（计算数学专业论文）一类具有给定主曲率函数的weingarten曲面.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了一类新的w 苟n g a r t e n 曲面首先介绍了它的构造之后在 1 】的基础上 给出了这类w j i n g a 巩e n 曲面的主曲率函数所满足的一个微分关系式，并讨论了以给定满足 该微分关系式的两个光滑函数为主曲率函数的这类w e i n g a r t e n 由面的存在性，得到以下两 个定理。 定理4 1 设g ：r ( 8 ) = ( z ( s ) ，0 ，z ( s ) ) ，。( s ) 0 ，s 【0 ，l 是r 3 内一条平面弧长参数曲 线，a = a ( t ) ，【0 ，叫是s 0 ( 3 ) 内一条光滑曲线则曲面s ：x ( t ，s ) = r ( s m ( t ) 的主曲率函 数，( t ，s ) ，g ( s ) 满足 丽0 2 f 一邢一如) ( ，( 如) 一如) ) 【，( 抽) 一如) 】= 警( 2 纂一塞) 定理4 2 设。( t ) ，c ( ) 是【0 ，凸i 上两个光滑函数，满足a ( t ) 0 ，o ( o ) = 一1 ，c ( o ) = 0 - 殴f ( t ，s ) ，g ( s ) 是两个光滑函数，满足 罱卅如m 烈弛叫s ) ) m 叫圳= 磊o f ( 2 丽o f 一五d g ) 且，( t ，8 ) 9 ( s ) ，1 0 ，卅，s 【0 ，纠；另外，我们假设 fr 地皿 2 1 。 ，2 ( 吼0 ) + i 上( o , o ) - g ( o ) l “ 则舻内一定存在一曲面s ，以，( t ，s ) ，9 ( s ) 为两个主曲率，以8 为生成曲线的弧长 另外，我们给出了这类曲面的两个例子例1 中构成曲面s 1 的a 1 ( t ) ，作为s 0 ( 3 ) 中曲 线，其相对曲率，相对挠率分别为= 0 ，f 一：2 ，而【1 】中旋转曲面是 = 0 ，a ( t ) 兰一1 的 特殊情形例2 中，构成曲面s 2 的 2 ( t ) ，作为s 0 ( 3 ) 中曲线，其相对曲率，相对挠率分别 为k = 1 ，- = v 2 ，它是我们构造的一个不同于旋转曲面的w j i n 靴t e n 曲面因此我们的结 论是f 1 1 的更一般的推广 关键词：相对曲率；相对挠率；n 衄e t 公式；主曲率函数；w e i n g a r t e n 曲面 塾全垄! 二差墨塑坌塞圭些主重墼塑旦尘! 望g 墼! 竺塑雯 at y p eo fw e i n g a r t e ns u r f a c e sw i t hp r e s c r i b e dp r i n c i p a lc u r v a t u r e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s san e wt y p eo fw e i n g a r t e ns u r f a c e s f i r s tw ei n t r o d u c e t h em e t h o do ft h ec o n s t r u c t i o no ft h i sn e wt y p eo fw e i n g a x t e ns u r f a c e s t h e nb a s e do nf 1 ， w eo b t a i nad i f f e r e n t i a lr e l a t i o no nt h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e so ft h i st y p eo fs u r f a c e s a sw e l l a st h ee x i s t e n c eo ft h i st y p eo fw e i n g a r t e ns u r f a c ew i t hp r e s c r i b e dt w os m o o t hf u n c t i o n s s a t i s f i e dt h ed i f f e r e n t i a lr e l a t i o na st h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e s ( s e et h et h e o r e m sb e l o w ) t h e o r e m 4 1l e tc ：r ( 8 ) = ( z ( s ) ，0 ，z ( s ) ) b eap l a n ec u r v ep a r a m e t r i z e db ya r c l e n g t hs ，z ( s ) 0 ，s f 0 ，l 】a = a ( t ) b eas m o o t hc u r v ei ns o ( 3 ) ，t 【0 ，d 】t h e n ( t ，s ) a n d9 ( s ) ，8 st h ep r i n c i p a ic u r v a t u r e so fs u r f a c es ：x ( t ，s ) = r ( s ) a ( t ) ，s a t i s f y i n g 髻一弛，咖( s ) ( m s ) 一如) ) 叭如) 一小) l o 瓦f ( 2 丽o 一磊d g ) t h e o r e m 4 2l e to ) ，c ( t ) b et w os m o o t hf u n c t i o n sd e f i n e do n 【0 ，a 1 ，s a t i s f y i n g0 0 ) 0 ，a ( 0 ) = - 1 ，c ( 0 ) = o ；f ( t ，s ) ，g ( 8 ) b et w os m o o t hf u n c t i o n s ，s a t i s f y i n g 等毗咖( s ) 如h ( s ) ) 【，( 计s _ o f ( 。鬈一面d g ) a n df ( t ，s ) 夕( s ) ，f o ra l ls 【0 ，q ，t 【0 ，叫。i na d d i t i o n ，w es u p p o s e ，2 ( 0 ，叭 热 l t h e nt h e r ei sas u r f a c ei n 帮w i t hp f i n t i p a lc u r v a t u r e sf ( t ，8 ) a n d9 ( 3 ) ，a n dsi st h ea r c l e n g t ho fi t sg e n e r a t i n gc u r v e f o r t h em o r e ，w eg i v et w oe x a m p l e so ft h i sn e wt y p eo fw e i n g a r t e ns u r f a c e s i ne x a m p l e 1 ，a i ( t ) c o n s t r u c ts u r f a c e & a n da sac u r v ei ns o ( 3 ) ，t h er e l a t i v ec u r v a t u r eo fi tk = 0 a n dt h er e l a t i v et o r s i o n7 _ = w 2 t h es u r f a c eo fr e v o l u t i o ni n 1 】i sas p e c i a ls i t u a t i o n w h e na = 0 ，a ( t ) e - 1 i ne x a m p l e2 ，a 2 ( t ) c o n s t r u c ts u r f a c e 毋a n da sac u r v ei n s 0 ( 3 ) t h er e l a t i v ec u r v a t u r eo fi tk ：1a n dt h er e l a t i v et o r s i o nr = 1 2 t h i si sar e a l l y n e ww e i n g a r t e ns u r f a c ed i f f e r e n tf r o mt h es u r f a c eo fr e v o l u t i o n s oo u rc o n c i n s i o ni st h e g e n e r a l i z a t i o no f 【1 】 k e yw o r d s ：r e l a t i v ec u r v a t u r e ；r e l a t i v et o r s i o n ；t h ef r e n e te q u a t i o n ；t h e p r i n c i p a lc u r v a t u r e s ；w e i n g a r t e ns u r f a c e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：弛垒自一日期：越l 丛 一 查垄里三查堂堡主要壅生兰! 