（概率论与数理统计专业论文）双广义poisson风险模型破产概率的研究.pdf

摘要 本文主要研究了以下三种风险模型的生存概率及最终破产概率： ( 一)双广义复合p o i s s o n 风险模型 本文第三章研究了保费到达和索赔到达均为广义p o i s s o n 过程的双广义复合 p o i s s o n 风险模型，运用鞅论的方法给出了该模型的破产概率y ( “) 的表达式及 少 ) 满足的l u n d b e r g 不等式。 ( 二)常利率下的双广义p o i s s o n 风险模型 本文第四章是在第三章的基础上，研究了在常利率因素影响下，双广义p o i s s o n 风险模型生存概率的f e l l e r 表达式及最终破产概率的l u n d b e r g 不等式。 ( 三)带干扰的双广义p o i s s o n 风险模型 本文第五章是在第三章的基础上，引入干扰项，运用鞅方法研究了带干扰的 双广义p o i s s o n 风险模型，给出该模型的破产概率y ( “) 的表达式及l u n d b e r g 不 等式。 关键词：风险模型破产概率常利率干扰项 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e sr u i np r o b a b i l i t i e s ，n o n r u i np r o b a b i l i t i e s f o rt h ef o l l o w i n gt h r e ek i n d so fr i s km o d e l s ( 1 ) t h ed o u b l eg e n e r a l i z e dp o i s s o nr i s km o d e l c h a p t e r3d e a lw i t ht h ed o u b l eg e n e r a l i z e dp o i s s o nr i s km o d e l c o n c e m i n gw i t ht h ep o l i c i e sn u m b e rp r o c e s s e sa n dt h ec l a i mn u m b e r p r o c e s s e s ，a n do f f e r st h ee x p r e s s i o n so fr u i np r o b a b i l i t y ) a n d l u n d b e r gi n e q u a l i t yt h a ti c ， ) c a ns a t i s f ya c c o r d i n gt om a r t i n g a l e m e t h o d ( 2 ) t h ed o u b l eg e n e r a l i z e dp o i s s o ni u s km o d e lw i t hc o n s t a n t i n t e r e s tr a t e 。 c h a p t e r4d e a l sw i t hf e l l e re x p r e s s i o no fn o n r u i np r o b a b i l i t y a n dl u n d b e r gi n e q u a l i t yo fr u i n - p r o b a b i l i t i e si nt h ed o u b l e g e n e r a l i z e dp o i s s o nr i s km o d e iu n d e rt h ei n f l u e n c eo fc o n s t a n t i n t e r e s tr a t e 。 ( 3 ) t h ed o u b l eg e n e r a l i z e dp o i s s o n 鼬s km o d e l w i t hd i s t u r b a n c e c h a p t e r5i n t r o d u c ead i s t u r b a n c ei t e m ，o f f e r st h ee x p r e s s i o no f r u i n p r o b a b i l i t y ( “) a n dl u n d b e r gi n e q u a l i t ya c c o r d i n g t o m a r t i n g a l em e t h o d s k e y w o r d s ：r i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , c o n s t a n ti n t e r e s t r a t e d i s t u r b a n c ei t e m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名：鱼兰垫 日期：j ! 