（固体力学专业论文）两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的外激励实现研究.pdf

独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 二t1一r 卞惹 k夯 ，1 j 耕 阳 轹 月 釜 作 ， 刘 小 澍 办 位 期 学 日 分类号 q 兰2 2 u d c5 3 4 1 2 1 2 1 博士学位论文 密级 公五 编号乒婵删 两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的 外激励实现研究 韩修静 指导教师望勤胜数援 申请学位级别 谴 专业名称 固馇左堂 c l a s s i f i e di n d e x ：0 3 2 2 u d c ：5 3 4 1 2 1 2 1 p h d d i s s e r t a t i o n b i f u r c a t i o nm e c h a n i s m so f b u r s t i n gb e h a v i o r s w i t ht w ot i m es c a l e sa n dt h ei m p l e m e n to f _ - - b u r s t i n 2b e h a v i o r sv i ae x t e r n a le x c l t a t t o n b y x i u j i n gh a n s p e c i a l i t y ：s o l i dm e c h a n i c s s u p e r v i s o r s ：q i n s h e n g b i j i a n g s uu n i v e r s i t y m a r c h ，2 0 1 0 摘要 摘要 事物之间存在时间尺度上的差异，不同时间尺度事物之间的相互促进、相互 制约和相互作用的关系，特别是这种关系和作用的量化描述，是非线性科学的前 沿研究课题和热点问题之一。本论文运用非线性动力学的分岔理论，快慢动力学 分析和数值模拟等方法，研究了两时间尺度受控系统的簇发行为的形成机理以及 不同簇发形式之间的转迁过程。同时，基于平衡点余维2 范式理论，提出了实现 滞后环的外激励方法，并用该方法研究了两时间尺度簇发行为在外激励条件下的 实现问题，主要内容如下： 第一章，介绍了多时间尺度问题的研究背景、现状，本文所涉及的分岔类型 和主要工作内容。 第二章，研究了当l o r e n z 系统第二项方程引入慢变状态变量时，两时间尺度受 控l o r e n z 系统的新型的簇发形式，即对称式焦焦型f o l d f o l d 簇发和对称式焦焦型 s u b h o p f s u b h o p f 簇发，讨论了对称式焦- 焦型s u b h o p f s u b h o p 喉发的演化过程；最 后，简要地分析了当对l o r e n z 系统第一项方程引入慢变状态变量时，受控系统的簇 发行为。 第三章，研究了两时间尺度参数扰动超混沌系统的动力学行为。针对快子系 统，研究了其关于慢变量的局部分岔行为。这些结果揭示了系统周期簇发的动力 学机理，即对称式s u b h o p f f o l d c y c l e 簇发，s u b h o p f f o l d c y c l e 簇发以及各种周期 2 ns u b h o p f f f o l d - c y c l e 簇发。讨论了3 一d 环面解，概周期簇发( 2 d 环面解) ，对称式 s u b h o p f f o l d c y c l e 簇发和s u b h o p f f o l d c y c l e 簇发之间的演化关系，分析了系统从 混沌簇发经由倒倍周期分岔演化为s u b h o p f f o l d c y c l e 簇发的演化过程。 第四章，基于平衡点余维2 范式理论，提出了外激励方法，研究了一般情形 下f o l d f o l d 点点滞后环和s u b h o p f f o l d c y c l e 点圈滞后环在外激励条件下的实现 问题；以l o r e n z 系统和f i t z h u g h r i n z e l 系统为例，用外激励方法实现了其相应的 点点滞后环和点圈滞后环。 第五章，利用第四章的外激励方法，研究了两时间尺度受控l o r e n z 系统和一 类两时间尺度l i 6 n a r d 系统的各种簇发行为在外激励条件下的实现问题。这些系统 的所有两时间尺度下的簇发形式，如对称式f o l d f o l d 簇发、对称式s u b h o p f s u b h o p f 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的外激励实现研究 簇发、f o l d f o l d 簇发、f o l a h t o p f 簇发以及f o l d h o m o c l i n i c 簇发等，都在外激励的 条件下得到了实现。 