堑垒窒 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文， 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 1 1 本文研究背景介绍 1 8 6 1 年j u l i u sw e i n g a r t e n 在他的的一篇文章中引入：t w e i n g a r t e n 面或称w - 曲面 定义为两个主曲率函数k l ，乜满足一定非平凡关系式( 1 ，k 2 ) = o 的曲面；等价的也可以看 作高斯曲率和平均曲率日满足一定非平凡关系曲( eh ) = 0 的曲面 w e i n g a r t e n 曲面包含很多种类型，如：旋转曲面，螺旋面，常高斯曲率曲面，常平均曲率 曲面等因此，对它的研究究一直是古典微分几何学的一个重要领域，也得出了很多有趣的 结果与此同时，w e i n g a r t e n l 均也推广到t w e i n g a r t e n 超曲面，如等参超曲面，旋转超曲 面，螺旋面和伪全脐曲面等 我们简单介绍一下给定高斯曲率或平均曲率的旋转超曲面的概况 具有给定高斯曲率的曲面( 超曲面) ，一直是一个饶有兴趣的问题，已经有了很多成 果，见 1 8 】一 2 l 】而通过寻找相应的生成曲线，进而构造给定平均曲率的旋转超曲面同样 得到了很多结果d e l a u n a y 2 2 j = 1 8 4 1 年证明：一条圆锥曲线在其所在平面内沿一条直线 滚动，其焦点的轨迹曲线绕该直线旋转所生成的曲面均为常平均曲率旋转曲面反过来 除了球面之外，任意常平均曲率旋转曲面均可由此方式生成这一结论称为d e l a u n a y 定 理1 9 8 1 年h s i a n g $ 1 y u 2 3 将d e l a n n a y 定理推广到礼+ 1 维e u c l i d e a n 空间中的常平均曲率 旋转超曲面此后，h s i a n g 2 4 与s t e r l i n g 2 5 分别于1 9 8 2 年，1 9 8 7 年证明：d e l a u n a y 定理对 于f 件1 和舻+ 1 中的“型w e i n g a r t e n 旋转超曲面仍然成立( 所谓m 型w e i n g a r t e n 旋转超曲面 是指主曲率a 1 ，k 满足以( a 1 ，h ) =凡。k ， 1 fs 他的旋转超曲面) x u 2 6 - 于1 9 9 8 年证明：d e l a u n a y 定理对于n + 1 维m i n k o w s k i 窑问中的们型w e i n g a r t e n 旋转超 曲面也同样成立， w e i n g a r t e n 曲面有很多表达形式比如f 1 1 中黄宣国对旋转曲面给出了一个其主曲率函 数所满足的微分关系式 掣一2 掣 警= i f ( s ) - g ( s ) 】g ( s ) ( ，( s h ) + i d 2 9 ( s ) 并得到结论：任意给定两个满足以上关系的函数，( s ) ，g ( s ) ，可以找到r 3 内一旋转曲面 以，( s ) ，g ( s ) 为主曲率函数在r 2 ，一，h s ( 一1 ) ，及d es i t t e r 空间中也有类似的结论见i 2 卜一 1 2 卜 旋转曲面可以看成是一个旋转矩阵作用于一条平面曲线所得到的曲面而旋转矩阵又 可以看成是s o ( 3 忡的一条测地线，这就启发我们可以利用s o ( 3 ) 5 b 的曲线和辟内一条平 面曲线构造一类新的曲面本文就是根据这种思想，利用s 0 ( 3 1 中一条光滑曲线和帮中一 条平面曲线，构造了一类新的w 西1 1 9 a r t e n 曲面，并在f 1 1 的基础上讨论了其性质及存在性 1 2 本文内容介绍及未来设想 本文主要是以w 西n g 时t e 曲面为研究对象，给出了一类新的w 醯培t e n 曲面的性质及 1 一个存在性条件 第一章首先介绍了本文所讨论课题的历史发展，一些关于该学科领域的国内外学者所 取得的成果，并在最后介绍了本文的主要工作 第二章主要介绍了一些预备知识分另0 介绍了黎曼流形和协交微分的基本知识；l i e 群 和l i e 代数的基本知识：关于矩阵微分方程的一些基本性质和运算 第三章介绍了s 0 ( 3 ) 中的曲线论第一节介q j s o ( 3 ) 中的有关运算；第二节介s s o ( 3 ) 中 弧长参数曲线在s 0 ( 3 ) 中的相对曲率，相对挠率和f r e n e t 公式，以及一般参数下相对曲率， 相对挠率的表达式 第四章主要是讨论了利用s 0 ( 3 忡一条光滑曲线和r s 内一条平面曲线构造的一类新 