（固体力学专业论文）受集中力作用的双材料叠合悬臂梁的研究.pdf

受集中力作用的双材料叠合悬臂梁的研究 摘要 本文基于平面弹性力学的基本方程，采用应力函数法，推导出了双材料叠 合悬臂梁在自由端受集中力作用时的解析解，该解析解可退化为已有的单材料 悬臂梁在自由端受集中力作用时的解析解。研究结果表明：上、下层中的弯曲 正应力沿高度分别按线性规律变化；挤压应力为零；切应力沿高度分别按抛物 线规律变化；变形后上、下层中的横截面不再保持为平面：叠合梁上、下层中 的剪力和弯矩是按刚度分配的，当上层自由端面所受外力之和大于或等于一定 数值时，上、下层之间才能保持接触状态。 为了检验所得到的解析解的正确性，本文运用有限元分析软件a n s y s l 0 0 对不同叠合形式的悬臂梁进行了数值分析，并将所得到的数值结果与解析解进 行了比较，两者吻合较好，从而验证了该解析解的正确性。此外，借助他人的 实验结果，对理论分析结果进行了检验，进一步证明了理论分析结果的正确性。 关键词：双材料；叠合悬臂梁；解析解；应力函数：有限元 s t u d yo nb i - - m a t e r i a ls u p e r p o s e dc a n t i l e v e rb e a m s u b j e c t e dt oc o n c e n t r a t e df o r c e a b s t r a c t b a s e do nt h eb a s i ce q u a t i o no ft h ep l a n ee l a s t i c i t y p r o b l e m ，t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o ni s p r e s e n t e df o rab i m a t e r i a ls u p e r p o s e dc a n t i l e v e rb e a ms u b j e c t e dt oa c o n c e n t r a t e df o r c ea tt h ef r e ee n db yu s i n gt h es t r e s sf u n c t i o nm e t h o d t h es o l u t i o n o ft h es t r e s s e sc a nb ed e g e n e r a t e di n t ot h eo n eo ft h es i n g l em a t e r i a lc a n t i l e v e r b e a ms u b je c t e dt oac o n c e n t r a t e df o r c ea tt h ef r e ee n d ，w h i c hc a nb ef o u n di nt h e l i t e r a t u r e s t h es t u d ys h o w st h a tt h eb e n d i n gn o r m a ls t r e s s e si ne a c hl a y e ro ft h e b i - m a t e r i a ls u p e r p o s e dc a n t i l e v e rb e a mv a r yl i n e a r l ya l o n gt h eh e i g h to ft h el a y e r , t h ec o m p r e s s i v es t r e s s e sa r ez e r o ，t h es h e a rs t r e s s e sv a r yp a r a b o l i c a l l ya l o n gt h e h e i g h to ft h el a y e r 。a f t e rd e f o r m a t i o n ，t h ec r o s ss e c t i o n sa r en o tp l a n e sa g a i n ，t h e s h e a rf o r c ea n db e n d i n gm o m e n ti ne a c hl a y e ro ft h eb e a ma r ed i s t r i b u t e db a s e do n s t i f f n e s sr a t i o ，a n dt h ee x t e r n a lf o r o ea c t e da tt h ef r e ee n do ft h eu p p e rl a y e rm u s t b en o tl e s st h a nac e r t a i nv a l u et om a i n t a i nt h ec o n t a c tb e t w e e nt h eu p p e rl a y e ra n d t h e1 0 w e ro n e i no r d e