（机械电子工程专业论文）半球陀螺仪谐振子振动特性及其结构研究.pdf

摘要 半球谐振陀螺仪( h e m i s p h e r i c a lr e s o n a t o rg y r o ) 是一种高精度、高可靠、长寿命的 新型固态陀螺仪，它照利用半球壳膳缘的径向振动驻波进动效应来感测基胰旋转的一 静薪型搬动陀螺。与赞统豹机械陀鼷秘走学陀螺楣魄，半球谐振陀螺具蠢娥下优势： 结构上焉离速转子、焉活动部律；誉需预热，病渤时阕短；信穆频带宽，漂移噪声低； 能承受犬的机动过载；抗核辐射，w 经受短时间电源中断的影响；体积小，重量轻， 功耗低，寿命长等。搿半球谐振陀螺仪中的半球谐振子是其最重要的部件乏一，谐振 子豹振动特毪壹接凌爱着半球憝螺纹戆鞲菠毪麓。 本文针对半球谐振陀螺仪的烹要部件半球谐振子的固有振动和波动振动做了解 析、半解析和软件仿真三种方法的研究。首先将半球谐振陀螺仪的半球谐振子简化为 封翅端霆定，开口端鑫由且激振力淤球壳环囱移秘豹力学摸裂。投据弹性薄壳理论， 驮自由掇动入手，求褥球壳振动静鬻有频率和撮鍪。并在鼗蒸麓之上推导港振子鳃运 动方程。 利用a n s y s 软件辩半球谐振予进行模态分析，根据分析的数据结果给出半球谐振 子结搀足孽瓣会理没诗参数。 最厢，推导适用予薄壁球壳的半解析有限球壳单元。这种单元的特点在子采用了 环向解析、轴向离散的位移函数，使原来的二维问题降为一维问题，简化了振动响应 的求解。势最终，报攒睾解析球壳攀元法，编写计算极诗舅弦寒。 关键宇：半球谐振陀螺仪，半球谐振子，振动分析，半解析商眼单元 h e m i s p h e r i c a lr e s o n a t o rg y r oo 珉g ) i sr o t a t i o n - s e n s i n gi n s t r u m e n ta n dh a saf e w s p e c i f i cr e l i a b i l i t ya n dl o n g e v i t yo fs e r v i c e c o m p a r a t i v e l yn e wt y p ef e a t u r es u c ha sh i g h p r e c i s i o n ，s o l i dh i g h c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lm e c h a n i c a la n do p t i cg y r o s ，h r gh a ss u c h a d v a n t a g e sa sn oh i g hs p e e dc i r c u m v o l v i n go rm o v i n gp a r t si ns t r u c t u r e ，n ow a r m 叩t i m e a n ds h o r ts t a r t - u pt i m e ，w i d cs i g n a lb a n di nf r e q u e n c y , l o we x c u r s i o nn o i s e s , g r e a te n d u r a n c e i no v e rl o a d i n g , n u d e 盯r a d i a t i o na n ds h o r tt i m ep o w e go 氲s m a l lb u l k , l i g h tw e i g h t , l o w p o w e rc o s ta n dl o n gl i f ee t c t h ev i b r a t i o no fh e m i s p h e r i c a ls h e l l s i st h ei m p o r t a n t d e p a r t m e n to f 卸r gt h ep r e c i s i o no fh r gi sd e p e n d e do n t h ep h y s i c = a ip r o p e r t yo f h e m i s p h e r i c a l u s i n gt h ea n a l y t i cs e m i - a n a l y t i ca n ds o f t w a r ee m u l a t i o nt h r e em e t h o d , t h i sp a p e r d i s c u s s e sn a t u r a lv i b r a t i o na n dw a v ev i b r a t i o no fh e m i s p h e r i c a lr e s o n a