第3讲(教师) 全等三角形与旋转问题.doc

1 第五讲 全等三角形与旋转问题（1） 学习要求 重点：全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，特别是几 种判定方法，在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点 难点：全等三角形性质和判定定理的灵活应用。把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 知识精讲 把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转GO G G G 变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋O G GG G 转变换下，象与原象是全等形 很明显，旋转变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 对应直线的交角等于旋转角 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中， 以便于诸条件的综合与推演 经典例题 例 1、如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是_C 例 2、如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把 菱形 ABCD 以 A 为中心_。D A顺时针旋转 60得到 B顺时针旋转 120得到 C逆时针旋转 60得到 D逆时针旋转 120得到 GF E D C B A 例 3、如图，C 是线段 BD 上一点，分别以 BC、CD 为边在 BD 同侧作等边ABC 和等边CDE,AD 交 CE 于 F，BE 交 AC 于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_。C A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 2 K G F E D C B A 例 4、 已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形求证：CABACMCBNANBM M D N E CB F A 证明、是等边三角形，ACMCBN ，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形 例 5、如图，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，BCEABCDCEBDAEAC 于，点求证：DCMNCMCN NM E D C B A 证明与都是等边三角形ABCDCE ，及BCACCDCE60ACBDCE ，三点共线BCE ，180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在与中BCDACE ， BCAC BCDACE DCEC BCDACE CANCBM ，120BCDACE 60BCMNCE 60ACD 在与中BCMACN ，60 BCAC BCMACN CBMCAN BCMACNCMCN 练习 1、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形求证：平分CABACMCBNCFAFB 3 M D N E CB F A G M H D N E CB F A 【解析解析】过点作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB 利用进而再证，可得到，故平分AASBCHNCDCGCHCFAFB 2、如图，点为线段上一点，、是等边三角形CABACMCBN 请你证明： ；ANBM ；DEAB 3平分CFAFB M D N E CB F A 解：此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系 与三角形各内角相等，60MCN 及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等 推到而得的：；AFCBFC ，；ANBMCDCEADMENDBE ，；AMCNCMBNDEAB ，；ACNMCBADCMCENDCBEC 为等边三角形DEC 、是等边三角形，ACMCBN ，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM 由易推得，所以，又，ACNMCBNDCBECCDCE60MCN 进而可得为等边三角形易得DECDEAB 过点作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB 利用进而再证，可得，故平分AASBCHNCDAFCBFC CFAFB 例 5、如图，四边形、都是正方形，连接、求证：ABCDDEFGAECGAECG 4 G F E D C B A 证明ADCEDG CDGADE 在和中CDGADE CDAD CDGADE DGDE CDGADEAECG 例 6、如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求CABACMCBNDANEBM 证：是等边三角形CDE MD N E CBA 证明，ACNMCBANBMABMANC 又、分别是、的中点，DEANBM ，BCENCDCECDBCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等边三角形CDE 练习 3、如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是AEABCCDE120ACEPM 线段和的中点，则是_。BEADCPM P M B C D E A A钝角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D非等腰三角形 解：易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线段ACDBCEBCEACDC60M 中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，ADPBECPCMC60CPCM ，故是等边三角形，选 C60PCMCPM 例 7、如图，等边三角形与等边共顶点于点求证：ABCDECCAEBD 5 D E C B A 证明是等边三角形，ABC60ACBACBC ，同理，60BCDDCA 60ACEDCA DCECBCDACE 在与中，BCDACE ， BCAC BCDACE DCEC BCDACEBDAE 例 8、如图，是等边内的一点，且，问的度数是DABCBDADBPABDBPDBC BPD 否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 P D CB A A BC D P 