生一年! ! 月生日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：鱼垒型导师签名： 日期：出年旦一月丛一日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 风险理论介绍及研究现状 1 1 1 风险理论的发展简介 风险理论是近代概率统计和应用数学的一个重要分支，这一理论主要应用于 金融、保险、证券投资以及风险管理等多方面，它主要借助于概率论与随机过程 理论构造数学模型来描述各种风险业务。 风险理论是用以设计、管理与规范一个风险企业的诸相关思想的综合一个 具有风险的企业的特征是在其正常运作的某些会计核算周期内，开销也许会超出 收入大多数对风险理论作出贡献的人把保险公司视为风险企业的主要例子，当 然稍作修正，此理论也可用来理解其他类型的操作 风险理论已发展了很长一段时期，对其作出贡献的最初有e d m u n dh a l l e y 和 d a n i e lb e r n o u l l i 而在上世纪初和中叶，h a r a l dc r a m e r 和f i l i pl u n d b e r g 建立了 风险理论与一般随机过程研究之间的联系随机过程理论的逐渐成熟，为风险理 论的研究提供了强有力的方法和工具应用随机过程的标准结果来研究风险理 论，不仅大大简化了经典结果的证明，而且可以解决许多新问题，如平均破产时 间、破产前最大盈余的分布、引起破产的索赔额的分布、破产瞬间前后盈余额的 分布、以及从破产到恢复期间最大盈余额的分布等，风险理论的研究取得了重大 的突破关于风险理论的专著主要有：( i ) h a n su g e r b e r , 1 9 7 9 ，a ni n t r o d u c t i o nt o m a t h e m a t i c a l 魁s k t h e o r y 他以严谨的概率论基础，论述了非寿险中的主要课题， 是一本现代风险论的专著它将重点放在上个世纪才引入到风险论中的一些内 容，并且巧妙运用“鞅方法”得到破产概率的某些重要结果；( 2 ) g r a n d e u ，1 9 9 1 ， a s p e c t so fr i s kt h e o r y 主要从索赔到达过程这个角度全面介绍了古典风险模 型、更新模型、c o x 模型及平稳模型等；( 3 ) a s m u s s e n ，2 0 0 0 , r u i np r o b a b i l i t i e s 对 硕士学位论文 第一章绪论 风险理论中破产概率这个核心问题，从理论到方法进行了全面的论述 1 1 2 风险模型的介绍 风险模型就是一个关于损失或理赔的随机模型，它是保险产品设计及保险经 营的理论基础对于保险机构，其某种风险的随机损失( 理赔) 记为s ，随机变 量s 的概率分布是需要知道的历史上对s 的分布有两种类型假设：一种是个 别风险模型( i n d i v i d u a lr i s km o d e l ) ，即 s = x t + x 2 + + xh 其中z 是保险单i 的损失，行是保单总数通常假定z 是相互独立的随机变量， 这也是出于数学上较容易且不需要相关性的历史数据的考虑若不考虑货币的时 问价值，即为短期个别风险模型若设保单总数盯在所考虑的周期一开始就已知 且固定，就是封闭模型( c l o s e dm o d e l ) ，若对保单增减作出假设，就得到开放模型 ( o p e nm o d e l ) 另一种是聚合风险模型( c o l l e c t i v er i s km o d e l ) ，视个别保单理赔的产 生是随机过程，记是给定时期中保单的理赔次数，z 是第i 次的理赔量，则 s = x l + x 2 + + x n ( 1 1 2 ) 表示这一时期的总理赔与五，置，均为随机变量，n 取值为正整数，z 取 值为正数为模型讨论方便起见，有两个基本假设：1 。墨，五，是同分布的随 机变量，2 。