（应用数学专业论文）具有等值面边界条件波动方程的边界精确控制与解的极限性态.pdf

a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rb o t ht h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h ew a v ee q u a - t i o n sw i t ha ne q u i v a l u e db o u n d a r yo i las m a l l “h o l e ”a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e i r s o l u t i o n si nr 2 ( o rr 3 1 w eo b t a i nt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yw i t hb o u n d a r yc o n t r o l b yt h eh u m m e t h o d t h e nw ec o n s i d e rt h ec o n v e r g e n c eo ft h eh u ms o l u t i o n s o ft h ee q u a t i o n sa st h e “h o l e s h r i n k st ot h eo r i g i ni nac e r t a i nw a yt h ew h o l e d i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd i v e d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，b ya p p l y i n gt h et r a n s p o s i t i o nm e t h o d ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o f t h ew e a ks o l u t i o n st ot h ei n i t i a l - b o u n d a x yv a l u ep r o b l e ma n dt h ec o r r e s p o n d i n g e s t i m a t e s i nc h a p t e r3 ，b ya p p l y i n gt h eh u mm e t h o d ，w eo b t a i nt h ee x a c tc o n t r o l l a - b i l i t yo ft h ee q u a t i o n sw ep r o v et h ei n v e r s ei n e q u a l i t yb yc o m b i n i n gm u l t i p l i e r t e c h n i q u e sa n dt h ec o n c e p to fs t a r - s h a p e dd o m a i n i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o n st ot b e i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a st i l e “h o l e s h r i n k st ot h eo r i g i ni nac e r t a i n w a y i nc h a p t e r5 1w eo b t a i nb o t ht h ew e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h eh u m 8 0 】u t i o n s k e y w o r d s ：w a v ee q u a t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t he q u i v a l u e d s u r f a c e ；e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ；l i m i tb e h a v i o u r 2 摘要 本文研究r 2 ( 或帮) 中在小“洞”边界上具有等值面边界条件 波动方程的边界精确控制与解的极限性态对边界控制，利用h u m 方 法，我们得到了精确能控性本文还考虑当“洞”以一定方式收缩到原 点时h u m 解的极限性态全文主要分四章，内容主要为： 第二章用对偶方法得到了这类方程弱解的存在性与相应解的估计 这是后面研究精确可控与极限性态的前提条件 第三章利用h u m 