（控制理论与控制工程专业论文）多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法.pdf

硕士论文 摘要 低阶控制器以其结构简单、对模型误差具有鲁棒性及易于实现等特点确立了它的工 程实用性。在现代控制理论和智能控制技术快速发展的今天，低阶控制器仍然在各种工 程控制技术中占着主导地位。 基于多性能指标的低阶控制器参数设计，国内外现有的研究成果一般采用纯粹数学 方法来求取低阶控制器的参数域。本文从数学模型已知与数学模型未知两个方面，在相 关成果的基础上，对基于多性能指标的低阶控制器参数设计方法进行了补充和完善。 在被控对象数学模型已知的情况下，本文在稳定性与扰动衰减日。指标约束下低阶 控制器参数域求解方法的基础上，加入以衰减度指标表征的快速性，给出了基于稳定性、 快速性与扰动衰减。指标的低阶控制器参数域求解方法。 鉴于在实际工程中，存在一些被控对象难以建模的情形，本文在借鉴已有基于频域 响应、基于多性能指标的一阶控制器设计思路的基础上，给出了一种相应的p i d 控制器 的参数设计方法。 鉴于在控制器实现中，一些原因会导致控制器参数偏离理想设计值，本文在求取控 制器参数域的基础上，利用线性规划方法，确定控制器参数使其具有非脆弱性。 最后给出数值算例，验证了本文所提的多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 的有效性。 关键词：低阶控制器，多性能指标，参数域，频率响应，非脆弱性，线性规划 a b s t r a c t l o w o r d e rc o n t r o l l e r sa lew i d e l yu s e di ni n d u s t r i a lf i e l df o ri t ss i m p l es t r u c t u r e ，s t r o n g r o b u s t n e s sa n de a s yi m p l e m e n t a t i o n d u r i n g t h er e c e n ty e a r s ，m o d e mc o n t r o lt h e o r ya n d i n t e l l i g e n tc o n t r o lt h e o r yg o tf a s td e v e l o p m e n t t h e l o w - o r d e rc o n t r o l l e r ss t i l lp l a yt h em a i n r o l e s 1 1 1 eo 啷e 嬲a i l dd o m e s t i cr e s e a r c hr e s u l t sc o m m o n l ya d o p tm a t h e m a t i ca p p r o a c h t o s o l v et h ep a r a m e t r i cr e g i o no ft h em u l t i - p e r f o r m a n c el o w - o r d e rc o n t r o l l e r s b a s e do n t h e s e m e 协o d s i nt h ea s p e c t so ft h ek n o w nm a t h e m a t i cm o d e la n dt h eu n k n o w n m a t h e m a t i cm o d e l ， t h i sp a p e rd oaf a t h e rc o m p l e m e n t a r i t ya n di m p r o v e m e n t o nt h ep a r a m e t e r st u n i n gm e t h o do f t h el o w o r d e rc o n t r o l l e r s u n d e rt l l ek n 0 、釉m a t h e m a t i cm o d e ls i t u a t i o n ，b a s e do nt h ea p p r o a c h o ft h el o w o r d e r c o n t r o l l e rp a r a m e t r i cr e g i o ns a t i s f y i n gt h ec o n s i s t e n c yo fs m b i l i t yc o m b i n e d w i t hd i s t