（概率论与数理统计专业论文）信用风险模型的破产问题.pdf

摘要 经典风险模型及其推广为描述保险公司的经营状况提供了数学 模型。考虑列保险公司的破产概率与信用风险有着密切的联系，同时 考虑到资金的时间价值，本文对利率下的离散时间信用风险模型进行 了研究。 在第二章中，首先引入有限离散时间的般信用风险模型及其相 关结论。 在第三章中，讨论了常利率下的信用风险模型，用递推的方法得 到了有限时间内的破产概率和破产时间分布，并通过对破产概率的分 析，得出了破产前盈余分布，破产时余额分布以及破产前、破产时余 额的联合分布。 在第四章中，在利率以，月1 ) 为独立同分布的情形下，进一步研 究了利率下的离散时间信用风险模型，同样地得到了破产概率，破产 时间分布，破产前盈余分布，破产时余额分布以及破产前、破产时余 额的联合分布。特别地，当利率也，t 2 l 为常值序列时，即为常利率 的信用风险模型，此时可以得到与第三章一样的结果。 在第五章中，讨论了利率相依的离散时间的信用风险模型，得到 了有限时间内破产概率和破产时间分布的递推公式，进而得出破产前 盈余分布，破产时余额分布以及破产前、破产时余额的联合分布等结 果。 在第六章中对所得结果进行了分析，得到了一些有用结论。 关键词破产概率，信用风险模型，利率，破产前盈余，马尔可夫链 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a la n de x t e n s i v er i s km o d e l so f f e ru sm a t h e m a t i c a lm o d e l s f o r d e a l i n gw i t h i n s u r a n c ec o m p a n y sp r o b l e m s c o n s i d e r i n gt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er u i np r o b a b i l i t ya n dc r e d i tr i s k , a l s ot h ef u n d s t i m ev a l u ei n c l u d e d ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ef i n i t ed i s c r e t et i m ei n s u r a n c e r i s km o d e lw i mc r e d i t r i s ku n d e rt h ei n t e r e s tf o r c e i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ef i n i t ed i s c r e t et i m ei n s u r a n c e r i s km o d e lw i t hc r e d i tr i s ka n ds o m ec o r r e l a t e dr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ec r e d i tr i s km o d e lu n d e rt h e c o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e b yu s i n gt h er e c u r s i v em e t h o d ，f i n i t et i m er u i n p r o b a b i l i t ya n dd i s t r i b u t i o no fr u i nt i m ea r eo b t a i n e d m o r e o v e r , b yt h e a n a l y s i so fr u i np r o b a b i l i t y , t h er e c u r s i v ef o r m u l af o rt h ed i s t r i b u t i o n so f t h e s u r p l u sb e f o r ea n da tr u i n t o g e t h e rw i t l lt h ej o i n td i s t r i b u