（大地测量学与测量工程专业论文）小波变换在测量数据分析中的应用.pdf

摘要 在各种测量新技术的推动下，现代大地测量在地学研究中的应用不断深入，大地测 量学的任务已不仅仅是监测和描述各种地球动力学现象，更重要的是解释其发生的机制 和预测其演变的过程。 小波分析是8 0 年代中期发展起来的数学理论，在众多学科领域取得了广泛的应用。 本文首先简要介绍了小波分析在测绘科学中的应用现状，然后对小波的基本理论进行了 详细的论述，重点讨论了样条函数及其相应的b 小波，在此基础上，利用b 样条小波 对河西地区2 0 0 0 2 0 0 4 年重复重力观测数据进行分解计算，并将计算前后的重力结果进 行了比较分析，同时讨论了不同阶的小波分解结果的物理意义及其与地震之间的对应关 系，由对应于地壳中深部物质状态变化的三阶小波分解所得结果显示，在民乐m s 6 1 级 地震前的2 0 0 0 2 0 0 1 、2 0 0 1 2 0 0 2 、2 0 0 2 2 0 0 3 年，震源附近重力异常变化非常明显；而 反映浅层物质状态变化的一阶小波分解结果和反映深层物质状态变化的四阶小波分解 结果对民乐m s 6 1 级地震反应不明显，这与明乐m s 6 1 级地震发生在中层( 深约1 2 k m ) 是一致的；河西地区重力异常的二阶小波分解与地质构造一致，主要反映的是断层活动 所引起的重力异常：而在地震后的2 0 0 3 2 0 0 4 年，河西地区重力异常变化的一阶、二阶、 三阶、四阶小波分解结果对民乐m s 6 1 级地震的反应都不明显。对河西地区1 9 7 1 1 9 7 9 、 1 9 7 9 1 9 8 3 年的地壳垂直形变观测数据分解计算结果表明：河西地区地壳垂直形变的低 阶小波分解结果与地质构造一致，说明其短波主要反映断层活动；且在1 9 8 6 年的青海 门源m s 6 4 级地震前，门源附近地区地壳垂直运动强烈，且范围和强度扩大的趋势比较 明显。 关键词：小波多尺度分析，大地测量，b 样条小波，重复重力观测，垂直形变测量 a b s t r a c t i m p e l l e db yt h en e wt e c h n o l o g yo fg e o d e s y , m o d e mg e o d e t i cr e s e a r c hi nt h eg e o s c i e n c ei sc o n s t a n t l y d e v e l o p i n g ，t h et a s ko ft h eg e o d e s yi sn o to n l yt od e s c r i b e o rm o n i t o rt h ev a r i o u sg e o d y n a m i cp h e n o m e n a ， b u ta l s om o r ei m p o r t a n t l y , i st oe x p l a i nt h em e c h a n i s ma n dp r e d i c tt h ec o u r s eo fi t se v o l u t i o n w a v e l e ta n a l y s i si st h et h e o r yo fm a t h e m a t i c sd e v e l o p e di nt h em i d 一19 8 0 s a n da c h i e v e daw i d er a n g e o fa p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a s f i r s t l y , t h i sp a p e rp r e s e n t st h es t a t u sq u oo fw a v e l e ta n a l y s i sa p p l i e di n s u r v e ya n dm a p p i n g ，a n dt h e nt h eb a s i cw a v e l e tt h e o r yi sd i s c u s s e di nd e t a i l ，e s p e c i a l l yf o c u s i n go nt h e b a s es p l i n ef u n c t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gb - s p l i n ew a v e l e t o nt h i sb a s i s ，d e c o m p o s et h e2 0 0 0 - 2 0 0 4 r e p e a tg r a v i t