第六章，以v a nd e rp 0 1 d u f f i n g 系统为例，说明外激励方法是产生簇发行为的 有效方法。用两时间尺度方法产生簇发行为的困难在于快、慢子系统之间相互作 用的复杂性，因而很难预测慢变变量能够周期地穿越已选定的分岔点。然而，对 于外激励方法来说，很容易实现其对指定分岔点的周期穿越，从而，能够有效地 产生簇发行为。 第七章，对本文的结果进行总结，并对今后的工作提出展望。 关键词：多时间尺度，分岔，快慢动力学，簇发分类，外激励方法，点点滞后环， 点圈滞后环，簇发的外激励实现 a b s t r a c t t h et i m e - s c a l e so ft h i n g sa r ed i f f e r e n tf r o me a c ho t h e r t h em u t u a lp r o m o t i o n , m u t u a lr e s t r i c t i o na n dm u t u a la c t i o n r e l a t i o n s h i pa m o n gt h i n g s w i t hd i f f e r e n t t i m e - s c a l e s ，e s p e c i a l l yt h eq u a n t i t a t i v ed e s c r i p t i o no ft h er e l a t i o na n df u n c t i o n s ，a r et h e l e a d i n gs u b j e c ta n dh o ti n t e r e s ti nn o n l i n e a rs c i e n c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h eb i f u r c a t i o n m e c h a n i s m so fb u r s t i n gi nt h ec o n t r o l l e ds y s t e m s 耐t l lt w ot i m es c a l e sa n dt h et r a n s i t i o n p r o c e s s e so fd i f f e r e n tb u r s t i n gp a t t e r n sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e db yu s i n gb i f u r c a t i o n t h e o r yo fn o n l i n e a rd y n a m i c s ，t h ef a s t - s l o wd y n a m i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s m e a n w h i l e ，b a s e do nt o p o l o g i c a ln o r m a lf o r m sf o rc o d i m 一2b i f u r c a t i o n so fe q u f l i b r i a t h e e x t e r n a l e x c i t a t i o nm e t h o di s p r e s e n t e da n da p p l i e d t ot h e i n v e s t i g a t i o n st o i m p l e m e n tb u r s t i n g b e h a v i o rb ye x t e r n a le x c i t a t i o n t h eb a s i cc o n t e n t so ft h i s d i s s e r t a t i o na r eg i v e na sf o l l o w i n g ： t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，c u r r e n tr e s e a r c hs t a t u so fm u l t i p l et i m es c a l e sa n dt h e b i f u r c a t i o nt y p e st h i sd i s s e r t a t i o ni n v o l v e sa r eg i v e ni nt h ef i r s tc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，t h en e wb u r s t i n gb e h a v i o r s ( i e s y m m e t r i cf o l d f o l db u r s t i n ga n d s y m m e t r i cs u b h o p f f s u b h o p fb u r s t i n g ) o ft h ec o n t r