（信号与信息处理专业论文）基于dsp的小波滤波算法研究.pdf

硕士学位论文 摘要 m i l l l l 0 删1 1 1 | i 1 1 | i i l y 2 0 8 3 4 4 8 在数字信号处理中，如何从噪声中有效地检测到有用信号一直以来都是该 领域所关注的内容。由于小波变换具有良好的时频局部化特性，能够对各种时 变信号进行有效地分解，从而较好地将信号与噪声分离，进而获得满意的去噪 效果。文中在对几种传统的小波滤波方法分析的基础上，提出了一种改进算法。 d s p 是数字信号处理的有力工具，t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 芯片是t i 公司生产的 1 6 位定点d s p ，它具有良好的数据运算能力。c c s 作为d s p 开发的集成开发 环境，集代码生成工具和代码调试工具为一体，支持c 语言和汇编语言的编译， 能完成d s p 系统开发的各个环节。文中简要介绍了t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2 芯片独特 的硬件结构特点、特有的汇编指令系统和集成软件开发环境( c c s 2 0 ) ，并介绍 了改进的去噪算法在c c s 2 o 中的实现过程。 本文详细地研究了几种典型的小波滤波方法。主要工作如下： 1 首先介绍了小波变换的基本理论和基于传统小波分析的去噪算法，如模 极大值重构滤波算法、空域相关滤波算法、阈值滤波算法。分析了它们的原理 及算法结构。 2 通过大量的仿真，对上述方法进行了详细的比较分析，并指出了各种方 法存在的问题。 3 在小波阈值去噪原理的基础上，本文结合模极大值跟踪算法和小波域影 响锥的范围，提出了改进算法。仿真结果表明新算法具有较好的去噪性能。 4 利用d s p 专用汇编语言编写改进算法。在c c s 2 o 中，运行本文改进算 法，并将运算结果与m a t l a b 的结果相比较。结果表明，它们具有同样的去 噪能力，为进一步的应用打下了基础。 关键词；小波变换多尺度分析滤波数字信号处理 a b s t r a c t a b s t r a c t h 1m ef i e l do fd i g i t a ls i 弘a lp r o c e s s i n g ，t oe s t i m a t et l l eo r i g i n a ls i 鲈a lf - 0 m n o i s eh 弱a l w a y sb e e n 锄i i l l p o n 锄tp a n b e c a u s eo fi t sf i n et h e - 讹q u e n c y 1 0 c a l i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i c ，w a v e l e t 讹l s f 0 姗c a ne a e c t i v e l yd i s c r i m i n a t es i g n a l 舶mn o i s e 觚dh 雒g o o dp e 怕m 锄c e b a s e do nt l l e 锄a l y s i so fm et r a d i t i o n a l d e - n o i s i n ga l g o r i t h i l l s ，锄i m p r o v e dd e - n o i s i n ga l g o r i t l u i li sp u tf 1 0 n v a r d d s pi sat o o lo fd a t ap r o c e s s i n g t m s 3 2 0 v c 5 4 0 2i sal6 - b i tf i x e d p o i n td s p d e s i 印e db yt ic o ，锄di th 笛p o w e 向lc a l c u l a t i o nc a p a b i l i 够c c sh 弱n l e 舢1 c t i o n o fc r e a t i n ga i l dd e b u g g i n gc o d e a s s e m b l el a n g u a g e 肌dcl 锄g i l a g ec 姐b e r e c o 印i z e di nc c s w i mt h eh e l po fc c s ，t l l ew o r ko fd s pd e v e l o p m 锄tc 锄b e c o m p l i s h e dl i g h t l y w es e l e c tt l l eh i g hs p e e dd