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硕士论文刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 摘要 多次弹塑性撞击问题，涉及材料的动态力学性能、弹塑性应力波传播以及结构 的塑性动力响应，成为近年来的研究热点之一。结构撞击与局部接触密切相关，不 同的接触模型，会对结构弹塑性动力学响应产生影响。本文采用三种不同的局部接 触模型：j o h n s o n 钝压入模型( b i 模型) 、单轴压缩模型( u c 模型) 以及弹塑性剪 切变形模型( e p s 模型) ，研究了圆柱头刚性质量块与简支梁的多次弹塑性撞击问 题。利用有限差分法，得到了简支梁多次撞击过程的弹塑性结构动力响应，比较了 不同接触模型对理想弹塑性简支梁动力学行为的影响。 本文的工作主要包括： ( 1 ) 在e u l e r - b e m o u l l i 梁理论基础上，考虑梁的转动惯性效应，建立了刚性质量 块横向撞击简支梁的动力学控制方程，利用有限差分法的原理，引入时间差 分技术求解简支梁的弹塑性动力响应。 ( 2 ) 分别采用b i 、u c 以及e p s 三种局部接触模型，建立了在多次弹塑性撞击条 件下，接触力一压下量之间的关系；在此基础上，研究刚体与简支梁多次弹 塑性撞击过程中，撞击过程和分离过程的动力学响应，并给出合理的的撞击 一分离切换条件，能够有效的衔接多次撞击过程中的撞击过程和分离过程， 实现了对弹塑性多次撞击过程的分析。 ( 3 )采用v c + + 计算程序包对多次弹塑性撞击过程进行仿真，得到了多次弹塑性 撞击过程中接触力、弯矩、应力以及能量等随时间的变化曲线。研究表明， b i 、u c 及e p s 三种不同的多次弹塑性撞击局部接触模型对接触力变化影响 较大，主要体现在首次撞击和两次撞击密集区域接触力的峰值大小不同；对 于弯矩以及应力的影响相对微弱，主要差别集中在首次撞击过程，第二次密 集撞击区域也有些许差异；能量分配的差异不明显，局部能量耗散占总输入 能比例较小，对撞击过程能量分配影响不大，这也验证了结构塑性动力学在 研究能量耗散时忽略局部接触变形的合理性。 关键字：局部接触模型，多次弹塑性撞击，动力响应，有限差分法 a b s 仃a c t硕士论文 a b s t r a c t m u l t i p l ee l a s t o p l a s t i ci m p a c t sp h e n o m e n o n ，c o n c e r n i n gt h ed y n a m i cm e c h a n i c a l p r o p e r t i e so fm a t e r i a l s ，e l a s t o p l a s t i cs t r e s sw a v ep r o p a g a t i o na n dp l a s t i cd y n a m i c r e s p o n s eo fs t r u c t u r e s ，h a sb e e nf o c u s e db ym a n yr e s e a r c h e r sr e c e n t l y d y n a m i c r e s p o n s e so fs t r u c t u r e sa n dl o c a lc o n t a c ta r ec l o s e l yr e l a t e di ni m p a c tp r o b l e m s ，a n d d i f f e r e n tl o c a lc o n t a c tm o d e l sm i g h th a v ed i f f e r e n te f f e c t so nt h ee l a s t o p l a s t i cd y n a m i c r e s p o n s e so fs t r u c t u r e s t h ep a p e ra i m st om a k eas t u d yo fs i m p l es u p p o r t e db e a ms t r u c k b yr o u n d n o s er i g i dm a s s ，u s i n gt h r e ed i f f e r e n tl o c a lc o n t a c tm o d e l s ：j o h n s o n sb l u n t i n d e n t a t i o nm o d e lf b i m o d e l ) ，u n i a x i a lc o m p r e s s i o nm o d e l ( u cm o d e l ) a n d e l a s t o p l a s t i cs h e a rd e f o r m a t i o nm o d e l ( e p sm o d e l ) t h ee l a s t o p l a s t i cd y n a m i cr e s p o n s e s o fs