（应用数学专业论文）基于pi线段ct扫描图像重建算法研究.pdf

ad i s s e r t a t i o ni na p p l i e dm a t h e m a t i c s i m a g e r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t hmr e s e a r c h w i t hp i l i n es e g m e n t b a s e dc ts c a n n i n g b yq ux i n s u p e r v i s o r ： p r o f e s s o r x i a n gd ez h a n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y f e b r u a r y 2 0 0 8 l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 卜 写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：物镜 日期：z 。夕纩沙 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 7 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 、 丫l j ，+ 、 东北大学硕士学位论文 摘要 基于pi 线段c t 扫描图像重建算法研究 摘要 为了研究反投影滤波重建方法【1 】在c t ( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 系统中的应用， 提出了一种基于p i 线段的简化的平行束重建算法和扇束射束重建算法。该算法 首先对x 射线束产生的投影数据进行微分，然后把这些微分后的数据反投影到一 系列的p i 线段上，最后沿着p i 线段的方向对反投影数据进行h i l b e r t 滤波，即得到 重建图像。， ， 论文主要分为四章，第二章讨论了平行束重建方法和基于平行p i 线段的平 行射束反投影滤波算法。 第三章、第四章分别讨论了扇束重建算法和基于p i 线段的扇束反投影滤波 算法。利用s h e p p l o g a n 模型进行计算机数值模拟实验，得到了该算法和传统的 滤波反投影算法的对比结果。利用微焦点x 射线c t 的投影数据【2 】进行重建，得 到了实际数据下的重建图像。实验结果表明，该简化算法能够进行精确重建，可以 应用于实际的c t 系统。而且这种方法有很多优势，比如能够减少需要的数据， 快速完成扫描。减少辐射药剂的服用量，减少x r a y 的辐射，加快计算机的运 、 算。 关键词：重建算法；反投影滤波；p i 线段；c t 图像 - i i ，il-i-f 舅j ，ji j i m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m r e s e a r c h w i t hp i 1 i n es e g m e n t - b a s e dc ts c a n n i n g a bs t r a c t a a l g o r i t h mf o rc o m p u t e dt o m o g r a p h y( c t ) r e c o n s t r u c t i o nw a sd e v e l o p e d u s i n g ap i 1 i n es e g m e n t - b a s e db a c k p r o je c t i o na l g o r i t h mi n c ts y s t e m t h e a l g o r i t h m 行r s td i f 诧r e n t i a t e st h ef a nb e a ma n dp a r a l l e lr a yp r o j e c t i o nd a t at h a ti s t h e nb a c k p r o j e c t e do n t oas e r i e so fp a r a l l e lp i l i n es e g m e n t s t h ed a t ao nt h ep i - l i n es e g m e n t sa r et h e nn l t e r e du s i n gah i l b e r tt r a n s f o r mt og e tt h er e c o n s t r u c t e d l m a g e t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r s ，w ed i s c u s st h e r e c