rt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no b t a i n e di nt h i sp a p e r ， d i f f e r e n tc o m p u t i n gm o d e l so ft h e s u p e r p o s e dc a n t i l e v e rb e a ma r ec a l c u l a t e d n u m e r i c a l l yb yu s i n gt h ef i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y s 1o 0 t h en u m e r i c a l r e s u l t sc o i n c i d ew i t ht h ea n a l y t i co n e sw e l l ，w h i c hv e r i f i e st h ec o r r e c t n e s so ft h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n af u r t h e rp r o o fo ft h ec o r r e c t n e s so fa n a l y t i c a ls o l u t i o ni s o b t a i n e db yc o m p a r i n go t h e r s e x p e r i m e n t a lr e s u l t sw i t ht h ea n a l y t i co n e s k e yw o r d s ：b i m a t e r i a l ；s u p e r p o s e dc a n t i l e v e rb e a m ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；s t r e s sf u n c t i o n ； f i n i t ee l e m e n t 插图清单 图2 - 1 单元p l a n e 8 2 的几何1 2 图2 - 2 单元c o n t a l 7 2 的几何1 2 图3 - 1 分析模型1 5 图3 - 2 当互 p r e p r o c e s s o r - - - c r e a t e - - - c o n t a c tp a i r ，单击向导窗口中向导按钮，设置 目标面的性质和类型，单击p i c kt a r g e t 按钮选目标面，单击n e x t 按钮设置接 触面类型，单击p i c kc o n t a c t 按钮选接触面，单击o k 按钮关闭向导窗口。 2 2 4 本文所用单元介绍 在本文采用a n s y s 软件进行的数值计算中，一共采取了以下3 种单元： 二维8 节点单元p l a n e 8 2 ，二维3 节点面一面接触单元c o n t a l 7 2 和二维目 标单元t a r g e1 6 9 。各单元具体介绍如下： ( 1 ) 二维8 节点平面单元p l a n e 8 2 二维8 节点平面单元p l a n e 8 2 是2 维4 节点单元p l a n e 4 2 的高阶 版本。对于四边形和三角形混合网格，它有较高的精度：可以适应不规则形状 而较少损失精度。该8 节点单元具有一致位移形状函数，能很好地适应曲线 边界。 该单元有8 个节点，每个节点有2 个自由度，分别为x 和y 方向的平 移，既可用作平面单元，也可用作轴对称单元。该单元具有塑性、蠕变、辐射 膨胀、应力刚度、大变形以及大应变的能力，有多种打印输出选型可用。 在图2 一l 中给出了单元p l a n e 8 2 的几何形状、节点位置和坐标系。将节 点k 、三和d 定义为同节点可以形成三角形单元。类似地，但只有6 个节点 的单元是单元p l a n e 2 。除了节点外，单元输入数据还包括一个厚度( t k ) ( 仅 对平面应力问题) 以及正交异性材料特性。正交异性材料的方向与单元坐标系方 向一致。 f l _ z 图2 1 单元p l a n e 8 2 的几何 至于单元载荷，压力可以作为单元边界上的面载荷输入，如图2 1 中带圆 圈数字所示，正压力指向单元内部。也可以输入温度和流量作为单元节点处的 体载荷。节点i 处的温度t ( i ) 默认为t u n i f 。如果不给出其它节点处的温 度，则默认等于t ( i ) 。如果给出了所有角节点的温度，各中间节点的温度默认 为其相邻角节点温度的平均值。对于任何其它的温度输入方式，未给定的温度 默认为t u n i f 。对于流量的输入与此类似，只是默认值用零代替了t u n i f 。 对于平面问题，除了k e y o p t ( 3 ) = 3 的情况外，单元p l a n e 8 2 如有节 点力，应输入每单位厚度的力值：对于轴对称问题，应输入整个圆周( 3 6 0 0 ) 的 力值。