t r u c t u r e sa r eo b t a i n e db yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) ，a n dd i f f e r e n tr e s p o n s e so f t h es i m p l es u p p o r t e db e a ma r ec o m p a r e d t h em a i nw o r ko ft h ep a p e ri ss h o w na sf o l l o w i n g s ： ( 1 ) c o n s i d e r i n gt h er o t a t i n gi n e r t i ao nt h eb a s i so ft h ee u l e r - b e m o u l l ib e a mt h e o r y , t h e b a s i cd y n a m i ce q u a t i o n so fe l a s t o p l a s t i c s i m p l es u p p o r t e db e a ms u b je c t e dt o t r a n s v e r s e i m p u l s i v el o a d i n g a r ee s t a b l i s h e da n ds o l v e d b yf d mt h r o u g h i n t r o d u c t i o no ft i m ed i f f e r e n c em e t h o d ( 2 ) t h r e ed i f f e r e n tl o c a lc o n t a c tm o d e l s r e l a t i o n s h i p sb e t w e e ni n d e n t a t i o na n dc o n t a c t f o r c eo nm u l t i p l ee l a s t o p l a s t i ci m p a c t sa r ee s t a b l i s h e d t h e nd y n a m i cr e s p o n s e so f b e a ma r es t u d i e di nt h ei m p a c t s e p a r a t i o np r o c e s s e s ，a n dr e a s o n a b l es w i t c h i n g c o n d i t i o n so f i m p a c t s e p a r a t i o na r eg i v e nt oa n a l y z em u l t i p l ee l a s t o p l a s t i ci m p a c t s ( 3 ) p r o c e s s e so fm u l t i p l ee l a s t o p l a s t i ci m p a c t sa r es i m u l a t e db yv c + + p r o g r a m ，a n dt h e t i m eh i s t o r yp l o t so fc o n t a c tf o r c e ，b e n d i n gm o m e n t ，s t r e s sa n de n e r g yd i s s p a t i o na r e g i v e n t h er e s e a r c hi n d i c a t e st h a tl o c a lc o n t a c tm o d e l sh a v ear e l a t i v e l yg r e a te f f e c t o nc o n t a c tf o r c e ，a n dt h ed o m i n a n td i f f e r e n c e sr e f l e c to nt h ep e a kf o r c ei nt h ef i r s t i m p a c ta n dt h et w oi m p a c tc l u s t e r s b yc o n t r a s t ，t h el o c a lc o n t a c tm o d e l sh a v ea r e l a t i v e l yw e a k e re f f e c to nb e n d i n gm o m e n ta n ds t r e s s ，a sc a l lb er e f l e c t e di nt h o s e t w os t a g e s t h e r ea l s oi sl i t t l ed i f f e r e n c ei ne n e r g yd i s t r i b u t i o n a c c o u n t i n gf o ral o w p r o p o r t i o no ft h et o t a li n p u