的w j i n g a n e n 曲面第一节给出了这类曲面的性质；第二节给出在给定主曲率函数时这类 曲面的一个存在性条件：第三节给出了这类盐面的两个例子 以后我们将考虑在此类曲面上加一个平移，所得曲面的性质 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章前两节分别简要介绍黎曼流形和协变微分的基础知识和l i e 群，l i e 代数的基本知 识：第三节简单介绍有关矩阵微分方程的萋本性质和运算 2 1 黎曼流形和协变微分的基本知识 定义2 1 1 设m 是一个m 维光滑流形，9 是m 上一个光滑的二阶协变张量场如果g 是 对称、正定的，即对于每一点p m ，g 是切空间耳m 上的一个对称、正定的二阶协变张 量，则称g 是m 上的一个黎曼度量指定了一个黎曼度量f 的光滑流形m 称为黎曼流形，记 为( m ，9 ) ，或简记为膨 根据定义，9 0 ) 是肘上的内积( v p m ) 所以光滑流形肘上的黎曼度量就是以光滑 的依赖于点p 的方式在每一点p m 的切空间瓦m 上指定一个内积使之成为欧氏向量空间 特别地，每一个欧氏( 向量) 空间都是黎曼流形 设( 矿；) 是m 的一个容许的局部坐标系，则黎曼度蠡9 有局部坐标表达式： 9 l r = g t j d x 2o d 一， ( 2 1 1 ) 其中鲫= 口( 杀，品) d 。( u ) ，鲫= 强由定义，在每一点p u ，勋函) 是m 阶正定矩 阵如果引入对称化的乘积( 对称张量积) d x d x j = 1 ( d x i 圆心+ 矧。血) ， 则( 2 1 1 ) 式可写成二次微分形式9 l 口= 妁d 删 设r ：a ，6 】一m 是m 中一条光滑曲线，令 r 6 f b 一 厶( r ) = | r ( t ) l d t = ( r ，( t ) ，r 他) ) ， 并称之为曲线r 的弧长。曲线的弧长与曲线的正则参数变换无关，也与光滑流形的局部坐标 系的取法无关 定理2 1 1 在m 维光滑流形m 上必有黎曼度量 定理2 1 2 设( m ，9 ) 是一个m 维黎曼流形，x 芏( m ) 如果( 矿；) 是m 的一个容许坐 标系， 且x l u = x 羔，则 d ( x i v ) 一( d x + x j l 叁d z ) 焘 = ( 篆+ 卵r ；。) 血 。鑫。l 丽+ 羽i 严强丽 是与局部坐标系选取无关的( 1 1 ) 型光滑张量场于是，如果令 ( d x ) i u = d ( x l u ) ， 则d x 是大范围的定义在m 上的( 1 1 ) 型光滑张量场 定义2 1 2 设( m ，9 ) 是m 维黎曼流形，x 芏( 时) 由定理2 。1 2 在m 上的确定的( 1 1 ) 型 光滑张量场d x 称为光滑向量场x 的协变微分或绝对微分；相应的映射d ：x ( m ) 一 只1 ( m ) 称为黎曼流形( m ，g ) 上的协变微分( 或绝对微分) 算予 3 塾全垄! 二耋墨童坌塞圭些奎萤墼塑里燮! 竺些亘 注记：定义中岛1 ( m ) 为m 上的( 1 1 ) 型光滑张量场的集合 定义2 1 3 设( m ，9 ) 是m 维黎曼流形，x ，y 芏( m ) d y x = 讲od x ) 称为光滑 切向量场x 沿y 的协变导数或协变徽裔，其中研是指张量场关于第一个反变指标和第一个 协变指标的缩并运算 在局部坐标系( u ；一) 下，( d y x ) i u 有如下的局部坐标表达式： ( d r 冽u 圳( 筹埘咏) 拶o _ t ( 2 1 2 ) 由此可见，协变微分算子d 又可以视为映射d ：芏( m ) ( m ) 一芏( m ) ，其定义是：对任意 的x ，y 筻( a 彳) ，d ( x ，y ) = d r x 笺( m ) 定理2 1 3 映射d ：芏( m ) 芏( m ) 一芏( m ) 具有如下性质：对于任意的x ，vz 芏( 且彳) ，入r ，g 。( m ) ， ( 1 ) d y + f z x = d y x + f d z x ； ( 2 ) d y ( x + a z ) = d y x + a d v z ； ( 3 ) d y ( f x ) = y ( f ) x + f d v x ； ( 4 ) d x y d r x = 僻，y 】； ( 4 ) z ( ，y ) ) = ( d z x ，y ) ( x ，d z y ) 注记：上述定理中的( 1 ) 说明d y 义关于自变t y 具有c ”( m ) 线性性质，即d x ：笺( m ) 一 芏( m ) 是( 1 1 ) 型的张量场；而( 3 ) 和( 4 ) 