k e y o p t ( 5 ) 和k e y o p t ( 6 ) 参数提供了不同的打印输出选项。 通过i s t r e s s 或i s f i l e 命令可以对单元p l a n e 8 2 施加初始应力。另外， 将k e y o p t ( 9 ) 设置为1 ，可以通过用户子程序u s t r e s s 来读取初始应力。 ( 2 ) 二维3 节点面一面接触单元c o n t a l 7 2 单元c o n t a l 7 2 用来定义一个二维目标面单元t a r g e l 6 9 和一个可变形表 面间的接触和滑动单元。这个单元可以用于二维的结构和耦合接触分析。该单 元覆盖于二维实体单元表面，有中间节点( p l a n e 2 、p l a n e l 2 1 、p l a n e l 8 3 、 s h e l l 2 0 9 、h y p e r 7 4 、p l a n e 8 2 、h y p e r 8 4 ( w i t hk e y o p t ( 1 ) = 1 ) 、 v i s c 0 8 8 、 v i s c 0 1 0 8 、p l a n e 3 5 、p l a n e 7 7 、p l a n e 5 3 、p l a n e 2 2 3 、 p l a n e 2 3 0 或m a t r i x 5 0 ) ，它与它所连接的实体单元表面有相同的几何特征 ( 见图2 - 2 ) 。当单元表面渗透到指定的目标面上时，接触现象发生，库仑应力 和摩擦切应力是允许的。 、。、。，鼬约c i a 潮t 喇8 蝣渤潞 x 图2 - 2 单元c o n t a l 7 2 的几何 1 2 y l 单元c o n t a l 7 2 的几何形状和节点位置如图2 - 2 所示，该单元通过三个节 点来定义( 单元所附的实体单元有中间节点) ，如果单元所附的实体单元没有中 间节点，用c o n t a l 7 1 ( 也可以继续使用c o n t a l 7 2 ，但必须停止中间节点) 。 单元的x 轴是沿着j - i 方向的。接触单元的正确的节点顺序对正确的接触方向 来说是重要的。如图2 - 2 所示，当从接触单元的第一个节点移向第二个节点时， 必须是使目标面位于接触单元的右侧。 二维表面接触单元是通过共用一个实常数来和二维目标面单元t a r g e l 6 9 相联系的。a n s y s 软件是通过相同的实常数来寻找面间的接触的。对于刚体一 柔体的接触或者柔体一柔体的接触，其中可变形的面必须用接触面代表。如果 不止一个目标面将要和同一个实体单元的边界发生接触，必须定义几个接触单 元，这些接触单元共享同样的几何形状，但是和不同的目标面相联系( 目标面必 须定义不同的实常数) ，或者必须将两个目标面结合成一个( 两个有相同的实常 数) 。 该单元支持多种二维应力状态，包括平面应力、平面应变和轴对称应力状 态，应力状态会根据所覆盖的实体单元的应力状态自动探测。然而，所覆盖的 实体单元是超单元，必须用k e y o p t ( 3 ) 来说明应力状态。 ( 3 ) 二维目标单元t a r g e l 6 9 单元t a r g e l 6 9 用于表示二维目标表面，它与单元c o n t a l 7 l 、c o n t a l 7 2 和c o n t a l 7 5 连用。接触单元覆盖于变形体边界的实体单元上，并可能与单 元t a r g e16 9 定义的目标表面接触。该目标表面离散为一系列的目标单元 t a r g e l 6 9 ，并通过共享实常数号与相关的表面配对。在目标单元上可以施加 任意平动或转动位移，也可以施加力和力偶。描述三维目标表面的单元是 t a r g e l 7 0 。对于刚性目标，这些单元可以方便地模拟复杂的目标形状；对于 柔性目标，这些单元覆盖于变形体边界的实体单元上。 a n s y s 软件支持刚体一柔体的面一面接触单元，刚性面被当作目标面，分 别用单元t a r g e l 6 9 和t a r g e l7 0 来模拟二维和三维的目标面，柔性体的表面 被当作接触面，用单元c o n t a1 7 1 、c o n t a1 7 2 、c o n t a l 7 3 和c o n t a l 7 4 来模拟。一个目标单元和一个接触单元叫作一个接触对，程序通过一个共享的 实常号来识别接触对。为了建立个接触对，给目标单元和接触单元指定相同 的实常数号。与点一面接触单元相比，面一面接触单元有以下优点： 支持低阶和高阶单元。 支持有大滑动和摩擦的大变形，协调刚度矩阵的计算，单元提供不对称 刚度阵的选项。 提供工程目的采用的更好的接触结果，例如，法向压力和摩擦应力。 没有刚体表面形状的限制，刚体表面的光滑性不是必须允许有自然的或 网格离散引起的表面不连续。 需要较多的接触单元，因而需要较小的磁盘空间和c p u 时间。 允许多种建模控制。例如：绑定接触，渐变初始渗透，目标面自动移动 到初始接触，平移接触面( 老虎梁和单元的厚度) 以及支持死活单元等等。 