随机变量，置，置，相互独立以上关心的是固定短时期内用的 分布和x 所服从的共同分布来表示s 的分布，称为短期聚合风险模型长期聚 合风险模型是指就一个较长时期建立保险人盈余( s u r p l u s ) 量的变化模型这里的 盈余并非财务意义上的，只是为了数学上处理方便而已用数学模型表示，盈余 过程( s u r p l u sp r o c e s s ) u ( t 1 是一随机过程 【，( f ) = a ( t ) - l ( t ) ， ，2 0 2 ( 1 1 3 ) 硕士学位论文 第一章绪论 其中爿( f ) 表示时刻，的实际资产，上( f ) 表示在时刻，的实际负债，u ( r ) 表示在时 刻t 保险人的盈余若不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响盈余的因 素，例如附加费和保单持有人的分红等等，并假设保费以常数率c 0 连续收取， u ( o ) = “为时刻0 时的初始盈余( 即初始准备金) ，则有 “1 u ( t ) = u + c t - x , ，t o f - l ( 1 - 1 - 4 ) ( r ) 其中( f ) 为直到时刻r 所发生的索赔次数，置为第i 次的索赔额，置即为直 l l 到时刻f 的总索赔量盈余u ( f ) 完全可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况， 我们称破产( r u i n ) 发生这并不等价于保险人无力偿付债务或即将倒闭，如果把 其它许多影响盈余的因素都考虑在列的话，盈余仍然可能为正或者可能回复为 正但是，破产发生的概率( 即破产概率0 ) ) 毕竟是衡量一个保险机构金融 风险的极其重要的尺度，可以为保险公司决策者提供一个早期风险的警示手段 1 1 3 古典风险模型的主要结果及推广方向 对破产理论的研究最早是从古典风险模型的破产概率开始的。对模型 ( 1 - l - 4 ) 进行若干假定，就得到古典风险模型，它是最简单的风险模型，也是 研究历史最长且理论最完善的风险模型。首先对它进行一个严格的描述：令 ( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，在其上定义下面的随机变量和随机过程。 ( i ) 初始准备金u = r ( o ) 非负实数， ( 2 ) 索赔到达过程 ( f ) ，t 芝o ，是一强度为彳的齐次p o i s s o n 过程， ( 3 ) 索赔额序列 z ，f = 1 , 2 ，) 是独立同分布的随机变量序列，均值为a ， 分布为f ( x ) ， 硕士学位论文 第一章绪论 ( 4 ) 索赔到达过程 ( r ) ，t 0 与索赔额序列 置，i = 1 ，2 ，) 是相互独立的， ( 5 ) 保费收入按线性增长，单位时间内保费收入为c 0 ，保费是按均值原 理计算的，c = ( 1 + 力础，称p 为安全负载系数。 对古典风险模型 最基本的研究成果有： “1 r ( f ) = u + c t - - x 吣，= 詈弘旷橱椭+ 詈弘出 则) = 等= 击 ( 1 1 5 ) 令办( ，) = p 4 d f ( x ) 一1 ，且存在k o ，使得，个匕时，h ( r ) 个栅，即当， 名时 h ( r ) 0 ，矩母函数k “f ( d x ) s 0 ，增量m ，= f 一j 有参数为口( t - s ) 的p o i s s o n 分 布，即对k = 0 ，1 ，2 ， 帆：归删唑竽， 这里口0 是常数，称做过程的强度 ( 3 ) 具有独立增量 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制条 件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m ，的分布只依赖于差数，一s 而与s ，t 的具体值 无关条件( 3 ) 表示过程是无后效的，即对任意正整数，l 和任意实数 o t 2 o 实际上不可能有跃 度超过1 的跳跃，亦即对应的点过程没有重点这一事实的确切表达是 p n t = o 或1 ，对每一f e ( o ，佃) = l 这里 f 表示点过程 m ；f o 在时刻，发生的点数 若以s 表示第g 点的发生时间，记五= 瓯一只一。