u r b a n c e a ：t t a l l l a t i o nh i n f i n i t yi n d e x ，t h er a p i dp e r f o r m a n c ei sa d d e d i nt h ef o r mo fd e c a yr a t i oi n d e x a n da na p p r o a c ho ft h el o w o r d e rc o n t r o l l e rp a r a m e t r i cr e g i o ns a t i s f y i n g t h ec o n s i s t e n c yo f s t a b i l i t y , r a p i dp e r f o r m a n c ea n dd i s t u r b a n c e a t t e n u a t i o nh i n f i n i t yi n d e xi sg i v e n f o rt h e r ca r es o m es i t u a t i o n sw h e r et h ep r e c i s em o d e l o ft h ep l a n ti sh a r d l ya c q u i r e di n t h ep r a c t i c a le n g i n e e r i n g ，t e a c h i n gf r o mt h em u l t i p e r f o r m a n c ef i r s tc o n t r o l l e rd e s i g nt h o u g h t ， t h i sp a p e r , b a s e do nt h ef r e q u e n c yr e s p o n s em e a s u r e m e n t ，g i v e sac o r r e s p o n d i n gd e s i g n m e t h o do ft h ep i dc o n 仃o l l e r s c o n s i d e r i n gt h ec o n t r o l l e rp a r a m e t e r so f t e n h a v ead e p a r t u r ef r o mi d e a ld e s i g nv a l u ef o r av a r i e t yo fr e a s o n si nt h ec o n t r o l l e ri m p l e m e n t ，b a s e do n t h ea c q u i r e dc o n t r o l l e rp a r a m e t r i c r e g i o n t h em e t h o do fl i n e a rp r o g r a m m i n gi su s e di nt h i sp a p e r t od e t e r m i n et h en o n 。f r a g i l e c o n t r o l l e rp a r a m e t e r s f i n a l l y an u 】m e 矗c a ls i m u l a t i o ne x a m p l ei sp r o v i d e dt ov a l i d a t et h ea v a i l a b i l i t yo f t h e p r o p o s e da p p r o a c h k e yw o r d s ：l o w o r d e rc o n t r o l l e r , m u l t i p e r f o r m a n c e ，p a r a m e t e rr e g i o n ，f r e q u e n c yr e s p o n s e ， n o n - f r a g i l e ，l i n e a rp r o g r a m m i n g i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：2 口一罗年月了。日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 工苗尹年月3 0 日 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 1 绪论 上个世纪六、七十年代，现代控制理论和智能控制理论得到了快速发展，并发展出 许多控制器设计方法，例如，仉理论、厶方法、q f t 方法、设计等一些方法【l 羽，但 在工程应用上并没有得到希望的进展，依旧使用结构简单的控制器，例如，p i 控制器、 p i d 控制器、一阶控制器等一些具有结构简单、阶次低、依赖于可以理解的物理原理的 控制器，即低阶控制器【6 圳。 