（应用数学专业论文）双同宿环分支问题.pdf

bi f u r c a t i o no fd o u b l e h o m o c l i n i cl 0 0 ps d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s b i f u r c a t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u p e r v i s o r ：p r o d e m i n gz h u p r o fx i n g b ol i u c a n d i d a t e ： h a i w e ic h e n a p r 2 0 1 1 m 6m 3 是在华东 工作及取 得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：加1 年 月馏日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 双同宿环分支问题系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师 指导下完成的完成的琢j 彩博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范 大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版； 允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论 文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘 要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木， 于 年月日解密，解密后适用上述授权 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名趔兰鹰 本人签名隘缝龟 矽悻箩月份日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审 定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表 方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的， 默认为公开学位论文，均适用上述授权。 陈海伟硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学主席 倪明康教授华东师范大学 傅显隆副教授华东师范大学 共分两大部分共三 第一章主要简述了本论文的研究背景和研究现状，同时还简要介绍了本文的主 要工作 第二章主要采用文献 8 1 7 首先引入并经文献 1 0 3 1 等改进的方法，即在双 同宿环管状小邻域附近建立局部活动坐标系，构造新坐标系下的p o i n c a 沱映射，并 导出分支方程的方法利用此方法研究了四维系统中的具有共振特征值的倾斜翻转 双同宿环分支，证明了双同宿环r = r lur 2 附近大1 一同宿轨和大1 一周期轨的共 存性，以及鞍结点分支曲面的存在性条件和存在区域 第三章利用上述的方法研究了余维1 的反转系统中的双同宿环分支问题，首先 我们获得r 一对称双同宿环的保存性条件，其次进一步研究冗一对称同宿轨和r 一对 称双同宿环以及r 一对称同宿轨和r 一周期轨共存性条件，最后得到二重r 一对称 同宿分支的存在性条件和存在区域 关键词分支；双同宿环；共振；p d 饥c 0 7 色映射；周期轨；同宿轨；倾斜翻转；反 转系统 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h eb i m r c a t i o no fs o m ed o u b l eh o m o c l i n i c l o o p si nf o u rd i m e n s i o n a ls y s t e m s t h e 、v o r ki sd i v i d e di n t ot w om a i np a r t si n c l u d i n g t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k 黟o u n da n dr e s e a r c hs t a t u so fb i f u r c a t i o nt h e