o n s t r u c t i o ni m a g ef r o mp a r a l l e lr a ya n dr e c o n s t r u c t i o nw a sd e v e l o p e du s i n gap i _ “n e s e g m e n t - b a s e db a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h m i np a r a l l e lr a y i nt h et h i r da n df o r t hc h a p t e r s ，w ed i s c u s st h er e c o n s t r u c t i o ni m a g ef r o m f a n b e a ma n dr e c o n s t r u c t i o nw a sd e v e l o p e du s i n gap i l i n es e g m e n t b a s e db a c k p r o j e c t i o n a l g o r i t h m i nf a n - b e a mn u m e r i c a ls i m u l a t i o n su s i n gt h es h e p p l o g a n m o d e l d e m o n s t r a t et h a tt h ea l g o r i t h mc a na c c u r a t e l yr e c o n s t r u c ti m a g e s a n a l y s i so f r e a li m a g e sf r o mam i c r o - f o c u sx - r a yc ts y s t e ma l s oi l l u s t r a t e st h es y s t e m s e f - f e c t i v e n e s s i ti sc l e a rt h a tt h e i ra l g o r i t h mp o s s e s s e sv a r i o u sp o t e n t i a lb e n e t s s u c ha ss i m p l i 行c a t i o no fd a t aa c q u i s “i o n ，g o o dt e m p o r a lr e s o l u t i o n ， r e d u c e d p a t i e n td o s e ，r e d u c e do fx - r a y s o u r c ep o w e r ，a n dr e d u c t i o no fc o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t s k e y w o r d s ：r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m ； b a c k p r o j e c t i o n 。6 l t r a t i o n ； c o m p u t e d t o m o g r a p h y ( c t ) ；p il i n es e g m e n t s i l i miif， ，nt-e f ，ut压rili 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 目录v i 第一章绪论1 1 1 c t 概述l 1 2 c t 成像的基本理论：4 1 3 本文主要工作8 第二章基于平行p i 线段的平行射束反投影滤波算法l o 2 1 平行束算法10 2 2 平行p i 线段的平行射柬13 2 3 计算机实现步骤1 3 2 3 1 平行b p f 的重建算法原理1 3 2 3 2 算法的数值实现15 2 3 3 算法数值模拟实验分析16 2 3 4 实际数据实验分析1 7 第三章扇束重建算法19 3 1扇形束反投影重建算法介绍1 9 3 2 计算机实现步骤2 4 第四章基于p i 线段的扇束反投影滤波算法2 7 4 1扇束扫描中跟本文有关的一些数据2 7 4 2 扇束扫描中得p i 线段2 9 4 3b p f 扇束重建的算法_ 2 9 4 4 计算机实现过程3l 4 5 算法数值模拟实验分析3 l 第五章结束语3 4 参考文献3 5 致谢3 9 一i v 一 ，“广 o。l、 7二rllrlirp 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 电子计算机产生之后，给人们的工作生活带来了极大的便利，同时为了减少 人为失误，很多东西都采用计算机进行精确控制，在医学领域更不例外。