（固体力学专业论文）基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究.pdf

基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 摘要 本文构造了弹性及弹塑性通用的厚薄板样条子域，这些子域在从厚板过渡 到薄板时，不存在剪切闭锁现象。本文的主要内容如下： 1 、构造了4 组新的样条基函数。 这四组新的样条基函数谚( _ ) 在相应的样条节点上满足下面关系： 痧j ( x j ，= ：l ；二乡且力c x ，= ：；二； 由于这四组新的样条基函数具有上述独特的特性，本文用这4 组样条基函数 建立了弹性和弹塑性通用的厚薄板矩形样条子域，这些子域在从厚板过渡到薄 板时，不存在剪切闭锁现象。 2 、基于上面四组新的样条基函数，建立了弹性和弹塑性通用的厚薄板矩形样条 子域。 这些样条子域是从位移场入手，以位移作为独立变量，利用样条有限点法建 立的。 这些新构造的通用厚薄板样条子域，都具有如下特点： ( 1 ) 子域边界的样条结点向量即为板的位移向量。有利于引入边界条件，处 理边界方便。 ( 2 ) 厚薄通用，不存在剪切闭锁现象。 ( 3 ) 格式统一，易于编程。 ( 4 ) 精度可调。子域形式一样，与样条结点数多少的选取无关，在结构分析 中，只需通过调整样条结点数即可，不必象有限元法那样细分网格。 算例表明，这些子域具有精度高、不存在剪切闭锁问题等的优良特性，是有 效的、可靠的厚薄板样条子域。 关键字：样条基函数样条有限点法厚薄板样条子域 r e s e a r c h o n c o n v e n t i o n a ls p l i n e d o m a i n s o ft h i c k ，r h i np l a t eb a s eo nn e w s p l i n ef u n d a m e n t a lf u n e t i o n a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s t r u c t sag e n e r a l - p u r p o s ef l e x i b i l i t ya n de l a s t i c - p l a s t i ct h i c k t h i n s l i v e r - l i k ed o m a i n ，t h e s es u b d o m a i n si nt h et r a n s i t i o nf r o mt h i c kt ot h i n ，t h es h e a r l o c k i n gp h e n o m e n o nd o e sn o te x i s t t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 t of o r mf o u rn e w s p l i n ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n s t h o s ef o u rn e ws p l i n ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n gn o d e sa r ea sf o l l o w s ： f 1 纵_ 卜茹 z2 j a n d i j 力( 一) s a t i s f yt h er e l a t i o n si nt h e ， f 1 “_ 卜茹 z = j z j d u et ot h e i ru n i q u ec h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec o n v e n t i o n a le l a s t i ca n de l a s t o - p l a s t i c r e c t a n g l es p l i n ed o m a i n so ft h i c k t h i np l a t ee s t a b l i s h e dw h e nt h e s es u b d o m a i n si nt h e t r a n s i t i o nf r o mt h i c kt ot h i n ，t h es h e a rl o c k i n gp h e n o m e n o nd o e sn o te x i s t 2 b a s e do nt h ef o u rn e ws p l i n ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n ，t h ef o l l o w i n gc o n v e n t i o n a l e l a s t i