te n e r g y , l o c a ld i s s i p a t e de n e r g ye x e r t sl i t t l ee f f e c to n e n e r g yd i s t r i b u t i o n t h ec o n c l u s i o nv a l i d a t e st h er a t i o n a l i t yo fs t r u c u t r a lp l a s t i c d y n a m i c sn e g l e c t i n gl o c a ld e f o r m a t i o ni ns t u d yo ft h ee n e r g yd i s s p a t i o n k e yw o r d s ：l o c a lc o n t a c tm o d e l ，m u l t i p l ee l a s t o p l a s t i ci m p a c t s ，d y n a m i cr e s p o n s e ， f d m t l 声明尸i ! j 了 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 妒埸年6 月j ia 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理： 研究生签名：妒勺年侈月j ，。日 硕士论文刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 1 绪论 1 1 工程背景和意义 结构在强动载荷作用下发生的碰撞，通常会引发结构的塑性变形甚至破坏。这类 问题在工程应用中相当广泛，尤其在航空航天、交通运输、核电站、地震、爆破等诸 多领域应用性极强。例如，哥伦比亚航天飞机受到脱落泡沫撞击、空间碎片对航天器 高速碰撞【1 1 、飞鸟撞击行进中的飞机机翼【2 1 、船舶与海洋平台碰撞 3 1 、核电及化工厂 的管网撞击【4 】、“管鞭打 现象【5 】、汽车对护栏的撞击【6 】以及爆炸生成的高速飞行弹体 碎片对目标物的侵彻毁伤【7 8 】等，都是典型的塑性撞击现象。塑性撞击会引起结构塑 性变形和破坏，导致机器停止工作，甚至由于撞击破坏的突然性酿成灾难性事故。对 塑性撞击现象的研究对结构保护，延长结构使用寿命，提高机器工作可靠性，保障相 关人员生命安全，都具有重要的意义。 工程实际中的很多复杂结构均可以简化为刚性质量块撞击梁模型，诸如上述介绍 的各种撞击现象一样，其大多数都能按照此思路进行简化。对于质量块与梁撞击模型 动力学响应的研究，前人已经做了不少工作，在刚塑性假设下，l e e 和s y m o n d s e 9 1 分 析了一根两端自由的直梁在中点受到三角形脉冲作用时的刚塑性动力响应，他们不仅 揭示了不同范围的外载可以导致不同的相应模式，而且创造性地引入“移行铰的概 念；p a r k e s ( 1 0 】研究了一根悬臂梁在端部受到一个质量为g 、初速度为v o 的刚性快撞 击后的动力响应问题，得到了结构在撞击作用下的刚塑性动力响应的某些基本特征； 在p a r k e s 理论解的基础上，s y m o n d s 1 1 j 又得到了质量块撞击简支梁的完全解；为了验 证刚塑性分析的合理性，席丰【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 1 以及余同希【1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 1 等人在质量块撞击梁问题 的弹塑性分析中做了大量的工作，得到了在弹塑性假设下的梁的动力响应模式( 其中 包括简支梁、自由梁以及悬臂梁等) 。虽然弹塑性撞击理论的发展弥补了刚塑性假设 的不足，但是在梁的弹塑性理论分析中，对于在强动载荷作用下，在极短时间内梁的 结构动力响应尤其是其间发生的多次微撞击现象的研究还不完善；同时在梁撞击时， 撞击物与梁之间必然存在着接触，而在此前的研究中均不考虑实际的接触过程，学者 对这方面的研究很少，尤其在多次撞击情况下的局部接触模型更是缺乏研究，许多问 题亟待解决。 1 2 梁结构撞击问题的研究现状及进展 1 2 1 工程应用中的梁模型 工程应用中的梁模型主要有：e u l e r b e r n o u l l i 梁、r a y l e i g h 梁、s h e a r 梁、t i m o s h e n k o 1 第一章绪论 硕士论文 梁等。这些模型建立在梁截面变形事先假定的基础之上，使得梁的波动可以用简单的 近似理论来描述。其中e u l e r - b e m o u u i 梁模型和t i m o s h e n k o 梁模型应用较多【2 0 1 。 ( 1 ) e u l e r b e m o u l l i 梁模型 假定主要的位移分量平行于对称面，同时还假定挠度是很小，横截面保持为平面 且和中性轴垂直，但不考虑剪切变形。梁的振动和波分析通常采用e u l e r - b e m o u l l i 模型。小挠度细梁采用该模型能够得到合理的使用结果。 ( 2 ) t i m o s h e n k o 梁模型 考虑剪切变形和转动惯量，仍假定截面平面保持为平面，但不再假定平面截面保 持与中性轴垂直。这样对全面了解梁的结构动力响应及波的传播是不无裨益的，对于 短波可以产生更为满意的结果。 1 2 2 梁横向撞击研究的历史与进展 梁受到撞击物的横向撞击是一个比较普遍的工程现象，其研究成果比较丰富。下 面以年代为序简单介绍对该问题的研究历程【2 。1 9 5 5 年，c o n r o y m f f 2 2 】讨论了半无 限长梁在自由端承受横向撞击的塑性变形问题，由于假设撞击载荷的脉冲形式，实际 上是一个受已知载荷作用求解动力响应问题。1 9 5 7 年，b a m h a r t ，k e j r 2 3 1 对梁在横 向撞击作用阶段的应力进行了分析，指出横向撞击接触阶段，梁中的应力是由于应力 波在梁中的传播，相互作用产生的。1 9 6 0 年，m e v e a n d b 【2 4 】对有限长悬臂梁受横向 撞击问题进行了分析和研究，与c o r t r o y m f 类似，他也假设了载荷的脉冲形式，实 际上仍旧是一个已知载荷求解动力响应问题。1 9 6 3 年，s c h u l t z a b 【2 5 l 研究了梁在冲 击载荷作用下的非线性响应，他是以弹塑性悬臂梁受已知的半正弦波脉冲形成的冲击 载荷作用来进行研究的。1 9 6 7 年，k e l l y t m 1 2 6 j 采用l a p l a c e 积分变换方法分析了物体 与无限长弹性梁发生撞击接触时物体的速度减小过程的变化情况。f u c c 【2 。7 】采用 f o u r i e r 变换方法获得了关于无限长梁在已知载荷脉冲的撞击载荷作用下的封闭解答。 1 9 6 9 年，b a n e r j e e b b 【28 】采用数值计算方法，根据梁的基本动力学方程和h e r t z 接触 应力理论，求解了弹性球体与梁的横向撞击接触问题。1 9 7 0 年，d a s r n t 2 9 】对简支梁 受到横向撞击接触作用下的撞击过程进行了一些研究，对于撞击接触过程，他认为可 以分为三个阶段考虑，第一，第三阶段( 即开始和结束阶段) 应满足h e a z 接触应力 理论要求，第二阶段( 中间阶段) 则可近似假设接触面的相对位移与接触力是满足线 性关系的。1 9 7 1 年，r a n g a n a t h s 【3 0 】对于无限长梁在受半无限长杆横向撞击后的动力 响应进行了研究，用h e r t z 接触理论来建立冲击力与相对挤压位移的关系，求解时采 用了l a p l a c e 积分变换方法。1 9 7 2 年，r a r g a n a t h s 和c l i f t o n r i j 对于无限长弹塑性 梁受半无限长弹性梁的横向撞击作用问题进行了研究，考虑了梁受冲击时的塑性变形 问题，应用h e r t z 接触应力理论，采用了数值方法求解了该问题。1 9 7 4 年，p a l d a s m 【3 2 】 硕士论文刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 用光弹性法测定了受横向撞击作用下的简支梁的位移，应力，实验结果与对精确理论 采用数值求解获得结果符合较好。1 9 7 5 年，b a n e r j e e b b ，d a s r n 和s o h o o m c 3 3 研究了多跨度梁在受到横向撞击作用下的动力响应问题，应用了h e n z 接触应力理论， 采用数值解法得到了该问题的解答。1 9 8 1 年，张文【3 4 j 提出了关于处理结构受撞击接 触作用问题的一种近似方法，即所谓线化法，通过采用精确理论，用数值法求解的结 果进行比较，可以看出，这种近似计算方法具有较高的精度，是比较可行的。1 9 8 2 年，d eo l i v e e r a j g 【3 5 】用数值方法求解了理想弹塑性物体与梁横向撞击接触的动力响 应，在研究中他假设接触点的局部变形忽略不计，并应用了h e r t z 接触应力理论。近 年来，席丰、杨嘉陵、刘锋【1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 】等人研究了简支梁等其他相关类型的构件受横向 撞击的响应模式，通过对响应早期梁中弯矩的分布与变化规律的细致分析，清晰地阐 明了响应过程中弹性弯曲波的传播特征以及与塑性波的相互作用，从而增进了对于梁 的变形机理与响应模式的认识和理解。此外，文献 3 6 , 3 7 , 3 8 , 3 9 , 4 0 4 1 1 是最近几年国内对于 梁撞击问题的研究现状，这些研究成果并没有能真正解决梁的横向冲击问题，尤其在 对梁的塑性动力响应分析方面，较为欠缺。 1 3 多次弹塑性撞击现象的研究 塑性撞击现象是一个复杂的物理现象，不仅涉及材料的动态力学性能，弹塑性撞 击变形波【4 2 】的复杂传播方式，以及结构的动力响应等一系列相互交错作用的力学行为 【1 6 1 ，而且可能会出现多次弹塑性撞击现象。因此，对塑性撞击现象研究十分困难。 