（固体力学专业论文）平面二次多项式微分系统周期解的研究.pdf

摘要 本文主要工作是给出平面二次多项式微分系统周期解的一种近似解法。 考虑到极限环的周期性，通过引进自变量的非线性变换，以相平面( x ，y ) 的 相角妒为独立变量，将平面二次多项式微分系统极限环相图的x 坐标设为广义谐 函数，y 坐标的确定归结为妒= 妒( f ) 的阶导数即瞬时频率珊的积分问题。用常 规迭代法近似给出极限环的y 坐标、极限环的频率、周期、稳定性指标等基本要 素的解析表达式，进而讨论迭代格式的收敛性，由最终计算所得图表，可以直观 了解极限环随参数的变化而产生、稳定性、分岔和消失的全过程，从运算结果来 看，该法能够较简便地给出满足任意精度的解答；最后给出了若干平面二次多项 式微分系统的实际算例。 关键诃l l 线性振动平面二次多项式微分系统，极限环，频率，周期，稳定性，分岔 ( i i ) a b s 。j r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so np r o p o s i n ga na p p r o x i m a t em e t h o dt og i v et h es o l u t i o n st o d i f f e r e n t i a ls y s t e m so f p l a n a rs e c o n dp o w e rp o l y n o m i a l b a s e do nt h e p e r i o d i c a lf e a t u r eo ft h el i m i t c l e ，ak i n do fn o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o ni se m p l o y e di nt h i sp a p e r ：f i r s t l y , w ea s s u m et h a tt h ep h a s ea n g l e ( p ) o ft h ep h a s ep l a n e ( x ，y ) i sa ni n d e p e n d e n tv a r i a b l ea n dt h exc o o r d i n a t eo ft h i sp l a n e i sag e n e r a l i z e dh a r m o n i cf u n c t i o n t h e nt h ed e t e r m i n a t i o no ft h eyc o o r d i n a t eo ft h i s p h a s ep l a n eb o i l sd o w nt ot h ei n t e g r a lp r o c e s s i n go ft h ef i r s td e r i v a t i v eo 却= p ( f ) ， n a m e l yt h ei n t e g r a lp r o c e s s i n go ft h et e m p o r a lf e q u e n c y u s i n gt h eu s u a l l yu s e d i t e r a t i v em e t h o d s ，w eg e tt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h ey c o o r d i n a t e ，t h ef r e q u e n c y t h ep e r i o da n dt h es t a b i l i t yi n d e x o ft h i sl i m i tc y c l e t h e nt h ec o n v e r g e n c eo ft h i s i t e r a t i v em e t h o di sd i s c u s s e d f i n a l l nt h eo v e r a l lp r o c e s so ft h ee m e r g e n c e ，s t a b i l i t y , b i f u r c a t i o n ，a n dd i s a p p e a r a n c eo ft h el i m i tc y c l ec a nb ed i r e c t l ys e e nt h r o u g has e r i e s o fd i a g r a m ss h o w i n gt h ei t e r a t i v er e s u l t s j u d g i n gb yt h ei t e r a t i v er e s u l t s ，w ec a ng e t t h es o l u