使用这些单元，能模拟直线( 面) 和曲线( 面) ，通常用简单的几何形状( 例如 圆、抛物线、球、圆锥、圆柱) 来模拟曲面，更复杂的刚体形状能使用特殊的前 处理技巧来建模。 1 4 第三章双材料叠合悬臂梁的弹性力学解 3 1 分析模型 如图3 - 1 所示，将不同材料的两根长度和宽度相同、高度不同的矩形截面 梁相互自由地叠合在一起，左端固定，右端自由并受集中力f 作用。假设两梁 之间接触密合，可以相对滑动，则力边界条件为 图3 - 1 分析模型 ( q 1 ) j ，：一 = 0 ，( 1 ) y ；一 = 0 ( q 2 ) 产h 2 = 0 ，( 2 ) 产 2 = 0 ( 吒1 ) 毒= ，= o ，( 吒2 ) 剧= o ，( i ) 州b d y + r ( 2 ) 州b d y = f 位移边界条件为 ( 甜 - 0 y = o = ( u ) 脚。y = o = 0 ( f - 1 ，2 ) f 誓1 ：o ( 川，2 ) ( 3 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 上、下层之间的连续条件为 ( q 1 ) 产。= ( q 2 ) 脚，( 1 ) y ：o = ( 2 ) 删= 厂( q 1 ) 删 ( 3 6 ) ( m ) y ；。= ( 屹) y = o ( 3 7 ) 式( 3 1 ) ( 3 7 ) 中，下标净l ，2 分别表示上层和下层，厂为上、下层之间的摩擦 系数。 3 2 应力和位移 取上、下层的应力函数为 谚= 手( 幻3 + 4 2 7 2 + 幻地m ( 幻3 帆 劬) ( 3 8 ) 一鱼1 0 - - 丘6 - y 4 + 4 8 7 3 + 4 9 y 2 式中，以( f - 1 , 2 ；j = 1 , 2 ，9 ) 为待定常数，则应力函数谚满足双协调方程( 2 6 ) 。 将式( 3 - 8 ) 代入式( 2 - 5 ) ，得到上、下层中的应力分量为 将式( 3 - 9 ) 代入式( 3 - 1 ) ，得到 一a t l 盔3 + 4 2 矗2 4 3 啊+ 4 4 = 0 一x ( 3 4 。曩2 2 4 ：啊+ 4 3 ) 一( 3 4 ，啊2 2 4 。 + 4 7 ) = 0 要使式( 3 - 1 1 ) 对所有的x 都成立，必须 3 4 。啊2 2 4 2 啊+ 4 3 = 0 3 4 5 盔2 2 4 6 岛+ 4 ，= 0 将式( 3 - 9 ) 代入式( 3 2 ) ，得到 4 。岛3 + 4 2 红2 + 4 3 吃+ 4 。= 0 一x ( 3 4 l 如2 + 2 4 2 红+ 4 3 ) 一( 3 a 2 5 忽2 + 2 4 6 忽+ 4 7 ) = 0 要使式( 3 - 1 5 ) 对所有的x 都成立，必须 3 4 i 红2 + 2 如呜+ 4 3 = 0 3 4 5 呜2 + 2 4 6 坞+ 4 7 = 0 将式( 3 - 9 ) 代入式( 3 3 ) ，得到 一2 4 1 y 3 2 4 2 y 2 + ( 3 4 】，2 + 6 4 5 ，+ 6 4 8 ) y + 4 2 ，2 + 2 4 6 ，+ 2 4 9 = 0 2 a = l y 3 2 4 2 y 2 + ( 3 4 l ，2 + 6 4 5 l + 6 a 2 8 ) y + a 2 2 ，2 + 2 4 6 “- 2 4 9 = 0 - 4 ，啊3 + 4 。j j l 2 一( 4 ，+ 4 ，) 一4 ，吃3 4 。2 一( 4 。“- 4 ，) 红= f b 要使式( 3 - 1 8 ) 对所有的y 都成立，必须 4 。= 4 2 = 0 4 5 ，+ 4 8 = 0 4 6 ，+ 4 9 = 0 4 l = 4 2 = 0 以5 ，+ 4 8 = 0 4 6 ，+ 4 9 = 0 将式( 3 9 ) 代入式( 3 6 ) ，得到 4 。= 4 。 - 4 3 x 一4 7 = 一4 3 x 一4 7 = f 4 4 1 6 ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 1 ( 3 18 ) j ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) ( 3 - 2 2 ) ，j 4 4 吖如呦埔锄 球杉 叶 y 4 ，纠 分4 + 猢苗麓 + 斗 2 儿 魄小似m 圳邮 要使式( 3 - 2 2 ) 对所有的x 都成立，必须 4 3 = 4 3 = 0i 4 ，= 4 ，= 一崩。j 由式( 3 - 1 0 ) 、( 3 一1 2 ) ( 3 1 4 ) 、( 3 - 16 ) ( 3 1 7 ) 、 可得 4 。= 4 ：= 4 ，= 4 。= 4 ，= 0 4 6 - ，、 a 1 5 矗 4 8 = 一4 5 ， 4 ，= 一吾4 s z 4 l = 4 2 = 4 3 = a 2 4 = 4 7 = 0 如= 一丢4 s 吃 4 。