则意味着，对任意的y 芏( m ) ，映射d y ：x ( m ) 一 芏( m ) 具有导算子性质 推论：映射d ：芏( m ) 芏( m ) 一芏( m ) 具有如下性质： ( 1 ) 设x ，e z ( m ) ，p m 如果y p ) = z ( p ) ，则 ( d y x ) ( p ) 一( d z x ) ) ( 2 ) 设x ，e z 芏( m ) ，p m ，r ( t ) ( t ( 一，s ) ) 是肘上的一条光滑曲线，使得r ( o ) = p ，r 7 ( o ) = z ( p ) 如果x h ) = y i ，( t ) ，则 ( d z x ) ) = ( d z y ) 扫) 注记：根据以上推论可以定义m 上的光滑切向量场x 在一点p 肘沿某个切向 量 耳m 的协变导数；同时，对于m 上沿一条光滑曲线r = r ( f ) 定义的切向量场x = x ( ) ， 可以求它沿着曲线r 的协变导数d x ，而不必在意它在r 以外是否有定义如果在局部坐标 系；z ) 下，曲线r ( t ) 的参数方程是( r ( ) = ( t ) ，切向重场x ( t ) 的表达式是 x ( t ) = 膏( t ) 蠹k ， 则 d x d t ( t ) ：d ，( t ) x = ( 型+ x m ) d ：x d t l ( t r , “啪乱站) 4 大连理工大学硕士学位论文 22l i e 群和l i e 代数的基本知识 定义2 2 1 设p 为域f 上的线性空间若在p 中引进运算渖，胡( 称为换位运算) ，使得 它适合条件 ( 1 ) 反交换性 b ，司= 一k ，胡，v x ，p f 2 1双线性性 协z + 肛口，司= a 陋，司+ p 陌，司，v 入，p f z ，y ，2 妒 ( 3 ) j a c o b i 恒等式 【k ，鲥，2 l + 【z ，。】，】+ b ，z ，。i = 0 ，v x ，y ，z 掣 则称p 为域f 上的李代数 若线性空间p 的维数为礼，则p 称为域f 上的n 维李代数；若p 的维数无限，则p 称为 无限维李代数另一方面，当域f 为复数域时，z 称为复李代数；当域f 为实数域时，绷i 为实李代数 倒1 设f 为域，y 为域f 上的啊维线性空间记引( y ) 为y 上所有线性变换构成的集合 在线性变换的加法和纯量积下，显然它构成一个线性空间在线性空间讲( 中引进换位 运算澎，铡= 毋一国，易证这时讲( y ) 为李代数，称为一般线性李代数 倒2 设f 为域，记g l ( m ，f ) 为域f 上所有m m 矩阵构成的集合在方阵的加法和纯 量积下，显然它构成一个m 2 维线性空间在线性空间郇( m ，f ) 中引进换位运算陋，b 】= a b b a ，易证这时鲥( m ，f ) 为李代数，称为一般矩阵李代数 定义2 2 2 设g 为普通的群( 有限或无限) ，且g 为解析流形称g 为李群，如果映 射( z ，y ) 一茁妙，比，y g 为g g 到g 的连续映射当g 为实拓扑流形时称为实李群，为 复拓扑流形对称为复李群 由定义立即可知的g ，左平移l g 与右平移吃均是解析同胚映射因而李群g 在每个 点维数相同这个维数就叫做g 的维数记为d i m g 例3 彤对于加法运算就是n 维实李群 例4 g l ( n ，r ) 为所有礼阶可逆方阵的集合，对矩阵乘鞋2 , g l ( n ，r ) 是群；又g l ( n ，r ) 是礼2 维 解析流形( qy ) 一x y _ 。是g l ( n ，r ) x g l ( n ，固到g l ( 佗，咒) 上的解析映射故g l ( n ，r ) 是n 2 维 实李群 定义2 2 3 李群g 的子群日若又是g 的子流形，则称日为g 的李子群 下面讨论一般线性群的几个重要子群将g l ( n ，固的李代数看做引( n ，r ) 于是， x g l ( n ，聊，有e x p t x = e 蠛若且是g 的闭子群，。舻为日的李代数，则 。，护= x 引( 礼，咒) i e “h ，b t r f 1 1 特殊线性群 s l ( n ，r ) = a g l ( n ，r ) l d e t a = 1 ) 5 塾全垄：二壅墨煎堡塞圭堂奎鱼塾塑望塑竺! 竺塑雯 x g l ( n ，r ) ，d e t e t x = c t r t x = 1 当且仅当t r t x = 0 故s l ( n ，脚的李代数为 s t ( n ，r ) = 仁g t ( n ，r ) l t u x = o ) ( 2 ) 正交群与特殊正交群 d ( 礼，r ) = a g l ( n ，嘲i a a = l a 为a 的转置x g l ( n ，冗) ，( e ) 7 e 以；厶当且仅当x + x = 0 故0 ( n ，r ) 的李代数为 o ( n ，r ) = x g l ( n ，r ) i x 。