方法得到了这类方程的边界精确可控性，即得到 了h u m 解主要是利用乘子法技巧结合星形区域的概念得到反向不等 式，从而得到了精确可控性结论 第四章重点研究了当“洞”以一定方式收缩到原点时，初边值问题 弱解的强收敛性主要利用 2 】中的结果及结合对偶方法而得到强收敛 性 第五章主要研究精确控制的h u m 解的弱收敛和强收敛性 关键词：波动方程；等值面边界值问题；精确控制；极限硅岙 3 l 简介 由于在制作灵巧机器人，对一些大的空间结构的控制等方面的需要，发展型 偏微分方程的边界精确控制问题的研究在上个世纪六，七十年代得到很快发展 ( 见 1 ，6 ，7 ) 到现在，具有d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n n 边界条件及一些 混合边界条件的线性与半线性偏微分方程的精确可控问题已得到较为完整的解 决( 见【7 ，8 ，9 ) 研究边界精确控制问题的一个很重要的工具是h u m 方法( 见【1 ，7 ，1 5 1 ) 。 其关键是证明反向不等式要证反向不等式，往往得先对方程的解作先验估计 对发展型方程，可以用乘子法技巧，非调和f o u r i e r 级数，微局部分析等方法获 得先验估计。用h u m 方法得到的边界控制函数在相应函数空间具有最小模性 质，得到的相应解称为h u m 解 由于很多实际问题的需要，特别是在石油开发中电阻率测井的需要，对偏微 分方程的一种新型的边界问题即等值面边界条件问题在上个世纪七十年代被提 出这是一类非局部的边界值问题对这种边界值问题，至少在线性的情况，一 个相当完备的理论已被建立，包括解的存在，唯一性，解的极限性态，边界条件 的均匀化，参数识别等问题( 见( 2 ，3 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 】) 解的极限性态是等值面边界条件问题研究中的一个重要方面由等值面边界 条件的含义可知，它相当于在等值面边界上给定了一个源在二维的情况，这是 一个线源；在三维或更高维的情况，这是一个面源或超曲面源当等值面边界收 缩到一点时，这种源就化为点源对这类问题解的极限性态进行考察就需要研究 当等值面边界以一定方式收缩到一点时，其相应的等值面边界条件问题的解是否 收敛于由相应的点源所对应的问题的解在实际问题中，如果等值面边界的测度 很小，而我们主要关心的又是离等值面边界较远处的解的数值与性态时，能否近 似地将此等值面边界条件作为一个点源来处理，就依赖于上述极限性态问题的解 决对于椭圆型方程已得到较好的解决( 见 1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ) 。对发展型方 程，a d a m l a m i a n 和李大潜在上个世纪八十年代初期分别对抛物和双曲方程在 n = 2 ，3 情形讨论了解的极限性态 本文研究的具有等值面边界条件的波动方程为无源的情形首先用h u m 方 法解决了这类方程的边界精确可控性，即得到了h u m 解然后研究当小“洞” 即等值面边界以一定方式收缩到原点时，h u m 解的极限性态。 5 具体的边界精确控制问题为，关于问题 鳄一乳= 0 y 。= 以( ) ( 与t 有关的待定函数) z 。鬻a r = 。， y e = 睢( 控制) 骓( o ) = ? ，哄( o ) = 珙， i nq 。= 吼x ( 0 ，t ) o ne 。= f 。( 0 ，t ) o i le = f x ( 0 ，t ) 对于给定的t 0 ，要确定一个空间风，使得对每组 y o ，畦) 皿，都存在一 个边界控制函数，使( 1 1 ) 的解满足 玑( t ) = 哄( t ) = 0 本文用h u m 方法得到了( 1 1 ) 的h u m 解( 风= l 2 ( q 。) xv ? 1 ) ，然后用对偶 方法研究了( 1 1 ) 的h u m 解的极限性态 6 初边值问题弱解的存在性 2 1 一些相关符号，概念 n 为r ”( n = 2 或3 ) 中一个有界区域孬。c cn ，磊。为以原点o 为中心的 星形区域，v g 0 它们的边界f = a q ，n = a 孬。充分光滑o = r o ( o ，7 - ) ， r o = ( z r lz 宄( z ) 0 ) ，其中矗( z ) 表示8 f 2 上。处的单位外法线向量 q 。= f 2 五。几个空间如下： k = 妣1 机h 1 ( q 。) ，。| r = 0 ，钆i r 。= 常数) ， v - 1 为k 的对偶空间 d ( q ：) = 以l 机c 。( 吼) ，且s u p p 咖。是吼中的紧集) 喝( q ) = 血协c o 。( 砭) ，也k = 0 ，也l r 。= 常数) 星形区域： n 为星形区域是指，j 。