= 一4 ，z 4 9 = 妄4 ，h a l 将式( 3 - 2 4 ) 代入式( 3 - 1 9 ) ，得到 圭4 ，啊3 + 三4 ，吃3 = f 6 将式( 3 - 2 4 ) 代入式( 3 - 9 ) ，得到 o - x l = 3 4 5 ( 2 x y + h a x 一2 纱一向z ) q l = 0 l = 3 4 5 ( y 2 + 曩y ) 0 5 , 2 = 3 4 5 ( 2 x y 一x 一2 y + h 2 1 ) 仃y 22 0 2 = 一3 4 5 ( y 2 一h 2 y ) ( 3 - 2 3 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) 和( 3 2 3 ) ， 红0 x 等( 2 州川，) f e 、。 1。 i 参= 半c 之朋叫 却e 、。 1 。 一 i 坠o x 鲁( 2 砂却- 2 ，) l丘、7 。 “ i 等o y = 警拶啦亿叫 e 、。 。 一 l 1 7 ( 3 2 4 ) ( 3 - 2 5 ) ( 3 2 6 a ) ( 3 - 2 6 b ) ( 3 2 7 a ) ( 3 2 7 b ) 、，j、，j 圹鲁y + 譬_ 2 妒呐) + 爪力i v 1 = 警( 却桫啪m ) l 、 旷警y 一譬乞缈忡) + 以力l 屹= 警( 珂+ 萨缟l y ) + 9 2 ( x ) j 式中，f , c y ) 戳( y ) 为y 的待定函数，& o ) 和g ：( x ) 为x 的待定函数a 南式( 3 2 8 ) 可得 堕一3a邑：-ls(x2-21xo) + 掣l y d y 岛l 盟o：警(咖)+掣lx o = 一l y 一，h y，o1 e 一 d x j 等：3 a 战2 5 ( x 2 - 2 1 x ) + 掣a yl 砂如l 堕0：继(+掣lx e 2 、。 。 似 j 将式( 2 - 2 上两式中等号 掣十3 a 一1 5 、, x z 一2 1 x ) = c 1 1 坠盟+ 丝( x z 一2 i x ) ：c 2 。 d x e 2 掣+ 3 4 5 ( 。2 + v ) ( y 2 + 啊y ) = 一c l l q 1 ， i z , i g 9 _ 2 + 3 d 2 5 ( ，2 + v ) ( y 2 _ h 2 y ) = 一巴。 式中，c 1 ，和c 2 ，为任意常数。对式( 3 - 3 0 ) 7 f r 4 - 子，可得 ( 3 - 3 0 ) 曲 d 脚 踟 吼 撙 羽 御 瑙 屯 屯 弘 0 0 ，k ，l 孰删一妙蚴一妙一 第 卜 疹 聊 却 蝌、 中“ 一 等 鱼 一 呲 一耵一易一 率掣郴 三 一 一 刚 务 仁， 榔 惴埘 。扮 川玩一臣垅一b融 g l ( x ) = 一鲁( x 3 3 x 2 ) + c i l x + q 2 厶 ( x ) ：一争( x 3 - - 3 x 2 ) + g 。x + c 2 ： 乜 f ( y ) = 一二鱼三掣( y 3i 3 y 2 ) 一c l 。y + c l ， 石( j ，) = 一掣( j ，3 一吾缟j ，2 ) 一c 2 。y + g ， 式中，c l ：、c 2 ：、c l ，和c 2 ，均为积分常数。将上式代入式( 3 2 8 ) ，得到 铲妒嘞 1 2 妒6 恤咄2 训 3 + 秒32 ) 卜g ” 3 。二 v l = 鲁( - 3 u 砂2 _ 3 v 1 砂+ 3 嵋砂2 + 3 v 】矗陟_ x 3 + 3 1 x 2 ) + c 1 斛c 1 2l 吃u2：=事425一63xv2：y砂-：3+h23xy2：缟-1砂2lx+y3+屹6纱h：21一x3-v2：(2纱+v2)(y3-3z，h+2yc2：)，x-+cc2,乏y_x3+3ix2+ck v 2 = 鲁( 3 v 2 砂2 + 3 y 2 缟砂+ 3 屹纱2 3 v 2 纱 ) + c 2 l x + c 2 2 1 = 6 x 2 y + 3 耵- 1 2 劬“啊n ( 4 + 2 u ) y 3 _ ( 6 + 3 啪y 2 h = 鲁( - 3 嵋砂2 _ 3 v l 啊驸3 嵋耖2 + 3 v l 矗纱_ x 3 + 3 l x 2 )i 丘1 驴z a 厶2 5 。 - 6 x 2 y _ 3 。2 缈“吃n ( 4 + 2 屹) y 3 + ( 6 + 3 屹) 缟y 2 i 屹= 二争( 一3 吃砂2 + 3 v e h 2 x y + 3 v d y 2 3 吃恐纱- - x 3 s t 3 x 2 )l 丘，i 将式( 3 - 3 3 ) 代入式( 3 - 7 ) ，得到 岛4 ，= 巨4 ， 由式( 3 - 2 5 ) 和( 3 - 3 4 ) 可得 4 s = 丽厕e l fi 如= 币厕e z fj 式中，= 6 矗3 1 2 ，厶= 6 忽3 1 2 ，将式( 3 3 5 ) 代入式( 3 2 6 ) 和( 3 3 3 ) ， - v 晕审的席由仆暑柏 1 9 ( 3 - 3 1 b ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 a ) ( 3 - 3 3 b ) ( 3 3 4 ) ( 3 - 3 5 ) 可得上、 吒。