t i o no f s u r p l u s e s a r ea l s od e r i v e d i nc h a p t e r4 ，w h e nt h ei n t e r e s tf o r c ei s i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ed i s c r e t et i m ei n s u r a n c er i s km o d e l w i t hc r e d i tr i s ku n d e rt h ei n t e r e s tf o r c e t h er e c u r s i v ef o r m u l af o rt h e f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no fr u i nt i m e ，t h ed i s t r i b u t i o n s o ft h es u r p l u sb e f o r ea n da tr u i n ，t o g e t h e rw i t ht h ej o i n td i s t r i b u t i o no f s u r p l u s e sa r ea l s od e r i v e d i nc h a p t e r5 ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ed i s c r e t et i m ec r e d i tr i s km o d e l w i t hd e p e n d e n tr a t e s 叻er e c u r s i v ef o r m u l af o rt h ef i n i t et i m er u i n p r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no fr u i nt i m e t h ed i s t r i b u t i o n so ft h es u r p l u s b e f o r ea n da tr u i n t o g e t h e rw i mt h ej o i n td i s t r i b u t i o no fs u r p l u s e sa r e a l s od e r i v e d i nc h a p t e r6 ，t h ea u t h o ra n a l y z e sa l lt h er e s u i t sa n dp r o p o s e st h e e f f e c t i v ec o n c l u s i o n s k e yw o r d s ：r u i n p r o b a b i l i t y ，c r e d i tr i s km o d e l ，i n t e r e s tf o r c e ， t h es u r p l u sb e f o r er u i n , m a r k o vc h a i n i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：釜l 基坠日期：盟年上月丝日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：鲨垫垒 导师签名 日期：星! ! 年上巳月呈么日 硕士学位论文 第一章引言 1 1 风险理论简介 第一章引言 风险理论是决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，它可以应用于 许多涉及风险分析和决策的领域，例如：投资分析，资产管理，经营风险分析等。 风险理论作为保险精算的一部分，主要处理保险实务经营中的随机风险模型，从 定量的角度研究保险公司经营的安全性保险公司最终破产或在短期内破产 的概率有多大。风险理论的核心内容是破产理论，破产理论的研究溯源于瑞典精 算师l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文f ”，至今已有一百余年的历史。同时， c r a m e r 和其他一些瑞典学者也在这方面做了大量工作 2 1 1 ”。