s pt m s 3 2 0 v c 5 4 0 2c h i p 鹤t h e k e yp a r to ff 瓠tw a v e l e ta l g o r i t l l r no p e r a t i o n n i sp 印e ri i l 仃o d u c e st 1 1 e h a r d w a r e c o n s 仃u c t 打a i t s 锄dm eu n i q u e 弱s e m b l yi i l s 仃1 l c t i o ns y s t e m 锄dt l l e 硫e 伊呲e d d e v e l o p i n ge n v 衲m e n tc c s 2 0b r i e f l y 觚dd i s c u s s e s t l l e p r o c e s s i n go f 廿l e r e a l i z a t i o no fs t a t i o n a 巧w a v e l e tt r a n s f o m h lm i sp 印e r ，t l l ed e n o i s i n ga l g 耐t t u i l sb 弱e do nw a v e l e t 仃锄s f 0 肌a r es t u d i e d i i ld e t a i l t h em a i l lw o r k sa r e 弱f o l l o w s ： 1 t h ep a p e ri n 仃0 d u c e st h et l l e o 巧o fw a v e l e tt r 肌s f 0 肌锄dt i l ep r i n c i p l eo f d e - n o i s i n ga l g o r i t h m s ， s u c h嬲 m o d u l u sm a ) ( i 锄a他s c o n s t n l c t i o n a 1 9 0 r i t l u i l ， s p a t i a l i ys e l e c t i v ef i l 仃a t i o n 觚dt h r e s h o l df i l t e r ，锄d 锄a l y z e st i l o s ep r 访c i p l e s 锄d a l g o r i s 仉l c t u r e s 2 1 n h ep a p e r 如a l y z e s 锄dc o m p a r e sa b o v em e t l l o d s 肌ds t u d yt l l e i ra p p l i c a b l e s c 叩e s 锄dp o i n t0 u tt h e i rs h o n c o m i n g s 3 ：b 懿e do nt l l ep r o p e n i e s0 fm a ) 【i m ap r o p a g a t i o n 锄dt 1 1 ec o n e0 fi n f l u e n c eo f s i n g u l a r i t i e s ，孤h p r 0 v e da l g o r i t 胁i sp u tf b 刑砌i l lt l l i s t i l e s i s 1 1 1 er e s u l to f s i m u l a t i o ns h o w st 1 1 en e wa l g o r i t i l mh 鼬b e t t e rd e - n o i s i n gp e 响如1 锄c e 4 t h ep a p e ru s e ss p e c i a la s s e m b l el a n g u a g eo fd s pt op r o g r a mt h ei r n p r o v e d h 硕士学位论文 a i g o r i m m ，锄do p e r a t e s t h e a l g o r i t i l li n t e 伊a t e dd e v e l o p m e n t e n v i r o n m e n t c c s 2 0 b yc o m p a r i i l gw i t l lm a t l a b ，i t sk n o w nt l l et w or e s u l t sa r es i m i l a ln p a v e st h ew a y f o rf i l n h e ra 1 1 a l y s i si np r a c t i c e k e y w o r d s ：毗e l e tn 锄s f 0 m ；m u l t i s c a l ea n a l y s i s ；f i l t e r i n g ；d i g i t a ls 咖a l p r o c e s s 试g i 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 随着数字电路技术和大规模集成电路的发展，人们对数字信号处理的技术 越来越感兴趣，相应的数字信号处理系统以其可靠性、体积小以及灵活性强等 优点而备受关注。 