：而譬鬲( 2 砂+ 川纱一啊z ) 吒l2 砸桶侣卅，i l 卜硼叫” 驴一鼎( y 2 + m一硒厕 惕y ) q ：生( 2 砂一吃x 一2 t y + 吃z )q 22 2 ( e , 4 + 9 4 ) 【2 砂一x 一+ 。) 铲一焉一纠2 一砸商y 一y ( 3 - 3 6 a ) ( 3 - 3 6 b ) 和位移分量为 铲南陋 + 3 缸2 - 1 2 妒6 呐- ( 4 + 2 啪产( 6 “啪妙2 1k 3 7 a ) 驴硒寿丽卜3 w 2 。啪驸3 v , l y + 3 v a t y _ x 3 + 3 l x 2 j 驴南【6 妇。碜2 - 1 2 岍6 碜4 + 2 呦，“6 + 3 叼幼2 1l ( 3 _ 3 7 b ) v 2 _ 1 6 ( e l l l 一+ e 2 f 2 ) ( - 3 v 2 驯2 + 3 v 2 叻+ 3 吵2 。喘纱_ x 3 + 3 1 x 2 )j 由式( 3 - 3 6 ) 可见，在叠合梁的任一横截面上，上、下层中的弯曲应力吒，沿高度 分别按线性规律变化，切应力沿高度分别按抛物线规律变化。当梁在自由端 面的受力按式( 3 3 6 ) 中的形式分布时，在上、下层之间不存在接触压力，当 梁在自由端面的受力不是按式( 3 3 6 ) 中的形式分布时，仅在梁的自由端附近 的上、下层之间会产生接触压力，而在离梁的自由端较远处将不存在接触压力。 由式( 3 3 7 ) - - f 见，是少的三次函数，因此梁在变形后上、下层中的横截面不 再保持为平面。 叠合梁在自由端x = l 、y = 0 处的位移为 址+ = ：一二l - - - 一 厩2 “ 4 ( 互厶+ 岛厶) f 1 3 h ，。硒而 胞，2 u ，= = - 一 “ 4 ( 置+ 易厶) f 1 3 屹，2 砸而 由上式可见，叠合梁在上、下层之间发生了相互滑动，上层向左移动，下层向 右移动，移动的距离与层的高度成正比。 以下给出应力分量式( 3 - 3 6 ) 和位移分量式( 3 - 3 7 ) 的退化情况： ( 1 ) 由同材料、同截面矩形截面梁叠合而成的叠合梁 在此情况下，在式( 3 - 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 中取巨= 最= e 、屹= v 2 = l ，、撬= 红= h ， 可得应力分量为 位移分量为 l ：一尝( y 2 + 红y ) l 一石【 愧y ) 一若( y 2 由) ( 3 - 3 8 a ) ( 3 - 3 8 b ) 铲击 6 x 2 y + 3 耵_ 1 2 缈嘲州4 + 2 咖3 邓+ 3 啪y 2 ( 3 - 39 a ) v i = 面f ( 一3 v l x y 2 3 v l h l x y + 3 v i l y 2 + 3 v l h l l y - x 3 + 3 l x 2 ) j 圹面f 6 x 2 y - 3 x 2 - 1 2 劬地州4 啦) y 3 + ( 6 啦蚴2 l ( 3 39 b ) 吃 式中， ( 2 ) = 面f ( 一3 v 2 x y 2 + 3 y 2 吃砂+ 3 v f l y 2 3 v 2 h f l y - x 3 + 3 2 j c 2 ) = b h 3 1 1 2 单梁 在此情况下，在式( 3 3 6 b ) 和( 3 - 3 7 b ) 中取邑= e 、e = o 、吃= 办，可得应 力分量为 和位移分量为 吒2 f ( 2 砂一触一2 纱+ 办，) q = 0 2 2 1 f ( y 2 一h y ) 2 1 h x 一( 4 + 2 v ) y 3 + ( 6 + 3 y ) 砂2 】 一3 v h l y x 3 + 3 1 x 2 ) 2 l ( 3 - 4 0 ) ( 3 - 4 1 ) d 厶1 一 纱 2 一x 啊 + 砂 2 ，l f一盯。 叽 q d 如 + 纱 2一x 吃 一 砂 2 ，l f一钉o 2 2 q q 2 + 陟 缈 咖 力 + 1 l 旷 一 晖 例 融 孔 3 + 一 2 y 9 秒 r 渺 6 _ 睁 。 旦埘每f一蚴f一鲫 l i = 将y = ) ，+ 虿h 代入式( 3 4 0 ) ，得到 吒= f ( x 了- 一1 ) y o y = 0 = 一学 ( 3 - 4 2 ) 式( 3 - 4 2 ) 与文献 4 的结果相同。 将x = z 、y = 0 代入式( 3 - 4 1 ) 中的第二式，得到梁端挠度为 ，n - 旦 ( 3 4 3 ) “3 口 式( 3 4 3 ) 与文献 4 得到的梁端挠度相同。 3 3 内力 ( 1 ) 轴力 上、下层中的轴力分别为 晶l2j 一 o x l b d y 目：= ，。