造纸行业的控制环节里，接近9 8 使用了p i 控制器【9 】。文献 1 0 中统计指出，在过 程控制里9 5 以上的控制器属于p i d 类型。2 0 0 2 年，d e s b o r o u g h 等人指出，美国的化 工、冶金等十多个工业领域里，广泛使用了p i d 控制结构，9 7 以上的反馈回路和部分 复杂控制的基本控制层中使用了p i d 控制策略【1 1 】【1 2 1 。因此，研究具有结构简单、阶次 低的p i d 等低阶控制器设计理论与方法，有着重要的理论意义与工程应用价值，是国内 外控制学界的研究热点之一。 1 1p i d 控制器的发展 低阶控制器作为一类控制器的统称，它包含了多种控制器类型，在低阶控制器中， 尤以p i d 类型控制器最具有代表性，在工业生产中也应用最广，其中p i 控制器也是一 阶控制器。 在工程实践里，p i d 控制器是一类使用范围最广的控制器。文献 1 3 】对p i d 发展史 进行了介绍。 1 9 0 7 年，c j t a g l i a b u e 公司使用了第1 部气动p 控制器。 1 9 2 2 年，f o x b o r o 仪器公司取得了1 个气动控制系统专利，从该专利的说明看出它 是p 控制器。 l e e d s n o r t h r o p 公司基于m o r r i sel e e d s 的1 个控制器的专利，于1 9 2 9 年制造出 气动p i 控制器。 t a y l o r 仪器公司在温度控制器设计中发明了微分控制器。1 9 3 5 年，微分控制器应 用于生产。 1 9 3 9 年，f o x b o r o 仪器公司、t a y l o r 仪器公司生产出的气动控制器拥有了p i d 控制 的功能。 这段时期罩，t a y l o r 仪器公司在他们的气动控制器中加入了p i d 控制器的级联排 列，c l a r r i d g e 在1 9 5 0 年提出理论，这使得控制器在负载扰动和设定点扰动方面具有较 好的性能，此结构后来成为器件生产商所采用的标准结构，并在许多单环数字控制器中 被保留下来。 第1 章绪论硕士论文 上个世纪六、七十年代，经典控制理论逐渐让位给最优控制理论，如风、日，和厶 控制，现在，最优控制理论已经相对成熟，取得了很多引人注目的成果，但其在工程实 际中的运用却没有获得希望的成果。现如今，p i d ( 或p i ) 控制在全球9 7 以上的闭环 控制里均得到了应用【l l 】。低阶控制器具有的较好的工程可实现性与其在工业控制中广泛 的使用，可以作为理论与工程实际的一个最佳结合点，所以，最近十年来，低阶控制器 设计理论和方法成为国内外控制界的研究热点之一，p i d 等低阶控制器重新受到控制理 论界学者的广泛关注，国内外学者对此类问题作了大量研究【1 4 埘】，如国内学者张卫东， 王德进，段广仁等对p i d 控制器的参数设计方法研究做出了重大贡献，吴宏鑫院士还证 明了p i d 控制器得到广泛应用的理论根据及其独特优越性，认为p i d 控制器将成为各 种复杂控制的基础子单元【2 2 - 2 4 】。国外著名学者a s t r 6 m 教授指出了p i d 控制器在将来的 控制领域中会作为复杂控制的基础子单元地位，具有重要的作用【z 引。 1 2 控制器设计方法回顾 控制器参数整定技术对控制器的发展有着巨大作用，是控制器研究的核心问题，因 此，控制器设计方法的改进一直以来都是控制界的研究热点。 2 0 世纪3 0 、4 0 年代，出现了以n y q u i s t 稳定性判据发展出的图解法为主的经典的 频域设计法。 5 0 年代，解析法【2 7 】取得了进展，瞬态性能得到了定义，但在灵敏度与鲁棒性方面 的研究却相对的减少了。 5 0 年代中期，计算机技术的发展使得系统模型开始以差分方程的形式给出。现代 控制理论得到了快速发展，经典控制理论逐渐让位给最优控制理论。 6 0 年代，最优控制器设计方法展现出了良好的效果【2 8 】【2 9 1 。 到了7 0 年代，因为现代控制理论运用于实际的工程控制中要求对被控对象精确建 模，但是在工业实现中，这一点很难实现，鲁棒性问题开始得到较多的关注。 1 3 多性能指标约束低阶控制器设计方法 在工业控制中，为了提高生产效率、降低成本等等一系列目标，对低阶控制系统有 了更多的要求，最终表现于低阶控制器设计的性能指标上面。