t i o n so fa n yg i v e nl e v e lo fa c c u r a c yt ot h e s es y s t e m sb yt h i sm e t h o d af e w e x a m p l e so f t h e s es y s t e m sa r es h o w na tt h er e a rp a r to f t h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，d i f f e r e n t i a ls y s t e m so fp l a n a rs e c o n dp o w e rp o l y n o m i a l ，l i m i t c y c l e ，f r e q u e n c y , p e r i o d ，s t a b i l i t y , b i f u r c a t i o n 烹烹燕搴硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 第一章引言 1 1 非线性振动系统介绍 振动现象在日常生活中极为常见，小至嘈声，大至地震灾害，振动现象无时 无刻不在影响着人们的生活。各种机器和仪表的振动，水工建筑物，楼房或桥梁 的振动，车辆在不平路面上行驶时的颠簸，海轮在海浪冲击下的左右摇摆和前后 纵摇等等，都是振动的实例。系统受外界振源的激励可产生受迫振动，若系统超 过系统所能承受的范围，则系统将被破坏。 一般来说，振动系统总是非线性的，线性系统只是一种简单模型。如果线性 系统能够反映我们要考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果，那么我们就 把它当作线性系统来处理；否则，我们就要研究非线性系统。在数学上，非线性 系统是用非线性算子来描述的，由于叠加原理对于非线性算子不成立，所以非线 性系统的研究比线性系统要复杂得多。 大家都熟悉简谐振动，特别是通过富氏分析，了解了基频震动和高频分量的 作用。但到了非线性振动，一系列完全不同的新现象出现了，其中由负阻尼引起 的自激振动系统靠内部维持振动，和次谐波共振( 分频) ，最引人注目。不 断分频而导致混沌，把确定性动力系统和随机统计结合了起来。 耋。曼黧硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 1 2 非线性技术应用前景 随着社会经济和科学技术的发展，人们越来越重视非线性科学，而非线性力 学则是其中的一个重要方面。如大型建筑结构的弹塑性大变形、机械的非线性振 动、复合系统的非线性控制问题等。 自然界和工程技术中的力学现象本质上都是非线性的，非线性因素可以来自 系统的几何、物力、结构、耗散、运动、耦合诸方面。 举一些更具体的例子，如：起飞重量为数百吨，机体尺寸为半个足球场大的 民航飞机，虽然乘客能够清楚看到机翼的明显颤动和位移，但它却在空中安全的 飞行。反面的例子，如输送流体管道的脉动，大跨度桥梁或者很高的电视塔，在 风载下坍塌是时有所闻的。1 9 4 0 年全长1 6 公里，列为当时世界第三的美国 t a c o m a 吊桥，在大风下激烈振荡导致坍塌，其原因就是设计师不了解风和大桥 的非线性相互作用，只按静载设计，结果在自激振动中毁坏造成的。不幸的是， 这类事故至今仍未能完全消除。 对于这些不利的非线性振动，如何找到适当的解决方法尤其重要。在非线性 振动系统的研究中，传统上只注重确定参数下的运动和稳定性f 1 题。k b 平均法1 1 j 是较受欢迎的渐近分析方法之。但实际上，非线性系统的参数是变化的，在某 些临界参数下，运动的形态会发生实质上的变化。 如常见的机车蛇行问题l “，它是影响铁路运输的重大问题，要保证安全运输 和提高运行速度，必须提高蛇行的临界速度。机车的蛇行是指当机车的速度达到 某种临界值时，机车突然产生剧烈的横向振动。传统上是用共振理论来解释，由 此导致了许多和试验相违的错误结论。事实上，机车的蛇行运动是由于分叉而产 生的单频横向振动。因此宜用分析多频分叉问题的平均摄动解法pj ，等等。 如今，非线性的技术已成功地应用在国家电力能源、交通、国防建设、航空 航天、工业及民用设施等方面。 对非线性的研究包括非线性力学系统的各种运动状态的定量和定性规律，特 别是丰富多样的运动模式和演化过程。深刻地揭示了客观世界的复杂性和多样 性，不仅对自然科学发展做出重大贡献，而且有十分广阔的工程技术应用前景。 烹烹黛硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 1 3 本文的工作 在工程应用上，除了要判断非线性系统周期解的存在性、数目及稳定性之外， 还需要知道周期解的解析表达式，以便具体了解该周期解所包含的各种谐波成分 以及它与各个参数之间的数量关系。 