yo b s e r v a t i o nd a t ao fh e x ia r e a , a n dc o m p a r et h er e s u l t o fg r a v i t yb e f o r ea n da f t e rt h e c a l c u l a t i o n ，a tt h es a m et i m e ，t h ep h y s i c a lm e a n i n go ft h ed i f f e r e n tb a n d sw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n dt h e c o r r e s p o n d i n ge a r t h q u a k ea r ed i s c u s s e d , t h et h i r d - o r d e rw a v e l e td e c o m p o s i t i o n , w h i c hr e f l e c t st h em i d d l e c r u s tm a t e r i a lc h a n g e ss h o w e dt h a t ，i nt h ey e a r so f 2 0 0 0 - 2 0 0 1 ，2 0 0 1 - 2 0 0 2 ，2 0 0 2 2 0 0 3b e f o r em i n l em s6 1 e a r t h q u a k e ，t h eg r a v i t ya n o m a l i e sn e a rt h ee p i c e n t r ew e r ev e r yo b v i o u s ；b u tt h ef i r s t - o r d e ra n df o u r t h - o r d e r w a v e l e td e c o m p o s i t i o n s ，w h i c hs e p a r a t e l yr e f l e c ts h a l l o wa n dd e e pc r u s tm a t e r i a lc h a n g e ss h o wv e r yl i t t l e r e s p o n s et om i n l em s 6 1e a r t h q u a k e ，t h i sm a y b eb e c a u s em s6 1e a r t h q u a k eo c c u r r e di nt h em i d d l e ( a b o u t 12 k m d e e p ) ；t h es e c o n d w a v e l e td e c o m p o s i t i o no fg r a v i t ya n o m a l yi nh e x ia r e ac o n s i s t 谢t l lt h eg e o l o g i c a l s t r u c t u r e ，w h i c hl a r g e l yr e f l e c tt h eg r a v i t ya n o m a l yc a u s e db yf a u l t s ；i nt h ey e a ro f2 0 0 3 - 2 0 0 4a f t e rt h e e a r t h q u a k e ，t h ef i r s t - o r d e r , s e c o n d o r d e r , t h i r d - o r d e ra n df o r t h - o r d e rw a v e l e td e c o m p o s i t i o no fg r a v i t y a n o m a l yi nh e x ia r e as h o wl i t t l er e s p o n s et om i n l em s 6 ie a r t h q u a k e 。