ca n de l a s t o p l a s t i cr e e t a n g l es p l i n ed o m a i n so ft h i c k t h i np l a t ea r ee s t a b l i s h e d t h eu n k n o w nq u a n t i t i e so ft h ed o m a i n st os t a r tf r o mt h ed i s p l a c e m e n t sf i e l da r e e s t a b l i s h e db ym e a n so fs p l i n ef i n i t ep o i n tm e t h o d ： g e n e r i cs t r u c t u r eo ft h e s en e wt h i c k t h i ns l i v e r - l i k ed o m a i n ，h a st h ef o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s ： ( 1 ) s u b - d o m a i nb o u n d a r y s p l i n e n o d ed i s p l a c e m e n tv e c t o ri st h ev e c t o rb o a r d c o n d u c i v et ot h ei n t r o d u c t i o no fb o u n d a r yc o n d i t i o n st od e a lw i t ht h eb o r d e rt o f a c i l i t a t e ( 2 ) t h ed o m a i n sa r ei nc o m m o nu s eo ft h i c ka n dt h i np l a t e s n o te x i s tt h es h e a r b l o c k a g e ( 3 ) t h i c k t h i ns l i v e r - l i k ed o m a i nf o r mau n i f i e da n de a s yp r o g r a m m i n g ( 4 ) p r e c i s i o na d j u s t a b l e t h ef o r mo ft h es a m es u b d o m a i n ，a n dt h en u m b e ro f s p l i n en o d e ss e l e c t i o nh a sn o t h i n gt od os t r u c t u r a la n a l y s i s ，s i m p l yb ya d j u s t i n gt h e s p l i n en o d e sc a nb e ，d on o th a v et ol i k et h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a ss u b g r i d t h er e s u l t so fn u m e r i e a le x a m p l e ss h o wt h a t ，t h e s es u b d o m a i nw i t hh i g h a c c u r a c y , t h e r ei sn os h e a rl o c k i n gp r o b l e mo ft h ef i n ef e a t u r e s ，i sv a l i d ，r e l i a b l et h i c k t h i ns l i v e r - l i k ed o m a i n k e yw o r d s ： s p l i n ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n ；s p l i n ef i n i t ep o i n tm e t h o d ； s p l i n ed o m a i no ft h i c k t h i np l a t e ； 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 敝作者躲渌柱， 2 0 0 9 年6 月 2日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： ， 蛔即时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) ：毒云亳跏繇事烈数2 年6 月2 日 广西大掌硕士学位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 1 1引言 第一章绪论 板结构在土木建筑工程中应用广泛，经典的板( 薄板) 弯曲理论已经有一百多年的 历史，但由于其没有考虑横向剪切变形的影响而只能适用于薄板。