数字信号处理是一个新的学科领域，它是把数字或符号表示的序列，通过 计算机或专用处理设备，用数字的方式去处理这些序列，以达到符合人们要求 的信号形式。它主要存在两个方面的研究：一方面是为了分离混合在一起的信 号，并对它们进行分析和识别；另一方面是滤处混杂在有用信号的噪声和干扰， 削弱采集信号中的多余成份，这就是数字滤波【l 】。 自从18 2 2 年傅立叶发表“热传导解析理论 以来，傅立叶变换一直是信号 处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅立叶变换只 是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的，而在时域无任何 定位性，也即傅立叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而 不能提供任何局部时间段上的频率信息。传统的以傅立叶分析为基础的滤波方 法是假定信号和噪声处在不同的频带，信号通过相应带宽的滤波器可以得到我 们想要的信息。但实际上噪声的频带往往分布在整个频率轴上，不可能简单使 用频率划分来消除。传统滤波器在某些方面有自己的特点，但对于现代信号处 理中的去噪问题，其理论和方法都还无法解决【2 翔。 为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名变换 g a b o r 变换，之后又进一步发展为短时傅立叶变换( s h o r tt i i n ef o u r i e r t r 觚s f 0 肌) 。目前，s t f t 已在许多领域获得了广泛的应用。但由于s t f t 的定 义决定了其窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分 析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间 较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时 间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同s t f t 的固定时窗 的特性是矛盾的。此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节 第l 幸绪论 约计算时间及存储量，但g a b o r 基无论怎么离散，都不能构成一组正交基，因 而给数值计算带来了不便【3 】。 小波变换不仅继承和发展了s t f t 的局部化的思想，而且克服了窗口大小 不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点【3 】。 小波方法的提出，最早应属1 9 1 0 年h a 玎提出的规范正交基。1 9 3 8 年， l i t t l e w 0 0 d p a l e y 对傅立叶级数建立了l p 理论，即按二进制频率分组；1 9 6 2 年到1 9 7 2 年十年中，c a l d e r o n 、z y g m 啪d 、s t e m 和w e i s s 等人将l p 理论推 广到高维，并建立了奇异积分算子理论。1 9 8 1 年s 仃0 m e r b e 唱对h a r r 系进行了 改造，证明了小波函数的存在性。小波概念的真正出现应算于1 9 8 4 年，j m o r l e t 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开。1 9 8 7 年， m a l l a t 将计算机视觉领域的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率 分析概念，统一了在此前所有具体正交小波基的构造，并且提出相应的分解与 重构快速算法。1 9 9 8 年，i d 踟b e c i e s 在美国主办的小波专题研讨会上进行了1 0 次讲演，将小波分析的理论发展与实际应用推向了一个高潮。