o l l e dl o r e n zs y s t e m 丽t ht w ot i m e s c a l e sa r ei n v e s t i g a t e d ，w h e nas l o wv a r i a b l ei sa d d e dt ot h es e c o n de q u a t i o no fl o r e n z s y s t e m t h ee v o l u t i o np r o c e s so fs y m m e t r i cs u b h o p f s u b h o p fb u r s t i n gi sd i s c u s s e d f i n a l l y ，w ea d das l o wv a r i a b l et ot h ef i r s te q u a t i o no fl o r e n zs y s t e m ，a n da n a l y s i si t s b u r s t i n gb e h a v i o r sb r i e f l y i nc h a p t e r3 ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so fa p e r t u r b e dh y p e r c h a o t i cs y s t e mi ss t u d i e d t h ef a s t s u b s y s t e mi s e x a m i n e du s i n gb i f u r c a t i o nt h e o r y ，w h e r es l o wv a r i a b l ei s c o n s i d e r e da sab i f u r c a t i o np a r a m e t e r t h er e s u l t so ft h es u b s y s t e mb i f u r c a t i o na r e a p p l i e dt or e v e a l i n gt h ed y n a m i c a lm e c h a n i s m so fp e r i o d i c b u r s t i n gp a t t e r n s ，i e ， s y m m e t r i cs u b h o p f f o l d - c y c l eb u r s t i n g ，s u b h o p f f o l d - c y c l eb u r s t i n ga n dv a r i o u s p e r i o d - 2 ns u b h o p f f o l d - c y c l eb u r s t i n g m o r e o v e r ，t h er e l a t i o n sa m o n g3 - t o r u s ， q u a s i - p e r i o d i cb u r s t i n ga n ds y m m e t r i cs u b h o p f f o l d c y c l eb u r s t i n ga r ed i s c u s s e d ，a n d t h ee v o l u t i o np r o c e s s e sf r o mc h a o t i cb u r s t i n gt os u b h o p f f o l d - c y c l eb u r s t i n gv i ai n v e r s e p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n sa r ea n a l y z e d i nc h a p t e r4 ，b a s e do nt o p o l o g i c a ln o r m a lf o r m sf o rc o d i m2b i f u r c a t i o n so f e q u f l i b r i a ，t h ee x t e r n a le x c i t a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e da n da p p l i e dt ot h ei n v e s t i g a t i o n s 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的分岔- 丰几理及簇发的外激励实现研究 t oi m p l e m e n tf o l d f o l dp o i n t - p o i n th y s t e r e s i sl o o pa n ds u b h o p f f o l d c y c l ep o i n t - c i r c l e h y s t e r e s i sl o o pb ye x t e r n a le