t h ev e r t i c a lc r u s t a ld e f o r m a t i o n d a t ad e c o m p o s i t i o nr e s u l t so f h e x ia r e ai nt h ey e a r so f1 9 7 1 1 9 7 9 ，1 9 7 9 - 1 9 8 3s h o w ：t h el o w - o r d e rw a v e l e t d e c o m p o s i t i o nr e s u l t so fv e r t i c a lc r u s t a ld e f o r m a t i o ni nh e x ia r e ac o n s i s tw i t ht h eg e o l o g i c a ls t r u c t u r e ， w h i c hs h o wt h es h o r t w a v em a i n l yr e f l e c ta c t i v i t yo ft h ef a u l t s ；b e f o r eq i n e ；l l a im e n y u a nm s 6 4e a r t h q u a k e i n1 9 8 6 ，t h ev e r t i c a lc r u s t a la c t i v i t yn e a tm e n y u a na r e a si sv e r yi n t e n s i t y , a n dt h es c o p e ，i n t e n s i t ya l e e x t e n d i n ge v i d e n t l y k e yw o r d s ：w a v e l e tm u l t i - s c a l ea n a l y s i s ，g e o d e s y ，b - s p l i n ew a v e l e t ，r e p e a tg r a v i t y o b s e r v a t i o n , v e r t i c a ld e f o r m a t i o nm e a s u r e m e n t 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文 中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：爻】群香2 f 矿7 年夕月罗日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的 学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：支，1 辟番2 。7 年，月3 in 导师签名：膳罚 o眩4 ， 其中，a 为伸缩因子或尺度因子，将基本小波作伸缩；b 为平移因子，将基本小波作位 移。 小波变换的含义是：把一称为基本小波的函数y ( 工) 做位移6 后，再在不同的尺度a 下与待分析信号厂( z ) 做内积： ( 口，6 ) - ( 仉，。) = 去亡m ) 痧( 孚d x 删 ( 2 5 ) 我们做个粗略的比喻来解释小波变换的作用，假如我们用镜头观察目标厂( 茗) ， 少( 工) 代表镜头所起的作用( 如：滤波和卷积) ，b 相当于使镜头相对于目标平行移动，a 的作用相当于镜头向目标推进或远离。 所以小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶变换的时频窗i z l 不一样，因为b 仅仅影 响窗e l 在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗e l 的 形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频时小波变 换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频 率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于 长安大学硕士学位论文 经典的傅立叶变换和短时傅立叶变换的地方，从总体上说，小波变换比短时傅立叶变换 具有更好的时频窗口特性。 2 1 4 小波变换与傅立叶变换的比较【5 0 】 小波分析是f o u r i e r 分析思想上的发展和延拓。二者是相辅相成的，但有以下不同： ( 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限信号分解到以 p 同) 为正交基的空间上；小波变 换的实质是把能量有限信号分解到以矽( = 1 ，2 ，) 和圪，所构成的空间上。 ( 2 ) f o u r i e r 变换的基函数为三角函数，具有唯一性；w a v e l e t 变换的小波函数具有 多样性。 ( 3 ) 在频率分析中，f o u r i e r 变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分 较简单的确定信号，f o u r i e r 变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加；但在时域中， 它没有局部化能力。 ( 4 ) 在小波分析中，尺度a 的值越大相对于傅立叶变换中c o 越小。 2 2 小波与连续小波变换1 】 2 2 1 连续小波变换的基本概念 由公式( 2 4 ) 可知，满足允许性条件的函数y ( 工) 称为基小波，其伸缩和平移构成 一簇函数系：虬“x ) = 忑1y ( x 口- _ _ _ 2 b ) 口，6 r ；口 。，虬“x ) 为分析小波或连续小波， 称l f ，为基本小波或母小波。其中，a 为伸缩因子，b 为平移因子。 由条件多( 缈= o ) = o 可知肜( x ) = 0 ，这表明函数少( x ) 具有波动性。另外，函数y ( 工) 能量有限说明只有在原点附近它的波动才会明显偏离水平轴，当远离原点时函数值将迅 速“衰减 为零，整个波动趋于平静。这就是称函数沙( z ) 为“小波 的基本原因。 设吵为基本小波，虬，。( 工) 为已经定义的连续小波，对于能量有限的信号 厂( 石) r ( 尺) ，则函数厂( 工) 关于小波y 的连续小波变换为： 哆( 口= ( 厂，虬，。) = 击亡厂( 工) 沙( 三a 生d x ( 2 6 ) 以上为小波变换的内积型定义。除此之外，小波变换还经常采用如下的卷积型定义： 第二章小波分析的基本理论 ( 口，6 ) _ 抑小) = 三e 作杪( 了b - x d x ( 2 7 ) 其中，沙。( z ) = 昙y ( 言) ( 口。) 两种定义方法相比，卷积型定义在形式上主要的不同是：( i ) 伸缩系数不同；( 2 ) 用卷积代替了内积。但是实际上这两种形式是可以互相转化的，我们只需令 l f ，( z ) = 口( 一x ) ，则内积型定义就可以化为卷积型定义的形式，这说明两种定义在本质 上是一致的。 另外，还可以证明，如果小波函数满足上节提到的容许性条件，则连续小波变换有 如下的反演公式： 厂( 工) = 百1 亡e ( 口，6 ) 虬，a ( z ) d a d 广b ( 2 8 ) 反演公式说明小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息 损失的，这一点保证了信号重建和提取的可行性，它具有重要的理论意义。因此，如无 特殊说明，本文出现的小波均指容许小波。 2 2 2 连续小波变换的性质 连续小波变换是函数( 工) 与小波虬 ( 工) 的内积，它表示了f ( x ) 与虬曲( 工) 的“相 似 程度。当l a l l 时，表示用伸展了的y ( 工) 波形去观察整个( x ) ；反之，当o h o 和一个m = 【口j 阶多项式风，使得v z r ，有 i 厂( x ) 一风( 工) l k 卜v i 口 ( 2 1 5 ) 则称函数厂( 工) 在，点处具有l i p s c m t z 指数口0 。如果对于所有的1 ，【口，b 】，式( 2 1 5 ) 都成立，其中k 与1 ，无关，则称厂( x ) 在区间【口，6 】上是一致l i p s c l l i t z 指数口的，并称厂( 工) 具有l i p s c h i t z 正则性，其正则性阶数定义为口的上确界。 i e 贝, j 性在数学上表现为函数的可微性或光滑性，因此l i p s c h i t z 指数刻画了函数的奇 异性类型。连续可微的小波基对于在小波变换中有效地发现信号的奇异点是必要的，对 于大部分正交小波，正则度越高就意味着有更高的消失矩。在实际应用中，要求小波具 有一定的光滑性，但这与紧支性和快速衰减性相矛盾，在此之间需要进行平衡。 4 、紧支性 若函数y ( 工) 在区间【乜，b p - 恒为零，则称该函数在这个区间上紧支，具有该性质的 小波称为紧支撑小波。紧支性是小波的重要性质，支集越小的小波，局部化能力越强， 紧支撑小波不需做人为截断，应用精度高。在信号的突变检测中，紧支撑小波是首要选 择，支撑区间越小，越有利于确定信号的突变点，但是同时失去好的正则性。由于时域 和频域中的紧支性是矛盾的，一般更希望时域有紧支性，所以通常所指的紧支性为时域 1 2 长安大学硕上学位论文 紧支性。 5 、对称性 若妒( 以+ x ) = 伊( 口一x ) ，则称缈( 石) 具有对称性；若缈( 口+ x ) = - q o ( a - x ) ，称够( x ) 具有 反对称性。对称性是刻画小波性能的一个基本特征。对称或反对称的小波函数具有线性 相位特性，它能避免信号分解和重构中的相位失真。对称和反对称小波在检测信号的奇 异性时具有不同的表现，例如，对于阶跃边缘，对称小波变换在该处表现为过零点，而 反对称小波则表现为极大值点；而对峰值跳变信号情况刚好相反。 2 3 样条小波及其特性【5 2 5 3 1 我们知道，样条函数有着良好的性质，它是一类分段光滑又在各段交接处具有一定 光滑性的函数，在曲线拟合方面发挥了杰出的作用，且它是定义在整节点上的基函数， 可按多尺度逼近概念作出厂( 工) = 厂( 工) c ( r ) 。