o r ”，使得( z 一护) 元( z ) 0 ， v x a q 其中z o 叫n 的中心 在本文中，“一”表示弱收敛；“上”表示弱+ 收敛； “_ 表示强收敛 e 表示与e 无关的正的常数数学式中重复下标表示求和，如 胁= 仇 t = l 2 2初边值问题弱解的存在性 在本节，我们考虑下面初边值问题弱解的存在性： 鳄一弘= 腓i n q ， 骓= d ( t ) ( 与t 有关的待定函数) o i le 。， f r 。鬻a r 一。， ( 2 ， 弘= o i l ， y e ( o ) = 醒，虻( o ) = 畦 7 利用对偶方法，我们先考虑问题 妒! 一九= 上 i n q e ， 丸= c 。( t ) ( 与t 有关的待定函数)o i l 。， z 。鬻a r - 。， 。， 九= 0o i l ， 。( o ) = 曲? ，妒：( o ) = 咖： 由1 4 ，5 1 知，有结论：若 蠼，旌， ) k l 2 ( q 。) l 1 ( o ，t ；驴( q 。) ) ，则( 2 2 ) 有唯一解 眵。工o 。( o ，t ；k ) nw 1 ，o 。( o ，t ；l 2 ( q ；) ) 慨怯( 。，丁；k ) n l f ”( o , t ；l 2 ( f 2 3 1 s c l l l v + | 1 妒：l | 印( m ) + i l f d l l - ( o ，丁江：( n 。) ) ) 、。 用g a l e k i n 方法证明这个结论。先解问题： 卜“风 协嘎， j 风= 岛( 待定常数) o nf 。， 池秘- o ， 心4 i 风= 0 o nr 不难知， ( 2 4 ) 存在可列个特征值0 m ，则田( z 6 j 日j 得 ( 西。) 。一( 。) 。】” ( 。) 。一( 咖。) 。 d x - 【( 曲；) 。一( 币。) 。】【( 曲。) 。一( 。) 。 d x j n ej n = n 丘e d z ( ( 也) 批 = m + 1 从而由( 2 8 ) 可得 i f ( s ) n 一( s ) m l l l * ( o ，丁；v 。) n w t * ( o ，t ；l 。( n 。) ) e 1 i ( 。) 。( o ) 一( 。) m ( o ) l i k + l i ( 。) ：( o ) 一( 西；) ，m ( o ) i i l 。( n 。) + 旧f 。a e j d z ) 州川咿， 则当n ，m - - + 。时，由( 25 ) 可得 f ( 币；) 。一( 咖) m i f l 一( o ，t ；k ) n w - ，。( o ，t ；l 2 ( n 。) ) 斗0 ， 从而 ( 。) 。；( 工。0 ( o ，t ；k ) nw 1 ，。( o ，丁；l 2 ( n 。) ) ) ，( 2 9 ) 由于( 也) 。c ( o ，t ；v 。) n c l ( o ，t ；l 2 ( 吼) ) ，所以( 2 9 ) 的收敛实际是在c ( o ，t ；k ) n c 1 ( 0 ，t ；l 2 ( q ；) ) 中，因而 咖。c ( o ，? ；1 眨) nc 1 ( 0 ，t ；l 2 ( q 。) ) ， 且 ( c e ) 。( o ) 叶也( o ) ( k ) ，( 九) ：( o ) 一蝶( o ) ( 三2 ( 吼) ) ， 又由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 知 ( 。) 。( o ) + 庐：( k ) ，( 西。l ( o ) + l j i ：( l 2 ( q ；) ) ， 所以 曲。( o ) = 妒：，：( o ) = 妒： 下面证明仉为( 2 2 ) 中方程的解由 上。( 庐e ) ：e j d x = 上。( 。) 。e ，d + 上。，；勺d z 一+ 上。a 曲s e j d x + z 。 e ，出在l 。0 ( 。，t ) 中， 1 0 点，) ：e 如= 嘉小山叫z 叶嘉上。屯e j d x = 小e j d z 在( d ( 0 ) t ) ) ，中， l l n j 审：e l d z l k j 审e e j d x = 1 n j | e e i 妇、 由勺的任意性，知以为( 2 2 ) 中方程的解 由上面所述，结论中解的存在性与( 2 3 ) 得证解的唯一性可由( 2 3 ) 得出， 故整个结论成立 对( 2 , 2 ) 的解，我们证明还满足 上( 警) 2 d c 1 i 琵圳娥1 2 御一孔呱州n 踟) - ( 2 1 0 ) 用乘子法( 见【1 ) 证明在( 2 2 ) 两边乘以q v 西。并在q 上积分，可得 施州，( 等) 2 一小帅纰卜小一v 州础 一扳刚蛙) 2 d + 江( d 讪q ) 附一l v 堋捌t ( 2 1 1 ) 十五。器差罄d x d t - 正。如v 倒础t 此时，取g ( 茹) ( g 2 ( 瓦) ) n ，q l r = 元及g i 孬，三0 ，其中丽1c q ，磊。