( 令& = 0 ) ，则序列 瓦， n = 1 ，2 ，) 表示点过程的点间间距序列对此，有以下重要定理： 定理2 2 1 计数过程 ；f o 是具有强度口的齐次p o i s s o n 过程的充要条 件是它的点间间距 ) 是相互独立的均值为土的指数分布随机变量序列 瑾 硕士学位论文 第二章预备知识 定义2 2 2 设膨； m ，f o 和； m ；f o 是强度分别为五和口的齐次 p o i s s o n 过程，而且这两个过程相互独立对于每一m q 和任意r 0 ，令 k ( 口) = m ( ) + ( 口) 则由上式定义的过程足= k ，o 称做过程m 和n 的叠加 定理2 2 2( 齐次p o i s s o n 过程的可加性) 上面定义的过程髟是具有强度 = z + 口的齐次p o i s s o n 过程 。 定义2 2 3假设事件e 的发生形成强度为口的齐次p o i s s o n 过程 ； n t ；t o 如果每一发生的事件只以概率p 被记录到( o - 0 的强度是一常数口， n t ；t o 就是齐次p o i s s o n 过 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要的定理 定理2 2 5 设s ，是，为相互独立的复合p o i s s o n 过程， m f f l 墨= 巧， i = 1 ，2 ，k 其中 m ( ，) ，f o 相互独立且m ( f ) 是参数为吒的齐次p o i s s o n 过程，x c = j = 同- - 5 f ， r ， 为独立同分布的随机序列( 简记作z ) ，其分布函数为耳，( y ) ，则 s = 号 还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 s ：警2 ： t = l k 其中( f ) 是参数为口- - z , z 。的齐次p o i s s o n 过程，且 l ；l 兄，( z ) 2 i 1 萎k 口，毋；( 引 证明n ，的矩母函数 蚝( f = e e m t = 耖等小q ”u s 的矩母函数 1 4 硕士学位论文第二章预备知识 坻。( ，) 地即= e 心即删= ( ( f ) ) 虬 ：p q t ( 0 - 1 ) 其中蚝( f ) 为z 的矩母函数由s 的独立性，得s 的矩母函数 u s ( f ) ：兀k 坞，( ，) ：a 。机胁1 ) = 唧鼢圳一t ) l = lj = e x p 口一1 ) 其中盯= 口，m = 专口，m ，( f ) ，由唯一性定理知s 是一个复合p o i s s o n 过 = l“l - l 程，且进一步有 证毕 忍( z ) = 吉砉蜗，( ：) 定理2 2 6 设 m ，t o 是强度为a 的齐次泊松过程，对于任意实数t o ，若已知 0 - - - - 1 0 ，则这过程的前n 个点发生时刻( s l ，s 2 s 。) 和n 个在( 0 ，d 上均匀 分布的相互独立随机变量u l u 2 u n 的次序统计量有相同的n 维联合分布，即 随机向量( s l ，s 2 s 。) 有1 1 维条件密度函数 “帆咖 由定理2 2 6 有 0 t 2 o ，增量，。= f 。一m 有参数为a ( t + s ) - a ( t ) 的 p o i s s o n 分布，这里爿( r ) = e n ，是尺+ 上的非负单调不减连续函数，并称做过程的 累积强度函数( 或简称累积强度) ( 3 ) 有独立增量 按照定义，带时倚强度口( ，) 的p o i s s o n 过程是一类特殊的非齐次p o i s s o n 过 程在后面的讨论中，假设( 时倚) 强度存在 ( - - ) c o x 过程( 或称重随机p o i s s o n 过程) 通过允许p o i s s o n 过程的强度不仅可随时间而变化，而且还会随环境等因素 随机地改变，即强度本身是一非负实值随机过程时，我们就得到所谓重随机 p o i s s o n 过程 定义2 2 8 随机过程a = a ( ，) ；，o 若以概率1 满足 ( 1 ) a ( o ) = 0 ( 2 ) 对任意， o o ，有a ( ，) o 是一 强度为1 的齐次p o i s s o n 过程，并且a 与相互独立，则点过程 ( ，) = 。