c t 的 产生是医学影像学划时代的进展，其实用价值已为中外医学界所共识。自从 1 9 7 2 年头部c t 正式应用于临床，1 9 7 6 年发展了体部c t 后，我国也在7 0 年代 末引进了这一新技术。在短短的二十年里，全国各地乃至县镇级医院共安装了各 种型号的c t 数以千台，c t 检查在全国范围内迅速地展开，成为医学诊断不可或 缺的设备。随着微电子工业和计算机技术的飞速发展，c t 机产品日新月异，每 隔三至五年便推出一种更新的产品。一般临床所提及的c t ，指的是以x 光为放 射源所建立的断层图像，称为x 光c t 。事实上，任何足以造成影像，并以计算 机建立断层图的系统，均可称之为c t ；因此除x 光c t 外，还有超声波c t ( u l t r a s o n i cc t ) ，电阻抗c t ( e l e c t r i c a li m p e d a n c ec t ，e i c t ) ，单光 子发射c t ( s i n 电l ep h o t o ne m i 圣s i o nc t ) ，以及核磁共振c t 等；超声波c t 与e i c t 尚属发展阶段。8 0 年代初，人们按照探测器的构造和扫描方式的不同， 将c t 机的发展分为第一、二、三、四代，甚至有所谓的第五代c t 。 1 1c t 概述 1 8 9 5 年伦琴发现x 射线以来，在其后的七八十年中，放射诊断技术有了许 多进步，但始终没有解决两个根本性的问题。第一，常规x 射线摄影是利用透 射原理完成的，它使人体的三维结构通过投影后显示在一个二维的平面上，这就 使得图像上的器官重叠，读片困难；第二，无论是荧光屏还是x 射线胶片，它 们固有的分辨率都比较差。总的说来，投影x 射线成像系统对软组织的分辨能 力是比较差的。计算机层析成像技术( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) 从根 ，bkfr。 东北大学硕士学位论文第一章绪论 本上克服了上述困难，它是8 0 多年来x 射线诊断学上的一次重大突破。c t 是 利用具有一定能量的射线源( x 射线，y 射线) 对物体进行断层扫描，并根据物 + 体外部的探测器获得的物理量( 指物质对射线的衰减系数) 生成的一维投影数 据，通过特定的重建算法，得到所扫描断层的二维图像。c t 断层图像具有无影 像重叠、空间和密度分辨率高、可直接进行数字化处理等优点，通过近十几年的 发展已成为非接触无损检测的主流技术，是关键部件检测、机械仿型设计、安全 检查的方面强有力的手段，并广泛应用于航空、航天、机械、汽车、船舶、公安 等领域。此外，在医学领域医用c t 机已成为疾病诊断的重要辅助工具，对病灶 的位置及病变程度的良好再现已使其成为医学影像领域里的主要医疗器械。 c t 机有三个组成部分。一是数据采集系统，二是图像重建( 主要是图像重 、建算法) ，三是图像后处理及显示系统。c t 图像重建算法主要分为两类，即级数 展开法和变换法。级数展开法主要是代数重建算法；变换法包括滤波反投影算 法、傅立叶变换法以及反投影法。滤波反投影是比较常用的变换算法，它具有速 度快，空间和密度分辨率好的优点，代数重建算法与滤波反投影算法相比具有更 好的密度分辨率，但速度要慢得多。 c t 的历史发发展简史可从19 l7 年说起。这年奥地利数学家r a d o n 用数学 方法证实了三维物体可以其二维投影集合重建自身的图像。这在当时还只是深奥 难解的数学公式。1 9 3 8 年，f r a n k 描述过图x 像重建技术在x 线诊断中的应 用。六十年代初，o l d e n d o r f ( 1 9 6 1 ) 和c o r m a r k ( 1 9 6 3 ) 曾提出设想，应用高灵敏度 的检测器代替x 线胶片，结合x 线( 横断) 体层的原理( 3 1 ，使x 线束变换角度连 续曝线，测量穿过物体各点的x 线光子量，把测量的大量数据交由电子计算机 处理。估计可以获得高分辨的x 线体层图像；于当时的技术水平，未能达到实 用地步。最终实现根本性突破的则是英国电子音乐工业公司( e m i ) 的工程师 g o d f r e yn h o u n s f i e l d 。h o u n s f i e l d 主要从事计算机和其它电子技术工作他最 初曾用改装的旧车床作实验，先是用辐射y 线的镅源照射有机玻璃模型，继而用 2 ；“i*蠢i 东北大学硕士学位论文第一章绪论 工业x 线管得到了脑标本的c t 扫描图，测量精度近于0 5 。在原理试验成功 后，1 9 6 9 年底便开始着手研制样机，1 9 7 0 年8 月完成设计。1 9 7 1 年l o 月即安 装并调试好扫描机，由于没有在线计算机，第一幅扫描图用了二天的时间。经过 半年的摸索和积累经验，1 9 7 2 年4 月在英国放射学会年会上首次提出了论文报 告，从而揭开了医学影象诊断学的帷幕，x 线c t 也就此宣告问世了。 