1 9 8 9 年m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出了多分辨率 分析的概念，用多分辨率分析来定义小波，给出了构造正交小波基的一般方法 和快速小波算法一m a l l a t 算法。它使许多以前分散在各应用领域里研究的小 波成果有可能统一在同一个理论框架下。k i n g s b u 巧等在1 9 9 9 年对复数小波进 行研究并在图像去噪等方面获得成功。同时，为了克服经典小波分析二维或更 高维奇异性达不到最优的缺陷。d o n o h o 等人在同年提出了脊波与曲波理论。目 前基于提升格式的小波、脊波和曲波也已经成功应用于信息处理的各个领域【3 】。 1 2 选题的意义及论文的工作安排 以某石化企业的丁二烯抽提塔装置为例，在实际工业生产中，装置内部压 强过大和过小都会影响到产品的质量，所以需要对其进行精确的控制。但由于 传感器采集到的数据在现场环境中受到噪声的影响很大，经常出现信号完全被 淹没在噪声中的情况，这就给有效控制装置内的压强带来了很大的困难，因此 需要一些好的滤波算法来实现有效的去噪处理。小波变换在处理非平稳信号时 不仅可以获得高的信噪比，而且对信号突变部分可以保持良好的分辨性，在理 2 硕士擘位论文 论上，小波分析工具为我们解决此类问题提供了很大的帮助。由于小波的分解、 重构过程比较复杂，因此其算法的实现适合在d s p 的平台上开发和应用。 本文的主要内容如下： 第1 章简要地介绍了小波的概念，回顾了小波的发展简史。 第2 章中主要讨论连续小波变换的定义，分析了小波函数的性质与小波变 换具有良好的时频局部化的原因；在连续小波变换的基础上引入了离散二进小 波变换，给出了一维小波变换的算法公式；介绍了多分辨分析和m a l l a t 算法， 随后给出了m a l l a t 算法的一维小波变换实现的公式。 第3 章分析了信号和噪声在多尺度空间上的差别；研究了三种基于小波变 换的滤波方法，分别叙述了这些方法的原理、实现过程以及仿真结果，然后对 这些滤波方法的优劣进行了分析比较。 第4 章在模极大值重构滤波算法和阈值滤波方法基础上提出了小波去噪算 法的改进算法，同时给出了该算法的仿真结果和衡量算法优劣的指标。 第5 章给出了改进算法在d s p 上的实现方法，包括算法设计和仿真结果。 算法系统采用汇编语言编写，并对某石化企业的工业现场数据进行了去噪处理， 然后与m a t l a b 中的仿真结果进行了比较。 第2 幸小波的基本理论 第2 章小波的基本理论 小波分析属于时频分析的一种，它是傅立叶分析的发展，但又优于傅立叶 分析，尤其在突变信号检测和处理领域具有很重要的地位和作用。小波变换具 有良好的局部时频特性【2 1 ，它在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，因 此小波分析有着更广阔的应用空间。 2 1 连续小波变换及其性质 2 1 1 连续小波变换及特点【4 ，5 ，6 ，7 】 给定一个基本函数，令 y 口，6 ( f ) ：l 石y ( 生兰) ( 2 1 ) 口 式中，口，6 均为常数，且口 0 。给定平方可积的信号x ( f ) ，即x ( f ) r ( 尺) ，则x o ) 的小波变换定义为 暇( 口，6 ) = 士卜( f 妙( 譬) 出 ( 2 2 ) 式中，口，6 ，f 均是连续变量。时移6 的作用确定对x ( f ) 分析的时间位置，尺度因 子口对小波y ( f ) 进行收缩。当口越大，则y ( f 口) 的时域支撑范围变得越大，对 应分析信号的低频部分，这时频域分辨率好而时域分辨率差；当口越小，则 缈( f 口) 的时域支撑范围变得越小，对应分析信号的高频部分，这时时域分辨率 好而频域分辨率差。这种特性正好满足对信号分析时在不同频率范围需要不同 分辨率的要求。 令z ( f ) 的傅立叶变换为x ( q ) ，y ( f ) 的傅立叶变换为甲( q ) ，由傅立叶变换 的性质， f ，口6 ( f ) 的傅立叶变换为 甲口6 ( q ) = 以两( 疵) p 一脚 ( 2 3 ) 则式( 2 2 ) 可表示为 4 硕士学位论文 暇“垆壶以q 蹦)( 2 4 ) = 尝，x ( q ) 甲( 锄) p 埘拉 比较式( 2 2 ) 和式( 2 4 ) 可以看到，如果y 口6 ( f ) 在时域是有限支撑，那么呢( 口，6 ) 在 时域也是有限支撑，从而实现了对时域定位的功能。同样，若甲础( q ) 具有带通 的性质，即围绕中心频率是有限支撑，那么( x ( q ) ，l 6 ( q ) ) 也将反映x ( q ) 在中 心频率处的局部性质，从而实现了频率定位的功能。设y ( f ) 的时间中心为f 。， 时宽为，甲( q ) 的中心频率为q o ，带宽是q ，那么少( f 口) 的时间中心为口气， 时宽为口，y ( f 口) 的频谱押( 疵) 的中心频率为q o 口，带宽是o 口。