（概率论与数理统计专业论文）关于随机变量和的hajekrenyi型不等式及强大数定律.pdf

安徽大学颂一i ：论文 摘要 各种文献中对p a 序列、n 序列的收敛性以及燃大数定律等已有深入研究。 本文主要讨论在二阶矩限制下h a j e k r e n y i 型不等式，并给出了不等式在p a 序列、n a 序列、l 。一混合序列场合下的应用，推广了p r a k a s ar a o 关于p 序列 的结果。 全文共分四部分，引言介绍了问题的提出、一些定义、引理、以及后面定 理所需要的条件。第二章详细证明了二阶矩限制下的j j a j e k r e n y i 型不等式及 应用。第三章讨论了定理在) a 序列、n a 序列、【。”一混合序列场合下的应用，第 四章附注指出了p r a k a s ar a o 在文 2 中证明出现的错误并纠难了 2 中出现的 错误。 关键词：h a j e k r e n y i 型不等式，p a 序列，n 序列，j 。一混合序列。 安徽人学坝i 论立 a b s t r a c t c o n v e 唱e n c e a n d s t r o n g l a wo f l a 唱en u m b e r s f o r p o s i t i v e l y a s s o c i a t e ds e q u e n c e s ， n e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e sh a sb e e nd e e p l y d i s c u s s c di na l ik i n d so f p a p e r t h i s p a p e r w 1 【 m a i n l y d i s c u s s h 萄e c i 卜r e n y i t y p ei n e q u a l i t yu n d e rs e c o n dm o m e n tc o n d i t i o n sf o r t h ef as e q u e n c e s ，n as e q u e n c e sa n dt h el 。一m i x i n g a l es e q u e n c e s i t g e n e r a l i z e st h ep r a k a s ar a o sr e s u l tf o rp o s i t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e s t h i sp a p e rh a sf o u rp a r t s i n d u c t i o ng i v e st h eo r i g i no fp r o b l e ma n d s o m ed e f j n i t i o n sa n ds o m el e m m a sa n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h el a t e r t h e o r e m i nm es e c o n d c h a p t e r ， w e g i v e t h e p r o o f o f h a j e c k r e n y i 0 y p ei n e q u a l i t yu n d e rs e c o n dm o m e n tc o n d i t i o n sa n d i t sa p p l i c a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eo b t a i ns o m ea p p l i c a t i o n sf o r t h e p as e q u e n c e s ，n as e q u e n c e sa n dt h el 7 一m i x i n g a l es e q u e n c e s i nt h e f o u mc h a p t e rw e p o i n to u ta n dc o r r e c tp r a k a s ar a o sm i s t a k e ni np a p e r k e yw o r d s ： h 旬e c k r e n y i 日p ei n e q u a l i t y ，p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d s e q u e n c e s ，n e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e s ，l 。