国内外学者对多性能指标 约束的低阶控制器设计问题作了大量的研究，这类问题的研究成果大致能够分成以下三 类： ( 1 ) 对被控对象建模，得到其低阶近似模型，在此基础上，将多个性能指标的约 束转化到低阶控制器的设计参数中，计算低阶控制器参数的解析解或者逼近解表达式 【3 们。因为这类方法最终给出的是解析解，并且易于在工程上实现，所以这类方法具有重 要的实际工程参考价值。 2 硕士论文 多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 ( 2 ) 以状态空间模型与l m i 、b m i 技术为基础的设计方法【3 0 】。其实质是把低阶控 制器的参数设计问题中多性能指标的约束转化成多个l m i 或b m i 约束，再使用 m a t l a b l m i 工具箱来求解。因为使用m a t l a b l m i 工具箱对l m i 或b m i 求解比较方便， 所以这类方法在实际工程中具有一定的优势。 ( 3 ) 以智能进化算法或规划算法为基础的设计方法【3 0 1 。在算法中加入人工智能与 生物种群进化机制，在被控对象无法用准确的数学表达式给与表达的情况下，表现出了 较大的优势。但这种方法对数学模型的可靠性与初值设定依赖较大。 1 4 脆弱性问题 因为低阶控制器在工业生产中的广泛应用，过去五十年，出现了许多低阶控制器设 计方法，如z i e g l e r - n i c h o l s 阶跃响应方法，z i e g l e r - n i c h o l s 频率响应方法和c o h e n - c o o n 方法。这些方法得到的低阶控制器参数往往接近不稳定区域的边缘或者导致闭环系统不 稳赳3 1 1 。文献 3 2 】使控制器的脆弱性问题引起了广泛的关注。许多学者对脆弱性问题作 了大量研究【3 3 - 3 6 1 。 当参数发生微小的摄动时，使得闭环系统失稳的控制器就是“脆弱 控制器。在实 际的工程控制中，控制器的参数往往因为某些原因而发生摄动，无法取到设计的参数值， 因此在设计控制器时希望其拥有非脆弱性【3 2 】，在上述情况下，仍然可以保证系统的稳定。 文献 3 7 】给出了一种计算p i d 控制器参数域的方法，并基于该参数域，提出了一种线性 规划方法来加强闭环系统对于控制器参数摄动的鲁棒性。这种非脆弱控制器设计方法针 对固定的比例系数，使得积分和微分系数具有最大的厶稳定裕度。文献 3 1 1 将这种方法 扩展到比例、积分和微分系数的三维参数空间。 1 5 本文的主要工作及文章结构 1 5 1 本文的主要工作 工业控制的主要目的是保证系统稳定性、抑制外部干扰和优化系统性能，它要求控 制器设计能够同时满足多个性能指标。同时，在实际控制问题中，在很多情况下无法或 很难得到被控对象的数学模型，从另一方面来说，被控对象的频域响应通过实验可以很 容易的得到，因此，对于低阶控制器设计，基于被控对象的频域响应确定满足多性能指 标的低阶控制器参数也是很有必要的。另外，非脆弱控制器能够最小化执行成本，并能 够实现控制器参数的远程调节【3 8 】，这些在实际应用中都有重要的意义。本文将就这三个 方面做一些研究。 l 、在被控对象数学模型已知的条件下，基于边界穿越定理和d 分割法，对低阶控 制器满足稳定性、快速性和扰动衰减h 。指标约束的参数域求解方法进行了一些研究。 3 第1 章绪论 硕士论文 基于一种求解使给定l t i 系统稳定的一阶控制器参数域的方法，文献【3 9 】力口入了h 。 指标约束，解决了满足稳定性和矾指标约束的一阶控制器参数域求解问题；文献 4 0 】 基于参数空间讨论了两种方法设计满足稳定性和玑指标约束的低阶控制器。本文在上 述方法的基础上对低阶控制器满足稳定性、快速性和扰动衰减也指标约束的参数域求 解进行了一些研究。 2 、在被控对象数学模型未知的条件下，基于被控对象频域响应，对低阶控制器满 足稳定性和扰动衰减日。指标约束的参数域求解方法进行了一些研究。 文献 4 1 】给出了一种基于频域响应，设计满足多种性能指标的一阶控制器的方法； 文献 3 9 】对满足扰动衰减h 。指标约束的一阶控制器基于频域响应的参数设计方法进行 了较为详细的论述。本文在此设计思路的基础上，给出了相应的p i d 控制器的参数设计 方法。 3 、在求取控制器参数域的基础上，利用线性规划方法，确定控制器参数使其具有 非脆弱性。 本文利用文献 3 1 1 提出的方法，在求得的低阶控制器参数域基础上，确定控制器 参数使其具有非脆弱性。 