这样 y ( f 口) 的时宽一带宽积为，q ，可见小波变换的时频关系受到不定原理的制 约，同时也揭示了小波变换的恒q 性质。定义 q = q q o ( 2 5 ) 为母小波的品质因数，对y ( f 口) ，其品质因数依旧保持不变。 q o ( 硼 2 图2 1 缈( 口q ) 随口变换的说明【7 】 f i g u 陀2 - ly ( 口q ) v a d rw 浊口 d 2 q 。 由公式( 2 1 ) 和图2 - l 可以看出，当口变小时，对x ( f ) 的时域观测范围减小， 但对x ( q ) 在频率的观察范围变大，且观察的中心频率向高频处移动。当口变大 时，对x ( f ) 的时域观测范围增大，但对x ( q ) 在频率的观察范围减小，且观察的 中心频率向低频处移动。 由以上关系可得到在不同尺度下运用小波变换所分析的时宽、带宽、时间 5 第2 章小波的基本理论 中心和频率中心之间的关系，如图2 2 所示。 ( 口= 1 ) ( 口= 2 ) q 。 2 2 q o 一1 2 a n q o 10q2 2 r 0 f of 譬 硕士学位论文 为了使信号重构的实现在数值上稳定，除了完全重构条件外，还要求小波 y ( f ) 的傅立叶变换满足下面的稳定性条件： 彳i 甲( 2 7 q ) 1 2 曰 ，_ 式中彳，b 满足关系 0 彳b 越空间相 互包含，不具有正交性，因此他们的基在不同尺度间不具有正交性，所以 办。( f ) 膨如z 不能作为r ( 尺) 空间的正交基。为此，我们定义尺度空间 _ 膨的 补空间如下。 设既为吃在吃一。的补空间 既一l = 圪。眠，既上吃 ( 2 2 3 ) 显然，当棚刀和所，l z ，可知 r ( 尺) 2 是 ( 2 2 4 ) 设 扣_ ，z ) 为空间的一组正交基，并且满足容许条件，则它的伸缩平移 集合 y i = 2 一，佗y ( 2 一f 一七) ) 必然构成r ( 尺) 空间的一组正交基。尺度函数的定 义类似，称y 为小波函数，为尺度的小波空间，也称细节空间。 2 3 2 二尺度差分方程【3 刀 由上节分析可知，办，。( f ) 是中的正交归一基，少t ( f ) 是中的正交归一 基，并且匕上，巧一= _ o 。这一关系表明，在相邻尺度下的尺度函数 和尺度函数之间、尺度函数和小波函数之间必然存在着一定的联系。 由于办o ( f ) = 2 一7 2 矽( 2 7 f ) 匕，而_ 包含在巧一l 中，这样，把办，o ( f ) 设想是 匕一。中的一个元素，因此它当然可以表示为巧一。中正交基的线性组合，即 = ( 七￥川，七( f ) ( 2 2 5 ) 七一 式中( 七) 是加权系数，将上式展开，有 1 0 硕士学位论文 即 2 叫2 ( 2 7 f ) = 2 十川坨( 七m 2 十川卜七】 ( 2 2 6 ) 矽( 争= 压塾( 捌击 ( 2 2 7 ) 同理，由于也包含在巧。，因此中的沙 ( f ) 也可表示为巧一。中正交基 办1 ，i ( f ) 的线性组合，即 吵( 争= 压塾( 捌嘉州 ( 2 2 8 ) 式中啊( 七) 是加权系数。 上面两式称为二尺度差分方程【9 1 0 】，它们揭示了在多分辨率分析中尺度函 数和小波函数的相互关系，这一关系存在于任意相邻两级之间。有 矽( f ) = 互( 七渺( 2 卜一七) ( 2 2 9 ) 缈( f ) ：压妻啊( 七渺( 2 f - 七) ( 2 3 0 ) 由办。i 和y 各目的正燹性，( 七) ，( 忌) 刚由卜式求得： ( 七) = ( 办。( f ) ，办吐。( f ) ) = 击弘c 扣击西 亿3 d 令嘉= r ，则 似) = 击弘( 卅衍 ( 2 3 2 ) 或 同理 ( 七) = ( 识。( f ) ，九。( f ) ) ( 2 3 3 ) 啊( 七) = ( ( f ) ，。 ( f ) ) ( 2 3 4 ) 第2 幸小波的基本理论 上两个式子揭示了一个重要的关系，即( 七) ，j l l i ( 七) 与j 无关，它们对任意两 个相邻级中的，沙的关系都适用。由= o 和_ ，= l 的二尺度差分方程求出的 ( 七) ，j l l l ( 忌) 适用于取任何整数时的二尺度差分方程。 2 3 3m a l l a t 算法【2 ，6 ，7 】 多分辨率分析理论为讨论信号的局部信息提供了一个相当直观的框架，这 一点在非平稳信号中的作用尤为重要，因为非平稳信号的频率随时间而变换， 这种变换可以分为慢变和快变两部分。慢变部分对应于非平稳信号的低频部分， 代表信号主要轮廓；而快变部分对应于信号的高频信息，表示的是信号的细节。 