o 巧a r eb r i e 丑y g i v e n m e a n w h i l e ，w ei n t r o d u c et h em a i nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i sp a p e rb r i e f l y i nc h a p t e r2 ，f i r s t l yt h el o c a lc o o r d i n a t e sn e a rt h ed o u b i eh o m o c l i n i cl o o p sa r es e t u pi nf o u rd i m e n s i o n a lv e c t o r 右e l d s ，a n dt h e nt h ep 历扎r 色a r ec o n s t r u c t e d ，a n dt h e b i 如r c a t i o na r ei i l d u c e d t h i sm e t h o di si n i t i a l l yu s e db y 【8 17 a n dt h e n 油p r o v e d b y 10 31 f u n h e m o r ed o u b l eh o m o c l i n i c l o o pb i 如r c a t i o n sw i t hr e s o n a n te i g e n v a l u e s a n di n c l i n a t i o n 日i pa r es t u d i e d w ep r o v e dt h ec o e x i s t e n c eo fl a 唱e1 一h o mo r b i ta n d l a r g e1 - p e ro r b i tn e a rr = r 1ur 2 t h ec o n d i t i o na n dr e g i o no fe x i s t e n c eo fs a d d l e - n o d eb i 如r c a t i o ns u r f - a c ea r ea l s oo b t a i n e d h c h a p t e r3 ，u s i n gt h es a m em e t h o dw es t u d i e dc o d i m e n s i o nlr e v e r s i b l ed o u b l eh o - m o c l i l l i cb i 允r c a t i o n s f i r s t l y w ef o u n dt h ec o n d i t i o no ft h e p e r s i s t e n c eo fr - s y m m e t r i c d o u b l eh o m o c l i n i cl o o p s f u r t h e n n o r e ，t h ee x i s t e n c ea n dc o e x i s t e n c eo fr s y m m e t r i c h o m o c l i n i co r b i ta n dr s y m m e t r i cd o u b l eh o m o c l i n i cl o o p s ，r - s y m m e t r i ch o m o c l i n i c o r b i ta n dr - - s y n u n e t r i cp e r i o d i co r b i ta r ep r o v e d f i i l a l l y ；t h ec o n d i t i o na n dr e g i o no ft h e e x i s t e n c eo fd o u b l er s y m m e t r i ch o m o c l i i l i cb i 如r c a t i o na r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：b i 伍r c a t i o n s ，d o u b l eh o m o c l i n i cl o o p s ，r e s o n a n t ，p o i n c a r 6m a p ，p e r i o d i co r b i t ，h o m o c l i n i co r b i t ，l n c i i n a t i o nf l i p ，i 沁v e r s i b l es y s t e m 第一章引言 目录 l 第二章 具有共振特征值的倾斜翻转双同宿环分支 3 2 1 问题与假设3 2 2 规范型。