t o ro fh e m i s p h e r i c a l s h e l lr e s o n a t o r ( h r g ) f i r s t l y , w ed i s c u s s e st h ev i b r a t i o no fh e m i s p h e r i c a ls h e l l s ，s i m p l i f y t h eh e m i s p h e r i c a li sa l r e a d yf i x e da n dd o s e d a c c o r d i n gt h em o v i n gf o r c eo nt h es u r f a c eo f s p h e r i c a ls h e l l s ，ac o n c l u s i o ni sm a d et h a tt h ev i b r a t i o ni sw a v e b a s e do nt h et h e o r i e so f e l a s t i ct h i ns h e l l s , n a t u r a lf r e q u e n c i e s ，v i b r a t i o nm o d a l sa n dr e s p o n s ea r ec a l c u l a t e d a n d t h e nw ec a l c u l a t et h em a t h e m a t i c a le q u a t i o no fm o v i n gh e m i s p h e r i c a l t h e nu s i n gt h ea n s y ss o f t w a r ea n a l y z et h ev i b m t i o no fh e m i s p h e r i c a l s h e l l s ，b yt h e c o n c l u s i o no fa n a l y s i sg i v et h ed e s i g no fs u i t a b l ep a r a m e t e r a tl a s t , t h ep a p e ri sd e r i v e dt h em e t h o do fs e m i a n a l y t i cs p h e r i c a le l e m e n t s ，t h em e t h o d c o u l dr e d u c et h ec a l c u l a t i o n t h e nw em a d et h em e t h o di n t oas e to fp r o g r a mt ot h e c o n v e n i e n c e k e yw o r d s ：h e m i s p h e r i c a lr e s o n a t o rg y m ，v i b r a t i o no fh e m i s p h e r i c a ls h a g s , v i b r a t i o n a n a t y s i s , s e m i - a n a l y t i cf i n i t ee l e m e n t s 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文半球陀螺仪谐振子振动特性及其结构研 究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 学位论文。 作者签名：銎坌坦生兰且兰目 指导导师签名：臣髀山峨盘生j l 月五且 第一章绪论 哥氏振动陀螺( c o r i o 右s v i b r a t o r g y r o ) 是一种无转子陀螺，它用振动元件取代了传统 陀螺的机械转子，用微幅振动取代了高速旋转，因而具有寿命长、可靠性高、体积小、 重量轻、精度高等突出特点，是一种新型的极有发展潜力的惯性仪表f l j 。哥氏振动陀螺 代表一种重要的惯性技术，它不仅具有所有的惯性品质，而且在众多的陀螺中只有它 能够实现微型化。哥氏振动陀螺主要包括压电振动陀螺、半球谐振陀螺和微机械振动 陀螺。 本文研究的半球谐振陀螺仪( h e m i s p h e r i e a lr e s o n a t o rg y r o ，以下简记为i - i r g ) 是目 前最高精度的哥氏振动陀螺。它的稳定性好、噪声低，分辨率高、寿命长、可靠性高、 体积小、重量轻、功耗低，还有抗核辐射和记忆功能它是利用半球壳唇缘的径向振 动驻波进动效应来感测基座旋转的一种新型振动陀螺。