1 9 8 9 年，m a l l a t 在小波多分辨率分析理论和图像处理的应用研究中受到塔式算 法的启发，提出了信号的塔式多分辨分解与重构的算法。 令a ，( 七) ，d f ( 七) 是多分辨率分析中的离散逼近系数，( 七) ，啊( 七) 是满足 二尺度差分方程的两个滤波器，则口，( 七) ，d ，( 七) 存在如下递推关系： 乃+ l ( 七) = 口，( 疗) ( 刀一2 七) = 口( 七) 宰( 2 七) ( 2 3 5 ) 嘭+ l ( 七) = 口j ( 刀) 啊( 刀一2 七) = 口，( 七) 幸啊( 2 七) ( 2 3 6 ) 式中办( 七) = 办( 一七) 。 图2 3 小波变换分解过程川 f i g u 他2 - 3d e c o m p o s i t i o np m c e s so fn l ew a v e l e t 仃a n s f 0 咖 若口川( 七) ，嘭+ l ( 七) 上两式得到，则口( 七) 可由下式重建 1 2 硕士学位论文 口) = 口川( 门) ( 七一2 刀) + 力+ 。( 刀) 办。( 七一2 刀) ( 2 3 7 ) - 。，p q 坐玎i l 蛎司 蛎 j l l l ( 七) 图2 4 小波变换重构过程忉 f i g u r e2 - 4r e c o n s 缸u c t i o np r o c e s so f 廿l ew a v e l e t 们m s f o r m 2 3 4 常用小波函数简介医7 1 1 ，1 2 】 在标准傅立叶变换中，所用到的基函数只有正弦函数。与傅立叶变换相比， 小波分析中所用到的基函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。因此，小 波分析在实际工程应用中，所面临的一个很重要的问题就是小波基函数的选择 问题。这是因为用不同的小波基函数分析同一个问题会产生不同的结果。因此， 应首先掌握常用小波函数的主要性质，然后再结合实际问题的特点，来选择相 应的小波基函数。 下面列举了几个常用的小波基函数。 ( 1 ) h a 盯小波 h a a r 于1 9 9 0 年提出一种正交函数集，定义如下： fl ，0 g 引2 y ( f ) = 一1 ， 1 2 f o 及”= k j 阶的多项式“( f ) ，使得 lx ( f ) 一只。( f ) i kif f or ，v f( 3 1 ) 称z ( ，) 在f 。处具有李氏指数口。 信号在某处的李氏指数越大，则信号越平滑。若信号在某处的李氏指数小 于l ，则信号在该点是奇异的。因此，李氏指数口可作为信号在某一点，或某 一区间的规则性( 奇异性) 程度的一个度量。 设x ( f ) r ( 尺) ，并且x ( f ) 在气处具有李氏指数口5 门，刀z + 是小波甲( f ) 的消 失矩的阶次，则存在常数a 使得 i 玎呵：( 口，6 ) i s 彳口口+ o 5 ( 1 + l 丛i ) ， v 口尺+ ，f 尺 ( 3 2 ) 口 成立。 第3 章基于小波分析的滤波算法及其比较 在二进制小波变换中，令口= 2 ，对上式两边取以2 为底的对数，得： l 0 9 2l 1 二( 口，6 ) i 1 0 9 2 么+ ( 口+ 0 5 ) ( 3 3 ) 由上式可以看出，小波变换建立了小波系数的模值、尺度的变化和李氏指数之 间的联系。对于信号x ( f ) ，若某点的李氏指数大于零，其小波变换后的模极大 值随着尺度的增大而增大；若某点李氏指数小于零，其小波变换后的模极大值 随着尺度的增大而减少。由此可看出，信号和噪声在多尺度空间上的主要区别 在于其局部极大值的特征。 由于本章分析的重点是对比各种方法的滤波效果，因此，在此给出b l o c k s 信号及有噪信号为参考，其信噪比为9 ，如图3 1 所示。下面几节介绍的滤波 算法都将对此图中有噪信号进行去噪处理。 原始信号 有嗓信号 图3 1 参考信号 f i g u 阳3 - lr e f e r e n c es i g n a l 1 6 硕士学位论文 3 2 模极大值重构滤波 3 2 1 模极大值重构滤波原理【1 3 ，1 6 】 信号的模极大值重构是指利用信号在各个尺度上小波系数的模极大值来重 构信号。信号小波系数的模极大值包含了信号的奇异性，如果可以从这些模极 大值重构信号，那么就可以通过处理模极大值点而实现对信号奇异性的修改， 也可以通过抑制某些模极大值点而去除相应的奇异性，这是模极大值重构滤波 的基本思想。 下面介绍噪声产生的模极大值点在多尺度上的特性1 7 1 。 