解：连接，将条件，这两个条件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS ，由，(公共边)，知 1 30 2 BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD ()，故的度数是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD 例 9、如图，等腰直角三角形中，为中点，求证：ABC90B ABaOACEOOF 为定值BEBF O B E CF A 4 3 2 1 O B E CF A 证明：连结由上可知，而，OB1290 2390 13 445C OBOC ，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa 练习 4、如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：OGHKABCDOEFAECFAB 6 5 4 3 2 1 O H B E D K G C F A 证明 ：正方形中，ABCD1245 OAOB 而，3490 4590 ，35AOEBOF ，AEBFAEFCBFFCBCAB 例 10、如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求EABCDCDFCBEAAF 证：DEBF F E D C B A 证明：因为四边形是正方形，所以，ABCDABAD 因为，90BADADEABF EAAF 所以，所以 90BAFBAEBAEDAE ，故，故 BAFDAE Rt ABFRt ADEDEBF 练习 5、如图所示，在四边形中，于，若四边形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面积是 16，求的长_。ABCDDP P D C B AA B C D E P 解：如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把DDEDPBCDEEADPCDE 逆时针旋转，得到正方形)ADP90DPBE 正方形的面积等于四边形面积为，DPBEABCD164DP 例 11、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：FABCDBCCD45EAF AHEFH AHAB C H F E D B A C H F EG D B A 7 证明：延长至，使，连结，易证，CBGBGDFAGABGADFBAGDAFAGAF 再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AEGAEFAHAB 例 12、 如图所示，是边长为 的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一ABC1BDC120D 个的，点、分别在、上，求的周长_。60MDNMNABACAMN N M D CB A N M E D C B A 解：如图所示，延长到使ACECEBM 在与中，因为，BDMCDEBDCD90MBDECD BMCE 所以，故BDMCDEMDED 因为，所以120BDC 60MDN 60BDMNDC 又因为，所以 BDMCDE 60MDNEDN 在与中，MNDENDDNDN60MDNEDN DMDE 所以，则，所以的周长为MNDENDNEMNAMN2 例 13、在等边的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点 M，N，D 为外一点，且，ABCABC60MDN ，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量120BDCBDCD 关系及的周长与等边的周长 L 的关系_。AMNABC 如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量关系式 _；此时=_ Q L 如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写DNDM 出你的猜想并加以证明； 3如图，当点 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_(用 x，L 表示) 解：BM+NC=MN; 2 3 Q L 8 (2)猜想：仍然成立 证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE ,120BDCDBDC且， 30DBCDCB 由是等边三角形，ABC90MBDNCD ()MBDECD SAS ，,DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN 在与中MDNEDN DMDE MDNEDN DNDN ()MDNEDN SAS MNNENCBM 的周长=AMNQAMANMN()()AMBMANNC2ABACAB 而等边的周长ABC3LAB 2 3 Q L (3) 2 2 3 xL 练习 6、(1)如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且90 EAF=BAD求证：EFBEFD; 1 2 F E D CB A (2) 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且180 EAF=BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 1 2 9 F E D C B A 证明：延长 EB 到 G，使 BG=DF，联结 AG ABGABC=D， ABAD，90 ABGADF AGAF， 12 1 1323 2 EAFBAD GAE=EAF又AEAE， EGEF AEGAEF EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的结论仍然成立 EFBEFD 例 14、已知：如图，、都是等边三角形，且、共线，求证：ABCCDEEHKADKADDK 也是等边三角形HBD E K H C D B A M A B D C H K E 证明：连结，EBCECDCEEABEAD 所以，并且与的夹角为，BEADBEAD60 延长交于，EBAKM 则360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMEDDMMDEMEDHDMHDK 又因为，HKADBEBHHD 所以BEHDKH 所以，HKHE EHDEHDDHKBHE 10 11 第六讲 全等三角形与旋转问题（2） 典型提高例题典型提高例题 例 1、在等腰的斜边上取两点、，使，记，Rt ABCABMN45MCNAMmMNxBNn 则以、为边长的三角形的形状是_。