第5章 矩阵的相抵与相似.doc

5.1 等价关系与集合的划分 本节只做简单介绍，考试不考此部分，在以后抽象代数中还会讲到。5.2 矩阵的相抵（也叫等价） 第一章1已经证明，任何一个矩阵经过初等行变换 可以化成简化行阶梯形矩阵。如果再对进行列变换，那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子： （以上行变换）； 再经过列变换。最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是： 。问: 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义1 数域上的矩阵经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵，则称与是相抵的或等价的，记作，或。 矩阵的相抵关系满足 1反身性：, 即与自己相抵；2对称性：若，则;3传递性：若，, 则. 因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。事实1 数域上的矩阵与相抵 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵存在上的阶初等矩阵与阶初等矩阵, 使得 存在上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵, 使得. （1） 定理1 设数域上的矩阵的秩为。如果, 则相抵于下述形式的矩阵 , （2） 称矩阵（2）为的相抵标准形。证明 如果, 则经过一系列初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵有个非零行：再经过适当的两列互换，可以变成下述形式： 。 （3）把的第1列的倍分别加到第列上；接着把的第2列的倍分别加到第列上; ，最后把的第列的倍分别加到第列上，便得到下述形式的矩阵： 。因此，相抵于这个矩阵。 如果，则，从而。定理2 数域上两个的矩阵与相抵当且仅当它们的秩相等。证明 必要性。设与相抵，则经过初等行变换和初等列变换变成矩阵。由于初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩，所以与的秩相等。 充分性。设，则 ， 。从而。如果，则， 与相抵也相抵。 注： 数域上所有的矩阵组成的集合记为，它显然含有无穷多个矩阵。但由定理2，可以按矩阵的秩把它们分成有限多个类：凡是秩相同的矩阵彼此相抵，把它们分在同一类，称为一个相抵类，秩不相同的矩阵分在不同的类，每一个矩阵都属于某个相抵类。由于，这样一共有个相抵类。当时，一共有个相抵类。推论5 设数域上的矩阵的秩为，则存在上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵, 使得 。 （2）应用举例：P163第3,4题3 广义逆矩阵广义逆矩阵是前面一般逆矩阵的推广：一般逆矩阵要求 矩阵是方阵，且行列式不能为0，去掉这两个条件之后的矩阵的逆矩阵就是所谓的广义逆矩阵。但是几乎所有的高等代数教材都没有此部分，它超出了高等代数的内容，所以我们不打算讲，也不考试。 4 矩阵的相似 设是方阵，怎么求的幂？如果有可逆矩阵，使得，并且容易计算，则 ，于是也就容易计算了。 为了寻找较简单的矩阵（容易计算），就需要研究形如的矩阵，并寻找适当的逆矩阵，使得最简单。为此引入1矩阵相似的定义：设与都是数域上的阶矩阵，如果存在数域上的一个阶可逆矩阵，使得 则称与相似，记作。例如，设 ， 则 ， 即与相似。 由定义容易得出，矩阵的相抵关系也是一种等价关系。1反身性：, 即与自己相似；2对称性：若，则;3传递性：若，, 则.命题1 如果，则 ， ， 。相似的矩阵有许多共同的性质：性质1相似的矩阵有相同的行列式。证明 设，则存在可逆矩阵，使得。从而。性质2相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。证明 由性质1即得结论的前半部分。现在设，且可逆。则存在可逆矩阵，使得。从而，因此。性质3 相似的矩阵有相同的秩。证明 设，则存在可逆矩阵，使得。从而与相抵，因此与有相同的秩。矩阵迹的定义：阶矩阵的主对角线上的元素之和称为的迹（trace），记作。即。矩阵的迹具有下列性质： ； （5） ； （6）。 （7）（5）（6）由定义很容易验证。（7）的证明如下： 设，则 ， ，因此，。性质4 相似的矩阵有相同的迹。