m i x i n g a l es e q u e n c e s i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得觥或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：强林拟 签字魄护年岁月彦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解绣物次太当有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 经抹松 签字日期：刀谚年岁月詹日 v 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 钠鲐煎衿 签字日期：抛5 年岁月f 弓日 电话： 邮编： 第一章引言 第一章引言 1 1引言 设( q ，p ) 是一概率空间， x 。，n 1 ) 是定义在n 上的随机变量列，记 s 。= x l l ，鼠 a ：车贝晓夫( c h e b y s l l e v ) 不等式： 对任何具有有限期望的随机变量x ，都有 证明 p “x 一刎 ) 掣，比 o p ( 1 爿e 五 6 ) = _ d p ( ) j ，、( w ) 一e xj 兰e ) 继雩型d p ( u ) 【u ：j 爿( o ) 一e i ) s 壶( x ( u ) 一e x ) 2 d p ( u ) = 壶e ( x e x ) 2 = 当几一硼2 蚓牡掣 b ：马尔可夫( m a r k o v ) 不等式： 对任何随机变量x ，任意的r o ，都有 p ( j 啦坯等，垤 。 2 关于随机变量和的h 咖k r e i l y i 型不等式及强大数定律 证明 ，( xj ) =d p ( o ) “x 乙) p 。) s 1 掣m ( 。) ( w ：i x 山) 阻) 。 s 刍肚( 圳( u ) ：掣 j 。 c ：h a j c k _ r e l l y i 不等式： 若 铀一是独立随机变量序列， d 矗= 口； 一 第一章引言 5 所以 e q 一p ( 码) 所以不等式得证 在h a j e k _ r e t l y i 不等式中，令m = 1 ，q = l ，则得到著名的柯尔莫哥洛夫 ( k 0 1 0 n l o g o r o v ) 不等式 d ：k o l o i 0 9 0 r o v 不等式： 设 矗) 是独立随机变量，方差有限，则对v t o ，有 p ，瑟1 擎。 k 0 1 0 n m g o r o v 不等式是概率论中最重要的不等式之一，有广泛的应用。如令n = 1 ， 则得到 剐x 一酬纠学，v 。 这正是c h e b y s h c v 不等式因此，k o l o m o g o r o v 不等式是c h e b y s l l e v 不等式的 推广而h a j e k r e n y i 不等式是k o l o n l 0 9 0 r o v 不等式的推广 利用h a j e k r e n y i 不等式，能证明下面重要的结果 k o l o i n 0 9 0 r o v 强大数定律： 设豫) ，i = 1 ，2 ，是独立的随机变量序列，且 则有 薹掣 o o m ：。黔坷纠。0 ) 1 1 岛 o v 。纠 ， 一 e 6 关于随机变量和的h a j e k r e n y i 型不等式及强大数定律 上式等价于 e 矗) n ，n s ，n 。 证明：在h a j e k - r e i l y i 不等式中，取q = ；，可以得到 引擢焉峙妾c 6 一砖脸e ，言c 嘉薹矿州岛h ，塞。坚笋， 由概率p ( ) 的连续性知 由 故 这等价于 定理证明完毕 p 怨l ；塾咄圳纠 溉p 擢焉号磐一幽纠 茎壶c 嘉薹c 卅，塞。半， 妻娑掣 。 白n 2 、 ，! 骢p 黜号塾一吲阻 = 。 即：概：宝( 卜聪) ：。) ：1 1 2若干引理 第一章弓l 言7 b o r e l - c a n t o l l i 引理 1 ) ：若随机事件序列 a 。) 满足萎p ( a 。) 。则p ( 1 i ms u p a 。) ： ln o 。 o o r ，( 1 i 马群石) = 1 2 ) ：若随机事件序列 4 。) 是相互独立的，则 k r 0 1 1 c ( ：k e r 引理 l 。r p ( 1 i 马璐f a n ) 2o 若薹收敛于s ( 有限) ；6 。夕+ o 。则击量k 凰_ o 本文研究在以下两种场合下 ) 的h a j e k r e z y i 型不等式，由此得出f x 。 几乎处处收敛性的结果且给出了结果在p a ，n a 等场合下的应用推广了p 。k a 。 地。