r c l l l l o 行薄板弯曲理 论建立在直法线假设基础之上，其对于薄板、小挠度的计算结果已符合工程计算的精度 要求，但对于大挠度问题则很难求解。由于其忽略了横向剪切力对板变形的影响，致使 得到的薄板基本方程是一个4 阶偏微分方程，因而每边只需要两个边界条件，若板比较 厚，或即使板比较薄，在集中力作用点附近及薄板边界周围，该理论不仅不能得到满意 的结果，甚至会导致错误。m i n d l i n r e i s s n e r 中厚板理论，引入平均转角的概念，以直线 假设代替直法线假设，考虑了横向剪力的影响，运用广义余能变分原理，得到一组6 阶 偏微分基本方程，每边需满足3 个边界条件。对于中厚板，在集中力作用点附近、边界 及小孔周边区，能得到精确的解答，但由于其将剪切变形与弯曲变形同等对待，尽管单 元容易构造，但其单元的位移模式不能萨确地模拟薄板变形，计算中出现了剪切闭锁现 象，不利于工程应用。 本文将运用样条有限点法构造计算简单、格式统一、精度可调厚薄板通用样条子域， 用这些样条子域对板结构进行分析时，具有精度高、无剪切闭锁现象等优良特性。 1 2 厚薄板单元国内外研究综述 板是结构中重要的结构形式，在工程中作用湿著。自从二十世纪五十年代，有限元 法诞生以来，各国学者专家越来越重视如何建立性能优良的板单元。 最先探索弹性平板的挠曲问题的学者是e u l e r 。他在描述一理想薄膜的振动时，把 薄膜当作由两组拉紧且相互垂直的线组成。b e r n o u l l i 将同样的概念用于板的分析，对求 解板的弯曲问题进行了第一个尝试。 1 8 5 1 年，k i r c h h o f f 发表了一篇薄板理论的重要论文，这是我们见到的第一个完善 的薄板弯曲理论。他讨论了p o i s s o n 的工作，指出：泊松的三个边界条件一般是不能同 时满足的；那么，泊松为什么能正确地解出圆形板的振动问题呢，那是因为他讨论的振 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 动的对称形式自然地满足了三个边界条件之一。 k i r e h h o f f 的薄板弯曲理论，它的两个基本假设即为：( 1 ) 原来垂直于板的中面的线 段，在板弯曲时仍然保持直线且垂直于弯曲了的板的中间面；( 2 ) 在横向荷载的剪切作 用下，板发生小挠曲时，板的中面不受拉伸。运用他的两个假设，k i r c h h o f f 得出板弯曲 的变形能的正确算式。进行变分计算后，得到了为大家所熟悉的板的弯曲方程。并且指 出：不是象泊松所设想的应该有三个边界条件，而是只存在两个边界条件。运用虚功原 理，他还获得了板弯曲面的微分方程。 k i r c h h o f f 还将他的板理论扩展到了挠度不是很小的情形。大挠度板的理论的提出， 促使弹性理论向前大大地跨了一步。这个十分重要的理论后来在各种薄壁构造设计中得 到了广泛的应用。 k i r c h h o f f 薄板弯曲理论的直法线假设，相当于在用最小位能原理推导边界条件与 微分方程时，不计入横向剪力所产生的变形能。两者均忽略横向剪切变形对薄板弯曲 的影响。k i r c h h o f f 的薄板理论，用于大多数技术问题时，能够给出足够精确的结果。但 由于其忽略了横向剪切变形，得到的微分方程只有四阶，因而对于每一边有两个边界条 件、类似性质的边界条件，计算板边缘区( 其尺寸等于板的厚度) 的内力时会发生误差。 更精确的板理论计入了横向剪切变形，将会导出一个六阶的微分方程。因而对于每 一边界，有三个独立的边界条件。对于较厚的板，须用计入横向剪切变形的板理论。这 个理论主要是由r e i s s n e r 等人发展起来的。 二十世纪五十年代，在建立板单元时，人们采用“直接刚度法”，六十年代科洛格 hc 1 和梅洛斯建立了位移型的板单元。那时，板单元“的建立多数是基于薄板理论，要求 广1 ，1 位移为c 1 类连续。虽然计算这些单元时精度高，但是它们也存在着显著缺点“，那就是 公式复杂等。 六十年代，由于计算机的应用，对于难以用一个或多个函数求解的薄板问题， 可 以用有限单元法得到由节点函数所表示的离散解，弹性薄板的有限元法是各种各样的， 它们各有其优点与不足之处。 计算中完全协调元在实际显得“过刚”。因此，人们就把目光转向构造非协调元。 r 0 0 1 七十年代以后，人们对中厚扳单元开始进行研究，主要采用的理论是m i n d l i n - - r e i s s n e r 帕纠 中厚板理论。在m i n d l i n - - r e i s s n e r 中厚板理论中，能量泛函仅为位移的一阶导数，所以 只要求位移是一类连续，这样就使得在弹性力学平面问题中，厚板理论的应用比薄板 2 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 理论具有更为广阔前景。 