x c i t a t i o n t h et w os y s t e m s ，i e ，l o r e n zs y s t e ma n d h t z h u g h - r i n z c ls y s t e m ，a l et a k e n a se x a m p l e s ，w h e r et h e i rr e s p e c t i v ep o n i t - p o i n t h y s t e r e s i sl o o pa n dp o i n t c i r c l eh y s t e r e s i sl o o pa l ec r e a t e db ye x t e r n a le x c i t a t i o n m e t h o d i nc h a p t e r5 ，b yu s i n gt h ee x t e r n a le x c i t a t i o nm e t h o dd e s c r i b e di nc h a p t e r4 ，t h e i m p l e m e n to fb u r s t i n gb e h a v i o r si nt h et w os y s t e m s ，i e ，t h ec o n t r o l l e dl o r e n zs y s t e m a n dl i6n a r ds y s t e mw i mt w ot i m es c a l e s ，i ss t u d i e d v a r i o u sk i n d so fb u r s t i n g b e h a v i o r so ft h es y s t e m sa l ei m p l e m e n t e db ye x t e r n a le x c i t a t i o n ，s u c ha s ，s y m m e t r i c f o l d f o l db u r s t i n g ，s y m m e t r i cs u b h o p f s u b h o p fb u r s t i n g ，f o l d f o l db u r s t i n g ，f o l d h o p f b u r s t i n ga n df o l d h o m o c l i n i cb u r s t i n g i nc h a p t e r6 ，t h ev a nd e rp o l - d u f f i n gs y s t e mi st a k e na sa ne x a m p l et os h o wt h a t e x t e r n a le x c i t a t i o ni sa ne f f e c t i v em e t h o dt oo b t a i nb u r s t i n gb e h a v i o r s s i n c et h em u t u a l a c t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e nf a s ts u b s y s t e ma n ds l o ws u b s y s t e mi sv e r yc o m p l e x ，i ti s d i f f e r e n tf o ru st op r e d i c tt h a ts l o w l yc h a n g i n gv a r i a b l ec a n p e r i o d i c a l l yp a s st h eg i v e n b i f u r c a t i o np o i n t s t h u s ，f o rt w ot i m es c a l e sm e t h o d ，i ti sd i f f e r e n tt oo b t a i nb u r s t i n g b e h a v i o r s h o w e v e r , f o re x t e r n a le x c i t a t i o nm e t h o d ，s i n c ee x t e r n a le x c i t a t i o n 伽e a s i l y b ec o n t r o l l e dt op a s st h eg i v e nb i f u r c a t i o np o i n t s ，a n dt h u sb u r s t i n gb e h a v i o rw i l lb e c r e a t e de f f e c t i v e l y i nc h a p t e r7 ，s o m em e a n i n g f u lr e s u l t sa l es u m m a r i z e d a l s os o m ee x i s t i n g p r o b l e m sa sw