h o u n s n e l d 本人因而荣获了1 9 7 9 年度生理学或医学诺贝尔奖。此后短短的十余 年中，x 线c t 经历了四代，发展速度之快是前所未有的。扫描时间从最初的 2 6 分钟，缩短到l 5 秒，空间分辨率在l 毫米以下。对比度分辨率亦在 o 5 以下，目前仍在向超高速x 线c t 发展。 自7 0 年代第一台c t 机问世以来，计算机层析成像技术一直是国内外研究 的热点之一，其研究可分为硬件和软件两方面。硬件方面发展出具有低、中、商 或超高能的y 射线、x 射线、电子束、直线加速器的c t 机，近年来西方发达国 家已先后研制出具有高分辨率的螺旋c t 、可超高速成像的电子束c t 等设备。 软件方面出现了许多结合检测系统从数学模型、数据采集、成像方法、软件实现 等角度，提高成像分辨率和检测速度的应用软件。特别值得注意的是一些通过软 件方法替代部分硬件功能的技术，由此达到降低成本，提高效率等目的。在重建 算法上出现了基于小波分析理论的局部重建的算法。需局部投影数据，大大减少 了数据的采集量。基于块迭代的代数重建算法缩短了代数重建的时间，使其在工 业无损检测领域里大量应用成为可能。我国有关单位花费巨额外汇先后进口数十 台国外工业c t 机用于军事工业和民用工业关键材料、部件的无损检测。发达国 家在工业c t 关键技术( 包括成像软件) 上对中国一直采取技术封锁和保密，以保 持其在工业c t 上的垄断地位。出口给中国的工业c t 机的数据采集和成像系统 被固化加密，无法二次开发和改进，维修也依靠国外厂家；此外，还限制对华出 口某些类型的高分辨率工业c t 机。因此发展具有自主知识产权的国产高分辨率 工业c t 机( 包括成像软件) 非常迫切和必要。 3 ，lhl_li 东北大学硕士学位论文第一章绪论 1 2c t 成像的基本理论 c t 成像的流程如图1 1 所示，可以把c t 设备分成三个部分，即扫描部分、 计算机系统和图像显示和存储系统。 图1 1 c t 成像的流程如图 f 1 9 1 1 f 1 0 wc h a r t0 f c i 扫描装置主要由产生x 线束的发生器和球管，以及接收和检测x 线的探测 器组成；计算机系统主要包括数据采集系统、中央处理系统、磁带机、操作台 等。此外，c t 机还应包括图像显示器、多幅照相机等辅助设备。x 线球管和探 测器分别安装在被扫描组织的两侧，方向相对。当球管产生的x 线穿过被扫描 组织，透过组织的剩余射线为探测器所接收。探测器对x 线高度敏感，它将接收 到的x 线先变成模拟信号，再交换为数字信号，输入计算机的中央处理系统。 处理后的结果送入磁带机储存，或经数模处理后经显示器显示出来，变成c t 图像，再由多幅照相机摄片以供诊断。 c t 自问世以来，在不长的二十多年中得到了飞速的发展。产品经过了几代 更新，各项性能指标有了明显的提高。下面简单介绍各代c t 的工作原理及性 能。如图1 2 所示，第一代c t 用一个x 射线源、一个探测器同步作平移运动， 并旋转进行扫描来获得投影数据。这是一种简单的采集数据的方法。 一4 一 ，_i，矗-珏矿 东北大学硕士学位论文第一章绪论 图1 2 第一代平移旋转 f i g 1 2t h en r s tg e n e r a t i o n 第一代c t 就是根据这一原理设计的。这一代c t 的基本问题是投影数据采 集的时间比较长，大概在几分钟的数量级上。长的扫描时间使得它很难用于全身 扫描。但是对那些相对稳定的部位，如脑部，这样的时间还是可以接受的。因 此，它曾经在脑部的检查中发挥过作用。 与第一代c t 类似，第二代c t 也采用平移加旋转的扫描方式。所不同的只 是用一个小角度扇形的射线束和多个检测器来代替原来的单一检测器，如图1 3 所示。由于使用了多个检测器系统，使得在每一个发射位置上可以同时测到多个 投影数据。于是在下一步作旋转运动时整个扫描系统就可以一步旋转1 0 0 而不 是1 0 ( 假设单一探测器时每次旋转1 0 ) 。这样，整个数据采集时间缩短了1 0 倍。 用这种扫描方式，数据采集的时间约为几分之一分钟，使得有可能在病人屏气时 作全身扫描。、第二代c t 的一个重要特征是它们都具有自校功能，即在每一次 平移扫描前和扫描后都测量一下在x 射线不经过病人时的直射强度1 0 。它就是 在没有衰减情况下的参考强度。虽然1 0 在理论上被假定为常数，但在实际上由 于x 射线源及检测器性能随时间的微小变化会造成1 0 的值发生漂移。因此经常 进行自校是很必要的。 5 - ，、-、 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 图1 3 第二代扇束旋转 f i 9 1 3t h es e c o n dg e n e r a “o n 第三代c t 与第一、第二代不同，它只包含扇形束的旋转扫描而不包括x 射 线源与检测器的平移运动，如图1 4 所示。