关于风险理论的研 究，可以依据风险模型的不同提法，针对保险公司运作中遇到的种种问题，通过 对概率或统计模型进行修正，附加各种条件，使得模型更加接近保险公司的实际 运作，这使得风险理论的研究变得非常富有挑战性。 一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在r 时刻的余额： u ( ，) = u + r ( t ) 一s o ) 其中，u ( u 0 ) 表示保险公司的初始资本； g ( t ) 表示( o ，印时间段内的总体保费收入； s ( f ) 表示( 0 ，明时间段内的总索赔。 这里，我们只考虑了保费和索赔这两个随机因素对余额的影响。随着时间t 的变化，盈余可能在某一时刻为负。当首次出现这种情况时，我们说保险公司发 生了破产。当然，这里所说的破产并不是保险公司要面临倒闭，这样做只是为了 数学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话，当 保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余v ( t ) 仍然可能为正的或者 可能恢复为正的。 我们所研究的破产概率( “) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某个险 种的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期风险的 警示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。因此， 破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管有着非常重要的指导 意义。下面将简要回顾经典风险模型及其推广。 硕士学位论文第一章引言 1 2 经典风险模型及其推广 1 2 1 经典风险模型 经典风险模型是最为简单的也是研究得最为透彻的风险模型。它的通常表述 如下： 令( q ，f ，d 是一个完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在 该空间上。设 u ( f ) = u + c t 一置 其中u ( f ) 表示保险公司在t 时刻的盈余，甜0 为保险公司的初始资本，c 表示单 位时间的保费收入，是正常数。f 表示( o ，t 】内发生索赔的次数是强度为五( a o ) 的齐次泊松过程。置表示第i 次的索赔额，是恒正的独立同分布的随机变量序列， 服从公共分布p ( x 功= f ( x ) ，并且= e x , ，i v , 与 五，i 1 ) 相互独立。 盈余过程u ( t ) 为负，这时称保险公司“破产”。保险公司首次破产的时刻，简 称为破产时刻。经典风险模型的破产时间定义如下： t = i n f t ：u ( t ) 0 ，则t = 0 0 ) 定义保险公司的最终破产概率： y ) = p t 0 ，其中o 为相对安全负荷。 a t i 假定1 2 ：令 ( ，) = f e r z d f ( z ) 一l ，存在名 o ，当r 个k 时，有| l ，( ，) t o o 。 硕士学位论文 第一章引言 对于经典风险模型有以下主要结果： ( 1 ) 当= o 时，= 而1 ； 2 当五服从指数分布时，矿 ) 2 番万8 川“印； 撕 ( 3 ) l u n d b e r g 不等式：y ) e 一“。 数。 其中r 为 ( r ) = _ c r 的正解，称为调节系 l ( 4 ) c r - l m 慨逼近：嬲p “妒( “) 。而o 习u h ，d 、c 为了更加精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r 等引入了函数 g ( u ，y ) = e l u ( r ) l 弘t o o l u ( o ) = 其中| u ( 丁) i 表示破产时的赤字，g ( u ，y ) 描述了破产赤字的分布。g e r b e r 等川给出 了g ( u ，j ，) 满足的积分方程。特别地，当， ) 为混合指数分布和混合g a m m a 分布 时，给出了g ( u ，y ) 的解。随后d u f ：r e s n e 和g e r b e r 又引入了函数 f ( u ，x ) = p u ( t 。) 