4 2 3p o i n c a 伦映射及后继函数 5 2 4 共振条件下的分支结果 1 1 第三章反转系统中的双同宿环分支问题1 7 3 1 基本假设 1 7 3 2 规范型1 8 3 3 p o i n c a 悖映射及后继函数1 9 3 4 主要结果。2 5 参考文献 2 9 致谢3 2 子，并且 p o i n c a 沱所提出的标准化方法在分支理论中有着重要的应用近几十年来，由于应 用学科中重要的实际问题的推动和数学理论本身的发展，有关分支理论的研究才取 得了长足的进展，而且内容也非常的丰富，其中包括奇点附近的h o p f 分支，闭轨 附近的p o i n c a 瞎分支等等，有关这方面的专著可以参考 1 2 3 4 5 6 7 等 在过去的几十年里，随着非线性科学的发展和对混沌现象的深入研究，许多学 者对平面上退化程度不高的同宿与异宿分支的研究已经取得了比较满意的结果尤 其是对于直到余维3 的平面上的同宿环与异宿分支的局部结构和分支图已经相当清 楚了比如，文献 8 】 9 】 1 0 11 1 5 】讨论了同宿环分支问题，文献 1 6 研究了扭曲同 宿环分支问题，文献 1 7 1 9 研究了异宿环分支问题关于高维系统的高余维分支问 题，比如因出现各种共振，轨道翻转或倾斜翻转以及几种情况交叉发生而引起的同 宿，异宿轨道分支问题的研究也取得了较大的进展 1 2 1 3 1 4 】 2 0 2 l 】 2 2 2 3 】等 但是目前对于高维系统中双同宿环的研究并不多见，例如文献 2 4 研究了具有共振 特征值的轨道翻转双同宿环分支，文献 2 5 】研究了余维2 的扭曲双同宿环分支 此外，时间反转对称性质是自然界中一种重要的对称性质，比如理想单摆随 着其在量子力学，流体力学和光学等物理学分支中的广泛应用，越来越引起了许多 的学者对它的研究 2 8 【2 9 】 3 0 在本文中我们称一个系统是反转的，是指在反转变 换下该系统保持不变一般情况下，我们研究如下系统： 圣= ，缸) ，r ，( z ) = 一，( r z ) ，r 2 = j ，s = ， z ( r ) 竺r n ，z r 2 “ 这里线性空间s 称为不动点空间易知，反转性质和一般的对称性质截然不同一 般说来，对称变换将轨线映射为轨线，并且保持原来的方向不变反转变换也是轨 线映射为轨线，但是两条轨线的方向相反此外，两者的不动点空间所起的作用也 l 华东师范大学硕士论文双同宿环分支问题 不同对称映射的不动点空间是原系统的不变集，而反转对称映射的不动点空间一 般会产生对称周期轨，同宿轨和异宿轨文献 2 6 研究了反转系统中具有倾斜翻转 的异宿环分支，文献 2 7 研究了余维3 的具有轨道翻转和倾斜翻转的异宿环分支 设某向量场存在一条相轨线，如果这条轨线不是奇点( 或闭轨) 本身，而且它 的q 极限集与u 极限集都等于这个奇点( 或闭轨) ，则称该轨线为奇点( 或闭轨) 的同 宿( h o m o c l i n i c ) 轨如果相轨线的q 极限集与u 极限集是不同的奇点( 或闭轨) ，则称 其为异宿( h e t e r o c l i l l i c ) 轨一般情况下，同( 异) 宿轨的稳定流形和不稳定流形具有 强倾斜性质即当时间趋于负( 正) 无穷时，稳定( 不稳定) 流形上的向量一般趋于较 强的稳定( 不稳定) 方向，如果不具有这一性质，则称这个稳定( 不稳定) 流形为倾斜 翻转( i n c l i n a t i o nf l i p ) 的，此时我们称这条同宿轨或异宿轨是倾斜翻转的此外，同 宿轨或异宿轨总是沿着弱稳定( 不稳定) 方向进入( 跑出) ，如果不是，则称这条同宿 轨或异宿轨是轨道翻转( o r b i tf l i p ) 的 本文的主要工作主要有两部分构成第一部分研究了四维系统中的具有共振特 征值的倾斜翻转双同宿环分支问题，第二部分研究了余维1 的反转系统中的双同 宿环分支问题本文研究所采用是在双同宿环的管状小邻域附近建立局部活动坐 标系，构造新坐标系下的p d i 仡r 映射，并导出分支方程的方法对于四维系统 中的具有共振特征值的倾斜翻转双同宿环分支问题，利用此方法我们得到了双同宿 环r = r 1ur 2 附近大1 一同宿轨和大1 一周期轨的共存性，以及鞍结点分支曲面的 存在性条件和存在区域对于余维1 的反转系统中的双同宿环分支问题，利用此方 法我们得到了r 一对称双同宿环的保存性条件，r 一对称同宿轨和r 一对称双同宿 环以及r 一对称同宿轨和r 一周期轨共存性条件，以及二重r 一对称同宿分支的存 在性条件和存在区域 2 实简单特征值：一化，一p 1 ，入1 ，a 2 且满足 一p 2 一p 1 o 入1 入2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 或强稳 有4 个 本章我们只考虑主特征值共振a l = p 1 时的分支问题 ( h 2 ) ( 非退化条件) 系统( 2 2 ) 有一条双同宿轨道r = r lur 2 ，r t = 彳= 亿( t ) ： t r ，n ( 士。) = 0 ) ，且d 硫( 耳。