a ( ，) = 霄( 人( ，) ) 称为重随机p o i s s o n 过程假设a ( r ) = f 兄( s ) 如，称 z = 缸( r ) ，2o 为强度过程，贝q a ( t ) 是累积强度过程 d c o x 于1 9 5 5 年首先引入并讨论了重随机p o i s s o n 过程，所以人们也把这类 点过程称做c o x 过程 定理2 2 7 如果a ( f ) 是随机测度，且假设e a ( f ) m ， ，：= 仃( a ( ，) ， o ) 为一单调递增的，子d 一域流， r - - r ( o ，t o 是任意的随机过程，令厂；= 盯( ，( s ) ，s ，) ，7 = ( 尸? ，o ) ， 则厂；是由过程y 在( o ，f 】时间段生成的仃一域，表示过程j ，直到时刻f 的历史 如果对每个r 0 ，l ，( ，) 为厂，一可测，那么过程j ，称为f 一适应的，显然，】， 是f 一适应的当且仅当对于所有的，o ，厂? 厂，成立 定义2 3 1 实值过程m = m ( f ) ，t 0 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的f 2 0 ，材( f ) 为夕，一可测； ( 2 ) 对于任意的f 2 0 ，e j 凹( ，加 0 为一右连续的，一鞅， s ，r 为两个停时，则e 膨( r ) i z = m p ns ) p - a 盘 2 0 硕士学位论文 第三章 双广义p o i s s o n 风险摸型 第三章双广义p o i s s o n 过程的风险模型 本文在经典风险模型基础上，把保费与索赔到达过程进行推广，得到保费和 索赔到达均为广义p o i s s o n 过程的风险模型： m ，z 。n 墨= + c 4 一一( z l = 芝毋) t = l 1 = 1 k = l 运用随机过程和鞅论的方法得到该模型的破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式和 一般表达式，最后得到了当个体索赔服从指数分布时破产概率的具体表达式。 3 1 模型的定义与实际背景 定义3 1 设0 f o 给定某概率空间( q ，f ，p ) 上， ( 1 ) z = 五 二是取值于( o ，+ 一) 的具有独立同分布f 的随机变量序列； ( 2 ) m = m t ，t o ) ，= m ，o 分别是参数为口 o ， o 的p o i s s 。n 过 程： ( 3 ) a 2 a t ，净1 ，2 ) b = b j ，j = l ，2 分别都是独立同分布的离 散型正值随机变量序列，其分布分别为 尸( 4 = 功= 或，p ( e = 开) = 吼，珂= 0 ，l ，2 ； ( 4 ) x ，m ，n ，a ，b 相互独立。令 l t = u - 墨s ：窆一一。兰4 ，f 互：兰皖 ，o 。i ，。i k = l 2 l ( 3 - 1 ) 硕士学位论文第三章 双广义p o i s s o n 风险模型 则称 r 。t o 为保费与索赔到达均为广义p o i s s o n 过程的双广义p o i s s o n 风险 模型，过程 sf 0 为索赔过剩过程。 实际背景 ( 1 ) u 表示保险公司的初始资本，c 表示每张保单的保费额： ( 2 ) m t 表示保费到达时刻形成的点过程，服从参数为口f 的p o i s s o n 分布； ( 3 ) n t 表示索赔到达时刻形成的点过程，服从参数为历的p o i s s o n 分布； ( 4 ) a i 表示每次保费到达时的保单数： ( 5 ) b k 表示每次索赔时要求索赔的数目，x j 表示每个个体索赔的索赔额； ( 6 ) 表示保险公司在t 时刻的盈余资本，s 。表示保险公司在t 时刻索赔总额 与收入总额的差。 记 4 一= ( 墨+ 五十+ ) + ( 毛+ 。+ + ：+ + 黾+ 岛) ” ，。i + ( + 耻+ l + + 竹+ ) 形= 蜀+ 爿j + + j 2 h + 1 + + + 吗 阡k = 盖珥+ 岛+ 氐忡。+ i + + x 马+ 岛+ 一+ 巩， z tn 则复杂过程一( z ，= 岛) 可变形为较为简单的复合p o i s s o n 过程。易知， j5 l t ；t ，。是独立同分布的随机变量序列。 硕士学位论文 第三章双广义p o i s s o n 风险模型 这样，模型( 3 1 ) 可以化简为 m tn 置= “+ c 4 一 ( 3 2 ) 其中形= ，爿是取值于( 。，+ 。) 的具有独立同分布( x ) = 荟+ o a 吼f ( n ( x ) 的随机 变量序列。 为保证保险公司的稳定经营，假定研s 】 屏以，其中 r = 研4 】，= 研】，五= e 【最】，表示单位时间内的保费收入大于索赔额。 由此定义安全负荷系数p = 与= 面c o f g 1 以及最终破产时刻为： 最终破产概率为： 互= 赠f ，r 0 似) = p 瓦 0 是下凹的。