在小波分析中最常用的是基数b 样条函 数，因为它具有最小可能的支撑区间长度，又便于算法的计算机处理和实时实现。下面 首先介绍一下基数召样条函数及其基本性质。 2 3 1 基数曰样条函数及其基本性质 常用的曰样条函数形式如下： 1 阶样条( 或称零次样条) 是矩形函数，其形式为 q ，c 工，= ：，i 苍i 乏长 c 2 - 6 ， 2 阶样条( 或称为线形样条) 形式为 q 小) _ ( 啪) = 碳r ( 2 1 7 ) 3 阶样条( 或称为2 次样条) 形式为 q ，( x ) - ( n ：q 。) ( x ) = 工2 2 3 w 2 + 9 8 ，1 2 _ 1 x 1 3 2 一工2 + 3 4 ，h 3 2 4 阶样条( 或称为3 次样条) 形式为 1 3 第二章小波分析的基本理论 q 。( 工) = ( q ，木q 。) ( x ) = 一i x l 36 + x 2 2 i x l + 3 4 ，1 1 x 1 1 ，b o r ，则信号j r ( 工) 的离散小波变换为： 睨( 朋，力) = a o 一2 亡厂( x 矿( 口0 1 z 一刀) 出 ( 2 4 7 ) 当a 。= 2 ，b o = 1 时，上式称为二进小波变换： 氍( 肌，刀) = 2 1 亡厂( 工妒( 2 1 x 一刀) 出 ( 2 4 8 ) 2 4 1 一维信号的二进小波变换 设函数y ( z ) r ( r ) n z ( r ) ，若存在常数彳，b ，且o a b o o ，使得几乎处处都 有 彳耖( 2 缈) p 晓4 9 ， 则称y ( x ) 是一个二进小波。 上式称为稳定性条件，若a = b 则称为最稳定条件。稳定性条件是由二进小波变换 重构信号的保证，而且可以证明满足该条件的函数y ( 工) 是容许小波。 设y ( 工) 为二进小波，令 1 9 第二章小波分析的基本理论 = 歹1 少( 方) f 在尺度2 7 和z 位置的小波变换为 ，厂( x ) = 厂奉少：，( z ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 称序列町= ，厂( 工) ) 越为二进小波变换。，厂( 工) 是函数厂( 工) 在尺度2 7 上的细节信 号。 2 4 2 二维信号的二进小波变换 对于图象等二维信号的处理需要把一维二进小波变换扩展到二维，此时，小波变换 是由两个小波y 1 ( x ，y ) 和y 2 ( x ，y ) 来定义的。 定义函数 少如y ) = 专y 1b 寺) 协垆刍y 2 ( 方，刳 他5 2 ， v ( x ，y ) r ( 尺2 ) ，厂在尺度2 和位置( z ，y ) 的小波变换由两个分量来定义，即 称函数集合 町= 吃厂( 圳) ，w d i ( 训) l ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 为i ( x ，y ) 的二维二进小波变换。v c ；, i ( x ，y ) 、叼i ( x ，少) 是在尺度2 7 上的两个细节信号。 2 5 多尺度分析与m a l l a t 算法【5 1 ，5 4 】 多尺度分析也叫多分辨分析，是s m a l l a t 和y a t e y e r 于1 9 8 2 年提出来的，他可将此 前所有的正交小波基的构造统一起来，使小波理论产生突破性的进展。同时，在多分辨 理论分析的基础上，s m a l l a t 引入了一种计算离散栅格上小波变换的快速算法，即 m a l l a t 算法。它可以避免a 值越大，对y ( x ) 的采样就得越密的缺点，这一算法在小波 y y 工 x ，：v 2 ：v y 杪 ， = = y y x 石 ， ， 叭p 咿v ，i-，li-一， 长安大学硕士学位论文 分析中的地位很重要，相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 2 5 1 尺度函数和尺度空间【矧 定义函数p ( z ) r ( r ) 为尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) ，若其整数平移系列 纸( 戈) = 伊( x 一七) 满足 ( 依( x ) ，纹( 石) ) = 吒 ( 2 5 5 ) 定义由仇( x ) 在r ( 尺) 空间张成的闭子空间为，称为零尺度空间： v o = s p a n c & ( 工) ，七z 则对于任意( x ) ，有 y ( x ) - - z 。