很多用中厚板理论建立的单元只对中厚板有效，但在分析薄板问题时就会出现剪切 闭锁现象。产生这种剪切闭锁现象的原因可归结为在假设w 、i ，和i ，时没有统一厚薄 板的双重性的要求，即是当板较厚时，挠度w 及两个转角致、i ，是三个独立的变量； 而当板很薄时，虬、i ，应该是w 的导数而不是独立的变量，从而在薄板极限情况下，出 现了不应该有的虚假剪切应变。 建立通用厚薄板单元，将会为理论的研究与工程的计算都带来很大的便利。要构造 出既适用于中厚板弯曲问题，同时又能解决薄板问题时就会出现剪切闭锁现象。为了建 立通用厚薄单元，解决剪切闭锁现象，各国许多学者提出了很多方法，但是这些方法都 不能彻底地解决剪切闭锁的问题。 通用厚薄板单元的构造方法有很多，但无论构造的方法如何，它们通常都是先构 造出适用于厚板单元，然后再采取措施，使板变薄时该单元又满足k i r c h a o f f 薄板弯曲 理论的要求。在构造厚板单元的时候，需考虑挠度w 、转角 和剪应变 y 三类变量， 可以在这三类变量中，任意两类变量进行合理插值4 引。 龙驭球所创立的广义协调元理论3 9 j ，为厚薄板单元的研究开创了一个新的局面， 在建立通用的厚薄板单元方面有很大的贡献。广义协调元理论在研究厚薄板问题时， 使选取的板单元位移场有更大的自由，能够构造出了很多性能优良的通用厚薄板单元， 很好地解决剪切闭锁现象。 很多学者用广义协调元理论建立了的通用厚薄板单元，都具有精度高、无剪切闭 锁现象等优良特性。 秦荣教授在厚薄板的研究方面也作出了很重大的贡献，他运用样条有限点法建立 了多种通用的厚薄板样条子域5 18 | ，在利用这些样条子域对板进行分析时，都具有精 度高、无剪切闭锁现象等优良特性。 1 3 本文的研究方法 结构分析的计算方法有很多，可归为三大类：数值方法，如差分法，有限元法； 3 广西大学硕士学位论文基于新样- 条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 解析法，如复变函数、双三角函数和单三角函数；半解析半数值方法，如边界元法、 有限条法、加权残数法、q r 法及各种样条函数方法。 样条函数是分段多项式，是函数逼近理论中的个非常活跃的分支。样条函数是计 r c 1 算方法的一个重要基础，应用很广泛“川。1 9 7 8 年以来，秦荣教授致力于研究工程科学 及力学中的样条函数方法，把样条函数与拉格朗日乘子法、加权残数法、边界积分方程 以及变分原理结合起来，提出了一些新理论和新方法。其中样条有限点法是秦荣于1 9 7 8 rt 1 年提出来的。，它是以变分原理、样条离散化、广义变分原理、b 样条函数及正交函数 为基础的，位移函数有如下形式：( 1 ) 单样条函数；( 2 ) 双样条函数；( 3 ) 双向单样条 函数；( 4 ) 混合函数n 1 。这个方法的计算格式简单，未知量少，编程容易，可以用计算 机分析复杂的大型结构，是结构分析的一个经济有效的方法。 本文将用位移参数法构造出四组新的样条基函数，基于新的基函数，用样条有限点 法造出计算简单、格式统一、精度可调的弹性和弹塑性通用厚薄板矩形样条子域。 1 4 研究意义和主要内容 由于板理论的复杂性，板的研究的分支也很多，薄板理论引入了直法线假设，忽略 了剪切变形的影响，不利于厚板单元构造。由r e i s s n e r 、m i n d l i n 等人创立的中厚板理 论，将弯曲变形和剪切变形等同对待，尽管单元容易构造，但计算中出现了剪切闭锁现 象，不利于工程应用。产生这种现象，是因为这种中厚板单元位移模式不能正确地模拟 薄板变形。因此，建立厚薄板通用单元，将会为工程计算与理论研究都带来极大的便利， 通用厚薄板单元的研究对于提出一个高层和超高层建筑结构分析的新方法、更好地分 析高层和超高层建筑结构，仍具有很重要的现实意义。 本文的主要内容如下： 第二章，介绍了样条函数方法的基本理论。 第三章，构造了四组新的样条基函数。 第四章，基于上面四组新的样条基函数，从位移场入手，以位移作为独立变量，利 用样条有限点法建立了四个新的弹性厚薄板样条子域。这些样条子域在从厚板过渡到 薄板时，不存在剪切闭锁现象。 第五章，基于上面四组新的样条基函数，从位移场入手，以位移作为独立变量，利 4 广西大学硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 用样条有限点法建立了四个新的弹塑性厚薄板样条子域。这些样条子域在从厚板过渡 到薄板时，不存在剪切闭锁现象。 第六章，对全文进行总结以及对后续研究的展望。 广西大掌硕士学位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 2 1 引言 第二章样条函数 样条函数是现代函数逼近中一个十分活跃的分支，是计算方法的一个重要基础，应 用很泛，利用它可以创造出一些新的结构分析方法。