第三代c t 的扇形角已扩展至容纳下 病人全身的横截面。检测器阵列通常由几百个检测器单元依次排列而成，x 射线 源与检测器围绕着一个公共轴心旋转。因此这一代c t 的明显优点是机械结构简 化了，从而使扫描速度有了明显的提高( 通常为几秒钟) 。它的缺点是无法在扫 描过程中进行自校。这是因为一旦病人进入了扫描仪，就无法找到一个位置让x 射线直射到检测器上进行自校。如果有一个检测器出了故障或校准不正确，那么 图像中就会出现与旋转轴同心的环形伪像。这个问题后来靠采用稳定的检测器 ( 通常用氙电离室) 和专门的软件校准程序来解决“1 。 监冷 罐j j 、 鼢，：j ! 一、卜，r 硫去：偈 图1 4 第三代扇束旋转探测器连续扫描 f i g1 4 t h et h i r dg e n e r a t i o n 6 1，i，r 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第四代c t 采用在3 6 0 度圆周上固定安装女，的检测器。数据的采集只是靠旋 转x 射线源，而整个检测器阵列是不动的，如图1 5 所示。 固定州硝器 图1 5 第四代扇束旋转探测器固定扫描 f i g 1 5 i h ef o u r t hg e n e r a t l o n 最初，第四代c t 的设计是为了解决第三代机器中的环形伪像。从图中可以 看到，它除了可以进行快速扫描外，还可以进行自校。因为每一个检测器单元都 有可能在某一个扫描位置上被直射。另外，从几何学上分析，这个系统的结构本 身决定了检测器的误差将分布在整个图像上，从而避免了环形伪像的产生。但 是，第四代c t 的结构也存在一些固有的缺陷。一个基本的问题是：对某一个特 定的检测器单元来说，在不同的扫描位置上，x 射线以不同的角度轰击检测器， 这将对重建图像的质量发生影响。在第三代c t 中，检测器与x 射线源一起旋 转，所以每一个检测器都调整在与x 射线源对准的方向上，这样的结构安排是 比较合理的。 第五代扫描方式用发射源阵列代替机械旋转的单个发射器，接收器是半弧形 阵列。这种方法可以在数十毫秒内完成扫描，实现对运动器官的快速成像。这种 扫描方式的实际c t 装置中用真的x 射线管阵列排列，而是用电子束轰击一个置 于真空中的半弧形钨靶产生x 射线，再利用磁场使电子束偏转扫描钨靶的不同部 位来实现x 射线源在空间沿半弧形的旋转。 7 。， 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 陌 l 嚣 图1 6 第五代电子束c t 咤了毫疗 f l g1 6 i h e t l t t hg e n e r a t l o n 1 9 9 8 年推出的多层螺旋c t 迸一步提高了螺旋扫描c t 的性能。探测器列数 增加到两列以上，x 线束为可调节宽度的锥形线束，根据拟采集的层厚选择锥形 束的宽度，使其激发不同数目的探测器，从而实现一次采集可同时获得多层图像， 由于采用更大的螺距、节省了x 线管的损耗，扫描速度可提高2 6 倍。在极短 的时间内。完成长距离的扫描。总之，多层螺旋c t 是c t 技术的发展，随着探测 器数量的增加和材料的改进，计算机技术的提高，多层螺旋c t 将会有更大的发 展，成为本世纪c t 技术热点。当今的社会，是一个高速发展的社会，各种新知 识、新技术，不断发现，不断发展。c t 技术顺应这种历史潮流，也在不停地发展， 除了普通c t ，单螺旋c t ，双螺旋c t ，多层螺旋c t ，电子束c t 外。微米分辨力 x 线c t 成像，微波c t 成像，电阻抗c t 也在相继研制和临床试用中，随着技术 的不断完善和发展，必将给c t 技术增添更辉煌的一页。 1 3 本文主要工作 本文讲解了平行束重建算法、扇形束的重建算法。在平行束算法基础上讲解 了平行束p i 线重建算法。在扇形束的重建算法基础上讲解了一种对扇束重建算 法的一种算法，叫做基于p i 线得扇束重建算法。本算法的来源是k a t s v e l 螺旋 锥束重建算法临3 ，主要是针对感兴趣区域的重建。很明显这个算法有很多优势， - 8 j j 东北大学硕士学位论天一 釜二主兰竺 _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 一_ _ _ _ _ _ - i _ _ - _ - _ _ _ _ - - _ - _ _ _ - - - - _ l _ - - _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - 一 比如能够减少需要的数据。快速完成扫拙，减少辐射药剂的服j = j 量，减少x r a y 的辐射，加快计算机的运算。另外，本论文用计算机实现了这两种算法。 