近期的结果，以下设m ，n 为自然数， k ，n 1 ) 为一正的非降实数列， g l ，q ，c 为与m ，i l 无关的正常数，i ( a ) 记为a 的示性函数 a l ：设对任意的l m 为p a 序列，f 和g 是舻上任意两个关于变元非降的函数，则，( ，1 ( z 1 ) ，2 ( z 2 ) ， 扛n ) ) 口( ，1 ( 。l ) ，2 ( 。2 ) ：，厶( ) ) 是关于变元非降的函数，于是由定义1 知： e 舢( ，( ，l ( x 1 ) ，丘( 局) ) ，r ，。( ) ) ，9 ( ( x 1 ) ， ( x 2 ) - ， ( ) ) ) 三= o 即证明了 ( x 。) ，n 1 仍p a 序列又易见一，【一z l ，一。，一z t z ) 和一口( 一z l ，一z 2 ，一 仍是关于变元非降的函数，于是由定义l 知： g d ( 一，( 一x 1 ：一，一，一x n ) ，一9 ( y 1 ，一。y 2 ，一。；) ) = g o ( ，( 一x l ，一x 2 ，- ，一x 。) ，口( 一x l ，一x 2 ，- - ，一x n ) ) 20 即证明了 一，n 1 仍为p a 序列 第一章引言 9 引理2 【3 】：设x l ，噩，x ，。是p a 的，均值为零，方差有限，记s 几：量五 1 m 。= 7 ，。( s i ，函，一，s 。) ，毗4 则 e ( m 三) s 矿n r ( s ) 引理3 【4 1 ：设x 1 ，x 2 ，x 。是n a 的，均值为零，存在l p 曼2 ，使得 e 1 x ，r o ，n 叫 ，n 兰“ 曼p ( s u p l 鼠一s 。i ；) + p ( s l l pl s m s n 吾) n 卅) h o o 。 一 s 2 尸( u i 2 艟f f 乳一品j ；) ) = 2 熙p ( ：2 靛。【瓯一又i ；) 西 。一 篓 ，m b e ) = o 垤 o ( 2 1 0 ) 由文【5 j 第1 1 6 页的命题a ( a e 收敛准则) 知，( 2 1 0 ) 式与s 。n m 收敛等价 所以证明了登( 噩一e x 。) 幽收敛，证毕 】= l 对于任意随机变量x 、定义 x 。= x ，( 1 x isd ) + g ，( x c ) 一g ，( x o ，使得 霹，n 1 ) 满足定理2 2 的条件，且e x ：收敛，p “l g ) g ) o 。，所以由b o r e l c a n t e l l i 引理知p ( j 罐，i ，o ) = o ，此式 n = l 又等价于p ( x 。= x ：，n 充分大) = 1 ，这与巧a s 收敛结合知，玛a s ，= lj = 】 收敛证毕 定理24 ：设 x 。满足条件a l 嘉掣+ ，妻。鼍掣m 则曼丑等量a s 收敛，且对任意的r ( o 2 ) ， e 毅1 竽n a 蚓乳蜀1 学i 菇) ) = o 甄p ( ，蜀f 竽f 凼 鲫旷；雹半+ 。篆。l 亿 ) = 1 ”j l l 口n 外a c ，莲半+ ，篆。，j ( 。z 气 。，仁嘲j = l。l l ，k ”r j l 记巧= 鲁，则由条件a 1 知，对任意r ns n e 巧) r ) e ( ( 巧一e 巧) ) 2 巧 。一 瑟一n 0 ，”i e ) c 【i 燮劂塞气坠阻) 文黑。瞳竽一塞竽阻， c 器瞎学l 争 尸( 。登要l 轮泌p ( 麟嘻半争 s 知瞄嘻学雌当q 嘉葶 。黔。唼耋c 小瓯， l 去薹c 咒一圳+ 耀l 壶。烹，c n 酬 一e x 。) l e ) 冬p c i 去薹c 置e 置，i ；，+ 川。嚣巍。i 去。熹c 置一e 噩，i ；， 警薹葶+ 参，塞芬 x 。 一“ 舣蜒m p 第二章二阶矩限制下的h a j e k r c l l y i 型不等式及收敛定理 1 7 定理2 6 ：设 ) 为随机变量列，存在实数列 “。) ，薹n ： e ) k m 1 p ( s u p i 鼠一& f 三) 十p ( s u l ) l s 。一s n i ；) r n t n n s 2 p ( u ：2 眨f l 最一晶i ；) ) 2 2 觊p ( 凛懋 s 一s n l ； 玉兰。e ( 晨髅。i & 一晶1 2 )茎参l e ( 晨髅f i & 一晶1 2 ) 詈。堍圭n ； ：警妻一o( 。一。) 撬川。嚣 。f & 一i 6 ) = o c 。 铮，溉p ( ui 晶+ ”一品j e ) = o 口= i o 。 = 寻( 局一e 玛) a 收敛 蟛一蟛 。川 。一一 。吁 。 g o ，使 碟、，n 1 ) 满足定理2 6 的条件，且登e x ：收敛，量p ( i x ，。i g ) e ) = ，( x 。k ) 。 f z = ln = l 由b o r e l _ c a l l t e l l i 引理知； p ( x 。