基于以上考虑，本文将针对n 阶线性定常系统，研究多性能指标约束的低阶控制器 参数设计问题，因为本人论文所做是基础理论方面的研究，给出了多性能约束的低阶控 制器参数设计的理论方法，还未应用于工程实际，因此，未能给出具体例子，仅用数值 算例证明方法的有效性。同时，从事此方面研究的国内外学者，一般均从理论上进行研 究的。 1 5 2 文章结构安排 本论文的结构安排为：第一章绪论，介绍低阶控制器的发展、应用与研究的现状、 存在的问题，脆弱性问题以及主要工作；第二章低阶控制器设计的基础知识，介绍一阶 控制器及p i d 控制器的数学模型及其工作原理，接着就边界穿越定理与d 分割法进行 了阐述；第三章低阶控制器设计，针对n 阶线性定常系统论述了低阶控制器满足多个性 能指标约束下参数域求解的数学方法，具体指标包括：稳定性指标、快速性指标和扰动 衰减日。指标；第四章低阶控制器设计频域方法，针对在实际工业生产中被控对象数学 模型未知的情况，论述了基于频域，低阶控制器满足多个性能指标约束下参数域求解的 数学方法；第五章非脆弱低阶控制器设计，阐述了一种非脆弱控制器设计算法，借助于 该算法来设计非脆弱低阶控制器；第六章数值算例，通过数值算例束验证基于多性能指 标的低阶控制器参数设计方法的有效性；第七章总结与展望。 4 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 被控对象数被控对象数 学模型已知学模型未知 1 l r1 i r 主要研究现状 主要研究现状 创新点 创新点 l 、稳定性1 、稳定性给出相应的 加入快速性 2 、扰动衰减只指标2 、扰动衰减孵旨标 p i d 控制器 约束下的参数域求解的数学 约束下阶控制器参数域求 参数域求解 方法解基于频率响应的数学方法 方法 ii 1r 在求得的控制器参数域 基础上，利用线性规划 方法，确定控制器参数 使其具有非脆弱性 数值算例，验证本文提 出的多性能指标约束的 低阶控制器参数设计方 法的有效性 图1 5 2 1 本文工作结构框图 5 硕士论文 多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 2 低阶控制器设计的基础知识 2 1 一阶控制器的数学模型及工作原理 在简单的控制系统中，一般能够使用串联超前校正或滞后校正地方法来得到期望的 闭环系统。超前校正控制器和滞后校正控制器均属于一阶控制器。 2 1 1 超前校正控制器 超前校正装置的传递函数如下所示 g c ( s ) = k 。百l + c i r t s ，口 1 ( 2 1 1 ) 式中k 。是超前校正装置的增益。当k 。= 1 时，超前校正装置的对数频率特性如图2 1 1 1 所示。 l i a b 2 0 k 口 1 0 k 口 0 伊，( o ) 9 0 吼 0 占- 1 ) 占- 1 ) 图2 1 1 1 超前校正频率特性的伯德图( k 。= 1 ) 超前校正装置的频率特性是从1 + j o t t m1 ( 1 + j t m ) 相加得到的。由图2 1 1 1 中可 以看出，超前校正装置属于高通滤波器，所以有助于系统快速性的提高。 超前校正装置频率特性的相角为 7 第2 章低阶控制器设计的基础知识 硕士论文 r , o = a r g q ( s ) = a r c t a n a t o a r c t a n t o ( 2 1 2 ) 这个相角始终为正数，意味着超前校正装置可以提供超前相角，角度矿是超前校正装置 所提供的超前角。因此，式( 2 1 2 ) 中口和丁取合适的值能够提高系统的相角裕度，改 善系统稳定性。 综上所述，超前校正装置的主要作用是提升系统的相对稳定性，在某些情况下，也 可以小幅度的提升系统稳态精度。 2 1 2 滞后校正控制器 滞后校正装置的传递函数如下所示 g o ( j ) = k 。i l + 西t s ，胪1 ( 2 1 3 ) 式中k 。表示滞后校正装置增益。当k 。= 1 ，滞后校正装置的对数频率特性如图2 1 2 1 所示。 l a b 0 2 0 t g 芦 伊，o 0 9 0 l l1 57t 廖( r a l 、 嘶i f 一1 ) 图2 1 2 1 滞后校正频率特性的伯德图( k 。= 1 ) 由图2 1 2 1 中可以看出，滞后校正装置属于低通滤波器，因为高频分量被衰减， 所以不利于加快系统的响应速度。它的相角为 缈= a r gg c ( s ) = a r c t a n t r o - a r c t a n f l t r o ( 2 1 4 ) 8 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 该相角始终为负数，因此未必对提升系统的稳定性有利。