9 - 0 一， 东北大学硕士学位论文第二章基于平行p i 线段的平行射柬反投影滤波算法 第二章基于平行p i 线段的平行射束反投影 2 1 平行束算法 滤波算法 二维图像重建算法都是依据投影层析定理，此算法虽然简单，但是在医学建 像领域是最基本得定理，几乎所有的算法都是由它基于实际需要进行转换推导出 来的，为了以后方便，在这里我首先对此算法进行推导，然后进行模拟重建。设 投影过程，口代表投影角度，p ( ，印为投影数据，则： p ( ，口) = f ( x ，j ，) 出 其中x ，y ) 代表物体。先引进一个结果，设： f ( 矾d = 肜( 五力e x p ( 一_ ，2 万 c 。s p + 少s i n 力) 出砂 岛( 万) = p ( ，秒) e x p ( 一2 删，) 讲 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中，= = r ，即f ( 万，刃为厂( x ，y ) 的f o u r ie r 变揍的极坐标形式，岛( 万) 为p u ，力关于j 的f o u r i e r 变换，把( 2 1 ) 代入( 2 3 ) 有 f ( 万，口) = & ( 万) ( 2 4 ) 这就是投影层析定理，根据f o u r i e r 你变换，有 ( x ，y ) = f 。r ，( 万，秒) e x p u 2 嬲 c o s 秒+ y s i n d ) 羽耐秒 ( 2 5 ) 由于，( 万，秒+ 万) = f ( 一万，护) ，故 厢一 厂( x ，j ，) = 【i f ( z 矿，口) e x p ( 2 万z 矿( x c o s 秒+ 少s i i lp ) ) i 刃l d z 口c 伊( 2 6 ) 日，m ( 2 4 ) 代入( 2 6 ) 得 1 0 一 ，la f lj 东北大学硕士学位论文 一 笙三主叁! 堑! ! 垡垦竺堡堑查垦丝兰鲞鳖簦查 一一 厂( 训) = j r s 口( 万) e x p ( 2 刀刃) 怫蒯臼 其中f = x c o s 9 + y s i n 秒，把( 2 3 ) 代入( 2 7 ) 硐 厂( x ，y ) = 弘 p ( x c 。s 缈+ y s i n 妒，妒) d 伊) 2r 。e p 脚) 五( 瑚s 伊+ y s i n 伊一删缈 其中p ，( 缈) 为p ( f ，伊) ，f 。为t 的取值上线，办( f ) 为卷积核，有下式表示 办( r ) = f = ? e x p ( 一2 万。面) l z 矿l d 矿办( r ) = i e x p ( 一2 万。面) l z 矿i d 矿 卜 由于& ( 珂) 是能量有限的，故 ( ，) = f 口e x p ( 一歹2 万刃f ) l 五歹i d 矿 ( ，) = i e x p ( 一歹2 万z 刃) i z 矿l d 万 l 旷 w 为& ( 万) 的能量上限，取w 为7 7 ，7 为取样间隔，则有 椰，音笔一专c 笔户 根据( 2 1 1 ) ，可以求得在取样点上的厅( f ) 值 j l l ( ，l ，7 ) = 力= o 刀为偶数 刀为奇数 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 下面是重建步骤 先给出几个参数：v i e w 为采样数，c h a n n e l 为通道数，d e t 口为取样间隔， m i d d le 为经过原点的通道号，秒= 死f p w 为转角间隔，则极坐标形式的重建公式 由下面几步得出： 第一步：求卷积 q ( f ，_ ，) = ( _ ，一七) p ( f ，七) o f v f p w ，o c 办册刀口， f l 口 其中尸( ，j ，- ，) 为第j 个采样角度第个通道得采样值： 11 - 一切 一2 一一曙 l 矿 一万 一4 0 一以 燮譬硕士学位论文 第二章基于平行p i 线段的平行射束反投影滤波算法 第二步：求值 坳加富 月= 0 刀为偶数 刀为奇数 a h 口坩h p ，一l 厂( 厂，咖= f ( f ) q ( f ，( f ) ) + ( 1 一，( f ) ) q ( f ，( f ) + 1 ) 其中，( f ) ，( f ) 分别由下面的方法求得， 令 则 j = 7 c o s ( 缈一f 目) + 朋丸批 ( f ) = i n t ( s ) ，f ( f ) = ，( f ) + l s 其中i n t ( j ) 为取整运算，为了保证o ) 有意思，r 需要满足| ，f r m 时，g 。( r ) = o ，则上式可改写为 f ( x ，y ) = r i 芝( r ) c ( x c 。s 秒+ y s i n p _ r ) d r d 乡 ( 3 3 ) 考虑到在平行束投影的情况下，扫描角在0 时所获得的投影数据与扫描 角2n 时所获得的投影数据是完全相同的，因此，在数据采集与图像重建时 只考虑0 时的情况，即在( 3 3 ) 式中角度的积分限是从o 到。