其基本原理可概括为：当处于 谐振状态的谐振子随载体旋转时，由于哥氏效应，引起振型相对壳体的转动，振型相 对壳体转动的速率与载体速率成定比例关系【2 1 1 1 半球谐振陀螺简介 1 1 1 半球谐振陀螺仪的基本知识 量尉 蕾士屯瓤 读出募庶 图1 1 半球谐振陀螺石英部件 图1 1 为半球谐振陀螺石英部件结构示意图，石英部件包括激励罩、谐振子和敏感 基座三个部分。半球谐振陀螺采用非晶体的熔融石英玻璃材料加工而成，具有非常稳 定的物理化学特性，加工好的半球谐振子品质因素可以达到1 0 b 量级。图1 2 为美国 d e l c o 公司的半球谐振陀螺完整的结构示意图，半球谐振陀螺由以下部件构成：半球谐 振子7 ，刻蚀有信号采集电极和激励电极的敏感基座3 与激励罩6 ，真空座的底座上有 同轴气密屏蔽导管1 0 与单芯气密引脚2 ，带气门嘴的外壳9 ，保持仪表内部真空度的 吸气装置1 。 1 吸气装置2 单芯气密引脚3 一读出基座4 - 激励电极5 读出电极 6 - 激励罩7 谐振子8 - 环形电极9 - # 1 - 壳1 0 - 同轴气密屏蔽导管 图1 2d e l c o 公司的半球谐振陀螺 半球谐振子7 位于激励罩和读出基座之间，并与它们有一个很小的间隙。半球谐 振子的芯轴是与半球壳整体加工出来的。谐振子的内外表面均溅射上金属膜层。谐振 子通过钎焊的方法安装固定在壳体中。激励罩6 内表面上制作了1 6 个激励电极和一个 环形电极，与半球谐振子外表面形成1 7 个小电容，工作时在激励电极上施加相应的电 压，利用静电力作用驱动半球谐振子产生驻波振动，并按一定规则控制其振动误差。 在读出基座3 上有用于信号检测的8 个电极，与半球谐振子的内表面形成8 个小电容， 利用电容的变化检测谐振子的位移，形成两个相互间成4 5 。角的测量通道，得到计算 驻波旋转角度的读出信号。前置放大器电路焊接到半球谐振子外壳上用于处理电容读 出信号【3 1 。 电极是用通过在球形表面溅射相应形状的金属薄膜的方法制成。谐振子与读出基 座3 和激励罩6 之间的工作间隙为几百微米。带气门嘴的外壳9 用于保持仪表内腔的 超高真空( 约为( 1 3 3 0 1 3 3 ) x1 0 b p a ) 半球谐振子在电路系统的控制下维持四波幅驻波振动，在这种振动模态下，它的 唇缘振型具有四个波腹和四个波节当陀螺不旋转的时候，波腹和波节的位置保持不 变，而当基座旋转时，在哥氏力的作用下，驻波位置要发生进动，导致波腹( 或波节) 的旋转角度小于陀螺相对惯性空间旋转的角度，这个滞后角的比例是固定的，约为旋 转角的3 0 例如，基座旋转9 0 。，驻波滞后2 7 。通过检测这个滞后角，就可以得 2 到陀螺载体在空问旋转的角度，角度表现为输入角速率的积分，传递函数近似为0 3 1 s 1 2 图1 3 陀螺进动示意图 根据不同的需要，半球谐振陀螺可以工作于两种不同的工作模式：力平衡模式或 全角模式，这是根据工作时振型是否相对壳体有相对运动来命名的。全角模式下半球 谐振陀螺构成速率积分陀螺，直接输出角度，力平衡模式下半球谐振陀螺为角速率传 感器，因此也称为速率模式 1 1 。 1 1 2 半球谐振陀螺与其它陀螺的比较 经典的陀螺仪具有一个高速旋转的转子，根据牛顿定律：高速旋转的质量具有在 惯性空间中保持其转动轴指向不变的特性( 即定轴性) ，且该质量受到垂直于转动轴方向 的外力矩时，将绕垂直于转动轴和外力矩轴方向的第三轴转动( 即进动性) 。根据定轴性 建立运动体内的一个惯性基准，根据进动性，可以测出运动体的运动角速度。但由于 高速转子的存在，陀螺结构复杂，抗振性能较差，对稳定性要求较高，且其框架支承 上存在摩擦力矩，使仪表产生漂移误差1 4 j 。 ， 而半球谐振陀螺在结构上不存在高速转子和活动支承，它是通过在谐振子唇缘建 立一个低频四波腹振荡实现敏感特性的，能从根本上避免机械摩擦 半球谐振陀螺与光纤陀螺( f o g ) 、环形激光陀螺相比( r l g ) 。 光学陀螺是利用一个光源来产生一个电磁波，此波沿一个闭合光路按顺时针和逆 时针行进，利用s a g n a c 效应检测陀螺相对于惯性空间的角速率，光波的传播速度为3 1 0 s m s l s i 。 h r g 是通过敏感一个均匀固体中横向压力波的位置进行工作的，压力波在谐振子 中的传播速度是6 x l o s m s 量级。h r g 工作的波长比相应的光学陀螺工作的波长要大 5 xl o 倍。这一特点使得h r g 的电路部分的设计、制作比光学陀螺要简单。 在陀螺结构上，h r g 的结构比r ig 和f o g 要简单。r l g 的反射镜、阳极、阴极 和高频振荡器都需固联在陀螺上。装配后，整个陀螺还需要进行精细的清理，然后再 充氦氖混合气体。f o g 在结构上包括了光源、相位调制器、耦合器、偏振器、光纤线 包等部件。 