从而g ( r ) 在r 0 内有唯一的极小点。又g ( o ) ：a + f i ： 于是方程g ( r ) = a + f l 在r 0 有唯一的正根，即g ( r ) = o 存在唯一的正解，我们记 它为r 。 定义3 2 对于索赔过剩过程 s ，t 0 ，定义事件流 l - 1 5 = n ；，r 2 0 其中n ，。= 盯b ，v sr ) 引理3 2 令坂( ，) = 7 e - r ( u 矿- $ d 硕士学位论文第三章双广义p o i s s o n 风险模型 则 帆o ) ，n ；，f o 是鞅 证明：由s t 的定义易知 s ，t o 是一右连续过程，具有平稳独立增量，对任 意v s ，有 即证 n ：】 堋咖d 茄卜 定理3 1 保费与索赔到达均为广义p o i s s o n 过程的双广义p o i s s o n 风险模型 m c2 n 墨= “+ c 4 一艺一( 其中z f - - e 忍) i i - l k = l 的最终破产概率满足l u n d b e r g 不等式 缈( z f ) e 一“ 其中置5 鬻 ，：g ( ，) o )， u 证明：根据引理3 2 及停时定理，有 e 一= ( 0 ) = 研帆( t o 毛) 】 = 研帆( 岛 毛) l 瓦s ，o 】p 毛 ，o 】p 瓦 ，o e 【 丸( t o 瓦) i 瓦f 0 】p 正s ，o = e 【帆( 瓦) i 瓦 t o j e r 。 t o ) ( 3 - 6 ) 矧钟 等麟 研 m 硕士学位论文 第三章双广义p o i s s o n 风险模型 由于在 瓦 。 的条件下，“一蛙 t o ) ( 3 - 7 ) 以i a 表示集合a 的示性函数，有 硕士学位论文 第三章双广义p o i s s o n 风险模型 o s e e - s ( = - s q ) i 瓦 f o 】p ( 瓦 f o ) = e i e - r ( = - s q ) 咱i s 叫”刚巾一瓯o 】 e h 于o ，o 】p t o = 0 p = a s j 蜘 l 、 于是在( 3 - 7 ) 式两端令乇 斗有 所以 即 口一鼬= i i me p 埘扣i t o p ( 互t o ) t a = 研p 叫“吨i o 为常乖j 率双广义p o i s s o n 风险模型。 实际背景 ( 1 ) ( r ) 表示保险公司在利率为占时t 时刻的资产盈余，u 表示公司的初始准备 金，c 表示每张保单的保费额： ( 2 ) m ( t ) ，n ( t ) 分表示保费到达过程和索赔到达过程，是强度分别为瑾，的 p o i s s o n 过程： ( 3 ) 4 表示第i 次保费到达时的保单数目，e 表示第j 批索赔发生时要求索赔的 数目，五表示第f 个索赔的个体索赔额，表示第j 批索赔的索赔总额。 令( 甜) 表示利率为万，初始准备金为u 时保险公司的破产概率，即 一 = )o y 硕士学位论文 第四章常利率下的双广义p o i s s o n 风险模型 c 炉尸 i 曲 o r 。( t ) o 的折现值过程 ( f ) ，f o 硕士学位论文第四章常利率下的双广义p o i s s o n 风险模型 巧( f ) 玎4 兄( f ) = m 善o ) 4 一f e - 8 , d y ( v ) 以t n 表示第n 批索赔时刻，则有 ( f ) = “+ ， 其中兄- = 珥。七一奶4 = ( 弓) 一( i 。) 珥。= c 4 p 吨一p 也 q = 乃一，= 1 ，2 n 当艿 o 时 日o ， ，。是i i d 的，但 h 。， ，。不是的。 e ( h ；，) = e ( h ：1 ) = e c a 。p 一以- w ：一啊1 h m 隔) h 皿t t l = c e a 。p 一以】e ( w 1 ) e ( e 盯1 ) 一c 饯y 氕p ；b 8 6f l + 8 定义如下安全负荷系数 ! 笙一2 丝 p = 掣= 器一 b 6 除非特殊情况，我们假定p 0 。 定义4 2 h ( r ) = r 矿a l ( x ) - l 假定4 1 存在k 0 当，一名时，颤，) 斗佃( 允许r 曲= + ) 硕士学位论文第四章常利率下的双广义p o i s s o n 风险模型 令g 表示h ：，的分布，e p g ( x ) = p 珥，工) ，则 g ( ，) = e e ”粥( 工) = e e 峨1 = e l p “ ：聊k 吧驾脚e 删，】 = 矗( ，) + l 引理3 1 g ( r ) 存唯一正解 证明 g ( ，) = 一i ：船“d g ( x ) g ( o ) = 一e ( h a 。) g ( ，) = e x 2 e - n d g ( x ) g ( o ) = e e i i 。