e l la st h ef u t u r ew o r ka l ep o i n t e do u t k e y w o r d s ：m u l t i p l e t i m es c a l e s ，b i f u r c a t i o n s ，f a s t - s l o wd y n a m i c s ，c l a s s i f i c a - t i o no fb u r s t i n g ，e x t e r n a le x c i t a t i o nm e t h o d ，p o i n t - p o i n th y s t e r e s i s l o o p ，p o i n t - c y c l eh y s t e r e s i sl o o p ，i m p l e m e n to fb u r s t i n gb ye x t e r n a l e x c i t a t i o n 目录 第一章绪论 目录 1 1 1弓i 言1 1 2 多时间尺度问题的研究背景概述2 1 - 3 多时间尺度问题的研究现状。4 1 3 1多时间尺度数学模型的建立及其结构4 1 3 2 快慢动力学分析方法6 1 3 3 簇发的分类7 1 4 本文所涉及的分岔类型简介。1 0 1 5 本文的主要研究内容1 8 第二章两时间尺度受控l o r e n z 系统中的对称式焦焦型簇发一2 l 2 1 引言2 1 2 2 两时间尺度受控l o r e n z 系统2 1 2 3 对称式焦焦型f o l d f o l d 簇发2 3 2 4 对称式焦一焦型s u b h o p f l s u b h o p f 簇发及其演化2 6 2 5 两时间尺度受控l o r e n z 系统簇发行为的进一步讨论3 1 2 6 本章结论。3 4 第三章两时间尺度参数扰动超混沌系统簇发的分岔机理。3 5 3 1引言3 5 3 2 全系统分岔分析3 6 3 3 系统的簇发形式及其演化4 1 3 4 快子系统关于慢变量v 的单参数分岔分析4 3 3 5 簇发的分岔机理5 0 3 6 本章结论5 2 第四章基于平衡点余维二分岔范式滞后环的外激励实现一5 3 4 1 引言5 3 4 2f o l d f o l d 点点滞后环的外激励实现5 4 4 3 s u b h o p f f o l d c y c l e 点圈滞后环的外激励实现5 6 4 4 点点滞后环、点圈滞后环外激励实现的具体例子6 0 v 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的黼理及簇发的外激励实现研究 4 4 1l o r e n z 系统中点点滞后环的外激励实现6 0 4 4 2 f i t z h u g h r i n z e l 系统中点圈滞后环的外激励实现。6 2 4 5 本章结论6 4 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 大干世界是个演化系统，极其复杂，非线性问题无处不在。二十世纪下半叶 非线性科学取得的空前的巨大发展，被认为是继相对论与量子力学之后，在科学 领域中人类认识世界和改造世界的第三次大革命【h 1 1 。 事物之间的相互作用，说明相互联系的事物不是单方面的影响，而是相互影 响、相互制约和相互依存的，这是非线性的实质。非线性科学主要研究各门科学 中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正就可以解决的问 题，以及它自身理论发展所需要的概念和方法。换言之，非线性科学揭示各种非 线性现象的共性，发展处理它们的普适方法。 多时间尺度动力学是非线性科学的重要组成部分，它从动力学的角度揭示多 时间尺度事物的非线性本质特性，其理论、方法已经广泛应用于生命科学、化学、 生物学等科学领域，对这些学科的研究与发展产生了深远的影响。 神话小说中的“天上一日，地下一年”是“天上与“人间”两种时间尺度 的真实写照。而多时间尺度动力学中的“时间尺度 是广义的，除了一般意义上 描述时间长短的尺度( 如“秒、分、日”等) 外，还包括与长度相关的尺度( 如“毫米、 米、千米”等) 与空间大小相关的尺度( 如“立方毫米、立方米”等) 等。 尺度的概念非常重要，许多现象离开尺度来谈就毫无意义了t 5 - - 8 , 1 2 _ 1 5 1 。例如， 气候是全球非常关注的问题，大家都说气候变暖了。可气候的冷暖是随尺度的变 化而变化的：从百年的尺度上讲，现在处于暖期；但从十万年的尺度来说，现在 可能处于冷期。所以离开尺度谈气候或旱涝都是毫无意义的。我国的海岸线，它 有大大小小的弯曲，大的弯曲可达数百公里( 如渤海湾) ，小的弯曲只有几厘米，存 在着尺度上的差异。若用空中摄影的办法去测量，数十公里的弯曲也看不清；若 亲自到海边去量，数厘米的弯曲也能量得出来。可见海岸线的长度随尺度的变化 而变化。大气中的大涡旋的尺度达千公里，而小涡旋的尺度仅几厘米。为了研究 天气预报，科学家人为的不考虑小尺度的涡旋而专门研究大尺度的运动。