h 2 吒：b d y 将式( 3 3 6 a ) 和( 3 - 3 6 b ) 中的第一式分别代入上两式，得到 晶1 = 0 f n 2 = 0 ( 2 ) 剪力 上、下层中的剪力分别为 民2j 一丘r x y l b d y 气：= r 2 b d y 将式( 3 3 6 a ) 和( 3 - 3 6 b ) 中的第三式分别代入上两式，得到 f q i - 奔坛f f q 2 - 奔纭， ( 3 ) 弯矩 上、下层中的弯矩分别为 m 2 j 一丘吒y 蜘 鸠= j 0 乜0 x ：y b d y 将式( 3 3 6 a ) 和( 3 - 3 6 b ) 中的第一式分别代入上两式，得到 m = 蒜矗州， 幔= 赤磅州， 由横截面上的内力分析可知，叠合粱上、下层中的弯矩和剪力是按刚度分 配的。即抗弯刚度大的层所承担的弯矩和剪力大。此外，在梁的自由端面，当 上层所受的外力之和e 焉 f 代五+ 岛l ) 时，叠合梁在受力变形时，上、下层 之间始终保持相互接触。当上层所受外力之和巧 e 厶、巨厶 岛厶 如图4 - 1 所示，叠合梁的长度，= 1 8 0 r a m ，上层材料为钢，其弹性模量 e l = 2 0 6 g p a ，泊松比u = 0 3 ；下层材料为铝合金，其弹性模量最= 7 0 g p a ，泊 松比= 0 3 。上、下层的高度栩= 红= 2 4 m m ，梁的宽度b = 2 4 m m ，集中力 f = 2 5 k n 。 图4 一l 计算模型l 应用有限元软件a n s y s 的分析过程： ( 1 ) 选择单元类型及实常数设置：选用s t r u c t u r a ls o l i d ，p l a n e8n o d e8 2 ( 即 8 节点实体单元p l a n e 8 2 ) 带厚度的平面应力形式，厚度在实常数设置中取为 2 4 。 ( 2 ) 定义材料常数：e l = 2 0 6 g p a ，嵋= 0 3 ；b = 7 0 g p a ，屹= o 3 ； = 0 o ( 3 ) 创建几何模型及单元划分：按叠合梁尺寸绘制两个重叠矩形，并选择 相应的材料常数后划分网格共划分了9 6 0 个3 r a m x3 m m 的单元。 ( 4 ) 接触对设置：在上、下层之间设置接触对，上层的下表面取为目标面， 下层的上表面取为接触面，材料常数选i d 3 即取摩擦系数f = 0 ，然后创建接 触对。 ( 5 ) 加载和求解：右端设置为全约束，左端施加一向下的集中力f = 2 5 0 0 n ， 如图4 - 2 所示。 ( 6 ) 查看求解结果：计算结果的应力云纹图、变形图和接触压力云纹图如 图4 - 3 图4 7 所示。 图42 单元划分及载荷的捕加 图4 - 3 应力口。的云纹图 图4 - 4 应力口。的云纹图 图4 - 5 应力f 。的云纹图 图46 变形图 由图46 可以清楚看到，上、下层在弯曲变形的同时，接触面上发生了相 对滑动，上层向左错动，下层向右错动。 图4 7 接触压力o - ，。的云纹图 由图4 7 可见上、下层之间在集中力作用的附近区域存在着接触压力， 随着离该作用区域距离的增大。上、下层之间的接触压力迅速减小，趋近于0 。 这与文献 2 6 所得出的结论一致。 将不同截面、不同高度处的吒、a 。、虬和q 的理论值和有限元值分 别列于表4 一i 表4 3中进行比较，其中的误差为 ( 理论值一有限元值) 有限元值x 1 0 0 ，并给出了x = 6 0 r a m 横截面处d ，的分布， 如图4 8 所示。 墨! ：! ：! 竺竺丝塑堕垄：! a 翌鱼堕! 茎些堕里堡堡兰互壁垂堡堕堕墼 d 。? m p a o m p af a 理论值有限元值误差理论值有限元值理论值有限元值误差， 3 0 0 0 1 9 50 0 1 9 4 0 1 80 0 1 9 5 0 0 1 9 5 一o 0 5 6 0 9 0 1 2 0 - 0 0 3 5 4 0 0 3 5 3 - 0 0 4 7 8 0 0 4 7 7 - 0 0 5 6 6 0 0 5 6 6 0 1 2 o 1 0 0 0 9 1 5 0- 0 0 6 1 9 一o 0 6 1 90 0 3 o 0 3 5 4 0 0 4 7 8 0 0 5 6 6 0 0 6 1 9 0 0 3 5 4 0 0 4 7 8 0 0 5 6 6 0 0 6 1 8 - 0 0 6 - 0 0 4 一o o l 0 1 6 3 00 0 2 5 1 0 0 2 7 0 7 1 80 0 2 5 1 0 0 2 7 1 7 4 0 6 00 0 9 4 4o 0 9 7 3 - 3 0 0 o 0 9 4 4o 0 9 7 5 3 2 1 9 0 0 1 9 9 00 2 0 2 9 - 1 9 2 0 1 9 9 0o 2 0 3 3 2 1 0 1 2 0 0 3 3 0 2 o 3 3 5 1- 1 4 5 o 3 3 0 20 3 3 5 6 1 6 1 1 5 0 0 4 7 9 1o 4 8 5 0 1 2 0 0 4 7 9 1 0 4 8 5 61 3 3 1 8 00 6 3 6 90 6 4 3 4 1 o l 0 6 3 6 9 0 6 4 4 01 1 0 罡 = 吾 图4 - 8x = 6 0 m m 处正应力q 的分布图 e e ) o2 04 08 0 1 0 0 1 2 0 1 4 01 0 01 8 02 0 0 x ，m m 图4 - 9 接触面上的挠度v 随x 的变化关系 y r a m 图4 1 0 x = 3 0 m m 处位移u l 随y i 的变化关系 由上可见，双材料叠合悬臂梁的应力分布和单根梁不同，其上、下层横截 面上的弯曲应力吒，的分布均是线性的，但上、下层有各自的中性轴，离中性轴 为矗2 处的弯曲应力最大，并且抗弯刚度大的层中的应力值大。