由于在扇形束 投影的情况下，o 角度下所获得的投影数据与2n 下获得的投影数据是 不一样的，因此，在图像重建中应完成o 2 兀的积分。不过，这样做将使重建 2 王 东北大学硕士学位论文第三章扇束重建算法 图像的强度增加倍。为此，我们在将( 3 3 ) 式中的积分限改为0 2 孔的i 列时， 将积分的结果乘上了一个l 2 的因子，如下式所示： f ( x y ) 2 兰r ”庄x c 础+ 灿口一r ) d r d 9 ( 3 4 ) 将上式中的直角坐标系( x ，y ) 换成相应的极坐标( r ，缈) ，则有 f ( r ，舻三r 霄臼g 肛) ( r c o s 妒铆- r ) d r d 9 ( 3 5 ) 冈为从图3 3 中可以得m 于是可得 口= + 口，d = r s i n 口 d 8 = d b ，d r = d c o s n d q ( 3 6 ) ( 3 7 ) 将( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式代入( 3 5 ) 式，得剑 f ( r ，舻圭r 磁+ 口( d s i n a ) 吣( m 妒跚n 湖c 。s 删 ( 3 8 ) 考虑到被积函数中关于b 的函数是以2 为周期的，所以b 的积分限可以从 一b 2 一b 改写为o 2 。又由于的积分限a r c s i n ( 尺么) 相当于扇形束的边线 所具有的最大张角口m ，所以r 的积分限可以从一a r c s i n ( 尺么) 黜s i n ( r 移改为 一口m 口m 。此外，我们假设在平行束中射线s a 的投影数据记为g 。( r ) 。同样的 投影数据在扇形束中记q - ( 口) ，于是可以将( 3 - 8 ) 式最后改写成 f ( r ，) = 三f 石e 【q 声( 口) c ( r c 。s ( + 矽一) 一d s 访a ) 】d c o s 删 ( 3 9 ) 为了理解上式所描述的图像重建的过程我们先来分析一下式中卷积函数c ( ) 中的变量r c o s ( b + 口缈) d s i n 口，它可表为 r c o s ( p + 仅一9 ) - d s i n a 2 r c o s ( p 一币) c o s ( c l ) 一【r s i n ( p - 9 ) + d 】s i n q( 3 1o ) 假设重建图像中点m 的坐标为( x ，y ) 或( r ，9 ) ，它在扇面中的张角么m s o 为口( 参 见图3 4 ) 。令线段m s 的长度为l ，则可得 l c o s a = d + r s i n ( p 一9 ) l s i n n kr c o s ( d q ) 2 2 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 东北大学硕士学位论文 第三章扇束重建算法 将上两式代入( 3 10 ) 式可得 r c o s ( p + 0 【一币) - d s i nc c = r c o s ( p 一( p ) c o s ( 0 c - r s i n ( p - 平) + d s i n 0 【 = l s i n 口c o s 口一lc o s 口s i n 口 = l s i n ( 口- 口)( 3 1 3 ) 再将上式代入( 3 9 ) 式，可得 f ( r 缈) = 三f ”吼( 螂 “n ( 口。训】d c 。s 谢邶 ( 3 “) 絮八 欠 ，喻7 、0 7 i 磕嬲 l j 图3 4 扇形束图像重建 f i 9 3 4t h er e c o n s t r u c t i o ni m a g ef r o mf a n - b e a m 经过以上变换后，坐标变量( r ，q ) 表面上没有出现在等式的右边，但实际上变 量l 与口都是r 与缈的函数，因为对于每一个不同的( r ，妒) ，都有相应的口及l 与之对应。已知在平行束投影系统中，卷积函数是c ( r ) 作变量置换 p ：型掣p 则有p2 二_ 二p ! i ! u 伺 口口 c l s i n ( 口一口) = 端c ( 口- 口) 2 3 查! ! 查堂塑主堂堡笙查 一 第三章扇束重建算法 一一 ：= ：= ：二 令6 ( 口) 2i 三7c 位) 可得 f ( r 川= f 2 古昏q 肛) 6 ( 口- 口归c 。s 口唧 = f 。吉e 吼位归c 。s 口卜6 ( 口) 彬 ( 3 1 5 ) 上式就是扇形束投影情况下的卷积反投影重建图像的数学表达式。 3 2 计算机实现步骤 ( 3 15 ) 式给出的图像重建过程可分三步进行： 1 投影函数的修正 假定在b 角下的投影数据是qo ( 口) ，若以等角度间隔y 采样，则有 q 口( 口) = q 口( n 7 ) ( 3 1 6 ) 其中n 2 0 为射绰穿过原点的位置。