s e n t ，m o t i v a t e db ys o m ef r a c t i o n a lp h y s i c a lp h e n o m e n a , ag r o w i n gn u m b e ro f w o r k sb ym a n ya u t h o r sf r o mv a r i o u sf i e l d sd e a lw i t hf r a c t i o n a lc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p sa n d f r a c t i o n a ls y s t e m sw h i c hm e a n se q u a t i o n si n v o l v i n gd e r i v a t i v e sa n di n t e g r a l so fn o n - i n t e g e r o r d e r t h e s en e wm o d e l sa r em o r ea d e q u a t et h a nt h ep r e v i o u s l yu s e di n t e g e r - o r d e rm o d e l s 。 m o r e o v e r , f r a c t i o n a l o r d e rd e r i v a t i v e sa n di n t e g r a l sp r o v i d eap o w e r f u li n s t r u m e n tf o rt h e d e s c r i p t i o no fm e m o r ya n dh e r e d i t a r yp r o p e r t i e so fd i f f e r e n ts u b s t a n c e s ，t h i si st h em o s t s i g n i f i c a n ta d v a n t a g eo f t h ef r a c t i o n a l o r d e rm o d e l sa n dw h y f r a c t i o n a lv i s c o e l a s t i cm o d e l s g e ts om a n ys u c c e s s f u la p p l i c a t i o n si nr e a l i t y h o w e v e r , b e c a u s eo f t h ea b s e n c eo f a p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，f r a c t i o n a l - o r d e rd y n a m i c a ls y s t e m sw e r es t u d i e do n l ym a r g i n a l l y i nt h et h e o r ya n dp r a c t i c eo fc o n t r o ls y s t e m s t h e r ed oh a v es o m es u c c e s s f u la t t e m p t s ，b u t x l l 山东大学博士学位论文 g e n e r a l l yt h es t u d yi nt h et i m ed o m a i nh a sb e e na l m o s ta v o i d e d 1 】f o rf i l l i n gt h i sg a p ， w e ( m ya d v i s o r s ，c o o p e r a t o r sa n di ) p u b l i s h e das e r i e so ff u n d a m e n t a lt h e o r e t i c a lp a p e r s w h i c hi m p r o v e dd i r e c t l ya n dp o t e n t i a l l yt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s f i r s t ，w ed e r i v et h ef r a c t i o n a ll y a p u n o vd i r e c tm e t h o d ，w h i c hi sas u f i i c i e n tc o n d i t i o no f a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs y s t e m s t h ed e f i n i t i o no fm i t t a g - l e f f e rs t a b i l i t yi sp r o p o s e dt h a t e x t e n d st h ec l a s s i ce x p o n e n t i a ls t a b i l i t y s e c o n d ，t h et h e o r yo ff r a c d o n a lu n i v e r s a la d a p t i v es t a b i l i z a t i o n ( u a s ) i ss t u d i e d f r a c t i o n a lv i s c o e l a s t i ct h e o r yi sa d d e dt ot h ef r a c t i o n a l u a s a c c o m p a n yw i t ht h et h e o r yo ff r a c t i o n a lu a s an u m b e ro fe x p e r i m e n t a lr e s u l t sw e d i di n d i c a t e 也ea d v a n t a g e so ff r a c t i o n a lu a s ，w h i c ha r eo m i t t e di nt h i st h e s i sf o rt h ec o n t i n u i t ya n dr e a d a b i l i t y t h i r d , d u r i n go u rr e s e a r c ho nf r a c t i o n a lu a s ，w ea n s w e r e d “w h e n ( g e n e r a l i z e d ) m i t t a g - l e f l l e rf u n c t i o ni sn u s s b a u mf u n c t i o n ? ，w h i c hp r o v i d e san e wt y p e o fn u s s b a u mf u n c t i o n b yu s i n gt h e s en e wn u s s b a u mf u n c t i o n s ，w eo b t a i n e dm a n yg o o d e x p e r i m e n t a la n ds i m u l a t i o nr e s u l t s l a s t l y , t h ea b o v er e s e a r c h e sg i v eu sl o t so fs p a r k sa n d h i n t sf o ro u i f u t u r ew o r k s f i n a l l y , i ti sp o s s i b l et h a ti nt h ef u t u r et h e r ew i l la p p e a rm o r e “f r a c t i o n a lo r d e r p h y s i c a l t h e o r i e s w ew o u l dl i k et oe n dt h es t a t e m e n tp a r to ft h i st