而为了 研究雷阵雨就不考虑大尺度的运动而专门研究中小尺度的运动。但实际上大气中 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的外激励实现研究 的大小涡旋是彼此相连的，大涡旋中包含小涡旋，大涡旋动了，小涡旋也必然动。 湍流研究的困难之处也正是因为它包含了大大小小不同尺度的涡旋。 我们需要的不仅是在时间尺度上对事物的归类，而是不同时间尺度事物之间 的关系和相互促进及制约，特别是这种关系和作用的量化描述。研究多时间尺度 事物的非线性动力学特性具有十分深远的意义，它将有助于进一步揭示世界的奥 秘。 1 2 多时间尺度问题的研究背景概述 生物神经系统是由数量巨大的神经元相互联结的极为复杂的网络系统，包括 各种感受器官和中枢神经系统。它承担着感受外界刺激，产生、处理、传导和整 合脉冲电信号，从事知觉、学习、记忆、语言、情绪、意识、思维等高级认知活 动以及运动控制等重要功能。神经系统的基本构造是神经元，其信号传递的基本 形式是动作电位。信息在神经元间的传递方式有化学传递、电传递等，而其在神 经元内神经纤维上却只是通过电脉冲即动作电位的形式传递。 对于机体内外环境的各种形式的变化，神经系统均以神经纤维放电活动的不 同模式( 包括动作电位的产生与否，动作电位的频率、波形、峰值的差异等) 对 信息进行编码、传输和解码，从而实现神经系统信息的产生、整合和传递。不同 的外刺激，引起的神经纤维放电模式不同，所导致的机体生理效应也不同。簇放 电是神经元极其重要的放电模式，是神经系统多时间尺度效应的重要表现，它表 现为重复放电态与静息态之间的周期的交替出现。通过对神经系统中多时间尺度 问题的研究，一方面将有助于揭示和解释神经系统的生理结构、神经信号发生和 传导的电生理过程、运转方式和功能特性，有助于揭示神经活动的复杂机理的本 质，另一方面也可以利用不同的外刺激产生特定的放电模式，从而达到治疗某些 疾病的目的。所以神经放电模式的研究一直是神经电生理学领域的研究热点。 除了生物神经系统，多时间尺度问题在生化过程( b i o c h e m i c a lp r o c e s s e s ) 广 泛地存在 1 2 - 1 7 1 。生化工程与发酵过程的多水平问题实质上是多时间尺度问题。生 物系统本身对于以活细胞为对象的生物反过程，从时间尺度上的划分来看，可以 划分为基因水平的分子尺度、代谢调节的细胞尺度以及工业控制的反应器尺度。 从空间的尺度上来看，基因水平的分子尺度属于纳尺度范围，一般在1 0 。9 m 以下， 2 第一章绪论 细胞代谢属于微尺度范围，在1 0 喝m 到1 0 。m 之间，反应器工程属于介尺度范围， 在1 0 。3 m 至! u 1 0 2 m 之间；从一般的时间尺度上来看，微生物和细胞在酶活性水平上 的控制时间在毫秒至秒的范围内，在基因表达调控水平上描述至分钟，而种群选 择和进化需要更大的时间单位去描述。 以微生物发酵为例 1 2 - 1 5 ，当采用好氧微生物进行发酵产品生产时，生物反应 器需通气和搅拌。当降低搅拌速度时，供氧速率下降必然引起溶解氧浓度的下降。 供氧速率代表了菌体好氧能力与菌体浓度的综合结果，如果溶解氧浓度下降到临 界氧浓度以下时，就引起菌体呼吸强度的减弱，这实质上是氧成为限制性基质时 的动力学行为。当溶解氧浓度继续下降，如果微生物室兼性菌，就可能产生厌氧 代谢，代谢途径由好气途径转向厌氧途径，甚至发生胞体酶体系的改变，即微生 物细胞内反应体系发生了结构性变化。对于这种结构性的变化，很难采用单一时 间尺度的动力学方程加以刻画，需要采用多时间尺度的动力学关系进行描述和观 察。 生物代谢过程中普遍存在的变构效应往往涉及到多时间尺度问题。变构效应 是指一种小分子物质与一种蛋白质分子发生可逆的相互作用，导致蛋白质的构象 发生改变，从而改变蛋白质与第三种分子的相互作用。具有变构作用的酶称为变 构酶。当一个小分子作用于变构酶的某些位点时，必然引起一系列的后续变化， 这是一个由快反应引发的慢过程。小分子在大分子上极快的结合引起相对慢的构 象变化，这种在极短时间内发生的事件与极长时间内发生的事件之间的相互关联， 使快反应延伸为慢过程，时间跨度大，出现多时间尺度非线性的表现。例如，m w c - 变构酶反应【1 8 j 、耦合自催化变构酶反应【1 9 1 、d g 酶反应f 加1 等等。 一般的化学反应都是随着反应的进行，反应物的浓度不断地降低而生成物的 浓度却不断地升高，最终达到平衡状态，反应物和生成物的浓度均不随时间变化。 但在某些反应体系中，如连续搅拌反应器( c s t r ) 中，反应物质的浓度却随时间 ( 或空间) 发生周期性的变化，我们把这样的反应称之为化学振荡反应。 b e l o u s o v z h a b o t i n s k y ( b 鼢振荡反应【2 1 】是化学振荡现象的一个典型例子，也是人们 研究最多、最为成熟的一类化学振荡体系。它是一类以溴酸盐在酸性介质中氧化 有机酸、酮或酯的化学振荡反应，该反应存在明显的多时间尺度效应 2 2 - 2 4 i 。 