设刀( x ) 是一个均值为零、方差为万2 的白噪声，在尺度s 上的小波变换 鼢( s ，x ) 满足 一一 e ( i 陟k ( s ，x ) 1 2 ) = i i e 【玎( “) 刀( ，) 】沙，( x 一“) y ，( x 一，) 幽毋 l - 卜 ：盟 ( 3 4 j 由上式可知，e ( i 腑( s ，x ) 1 2 ) 和尺度成反比。因此，噪声产生的模极大值点的模 随着尺度的增大而减小。另外，小波变换的模极大值点的平均密度为 以= 击( 骁+ 铬 n 5 ， 其中y n ，y 2 分别是y ( j c ) 的一阶和二阶导数。由上式可知，噪声产生的小波系 数模极大值的密度也与尺度成反比。随着尺度的增大，至少由有一半的模极大 值点不能传播到较大尺度上。式( 3 4 ) 和式( 3 5 ) 成为区分信号和噪声在多尺 度空间中模极大值传播行为的重要特征。 我们可以用这两个性质，在大尺度到小尺度上逐级确定各个尺度上由信号 x ( f ) 产生的小波系数的模极大值l 呱( ，f 加) i ，然后重构信号，从达到滤波的目 的。下面介绍如何由模极大值点来重建原信号。 为了由模极大值重建原信号，假定有一信号集合办( f ) ，该集合中的信号的 小波变换和z ( f ) 的小波变换具有相同的模极大值。记j l l ( f ) 的小波变换为 1 7 第3 章基于小波分析的滤波算法及其比较 ( ，f ) ，希望在某一准则下在乃( f ) 中选一信号来近似z ( f ) 。则暇( ，f ) 要满足 下面条件： ( 1 ) 对应每一个尺度，在所有的模极大值横坐标处都有 i 既( _ ，f 加) i = i 暇( ，f 加) i ( 3 6 ) ( 2 ) 对应每一个尺度_ ，鸭( ，f ) 的局部极值都应位于模极大值坐标( 肋) 处。 为了更好地满足上述条件，m a l l a t 引入了s o b o l e v 范数，即 肛畦脚哪 f ) 眨材训华朗 7 ) 扣z i 1 1 2i 下面工作是求解：为最小的鸭( ，f ) ，求解的方法就是正交投影算法。令y 是 r ( 尺) 上所有信号的二进制小波变换所组成的空间，令k 是序列g j ( f ) 所组成的 空间，g ，( f ) 满足 恬| 1 2 嘞州) i l - 纠l 伴叶 幻 扣z ll i 2i 再令r 是空间k 上的一个闭包，其中元素g ，( f ) 满足 g j ，一) = 暇( _ ，) ( 3 9 ) 这样满足式( 3 6 ) 的小波变换空间 人= 矿n r ( 3 1 0 ) 中的元素。现在任务转变为求人中的一个元素，使得其范数为最小，实现的方 法是y 和r 之间交替投影。 记投影算子 b = 。矿一1 ( 3 1 1 ) 式中矽代表小波正变换，矽- 1 代表小波反变换。b 可以将k 中的任一序列 x = g ) ) z k ( 3 1 2 ) 投影到空间矿。 硕士学位论文 户r 算子将k 中的任一序列投影到空间r ，经异投影后，x 的极值点及其 大小将和l 暇( j ，f 加) 1 相同，并最接近序列_ ( f ) 。 令尸= b 。耳是空间y 和r 之间的交替投影算子，尸”= p 。户。p 是p 的刀次迭代，对于任一序列x = g ( f ) 如z k ，可以证明，有 l i m 尸”x = 尸 x ( 3 1 3 ) 迭代开始是选取g ，( f ) = 0 ，则交替投影后收敛到y 的元素的范数接近于零， 做到了使s o b o l e v 范数最小。空间y 和r 之间的交替投影如图3 - 2 所示。 图3 - 2 交替投影过程川 f i g u r e3 2p r o c e s so fa l t 锄a t ep r o j e c t i 原信号x ( f ) 的小波变换的模极大值只位于( 加) 艇z 处，但是，在迭代过程中， 中间的结果有可能产生多余的极值点，即产生寄生的振荡，因此需要去除多余 的极值点。 3 2 2 模极大值重构滤波算法及仿真结果 基于上述原理，可以得到如下的滤波算法【1 6 1 ： ( 1 ) 对含噪信号进行离散二进小波变换，尺度一般取3 6 ，并求出每个尺 度上小波变换系数对应的模极大值点。 ( 2 ) 对最大尺度2 ，上的极大值点设定阈值瓦，保留大于阈值的模极大值点。 ( 3 ) 在整个多尺度空间上搜索具有传播特性的模极大值点，消除没有传播 特性的模极大值点。 1 9 第3 幸基于小波分析的滤波算法及其比较 ( 4 ) 将保留的模极大值点利用交替投影的方法重建信号。 以图3 1 中的有噪信号作为处理对象，在m a t i ，a b 中进行仿真，使用小波 基为d b l ，分解层数为5 。图3 3 给出了模极大值重构滤波算法处理的结果。 图3 3 模极大值重构滤波算法去噪结果 f i g u 他3 - 3r e s u n0 f m o d u l u sm a x i m ar e c o n 姗c t i o na l g o r i t h m 由上面仿真结果可以看出，该方法抑制噪声的能力很强。