本文主要内容是对平面二次多项式微分系统在定量计算方面提出一种解法。 首先，介绍了最近几十年来对非线性研究的主要成果和现状，根据国内外研 究现状和发展趋势，展望非线性动力学在本世纪的动向，探讨在理论和应用研究 中面临的些新的重大问题。从定量分析的角度，回顾了研究非线性振动方程的 几种常见解法和它们各自的应用范围和局限性； 其次，主要工作是给出平面二次多项式微分系统周期解的一种近似解法。考 虑到极限环的周期性，通过引进自变量的非线性变换，以相平面( x ，y ) 的相角p 为 独立变量，将平面二次多项式微分系统极限环相图的x 坐标设为广义谐函数，y 坐标的确定归结为妒= 妒( f ) 的一阶导数即瞬时频率( - 0 的积分问题。用常规迭代法 近似给出极限环的y 坐标、极限环的频率、周期、稳定性指标等基本要素的解析 表达式，进而讨论迭代格式的收敛性，由最终计算所得曲线，可以直观了解极限 环随参数的变化而产生、稳定性、分岔和消失的全过程。 最后，给出了若干平面二次多项式微分系统的实际算例，从运算结果来看， 该法能够较简便地给出满足任意精度的解答。 塞怠黛硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 第二章非线性系统研究综述 2 1 国内外对非线性系统的研究现状 近年来，非线性振动成为研究热点。以往，由于计算条件的限制，人们引入 各种假设理论，以线性理论来近似描述，从而简化系统方程。现在，随着计算机 技术日新月异的发展，计算能力得到了巨大的提高，人们对真实的非线性系统越 来越感兴趣，并展开了广泛的研究。陈予恕i 4 j 对近年来国内外在非线性振动、分 叉和混沌理论及其应用方面的主要成果和发展前景作了较为详细的综述i ”。 众所周知，在物理、力学、生物及经济等学科中所出现的大量数学模型的全 局分析中，确定平面系统的极限环的存在、个数及分布的研究是极其关键而又困 难的问题，这就是著名的d 。h i l b e r t 】6 问题【6 j ( 第二部分) 的主要议题，对于 方程 车a t = 只( ) ，掣a t = q ( w ) ( 其中p a x ，y ) 与q ( 矗y ) 是x 和y 的门次互质多项式) ，在相平面上至多有几 个极限环，其相对位置如何? 这个问题提出已经有1 0 0 年，引起了许多数学工作 者的关心，人们作了不懈的努力，但进展极为缓慢，甚至对二次系统( e ) 的 研究也是如此，而要彻底解决尚有不小距离。 从十八世纪末h p o i n c a r e 创立微分方程定性理论以来，世界范围内，包括 我国许多数学家已经在这一研究领域取得了大量成果。其中不少运用较高技巧及 精细估计而得出较好的有关极限环的存在性、唯一性、唯几性的定理，它们对于 二次微分系统的研究已经发挥了很大的作用。但也应看到，传统的定性方法在处 理不可积系统时常以微分不等式为基础，用放大或者缩小方程右端的手法来判别 其轨线的性质，这样所给出的定理的条件只是充分的，用于具体含参数方程而得 出极限环的存在性、唯一性等的参数区域往往与真实的区域相差甚远。 4 丛焘冀硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 在定性分析方面，已经证明，一维非线性动力系统稳态解的存在性主要判据 的p o i n c a r e b e n d i x s o n 1 1 环域定理，但是不能简单地推广到高维如二维系统。 目前高维非线性系统稳态解存在性判别主要依据环区定理。自从叶彦谦【7 “】的 极限环论( 1 9 8 4 ) 再版以来二十年中，国内外数学家对于多项式系统定性理 论的新贡献层出不穷，发表论文不下千篇，除了原来在这方面已有基础的中国和 原苏联外，在美国、西班牙、加拿大、英国、荷兰和巴西等国都出现了新兴的学 派，各有自己的特色。此外常微分方程方面著名的数学家r c o n t i 和w a c o p p e l 也对多项式系统定性理论方面做了很好的工作。但由于环区定理需要寻找正向的 不变环区，几何结构复杂，难以应用；稳态解的唯几性是很棘手的问题，目前仅 有一些特例；稳定性判别问题，常用的方法是l y a p u n o v 法，该法归结为l y a p u n o v 函数的构造，但无普遍有效的构造方法，只能针对具体系统个别处理。此外，利 用大范围分析和数值跟踪技巧，由计算机判定稳态解的稳定性，也是目前常用的 方法，但必须预先知道解的分布。 定量解法方面，弱非线性动力系统解法日臻完善。常用的方法是小参数法， 包括l - p 法、k b m 法和多重尺度法，其基本思想是将振动要素振型、频率和振幅 展开为小参数的幂级数。此外，还有平均法、谐波平衡法和频闪法。这些方法难 以求解强非线性问题，其主要局限一般可归纳为不合理的常频率假设。研究表明， 非线性动力系统的振动频率是很不均匀的，强非线性系统尤甚。