样条函数的种类很多，但目前以b 样条函数为优。本章主要介绍b 样条函数的一些基本知识及构造方法。 2 2 样条函数的基本理论 2 2 1 样条函数的基本概念 样条函数是来源于实际中的样条曲线。从力学角度讲，该曲线实质是一承受多点集 中荷载弹性梁的挠度变形曲线。根据梁的纯弯理论有： ( 日志) = 脚， 亿2 t ) 在小挠度假设下，有1 r ( x ) = y ( x ) 。上式可写简化为： e i y ”( x ) = m ( x ) 由于m ( x ) 沿梁长为线性变化，所以梁的挠度变形曲线y ( x ) 实质就是分段三次多项 式。集中荷载点就是各分段三次多项式两两之间的连接点。在连接点处，这种曲线的二 阶导数是连续的。这就是我们习惯所称的三次样条曲线，根据这些特性，人们提出了一 个样条函数。样条函数在数学上有严格的定义： 对于给定区间k ，6 】的一个分化 ：a = x o x l x 2 一却辆 栅 艳 = 次 力 础 立 s 建以 广西大掌硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 弘而 五 砭 一 0 时，即为求导公式； 当j = 0 时，妒：o ( x ) 既无导数也无积分，即为函数本身纯( x ) ；当 0 时，即为求不定积 分公式。 9 广西大学硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 ( 2 ) b 样条函数的定积分方法 如果在区间 0 ，a 】上分成等分( 口= n h ) ，则可以建立定积分公式： r 缈盯( 云一，) 出= 办r 一妒。o ，斫 ( 2 2 7 ) p 缈珂 z 卜计“鼽卅出 汜2 8 ， 式中，= 。 ( 3 ) b 样条内积的积分法 如果o = j c 。 x 。 x ： h = a 是区间【o ，口】上的一个均匀分划，有b 样条函数内 积公式 1 2 ： 尺魁= f 元一( 云一，) 伊( 砉一尼) 出 ( 2 2 9 ) = 办_ ( ，+ p ” 善1c一，7缈，“。，缈?一-i。一c，i譬。+c一-，”_，n荟-i-i缈：”c，妒：仆，-l。一c，l：+1 m = r x 所缈( 云一f ) 硝 ( 云一后) 如 n - r - i c，7孕7+，c，l!一。rc，”一，n荟-i-|=h-(r+s-m-i)i孕，：”)-乞一，+。c，l：+1l( _ 1 ) 磁”。o p 卜1 ) ”7 酬帕矗川( ，l ，i 式中，s = o , 1 ，2 ，甩，i = 一p + i ，一尸+ 2 ，o ，1 ，2 ，n + p 一1 ，六( ) 为( ) 对t 的s 重不定 积分，= 享一i ，厂( f ) = o + f ) ”伊：o k + f ) 力 2 2 4 样条基函数 确定结构位移函数和应力函数在结构分析中是一个重要的步骤。我们可以利用b 样 条函数将位移函数及应力函数构造出来n 1 。本节利用三次b 样条函数构造梁的挠度函数。 l o 厂西大觜酞页士学位论文 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 如果在梁的区间【0 ，口】上作一个均匀分划( 图2 1 ) 0 = x o x l x 2 x 2 口 薯= x o + i hh = x f + l t = a l n 则梁的挠度函数可采用下列形式： ) 喇2 酽n + i ，l i 万x 一小2 2 。 式中的缈，( 云一z ) 在梁支承处不为零，因此对t 忑：j 磊蠹掣 f 嘻2 1s p l i n ed i s c r e t i z a t i o no f ab e a m 于边界条件的处理很不方便。为了便于处理边 界条件及连续条件，我们将式( 2 2 1 1 ) 改为下式： w ( x ) = q 勿( x ) ( 2 2 1 2 ) 式中a 。是待定系数，痧( x ) 是一组与三次b 样条函数有关的基函数。 基函数的构造方法有很多n 2 1 ，本节只介绍以下几种方法。 式中 其中 ( 1 ) 广义参数法 w = 眵) 一；c x ，= 丸( 云+ ， 翻 = 【口一，a 。a a n + l 】7 眵】= 眵一。o 办州】 o o ( x ) = 伊。( 丢) 一4 妒，( 云+ t ) 么g ) = 妒，( 砉一) 一圭妒，( 言) + 妒。( 砉+ ，) 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 矽一。c x ，= 伤( 砉一+ ) 一丢缈，( 云一) + 妒，( 云一一) c x ，= 仍( ；一) 一4 仍( 云一一) + 。c x ，= 伊，( 言一一) 这组基函数以( x ) 有下列特点： 矽。( o ) = o ( f 一1 )妒j ( 0 ) = o g 一1 , o ) 痧q ) = o ( i n + i )妒j ( 口) = o ( i n ，n + i ) 因此，这组样条基函数西i f x l 能很方便地处理位移边界条件。 ( 2 ) 混合参数法3 如果设w o 及氓分别为梁左端g = 0 ) 处的挠度及转角，w n 及w 0 分别为梁右端 b = 口) 处的挠度及转角，而q ，a ：，a 川为任意参数，则有 w = 眵 伽) 式中 伽 = kw oqa 2 a n lw n 眵】= 阢。九九九+ ，】 其中 矽一。c x ，= 兰缈，( 云) 1 2 、2 、，一 一 x 一办 x一办厂引一 ， 纱叱一铴 = 0 卜 b 之 欢 丸 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 丸c x ，= 兰9 ，( 丢) 一2 办伊，( 云+ t ) 死c x ，= 仍( 云一) 一丢妒，( 云) + 仍( 考+ ，) 矽一。c x ，= 仍( 詈一+ ) 一j i 妒，( 云一 + 妒，( 砉一一) 姒加飘云一) 矽+ 。c x ，= 2 办缈，( 丢- n - 1 ) 一兰缈，( 云一) 这组基函数有下列特点： 矽。( 0 ) = o ( f 一1 ) ( 0 ) = o ( f 0 ) 痧0 ) = o ( ) g ) = o ( i n + 1 ) 丸。( o ) = 1 九( 0 ) = 1 矽( 口) = 1 式+ 。q ) = 1 由上述可知，式( 2 2 1 7 ) 对处理梁的连续条件及边界条件都很方便。利用混合参数法 可以构造各种各样的基函数，式( 2 2 1 7 ) 是其中一组基函数，并不是唯一的。 ( 3 ) 位移参数法门 如果痧g ) 满足关系 矽，g 乒瓯，= ：) 影 则梁的挠度函数可采下列形式： 、2 + ) 州 、2， 一 x一办厂义 卜一v 伤 铴 一 加 功 “ o 屯 幻 鲸 、， x ，l咖 m 川 l i 、l ，g w j 西大学硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样李卜域的研究 式中办( x ) 为基函数。对于三次b 样条函数，有 m ) = 了1 0 伤( 学一于；仍( 孚讲j 1 ) 一詈仍( 芋牛守吉仍( 旱讲， + 双竿牛- ) 汜2 2 - ， 上述基函数满足式( 2 2 1 9 ) 所示的条件。利用差分法可知 讥= w g 。) = w i m 。) 2 h 盛= w “) = ( w 州一w 州) 2 h 成= w ”g o ) = w i 一2 w o - t - w _ 1 ) 2 w 二= w ”k ) = w i 一2 w o + w 1 ) h 2 ( 2 2 2 2 ) 如果设w j 为以) 在t 点的值，氓及w 0 分别为w t x ) 对x 的一阶导数在x = o 及x = 口 点处的值，利用样条配点法可构造出梁的下列挠度函数： 式中 其中 m ) = 眵】 w ) 舢) = w o 成w 。w 0r 【矽】- 【仍( x ) 纠k = 一1 , 0 ，1 ，2 ，n + 1 【9 】= 防】。1 伤嘞( 砉一后) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) 眵，七g ) 】= 眵，( 云+ ， 伊，( 云) 缈，( 砉一) 妒，( 云一一， 】 c 2 2 2 6 ， 1 4 广西大学硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 i s = 丢 1 4 二三0 h 1 o l 0 3 - h 41 1 4 。i 一3 0 3 一h 仃 如果式( 2 2 2 3 ) 中的位移向量为： 则： m = w o 碱 r ( 1 1 1 pj37 o m w n l 一3 o 砜】r l 一3 式( 2 2 2 5 ) 中：i s 1 为陋】的逆矩阵。 1 5 4 0 ( n + 3 x n + 3 ) l 3( n + 3 x n + 3 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) 广西大学硕士掌位论文 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 第三章新的样条基函数 构造结构的位移函数在结构分析中是一个重要问题，利用第二章介绍的广义参数 法、混合参数法及位移参数法等几种方法，可以构造出各种各样新的样条基函数。 本章用位移参数法构造四组新的样条基函数。 3 1 第一组新的样条基函数 如果在梁的区间【o ，口】上作一个均匀分划( 图2 一1 ) 0 = x o x l x 2 x j v 。口 x i = x o - t - i h h = x l n x i = a n 用位移参数法构造新的样条基函数，使咖( x ，) ( i = o ，1 ，n ：j = o ，1 ，n ) 在相应的样 条节点上满足下面关系： 谚c _ ，= ：)；i 多 且 力c _ ，= ：)；主乡 ( = 0 ，1 ，一1 ，_ i v ) ( 3 1 1 ) 式中痧( x ，) 为基函数。 