由此可知，滞后校正的主要目 的不是提升系统的稳定性与响应速度。 然而，如果参数选择适当，使用滞后校正装置能够在几乎不改变原有系统稳定裕度 的情况下大幅度提升系统稳态精度。 2 2p i d 控制器的数学模型及工作原理 p d 控制器即比例积分微分控制器，其中，p i d 是p r o p o r t i o n a l ( 比例) ，i n t e g r a l ( 积 分) 和d e r i v a t i v e ( 微分) 的缩写。常见的有比例控制器，比例积分控制器，比例微分 控制器和p i d 控制器。 按照其中的微分环节有无滤波器可以将p i d 控制器分为理想p i d 控制器和并行滤 波p i d 控制器两种形式，此外，还有串行p i d 控制器等多种形式。本论文只是针对理 想的p i d 控制器进行一些研究。 2 2 1p i d 控制器的数学模型 理想p i d 控制器传递函数如下所示 c ( s ) = k v + t q + k a s ( 2 2 1 ) 式中k p ，k i 和砧分别是p 系数、i 系数和d 系数。在许多文献中理想p i d 控制器也被 写作如下式所示 c ( s ) = 后，( 1 + 去+ 乃s ) ( 2 2 2 式中互= k p k ，是积分时间常数，乃= 屯k p 是微分时间常数。 2 2 2p i d 控制的基本原理 图2 2 2 1 所示为典型的p i d 控制系统的结构框图： 9 第2 章低阶控制器设计的基础知识 硕士论文 图2 2 2 1p i d 控制系统结构框图 图2 2 2 1 中，( f ) 是输入信号，y ( t ) 是输出信号，e ( f ) 是控制偏差信号，甜( f ) 是控制信号。 其中e ( t ) = ，( f ) 一y ( f ) 。 “( f ) 如下所示 m ) = k p e 她胁冲+ k d 警 ( 2 2 3 ) 比例环节： 若k t = k d = 0 ，由式( 2 2 3 ) 得 u ( t ) = k p e ( t ) ( 2 2 4 ) 由上式可见，甜( f ) 与p ( f ) 成比例关系，反映出p ( f ) 现在值信息。比例环节的作用受到偏 差信号e ( f ) 的影响，当e ( f ) 为零时，比例环节不发生作用，当p ( f ) 不为零时，即出现了 偏差，则，比例环节发生作用来降低偏差。 积分环节： 若k 。= k d = 0 ，由式( 2 2 3 ) 得 u ( t ) = k i 【e ( r ) d r ( 2 2 5 ) 由式( 2 2 5 ) 可见，时问值的增长使得积分作用持续增强。“( f ) 反映出口( f ) 过去值信息。 还可以看出，积分作用随着k ；的增大而变强，减小而变弱。加入积分环节能够提升系统 的无差度，但是却减慢响应速度。 微分环节： 加入微分环节，n - - j p a 提升系统响应速度。若k 。= k ，= 0 ，由式( 2 2 3 ) 得 砸) = k a 警 ( 2 2 6 ) l o 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 由式( 2 2 6 ) 可见，“( f ) 与p ( f ) 的变化速率成比例，反映出e ( f ) 未来值信息，根据e ( f ) 的 变化速率，在其变差前，预先给系统加入修正信号。以此来提早对系统偏差进行修正， 提升系统响应速度。 2 3 边界穿越定理与d 分割法 本节简要阐述边界穿越定理【1 1 与d 分割法 4 2 。4 7 】、d 稳定性的相关引理与基本思想。 首先假设有复平面c 上任一开集d ，边界为o d ，u o = c d 一0 1 ) ，d 、o d 和u o 都非空，则 dua duu o = c ，dnu o = dn0 1 ) = a dn u o = ( 2 3 1 ) 基于式( 2 3 1 ) ，给出如下定义： 定义2 3 1 如果准多项式尸( s ) 的根都在d 内，那么，则认为p ( s ) 为d 一稳定的。 2 3 1 边界穿越定理 边界穿越定理基本思想：假设在参数空间中有一条连续路径使得给定的一族参数化 多项式由稳定状态变为不稳定，则按照这条路径从其使多项式稳定的端点移向使多项式 不稳定的端点，遇到的第一个使多项式不稳定的点所对应的多项式的不稳定根肯定在复 平面不稳定区域的边界上，此处稳定的概念是指d 稳定，下同。 若有多项式族如下所示 p ( q ，j ) = p 。( g ) j 4 + + p l ( g ) s + p o ( g ) ( 2 3 2 ) 假设式( 2 3 2 ) 满足下面的假定： 假定2 3 1 假定对v q i = 口，b 】，p 。