近十几年来，强 非线性取得了一系列成果，其突破点一般最终都可导出振动频率的瞬变性。 关于高维系统，弱非线性问题研究得比较充分，但强非线性问题，目前只有 某些探索性工作 9 - 1 0 】。纵观十几年来的文献，可以看出主要进展仍然在= 次系统 方面，但在三次及高次系统方面也取得可喜的进展，如b e r l i n s k i i 定理的推广， 三次系统的焦点量与闭轨的相对位置、多项式系统的中心区域等等。上述新成果 的突破点可归结为或最终可导出频率瞬变性的引进。然而其基本思想仍然沿袭着 经典方法的模式。比如基于摄动原理的各种方法，仍然采用参数的幂级数展开， 即所谓三级数法的传统形式。而且由于瞬时频率的引进，使问题的推演和计算更 为冗繁，解耦和收敛性问题更为困难。这是研究高维动力问题比较系统的成果至 今尚少的主要原因。基础理论和方法研究的滞后制约着相关学科的发展。寻求理 i ! 。皇：叁羹硕士学位论文 平面二次多项式微分系统局期解的研究 论与方法上的新突破，是力学界面临的重要任务。 黄颓彪副教授长期从事非线性动力学研究，取得了一系列可喜的成绩。在定 性分析方面，利用功能原理给出了一维强非线性动力系统【l l j 及一类高维非线性 系统【1 2 _ ”1 稳态解的存在性、唯一性和稳定性判别法及其数学证明。定量计算方面， 先后提出了一维强非线性动力系统的推广l - p 法【1 1 】、频率近似法、频率展开 法【1 5 - 1 6 】和频率增量法【”】，以及高维非线性动力系统的多频摄动法1 1 8 j 。 皇皇然硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 2 2 平面二次非线性系统研究近况【1 9 】 对于2 1 中的方程，当疗= 2 ，即二次系统来说，微分系统可以写为 象叫m 象= 啪朋 关于上式系统的极限环研究，一个世纪以来，许多数学力学工作者不懈努力，或 者从奇点类型的讨论、定性分析方程( 互) 极限环的最大数目h ( 2 1 、分布及分岔， 或者利用计算机进行数值搜索，取得了一系列重要成果 z o - 2 7 l 。其中，史松龄曾 经通过“具体地作出四个p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域，每个里面至少存在一个极 限环”的办法做出二次系统出现至少四个极限环的例子，几乎与此同时，陈兰荪 和王明淑也独立提出有四个极限环的例子。至于极限环的解析表示，现有工作仅 限于一些特殊类型1 2 s - 3 3 】，而对于一般二次多项式系统，研究成果尚少。 2 2 1 分界线环与d u l a c 定理 上面提到的二次系统 鲁叫砒面a y = 这里将多次提到它的一些漂亮而有用的性质，而这些性质对研究二次系统的 极限环起到了很重要的作用。叶彦谦等【8 1 对此作了较详细的综合介绍，文献【3 4 】 中又证明了若干有用的性质。 要研究上述系统地极限环的个数，深入研究该系统的分界线环s 是很有必要 的。由于二次系统最多只有四个有限奇点，如果确有四个有限奇点，则至少有一 个是结点或焦点或中心。 因此，二次系统的有限分界线环上至多有三个奇点。以s ( 。) 表示其上含有i 个 奇点的分界线环( f _ 1 ，2 ，3 ) ，构成s ( ) 的轨线( 除奇点外) 称为s ( 。) 的边。3 c 3 5 在假定s ( ) 上只含初等鞍点的情况下，证明了下述重要定理1 1 1 3 和1 5 。 定理i is 必是凸闭曲线( 可能不是严格凸的) ，其内仅含有一个奇点，并 且是初等焦点或中心。 主皇纛爨硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 定理1 2s 3 ) 的三条边都是不变直线，s ( 3 ) 内部的唯一奇点是中心。 定理1 3s ( 2 ) 的一条边必是不变直线。 容易证明： 定理1 4 如果二次系统存在两个s ( ”，则它们必定有相邻的公共边，此 公共边就是经过两奇点的不变直线。 定理1 s 两个s ( 1 ) 不可能相邻成8 字形。 文 3 4 1 为了讨论各种各样的分界线环，取消了s 上的奇点必须是初等鞍点的 限制，但假定在s 内侧邻域可定义r e t u r nm a p ( 旋转映射，或称p o i n e a r e 旋转映 射) ，则上述定理1 1 1 5 仍成立。如果s 内侧可定义r e t l l r l lm a p 的限制也去掉， 3 4 经过仔细的讨论后，证得定理1 2 仍成立，而定理1 1 的后半部及定理1 3 不 成立。还可以证明，在这种情况下，定理1 4 仍成立。 定理1 6 如果二次系统存在两个s ( 2 ) ，且s ( 2 ) 上的直线段是它们的公共边， 则这两个s ( 2 ) 内的奇点都是中心。 显然，由定理1 4 可知，定理1 6 可改进为 定理1 6 如果二次系统存在两个s ( 甜，则这两个s ( 2 ) 内的奇点都是中心。 