( ) w 8n 矸；( t ) l 伊) = 1 ，i = 1 ，2 ( h 。) ( 通有条件) 记e = 。当禽黯，e f = 。皇巴丧黯则e 死乱和e f 蜀8 分别为对应于a - 和一，) l 的单位特征向量显然，我们有 e = 一e 多，e f = 一e i ( h 4 ) 。1 i 艘 耳，( ) i 矿”，卫；( ) 8 ，e ? = r 4 ， t 一+ 。 1 i m _ ( 霉：i ( t ) “，耳。( f ) w 5 ，e f ) = r 4 t _ 一 其中e ? 为对应于a 2 的单位特征向量，i = l ，2 假设( h 4 ) 等价于 乃；( ) i y “_ s p a n e _ ，e 于) ，t 一+ 3 华东师范大学硕士论文双同宿环分支问题 死( ) w 8 _ s p a n e ；，e 】，t 一一。 其中e ；为对应于一p 2 的单位特征向量，z = 1 ，2 假设( h 4 ) 意味着流形彬8 满足强倾斜性质，从而是通有情况，但是当亡一 + o 。时流形i 矿“是倾斜翻转的，从而是非通有情况洳图2 1 所示) r 图2 1 双同宿环i 、= r 1ur 2 2 2 规范型 r 1 由假设( h 1 ) 可知在两个主特征值a 1 和一，处产生了共振而且，这两个特征 根的特征向量也是每个同宿环的切向量为了简单起见，重新定义参数弘，令p = ( 口，) 和p 1 ( 肛) = 入1 ( ) + 口a ，( ) ，并重新用肛表示 我们首先把系统( 2 1 ) 简化为规范型形式，采用文献 1 2 所构造的方法，我们知 道总存在两个逐次的伊与伊q 变换，在的z = d 小邻域u 内拉直不变流形i 喂= 【名：可= 钉= o ，名u 】， = z ：z = u = o ，z u - ，rni 影泼= z ：z = = = o ，名u ) ，rnw 麓= z ：z = = u = o ，2 u ) ，使系统( 2 1 ) 成为如下的伊_ 2 形 4 华东师范大学硕士论文双同宿环分支问题 式： 圣= 入1 ( ) + d ( 1 ) 】z + d ( u ) 0 ( 可) + 0 ( 秒) 雪= 【一j 9 1 ( 弘) + 。( 1 ) 】可+ 0 ( u ) 【0 ( z ) + d ( 乱) 】 ( 2 3 ) 血= 【入2 ( 肛) + d ( 1 ) 让+ 0 ( z ) o ( z ) + 0 ( y ) + o ( 口) 】 o = 【一优( 弘) + d ( 1 ) 】口+ d ( 可) d ( z ) + 0 ( 可) + o ( “) 】 其中z = ( z ，可，u ，u ) r 4 ，入l ( o ) = 入1 ，入2 ( o ) = a 2 ，p 1 ( o ) = p 1 ，j d 2 ( o ) = p 2 2 3p o i n c a n 映射及后继函数 记a ( t ) = 眈厂( n ( t ) ) ，现在考虑( 2 2 ) 式的线性变分系统 及其伴随系统 三= a ( t ) z 三= 一群( t ) z ( 2 4 ) ( 2 5 ) 记n ( 亡) = ( 砰( t ) ，7 ；( t ) ，r ( ) ，碍( t ) ) ，方程( 2 3 ) 意味着y u ( z 一让) 平面表示 原点o 处的局部稳定( 不稳定) 流形，且口一轴( 仳一轴) 是局部强稳定( 不稳定) 流 形我们可以找到某时刻霹和霉使得n ( 一雩) = ( ( 一1 ) 扣1 6 ，o ，鳄，o ) + ，n ( 霹) = ( o ，( 一1 ) 扣1 6 ，o ，鳄) + ，其中6 充分小，并满足 名：，川，i 乱l ， 2 6 】- 冬以i 邵i ，i 鳄l 正 = 1 ，2 这里水表示转置 引理2 3 1 系统口卅存在一个基解矩阵磊( t ) = ( z ? ( t ) ，孝( ) ，2 7 ( t ) ，名；( ) ) ，其中： 2 ；( ) ( 已( ) “) 。n ( 耳i ( ) w 5 ) 。 