对结构撞击过程可能发生的多次弹塑性撞击现象，目前尚无严格的定义，一般称 为“多次撞击”( m u l t i p l ei m p a c t s ，或m u l t i p l ec o l l i s i o n s ) 现象。这个名词，最早出现 在g o l d s m i t h 的著作中【4 3 1 ，而m a s o n l 4 4 j 观察柔性梁的撞击试验后预测，肉眼观测到的 一个撞击过程很可能是由一系列快速而短暂的弹性微撞击过程组成，首次对结构的多 次撞击现象进行了描述。六十年后，s t o i a n o v i c i 和h u r m u z l u 4 5 j 的高速光电记录系统 实验证实：在斜柔性杆坠地过程中，最多发生了时间间隔为微秒量级的1 9 次弹性微 撞击过程，验证了m a s o n 的预测。y i g i t l 4 6 j 等在研究旋转梁撞击实验时，发现偶而有 多次撞击被清楚地记录下来。在理论研究方面，几乎同时，w a n g 和k i m 47 j 利用瞬态 格林函数仿真了梁一杆撞击变形引发的多次弹性微撞击过程。尹晓春等提出的瞬态波 法【4 8 1 ，可用很小的时间步长，精确计算双层圆筒间的多次接触力响应 4 8 , 4 9 】，悬臂梁与 杆之间的重复撞击力响应和系统的长期动力学响应【5 0 】以及柔性杆之间的多次撞击力 响应和结构瞬态相应【5 1 1 。 近年来，m e o 等【5 2 】利用金属球撞击夹层板实验作模拟了不明飞行物对飞机结构 的撞击损伤，测量压入深度和损伤面积，利用l s d y n a 3 d 有限元计算撞击力、能量， 偶然发现了多次撞击过程，但没有深入研究。a h r n e d 等【5 3 】研究了单质点和双质点撞 第一章绪论 硕士论文 击自由梁的问题，为研究多次撞击提供了理论基础。z h o u 和s t r o n g e “】研究了超轻夹 心面板受冰雹等低速撞击的问题，利用模态叠加法和有限元法，得到了撞击力与时间 变化的波形图，比较清楚地表明在撞击的过程中发生了多次弹塑性撞击。根据子弹横 向冲击悬臂梁实验，唐志平【55 】推测在撞击过程中接连发生了两次子弹塑性撞击悬臂梁 的现象。s p a s h a h 5 6 采用有限元方法研究球撞击自由梁时，数值模拟出撞击过程中发 生了两次或多次塑性撞击事件。r u a n 和y u ，7 】在采用理想刚塑性模型研究梁与梁的撞 击过程中，偶然发现了时间间隔约为5 毫秒的6 次塑性微撞击。 从以上对多次弹塑性多次撞击现象的研究可以发现，人们肉眼看到的一次撞击过 程，可能是由若干间隔时间很短的快速的“微冲量”次撞击过程组成 4 5 , 5 0 】。撞击产生 的具有不同传播速度的瞬态弹性波和瞬态塑性波的传播传播行为，对微次撞击过程会 产生明显的影响 4 8 , 5 0 j 。由于结构在强载荷下发生的多次弹塑性撞击问题的复杂性，目 前，对该问题的研究上在初始阶段，研究成果鲜见发表。 1 4 碰撞接触问题的研究进展 1 4 1 碰撞接触的研究 结构碰撞是指结构内两个或两个以上的零部件，由于相对运动或变形，造成零部 件间产生相互撞击。碰撞造成结构的疲劳和破坏对系统动力学行为的影响，是研究的 主要目的。 描述碰撞的理论主要有：牛顿碰撞定律，p o s s i o n 假设和h e r t z 准静态碰撞理论。 对有初始滑动和摩擦的碰撞问题，近年来有一些研究认为牛顿碰撞定律在这方面是有 矛盾的。虽然已经证明得出，恢复系数不是材料常数，但由于牛顿碰撞定律的突出优点， 它几乎出现在现有的所有动力学教科书中。应用连续介质力学中描述应力波传播的理 论，是详细研究碰撞过程中的变形和应力的唯一办法，但它要复杂的多。 有碰撞自然就有接触，接触问题广泛存在，其最早的研究可追溯到一个多世纪前 h e n z 【58 j 的二次曲面物体的挤压问题，h e r t z 对无摩擦、大小相同的两个弹性球在小变 形、不产生相对滑动和半球分布压力的假设下，用半逆解法进行了求解。早期对接触 问题的研究主要针对h e r t z 型，推广到不同大小的球体间、柱体和平面之间以及所谓 的刚性压头问题【5 9 】。_ 些几何形状规则的物体间的接触问题，能用经典的数学工具来 求解，称之为经典的接触问题，使用最多的方法是积分方程法。由于接触问题大多数 是数学上的混合边值问题，积分方程是接触力学的主导方程，求解积分方程可使用积 分变换，例如f o u r i e r ，a b e l ，h a n k e l ，h i l b e r t 等积分变换【6 0 。对于平面接触问题可 使用复变函数法，把解式表示成特殊函数的多项式，使用位势函数来求解。 虽然经典接触力学得到的结果较为理想，是封闭的解析解，但其解决问题的范围 硕士论文刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 却十分有限。随着电子计算机及控制理论的应用，及有限元和边界元等的出现，给非 经典的接触理论领域的研究及数值解法的兴起和发展创造了前所未有的巨大空间。 1 4 2 局部接触理论的研究进展 经典力学将研究对象限定在由刚体、理想约束( 不含间隙和摩擦) 、以及集中力作 用组成的力学系统，并建立了完备的理论分析框架但在处理刚体的碰撞问题时，由 于存在两个物体之间瞬间的冲击过程，仅基于动量平衡方程不能对系统的运动方程进 行求解，必须补充相关的碰撞接触定律。 