给定的n 次系统，其极限环是否只有有限个? 因为n 次系统只有有限个奇点。 因此，如果有无限个极限环的话，则只可能有下述四种情形：( i ) 至少在某一奇 点邻域内凝聚( a c c u l n u 1 a t e ) 了无限多个极限环；( i i ) 至少在某闭轨邻域内凝聚 了无限多个；( i i i ) 至少在某分界线环领域内凝集了无限多个；( i v ) 至少存在一 个趋于无穷远的点列，在每一点上经过一个不同的极限环。 由于n 次系统是解析系统，故( j ) 与( j j ) 不会发生。因此，只要证明( i i i ) 和( i v ) 不会发生，就证得对于给定的n 次系统，至多只有有限个极限环的结论。 d u l a c 在他长达1 4 0 页的著名论文 3 6 中，仔细研究了通过鞍点、半鞍结点或者 更复杂的高阶奇点的分界线环邻域内的后继函数的一般形式，引进半正则函数的 概念。“证明”了给定的n 次系统至多只有限个极限环。这就是人们通常所说的 “有限个”定理。 文 2 1 1 1 2 2 发表以后，人们对 3 6 1 进行了仔细的研究，对d u l a c 引进的半正 ! 。烹妻曼硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 则函数的零点性质提出了争议 3 7 j 。至少，对这个“有限个”定理需要进行清理。 【3 8 研究了二次系统各种可能出现有限分界线环和无限分界线环( 即那种能 够含有无穷远奇点，或既含有无穷远奇点又含一部分赤道的分界线环) ，证明了 全体二次系统所成的集合中，下述集合 ( i ) 含有非双曲奇点的系统； ( i i ) 分界线环上的奇点墨( 批1 ，七) 的特征根h o 0 充分小，则在两焦点 1 0 q p ! 。墨蕊妻硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 0 与r 外围可以同时存在极限环，( 2 ) 当0 m 一a 且满足f 述条件之一时，极 限环是集中分布的。这些条件是( i ) 0 m s 一1 一口；( i i ) 0 i d m ；( i i i ) 0 d 一m + 堕或里占 m 。( 3 ) 当d m 0 ，奇点r 外围不存在极限环，故极限环也是集中分布的。 3 9 研究了参数平面( a ，m ) 上定理3 1 ( 2 ) 中遗留下的三角形区域 d 皇 ( 口，卅) l0 m - a l 3 9 在d 中找到一支曲线 f ( q 棚) = m + 2 a l i m - 2 a 2 一日= 。， 此曲线将d 划分成d l 和d 2 两个子域，其中 b = 扣，m ) l f ( a ，m ) o n d ， d 2 = d d l 定理2 2 当0 艿 m ，( 口，m ) d 2 时，( i i ) 1 0 的极限环必集中分布a 采用 3 4 的定理1 1 3 的推论方法，研究定理3 1 ( 2 ) 的( i i i ) 中未曾研 究过的区间詈+ 等d i i n ，“补足了定理3 1 ( 2 ) 中遗留的问题，“证明”了 zz az ( i i ) f _ 0 的极限环必集中分布。事实上当z = o ，0 m 一口，0 占 m 2 时， 4 0 的( 8 ) 所对应的( 7 ) 式的( i ) 和( i i ) 都不成立，无法引用已建立的条件 ( 7 ) 。 到目前为止，当0 0 ) ， ( 1 ) l ( i + m 8 1 o 时，在全平面不存在闭轨和奇闭轨；( 2 ) j = 0 m 2 时， 在全平面不存在闭轨和奇闭轨；( 3 ) 占o ，聊2 时，不存在围绕0 的闭轨和奇闭 轨；( 4 ) 8 ，( m 十2 ) 时，不存在围绕另一焦点r 的闭轨和奇闭轨。 证 取b ( 工，y ) = ( 1 一删) 2e x p ( o t x 2 + f l y 2 + ，z + s y ) ，即可证明( 1 ) 、( 2 ) 、 ( 3 ) ，其中七，球，屈y ，占是一些适当的常数。做坐标平移，由( 3 ) 可得( 4 ) 。 关于( i i ) 。的极限环的存在性，研究0 和r 的焦点量，容易改进 2 的定 理1 4 9 ( i i i ) 和( i v ) 、( v ) 如下： ( i i i ) 当聊2 ，0 j l 时，在原点外围至少存在一个极限环； ( i v ) 当0 8 - i ( m + 2 1 1 时，在r 外围至少存在一个极限环。 4 1 研究在什么条件下，轨线会不断绕原点打转，对于( i i ) 。，得到了 下述较好的结果： 定理2 5 对于( i i ) ( 不妨认为口= 1 ) ，设，2 + 4 m o ，l + m 0 ，则( 1 1 ) 。：( 1 ) 围绕0 存在( 唯一) 极限环的充要条件是0 8 l - l l m ；( 2 ) 围绕另 一奇点存在( 唯) 极限环的充要条件是2 + m 0 ) ，当万o 或占二时，该系统不存在极限环：当占f o ，万1 时， 存在唯一极限环。