而h r g 却是相对的非常简单，只有三个功能部分。一个由熔石英材料制成的谐振 子，另两部分分别为传感器和施力器，形状非常简洁。装配完传感器、施力器后，整 个陀螺形成一个完全固连的整体。这种固体化的结构使得h r g 抗环境能力非常强。 h r g 还有一个重要特性就是当断电后，振荡仍将持续一段时间，对一个石英材料 的h r g 来说，时间常数在几百秒量级。金属材料h r g 的时间常数大约在l 5 秒之间。 h r g 的振荡不会因短时间的断电而消失，它仍能工作，继续对输入角速度进行积分， 重新供电后，继续提供惯性参考。所以这种陀螺特别适合现代战争( 核战争) 的要求，而 r l g 和f o g 则不具备这种功能l l j 。 总之，半球谐振陀螺具有体积小、功耗低、可靠性高、机械部件结构简单、启动 时间短、断电时稳定、工作温度范围大、抗电离辐射能力强、对线性过载不敏感等优 点。 1 2 半球谐振陀螺的国内外研究及发展状况 半球谐振陀螺仪的机理最早见于英国科学家g h b r y a n 发表于英国皇家学会汇刊 上的一篇论文。g h b r y a n 观察到一支振动的酒杯绕其轴旋转时，一个静止观察者与一 个与酒杯同速转动的观察者听到的声音是不同的。b r y a n 指出这表明振型在酒杯旋转时 没有相对酒杯静止，而是发生了转动。在此基础上他还推导了环和无限长圆柱壳进动 因子k 的表达式。g h j f o x 和d j w h a r d i e 则对环和无限长圆柱壳基于二维情况作了 类似的理论推导嘲 1 2 1 美国半球谐振陀螺的发展 美国半球谐振陀螺发展历程可以用d e l c o 公司的研究过程概括，它是世晃上最早 研制半球谐振陀螺的公司，已研制生产出几代产品，并已经应用于高精度导航系统中。 其大致发展阶段为1 7 j ： ( 1 ) 原理性研究阶段：1 9 6 5 年至上世纪7 0 年代初，研制并获得专利。 ( 2 ) 产品研制阶段：1 9 7 8 - 1 9 7 9 年“蘑菇”型h r g l 0 系列；1 9 8 1 1 9 8 2 年，“酒杯” 振子的h r g 2 0 系列，减小了安装阻尼，使陀螺性能提高；1 9 8 3 年制出“双基”振子， 4 采用双芯柱支撑，减少了对外部振荡的敏感性，对电路进一步完善，使其性能达到了 较高水平。 ( 3 ) 性能改进阶段：1 9 8 4 年起以“双基”振子为基础进行深入研究，试验证实半 球陀螺的物理模型，深刻认识主要漂移特性的物理机理。1 9 8 6 年研制出新一代半球谐 振陀螺仪：h r g l 5 8 ，h r g r l 3 0 ，h r g l l 5 。轴直径由8 r a m 增加至1 2 m m ，使谐振子 的谐振频率由1 9 0 0 h z 增至3 9 0 0 h z ，减少了谐振频率对转动灵敏度的影响。h r g l 5 8 4 可在恶劣条件下完成高准确度的工作。h r g r l 3 0 可用于战略防御拦截导弹，战术导弹 和返回式武器。h r g l l 5 可用于导弹武器的制导嗍。 1 2 2 俄罗斯半球谐振陀螺的发展 前苏联在1 9 8 5 年就有茹拉夫廖夫和克里莫夫的基础性专著半球陀螺出版。拉 明斯克仪器制造设计局早期研制了直径为1 0 0 m m 的h r g ，上个世纪9 0 年代，又开发 了直径为5 0 m m 的h r g ，其随机漂移达到0 0 0 5n 0 0 1 。h 。俄罗斯莫斯科机电自动 化仪表研究所主要开发直径为6 0 m m 和2 5 m m 两种结构尺寸的h r g ，其随机漂移已达 到0 0 1 。h 。该公司由于受俄经济不景气的困扰，已停止其它惯性器件的研究，但继续 研究h r g 。除了制造h r g 实验样机外，还研制了基于计算机的用于谐振子测试及借 助激光动平衡的自动化转台、用于半球陀螺高精度测试的半实物仿真试验台，并研究 了如电极与谐振子问间隙的不均匀性、谐振子自振频率的裂解、不同品质因数值等参 数的估计方法，并将它们应用于生产中 9 1 俄罗斯s i em e d i c o n 研究直径为3 0 m m 的 h r g ，并开发了独特的调平技术，产品拟用于井斜测试。国立莫斯科罗蒙诺索夫大学、 俄罗斯科学院莫斯科机械研究所、俄罗斯朱可夫斯基空军工程研究院等对h r g 的振动 模型进行了深入的研究，对改进h r g 的设计极为关注最新资料表朋，近几年来俄罗 斯的半球陀螺研制取得了很大的进展，2 0 0 2 年底，苏霍伊飞机制造公司的惯性导航单 元的设计制造单位一一俄罗斯拉明斯克设计局研制的半球谐振陀螺h r g 已完成项目 的全部论证，并考虑正式投入武器装备应用1 8 j 。无论是在陀螺的设计、信号处理还是系、 统设计上，俄罗斯方面的理论都是相当成熟的。 