此外，电化学反应 2 s - 冽( e l e c t r o c h e m i c a lr e a c t i o n s ) ，同质液相反应1 3 0 - 3 3 1 3 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的外激励实现研究 ( h o m o g e n e o u sl i q u i d p h a s er e a c t i o n ) 、气相反应3 4 3 5 1 ( g a s - p h a s er e a c t i o n s ) 、异质催化 3 6 1 ( h e t e r o g e n e o u sc a t a l y s i s ) 等反应过程普遍存在着多时间尺度非线性问题。 1 3 多时间尺度问题的研究现状 1 3 1多时间尺度数学模型的建立及其结构 1 9 3 7 年英国生理学家a l a nh o d g k i n 发现动作电位可以产生一个局部的电流，该 局部电流可以使临近的细胞膜发生去极化，从而导致动作电位的产生。通过这种 在细胞膜上不断的相互作用，动作电位可以不衰减的沿着轴突传播。之后， h o d g k i n ，a n d r e wh u x l e y 和b e r n h a r dk a t z 通过分析动作电位产生过程中特定电流 的变化，进一步揭示了动作电位的离子本质。2 0 世纪5 0 年代，a l a nh o d g l d n 等人又 发表了一系列的具有里程碑意义的工作。特别是1 9 5 2 年，a l a nh o d g l d n 和a n d r e w h u x l e y 以乌贼巨轴突为材料，提出t h o d g k j n h u x l e y ( 唧) 模型降, - 3 9 1 ，定量地研 究了这种离子电流的特性。h h 模型准确的解释了实验结果，成功的再现和预测了 实验中观测到的一些神经纤维的电活动，为神经放电活动研究和其他神经元模型 的建立奠定了坚实的理论基础。正是由于他们杰出的贡献，h o d g l d n 和h u x l e y 于 1 9 6 3 年获得了诺贝尔奖。 在之后的几十年中，基于h h 模型，又有许多神经元模型相继被提出。例如， h 谜i u g h 和n a g u m o 分别在1 9 6 1 年和1 9 6 2 年对h h 模型进行简化，得到了只有两个变 量的f i t z h u g h - n a g u m o 神经元模型1 4 0 , 4 1 。1 9 7 6 年，p l a n t 和k i m 对h h 模型进 行了修改，得到了起搏神经元的p l a n t k i m 模型1 4 2 1 。1 9 8 1 年，c a t h ym o r r i s 和h a r o l d l e c a r v 在对一种藤壶的肌肉纤维作实验时，提出了一个后来在计算神经科学中被广 泛应用的二维模型，最p m o r r i s l c c a r ( m l ) 模型 4 3 1 。1 9 8 2 年，h i n d m a r s h 和r o s e 推广 了f h n 神经元模型，同时建立了2 维h i n d m a r s h r o s e ( i - m ) 模型；1 9 8 3 年，他们对2 维h r 模型做了修改，得到了三变量的h r 模型【4 4 1 。其它还有c h a y - k e i z e r 模型f 4 5 1 、 c h a v 模型1 4 6 1 等等都是在h h 模型的基础上建立的。 神经元模型都是多时间尺度系统，包括和放电过程有关的快变量以及和两次 放电之间的沉寂态有关的慢变量。与一般的非线性系统( 同一时间尺度) 相比，多时 间尺度系统具有更为丰富的动力学行为，例如簇发( b 毗g ) 行为( 见图1 1 ) 。 4 第一章绪论 一般地，两时间尺度簇发行为可由如下形式的微分方程描述 x = f ( x ，m ) ，( 快子系统)( 1 1 a ) 配= 6 9 ( x , u ) ，( 慢子系统) ( 1 1 b ) 其中，0 口1 是快慢时间尺度比率，x r “描述快变过程，u r 模拟慢变过程。 于是，系统( 1 1 ) 可分解为快、慢两个子系统，即快子系统( 1 1 a ) 和慢子系统( 1 1 b ) 。 图1 1 不同类型的簇发形式f 引自文献1 4 7 ) 。 f 远1 1b u r s t i n gp a t t e r n so fd i f f e r e n td y p e s ( c 诹；df r o m 【4 7 】) 通常情况下，簇发行为的产生是因为两种或两种以上吸引子的共存性，如平 衡点吸引子( 或小振幅极限环吸引子) 与极限环吸引子共存等等。由于慢变状态变量 对系统行为的不断调节，系统因为分岔在平衡点或小振幅的极限环( 即，沉寂态 ( q u i e s c e n c ts t a t e ) ) - 与大振幅的极限环( 即，激发态( s p i k i n gs t a t e ) ) z _ lj 相互转迁，因而产 生了所谓的簇发行为( 见图1 1 ) 。 