+ x = 0 注意到此时t r x = t r 芷笋= 0 故e x p o ( n ，r ) 生成的群不是o ( n ，r ) ，而是特殊正交群 s o ( n ，r ) = 似o ( n ，r ) l d e t a = 1 = d ( n ，r ) n s l ( n ，_ r ) 将此群的李代数记为s o ( n ，r ) ，则s o ( n ，r ) = o ( n ，兄) 2 3 关于矩阵微分方程 形如 j d _ x f = a ( 。) x ( 幻，x ( t o ) = g 的矩阵微分方程实质上是代表一个含有佗2 个未知函数的常微分方程组与微分方程解的存 在唯一性相类似上述矩阵微分方程解的存在唯一性定理也成立 定理2 3 1 矩阵微分方程 等= a ( o x ( t ) ，x ( t o ) = g ( 2 3 1 ) 其中a ( t ) = ( ) 。是定义在，t 1 1 上的分段连续的n 阶函数矩阵，x ( t ) 是礼阶未知函数矩 阵，g 是n 阶常数矩阵则方程( 2 3 1 ) 的解存在且唯一 下面给出方程( 2 3 1 ) 的解的几条性质( 假定d e t c o ) 。 引理2 3 2 方程( 2 3 1 ) 的任何一个解都是非奇异的，即d e t x ( t ) 0 ，( t o tst 1 ) ，且 i x ( t ) l = l g l e 盛r ( 哪“ 该等式称为雅可比等式 引理2 3 3 设】 ( ) 与托( t ) 是两个满足方程等= a ( t ) x ( t ) ，而初始条件分别为五) = a 与j 岛( 幻) = q 的解，则蜀( t ) 与恐( t ) 之阃满足“ x z ( t ) = x l ( t ) t j f c e o t = c 1 q 当矩阵a ( t ) 满足一定条件时，我们可以得出方程( 2 3 1 ) 的解如： 引理2 3 4 若a ( t ) 是常数矩阵，财方程( 2 3 1 ) 的解为 x ( t 1 = e a ( 一t o ) c 引理2 3 5 若a ( t ) 是连续函数矩阵，且对任何8 ，在a ( ) 所定义的区间内满足 a ( t ) a ( s ) = a ( s ) a ( t ) 6 大连理工大学硕士学位论文 则方程 的解为 警= a ( 懈) ，x ( o ) = j r x ( t ) = e 嚣 ( u ) “ 引理2 3 6 若函数矩阵x ( t ) 对于任何有限的t 可以求导数，且满足方程 x ( t + 3 ) = x 0 ) x 0 ) ，一。 0 时，由( s ) a ( s ) 决定一单位向煎 b 2 ( s ) 2 赢b 。( s ) a ( 8 ) 与日7 ( s ) a ( s ) 同向， 注记：当后( s ) = o 时，c 为舳( 3 ) 中全测地曲线以下只考虑( s ) o 的情形 下面考虑b ，口的括号积i ，捌= b b b 直接计算可得： ( 【b ，b 】a ，b a ) = ( 【_ b ，b a ，b a ) = 0 所以【，司a 是与b a ，b 7 a 均正交的向量由 ( 【b ，驯， b ，口 ) = ( 日，b ) ( b ，日) 一( b ，b ) 县，b 7 ) = ( b ，b ) = 尼2 取 1 e 3 ( s ) 2i 裔i s ( s ) ，b ( s ) 】a ( s ) ， 则e 3 ( s ) 是与e 1 ( s ) ，e 2 ( s ) 均垂直的单位矩阵 这样我们就得到一个沿曲线c 的正交标架： a ( s ) ；e l ( s ) ，e 2 ( s ) ，e 3 ( s ) ) ， 称为曲线g 在s 0 ( 3 ) 中的f r e n e t 标架，它构成右手系分别称三个坐标轴为曲线g 在a ( s ) 点 处的切线，主法线，副法线三个坐标平面称为曲线g 在a ( s ) 点的法平面( 以e 1 为法向量) ，密 切平面( 以e 3 为法向量) 和从切平面( 以e 2 为法向量) 下面我们求f r e n e t 标架的运动方程因为8 1 ，8 2 ，e 3 都是单位向量，所以 ( 訾= e 2 , i d e 2 _ ( ，警) = o 以上我们已经看出 对( e 1 ，e 2 ) = o 求协变导数，有 堕：慨ds ( 訾崩) 一( 鲁池) 一 设 ，d e 2， 7 2 l i ，8 3 ) 由于 e ，e 2 ，e 3 是以a ( s ) 为原点的正交标架，所以有 毕：一蛔+ ，。