此结果可以改进为： 定理2 6 对于( i i ) ：o ( a o ， o ) ，当j o 或万时，该系统不 存在极限环；当占 。，去 时，该系统至多存在一个极限环。 怂轰萎硕士学雠文平面二次多项式微分系统周期解的研究 2 3 高维复杂系统的非线性动力学问题 目前，非线性动力学已从以经典的摄动和渐近分析方法为基础对低维、弱非 线性、弱耦合进行研究的阶段，进入到用近代的动力系统方法对高维、复杂系统 开展深入研究的阶段【4 3 】。 根据上面所提及的对非线性的国内外研究现状和发展趋势，下面从五个方面 展望非线性动力学在本世纪的动向，探讨一下在理论和应用研究中面临的一些新 的重大问题。 2 3 1 高维非线性系统的组合振动和全局分析 二十多年来，对单自由度简单振动和低维映射系统的非线性动力学的研究己 取得一系列重要成果，研究的中心问题是分岔和混沌。人们通过对一些典型的非 线性范例( 例如l o r e n z 奇怪吸引子、h e n o n 奇怪吸引子、f e i g e n b a u m 普适分岔 序列、k a m 环面和a r n o l d 扩散等) 的深入分析，发现了极其丰富的非线性现象， 提出和发展了多种研究分岔和混沌的理论和方法，如奇异理论、 p o i n e a r e b i r k h o f f 范式、 l e i n i k o v 法和s h i n i k o v 法、s m a l e 马蹄理论k a m 定 理等，数值计算方法和模拟手段有了很大的提高，这些突破性的成就为2 1 世纪 的非线性动力学蓬勃发展奠定了雄厚的基础，并对其它学科和工程技术领域产生 了十分深刻的影响。 多自由度非线性振动系统的响应，除了在单自由度系统中熟知的现象( 如多 解、跳跃、极限环、亚谐共振和超谐共振、静态和动态分岔、准周期运动和混沌 运动等) 之外，还有组合共振和模态相互作用等，对单自由度系统来说，组合共 振只能在多频情形下出现。但是多自由度系统可以存在内共振和自参数共振，使 得在单频激励下也可以发生组合共振。内共振( 或自参数共振) 发生在其线性化 系统的固有频率可以通约或接近通约的情况，其类型依赖予非线性项的阶数。在 没有内共振时，系统的定常响应只含外部直接激振模态。但是内共振会产生于非 线性项有关的间接激振模态，并导致多模态相互作用，从而产生许多有趣的、异 常的、有时甚至危险的现象。例如在内共振情形经常观察到的饱和、跳跃、锁相、 烹墨焘墨硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 周期调制、混沌调制等复杂现象。又如振动能量可以在不同模态之间转移，特别 是当某些旋转机械置于弹性结构上面( 如飞机发动机、汽轮发电机等) ，如果某 些子结构存在内共振，那么高频激励可能引起弹性结构的低频大幅度共振，甚至 造成重大事故。在多自由度系统的组合振动和激励相互动力学研究方面，虽然已 经取得了一些重要成果，但由于高维动力学研究的复杂性，它们仍局限于具体模 型研究，对组合振动的一般机理和规律仍有待进一步揭示，为此需要建立和完善 高维系统的降维方法、内共振情况下的奇异性和范式理论、高余维和对称性破缺 的情况下的分岔理论。 非线性振动系统的全局动力学分析通常包括：准周期运动( 换面运动) 和混 沌运动的存在性、产生机理、稳定性和有关判据，全局分岔( 例如同、异宿轨线 破裂引起的分岔、环面破裂引起的分岔、对称性破缺获增加引起的分岔等) ，吸 引子的共存、激变和湮灭，奇怪吸引子和吸引与边界的分形结构和不确定性等。 目前成功地用于全局动力学分析的理论方法尚不多，主要是符号动力学系统、 s m a l e 马蹄变换、以及两种著名的解析方法m e l n i k o v 方法和s h i l n i k o v 方法， 它们在高维系统研究中都遇到了很大的困难。数值计算一直是全局动力学分析的 重要手段，人们十分关心同、异宿轨线以及奇怪吸引子和吸引域边界的计算问题。 此外，数值模拟发现了许多新的非线性动力学现象，例如瞬时混沌、混沌激变、 奇怪非混沌吸引子、超肥混沌吸引子和无吸引性的混沌不变集等，至今尚未得到 明确的理论依据。因为现有的分岔分析方法和摄动方法主要用于局部动力学分 析，所以如何将动力系统理论与数值模拟有机地联系在一起，建立高维系统全局 分析的有效方法也是一个重要的问题。 模态理论和分析方法在高维非线性振动系统的动力学分析中占有十分重要 的地位并有广泛的应用，但是在多自由度或连续介质的非线性系统没有现行模态 分析那样的有效方法。尽管非线性模态可分为相似的和非相似的两大类。根据状 态向量和不变流形的思想，可以将非线性自治系统的模态视为在系统状态空问中 某些不变子流形上的运动，该子流形通过系统的平衡点，并在该点处与相应的线 性化系统的线性特征子空间相切。