证明 设，则有可逆矩阵，使得。于是 。本节开头指出，如果能相似于一个比较简单的矩阵，譬如说对角矩阵，则就容易计算了。是不是任何一个方阵都能相似于一个对角矩阵？（答案是否定的）。当能够相似于对角矩阵时，如何求对角矩阵和可逆矩阵？数域上的阶矩阵相似于对角矩阵 存在数域上的阶可逆矩阵，使得，即，即，即 中存在个线性无关的向量，使得 ，。 总结成下面的定理就是 定理2 数域上的阶矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是：中存在个线性无关的向量，以及中有个数（可以相同），使得，。 （8） 这时，令，则。 矩阵可对角化的定义：如果一个阶矩阵能够和一个对角矩阵相似，则称可对角化，把叫做的相似标准形。5 矩阵的特征值与特征向量 上一节最后指出, 对于一个阶矩阵，能不能找到一个阶可逆矩阵，使得为对角矩阵，关键在于能不能找到个线性无关的向量，满足 ，。由此抽象出特征值与特征向量的概念。定义1 设是数域上的阶矩阵，如果中有非零向量，使得 ，且， （1）则称是的一个特征值，是的属于特征值的特征向量。例如，设 ，则 ，因此，2是的一个特征值，是的属于特征值2的一个特征向量。特征值与特征向量的几何解释：在实数域中，可解释为：经过作用（即）后与共线，并且将扩大，满足这一条件的就是的特征向量，就是特征值。例如，设 ，则相当于将逆时针旋转60后得到的向量。因此，在中任何非零向量都不满足，也就是没有特征向量，也没有特征值特征值与特征向量的求法：是的一个特征值，是的属于的一个特征向量是齐次线性方程组的一个非零解，是的一个非零解，例如，设，则 ， （2） 因此， 是多项式的一个根。 注意，多项式是由行列式 得到的，称为的特征多项式。 一般地，有定义2：称为阶矩阵的特征多项式。注意：特征多项式是一个次多项式（因为展开式中含有）。定理1 设是数域上的阶矩阵，则（1）是的一个特征值当且仅当是的特征多项式 在中的一个根；（2）是的属于特征值的一个特征向量当且仅当是齐次线性方程组的一个非零解。于是得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步： 计算的特征多项式；第二步： 判断多项式在数域中有没有根，如果它在中没有根，则没有特征值，从而也没有特征向量。如果在中有根，则它在中的全部根就是的全部特征值。第三步：对于的每一个特征值，求齐次线性方程组的一个基础解系。于是的属于特征值的全部特征向量用集合表示为：不全为零。 例1 设 是数域上的矩阵，求的全部特征值和全部特征向量。解 ，因此的全部特征值是3（二重），。 对于特征值3，解齐次线性方程组： ，它的一般解是：，是自由未知量。从而它的一个基础解系是 ， 。因此的属于3的全部特征向量是其中不全为零。 对于特征值，解齐次线性方程组： 。它的一般解是：，是自由未知量。它的一个基础解系是，因此的属于的全部特征向量为不等于零。 注意：此题没有具体指明数域是哪个数域，但这并不影响本题的求解。因为任何数域都包含有理数域，本题中的3和是有理数，属于任何数域，因此本题在任何数域中求解结果都是一样的。例2 设，如果把看成实数域R上的矩阵, 有没有特征值？如果把看成复数域C上的矩阵, 求的全部特征值和特征向量。解 它在实数域上没有根，因此在实数域上没有特征值。 在复数域上有两个根，它们就是在复数域上的全部特征值。 对于特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系为 ，因此的属于的全部特征向量是对于特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系为 ，因此的属于的全部特征向量是阶主子式的定义：行指标和列指标一样的子式，表示为 。关于特征值、特征向量的进一步结论命题2 设是数域上的阶矩阵，则的特征多项式是的次多项式。的系数是1；的系数等于；常数项为；的系数为的所有阶主子式的和乘以 即 证明：仅对于的情形写出证明，一般情形可类似证明。 ， 将它拆成8个行列式的和 性质5 相似的矩阵有相同的特征多项式。性质6 相似的矩阵有相同的特征值（包括重数相同）。注意 前面有：相似的矩阵有相同的行列式；相似的矩阵有相同的秩；相似的矩阵有相同的迹。但要注意，以上结论反过来都不成立。补充： 设是的全部特征值，则 。把上式与做比较得出重要结论： ， 6 矩阵可对角化的条件前面4有结论：数域上的阶矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是：中有个线性无关的列向量，以及中有个数（可以相同），使得 ，。