3 1 1 第一组新的样条基函数 ( 1 ) 新的样条基函数 唬( z ) = 一6 4 伤( 砉+ j 3 ) + 1 4 仍( 云+ 1 ) 破( x ) = 一3 8 4 仍( 云+ 至3 ) + 1 7 6 伤( 丢+ 1 ) 一6 4 仍( 云+ 圭) + 1 4 仍( 云) 唬( 加伤( 云一3 ) 蜘) = 仍( 云- 3 ) 札( x ) = 仍( 云一埔 1 6 ( 3 1 2 ) 厂。西大掌硕士掌位论文 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 九一2 ( x ) = 仍e 一+ 3 ) 厅 九- l ( 工) = _ 3 8 4 仍( 砉一一尹3 + 1 7 6 仍( 砉一一1 ) 一6 4 仍( 砉一一争+ 1 4 仍( 丢一) 九o ) = - 6 4 q ，3 ( h 一一三3 ) + 1 4 仍( 云一一1 ) 在边界和靠近边界第一个节点上满足式( 3 1 1 ) 。即 谚( ) = 1 ( f = j f = 0 , 1 ，n 一1 ，n ) ( ) = 1 ( f = j f = 0 , 1 ，n 一1 ，) 谚( 乃) = o ( i 歹) 纵x j ) = o ( i ，) ( 2 ) 与该新的基函数有关的几个重要矩阵 【4 】= 【q 】7 4 q 】 【c a = d 7 q e 】 【h a = d r 引q 】 【反】= 【q 】r 色【q 】 【只】= 【q r 只【q 】 【t 】= 【q 】7 t 【q 】 4 = r 【碟】。【败】以色= r 仍，】。【败】d ， g = r 【以，】7 【织。】以展= r 【仍，】7 仍。】以 以= r 【仍，】7 【硝。】以以= r 【织，f 【死】t 七= 一三，一，一兰，o ，3 ，一3 ，+ j 1 ，+ ，+ 吾 式e e ： 仍，( x ) = 仍( 丢一，)伤。( x ) = 伤( 云一后) 葺= x o + i h r 6 1 厅2 + l 一2 万 1 7 ( 3 1 3 ) 广西大掌硕士学位论文 4 = 颤3 b 。= k e = 反 l5 2 44 8 l 3 对 称 对称 13 11 3 6 4 03 8 4 09 6 0 19 7 2 09 6 0 4 7 3 1 9 2 0 对 称 1 7 3 8 4 0 l 1 2 0 8 2 7 3 8 4 0 l 3 l 1 2 0 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 11l 851 2 0 1 8 ( 、+ ：i ) 3n n 土镐 16 。一铝32 。一铝，一6 8 3 ，4。一2 5一犍43 o 。一6 一m 、 一0 ，一汜 15 一o一抖 一3一8 一0 ，一蓦i。一啪23 弼咖啪一姗一跏仍一姗。一姗 5一麟。一如m一哪一 一o 9一9一加，一o，一咖够一粼眇一蚴一珈 一0 ，一姒。一m o ，一0 一姗7一啪跏一姗。一3 23 广西大掌硕士学位论文 基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 只= 吃 1 3 0 4 6 0 8 0 l l l 4 6 0 8 0 3 8 2 4 6 0 8 0 - 6 1 9 4 6 0 8 0 2 0 91 9 6 4 1 0 9 5 3 2 2 5 66 4 5 1 2 0 l 2 5 2 对 称 6 4 5 1 2 0 9 4 5 2 6 4 5 1 2 0 3 7 8 5 2 6 4 5 1 2 0 i 7 2 0 6 4 5 1 2 0 4 3 1 6 8 0 7 2 4 8 5 6 4 5 1 2 06 4 5 1 2 0 1 5 ll 6 3 05 0 4 0 1 5 l3 9 711 3 1 51 6 8 04 25 0 4 0 o 1 9 一l 7 2 0 i 4 6 0 8 0 ( 卅3 ) l 4 6 0 8 0 1 1 1 5 5 4 6 0 8 0 - 5 2 9 0 4 6 0 8 0 1 2 0 4 4 6 0 8 0 7 8 4 6 0 8 0 m 上哪_i啪卜| 。一珈 7 一 的一 。一珊 7 一 钞一 o 7 一粥 一 o 枷一 钞一 o 柳一 。一 一舳 一o o i删一i瑚。 。一 ：8 一 之一伽 q 一 书一枷 之一9 q 一瑚 s 一 一 一 ：2 一瑚 。一去署罢等去 蹦一一 一一记 善| 一一 川一瑚 的一 7 一o 。一 钙一h 。一 _ 一渤 弛一 ”一 一瑚 彤一枷 _一记壤一枷 ；一o 一0 。一啪 之一9 蓦一掀 。一踮 引一榔 。一珊 7 一 一 o 7 一 钾一 o 柳一 盼一 o 枷一 。一帅 柳一 。一 一一瑚 柳一 。一 。一伽 。