将q 一( n 厂) 乘以d c o s ( n 厂) ，得到修正后的投影函 数 2 卷积运算 q f ( n 7 ) = q 口( n 厂) d c o s ( n 7 )( 3 1 7 ) 将修正后的投影函数与函数b ( 口) 作卷积运算，得到 其中 q 口( n 厂) = qb ( n 厂) 宰6 ( 刀7 ) 晰加三( 南) 2 c ( 胛) 2 4 东北大学硕士学位论文第三章扇束重建算法 采用s l 滤波函数， 即c ( ，2 ，) = i 志代入6 ( 胛y ) = 兰( 五岩豸) 2 c ( w ) 完成 3 加权大投影1 q 4 ( n 7 ) = q 口( n ) 幸6 ( 甩y ) 将第2 步中所得到的结果q 一( n y ) 乘上权重因子1 l 2 ，再作反投影，就可以得到 所需要的图像f ( x ，y ) 。需要注意的是，权重因子中的l 是关于( x ，y ) 坐标及b 角 的函数，为了表示得更加明确，有时将l 写作l ( x ，y ，b ) 或l ( r ，缈，b ) 。如果在 3 6 0o 下总共采集n 个扇形投影数据，即扇面的旋转步距为4b = 2 n ，那么( 3 1 8 ) 式所对应的离散表达式就是 f ( x y ) 筇善赢n ( n y ) 图3 5 扇形束断面的重建过程 f i 9 3 5t h er e c o n s t r u c t e dp r o c e s so ff i a n - b e a m 图3 5 示意说明了上式的运算过标。当扇面转动到某一个角落b 。时，可采集到相 应的投影函数qo 。( 口) 。经过函数修正、卷积运算处理得到用于反投影的函数q 。 ( n 厂) 。对于重建的图像函数f ( x ，y ) 中的某一个像素( x ，y ) ，可以找到穿过它的射 - 2 5 - - ，- 东北大学硕士学位论文 第三章扇束重建算法 线s a 及相应的扇面角度口。一般来说，口不会正好落在等角度射线角ny 上，遇 到这种情况需先作适当的插值得出相应的值q 。( 口) 然后进行1 几2 加权后再填入 该像素中。 4 图像重建仿真实验结果 图3 6 扇束重建的图像 f i 9 3 6t h er e c o n s t r u c t i o ni m a g ef r o mf a n - b e a m _ 2 6 - 东北大学硕士学位论文 第四章基于p i 线段的扇束反投影滤波算法 l 溺 - 一1 第四章基于p i 线段的扇束反投影滤波算法 要进一步减少扇束扫描时间，扫描的角度范围要比短扫描少。本部分中就 来解决这样的问题。我们引用一个算法，就是( b p f ) 算法n 钉，能够从减少的短扫 描中获得重建感兴趣区域的准确重建数据。其实在前期的p i 平行线重建工作和 研究了中已经显示和验证了这个b p f 算法。这种算法在临床医学中有着重要的意 义，不仅应用于c t 图像，也能应用于t h e r a p y 描绘，磁共振图像等其他的断层摄 影术的图像。而且能够快速的重建，这样减少了病人的药剂服用量 扇束扫描技术已经很广泛的应用在临床的计算断层摄影术( c t ) 。即使c t 的未来一代是螺旋锥束扫描结构【1 5 1 ( 这种结构能够迅速的完成体积的扫描和有 效率的应用能源x 光) 。但是我们从扇束扫描技术中，仍然可以找非常有效的扇 束重建算法中，比方说本文的p i 线扇束扫描算法。当扫描角度为2 兀或者是兀 的时候我们称之为f u l l s c a n 或是s h o r t s c a n 本文中研究的是一种p i 线段扫描， 它扫描的角的范围比在短扫描少，应用的算法是b p f 算法。用这种技术我们能 够快速的清楚的重建感兴趣区域。在第2 节中，我介绍一下扇束扫描中跟本文有 关的一些数据。在第3 节中，我们介绍了在扇束扫描中的p i 线段。在第4 节 中，我们介绍了扇束b p f 算法。在第5 节中，介绍准确的感兴趣部分重建并显 示了本文的方法的实际数据实验分析 4 1 扇束扫描中跟本文有关的一些数据 如图，我们定义两个坐标( x ，y ) 和( u ，w ) 去表示扇束扫描中几何参数。一个 是在x - r a y 运动轨迹的中心，一个就在运动轨迹上。如图4 1 所示我们把它称作固 定坐标和移动坐标。 2 7 查! ! 查堂翌主堂堡垒查 一 第四章基于p i 线段的扇束反投影滤波算法 ! 一! 竺! ：竺竺：! 竺竺竺! 兰竺竺竺堑腐 1 图4 1 固定坐标和移动坐标图 f i 9 4 1i l l u s t r a t i o no ft h en x e d c 0 0 r d i n a t ea n dt h e r o t a t i o n - c o o r d i n a t es y s t e m 在固定坐标中给出一个参数五，这样运动坐标可以用矢量 e 。( 五) = ( 一s i n 名，c o s 名) r ，8 。( 名) = ( c o s 名，s i n 五，) r ( 4 1 ) 来表示。