但该方法无法保 留模值较小的有用的小波系数，所以出现了边缘过于平滑的现象。同时，该算 法计算量很大，程序复杂，实际的应用受到了很大的限制。 3 3 空域相关滤波 w i t k i n 首先提出了利用尺度空间相关性来对信号滤波的思想【1 8 】，对含噪信 号经过小波分解后，从粗尺度到细尺度逐步搜索信号的主要边缘，最终从噪声 背景中得到真实信号。x u 于1 9 9 4 年提出了空域相关的滤波方法【1 4 】。信号经小 波变换后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其在信号的边缘附近， 其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间没有这种明显的相关性。 因此，可以考虑利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性来确定是信号对 应的小波系数还是噪声对应的小波系数，从而进行相应的取合，这样处理后的 小波系数基本上对应着信号的边缘，完全可以达到滤波的目的【1 6 1 。 3 3 1 空域相关滤波原理【1 6 1 7 】 设分解最大尺度为，。夥( ，门) 表示尺度_ 上位置刀处含噪信号厂的离散小 波变换，取相邻尺度的变换值进行相关计算，定义 硕士学位论文 c d m ( j ，刀) = 兀w 歹( ，+ f ，刀) ( 3 1 4 ) ，- 0 其中，表示参与相关运算的尺度数。一般，= 2 。 为使相关系数与小波系数具有可比性，将c d u ，功的能量归一化到 町( _ ，刀) 上去，定义归一化相关系数： 其中 胁c 咣( 川= 觚( 删瓶面研，刀= l 2 ，：，( 3 1 5 ) ( _ ) = c ( _ ，刀) 2 ( 3 1 6 ) 易( j ) = 眄( ，刀) 2 ( 3 1 7 ) 一暑l 如果i 刖c d ( j f ，刀) i 1 砂( _ ，刀) i ，则认为该点为边缘，存储町( 刀) 的位置及 大小，并置m 刑c d 喁( j ，功及町( _ ，力中相应的点为零，记剩余的数据为 町( _ ，门) 和m m c d ：u ，功。再规一化刚c d z ( ，功的能量到阿u ，门) 上去， 进而来抽取信号次重要边缘。重复上述过程，直到町( j ，功中未被抽取的点的 能量满足该尺度上的某个噪声能量阈值。 经过上述迭代过程，从町( ，玎) 中抽取的数据组成了一个新的向量，该向 量保留了大部分的边缘，而去除了大部分的噪声。 3 3 2 空域相关滤波算法及其仿真 整个滤波算法的步骤可归结如下【1 6 】： ( 1 ) 对含噪信号进行小波变换，得到眄( _ ，刀) 。 ( 2 ) 求取各尺度与相邻尺度的c d u ，功，并求得规一化后的相关值 n 删c 0 r 吃u 。呐o ( 3 ) 若im 删( _ ，刀) j 阿( ，刀) i ，则认为刀点处的小波变换值是由信号产 生，将夥( ，门) 赋予町l 的相应位置，并将町( ，门) 置零，c d ( _ ，功置零；否 2 l 第3 幸基于小波分析的滤波算法及其比较 则，认为町( _ ，门) 是由噪声产生的，耵( ，功保留。 ( 4 ) 重复步骤( 2 ) 和( 3 ) ，直到阿( ，功的能量与尺度上的参考噪声能量一致 为止。 ( 5 ) 对町1 进行小波反变换重构得到滤波后的信号。 采用空域相关滤波算法对图3 1 中有噪信号进行处理，采用的小波基为 d b l ，分解层数为5 ，去噪后的结果如图3 4 所示。 图3 _ 4 空域相关滤波算法去噪结果 f i g u 托3 - 4r e s u l to fs p a t i a l l ys e l e c t i v ef i l 心a t i o n 从仿真波形可以看出，该方法保护信号边沿的能力优于模极大值重构滤波 方法，但其对边沿处的噪声抑制能力较差。虽然有些论文【1 9 1 提出了相应改进措 施，但其大运算量的情况并没有得到解决。 3 4 小波域阈值滤波【1 5 l 小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现方便而 效果较好的去噪方法。信号经小波变换后，反映信号本身的小波系数的幅值较 大，而噪声对应的小波系数的幅值较小。因而可以在不同尺度上，对大于和小 于某阈值的系数分别处理，然后对处理后的小波系数求反变换，得到滤波后的 信号【1 7 1 。 3 4 1 小波阈值施加的方式【1 5 1 7 】 在阈值去噪中，阈值施加方式体现了对大于和小于闽值的小波系数的不同 处理策略。设w 是原始小波系数，7 7 ( w ) 表示阈值化后的小波系