哿( t ) = ( 一1 ) 斋霉邢) 彤“n 死( t ) 彤8 才( ) 露。( ) w “ z i ( ) 耳。( t ) w 8 8 5 华东师范大学硕士论文双同宿环分支问题 满足： z；c一碍，=(罨；萼：至至耋，珊，乜4 引 其中研1 o ，加；2 叫? 1 砌笋o ，此外当霹，砑l 时， i 西i 4 i 1 ，i 伽；4 l l ，i ( u ，j 2 ) 一1 加yj 1 ，歹= 1 ，3 ，i ( 叫；1 ) 一1 让学3 i 1 ，i ( 1 ) 一1 y i 1 ，歹= 2 ，3 ，4 ， i ( 钍，；4 ) 一1 叫夕l 1 ，歹= 1 ，2 ，3 ，i = 1 ，2 证明：根据u 中局部不变流形的表达式，z ；( ) ，露( t ) ，哿( ) 在t = 一碍，砰处的值 和砰1 o 是显然的 由贵器_ e i 矿” 一一。) 和假设条件( h 4 ) 中流 形w 8 具有强倾斜性质，我们知道哿( t ) 在聋( 霹) = ( o ，o ，o ，1 ) + 时渐进的趋于死i 矿卯 _ 一) ，因此叫i 4 o 采用同样的方法，但是由于流形1 矿“发生了倾斜翻转， 因此研1 o 取叫j ( t ) ( 耳，( t ) i 伊) 。n ( 瓦( t ) 8 ) 。使得鲫；( 砰) = ( o ，o ，1 ，o ) + ，叫；( 一霹) = ( 砒1 ，叫6 2 ，让，3 3 ，叫3 4 ) + 如果叫8 4 = o ，那么我们取习( ) = 训j ( t ) 否则，由于；4 o ，我们可取面；4 = 一( ? 4 ) - 1 叫3 4 和z ；( 三；( t ) + 西i 4 z ；( ) 则在t = 砰和t = 一砑时考( t ) 均满足引理条件若埘2 = o 则哥( t ) 乃；( t ) w ，而由引理条件z ；( t ) ( 霉。( t ) t 矿”) 。，因此我们有叫? 2 o 其余部分同法可证 口 记西i ( ) = ( z _ 1 ( z ) ) + = ( 咖i ( ) ，孵( ) ，辑( ) ，程( t ) ) ，由矩阵论可知垂t ( ) 为伴随系 统( 2 5 ) 的基解矩阵 在r ；的邻域中作变换 z = ( ) = n ( ) + 五( t ) 批( t ) = n ( f ) + ( 名j ( t ) ，o ，z ? ( t ) ，哿( ) ) ( 礼i ) ，o ，礼；( t ) ，几；( t ) ) ( 2 6 ) 其中一露t 砰，这样我们可在同宿轨道r i 上分别选取横截面( 如图2 2 所示) g = 【z = i ( z ? ) ：i z | ，i y i ，i 乱i ，i 口l 2 6 】 算= z = 玩( 一雩) ：f z i ，i i ，f u i ，l f 2 6 ) 矿 6 图2 2p o i n c a 砣映射 其中z = 1 ，2 在变换( 2 6 ) 式下，系统( 2 1 ) 变为 壳；( t ) = ( 程( t ) ) + 钆( n ( t ) ，o ) 弘+ d t ，一碍t 霹，i = 1 ，2 ；歹= 1 ，3 ，4 对此式两边从一到砰积分可得 嵋( 砰) = 磅( 一碍) + a 霉p + o t ，z = 1 ，2 ；歹= 1 ，3 ，4 ( 2 7 ) 且称a g = 层( 织( ) ) + 鲰( ( t ) ，o ) 出，z = l ，2 ；歹= 1 ，3 ，4 为i z e f 砸七。钞向量 命题2 3 2 甜= 靥( 科( ) ) + 鲰( n ( t ) ，o ) 出= ：( 哦( t ) ) 4 甄( n ( t ) ，o ) 出，i = 1 ，2 证明：为简单起见我们只证明m 成立，其它情形类似可证 显然我们只需证明当亡矸和一碍时，( i ( ) ) + 钆( r l ( ) ，o ) = o 即可 当t 四时，我们有7 l ( 亡) = ( o ，7 ( t ) ，o ，7 ￥( ) ) ，旧( ) l = d ( 6 e 呐( 一对) 6 ，雌( t ) i = d ( 妇e p 2 ( 一砰) 妇其次由方程( 2 3 ) 可知 乳( 7 1 ( t ) ，o ) = ( o ，鳄( 7 1 ( ) ，o ) ，o ，( 7 l ( t ) ，o ) ) 4 7 和 ，、 入1 + o ( 6 ) o o ( 6 ) o a ， ，= i 暑：；一p 1 之。 a 。三美6 ， 。