( g ) 0 且p 。( g ) ，p l ( g ) ，p o ( g ) 是g 的连续函 数。 引理2 3 1 【1 】若多项式族p ( q ，s ) 满足假定2 3 1 ，i 了p ( a ，s ) 所有的根都在d 内， p ( b ，s ) 至少有一根在u 。内，那么，至少存在一个p ( 口，b 】，使得( 1 ) 和( 2 ) 同时成 立。 ( 1 ) 多项式p ( p ，s ) 所有的根都在du0 1 9 内； ( 2 ) 多项式p ( p ，s ) 至少有一根在0 1 9 上。 引理2 3 1 可以推广到g 为向量的情形。 2 3 2d 分割法的基本思想 反馈控制系统的特征函数如式( 2 3 4 ) 所示 尸( g ，j ) = p 4 + a 。一l ( q ) s “1 + + a l ( g ) s + a o ( g ) 】 ( 2 3 4 ) 其中，q = 【g lq ：q t r 是控制器参数向量，a k ( g ) 是g 的连续函数。若g 使得p ( q ，j ) 第2 章低阶控制器设计的基础知识硕士论文 没有非负实部零点，j g z , 称p ( q ，j ) 渐近稳定。q qcr “，r 是实数集。 d 分割法实质t 根据系统的特征多项式实数根穿越原点与无穷，复根穿越虚轴，把 复平面s 域里的稳定域的边界映射成参数空间q 里的超曲面，得到d 分割边界 a d = a d oo o d 。u o d 国 ( 2 3 5 ) 其中 fa d o 三国q lp ( q ，o ) = o ) a d 么三 g q | p ( q ，国) = o ) ( 2 3 6 ) i 蛾兰 q q i 当m = 甩时口。( q ) + l = 0 d - 分割边界将参数空间q 分为若干区域，每一个区域中的点g 所对应的特征多项式 p ( q ，s ) 的右半复平面( r h p ) 极点个数是恒定不变的。 2 3 3d 稳定性分析 下面给出一个方法，确定式( 2 3 4 ) 所示的特征多项式尸( g ，s ) 中的控制器参数向量 g 的集合，使得p ( q ，s ) 的所有根都在d 一稳定区域内： 假设d 稳定区域是复平面上的任一开集。在特征多项式的参数空间中，计算d 分 割边界分割出每一个区域中的点q 所对应的特征多项式p ( q ，j ) 零点个数之和，将零点个 数之和为n 的区域记作d ( n ) 。那么，所有记作d ( o ) 的区域就是所要求的g 的集合。 1 2 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 3 低阶控制器设计 3 1 定常系统数学模型 考虑如图3 1 1 所示的单位反馈控制系统： 图3 1 1 单位反馈控制系统结构框图 图3 1 1 中有两个输入信号，即输x 。r ( t ) 和过程扰动1 ，( f ) ，作用在控制环上；有三个输出 信号，即系统输出( 被控量) y ( t ) ，控制信号“( f ) 和控制偏差e ( t ) = r ( t ) 一y ( t ) 。c ( s ) 为 低阶控制器，一阶控制器形式如下式所示 p i d 控制器形式如下式所示 g p ( j ) 为被控对象 c 0 ) ：x 1 8 1 x 2 s + x 3 c 咆+ 争+ s 啪) = 等 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 式( 3 1 3 ) 中n ( s ) ，d ( s ) 为互质实多项式 j ( s ) 5 肼+ 口m i l 广1 + 咖l s + a 0 ( 3 1 4 ) i d ( j ) = s “+ b n l j ”- 1 + + 6 l s + 6 0 式( 3 1 4 ) 中m ，l ，v ( t ) 为过程扰动，这里考虑v ( f ) 为单位阶跃扰动信号情形。 第3 章低阶控制器设计 硕士论文 3 2 定常系统一阶控制器参数解集求取策略 3 2 1 定常系统一阶控制器的参数稳定域 稳定性是控制系统设计的最基本要求。本节首先针对一阶控制器，给出使被控对象 稳定的一阶控制器参数稳定域的求解方法。 定理3 2 1 对给定被控系统( 式3 1 3 ) ，一阶控制器的参数空间而一z ：一屯被平面 1 ) 、平面2 ) 和曲面3 ) 分割成若干个区域，对应闭环系统特征多项式 p ( s ) = ( s + x 3 ) d ( s ) + ( 工l j + z 2 ) ( s ) ( 3 2 1 ) 每一区域内的点q = x 1x ：屯】r 所对应的p ( s ) 具有不变的右半复平面( r h p ) 极点个 数。 