5 江苏大学博士学位论文：两时间尺度簇发行为的分岔机理及簇发的外激励实现研究 1 3 2 快慢动力学分析方法 对神经元等多日、j 问尺度系统中簇发行为的研究主要分为两个方面，一方面是 通过实验进行研究i 鹅5 l 】，另一方面基于模型进行理论研究【5 2 - 7 8 。由于多时间尺度 系统的复杂性，研究者往往要借助于数值计算，在计算机上运用非线性动力学理 论、方法对研究对象的数学模型直接进行仿真与数值模拟。 r i n z e l 的快慢动力学分析【5 2 1 ( f a s t - s l o wd y n a m i c sa n a l y s i s ) 是研究两时间尺度 簇发行为分岔机理的经典方法，它在数值计算【7 9 1 的基础上发展而来。r i n z e l 将该 方法应用于一细胞模型的研究，揭示了簇发行为的动力学机理，指出系统在沉寂 态与激发态之间的相互转迁是产生簇发行为的本质原因。快慢动力学分析方法的 精髓是将快子系统( 1 1 a ) 和慢子系统( 1 1 b ) 分开讨论：慢变量u 对快子系统的行为具 有调控作用，快子系统可以处于两种单一模式运动状态，即与沉寂态相对应的平 衡点或小振幅的周期运动，以及与激发态相对应的大振幅的周期运动，这些都取 决于慢变量u 的值。当慢变量周期的缓慢穿越两种单一模式振动区域时，便产生了 簇发行为。故而，簇发行为也称为复合模式振动( m i x e d - m o d eo s c i l l a t i o n s ) 。 按照快慢动力学分析方法，可以将慢变量视为快子系统的分岔参数；作快子 系统关于慢变量的分岔图，然后将簇发轨迹与之进行叠加，进而可以理解簇发行 为的动力学机理。在r i n z e l 工作的基础上，学者们或是从纯数学角度或是结合生 理意义对各种神经元、生化反应等多时间尺度模型中的簇发现象进行了深入的研 究。 以一细胞模型为例，在r i n z e l 首次用快慢动力学分析方法研究了一细胞模 型之后，s h e r m a n 等人1 8 0 1 用该方法研究了胰腺一细胞的电活动情况，发现了其中 的簇发现象并揭示了其动力学机理。t e r m a n 8 1 】证明了一类一细胞模型存在簇发 现象，研究了参数条件对簇发尖峰的个数的影响；在文献 8 2 1 q b ，他又研究了兴奋 膜的动力学行为，揭示了从连续的峰放电过渡到簇放电的转迁机理。p e m a r o w s l d 8 3 1 在他的博士论文中，详尽地分析了胰腺一细胞的放电活动。之后，他与m i u r i a , k e v o r k i a n 合作【洲，用扰动法对胰腺一细胞模型的簇放电现象作了进一步的研究。 关于其它神经元模型( 例如，腿模型、池模型、c h a y 模型等) ，以及广泛存 在于生化过程( b i o c h e m i c a lp r o c e s s e s ) 、电化学反应( e l e c t r o c h e m i c a lr e a c t i o n s ) 、同 6 第一章绪论 质液相反应( h o m o g e n e o u sl i q u i d - p h a s er e a c t i o n ) 、气相反应( g a s p h a s er e a c t i o n s ) 、异 质催化( h e t e r o g e n e o u sc a t a l y s i s ) 等各种化学动力学领域的多时间尺度簇发行为的 研究工作，我们在此不一一列举。 1 3 3 簇发的分类 提出快慢动力学分析方法之后，r i n z e l 又首先开始了对簇发行为的分类研究工 作。在文献【5 3 】中，他详细的比较了3 种不同动力学机理的簇发形式，并按簇发行 为所表现出来的几何形状对其进行分类，如“方波型簇发俐( “s q u a r e w a v e b u r s t e r ) ，“抛物线型簇发【5 5 】( “p a r a b o l i c b u r s t e r ”) ，“椭圆型簇发【蚓 ( “e l l i p t i c b u r s t e r ) 。随后，b e r t r a m 等人【蜘建议用罗马字母来表示不同的簇发形式，即i ， 型簇发形式，同时他们又提出了一个新型的簇发形式，即型簇发。基于不同 的形状，学者们又先后提出了其它簇发形式，如“锥型簇发5 7 枷1 ( “t a p e r e d b u r s t e r ”) 、“三角形型簇发【6 1 1 ( “t r i a n g u l a rb u r s t e r s ) 等，其中，“锥型簇发 又称为v 型簇发【鲫。 图1 2 两种分岔机理不同，但形状相似的簇发形式( 引自文献【4 7 】) 。( a ) f o l d f o l d 簇发；( b ) f o l d h o p f 簇发。 f i g 1 2 t w ob u r s t i n gp a r e m sw i t hd i f f e r e n tb i f u r c a t i o nm e c h a n i s m sb u ts