了 i o ( 6 )d ( 6 )d ( 6 )一j d 2 + o ( j ) 记 ( t ) = ( o ( t ) ，6 ( t ) ，c ( t ) ，d ( t ) ) 4 ，根据( 圣1 ( 矸) ) z 1 ( 霹) = ，可得n ( 卵) = 1 ，6 ( 卵) = o ，c ( 霹) = 一( 叫 3 ) _ 1 眦t ，d ( 砰) = o 以( n ( 矸) ，6 ( 霹) ，c ( 砰) ，d ( 卵) ) 为初 值求解方程( 2 5 ) 可知：当t 霹时，6 ( t ) = d ( ) = o ，因此可知当t 霹时 ( 咖 ( t ) ) 4 乳( 7 1 ( t ) ，o ) = o 类似地，我们知当t 一对时，r 1 ( ) = ( r f ( t ) ，o ，? ( ) ，o ) 。，峙( t ) j o 定理2 4 1 假设( h 1 ) 一( h 4 ) 成立，那么 ( 1 ) 若 露o ，则存在唯一的余维为，且在p = o 的法向量为a 口的曲面t = p ： 口p + 0 = o ) ，使得当p t 和o 1 时，系统口在附近存在一 同宿环r t ( 肛) 若觑n 七( a 卵，a 遐) = 2 ，则存在唯一的余维为2 且在p = o 的法平面为 印。刮 聊，明) 的曲面1 2 = 1n 2 ，使得当p 1 2 和o i 肛i 1 时，系 统口在附近存在一包含两个双同宿环的大环，即大环r = r lnr 2 被保存 ( 2 )在区域d inr 中，存在唯一的在弘= o 处法向量为 霉且切于2 的大j 一 同宿环分支曲面： 陋一1 ( 牡，；3 ) 一1 砌；1 霜p 1 + 口+ 6 1 叫1 2 趔p + 危o t = o 使得当p 趔，o o 时，可得 s 2 = 6 1 ( ；3 ) 一1 叫；1 懈p + 九d t 把上式代入另一个方程，得到大l - 同宿环分支曲面方程； 明：陋一1 ( 训；3 ) 一1 叫；1 埘川1 + 口+ 6 1 训j 2 a 霹p + 九d = o ( 2 1 6 ) 其中p d i nr ，且当n o 时，明在p = o 处的法向量为 遐且切于2 从而 当p 明，s 1 = o ，s 2 = 6 1 ( 伽 3 ) 一1 硼 1 甜p + d 时，由方程( 2 1 5 ) 可得： s 2 。= 6 _ 1 ( 叫 3 ) - 1 钍7 1 躬+ o ( 1 + 口) s ；s 2 。= 一( 伽；1 ) 一1 训i 3 叫j 2 s l p 一6 1 伽1 2 l 磅+ d t s ，肛1 日j = 一6 。1 ( 伽羚1 叫；1 趔+ 。( 1 懈，z i a ) 于h 的小邻域时，s 2 ( 肛) 沿s 夕n ( 伽 1 叫 3 ) 针的方向增加 定理2 4 2 假设( h 1 ) 一( h 4 ) 和o a 1 成立，那么 的过程 ( 2 1 7 ) 当属 口 ( 1 ) 在区域d fn 豸中，当p 哦，o 川1 时，系统仨矽在r 附近仅存在一 条大，一同宿环r ! ( p ) ( 2 ) 在区域d _ n 财中，当肛明n d l ，o 川l 时，系统仁在1 1 附近除了存 在一条大j - 同宿环r ! ( 肛) 外，同时还存在一条大一周期轨，而且当弘在明的 小邻域内变动时这个大j 一周期轨保存 1 图2 3 ( s 1 ) 和l ( s 1 ) ，o s 1 l ，琏，叫；2 伽? 1 叫；3 o ，t = l ，2 证明： 当p 明，o o l 7 ( s 1 ) ，从而由( o ) = l ( o ) 知( s 1 ) = l ( s 1 ) 不存在小正解 ( 2 ) 由于卢d fn 财以及肛磁可知，硼i 2 训i 1 叫? 3 o ，i = 1 ，2 ，则o = ，( s 1 ) i 。：o l ，( s 1 ) l 。，：o 因此，存在一个l ：o 1 1 使得当o s 1 1 时， ( s 1 ) o ，则 ( 否1 )= 【一( 叫i 2 ) 一1 ( 3 ) 一1 训 1 ( 吾1 ) 1 + 口+ 艿一1 ( 3 ) 一1 叫 1 a 砰p + o t 】1 + a l ( 否1 )= 一2 6 1 叫1 2 a 露肛+ d 亡 = 2 陋q ( 3 ) - 1 叫 1 a q 上 1 + 口+ o t 由已知条件知，当p 明nd 1 ，o 1 时，( 否1 ) o 可 得( s 1 ) = l ( s 1 ) 有唯一一个解s ：且满足o 吾1 s ：1 即当钍i i 2 叫? 1 叫? 3 o ，i = 1 ，2 和p 明nd 1 ，o 训1 时，系统( 2 1 ) 在r 附近存在一条大l - 周期 轨 口 定理2 4 3 假设( h 1 ) 一( h 4 ) 和o n 1 成立，那么系统口矽在区域d 彳n r n ，上： i 甜，叫= d ( i a 砖p 1 1 扣) ) 内，存在一个大j 一周期轨的鞍结点分支曲面： s 1 ：一万一1 叫3 2 趔肛=【一( 圳 2 ) 一1 ( 让， 3 ) 一1 伽 1 ( s i ) 1 + 。