j y ：，i ，o ) = o 铮p ( 墨。= 霸，1 1 充分大) = 1 与曼x ia s 收敛结合知量x 。收敛 定理2 8 ：设 墨一) 满足a 2 蓦葶 l o 骢z 乜辫竽1 ) l i n lz 一 _ ；e fm a x 、l 南 l + p ( s u p i 兰生i 二= 旦l 茁) j ln l d n 茎l + 岛z j l t + q 薹暂z 嘞 由定理2 6 令匕= 士( 玛一e 玛) 则由 ) 满足条件a 2 知 耳”l 瑟i 三巧钿啪国三毒 2 n，2 一一 ，= m，= m 。， 斧 。” 学 s p 堕；旦。誊岸忾咧鼢 ，町一n 纠 e出 ，呵一“， 斛 2 一r 2 0 关于随机变量和的h a j e k r e l 、y i 型不等式及强大数定律 又因薹，毒 o 。，所以由定理2 6 知：黑( 巧一e 匕) 一收敛，由k r 。n e c 妇 引理知 去善酞k o 即 ( 妊一蹦k ) _ o n s ”k = 1 第三章定理在i 埝序列，n a 序列等场合下的应用 2 1 第三章定理在p a 序列，n a 序列等场合下的 应用 众所周知，如果 。) 一c j ( 。 o ，。 o ， e x ；) i f ) 弛1 薹半+ 。! 善；。鼍， 证明：设巧= 吁1 ( 玛一日而) 很容易由l s a r ye ta 1 ( 1 9 6 7 ) 知道 k ，7 1 ) 是 均值为。的相伴序列设s 。= 釜( 西一e 玛) ，n 1 ，设b 。：o 注意到： 最= b 巧= ( ( 6 f 一玩一t ) ) k k = ( 6 。一机一) ( 巧) t = 1 j 3 l 由于k - 圭( 6 i 一玩一。) ：l ，可以得到 l = 1 因此 【l 鲁i 纠c ( 燃l 圭巧i e ” 一一 j = 2 。糍。j 巧i i 1 x 。曲 土k臻 p 一 巧 。声 誉m 嵯燮 c 一 & 一沁燮 cf 一 巧 。问 一 巧 。岸 塾n 鱼 | 第四章附注 所以 _ 燮。l 卺阻) p ( 攀嘻驰；) 应用车贝晓夫不等式可以得到 p ( 1 茹1 鲁阻) 4 s “弘瑟。嘻州) 这时我们应用柯尔莫哥洛夫型不等式，均值为零相伴随机变量 匕，1 茎ksn ) 的部分和的不等式有效性( 参见n c w n - a z la 1 1 dw r i g l l t ，1 9 8 1 定理2 ) 我们有 ，( 1 燃诒) 4 e 一2 e 巧 2 = 4 一2 y “r 1 0 1 2 j = l j = l = 4 q 矿。r ( 巧) +g o ( 巧，k ) ) j = l l g 女! “ 刮s _ 2 妻半+ 。篆。篙岩， = 4 s 。 鼍半+ 塑糍型) j = l 。j l 曼j k n 。j 。“ 由于 6 。，t 芝1 ) 是正的非降序列的性质，可以得到 p ( 1 瑟去娄( 墨一甄) 阻) 蛐1 薹掣+ 。! 篆! 。岩， 证明了h 两e k - n y i 型不等式 以上是p r a k a s ar a o 在文【2 i 中的定理2 1 及其证明他的文中出现了错误 他对p a 序列 k ，n 1 ) 引用了文 3 中的定理2 时，用到 以麟l 三坩) 如至驴 2 6 关于随机变量和的h a j e k r c n y i 型不等式及强大数定律 实际上，由文【3 】中的定理2 只能得出f 髫言巧) 2 s e ( 喜巧) 2 尚得不出 ( t ) 式，这影响了 2 中的结论。例如 2 】中的( 2 1 ) 和( 2 3 ) 式未必成立 我们已指出，当 ，t 1 ) 为p a 序列时，( 1 2 ) 式对e 1 = 2 成立因此本 文2 中给出的定理可得出p a 序列的相应结果。这推广丁p r a k a s or a o 在文【2 1 中给出的关于p a 序列的结论且纠正了 2 中出现的错误 参考文献 参考文献 1 h 面e kj ，r e n y i a ag c l l e r a l l z a t i o i lo fa nl l l e q u a l i t yo fk 0 1 0 m o g o r o v a c t a m a t l l a c a d s n h u i i g a r ，1 9 5 5 ，6 ：2 8 l 一2 8 4 2 p r a k 孙ar a o t i 冰她r y j _ i y i ) ei i l 州1 l a l i t yf o ra s 洲：i a t c ( is c q l l e i l c c s s t a t i 乱 p r o b a b l e t t 2 0 0 2 ，5 7 ：1 3 9 1 4 3 3 n e w i n a ncm ，w r i g h tal a ni n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o rc e r t a i nd c p d e n d e n t s e q u e n c e s ，a n n p r o b a b 1 9 8 1 ，9 ：6 7 1 6 7 5 。 