3 妯于 c 釉_ - ( 釉：。 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 所以 ( 鲁，e 2 ) 叫案，e 3 ) = 一r d e 3 d s 2 7 8 2 这样我们便得到如下f r e n e t 公式 f 等= 蜘川 百d e 2 = 一蜘) e 1 ( 。) + r 扣 【鲁= 叫s ) e 3 ( s ) 罟g e 2 ) = ( 三9g ) ( 3 2 1 3 ) ) e 3 ( s )( 3 2 ，1 4 ) f 面我 】计算曲线g 在s d ( 3 ) 中的相对挠率在弧长参数下的表达式 鲁= ；( 口”“b ) a 一面k 甘e a = ； 一长+ i ( b ，b 一日b f ) 】a + 去( b + b ) a 上式中第一部分在忍。f 3 ) 中，第二部分恰在其正交补空间中 _ 所以 一 i d e 2 = i 1 n + 扭b 1 a i 1 比一譬眈+ 互1 岛 所以 ? 吲等 e 3 ) = 面1 ( b ”a ， b ，b a ) + ； ( 6 c ，一c ) + ( 0 c d ) + c ，( b 一a 7 功 l4 - - ( o ) 。+ ) 。+ ( 叫2 2 最后我们给出在一般参数下s 0 ( 3 ) 中曲线的相对曲率和相对挠率的表达式 给定s 0 ( 3 ) 内一条曲线g ：a = a ( t ) ，t 1 0 ，卅，利用s ：s ) ，有 踯= 警= 警塞叫s 塞叫班( 塞 ( t ) a ( t ) = 虿d 2 a = 影di d a ) 面d s + 警翥 ：一d 2 a f d 8 、2 斗些盟 d s 2 、( i t7 d sd r 2 = b ( s ) a ( t ) ( 塞) 2 十b ( 8 ) a ( 、面d 2 s 冒( t ) = b ( s ) i d 8 ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) 垫全垄! 二耋墨查坌塞圭些皇鱼墼鱼婴些! 些塑堕亘 “( 面d 8 ) 2 + 踯) 蠹 所以 唧) ，b ( t ) 】= 阢) ，日( s ) 】( 塞) 3 ( 3 2 1 9 ) ( 3 2 2 0 ) ( 旧( t ) ，b 7 ( ) 】，【b ( ) ，) = ( 面d 8 ) 6 f b ( s ) ，b ( s ) 】，旧( s ) ，b 7 ( s ) 】) = ( 面d 8 ) 6 2 矧= 矧= 删邛l 由此得到相对曲率的一般表达式 梏帮( 3 2 2 1 ) l d l j i ” 进一步，由( 3 2 2 ) 式，得 一v ( a b - a b ) i 2 + ( a d 瓦- 函a c 百) 2 + ( b c - b c ) 2 ( 3 2 , 2 2 )f 舻+ 萨+ c 2 、： 7 再求相对挠率的一般表达式由n e n e t 公式中第= 式得 f = ( 警渤) = 五d ( 三k 堕d s 1 ，烈1 s ) ，b ( s ) 1 a ( s ) ) = ( d s k 、 d 8 1 + 乏1 面d 2 e l ，- b 7 ( s 删s ) ) = ( 五d ( ：) ( 州+ i 1 ( ( s ) + ；瞅咄耶) 】) ) ，扣，( s ) ，踯) s ) ) 2 壶( b ”( s ) a o ) ，【b ( s ) ，b ( s ) a ( s ) ) + 丢；( f b 7 ( s ) ，b ( s ) 】a ( s ) ，旧o ) ，b ( s ) a ( s ) ) = 百1 ( b ”。) ，旧7 ( s ) ，b 扣) 】) + ； ：i 星：f 生! 星：f 生：星f 生) j - 三 k 22 ：l 里( 盐l ! ( 皇：( 虫! 里：( 生：望( 生! 。三 l ( t ) ，b ( t ) 旷 2 又 ( b ”( t ) + i 旧( t ) ，b ( ) 】) a ( t ) ：d z a d t s = d 。s 。a 。d 。s 。) a + 3 b ( s ) a ( s ) 面d s i d 2 石s + i d a 了i d 3 石s = ( b “( s ) + 扣( s ) ，日( s ) ) a ( s ) ( 面d 8j 3 t 。