h e s i sw i t ht h ef o l l o w i n gq u o t a t i o n ： “刎s y s t e m sn e e daf r a c f f o n a lt i m ed e r i v a t i v ei nt h ee q 硼t o n st h a td e s c r i b et h e m s y s t e m sh a v em e m o r y0 fa l le a r l i e re v e n t s i ti sn e c e s s a r yt oi n c l u d et h i sr e c o r do fe a r l i e r e v e n t st op r e d i c tt h ef u t u r e t h ec o n e l u s i o ni so b v i o u sa n du n a v o i 出b l e ： d e a dm a t t e r h a sm e m o r y e x p r e s s e dd i f - f i e f e l l t l 弘w em a ys a yt h a tn a t u r ew o r k sw i t hf i - a c t i o n a lt i m ed e r i v a t i v e s ls w e s t e r l u n d ， 1 9 9 1 t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cd e f t n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fr i e m a n n l i o u v i l l e a n dc a p u t of r a c t i o n a lo p e r a t o r s m o r e o v e r , w ea l s op r e s e n tt h em i t t a g - l e f f l e rf u n c t i o n ， m i t t a g - l e f f l e rf u n c t i o ni nt w op a r a m e t e r s ，g e n e r a l i z e dm i t t a g - l e f f t e rf u n c t i o na n dm i t t a g - l e f f l e rf u n c t i o ni nf o u rp a r a m e t e r s ，w h i c ha r et h ee l e m e n t a r ys o l u t i o n so fm a n yf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r , w eg i v et h ed e f i n i t i o na n di n f i n i t es u m m a t i o n so ft h ef o xh f u n c t i o n ，w h i c hi n c l u d e sn e a r l ya l lt h es p e c i a lf u n c t i o n so c c u r r i n gi n a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c sa si t ss p e c i a l c a s e s ，s u c ha sm i t t a g - l e f f l e rt y p ef u n c t i o n , g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m a t r i cf u n c t i o n , g e n e r a a z e db e s s e lf u n c t i o n ，m e i j e r sg f u n c t i o na n d s o o n t h ec o n t e n t so ft h i sp a r tc a nb eac o n c i s ei n t r o d u c t i o na n dc o l l e c t i o nr e l a t e dt ot h e ) 【1 1 1 豳东大学博壬擎位论文 b a s i ck n o w l e d g eo ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n s m o r e o v e r , a l lt h ed e f i n i t i o n s a n dp r o p e r t i e so ft h i ss e c t i o na r eu s e di nt h ef o l l o w i n gp a r t s ，w h i c hg i v et h er e a d e r sab e t t e r u n d e r s t a n d i n go f t h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ts t u d yt h eh y s t e r e s i sa n dp r e c o n d i t i o no fk e l v i nm o d e l su n d e r t h ec o n d i t i o no fl o a d i n ga n du n l o a d i n go fs a w t o o t hw a v e t h e nw ep r o v eo u tas e r i e so f s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f m o d e l sa n di n p u t t e ds t r a i n sf o rp r o d u c i n gh y s t e r e s i sa n d p r e c o n d i t i o n i nt h i sp a p e r w ed i s c u s st h em o n o t o n i ca n dl i m i t p r o p e r t yo f h y s t e r e s i sa n dp r e c o n d i t i o n 。w 毫 p r o v et l l a t 也eh y s t e r e s i sl o o p sw i d t hd e c r e a s e sw i t hi n c r e a s eo f p e r i o da n di sg r e a t e ro re q u a l t oz e r o a tt h es a m et i m ew ep r o v et h a tf o r 也ef r a c t i o n a l - o r d e rk e l v i nm o d e la n du n d e rt h e c o n d i t i o no f q u a s i - l i n e a lt h e o r yt h e 曲o v ec o n c l u s i o n sa l s oh o l d i nt h i sp a r t , w ea l et h ef i r s tg r o u pw h om a t h e m a t i c a l l yd e s c r i b et h eh y s t e r e s i sa n dp r e c o n d i t i o no ff r a c t i o n a lo r d e rv i s c o e l a s t i cs o l i dm o d e l s 。