石，t 一甜 = 1 一p 五f ，叫 = 巧( 叫) = l 一气( 一“) 当玎= 2 时，仍 ) = 尸 u o ， o i 砜= ，厶= 南 = 尸 爿 一“，爿+ 彳 一“ 2 p 砑 七+ y ) l 霹= y 概( y ) 2 善k e p 玲七叫 峨 硕士学位论文 第一二章经典信用风险模型 2 喜卧 圳峨 类似地，我们有 ( “) = p u o ， o ，乩 o l u o = “，厶= 乇 = p 矸 m 矸+ 尉 咄，嵩印 一廿 2 e p 尉 七+ 力，薹跆 巾+ y ) j 钟= y ) a f r o , ) = 妻p 簟 一 + n ，薹跆 一似+ y ) 鸩。( y ) 2 喜e 胁+ j ，凇。( y ) 假定破产时刻的函数为 ) ，且l 。( “) = p t = n u o = “，i o = 矗 。 定理2 2 2 破产时刻的分布满足下面的递推公式： 丁( “) = 吒( 一, ) = 孝钆m 似+ 力蛾 n = 2 , 3 , - - 假定h 。( 甜，j ，) = e u r - y ，t 工，t o r y 0 ，表 示破产前盈余、破产时瞬间余额的联合分布。 定理2 2 4 破产前盈余、破产时瞬问余额的联合分布满足以下递推公式： 饩( 埘，y ) = ( ，力 n = l 其中民( 虬力= - ：一力： 硕士学位论文第二章经典信用风险模型 岫y ) = 妻+ ，f , ( - u - y - s ) 峨 2 喜钆( f ( 叫- y - s ) d ( s ) 一c “f ( 叫- y - s ) 蛾( s ” 2 喜瞰 j ，) 峨 嘣y ) = 喜“u + s , x , y ) 瓯( 脚) 岷( “，五力= 阡k ( “，x ，力 砜( y ) 嘻蝇训) 峨 证明：见文献【1 5 】。 硕士学位论文第三章常利率下信用风险模型的破产问题 第三章常利率下信用风险模型的破产问题 一般的信用风险模型是金融学中信用风险与保险学中破产理论相联系的风 险模型。本章考虑到资金的时间价值，将利率因素引入信用风险模型，针对这种 情形，考虑常利率下的信用风险模型，得到了一些重要结论。 3 1 模型的引入 考虑在每段时间间隔的初始时刻都存在一信用等级，用来衡量金融公司面 临债务风险的能力，用一个马尔可夫链来描述公司的信用等级。假定t 是一时齐 马尔可夫链，状态空间n - - 1 ，2 ，k ，此处l 代表公司的最高信用等级，而七代表 公司的最低信用等级假定毛= p 。= k = 磅，f ，芒，t = 0 ，1 ，2 是一阶转移 概率，则马尔可夫链的转移概率矩阵可以表示为q = 吼i q 2 k 乳 假定在所考虑的时间内具有固定利率r ，u 为公司的初始准备金，则在时刻, ， 公司的累积盈余为：阮= “( 1 + r y + 砰( 1 + r ) 8 1 m i l 式中以( 扫l ，2 ，k ；m = l ，2 ，) 表示在 m - i ，所) 时间区间内，公司信用等级 为第l 级时，公司资产的改变量 假定职，z ，砖是独立非同分布的，并且设f ( 功表示以的分布函数； 对于固定的i ，以( m - - 1 ，2 ，) 是独立同分布的； j 0 只依赖于沏1 ) 时刻公司信用等级一。的变化。 破产时刻即公司的盈余首次小于零的时刻：t = i n f n ：厅 o ，以0 则破产 概率可定义为( ) = e r i v o - - 4 ，i o = o 硕士学位论文第三章常利率下信用风险模型的破产问题 故生存概率。( 甜) = l 一( 甜) 以下各节将讨论有限时间内破产概率，破产时间分布，破产前一时刻的剩余分 布等闯题 3 2 有限时间内的破产概率 破产概率是保险公司最为关心的问题，也是风险模型研究的重点下面用递推 的方法得到了生存概率 定理3 2 1 。( “) 满足下面的递推公式： ( “) = 1 - 气( - “( 1 + ，) ) ( ) = ( 1 + ，) 圭纸。) ， 十j ，x l + ，) 城d ) = 2 ，3 ，。) 证明： ) = p 以r = l o l v 。= 以厶= i o 2 p 义 卅( 1 + ，) 2 1 一p 彳 一“( 1 + ，) 2 l - 气( 叫( 1 + ，) ) 当珂= 2 时，仍。