模态运动可以用较低维的微分方程描述，因此 有助于简化动力学分析。非线性与现行模态分析之间存在根本的区别。首先，非 线性系统的模态运动方程本身是非线性的，而且非线性模态数目可以超过系统的 烹急妻童硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 自由度数，因此会存在非线性模态的多重性、分岔和混沌现象。其次，由于非线 性模态只有解耦性，没有叠加性，模态之间通常没有正交关系，因此对非线性模 态解的渐进性和合成有效性需做深入探讨。最后，目前尚无适用于工程实际的非 线性模态计算方法，在有内共振的情形更是如此。因此，深入探讨非线性模态理 论的一些基本问题具有重要的理论意义和实用价值。 2 3 2 斑图动力学和时空混沌 通常的分彷和混沌研究是针对有限维系统的时间演变行为( 即时间动力学) 的。连续介质系统是无穷维动力系统，其中同时存在时间演变和空间分布的行为 ( 即时空动力学) 。显然，时空动力学行为比单纯的时间或空间行为更具有复杂 性。 斑图就是系统的时空结构：从空间构型来说，可以有在空间中分布的波形结 构、旋涡、分形( 自相似) 结构、拟序机构和无序结构( 空间混沌等；从时间演 化方式来说，可以有平衡态、周期运动、准周期运动和混沌等) 。描述斑图的状 态变量应当是时间和空间的函数。系统的空间构形和时间演化方式的不同组合及 相互作用，就会产生各种时空斑图。斑图动力学就是研究各种斑图的形成獭化 过程。时空混沌是指复杂斑图随时间以混沌方式演化，其空间构形无规则，且终 态斑图对初始构形有敏感依赖性。 斑图动力学涉及的时空系统是无穷维的，直接进行研究十分困难，通常要做 适当的简化。例如通过空间变量和时间变量离散化，可以建立耦合映射格子模型； 如果再将状态变量离散化，还可建立元胞自动机和格子气模型。这些简化模型计 算比较便利，有些还可以进行解析研究，能够反映一些斑图演化规律，但是由于 采取了离散化技巧，其行为可能与真实系统有很大差距。上个世纪八十年代后期 提出了惯性流形和近似惯性流形的概念，从数学理论上证明了一些耗散性无穷微 动力系统的长时间渐近行为可以用有限维动力系统的渐近行为去表示，即将偏微 分方程的渐近行为用常微分描述，这种降维约化方法能够大大简化问题的处理。 但是要从理论上讨论惯性流形或近似惯性流形的存在性有很大的难度。目前用来 识别时空混沌的数值办法主要是识别时间混沌方法的延伸，因此为了充分反映时 空混沌的复杂性本质，建立其数值特征和识别方法是十分必要的。 塞烹意量硕士学位论文 平面二次多项式微分系统周期解的研究 时空复杂行为在自然界和工程技术中有广泛深刻的背景。湍流是自然界中复 杂现象的集中体现。一个多世纪以来，人们一直在千姿百态、神秘莫测的揣流的 道路上从事艰苦而漫长的探索。多条通向湍流的道的发现、湍流与奇怪吸引子或 孤立子之间的关系、湍流中不同尺度漩涡运动所反映的分维拟序结构等，这一切 都表明湍流是极复杂和不稳定的斑图。揭示湍流的机制、建立合理的湍流的模型 和提出完善的描述方法，依然是当前斑图动力学研究的核心课题。许多物理、化 学、生物系统都用激发介质描述。由于激发介质动力学过程中激励性和扩散性的 相互作用导致波的传播，会产生各式各样的斑图，例如行波、靶环波、平面螺旋 波和三维涡卷波等。激发介质由无穷维的反应一扩散系统描述，其研究与化学、 生命系统中的节律性行为和波的传播现象密切相关。近二十年来，人们提出了一 些著名的数学模型，从实验、数值和理论等方面研究激发介质的斑图动力学问题。 但是总的来说，当前许多关键问题，尤其是三维波动问题有待深入探讨，理论分 析落后的情况仍很严重。激发介质的斑图动力分析同样是引人注目的课题。 2 3 3 非线性时变或时滞系统动力学与控制 在力学、控制和工程的大量问题中都会遇到有时变参数的非定常系统。以往 研究较多的时变参数振动系统主要有两类：一类是参数随时间作简谐变化的系 统，另一类是参数随时间缓慢变化的系统，但对一般的时变参数情形研究较少。 研究表明，参数的时变规律对于系统的动力学行为有很大影响。例如，当参数随 时间变化经过定常分岔值时，定常分岔图一般不再保持，稳定性交换推迟，产生 分岔转迁滞后或跃迁现象、记忆效应、双稳现象、动态滞后环、脉冲振动等，振 动过程对初值和参数变化规律有明显敏感性。鉴于时变分岔问题通常具有较强的 非线性和奇异性，理论研究采用平均法、多尺度法、渐近展开法等奇异摄动技巧， 有时还配合一些定性分析，只能处理比较简单的力学模型的周期响应问题，至于 比较复杂的时变系统的动力学研究只能依靠数值模拟了。各种非稳态的参数时变 规律对于分岔、模态、吸引子和吸引域、安全盆等的影响及其机理尚待深入研究。 许多力学系统存在滞后现象，即系统的演化趋势不仅依赖于当前的状态，还 依赖于过去某一时刻或若干时刻的状态。这类系统通常可用泛函数分方程或差分 方程描述。