+ 6 1 ( 叫 3 ) - 1 叫 1 矸卢】1 + 。 + ( 彬；1 ) 一1 3 钍f i 2 s i + o 亡 其中s ：= 【一可孝糕】丢，叫i 2 叫；1 叫3 a 甜p 旭p o 证明；若w = ( s 1 ) 和i y = l ( s 1 ) 在某点s 1 相切当且仅当 ( s 1 )= l ( s 1 ) ， ，( s 1 ) = l 7 ( s 1 ) ， 即： 0 s i s l 图2 4 ( s 1 ) 和l ( s 1 ) ，o s 1s1 ，p s 1 ，叫i 2 ；1 叫；3 且蛆p a 遐肛 o 卜一( 叫i 2 ) 一1 ( 叫；3 ) 一1 训；1 s + 口+ 6 1 ( 叫；3 ) 一1 叫；1 埘p + d 】1 + 。 = 一( 伽；1 ) 一1 ；3 1 2 s 1 一石一1 叫；2 露肛+ o t ( 2 1 9 ) ( 1 + q ) 2 ( 伽：2 ) 一1 ( 埘 3 ) 一1 彬 1 s 一( 伽 2 ) 一1 ( 叫；3 ) 一1 叫 1 s + 口+ 6 1 ( 叫 3 ) 一1 叫 1 a 灯弘+ d 亡】a = ( 叫；1 ) 一1 叫；3 _ 2 上畦2 + 危d t 易知( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 有一个小正解： 泸【一群篙枷土 其中叫i 2 通1 ；3 i 针p a 赡肛 0 口 注2 4 3当条件叫；2 讲1 叫；3 o 可知当，s 1 时，直 线l ( s 1 ) 位于曲线( s 1 ) 的下方而且，当r o 毗( 孵，明) = 2 和p 沿一s 9 n ( 叫1 2 ) 聊的 方向时，l ( o ) = 一6 - 1 畦2 a 链p + d t 增加此时，系统( 2 1 ) 存在两个大l 一周期 轨当沿s 夕扎( 1 2 ) a 霹方向离开时，系统( 2 1 ) 不存在大l 周期轨 通过与定理( 2 4 2 ) 和定理( 2 4 3 ) 相似的分析我们获得下面的结果 定理2 4 4 假设( h 1 ) 一( h 4 ) 和0 q l 成立，那么 ( 1 ) 在区域d inr f 中，当弘研，o 1 时，系统仁矽在r 附近仅存在一 条大一同宿环r 5 ( p ) ( 2 ) 在区域d 彳n r 中，当p 哦n d l ，o 川1 时，系统口矽在r 附近除了存 在一条大j 一同宿环r i ( p ) 外，同时还存在一条大j - 周期轨，而且当在删的 小邻域内变动时这个大j 一周期轨保存 定理2 4 5 假设( h 1 ) 一( h 4 ) 和o a 1 成立，那么系统r 2 矽在区域d n 冗i n 肛： l 霹p i = d ( i 聊弘1 1 + a ) ) 内，存在一个大j - 周期轨的鞍结点分支曲面： s 2 ：6 1 叫 2 且钟弘=【一( w ；2 ) 一1 ( 伽2 3 ) 一1 伽2 1 ( s ；) 1 + a 一6 1 ( 叫2 3 ) 一1 叫1 a 露，z 】1 + 口 + ( 硼 1 ) 一1 叫 3 叫 2 s ；+ d 亡 其中s ；= 一矗量鞴 丢，叫1 2 彬 1 训 3 甜肛a 绣肛 o 环分支问题 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中r 5 ，z 科：p 科，f 3 ，o 1 ，厂( 0 ) = 9 ( o ，o ) = 9 ( o ，z ) = o 存在一 个线性对合r ：r 4 一r 4 ，冗2 = i d 且d i m ( f i x ( r ) ) = 2 ，使得对任意z r 4 有反转条 件g ( r z ，p ) = 一励( z ，t ) 成立这里称轨道r 是r 一对称的，如果r r = r 成立 此外我们还给出以下假设： ( h 1 ) 在系统( 3 2 ) 的双曲平衡点p = 0 的谱为盯( d 9 ( d ，o ) ) = 一p l ，一p 2 ，a 1 ，入2 ) 且 满足一p 2 一d l 0 a l ，_ 一， 其中e ，e ；为对应于入2 ，一a 2 的单位特征向量，i = 1 ，2 1 7 华东师范大学硕士论文 双同宿环分支问题 由于当_ + 。