强sw o r kg i v e su sat h e o r e t i c a l g u i d a n c e t ot h em a t e r i a le x p e r i m e n t s m o r e o v e r , b a s e do nt h ee x p e r i m e n t a ld a t ao fd i f f e r e n t m a t e r i a l s ，w ec a l la l s oa d j u s to u rm o 幽lp a r a m e t e r s ，w h i c he x t e n d st h ea p p l i c a f i o n so fo u r r e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ep r o c e s so fc h a n g i n ga n dt h et e n d e n c yo f h y s t e r e s i sl o o p a n de n e r g yd i s s i p a t i o no fv i s c o e l a s t i cs o l i dm o d e l s o n eo fo u rc o n c l u s i o n si st h a tu n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h es i g no f ( 3 4 15 ) i sas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r j u d g i n gt h e s i g no f t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nd i s s i p a t e de n e r g yi nt h e ( 纷+ 1 ) t hp e r i o da n dn t hp e r i o d 。w e h a v ep r o v e dt h a tt h eb o l t z m a n ns u p e r p o s i t i o np r i n c i p l ea l s oh o l d sf o ri n p u t t e ds t r a i nb e i n g c o n s t a n to ns o m ed o m a i n s w ep r o v et h a tf o rt h ef r a c t i o n a l o r d e rk e l v i nm o d e la n du n d e r t h ec o n d i t i o no f q u a s i - l i n e a rt h e o r yt h ea b o v ec o n c l u s i o n sa l s ob 过 e n e r g yd i s s i p a t i o ni sa l lu n a v o i d a b l ep h e n o m e n o nd u r i n gt h em o t i o no ft h er e a lm a t e r i a l s e s p e c i a l l yu n d e rt h ep e r i o d i cl o a d ，t h et e n d e n c ya n dl i m i tp r o p e r t i e so ft h ee n e r g y d i s s i p a t i o nb e c o m e s am e a n i n g f u lw o r k , w h i c hi sa l s ot h em a i nc o n t e n to f t h i ss e c t i o n 。b a s e d o nb o t ho ft h ei n t e g e ro r d e ra n df r a c t i o n a lo r d e rm a t e r i a lm o d e l s ，s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l ea n d q u a s i - l i n e a rt h e o r y , t h i sp r o b l e mi sw e l ls o l v e di nt h i ss e c t i o n , w h i c hi si nh o p eo fg u i d i n g t h er e a le x p e r i m e n t s 。 i nc h a p t e r4 ，w ep r o p o s et h ed e f i n i t i o no f m i t t a g - l e f t t e rs t a b i l i t ya n di n t r o d u c et h e f r a c t i o n a ll y a p u n o vd i r e c tm e t h o d 。t h e nw ep r o p o s et h ef r a c t i o n a lc o m p a r i s o np r i n c i p l e t h i r d ，w ee x t e n dt h ea p p l i c a t i o no fr i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a ls y s t e m sb yu s i n gc a p u t o f r a c t i o n a ls y s t e m s f i n a l l y , a l li l l u s t r a t i v ee x a m p l ei sp r o v i d e da sa p r o o f o f c o n c e p t t h en e wd e f i n i t i o n ，m i t t a g - l e f f l e rs t a b i l i t y , i sa l le x t e n s i o no ft h ec l a s s i c a le x p o n e n t i a l x l v 出寒大学博士学佼论文 d e e a y i tc a l la l s od e s c r i b et h es t a b i l i t yo f b o t hi n t e g e ro r d e ra n df r a c t i o n a lo r d e rs y s t e m si n am o r eg e n e r a l i z e dw a y i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h r e ef r a c t i o n a ls c a l a rs y s t e m sb yu s - i n gt h em e t h o d o f u n i v e r s a la d a p t i v es t a b i l i z a t i o n ：国f r a c t i o n a ld y n a m i c sw i t hi n t e g e r - o r d e r c o n t r o ls t r a t e g y , ( h ) f r a c t i o n a ld y n a m i c sw i t hf r a c t i o n a lc o n t r o ls t r a t e g y , a n d ( h i ) a p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a lv i s c o e l a s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i ct h e o r i e si nu n i v e r s a la d a p t i v es t a b i l i z a - 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