cn 1 ， 当0 e 1 时刚f 2 1 1 1 变为 互1 从嵩0 ) 一小帅螂茁仨 + ；丘。( 酬嗍v 州捌t ( 2 1 2 ) + 工。器甏篱d x d t - 五。丘a 。v 倒谢乱 由( 2 , 3 ) ，( 2 1 2 ) 我们可得( 2 1 0 ) 特别地，对于问题 曜一幽e = l e i nq e 。 以= k ( f ) ( 与t 有关的待定函数)o n 。， 厶篑a r = 。， 江嘲 日e = 0o i le o d t ) = ( 丁) = 0 ， 由( 2 3 ) ，( 2 1 0 ) 知，它的解有如下性质 限忆邓疋晰州咿一陋) ) + 职。， 协1 4 ) s e 忱怯c o ，t 正：她) ) 厶骓倒蜘江锻p o ) 。d 血x d t - 名辇 瑚 + z 。以正鬻d e 卜“ g | | 鲤1 1 l 。( 吼) + i i 掣：i l v z + l | p e l l l - ( o ，t ；叮) + l i l l l 2c ) ) 如捌忙缓= j 鼻鬈 江 + 小则础一小蒙捉 f 埔 对( 2 1 3 ) 的解以，小难得佰计【见j i l o o ( 。) 1 1 k + i i o a 吲b 川i i 川州呱圳舭啦、 c i i g e i l l ( o ，t ；k ) 要4 i t ! ( 2 1 7 ) ，先证 f i 以( o ) f f k + f f ( o ) f f l 。( m ) + f i 以l l l * ( o ，t ；k ) g f f 吼i f l - ( o ，r ；k ) 在( 2 1 3 ) 两边同时乘以0 ：，并在q 。上积分，得 畦( 一a 0 。) d x d t = 畦虻d 。出 j 0 。j 口c 因为 正。日：口 d x d t - - j 五。面d ( 口：) 2 d z dc = 一互1 上。( ( 。) ) 2 d z ， 一r e , o ：龇d x d t = - l 幅鬻阱f ov o e ，v o 脚 = 扳爰( v 蚴2 d x d t = - i 1 小蹦o ) ) 2 峨 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) z 。o l ， e d x d t = _ z 。s 出出= 一z 。( 以+ ，跏c 如m = 一t 乳鬻抖五。v 艮v g 。d x d t - 扳扣2 捌t = z 。v 以v 础出， 即 一；上。( 口：( 。) ) 2 d z 一；上。( v 砍( 。) ) 2 d z = 五。v 以v 靠d z d 。 从而由h 6 1 d e r 不等式及c a u c h y 不等式，可知( 2 1 8 ) 成立 再 汇明 1 1 丝o n1 | l 2 ( 。) - e 洮r ， ( 2 1 9 ) 由( 2 1 2 ) 知 ；：7 k a 0 8 n 。、j2 d z = - 正，口：( 。) a v p 。( 。) d z + ；z ：( 删一j v 卵 捌t ( 2 2 。) +厂。堕差丝dxdt+jqo x j a x j正。倒，v 啊础 。 。 缸k i ，让“。5 ” 而( 2 2 0 ) 中最后的式子为 z 。m 。v d x d t = z 。畦乳a 宄a 一z 。v 础m z 。( 加啪砌z ( 2 。) 一lo q v g s d x d t - 正。s ( 战吲捌t 由( 2 1 8 ) ，( 2 2 0 ) 及( 2 2 1 ) 知，( 2 1 9 ) 成立。从而由( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 知，( 2 1 7 ) 成立 结合( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 可得，虻工”( o ，t ；k _ 1 ) ，且 i v i l l 一( o ，丁；k 一- ) e 1 1 蚝0 1 1 l 。( n 。) + l i 旌i l 盯- + 1 1 风f 1 l 1 ( 0 , t ；仃- ) 十1 1 1 1 l 。( ) ) 由上面所述，即知下面定理成立 定理2 1 若 g ? ，畦，p ；，瞻) l 2 ( 叱) 吁1xlx ( o ，乃1 ，1 ) xl 2 ( ) ，则( 2 1 ) 有 唯一的弱解y ；l 。( o ，丁；l 2 ( q 。) ) n w l ，o 。( 0 ，t ；p 1 ) ，且 乳1 1 l 。( 。，t ；l ：( n 。) ) + 1 i 骓1 j w ( 。，t ；盯- ) sc i b ? l l 弘( n 。) + 1 1 记1 f 盯1 f 2 2 2 1 圳酬l t ( o ，已盯- ) + 慨怯( e ) - 注2 1 通过磨光方法，可得( 2 1 ) 的解骓c ( o ，t ；三2 ( 眈) ) n c l ( o ，t ；瞄1 ) 证明：我们用磨光方法证明该注( 见 6 l t ( o ，t ；v , - 1 ) x l 2 ( ) ，可找到序列 ( 卯) 。 ) 对( 琵，鲤，仇，) el 2 ( n 。) xk - 1 ( 口：) 。，( m ) 。，( 2 _ ) 。 l 二苌a ( q 。) d ( n s ) d ( q 。) xd ( o ，r ；俨( r ) ) ，使得当n _ o 。时 ( ? ) 。叶g o ( l 2 ( 吼) ) ， ( 碟) 。_ y t ( 嵋1 ) ， ( 仇) 。寸仇( l 1 ( 0 ，t ；v f l ) ) ， ( ) 。寸( l 2 ( ) ) 而( 2 1 ) 相应于 ( g ? ) 。，( g ：) 。，( 风) 。，( ) 。 的解( 玑) 。足够光滑，特别地， ( 骓) 。c ( o ，t ；l 2 ( q 。) ) n c l ( o ，t ；v 1 ) 由( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 可知 ( 乳) 。乳( l 。o ( o ，t ；l 2 ( q ；) ) nw 1 ，o 。( o ，t ；瞄1 ) ) 从而由( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 知该注成立 1 5 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 口 3 具有等值面边界条件波动方程的边界精确控制 我们用h u m 方法研究精确控制问题( 见 1 ，6 ，7 】) 。 先解问题： 再解问题 曲：一。= 0 i nq 。， 仉= 岛( ) ( 与t 有关的待定函数)o n 。， z 。薷a r 一。， ( 3 ， 九= 0o i l ， 曲。( o ) = 锲，曲：( o ) = 庐：， 皑一a y 。= 0 i nq y e = 噍( t ) ( 与t 有关的待定函数)o i l 。 工和一o ， o n o ， o i l e o ( 3 2 ) 上。( 瓮) 2 啦g 桃i 2 他，) _ 3 1反向不等式的证明 我们用乘子法来证明在( 2 1 1 ) 中取g = 。，则( 2 1 1 ) 变为 上。庐：z ，v e d 。l ；+ 詈z 。i 咖：1 2 d z d t + ( 一詈) z 。iv 舯础一扳( 棚) ( 2 d ( 3 。) = 互1 删( 籍) 2 陇 1 6 = 口膀b 叫 | l 丁 船 雏 由于n 。是以原点o 为中心的星形区域，则 ；( 。宄) ( 蝶) 2 d es 0 ， ；上。( z 宄) ( - a g 西t 。5 、) 2 d e 。 又由e o 的定义，那么 ；胪确( 鬻) 2 哪狯枷，( 薷) 2 也 所以，( 3 3 ) 变为 上。庐：z ，v 西e d 。【：+ 詈z 。l 庐：1 2 d z d t + ( 一；) z 。iv 蚓2 d x d t _ t o = 2 1 1 z i i l 叫o ) 时，对每组 醒，谚) 三2 ( q 。) x 吁1 ，存在唯一 的 曲? ，咖：) k l 2 ( q 。) ，使( 3 2 ) 的解y 。c ( o ，t ；工2 ( q 。) ) n c l ( o ，丁；瞄1 ) ， 且 可。( o ) = 可? ，可：( o ) = 掣： 其中也为( 3 1 ) 的解，它的初值 鲤，蛙) 满足 a 庐? ，庐：) = j ，一y 。o ， 而且，下面估计成立 1 1 。1 1 k + 1 1 旌1 1 研蚓+ 纠o ) s g l l y 2 1 1 职+ l l y ：l l “， lj 雏| l 叫o ，t l ：( n 。) ) + l l y s | | - 。( o ，曩审- ) c l l y y h 。( 吼) + | | 记| l f ) 我们称( 1 1 ) 如此的解雏为h u m 解。 1 9 4 初边值问题弱解的收敛性 4 1 收敛的含义 讲到n 。内的函数在f 2 内的收敛时，一般作如下延拓：有等值面的作常数延 拓，否则作零延拓如我们可将k 嵌入到嘲( q ) ，通过对艘k 作延拓： 聃雠。璧 将三2 ( q 。) 嵌入到l 2 ( q ) ，通过对键l 2 。) 作延拓： 魂( 。) ：( z ) z ! s 【0 3 7 q e 令记= 叫z o 。i 中o 。k ) ，2 ( 吼) = 建i 越工2 ( 吼) ) 则谚c 础( q ) ， l 2 ( q 。) cl 2 ( n ) 由于本文涉及到口1 嵌入到h _ 1 ( q ) 的问题，上述延拓办法遇到了困难， 故本文不作延拓，而主要从限制的角度出发，将收敛含义作如下处理。 定义4 1 对程l 2 ( 嘎) ，咖1 l 2 ( q ) ，我们称程一扩( 或醒一曲1 ) 按 驴( q 。) 