( s ) a ( s 五d s 面d 2 s + b ( s ) a ( s 、丽d s s = ( 面d 8 ) 3 ( 日”( s ) + 护捌酬) 坤) + 3 塞蠹b 郇) + 面d 3 8 耶) 删 大连理工大学硕士学位论文 即 矾卅护( t ) ，酬= ( 面d s ) 3 ( + - ；i b ，即) ) + 3 塞蠹b f ( s ) + 丽d 3 8 即_ ) 结合( 3 2 1 8 ) ，( 3 2 1 9 ) ，就有 ( 且”( 亡) ，b ( t ) ，b o ) ) = ( 面d s ) 6 ( 目( s ) ，b 。) ，b ( s ) ) = i b ( 0 1 6 ( 日”( s ) ，b ( 8 ) ，目( s ) ) 于是我们得到 用分量表示 r = 器铲+ 互1归( t ) ，b ( 圳。 2 ( 3 2 2 3 ) r = 名蒜岸鬟等糊+ - 1 ( 3 。以) 72 气矿习萨可i 二毋可方可+ 互 ( 3 2 2 4 ) 1 5 大连理工大学硕士学位论文 4 主要结论 本章第一节中构造了r 3 内一类w e i n g a r t e n l 掏面，计算出其第一，第二基本量，主曲率 函数，井讨论了其主曲率函数所满足的一个微分关系式；第二节讨论了以给定满足该微分 关系式的两个光滑函数为主曲率函数的这类w 西1 1 9 泐曲面的存在性；第三节给出两个这 类w e i n g a r t e n 出1 面的例子 4 1 r 3 内一类w e i n g a n e n 面 r ( s ) = ( z ( s ) ，0 ，z ( s ) ) ，8 【o ，l 】 是磷内一条平面曲线，且z f s ) 0 ，8 为弧长参数则 ( 毒( 5 ) ) 2 + ( 鸯( s ) ) 2 = 1 设 = a ( t ) ， 0 ，0 是s 0 ( 3 ) 内一条由方程组 f 百d a ( t ) = b ( ) j 4 ( t ) 【 ( o ) 兰， 刖= ( 二撼：多) 口( t ) ，6 ( t ) ，c ( ) 均为关于t 的光滑函数，我们假定b ( ) 0 ，te 0 ，q 】 考虑萨内一曲面s 其位置向量场为 s ：x ( t ，8 ) = r ( s ) a ( t ) 注记：【1 】中旋转曲面即是 邮，= ( ：簿c o s t ；) f = ，五) = r b b r r t = 6 2 ( z 2 + ) + ( 缸一甜) 2 f = ( k ，墨) = r b p ) 7 = 6 ( z j i 。) ， g = ( 五，x s ) = f ( f ) 7 = 1 置，墨为曲面的坐标切向量，取 置，墨为曲面的坐标切向量，取 ”2 两i 而 ( 4 1 1 ) f 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 圳嫦= 赤a e t 聊卜 1l 一( 口2 + 6 2 ) 。一( 6 一2 ( q 一b c ) x 一( d + a b ) z ( 6 + a c ) x 一( 6 2 - 4 - 孑) z 2 丽l - 圣b 。一0 警 酬驯= 黼= 一1 d e t 盼蝴 2 南e i 科 州驯= 辫；一1 d e t 刚 = 志b 我们考虑s 。t 为正交参数系时的情形，即 f = b 仁l 一圣孑) = 0 若嘶一圣2 ；0 ，易验证f | | r ，即r ( s ) 为直线 若r ( s ) 不含直线段，则必有6 = 0 此时，曲面s 第一、二基本量简化为： e = ( a x c z ) 2 ，f = 0 ，g = 1 ； i = ( a x c z ) 2 疵2 + d s 2 ， i i = - ( a x 一凹) ( 口2 + c s c ) d t 2 - 4 - ( 岔j 一2 i ) d s 2 主曲率为 m s ) = 掣= 坐x - 幽h z ； g ( 亡，s ) = g ( 8 ) = 圣三一童芽 其中 ( ) = 4 t ) l k t ) ，a ( t ) 0 注记：孽( s ) 恰为曲线( 4 l 1 ) 的相对曲率。 1 8 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 g a u s s 方程和c o d a z z i 方程分别为 1 ( 倔) 八一l 湎4 - q 。一e g ( 去) 。刈哮= 。 ( 甜z 警= 。 我们考虑主曲率函数f ( t ，s ) ，g o ) 所满足的关系式 为此，考虑微分方程组： f 篙罐掣毗s ， 1 若( s ) 童( s ) 一圣( s ) 三( s ) = 9 ( s ) i ( s ) ) 2 + ( 雪( s ) ) 2 = 1 由第三式，要寻找【0 ，纠上一个光滑函数口( s ) ，满足 圣( s ) = c o s e ( 8 ) ，j ( s ) = s i n 8 ( s ) 于是 z