由于碰撞问题的复杂性，国内外学者对此开展了大量的研究，但到目前为止，没 有一个理论能够全面地考虑碰撞动力学问题。刚体碰撞问题通常满足如下假设【6 l 】： 1 ) 碰撞体整体看作刚体，仅考虑碰撞接触区域的局部变形。2 ) 碰撞体碰撞前后按照刚 体运动规律运动。3 ) 任何非刚性的变形只发生在碰撞过程中，并且体上所发生的变形 与碰撞接触区域附近的变形相比是小变形。 对于两个弹性体的接触分析，是由h e r t z l 5 8 】在1 8 8 2 年首先做出的，他将两个接触 体看作是一个等效的几何问题，分析了两接触体之间的应力问题，并首先提出了满足 应力和变形条件的碰撞力表达式。h e r t z 接触理论已被广泛应用于各种接触碰撞问题， 很多实验结果也验证了该理论的有效性。为了刻画碰撞过程中的力一位移关系，许多 学者建立了多种不同的力一位移模式，如d u b o w s k y 【6 2 】模型，非线性弹簧阻尼模型【6 引， 双刚度畔j 模型等。但这些模型在模型参数的选择上往往基于实验数据来近似，缺乏严 格的理论根据；同时对大多数碰撞问题来说，在接触区域通常会发生较大的塑性变形， 而以上的这些力一位移模式都是限定在弹性范围内的，因此如何刻画碰撞过程中的塑 性变形的效用又成了一项难题。 j o h n s o n 【5 8 】应用h e r t z 接触理论和v 0 n m i s e 强度屈服理论，给出了针对两球在法向 载荷作用下初始的屈服载荷值，但没有给出屈服后的载荷一位移关系。v u - q u o c 6 5 j 基 于非线性有限元分析，利用两个特征常数给出了考虑塑性变形作用的简化的力一位移 关系模型。t h o r n t o n 6 6 】提出了考虑弹塑性作用的接触力一位移模型，并给出了碰撞时 恢复系数与碰撞速度之间的关系，但该模型没有给出对接触屈服应力的明确定义。刘 才山，陈滨【6 7 】基于连续介质力学理论，首先给出碰撞接触时屈服应力的定义，进而推 导出简化的考虑塑性变形作用的力一位移关系模型，并将该模型与v u q u o c 的非线性 有限元计算结果进行对比，得到了比较一致的结果。r u a n 和y u 5 7 1 在以上理论的基础 上总结并提出了六种梁一梁撞击的接触力一位移局部变形模型。这六种模型中既有只能 在粘附性假设下才有效的刚体撞击模型【9 , 1 0 ；又有考虑了撞击过程中弹性效应及剪切 变形的弹塑性剪切变形模型：同时根据j o h n s o n 【6 8 】做的关于压陷关系的实验提出了弹 塑性钝压入模型，该模型较好的模拟了撞击局部区域塑性变形后的几何关系；若不考 第一章绪论 硕士论文 虑泊松效应，r u a n 和y u 又提出了基于w i n k l e r 地基模型的单轴压缩模型。本文就是基 于弹塑性剪切变形模型、弹塑性钝压入模型以及单轴压缩模型理论的基础上展开课题 研究的，其各个模型的具体介绍与推导将在后续的章节中详细介绍。 以上的模型几乎无一例外的都是针对单次撞击系统而建立的，正如本章前面所阐 述的一样，许多的“单次撞击实际上是由许多撞击时间极短的“多次微撞击组合 而成的，所以在多次撞击的前提下建立局部接触的接触力一位移关系模型是相当有必 要的。在多次撞击前提下建立局部接触模型能为系统地研究多次撞击过程中的动力响 应以及能量分配问题提供理论支持，而在这一方面的研究是相当有限的。此外不同的 接触模型对多次撞击问题具体会带来怎样的影响，各个模型之间的区别究竟是不是很 大以及前人在研究刚塑性问题直接忽略接触过程而采用粘附性假设的合理性都是值 得研究的问题。 1 5 本文的主要工作 本文以圆柱头刚性质量块横向撞击简支梁中端为结构模型，采用三种不同的局部 接触模型( b i 模型、u c 模型以及e p s 模型) 模拟圆柱头刚性质量与弹塑性简支梁的 多次弹塑性撞击接触行为，利用有限差分法计算撞击过程和分离过程的梁的动力学方 程，计算撞击系统的结构动力响应；重点比较了在三种模型下刚性质量块撞击弹塑性 简支梁动力响应的异同，得到合理的结论。具体研究工作主要包括： ( 1 ) 在e u l e r b e r n o u l l i 梁理论基础上，考虑梁的转动惯性效应，建立了刚性质量横 向撞击简支梁的动力学控制方程，利用有限差分法的原理，引入时间差分技术 求解简支梁的弹塑性动力响应。 ( 2 ) 分别采用b i 、u c 以及e p s 三种局部接触模型，建立了在多次弹塑性撞击条件 下，接触力一压下量之间的关系；在此基础上，研究刚体与简支梁多次弹塑性 撞击过程中，撞击过程和分离过程的动力学响应，并给出合理的的撞击一分离 切换条件，能够有效的衔接多次撞击过程中的撞击过程和分离过程，实现了对 弹塑性多次撞击过程的分析。 ( 3 )比较b i 、u c 以及e p s 三种局部接触模型下接触力、弯矩、应力以及能量耗散 之间的异同，研究表明：不同局部接触模型对接触力变化影响较大，而对弯矩 以及应力的影响相对较小；不同局部接触模型的选择对于能量耗散的影响微 小，这也验证了结构塑性动力学在研究能量耗散时忽略局部接触变形是合理 的。 