鲠( 工) k ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 同小波函数类似，我们假设尺度函数伊( 石) 在平移的同时又进行了尺度的伸缩，使 我们得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合： 纺，。( 工) = 2 啪伊( 2 7 工一七) = 依( 2 一z ) ( 2 5 8 ) 则称每一个固定尺度歹上的平移系列( 2 7 工) 所张成的空间巧为尺度_ ，的尺度空间： 巧= s p a n 住( 2 叫工) ) ，k z ( 2 5 9 ) 则对于任意的( 工) 巧，有 厂( x ) = 吼( 2 7 x ) = 2 叫2 z a k 缈( 2 7 x - k ) ( 2 6 0 ) 由此，尺度函数缈( x ) 在不同尺度下其平移系列张成一系列的尺度空间 巧，z 。由式 ( 2 5 8 ) ，随着尺度的增大，函数纺，。( 工) 的定义域变大，且实际的平移间隔( 2 j a r ) 也变 大，则它的线性组合式( 2 6 0 ) 不能表示函数( 小于该尺度) 的细微变化，因此其张成的尺度 空间只能包括大尺度的缓变信号。相反，随着尺度_ ，的减小，函数纺，。x ) 的定义域变小， 且实际的平移间隔( 2 a r ) 也变小，则它的线性组合式( 2 6 0 ) 便能表示函数的更细微( 小尺 度范围) 变化因此其张成的尺度空间所包含的函数增多( 包括小尺度信号和大尺度缓变信 号) ，尺度空间变大，也即随着尺度的减小，其尺度空间增大。 2 l 第二章小波分析的基本理论 2 5 2 多尺度分析( 多分辨分析) 1 5 1 , 5 4 多尺度分析的主要思想是将r ( r ) 分解为一系列具有不同分辨率的子空间，该子空 间序列的极限就是r ( r ) ，然后将r ( r ) 中的函数厂( x ) 描述为具有一系列近似函数的逼 近极限，其中每一个近似函数都是厂( 工) 在不同分辨率子空间上的投影。通过这些投影 可以分析和研究厂( x ) 在不同分辨率子空间上的性态和特征，这也就是多分辨率分析这 个名称的由来。 多分辨分析的定义如下，设 巧，_ ，z 是r ( 尺) 的一个子空间序列，如果 巧，z 和 函数伊( 工) r ( r ) 满足以下条件： ( 1 ) 单调性：巧c 巧小z ； ( 2 ) 逼近性i 脚nv 2 o ，兰巧2 r ( r ) ； ( 3 ) 伸缩性：( 工) 巧厂( 2 x ) 巧一。； ( 4 ) 平移不变性：厂( x ) 巧( 工一七) 巧，j e z ； ( 5 ) r i e s z 存在性：存在尺度函数伊( x ) ，使得 妒( x 一刀) ，刀z ) 是的r i e s z 基。 则称 巧，z ) 是由函数缈( x ) 生成的一个正交多分辨率分析，其中缈( z ) 称为尺度函 数。从多分辨率分析的定义可以看出，它与人类的视觉有着惊人的相似。当人在观察某 一目标时，可设他与目标之间的距离为尺度j ，当他在远处观察目标时，对应大尺度空 间，只能看到目标的概貌：当他走进目标时，对应于小尺度空间，可以对目标进行细致 观察。由远及近，尺度相应的由大变小，可以对目标进行多尺度的由粗到精的观察。 从上面的分析可知，多分辨率分析的所有尺度空间 巧，z ) 是由同一尺度函数 妒( x ) 在不同尺度下张成的，但由于 巧，- ，z 相互包含，不具有正交性，因此，尺度函 数妒( x ) 在不同尺度下的伸缩和平移纺。( x ) = 2 叫2 缈( 2 7 工一后) 不能构成r ( 尺) 的正交基。 为此我们定义尺度空间 巧，_ ，z ) 的补空间如下： 设嘭为巧在巧一。的补空间，即 长安大学硕上学位论文 巧一一= 巧o ，形上巧 ( 2 6 1 ) 显然，任意子空间与是相互正交的。因此， ，z ) 构成了r ( 尺) 的一系 列正交子空间，即r ( r ) 2 昱。设 y 。k z 是空间吼的一组正交基且满足小波容 许性条件，则它的伸缩和平移的集合 y = 2 - j 2 少( 2 - j x - k ) ，z ，k z ) 必然构成r ( 月) 的一组正交基，其中y 称为小波函数，称为尺度为的小波空间。 图2 1小投至同与尺反仝同的关系 由式( 2 6 1 ) 可知，小波空间形是两个相邻的尺度空间的差。如图2 1 所示为小波空 间同尺度空间的关系，相邻尺度空间的投影之间的细小差别即为函数厂( 工) 在相应尽度 小波空间上的投影，因此小波空间有时又称为细节空间。 另外，由多分辨分析的定义可知，只要给定尺度函数9 ( 石) 和双尺度方程 妒( 工) = | i l 。o ( 2 x - n ) ，则妙( 石) = 邑( p ( 2 x - n ) 的双尺度关系是存在的，从而在 巧= 印鲫 纺，。