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小学六年级数学教案函数的对称性与周期性周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。一、一个函数关于两个点对称。命题1：如果函数 的图象关于点 和点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。证明：函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。又函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。从而即：是周期函数， 为函数 的一个周期。特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。命题 ：如果函数 的图象关于两点 和 对称，那么：当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。当 ， 时， 不是周期函数。证明：函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。又函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。从而当 ， 时即：当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。当 ， 时当 ， 时， 不是周期函数。当 ， 时（与条件矛盾，舍去）综合得原命题成立。二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。命题2：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。证明：函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。又函数 的图象关于直线 对称，对定义域内的所有 成立。从而即：即：是周期函数， 为函数 的一个周期。特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。命题 ：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。证明：函数 的图象关于点 对称，对定义域内的所有 成立。又函数 的图象关于直线 对称，对定义域内的所有 成立。从而即：即：是周期函数， 为函数 的一个周期。三、一个函数如果关于两条线对称。命题3：如果函数 的图象关于直线 和直线 对称，那么函数 是以 为周期的周期函数。证明：函数 的图象关于直线 对称，对定义域内的所有 成立。
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