硕士论文刚性质量块撞击简支粱多次弹塑性接触模型研究 2 梁的动力学理论及其数值分析方法 2 1 引言 梁的横向撞击动力学响应问题，早期的研究大都属于初等理论范畴，沿用了材料 力学手法，引进近似假定来建立梁的动力学方程。e u l e r 和b o m o u l l i 最早导出梁的弯 曲控制方程，得到各种边界条件下的动力学响应，n a v i e r 则导出了梁杆的纵向控制方 程。初等理论的这些结果，适用于梁的横向尺寸远比波长小的情况。如果精确地考虑 梁运动时的各种效应，问题将变得很困难，大部分无法找到精确解。 本章在介绍并详细推导梁受横向撞击动力学理论的基础上，利用有限差分法的原 理，将梁的控制方程进行数值离散，同时利用追赶法以及时间差分技术求解梁的动力 学响应。 2 2 基本假定和控制方程蚴 2 2 1 基本假定 如图2 2 1 ，等截面简支梁中截面处受横向撞击力p ( p 可为各种脉冲形式的载荷) 撞击作用，梁长度为，厚度为h ，宽为b 。简支梁为理想弹塑性材料，横截面为矩形， 且梁长远大于梁截面尺寸。 i - - l 2 一 l f 2 荔 图2 2 1 受横向撞击的简支梁模型 按照研究对象的性质和求解问题的范围，做出基本假定： ( 1 ) 变形前垂直于梁轴的平截面在变形后仍保持平面并保持和变形后的梁垂直，此 即所谓的平截面假定。 ( 2 ) 假定物体的位移和形变是微小的。我们归结其为小变形假定。 ( 3 ) 梁各纵向纤维间无挤压，即梁的各纤维均处于单向拉伸( 压缩) 下，并且应力 一应变关系曲线在拉伸或压缩状态下是相同的。 ( 4 ) 材料为理想弹塑性材料，材料的本构方程与应变效率无关。 2 2 2 控制方程 控制方程包括三个方面：动力学方程、几何方程以及材料的本构方程。在一般情 况下，描述运动的各参量是空间坐标x ，y ，z 和时间t 的函数。 7 第二章梁的动力学理论及其数值分析方法 硕士论文 由于梁为等截面直梁且梁的横截面至少有一个几何对称面，而外载荷作用在此对 称面上。这样，梁轴的变形始终在对称面中，梁不发生扭转变形，此即所谓的平面弯 曲。根据这一条件就把一般的空间问题简化成了平面问题。 根据平截面假定，在梁中存在某个在弯曲中长度未改变的纤维层，称为中性层。 对于矩形截面的梁，中性层就是与外力作用的对称面互相垂直的另一对称面。在中性 层的上下纤维分别受拉伸和压缩。中性层和各截面的交线称为中性轴。以变形前的梁 轴为x 轴，中性轴为y 轴，外力作用的对称轴为z 轴，如图2 2 2 所示。平截面假定 的意义在于把梁的弯曲归结为梁轴的横向位移w ( 以正z 方向为正) 和各截面绕其中 性轴的转动( 转角口以顺时针转向为正) 。 以q ，f ) 和m ( x ，力分别代表作用在任一截面x 上的切力和弯矩，正负号如图2 2 3 所示。 口 ! c d 、：尚q 7 弋淹二二又 b 、 y 2 图2 2 2 平截面假定下梁的平面弯曲 d ， o m i d x 优 o q = d x 玉 图2 2 3 梁的微兀段上作片j 的切力和芎矩 考虑梁的一个微元素出部分，根据动量定理 q + ( q + 罢出) + 叭x , t ) d x = p a o 。v a x 简化得 罢吲蹦却4 害 ( 2 2 1 ) 0 xa r 根据动量矩定理 m + q d x 叫+ a 出m a x ) - q ( 蹦) 出警= p i 詈出o x三 o l i ，1 、一 消去高阶无穷小盟，得 硕士论文刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 警也一p i 塞 亿2 固 o x讲。戗 式中： q ( x ，o 为分布外载荷，可视为梁自重与外力p 6 的叠加，一般考虑横向外力较 大，忽略梁自重的影响，有q ( x ，f ) = p b a ( x i 2 ) ；户为变形前梁的密度：a 为变形 前梁的截面积；i = i z 2 d a 是截面对中性轴的转动惯量( 轴惯性矩) ；v 为梁轴的横向 o 移动速度；c o 为转动的角速度；w 的定义如上。 式( 2 2 1 ) 与( 2 2 2 ) 就构成了梁的动力学平衡方程，即 罟o + g ( 州) = p 彳鲁txd 。 丝o x q = 叫意to x 一 a 2 根据式( 2 2 2 ) 得到 q = 警叫塞 将上式带入至l j ( 2 2 1 ) ，消去q ，得 笋叫器吲彬却彳学 上式即为梁的动力学方程。 弯矩m 定义为该截面上法向应力对中性轴的合力矩，为 m = c r z d a 其中，盯为截面上距中性轴z 的轴向应力。 根据平截面假定，梁的运动方程的求解亦比较方便。 口w v = 新 d w t a n c r = - 一 d x a f a 2 w 七= 一1 ：丝= 一墼： p 国 【1 + ( 娑) ：】3 ，2 式中：k 为曲率；p 为曲率半径：j 为梁绕曲轴的弧长。 曲率k 的正负号已有规定，故式( 2 2 8 ) 右边取负号。 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 由于在图2 2 3 中弯矩m 和 第二章梁的动力学理论及其数值分析方法 硕士论文 在上述式( 2 2 2 ) 的推导中实际上已经应用到了第二个基本假设，即梁的小变形假 设。