人们不仅要在机械、建筑结构、电路、生物学等领域中研究时滞现象， q 主怠：曼曼硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 而且运用时滞反馈方式去实施控制。研究表明，时滞对系统的动力学行为有很大 影响，即使很小的时滞量，也会导致系统失稳或出现分岔。时滞动力系统的解空 间是无限维的，理论分析很困难。目前研究思路基本上是与常微分方程相仿。研 究稳定性的主要方法有特征值法和l y a p u n o v 泛函法；研究分岔的主要方法有中 心流形与范式方法、l y a p u n o s c h m i d t 约化方法、摄动法和频域法；时间历程、 功率谱、p o i n c a r e 载面、l y a p u n o v 指数、分维等仍是描述非线性时滞系统混沌 的重要工具。现在还缺乏专门针对非线性时滞系统特点的有效研究方法，因此对 其动力学本质的了解不够深入。例如当前有关时滞系统稳定性研究很多，但大多 数是对线性、单自由度、参数确定等情形进行的，而对多自由度、参数待定等情 形的稳定性判别法很少。又如，对非线性时滞系统的分岔分析主要是h o p f 分岔， 而对其它分岔则很少涉及；混沌研究大都采用数值方法，对其机理和判据的理论 结果极少。此外，多时滞情形，有时滞的分布参数系统以及有时滞的随机系统的 研究就更少了，这些都是值得深讨的课题。 众所周知，当系统进入混沌状态后，原来的稳定周期运动失稳；但混沌吸引 子存在复杂的运动形式，特别地，其中镶嵌着无数条不稳定的周期轨道。人们十 分关心如何控制混沌运动问题，其中包括混沌状态的消除、不稳定周期运动的镇 定或将混沌运动转化为指定的周期运动等。目前控制混沌研究相当活跃，相继出 现了o g y 法、自适应控制法、参数周期扰动法、延时反馈控制法、开环控制法等 大量方法。这此方法的原理各异，分别有自身的优缺点和适用范围，通常要靠数 值仿真去实现，对受控系统的可镇定、可控制等的研究不多。此外，混沌同步也 是一个有趣的课题。混沌系统的控制和同步问题涉及的是非线性时变系统和时滞 系统，因此从理论上深入认识时变或时滞因素对受控系统的影响，对于发展高效 简便的控制方法是完全必要的。对高维或非光滑混沌系统的控制、以及时空混沌 控制问题也值得重视。 2 3 4 非线性随机振动系统力学 随机振动主要研究动力学系统在非确定性激励( 包括外部激励和参数激励) 作用下的相应特征。在建模过程中，各种非确定因素由随即变量或随即处理过程 表示，系统的动力学特性可用概率密度函数或统计特征量描述。 烹皇纛堂硕士学位论文平面二次多项式微分系统周期解的研究 随机振动系统研究是在上个世纪五十年代初根据航空航天工程的需要而发 展起来的，早期分析方法是从通讯和控制理论移植过来的，频域法成为线性随机 振动分析的主要手段。六十年代初非线性随机振动开始受到重视，扩散过程方法 和随机微分方程方法相继引入随机振动分析。如今随机振动理论和方法已得到很 大的发展，广泛应用于航空、航天、运输、能源、建筑等工程领域，成为可靠性 设计的重要基础。 现在，在确定常参数线性系统的随机响应的频域法和时域法已经比较成熟。 对于非线性或参数随机系统，扩散过程方法至今还是唯一可用来求精确解的方 法。它归结为求解相应的f p k 方程的问题。但是，只有对一些特殊的一阶非线性 系统才能得到f p k 方程的精确解，对高阶稳态f p k 方程在某些特殊的限制条件下 也有精确解，此外还有一些关于f p k 方程的近似解法和数值解法。鉴于非线性随 机系统和参激随机系统求精确解遇到的严重困难，人们发展了一些近似方法，其 中最具代表性的是等效线性化法、统计线性化法、等效非线性系统法、随机平均 法、矩法、泛级数法等。在处理多自由度非线性系统的随机响应和可靠性问题时， 等效线化仍是最为简单可行的方法。 非线性随机振动系统的另一个重要问题是稳定性。目前有关随机稳定性的定 义很多，其中比较常用的是矩稳定性、平均稳定性、随机l y a p u n o v 稳定性和几 乎必然稳定性等。但是在实际应用中，不同的随机稳定性有时会得到不同的结论、 其合理性需要商榷。随机分岔是指由参数的随机扰动引起系统的定性性质的变 化，这是不同于确定性分岔和通常的混沌运动的一种复杂的非线性现象。目前随 机分岔研究仍存在不同的思路，主要研究的是随机稳定性随扰度强度所发生的变 化。l a r n o l d 在随机动力系统研究的基础上，认为非线性随机系统的稳定性由 最大的l y a p u n o v 指数决定，并将最大l y a p u n o v 指数为零作为随机分岔的标志。 因此计算最大的l y a p u n o v 指数成为随机分岔研究的一个最主要的内容。现有的 计算方法较多地局限于k h a s m i n s k i i 方法，它已成功地用于二维系统，但是对于 高维系统仍有很多困难。当扰动强度较小时，还可用随机平均法和奇异摄动法计 算l y a p u n o v 指数。至今随机分岔解的计算仅局限于在几