2 j 只要珥，以正概率取正，则 9 7 ( o ) 0 从而曲线g ( ，) 在r o 内是下凹的，所以在r o 内g ( r ) 有唯一极小值点，于是g ( r ) = l 存在唯一正解 令f 8 = ( 掣，n = o ，l ，2 ) 其中掣= 仃 ，y = o ，1 ，2 栉) 引理4 2 e e - m , j + , i p 】研e 一哪”】 硕士学位论文 第四章常利率下的双广义p o i s s o n 风险模型 证明： e e 一i i 掣】= 研- , _ - r ji 】 = e e 【g h ，嘶f 7 d g ( x ) ( 由h ：j + l 与呼独立) 即证 ：f = 。 1 l d c r ( x ) ( t - j e e - ” d c r ( x )与f h 独立)= l ( t 与f h 独立) f p d g ( x ) = e e - r l g a 】 令n u 表示到破产为止索赔的次数，则它是_ 个停时，且( ) = 尸 机 n o 研( n o n 虬) i 帆】p 虬 n o ) = e 【蝇( m ) i 帆】p 虬 因为在虬 0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，0 ； 为： ( 1 ) 石= 置 。取值于( o o o ) 的具有独立同分布f 的随机变量序列，均值 ( 2 ) m = 彳( f ) ，t o = ( f ) ，t - 0 分别为参数为 口 0 ， 0 的p o i s s o n 过程 ( 3 ) 4 = 4 ，。，b = e ，。都是独立同分布的离散型取正整值的随机变量 序列，其分布分别为p 4 = 胛 = 岛，p 哆= 刀 = 吼，均值分别为y ，z ： 令 ( 4 ) 形= 矿( f ) ，r 0 是一标准的维纳过程。 ( 5 ) x ，m ，n ，a ，b ，w 均为相互独立。 吖( f )z ( f )“ r ( r ) = u + c 4 一一+ 6 w ( t )( 其中z ( ，) = 毋) ( 5 1 ) ，。l j = l k = l 硕士学位论文 兰至童萱王垡堡塑翌墨塑垫! 竺垦堕堡型 称 r ( ，) ，f o 为带干扰的双广义p o i s s 风险模型。 m ( f )z ( f ) s ( ，) = c 4 一一+ 万矿( f ) 实际背景： ( 1 ) u 表示保险公司的初始资本，c 表示每张保单的保费额，艿为正常数； ( 2 ) m ( t ) 表示保费到达过程，是一强度为口的p o i s s o n 过程，n ( t ) 表示索赔到达过 程，是强度为的p o i s s o n 过程； ( 3 ) a l 表示第i 次保费到达时的保单数目，表示第j 次索赔时要求索赔的数目， 五表示每个索赔的索赔额； ( 4 ) w ( t ) 表示随机干扰，为一标准维纳过程； ( 5 ) r ( t ) 表示保险公司在t 时刻的盈余资本。 令 巧= 。+ j ，- + + 如+ 。表示第j 次索赔的索赔总额， 巧 ，。是独立 同分布的随机变量序列，其分布为三( 力= 吼f ”( x )这样模型( 5 1 ) 可转化为 吖( f )( f 】 r ( f ) = 砧+ c 4 一一+ 8 w ( t ) 机f m ， s ( ，) = c 4 一巧+ 6 w ( t ) 显然为保证保险公司的稳定经营要求e s ( f ) 】 o ，即 c r a g 一肛砸 o ，由此可以定义安全负荷系数 ( 5 2 ) 硕士学位论文 第五章带干扰项的双广义p o i s s o n 风险模型 p ：c a y - p 缸；翌一l o 九耻8 丸l i 以及最终破产时刻为 最终破产概率为 瓦= 呀川r ( t 。) 0 时曲线g ( r ) 是下凹的，且斗佃时， g ( ，) - - h4 0 0 ，从而g ( r ) = 口+ 有唯一正解，即g ( r ) = 0 有唯一正解，我们记之为 r 。 硕士学位论文 第五章 带干扰项的双广义p o i s s o n 风险模型 令 z f = c r ( m ( s ) ，s r )e = 盯( o ) ，j r ) 矽= 盯( 矿( j ) ，s ，) f t = f u f ? u f , w 显然 e