( 甜) = p u o ，u 2 o l u o = 矾厶= f o = p 研 吲( 1 + ，) ，研( 1 + ，) + 霹 一甜( 1 + ，) 2 ) 2 ( 1 + ，) p 爿， ( “+ y ) ( 1 + r ) 2j 砰= y o + ，) 缎( y ) = ( 1 + ，) 圭e 户 雹 一似+ 力( 1 + ，) 2 甄( ) ，) 2 ( 1 + ，) 喜e 尸 墨 + y ) ( 1 + ，) 2 嚷( j ，) 。( 1 + ，) 喜吼( + 烈1 + ，) ) 矗( 力 类似地，当厅= 3 时， 仍。 ) = 尸 u l o ， o ，u o l u o = “，厶= 毛 = 户 j 一( 1 + ，) ，砰( 1 + ，) + z 于 “( 1 + ，) 2 ，a 3 ( 1 + r ) 2 + 并 ( 1 + ，) + z 一“( 1 + ，) 3 硕士学位论文第三章常利率下信用风险模型的破产问题 = ( 1 + r ) e | p 嘲 一 + y x i + ，) 2 ， 尉( 1 + ，) + 霹 却+ y ) ( 1 + r ) 3 | 钟= y ( 1 + ，) 舐o ) = ( 1 + ，) 壹p z 一“+ y ) ( 1 + ，) 2 ，墨( 1 + ，) + 砑 一 + _ y ) ( 1 + ，) 3 峨 ) = ( 1 + ，) 壹瓯，p _ 一“+ j ，) ( 1 + ，) 2 ，倒( 1 + r ) + 磅 一“+ j ，) ( 1 + ，) 3 矗o ) 2 ( 1 + r ) 善k ( + 力( 1 + r ) ) 嚷( 力 由此类推，可得： ( “) = p u o ，u 2 o ，u o l u o = 甜，厶= f o = 尸 矸 一郇+ ，) ，矸( 1 + r ) + 尉 一椰+ 妒，萎n 跆( 1 + r ) n - m 叫l + 矽 = ( 1 + r ) p 跚 七+ y x i + r ) 2 ， 皆( 1 + 矿1 - ( u + y x l + r ) ”豳= y ( 1 + ，) 嚷o ) m o z - ( 1 + r ) 喜瓯，e 尸 玲_ ( 哪x l + ， 塞跆( 1 + ，) 帅) ( 1 + ，) ” 吲y ) m zj = ( 1 + ，) 喜馈。烈“+ y ) ( 1 + ，肼f 。 对于任意的玎1 ，可以从定理的递推公式得到公司的生存概率，从而求 得破产概率。 当，= 0 ，常利率的信用风险模型即为一般的信用风险模型。此时可得： 推论3 2 1 ：( 甜) = l 一气( 一( 1 + ，) ) = l 一( 一) 够嘞( 甜) = ( 1 + ，) 善k - i ) ， + y ) ( 1 + ，) 凇。 = 妻e 绶。“+ y 线 o = 2 ，3 ) 硕士学位论文第三章常利率下信用风险模型的破产问题 与一般信用风险模型结论一致。 3 3 破产时间的分布 公司是否在某时间破产，这关系到许多顾客的切身利益。本节讨论破产时 间的分布，并通过计算破产时间的分布得到公司最终破产概率的分布。为了研究 破产时间的分布，假定破产时刻的函数为( “) ，并且 ( ”) = p r = n l u o = “，厶= 毛 定理3 3 1 ：破产时间的分布满足下列的递推公式： 气( ) = 气( 一u ( 1 + r ” ( ) = ( 1 + ，) 喜i 。“ + j ，x 1 + ，) m 只。( 力 。= 2 ，3 ，) 证明： 五。( 甜) = 尸 r = l l = ”，厶= 乇 = p u o l u o = “，厶= f o = 尸 五 o ， 一甜( 1 + r ) ，研( 1 + ，) + 爿 一“( 1 + ，) 2 ) 2 ( 1 + ，) p 磅 - ( 甜+ y ) ( 1 + r ) 2 i j 荦= y ( 1 + r ) 拖o ) = ( 1 + ，) 壹p 墨 x ，r = n l u o = 甜，厶= 南 n - l 5 z p u , o ，u 2 o ，以一 x ，乩 u o l u o = 虬厶= f o ：j 气( 一“( 1 + 7 ) ) 茗 毛 x - u ( 1 + r ) ，肿( 1 + ，) + 砷 一”( 1 + ，) 2 2 ( 1 + ，) 丘，p 砑 巾+ y ) ( 1 + ，) 2 陋= 灭1 + ，) k 2 ( 1 + ，) 喜e p 雹 _ ( “+ y x l + ，) 2 峨 - ( 1 + ，) 缸乓一。