4 s l l a oqm ac o m p a r i s o nt 1 1 e o r e mo nm o m e n ti i l c q l l a l i t i e sb e t w e e i in e g a t i v e l y a s s o c i a t e da n di n d c p e n d c n tr a n d o i t lv a r i a b l c s j t h e o r e p r o b a b 2 0 0 0 1 3 ：3 4 3 3 5 6 5 - l 吼! v cm - p r o b a l j m t yt h c o r yi 、4 t h e ( 1 i t i oj 1 n c wy o l k ，i c i d c i l j e r 岛b c r l i n ：s i ) r i n 擎! r 。 v c r l a g ，1 9 7 7 6 f a z c k a si ，k i e s o vo ag e n e r a la p p r o a c ht o 恤cs t r u n gl a 、vo f l a r g en u n l b e t s t 】l e o r yp r o b 曲a p p l 2 0 0 0 ，4 5 ：4 3 6 - 4 4 9 7 p r n l y s l a wm a t l l l a al m t eo nt h ea l m o s ts u r ec o l l v c r g e n c c0 fs u i n so fn e g a _ t i v t j l yd e p e n d e i l tr a i l d o mv a r i a b l e s s t a t i s t p r o b a b l e c c 1 9 9 2 ( 1 5 ) ：2 0 9 2 1 3 8 - 胡舒合关于强大数定律的若干新结果数学学报，2 0 0 3 ，4 6 ( 6 ) ：1 1 2 3 1 1 3 4 2 8 关于随机变量和的h a j e k r o n y i 型不等式及强大数定律 9 b r u l l k i d t l l es t r o l l g i a wo f i a r g e l l l l l i l b e r s d l i k c m a k e j 1 9 4 8 ，1 5 ：1 8 l - 1 9 5 1 0 i r o k l i o r vyv o i lt l l c s t r ( ) n g l a w o fl a r g ei l u m ij 【- ls m a l c l l l ：l z v a n s s s s c r 1 9 5 0 1 4 ：5 2 3 5 3 6 1 1 c l l o wys o as l r o “gl a wo fl a r g en u m b c r sf o rm a r t i n g a l e s a n l l m a t l l 1 2 胡舒合，潘光明，高启兵误差为线形过程时回归模型的估计问题高 校应用数学学报，2 0 0 3 ，1 8 ( 1 ) ：8 1 9 0 1 3 李正龙，胡舒合。时间序列和渐近正态的一个结果应用概率统计，2 0 0 3 ，1 9 ：9 9 1 0 3 。 1 4 胡舒合，胡晓鹏，潘光明口一混合误差下线形与非参数回归模型估计 量的平均相合性应用数学学报，2 0 0 3 ，( 4 ) ：7 5 6 7 5 9 1 5 潘光明，胡舒合，方利宝，程正东半参数回归模型估计的平均相合性 数学物理学报，2 0 0 3 ，2 3 ：5 9 8 6 0 6 。 1 6 - 林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础高等教育出版社，1 9 9 9 1 7 ，胡舒合，胡晓鹏，张林松二阶矩限制下的h a j e k r e n y i 型不等式及其应 用，应用数学学报，2 0 0 5 ，( 3 ) 1 8 苏淳，王岳宝。同分布n a 序列的强收敛性，应用概蛊统计，1 9 9 8 ，1 4 ( 2 ) ，1 3 1 1 4 0 参考文献 1 9 e s a r y j ，p r o s c h a l l ，f ，、v a l k u p ，d a s s o c i a t i o no fr a l l d o mv a r i a b l e sw i t ha p p l i c a