或( 一) 时，e 或( e ；) 是较强的扩张方向，易看出( h 4 ) 中 的极限是通有的，即满足强倾斜性质，从而在上述条件下双同宿环是余维l 的( 如 图3 1 所示) r 图3 1 具有反转的双同宿环r = r 1ur 2 3 2 规范型 我们首先把系统( 3 1 ) 简化为规范型形式，利用 2 6 2 7 】所采取的步骤，我们知 道总存在两个逐次的眇与_ 1 变换，在的z = d 小邻域u 内拉直不变流形l 喙= 名：可= 钞= o ) ，i y & = 名：z = u = o ) ，i 、n 名筹= z ：z = 可= u = o ) ，r n1 1 7 麓= 名：z = y = 乱= o ) ，其中z = ( z ，札，u ) ，使系统( 3 1 ) 成为如下的_ 2 形式： l 圣= 队( p ) + d ( 1 ) 】z + o ( u ) 【o ( 可) + d ( 勘) 】 1 7 = 【一a “) + 。( 1 ) 耖+ 。 ) o ( z ) + o ( u ) 】 ( 3 3 ) l 矗= 盼2 ( p ) + d ( 1 ) u + o ( z ) o ( z ) + o ( 可) + o ( u ) 1 l 心= 一a 2 ( 肛) + d ( 1 ) 】 + d ( 秒) d ( z ) + o ( y ) + d ( “) 】 分支问题 下形式： 显然，r = r ，r 为h e r m i t i a n 型，即r = p ，这里劈表示矩阵r 的转置 5 3 3p o i n c a n 映射及后继函数 记a ( t ) = d ：，( n ( t ) ) ，现在考虑( 3 2 ) 式的线性变分系统 三= a t ( t ) 2( 3 4 ) 及其伴随系统 名= 一q ( ) 名( 3 5 ) 记n ( t ) = ( 7 ( t ) ，碍( t ) ，r ( t ) ，7 ? ( t ) ) ，方程( 3 3 ) 意味着可一u ( z 一乱) 平面表示原 点。处的局部稳定环稳定) 流形，且口一轴( u 一轴) 是局部强稳定( 不稳定) 流形我 们可以找到某时刻丁1 使得r 1 ( 一丁) = ( 6 ，o ，6 1 ，o ) + ，r 1 ( t ) = ( 0 ，6 ，0 ，如) + ，r 2 ( 一t ) = ( 6 ，o ，6 2 ，o ) + ，7 2 ( 丁) = ( 0 ，文o j6 1 ) + ，其中6 充分小，并满足 ( z ，y ，仳，口) ：h ，m ，l u l ，川 2 6 ) 垦配正i = 1 ，2 引理3 3 1 如果名= 垆( t ) 是系统( 3 4 ) 扛1 的一个解，那么z = r 妒( 一t ) 是系 统( 3 4 ) ：2 的一个解 引理3 3 2 系统( 3 4 ) 存在一个基解矩阵磊( t ) = ( 磅( t ) ，z ；( t ) ，z i ( t ) ，z i ( t ) ) ，其中： 习( t ) ( 乃。( t ) w “) 。n ( 耳。( t ) 5 ) 。， z ( t ) = 罚麓备耳。( t ) i 矿“n 耳。( t ) 5 ， z ；( ) = r 。 ( t ) ， 2 7 ( ) 耳。( ) 1 矿“n ( 耳：( ) 彤5 ) 。， 嚣( t ) ( 矗( ) w ”) 。ne ( t ) w 5 ， 19 华东师范大学硕士论文双同宿环分支问题 满足： 历ct，=(罨i荨!三至兰， 磊cf，=(4毒4至薹三， z ，c 丁，= ( 耋4 曼。茎手 狮，隹 其中2 1 o ，叫1 2 圳3 3 枷4 4 o ，此外当t 1 时， i 叫2 3 i 1 ；i 训嚣叫1 j i 1 ，j = 1 ，3 ，4 ；j 叫嚣叫巧j 1 ，歹= 1 ，2 ，4 ；j 叫嚣叫q l l ，歹= 1 ，2 ，3 证明：根据z ( t ) 的定义，易知z ；( 一t ) 和z ( f ) 的表达式以及叫2 1 o 我们可以选 取z ( 一丁) = ( o ，o ，l ，o ) 霉。( 一丁) i 矿”根据耳。( 一t ) ”= 印口几 矿1 ( 一丁) ，2 ( 一r ) ， 于，( t ) 印n n e f ) 和强倾斜性质，可得。羔巴耳。( t ) i 呷2s p n 礼 e ，e ；) ，因此z ( 丁) 中 的叫3 3 o 若选取z ( 丁) = ( o ，o ，o ，1 ) + 耳，( t ) w 棚，类似的我们可以得到， z ( 一t ) 中的彬“o 因e 全( 1 ，o ，o ，o ) + ( 咒( t ) w 缸) 。n ( 耳；( t ) ，8 ) 。，我们可以选取乏 ( ) ( 耳i ( t ) w ”) 。n ( 耳。( t ) 彤8 ) 。作为系统( 3 4 ) 满足互i ( t ) = e ，乏 ( 一t ) = ( 西1 l ，西1 2 ，