根据此假设，梁的变形不大，t a n 1 。这时前面介绍了两种坐标系统( l a g r a n g e 坐标和e u l e r 坐标) 的差别就可以忽略。上述的式( 2 2 5 ) - ( 2 2 8 ) 就可以简化为 口：娑 ( 2 2 9 ) 口= 【厶yj ：丝：塑 f2210)co 22 = = i a t硬8 x 七：了1 ：一尝 ( 2 2 1 1 ) p 。8 x 2 、 从式( 2 2 1 0 ) 就不难看出式( 2 2 2 ) 是怎么得来的了。 根据图2 2 2 中的几何关系，截面上离中性轴为2 的任一点处的法向应变s 可以 容易得到，即 s ：( p + z ) d a - p dc z ：三：z k p ld ap t 在小应变的假定下，以式( 2 2 1 1 ) 代入得 a 2 w 仁屹两 ( 2 2 1 2 ) 上式即为几何方程，并且据此能得出以下结论，即：在平截面假定下，只需要求 出梁轴的变形，则梁中任意一点的变形就可确定了。 对于不考虑应变强化效应的理想弹塑性材料，其本构关系的数学表达式为 h l ， 叮= e s h 占，而c r a i g 0 ，仃iy s i g n 占( 加载) ( 2 2 1 3 ) p i 毛， r rd g y ( 2 3 9 ) - y 仃；+ e a 6 ；+ 1 】， 2 3 3 控制方程的求解 1 追赶法求解梁的动力学方程 将式( 2 3 5 ) 合并同类项，整理得 鹏一1 一 2 p i + p a ( a x ) 2 】彬+ 触+ l = 一m + 2 m ，一m f + l - q ( x 。) ( 缸) 2 ( 2 3 1 0 ) 为了便于进行数学处理，将上式进行展开得 p ，谚。一 2 p + p a ( a x ) 2 】也+ p 肋2 = 一m o + 2 m l m 2 - q ( x 1 ) ( 缸) 2 一 p l i b l 一 2 p i + p a ( a x ) 2 】访2 + 彬3 = 一m l + 2 m 2 一m 3 - q ( x 2 ) ( 缸) 2 p l f b 。一l 一 2 , o l + p a ( a x ) 2 】协。+ p l i b i + l = 一 ，j - 1 + 2 m f - m f + 1 - q ( x j ) ( x ) 2 p l i , p k 一3 - 2 p + p a ( a x ) 2 】仇一2 + 户，吮一i = 一 缸一3 + 2 m i 一2 - m 一l q ( x i 一2 ) ( 缸) p l i b k 一2 - 2 p i + p a ( a x ) 2 】访“+ 觑= 一m 柚+ 2 m 一m - q ( x ) ( 缸) 一1 2 - 硕士论文 刚性质量块撞击简支梁多次弹塑性接触模型研究 根据边界条件将上述线性方程组矩阵化，得 一 2 p l + p a ( x ) 2 】 - 2 p z + p a ( 血) 2 】 一 2 + ( 缸) 2 】 p 一 2 , o l + ( 止) 2 】 p i一 2 p z + ( 心) 2 】 2 m , 一心一g ( 五) ( 缸) 2 一m + 2 幺一 毛一g ( 而) ( 力2 一m l + 2 m m + i q ( x ，) ( 力 一 以一3 + 2 疋一2 一 靠一l g ( 砟一2 ) ( x ) 一心一2 + 2 尥一l g ( 吒一1 ) ( 在追赶法中，相应的系数为 b l = b 2 = = b ，= = b k 一2 = b i l = - 2 p i + p a ( a x ) 2 】 n 22 = 口，= = a i 一22 口i l5 p ， c l2c 22 = c l = = c l 一2 2 p l d l = 2 m i - m 2 一q ( x 1 ) ( 缸) 2 d 2 = 一m 1 + 2 m 2 一m 3 - q ( x 2 ) ( 缸) 2 d f = 一m ，l + 2 m f m ，+ l q ( x f ) ( 缸) ； d i 一2 = 一m t 一3 + 2 m 女一2 一m t i q ( x i 一2 ) ( 缸) d k l = 一m i 一2 + 2 m t l q ( x t 1 ) ( 缸) 则利用追赶法相应公式 ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ，= 士 岛一v l l 口j 驴鬻c 置二甚2 ，。， 亿3 m ， x j2 “j v j x j + 1 即可求之。式中，规定v o = “o = 0 ，v i - 1 = 0 。 2 时间差分法 为了求解2 3 2 节得出的离散形式的方程组，还需要对时间进行差分分析。假定 1 3 。心；。：。 第二章梁的动力学理论及其数值分析方法硕士论文 在f 。瞬时，己知结点i 的加速度彬，对于函数w = w ( x ，f ) 有( 等) ? = 衅，根据有限差 0 1 分法可以得到i 结点r p l 时刻的横向位移w ? “，为 w ? “= 彬( ，) 2 + 2 w 7 一w ? - 1( 2 3 1 4 ) 求得位移彬“之后，可由式( 2