意义，是指：若对v ，l 2 ( n ) 及任意 l 2 ( q 。) ，只要五- ，( 或 丘一，) 按l 2 ( q ) 意义，则一定有 rr 截五出_ 1 ，d z 定义4 2 对谚v - 1 ，9 1 h 一1 ( q ) ，我们称f ：一1 ( 或畦- 1 ) 按k 一1 意义，是指：若对v o 喇( n ) 及任意锲k ，只要建_ 西o ( 或魂一西o ) 按明( q ) 意义，则一定有 上。站醒d z ，j | ( 可1 扩d z ，j n cn 4 2几个引理 引理4 1 以_ 1 ( l 2 ( q ) ) 等价于畦- 庐1 ( 三2 ( 吼) ) ；蝶一1 ( l 2 ) ) 等价于 程。1 ( 上2 ( q 。) ) 2 0 证明：要证程一1 ( l 2 ( q ) ) 等价于蝶一曲1 ( 三2 ( 眈) ) ，由定义4 ，1 ，关键证明 当一0 时，有 l z 。： d z 一! 魂，d z l + 。 即 阪硝五- ，) 出卜o _ 因为丘_ f ( l 2 ( q ) ) ，由h s l d e r 不等式，可知上面关系式成立同样，可证 辨一咖1 ( l 2 ( q ) ) 等价于畦_ 1 ( 工2 ( 吼) ) 该引理成立 口 引理4 2 对畦嵋1 ，y 1 h “( q ) ，若以一y 1 ( k “) ，则关于班有一致 有界性 1 f 以f 1 盯c 证明：用反证法证明若不然，可以找到一子列 畦。) ：c i s 2 岛_ 0 ， 畦。) 1 ，及一列k 。，其中l f j | 硎( n ) = 1 ，使得 管；，l d z l ， ； z ，。旌：妒。d z l 上：。”：，五d z l ) 。， 一般地 瓤。y 知庙一n - - 1 皈珐弛i ) 礼 ( 4 t ) 由b a n a c h s a k s 定理，可以找到一子列 c n , ) 使得 。+ 斗咖o 日3 u 2 ) ， 其中 瓦。= ； 孤，+ 瓦。+ + 瓦。) 既然y 1 一可1 ( 吁1 ) ，那么 上。w ；。虿n e d z + ：。t 母。d 。r 但是，由( 4 1 ) 可知 上吨z2 也。蜘血；k - ik 蚺叫) 去汜蜘血一善忆训 n k - - 4 。 得到矛盾 该引理成立 下面具体说明限制的含义 设r e o ，谚口1 咖础( n ) ，其限制i m k 如下方式； 显然 口 y 1 h 一( q ) 对任意曲k + ，它的延拓 我们定义限制谚l k 。蟮1 ，v 1 i k 瞄1 以 上。谚把z 。畦司n 。出 上t y l i k 。蛐= 上霸z 且对任意： ； s 0 i i 以k 。0 旺。l i 以| | f t w 1 川。h n ( 谚i k ；) f k f5 谚i k i ，( 1 l k ；) 1 k ：2y l l k ： 引理4 3 若y ：吁1 且 蚝1 l i v ， 一致有界，那么存在一个y 1 h - 1 ) ，对 任意e + 0 ，都存在子列 ：。) ，使得 珐i k 。y l i k ( 瞄1 ) ( 当 n - + 0 ) 2 2 证明：我们只需对+ = ，= 1 ，2 ，证明引理4 3 即可 既然 畦i ) 在盯1 中有界，则可取一子列 y ；。) 与i v r l ，使得 同样地，既然 畦。1 飞 在5 - 1 有界，可取一子列 谚。) 与；5 - 1 ，使得 划_ 一g j ( 叮1 ) 。 以及 可；f “= 掣 一般地，得到 畦) 的k 阶子列，该子列在的限制弱收敛到以5 - 1 按5 - 1 意义，且 2 l y = 。 w - 一i 我们可定义y 1 h - 1 ( q ) 如下： 既然 y 1 l 飞2 f 毛k = l ，2 u 略= 础( q ) k = l 又| | 蚓i 百1 一致有界，则如上定义的可1 有确切的意义 该引理成立 结合定义4 2 与引理4 3 ，可得： 引理4 4 若引理4 3 中的y 1 唯一，则 y ；一1 ( 吁1 ) 口 证明：对任意给定的e + 0 ，不妨设e + e 0 由题意，即要证：当畦l k 。 1 l k 。( 瞄1 ) 时，畦。可1 ( 瞄1 ) 由以i k 一f 1 i 略( 唁1 ) ，则当五，_ ，( 明( q ) ) 时，有 上。以l k 。正出- 上”1 ，出 ( 4 2 ) 2 3 ! f i ：薹二参z 曼1 。d 茁+ 上。，：五1 。d 一互y l f d x i 托：二缫嚣姥辅 撼；蔗贬亳熟 由五一，( 硎( q ) ) ，五一，( 础( q ) ) 及( 4 2 ) 式，。 知1 4 。a 舭且 一 肛y = v 衄一 i 们n q , ， a ， f 一= o i nq s ， l ：e ；( t ) ( 与t 有关的待定函数) 0 1 2 s ， 隐“v 州， 衄匕 藏。“耻p 们i n q , ， o 0 ， o h 。k 。