xmn A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随、的变化而变化xmn MN C BA M D N C BA 解：如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，CBNC90CADMD 则，ADBNnCDCNACDBCN MCDACMACDACMBCN 904545MCN ，MDCMNCMDMNx 又易得，在中，有，故应选(B)454590DAM Rt AMD 222 mnx 练习 1、如图，正方形的边长为 ，点在线段上运动，平分交边于点ABCD1FCDAEBAFBCE 求证：AFDFBE 设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的DFx01xADFABESx 值及若不存在，请说明理由S F E D CB A G A BC D E F 证明： 如图，延长至点，使得，连结CBGBGDFAG 因为是正方形，所以在和中，ABCDRt ADFRt ABGADAB ，90ADFABG DFBG ，RtRt(SAS)ADFABG ，AFAGDAFBAG 又 是的平分线AEBAF ，EAFBAE DAFEAFBAGBAE 即EADGAE ，ADBCGEAEAD ，GEAGAE AGGE 即AGBGBE ，得证AFBGBE ADFABE SSS 11 22 DF ADBE AB ，1ADAB 12 1 2 SDFBE 由知，AFDFBE 所以 1 2 SAF 在中，Rt ADF1AD DFx ， 2 1AFx 2 1 1 2 Sx 由上式可知，当达到最大值时，最大而， 2 xS01x 所以，当时，1x 最大值为S 2 11 12 22 x 例 2、请阅读下列材料： 已知：如图 1 在中，点、分别为线段上两动点，若Rt ABC90BACABACDEBC 探究线段、三条线段之间的数量关系45DAEBDDEEC 小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，AECA90ABEE D 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； BDDEEC 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图 2，其它条件不变，中探EBCDCB 究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图 1 A B C D E 图 2 A B C DE 222 DEBDEC 证明：根据绕点顺时针旋转得到AECA90ABE AECABE ，BEEC AEAE CABE EACE AB 在中Rt ABC ABAC 45ABCACB 90ABCABE 即90E BD 222 E BBDE D 又45DAE 45BADEAC 45E ABBAD 即45E AD AE DAED DE DE 222 DEBDEC 13 E E D C B A F ED C B A 关系式仍然成立 222 DEBDEC 证明：将沿直线对折，得，连ADBADAFDFE AFDABD ，AFABFDDB ，FADBAD AFDABD 又，ABACAFAC 45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又AEAE AFEACE ，FEEC45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中Rt DFE 即 222 DFFEDE 222 DEBDEC 例 3、 平面上三个正三角形，两两共只有一个顶点，求证：与平分ACFABDBCEEFCD F E D B C A 解：连接与DEDF ，DBAEBC BADCAF ，DBEABC BACDAF 在与中DBEABC DBAB DBEABC BEBC (SAS)DBEABC DECAFC 在与中DFABCA DABA DAFBAC AFAC (SAS)DFABCA 14 DFBCEC 为平行四边形，DECF ，互相平分EFCD 例 4、如图，在外面作正方形与，为的高，其反向延长线交于ABCABEFACGHADABCFH ，求证：(1);(2)MCFBH MHMF G H F M E D CB A 证明;(2)作，先证，再证ABHAFCFPMDP于HQMDQ于AFPBADACDHAQ FPMHQM 练习 2、以ABC 的两边 AB、AC 为边向外作正方形 ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且 CEBG O G F E D CB A 【解析】易证，故，又，故AECABGACEAGB ACAGAOGBOC CEBG 例 5、 如图所示，在五边形中，求此五边形的ABCDE90BE ABCDAE1BCDE 面积_。 E D C B A F E D C B A 分析：我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积ACAD 并不容易，至此思路中断 我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等1BCDE 时我们常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)？据BCDEEFBC 此，连接，则发现，且，是底、高各为AFABCAEF1FD AFACAEABADF 的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为 1 1 2 ACDAFD1 例 6、 在五边形中，已知，连接求证：ABCDEABAEBCDECD180ABCAED AD 平分ADCDE 15 E DC B A F E DC B A 证明：连接由于，ACABAE180ABCAED 我们以为中心，将逆时针旋转到的位置因，所以点与点重合，AABCAEFABAEBE 而，180AEFAEDABCAED 所以、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，DEFCFAFACEFBC 所以DFDEEFDEBCCD 在与中，ACDAFD 因为，ACAFCDFDADAD 故，ACDAFD 因此，即平分ADCADF ADCDE 作业 1.如图，已知和都是等边三角形，、在一条直线上，试说明与相ABCADEBCDCEACCD 等的理由 E D C B A 答案：，ACABCAEBAD AEAD AECADB CEBD 又BDBCCDACCD CEACCD 2.已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于EABCDABDDFDEBC 点求证：FDEDF F E D C B A 答案：ADCEDF ADECDF 在和中ADECDF DAEDCF ADCD ADECDF ADECDF 16 DEDF 3.在梯形中，是中点，试判断与ABCDABCD90A 2AB 3BC 1CD EADEC 的位置关系，并写出推理过程EB AB C D E F E D C BA 答案：延长交延长线于点BECDF 是中点，EADDEAE ，ABCD90A 90E