1 ) 若口。0 ，x 2 ：一b o 而；若口。：0 ，为：0 ； a o 2 ) 该平面不存在； 国人( 国) 肋，= 一篇 凇h i l l 怒j 地，= 撼羔；蔬桨孑。 天()=(。，国。)uirk-11,3(co，国州)u(缈七，oo)li=1 天( ) = ( o ，国。) u i，国州) i u ( 缈七， j f = 1 2 k 0 缈， 彩， 国。 0 ，i = 1 , 2 ，k ；0 q 吐 ( o l q ，使得n ( + _ j c o f ) = 0 ， 因n ( s ) 与d ( s ) 互质，则d ( 哆) 0 ，又因为而t - j r ，从而有 p ( 哆) = ( j 缈f + x 3 ) d ( + j ( o f ) 0 ( 3 2 7 ) 这表示虚轴上对应的哆点不是复根穿越点。由式( 3 2 4 ) 和式( 3 2 6 ) 可知，控制 器参数x l 和屯为国在( 棚，o ) u ( o ，0 0 ) 上的偶函数，综合a ) 和b ) ，令 坳，= 豫嚣j v 伽( o e ( 0 蒿紫己知 2 剐 其中 欠( 缈) = ( o ，q ) u iu ( q ，哆+ ，) i u ( ( o k ，o o ) ( 3 2 9 ) 所以，对这种情况，只需根据式( 3 2 6 ) 绘出国人 ) 上的a d 。边界即可。 综合( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) ，一阶控制器的参数空间_ 一屯一而被平面1 ) 、平面2 ) 和 曲面3 ) 分割成若干个区域，每一区域内的点所对应的尸( s ) 具有不变的r h p 极点个数。 证毕。 注释3 2 1 设使系统( 式3 1 3 ) 特征多项式尸( s ) 的r h p 极点个数为零的点所在区 域为q ，边界不包含其中。分别在一阶控制器的参数空间被d 分割边界分割成的区域 中选一个测试点g 判断该区域是否为稳定区域以确定q 区域。因为线性定常系统的特征 根只有有限个，所以我们可以直接求根来确定d ( o ) 区域。在被分割的一阶控制器参数 平面上，在每一个区域中选取一个测试点，计算该测试点所对应的闭环系统的r h p 特 第3 章低阶控制器设计 硕士论文 征根，其中表示为d ( o ) 的所有区域的并集即为g 。 3 2 2 定常系统快速性指标约束下一阶控制器参数解集 快速性可以由区域极点( 衰减度) 指标表征，图3 2 2 1 中记直线左边的区域为 极点约束区域d ，o ) ： l m r 三 l 一口 0 r e 图3 2 2 1 q ，o ) 极点分布区域 定理3 2 2 对给定被控系统( 式3 1 3 ) 和极点约束区域d ，o ) ，一阶控制器的参 数空间五一屯一屯被平面1 ) 、平面2 ) 和曲面3 ) 分割成若干个区域，对应闭环系统特 征多项式 p ( s ) = ( s + x 3 ) d ( s ) + ( x l s + x 2 ) ( s ) ( 3 2 1 0 ) 每一区域内的点q = i x , 恐b 】r 所对应的以s ) 具有不变的直线三右半复平面极点个 数。 1 ) 若( 一口) 0 ，贝, l j d ( t - 一a 口) jx 3 + x 2 - - 嘶= 口而d ( - c e ) ；若( 一口) = 。，则屯= 口； 2 ) 该平面不存在o i x ! ：( o ! - x 3 ) ! 幽一尺( 缈，a ) 3 ) 1 州峨) 血删叩h 即川一卧 1 6 硕士论文多性能指标约束的低阶控制器参数设计方法 尺c 国，口，= r e ( 吴篆篙) 脚，= i i l l ( 篇 坳，= 撼v j c 哪oe ( 0 , o 肌o ) , 等掣亍。 a(co)=(。，q)ui(=)(缈，哆+。)u(哝，oo)li=1 = ( o ，q ) u iu ( 缈，哆+ 。) l u ( 哝， j i = 1 2 。k ，0 纸 国， 国， 0 ，i = 1 , 2 ，k ；0 国l 缈2 缈f o ( 3 2 1 9 ) 引理3 2 1 1 1 设f ( s ) = n f ( s ) d ，( j ) 是一稳定正则( p r o p e r ) 实( 或复) 有理函数， p 酬卜凹| 丽n f ( j o ) r f | ( 3 2 2 0 ) 0 ，i i f ( s ) l i 。 0 ，i = 1 , 2 ，k ；0 国l c 0 2 c o l 缈i ， 因( s ) 与d ( s ) 互质，贝, l j d