的情形证明定理即可因为光滑函数在各自的函数空间稠密，故对 于 p ，1 ，g ) l 2 ( q ) h - 1 ( q ) xl 2 ( ) ，可以找到序列 靠，酷，如 d ( a ) x d ( f 2 ) d ( 0 ，t ；c 。( r ) ) ，且对某个e o 0 ，到n 。k 。，使得 i i 酲一铲忆。( n ) + i i 靠一o 怕一t ( 嘞+ i i g 一g i l l z ( ) _ 0 ，当礼- o o 对于问题： l 篇一矗= 0 i n q ， 矗= 肌 o i l ，( 4 7 ) i 矗( t ) = 靠，岛( t ) = 酴， 它与( 4 6 ) 的解，由定理2 1 可知 1 | 矗一f i l l ( o ，t l 2 ( n ) ) n ( o ，t ；h 一( n ) ) ) ，当礼 o 。 故要证该定理，我们可令掣，f 1 d ( n ) ，g d ( 0 ，t ；c 0 0 ( r ) ) ，且对某个 印 0 ，引n 。k 。 2 5 与 它们分别满足( 见 2 ) ： 芒一己= 0 i nq 。， 刍2 。) 。n s ， ( 4 8 ) 毛= g o i l ， 己( t ) = 六琶( t ) = t ， 昆一乏= 0 i nq 。， = 瓦( t ) ( 与t 有关的待定函数) o ne 。， 厶秘_ 0 1 ( 4 。) = go i l ， 乏( t ) = 六昆( t ) = f 睡 a w e 圳= 一0 印朋姜 u 。( t ) = u ：( t ) = 0 ， 巨i n 鬟q e ， ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 一靠与 一 进g i旷我 下面我们证明当- - - y0 时 既然 即 u s il l 一( o 丁；l 2 ( n 。) ) + i l u e il w ，o 。( o ，t ；盯- ) _ 0( 4 1 4 ) l ( c ) - 0 粉。一剽l 阪，一。 由予d ( q ) ，所以l l 锛l r 。i l p ( 。) 一致有界 ( 4 1 5 ) 在( 4 1 2 ) 两边乘以( 2 2 ) ( 其中镤= 畦一0 ) 的解九并在识上积分，得到 小驰d t h 上。以鬻d h 上；州。鬻d e i 剑岛( 讹。( 。，丁汪：( r 。) ) j l - 厩赢- 。) ( 4 1 6 ) _ 0 ，都存在子列 挑。 ( 仍记作 y e 。) ) ，使得它们的限制( 限制记号省略) 有 如下收敛关系： y e 。- - y ( l o 。( o ，丁；l 2 ( q 。) ) nw 1 ，o o ( o ，? ；苫1 ) ) ，当e 。_ + 0 ( 5 3 ) 下面证明y 为( 5 1 ) 的h u m 解，器为它的控制函数 既然船。- - y ( l o 。( o ，丁；l 2 ( n 。，) ) 等价于丞。- - y ( l 。( o ，? ；l 2 ( q ) ) ，对任意 给定的p l 1 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) ，我们考虑下面问题： 由引理4 6 ， 一$ 。= p i nq 。， = e 。( ) ( 与t 有关的待定函数) o ne 。 0 一。“d f ：o ， ( 5 4 ) d 扎 、 = 0 0 ) = 咖：。( 0 ) = 0 其中函为下面问题的解 当f 。- 十0 矿一咖= pi n q 西= 00 1 2 毋( o ) = ( 0 ) = 0 在( 3 2 ) 两边乘以( 5 4 ) 的解( 5 。并在q f 。e 。p 酝d t ： j 0 。 。上积分，可得 厂警尝d i ，o a 礼a n “一 当e 。o0 ，可得 一：删础： j 印j o +坛，厶虹惋 陋陋 砸丽 1 、 监c 蔷 蕊却丽 睇。0 象。， 所以y 为( 5 1 ) 的h u m 解，筹为它的控制函数 上。( 警) 2 一z 。( 器) 2 蜗札 上。( 警) 2 妊船。镤d x - 上，斯z 上。( 嚣) 2 一加一舢z 从而( 5 7 ) 成立所以2 ) 成立 该定理成立 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) 口 本文是在我的导师严金海老师的悉心指导下完成的，在此，我表示衷心的感 谢。严老师严谨的治学态度与对学生无私的帮助，这些都深深的影响着我，使我 受益匪浅，对我以后的治学与做人都有很大的帮助，我再一次对严老师表示我的 谢意另外，我还要向李大潜老师，谭永基老师，陆立强老师及蔡志杰老师给我 的指导与帮助表示谢意也向讨论班里的学友给我的帮助表示感谢。 