p 捌 x ，u 3 一”( 1 + ，) ，矸( 1 + ，) + 霹 x - - “( 1 + ，) 2 ，矸( 1 + ，) 2 + 霹( 1 + ，) + 时 x 一 + y x i + r ) 2 ， 丑手( 1 + ，) + y x 一 + ) ，x l + ，) 2 ，墨( 1 + ，) + 时 x 一 + j ，) ( 1 + r ) 2 ，捌( 1 + ，) + 尉 一“( 1 + ，) 2 ， n = l 砖( 1 + ，) 一。1 一“( 1 + ，) ”1 ，砩“( 1 + ，) 一叫( 1 + ，y y h 一-h_ m - im - - i j 硕士学位论文 第三章常利率下信用风险模型的破产问题 = ，_ y ) 其中( ) ，) 为破产时刻为n ，余额小于一y 的概率。 故啊( “，) ，) = p 矸s 一“( 1 + r ) 一y ) = 气( 甜( 1 + r ) 一y ) 当珂= 2 时， 鸭b ( ”，y ) = p x ， 一“( 1 + ，) ，田( 1 + r ) + 叫1 甜( 1 + ，) 2 - y = ( 1 + r ) p 工， 一( “+ x ) ( 1 + ，) 2 一j ，i 工= x ( 1 + ，) ) d ( x ) = ( 1 + ，) 壹瓯。p 弼 _ ( 甜+ x x l + ，) 2 一y 峨( 力 2 ( 1 + ，) 善k j p 倒 一( 川) ( 1 + r ) 2 一一峨( x ) = ( 1 + ，) 老e 州“( 1 州，j ，) 峨( x ) 类似地有 ( “，力= ( 1 + ，) 喜e 噍。瓜“+ 坝l + ，) ，j ，f 。( 工) 因此可得： 定理3 5 1 破产时的余额分布满足下述积分方程： 瓯( “，y ) = 五( 一“( 1 + ，) 一y ) + ( 1 + r ) 壹瓯，只( + x ) ( 1 + r ) ，y 瑚。( x ) 当，= 0 ，常利率的信用风险模型e p 为- - 般的信用风险模型。此时可得 推论3 5 1 ： 瓯 ，_ y ) = 气( _ “( 1 + r ) 一力+ ( 1 + ，) 壹q ( + x ) ( 1 + ，) ，y ) 鸩。o ) = f 。( - u y ) + k e + x ，y 城( 膏) 与一般信用风险模犁结论一致。 3 6 破产前后盈余的联合分布 硕士学位论文第三章常利率下信用风险模型的破产问题 为了全面了解保险公司的经营状况，d i c k s o n 和d o s r e i s 引入了破产前和 破产时余额的联合分布函数在他们定义的联合分布函数的基础上引入函数 见( “，x ，) ，) 表示破产前后盈余的联合分布 其中域( “，膏，y ) = 尸 o ) 则绒( ，工，y ) = 尸 坼 叫( 1 + ，) ，砖4 ( 1 + ，) 一2 叫( 1 + ，) ”2 ， 月= lr a = l h - ih_ 砖1 ( 1 + r ) - 1 一材( 1 + ，) 肛1 + x ，砖那+ ，) o l v o = “，l o = 矗 = p 矸 - u ( 1 + r o = 1 一p 戈辛叫( 1 + ) = l 一f ( 一“( 1 + f ”珥( ，) 当月= 2 时，仍b ) = p u l o , u 2 o l v o = l ，o = 乇 = ， 爿 一( 1 + ) ，矸( 1 + 屯) 十戈手 “( 1 + 吒) ( 1 + 眨) = f ( 1 + ，) 尸 磅 一“( 1 + f ) ( 1 + ，2 ) 一矸( 1 + 吃) 旧= y ( 1 + r ) ) 矗( j ，) 蹦，( f ) = f ( 1 + ，) 喜瓯，p 玲- ( 帅) ( 1 圳l + r 2 ) 蛾( y ) 彬( o = f ( 1 + f ) 喜p 墨 一“+ y ) ( 1 + ，) ( 1 + f i ) d ( y ) d 嗨( f ) = f ( 1 + ，) 喜n “州肌f ) ) 佤o ) 啦( f ) 类似地，当一= 3 时， 伤。