用特征值和特征向量的术语可以写成以下：定理1 数域上的阶矩阵可对角化的充分必要条件是： 有个线性无关的特征向量。此时令 ，则 ，其中是所属的特征值。如何判断数域上的阶矩阵有没有个线性无关的特征向量？ 首先看定理2 设是数域上阶矩阵的两个特征值，是属于的线性无关的特征向量，是属于的线性无关的特征向量。如果，则线性无关。简单地说就是：属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：令 。 （1）（1）式两边左乘，得 。注意到：；。从而有 。 （2）（1）式两边乘以，得 。 （3）（2）式减去（3）式，得 。由于，因此从上式得 。 （4）由于线性无关，因此从（4）式得。把它们代人（1）式，得 。 （5）又由于线性无关，从（5）式得。从而线性无关。推论 数域上的阶矩阵如果有个不同的特征值，则一定可对角化。 对于的不同特征值的数目作数学归纳法，可得定理3 设是数域上阶矩阵的不同的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，则将这些向量合并后的向量组 必线性无关。 取是齐次线性方程组的基础解系（），则线性无关。由定理3，把它们全部合并在一起之后的向量组还是线性无关的。这样，如果，则有个线性无关的特征向量，从而可对角化；如果，则不可以对角化。例如前面例题， 它有两个不同的特征值是：3，. 属于3的线性无关的特征向量有两个：，；属于的特征向量有一个：。合起来正好是3个，等于矩阵的阶数，所以可对角化。令 , 则 此例题表明:可对角化不一定要个特征值互不相同。 7 实对称矩阵的对角化由上一节的定理，不是每一个矩阵都能对角化的。例如就不可对角化，即不存在二阶可逆矩阵（其中），使得为对角阵。否则，设，则 ，即 。 比较上式得，。由两边取行列式得，从而中至少有一个为0，不妨设。于是有。再由得，这与矛盾。所以，不可对角化。但是，有些矩阵是一定可以对角化的，这就是本节要讲的实数域上的对称矩阵，简称实对称矩阵。定理1 实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个根都是实数。证明 设是阶实对称矩阵，是的特征多项式在复数域中的一个根，即。从而存在非零列向量 ，使得，其中是不全为零的复数。 则 （1）以下证明是实数，只需证明。在（1）式两边取复数共轭，得 。 （2） 由于是实矩阵，因此，于是（2）式也就是 。 （3）（3）式两边左乘，得 。 （4） （1）式两边取转置，然后用右乘得，。注意到是对称矩阵，因此，于是有 （5）比较（4）、（5）两式，得，即。 （6）注意到 ，且不全为零，因此。由（6）式得 ，即，是实数。定理2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。证明 设是的两个不同的特征值，是属于的特征向量：；是属于的特征向量：。从出发，一方面 ； （7）另一方面，是一个数，且是实对称矩阵，即，所以 （8）比较（7）和（8）式得，。由于，所以。即与正交。注意：对于一般的矩阵，属于不同特征值的特征向量只是线性无关。定理3 实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，即存在正交矩阵，使得为对角矩阵。证明 对矩阵的阶数作数学归纳法。时，已经是对角矩阵，且假设结论对阶实对称矩阵成立，即任意一个阶实对称矩阵都能正交相似于对角矩阵。设是阶实对称矩阵。取的一个特征值，是属于的特征向量：，且不妨设。将扩充成的一个基，然后经过施密特正交化和单位化，得到的一个标准正交基：。令，则是正交矩阵。我们有 。因为 所以，于是得。从而的第1列等于，因此可以设 。由于是正交矩阵，是实对称矩阵，因此也是实对称矩阵，从而，并且是阶实对称矩阵。根据归纳假设，有阶实正交矩阵，使得 令，它是两个正交矩阵的乘积，因此是正交矩阵，并且有 总结：给定一个实对称矩阵，寻找一个正交矩阵，使得为对角矩阵的具体做法如下：第一步 计算的特征多项式，它在复数域中的全部不同的根都是实数，从而它们都是的特征值。第二步 对于每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，然后对进行施密特正交化和单位化，得。第三步 令 ，它就是所要求的正交矩阵，并且 例1 设实数域上的3阶对称矩阵为 ，求正交矩阵，使得为对角矩阵。解 ，因此的全部特