一如 一一珈 广西大学硕士学位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 t = 蛭2 3 3 8 4 7 3 8 4 1 3 3 8 4 1 3 3 8 4 1 7 3 8 4 3 2 4 1 2 3 8 4 5 2 4 反对 3 11 3 3 8 43 8 4 1 0 85 3 8 42 4 7 5 1 4 1 1 3 8 43 8 43 8 4 1 4 1 0 l 3 8 4 2 4 l1o1 981 3 8 4 2 42 42 4 2 4 称 。 3 2 第二组的新的样条基函数 + 3 ) ( n + 3 ) 如果在梁的区间【0 ，口】上作一个均匀分划( 图2 1 ) 0 = x o x i x 2 x 2 口 x s = 石o + i hh = + l x j = a n 用位移参数法构造新的样条基函数，使痧( 一) ( i = o ，1 ，n ：j = o ，1 ，n ) 在相应的样 条节点上满足下面关系： 他，= 器曷 式中力( ) 为基函数。 且 谚c 扩器曷 ( = 0 ，1 ，2 ，n 一2 ，n 一1 ，n ) 3 1 2 第二组新的样条基函数 ( 3 2 1 ) ( 1 ) 新的样条基函数 唬( z ) = 一6 4 伤( 云+ j 3 ) + 1 4 仍( 砉+ 1 ) 西( x ) = - 3 8 4 ( p 3 ( h + 尹37 6 仍( ) 6 4 仍( 云+ 拶14 仍( 小) = - 1 2 4 s ( p 3 ( h + 3 + 7 2 吆( 一8 4 仍( 砉+ 扣7 6 仍( 6 4 c p 3 ( h 尹1 + 1 4 仍( ) 2 0 广西大学硕士学位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 么( x ) = 伤( 一4 ) 织( 工) = 伤( 一4 ) ( 3 2 2 ) 九一。( x ) = 伤( 一+ 4 ) 九一，( x ) = 伤( 孚一+ 4 ) 轧o ) = - 1 2 4 8 f a 3 ( h 一一争7 2 6 仍( 砉- _ 1 ) 瑚4 仍( 云一一争1 7 6 仍( 云棚 一6 4 仍( 云一+ 扣4 伤( 砉一+ 1 ) 札( 垆- 3 8 4 仍( 云一一云3 ) + 1 7 6 仍( 砉一_ 1 ) 一6 4 伤( 砉一一扣4 仍( 丢一忉 九( x ) = 一6 4 伤( 云一一j 3 ) + 1 4 伤( 砉一一1 ) 在边界和靠近边界第一、二个节点上满足式( 3 2 1 ) 。即 谚( ) = 1 ( i = j = o ，1 ，2 ，n 一2 ，n l ，) ( ) = 1 ( i = j = 0 , 1 ，2 ，n 一2 ，n 一1 ，) 谚( ) = o ( i ) ( ) = 0 ( i ) ( 2 ) 与该新的基函数有关的几个重要矩阵 基本公式同( 3 1 3 ) ，则有： ，七= 一3 2 ，- 1 ，_ 1 2 ，。，三，4 ，一4 ，一，一三i ，+ 圭，+ t ，+ 吾 4 = 垃3对 称 32 4 5 53 51 2 44 84 8 7l 36 830l 326 2 1 3一铝o ，一8 5 8 3 4 9 ，8 5 8 34侈 94。一2 5一铝4 o 。一6一m 一拼 广西大学硕士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 鼠= 巧1 c x = 吃 对称 4 0 3 9 6 0 8 1 7 3 8 4 0 1 7 3 2 0 7 7 3 3 8 4 0 1 3 9 3 8 4 1 3 7 9 3 8 4 0 13 11 3 6 4 03 8 4 09 6 0 19 7 2 09 6 0 4 7 3 1 9 2 0 对 称 1 7 3 8 4 0 1 1 2 0 8 2 7 3 8 4 0 l 3 1 0 3 6 4 0 l l 6 0 l 4 8 0 6 3 5 3 8 4 0 4 5 5 1 9 2 0 l1 0 9 1 9 2 0 6 9 1 9 6 0 1 4 5 7 3 8 4 0 1 3 8 4 0 1 1 2 0 2 3 1 774 7 3 8 4 06 4 03 8 4 0 72 31 1 2 03 8 41 0 8 2 7l9 7 9 3 8 4 01 63 8 4 0 l1 0 3 l l 3 6 4 06 0 2 6 91 0 5 7l 6 4 03 8 4 03 8 4 0 3 7l 6 01 2 0 2lll 3 85 1 2 0 + 5 ) ( n + 5 ) 附田= 苎 一|啪 1518 一o o ，b 一! 拿 7一粼，一钞一粼3加”一7m5一麟。一如m一咖n一柏m一姒一。一咖鹌一姗黔一蚴一珈一瑚m一猢 广西大掣瞻页士掌位论文基于新样条基函数的通用厚薄板样条子域的研究 e = h x 1 3 2 2 5 6 对 称 2 0 9 6 4 5 1 2 0 1 2 5 2 1 9 6 4 6 4 5 1 2 0 9 4 5 2 6 4 5 1 2 0 3 7 8