( 石) = 2 鹏p ( 2 s x - k ) ，k z ，歹z ( 2 6 2 ) 以及 形= s p a 刀 。( 工) = 2 价y ( 2 i x - k ) ，k z ，z ( 2 6 3 ) 的描述下，多分辨分析就确定了小波子空间的直和分解关系以及函数厂( x ) r ( r ) 的小 波分解形式 厂( x ) = o y ( x ) ( 2 6 4 ) 2 3 第二章小波分析的基本理论 以及 国( x ) - - 训( 工) ( 2 6 5 ) 七e z 由此可知，从原则上讲，给定垆( x ) 和 h 。 ，只要求出 g 。) 并满足下述条件： f 缈( 石) - - - e h 。q , ( 2 工一刀) y ( x ) = 邑o ( 2 x - n ) ( 2 6 6 ) 【 z oew o = k 小波函数y ( x ) 就是存在且能被构造出来的。所以，多分辨分析为构造小波提供了一个 统一的框架，按式( 2 6 6 ) 的标准可以构造出不同的小波。 2 5 3 正交小波变换的快速算法一m a l l a t 算法【5 4 】 正交小波变换分解与重构的快速算法，也称为m a l l a t 算法，其基本思想是： - 言号if ( x ) 的某层小波分解是将厂( x ) 以某个尺度变换到空间r ( 尺) 的两个正交子空间巧和形上 ( 可以理解为大尺度逼近部分和细节部分) ，由匕得到离散逼近值4 厂，由彬得到离散 逼近值口厂，下一层分解中是以尺度- ，+ 1 ，再将4 f 分解到子空间巧+ 。和+ 。中，这样 不断分解下去，即 f ( x ) = 4 厂+ d , f = a 2 f + d 2 厂+ q = 4 厂+ q 厂+ 见一。厂+ 见一：厂+ + d 2 厂+ q 厂( 2 6 7 ) 从而对信号进行了多分辨率的分解，分解过程如图2 2 所示： ll l 厂( ，) l l 4 ， l b ， l h ? ，d t f 八 h 瓯l 图2 2 多分辨分解图 其中h 和g 是双通道滤波器组，4 厂称为逼近信号或者平滑信号，它对应着信号的 长安大学硕士学位论文 低频成分；d , f 称为细节信号，它对应着信号的高频成分。 重构过程是分解的逆过程，相应的重构方法为： a n + d n + d n + d 。一2 f + + d 2 f + d i f = s ( x 、 ( 2 6 8 ) 分解与重构的m a l l a t 塔式算法的数学表达式为：若将厂( z ) r ( 尺) 按以下空间组合 展开： r ( r ) = 形。巧 = 。 其中，为任意设定的尺度，则 ( 2 6 9 ) jo ( 工) = 吒，。，。( j ) + c j ，。仍，。( 工) ( 2 7 0 ) j = - - t = m k = - - ” 其中巳j = ( ( z ) ，纺，。( 石) ) 称为尺度展开系数，乃，。= ( 厂( 工) ，5 f ，”( z ) ) 称为小波展开系数。 第三章二维小波的构造 第三章二维小波的构造 3 1 二维小波分析方法【3 9 】 由于大地测量数据大部分都是二维球面坐标系，但是在局部区域内，可以近似看作 二维平面，但直接引用一维的方法则不合适，需要对原有的小波分析方法进行改进，以 适应我们分析大地测量数据的需要。 设矿( 工) 、y ( x ) 分别为一维尺度函数5 2 1 和小波函数，且满足双尺度方程 f ( x ) = p 。a p ( 2 x - n ) 1 甲( x ) ：壹吼伊( 2 石一，) 3 1 则相应的二维尺度函数与小波函数为【5 5 】 ( x ，y ) = d p ( x ) d p ( y ) i - 1 v 1 ，( ，x , y ) 、蛳( 翼9 ：! ( 3 2 ) 甲2 ( x , y ) = 甲( x ) ( y ) 甲3 ( z ，少) = v ( x ) v ( y ) 且构成了r ( r ) 中的一组完全正交基。 二元函数厂( 工，y ) 的小波变换可用卷积形式表示为 形厂( 工，y ) = 厂( 工，y ) 甲：( 工，y ) 其频域关系为 当i = 1 时 由公式( 3 1 ) 可知， = j 卜；( 蹦) 厂( x s ，y t ) a s a t i = 1 ，2 ，3 ( 3 3 ) 形( u ，y ) = 厂( “，v ) 甲：( “，v ) 甲：( “，y ) = 甲：( “，v ) = 西( “) 甲( v ) ( “) = p ( u 2 ) c d ( u 2 ) v ( v ) = o ( v 2 ) o ( v 2 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 长安大学硕士学位论文 式中 由( 2 2 1 ) 可知，基数样条函数心( 工) 可定义为 ( 3 8 )