最后，我要向我的家人表示衷心的感谢正是他们的鼎力支持与鼓励，帮助 我顺利完成学业 参考文献 ( 1 j j l l i o n s c o n t r 6 1 a b i l i t 4e x a c t ep e r t u r b a t i o n se ts t a b i l i s a t i o nd e s y s t 6 m e s d i s t r i b u 6 s m a s s o np a r i sm i l a nb a r c e l o n em e x i c o1 9 8 8 【2 1 2a d a m l a m i a n ，l it at s i e n c o m p o r t e m e n t sl i m i t e sd e ss o l u t i o n sd ee e r t a i n sp r o b - i e m e sm i x t e sp o u rd e se q u a t i o n sh y p e r b o l i q u e sl i n e a i r e s c o m m i np a r t i a ld i f i e f e n t i a le q u a t i o n s ，7 ( 2 ) ，1 1 7 1 3 9 ，1 9 8 2 f 3 1 l it a - t s i e n ，y a nj i n h a i l i m i tb e h a v i o u ro fs o l u t i o n st oc e r t a i nk i n d so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sw i t he q u i v a l u e ds u r f a c e a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，2 1 ( 1 9 9 9 ) 2 3 3 5 4 j l i l i o n s ，e m a g e n e s p r o b l m e sa u xl i n f i t e sn o nh o m o g n e se ta p p l i c a t i o n s ，v o l - u m e1 ，d u n o d ，p a r i s1 9 6 8 1 5 】jl l i 0 1 1 8 ，n o u v e a n xe s p a c e se te n s e m b l e sf o n c t i o n n e l si n t e r v e n a n te nc o n t r 6 1 eo p t i m a ，c o u r sa uc o u e g e d ef r a n c e ，1 9 7 9e t c r a s ，2 8 9a ( 1 9 7 9 ) p 3 1 5 【6 】e u r i q u ez u a z u a a ni n t r o d u c t i o nt o t h ee x a c tc o n t r o l l a b i f i t yf o rd i s t r i b u t i o n s y s t e m s 7 | j l l i o n s e x a c tc o n t r o l l a b i f i t y ls t a b i l i z a t i o na n dp e r t u r b a t i o n sf o rd i s t r i b u t e ds y s t e r n s s i a mr e v i e wv o l3 0 ，n o l m a r c h1 9 8 8 8 e n r i k e z u a z u a e x a c t c o n t r o l l a b i l i t y f o rt h es e m i l i n e a rw a v e e q u a t i o n j m a t h p u r e se ta p p l ，6 9 ，1 9 9 0 ，p 1a3 1 f 9 】i l a s i e c k a ，t r i g g i a n i e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo f t h ee u l e r b e r n o u l l ie q u a t i o n w i t hc o n t r o l si nt h ed i r i c h l e ta n dn e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s ：an o n c o u s e r v a t i v e c a s e s i a mj c o n t r o la n d o p t i m i z a t i o n v 0 1 2 7 n o 2 p p 3 3 0 3 7 3 m a r c h 1 9