叠合梁的上、 下层之间会发生相对滑动，梁的任一横截面变形后也不再保持平面。有限元值 与理论值吻合较好，表明理论分析结果是正确的。 e u j v 4 1 2 e i i l e 2 1 2 4 2 1 1 f = o 1 计算模型如图4 1 所示，应用有限元软件a n s y s 的分析过程同4 1 1 ，只 需在定义材料常数时将f = 0 改为f = o 1 。 不同截面、不同高度处的c r x i 、和u 的理论值和有限元值分别 如表4 7 表4 - 9 所示。 3 1 表4 7 x = 3 0 m m 处的应力c r 、仃，。和f 。随变化的理论值与有限元值的比较x j y y m m - 2 4 1 8 1 2 - 6 q ，m p aa m p a t 呼i m p a 理论值有限元值误差理论值有限元值 理论值有限元值误差 1 2 1 4 8 6 0 7 4 o 0 0 - 6 0 7 4 0 一 一1 2 1 。4 8 0 + 6 1 2 18 2 4 4 1 2 8 2 0 6 4 0 0 0 - 2 0 6 4 4 1 2 8 1 2 0 6 9o 6 5 6 0 4 l0 5 4 0 1 4 6 0 1 31 0 2 1 2 0 。4 00 9 0 4 1 1 80 2 4 2 0 5 20 5 8 0 1 4 2 0 8lo 8 0 4 1 4 70 4 5 0 0 0 0 1 2 - 0 0 0 l7 4 0 0 0 0 3 2 o 0 0 1 4 1 - 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 38 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 7 l 一0 0 0 0 0 5 0 0 0 3 6 4 4 8 6 3 6 4 0 0 0 0 0 0 1 2 4 1 6 5 1 2 4 o 0 0 0 0 5 3 6 5 - 0 1 1 4 8 5 0 1 9 3 6 5 0 1 2 0 0 5 o 0 2 1 3 0 4 8 5 1 7 3 4 5 4 1 3 0 4 8 2 o 0 2 表4 - 8 位移( m m ) 随x 变化的理论值与有陧垂笪丝些墼 表4 - 9 位移v ( m m ) 随x 变化的理论值与有限元值嗵堕毯 x m m 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 y = o y = o + 理论值有限元值 误差理论值有限元值误差 0 0 2 5 l 0 0 9 4 4 0 1 9 9 0 0 3 3 0 2 0 4 7 9 1 0 0 2 6 8 0 0 9 6 6 0 2 0 1 5 0 3 3 2 8 0 。4 8 1 8 - 6 4 5 - 2 2 8 1 2 l o 7 7 0 5 5 0 0 2 5 1 0 0 9 4 4 o 1 9 9 0 0 3 3 0 2 0 4 7 9 1 0 0 2 7 2 0 0 9 7 8 0 2 0 3 4 o 3 3 5 0 0 4 8 3 4 7 8 5 3 4 8 2 1 5 1 4 2 0 8 8 18 00 6 3 6 9 0 6 3 9 20 3 6 o 6 3 6 9o 6 3 9 7 一o 4 4 3 2 0 o 0 o o o o o o 0 4 2 1 2f = o 1 7 计算模型如图4 1 所示，应用有限元软件的分析过程同4 2 1 1 ，只需在定 义材料常数时将f = 0 1 改为f = 0 1 7 。 不同截面、不同高度处的、和v 的理论值和有限元值分别 如表4 1 0 - 一表4 1 2 所示。 - 2 4 一1 8 1 2 - 6 1 2 1 4 81 2 0 3 7 0 9 20 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 5 6 0 7 4 o 0 0 - 6 0 7 4 6 0 3 0 o 2 3 - 5 9 8 4 0 一一1 2 1 4 8 1 1 9 9 1 o + 6 1 2 4 1 2 8 2 0 6 4 o 4 1 o o 2 0 3 8 - 0 2 3 0 7 4 1 5 0 1 3 1 0 7 0 1 2 6 一o 0 0 18 3 3 6 4 3 6 4 0 0 2 - 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 3 0 - 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 2 - 0 0 0