( ) = 尸 u o ，蜴 o ，砺 o l v o = u , l o = o = p 矸 - u ( 1 + q ) ，矸( 1 + 吒) + 埘 - u ( 1 + r t ) ( 1 + r 2 ) ， 矸( 1 + 吒) ( 1 + b ) + 彳 ( 1 + 弓) + z “( 1 + x l + 吒) ( 1 + 吩) = f ( 1 + f ) p 尉 - u ( 1 + t ) ( 1 + 眨) 一矸( 1 + 吒) 埘( 1 + 弓) + 霹 一球( 1 + t ) ( 1 + r 2 x l + r 3 ) 一矸( 1 + 吒x l + 吩) l 工f ，= y ( 1 + f ) ) d ：吒( y ) d 珥( f ) 硕上学位论文 第四章利率独立同分布的信用风险模型的破产问题 ；f ( 1 + f ) 善k p 墨 一 + 朋+ f ) ( 1 + 吒) ，墨( 1 + 巧) + 砖 + j ，) ( 1 + ，x l + 吒) ( 1 + 吩) ) 矗( y ) ( z 船j ( ，) = f ( 1 + ，) 喜p 捌 一”+ y x l + f ) ( 1 + ) ，捌( 1 + r 2 ) + 砖 - - ( 甜+ y ) ( 1 + f ) ( 1 + ，i ) ( 1 + 吒) 吸o ) ( 嶂( f ) = 胁嘻n “哪) ( 1 + ，) ) 峨( y ) 嘲( ，) 由归纳法可得到，当玎2 有 ( 甜) = p 姒 o , u 2 o ，以 o i u o - - - - h ，i o = 乇， = p 砷 一z f ( 1 + _ ) ，x p ( 1 + 吃) + z ， 一u ( 1 + r 1 x 1 + r z ) ， 砖4 兀( 1 + ) - u n ( 1 + ) ) m = lf = m + lf t l = f ( 1 + r ) e p 尉 一甜( 1 + f ) ( 1 + 吒) 一矸( 1 + 吒) ， 砖1 兀( 1 + ) 吲( 1 + f ) 兀( 1 + i ) 一x f l o + i ) 陬= ) ( 1 + f ) ) 峨( y ) d m ，( f ) 2 2l = m + lj j 21 = 2 = r ( 1 + f ) 妻p 墨 一 + y ) ( 1 + f ) ( 1 + ，2 ) ，“， h月 砖4 兀( 1 + ) 七+ y ) ( 1 + f ) n ( 1 + ) 峨o ) 砒o ) m = 2i - m + lx = 2 = f ( 1 + ，) 融k 从川胁y 肿) ) 峨( 力m ( r ) 对于任意刀1 的，可以从定理的递推公式得到公司的生存概率，从而求得破产概 率 当独立同分布的利率序列纯，栉 为常值序列，即= ，( 常数) 时，由本节 定理可得定理3 2 1 的结论。 4 3 破产时间的分布 硕士学位论文 第四章利率独立同分布的信用风险模型的破产问趣 假定破产时刻的函数为。( ) ，并且( u ) = p t = n l u o = “，o = f o 定理4 3 1 破产时间的分布满足下列的递推公式： 五。 ) = c 。气( 一“( 1 + f ) ) d 坼( ，) ( 甜) = f ( 1 + f ) 粪曩。 + y ) ( 1 + ，) ( y ) d 协( r ) 月= 2 3 ， 证明：瓦( u ) = e r r = w o = “，o = f o = p u o l u o = ，i o = 南 = p 砷 o ，u 2 “( 1 + ，i ) ，砷( 1 + 吃) + z ， 一甜( 1 + ，i ) ( 1 + 吒) ) = f ( 1 + f ) p 尉 一“( 1 + t ) o + 吃) 一矸( 1 + 吒) 附= y ( 1 + r ) 峨( y ) d 嘭( ，) = f ( 1 + f ) 杰瓯，尸 置 一 + 烈l + 唧+ ，2 ) ) d _ ( ) ，) 掰磨) = f ( 1 + f ) 杰p x ，t = 胛= “，厶= 毛 n - i = p u o ， o ，u 。 墨乩 x ，【 o - - - - t l ，o = 毛) ：f f + ( - u z ， x - u ( 1 + r 0 ，j ( 1 + 吒) + 工， 一u ( 1 + f i x l + r 2 ) = f ( 1 + ，) e l + t 一。p 田 一“( 1 + r ) ( 1 + ，2 ) 一矸( 1 + 吃) 硕上学位论文第四章利率独立同分布的信用风险模型的破产问题 i 矸= y ( 1 + r ) ) d 0 ，) 棚，( f ) = f ( 1 + f ) 圭碍。，l 以彤 o , u 2 x ，以 甜( 1 + 吒) ，x ( 1 + 吃) + x ， x u ( 1 + r o ( 1 + r 2 ) ， 砰( 1 + 吒) ( 1 + 吩) + 盖 ( 1 + 吩) + 工 一”( 1 + 吒) ( 1 +