1 2 3 国内半球陀螺的研究状况 1 9 8 5 年国内发表了第一篇介绍半球谐振陀螺的文章。八十年代后期到九十年代初， 国内许多科研单位都投入了相当的力量进行研究并取得了一些阶段性的成果其中兵 器部2 0 5 所于1 9 9 2 年正式成立项目组承担了半球谐振陀螺的研究工作，研制出了初样 机。中国电子科技集团2 6 所前期利用俄罗斯技术，开发出直径6 0 r a m 的样机，并且在 直径6 0 m m 的h r g 工艺制作上取得了相应的突破，目前主要开发3 0 m m 直径的h r g ， 解决了熔融石英的精密机械加工、谐振子质量调平、球面镀膜、真空封装等关键工艺 技术f l l j 。 我国台湾地区也有关于半球谐振陀螺的研究文献，n a t i o n a l t a i w a nu n i v e r s i t y 对半 球谐振陀螺的模态进行了分析，并针对谐振予半径为5 0 m m 的样机进行了实验研究。 5 1 2 4 其它国家的研究情况 英国于1 9 8 4 年开始研究半球谐振陀螺的工作机理，英国的宇航系统与设备有限公 司早就在研究圆柱壳式振动陀螺，并有向h r g 发展的趋向日本在1 9 8 6 年发表了介 绍半球谐振陀螺的文章。法国利用俄罗斯的人员和技术，己开发2 0 m m 直径的h r g 。 1 3 国内外球壳振动理论与实验研究 1 3 1 国内球壳振动的研究 国内研究半球壳振动理论的代表人物是北京航空航天大学樊尚春等人他们在 g h b r y a n 等人理论分析的基础上作了进一步研究，利用能量原理近似推导得到了半球 壳和圆柱壳进动因子k 的表达式，并对圆柱壳和半球壳作了具体分析，在此基础上还 对变厚度轴对称壳、有缺陷圆柱壳进动情况作了研究，得出了一些有价值的结论，解 决了一些工程中的实际问题。 1 3 2 国外球壳振动的研究 国外对于球壳振动理论的研究主要集中于美国y a l e 大学的a k a l n i n s 等人，他们 于本世纪六十年代对扁壳、封闭球壳、半球壳等应用薄膜理论、弯曲理论作了大量的 理论方面的工作，最终将球壳振动的理论解归结为复变量l e g e n d r e 函数，通过编制程 序求解，得到了轴对称、非轴对称振动情况下的频率理论解答 1 9 1 关于实验方面的研究则做的比较少，美国的c h i n t s u nh w a n g 等人对半球壳的轴对 称和非轴对称振动做了一些实验研究，并与a k a l n i n s 等人的理论解做了比较。 1 4 半解析有限元法概述 1 4 1 半解析数值方法简介 半解析数值方法是指分析过程中采用部分解析解或解析函数的数值方法，它是相 对目前广泛采用的各种数值方法( 有限差分法、有限单元法等) 而言的，是具有广泛含义 的一类数理方程的数值方法。半解析数值方法的实质是充分发挥已有解析方法的研究 成果以减小纯数值方法的计算工作量。一般说来，在半解析法中将通过解析手段来减 少数值计算的维数，同时又通过数值离散手段来弥补人为所取解析函数的不足，以逼 近真实解山l 。 半解析方法一般分为七类，其中的前四类是最基本的。它们的区别在于数值与解 6 析两部分是按什么原则结合起来的这四类包括：分向、分域、分部、分区半解析法。 其中，分向半解析法是指多维问题的解函数在某些方向上采用解析函数，而在令一些 方向上仍保留离散和插值。类似一般有限元法进行变分求解，可建立相应低维离散化 方程，大规模简化工作量，一般称之为半解析有限元法，半解析有限元法最早提出的 是一种有限条法。 1 4 2 半解析有限单元法简介 半解析有限单元法是将半解析法用于有限单元分析的一种方法，是一种分向的半 解析法。与一般的有限元法类似，半解析有限元法也进行变分求解、建立离散化方程 等步骤，所不同的只是将形函数设成半解析函数。半解析函数主要由一些方向上的解 析函数族和另一些方向上的分片插值函数构成。它是半解析方法中一类重要的解函数， 本身就具有半解析半离散化的特点。半解析解函数中的解函数部分在半解析有限元法 中具有十分重要的作用，它的存在使得半解析有限元法得以具有降维和节省工作量的 特点，它的选择应满足下列条件【1 3 h 1 4 】： ( 1 ) 在域内连续及n 阶可微( n 为控制方程的最高阶次) 。 ( 2 ) 满足相应控制方程所需要的约束条件( 如果采用位移变分原理，要满足位移边界 条件1 。 ( 3 ) 是完备的线性无关函数序列。 ( 4 ) 要反映解析函数沿该方向的分布规律。 ( 5 ) 在数学上表达式尽可能简单。 解析函数一般可采用下列解函数： ( 1 ) 相应一维问题的齐次线性方程满足边界条件的特征函数( 向量) ( 2 ) 相应简单问题( 包括匀质化，线性化、等刚度化、形状规则化等) 方程的齐次方 程通解函数或其分离变量函数 ( 3 ) 用原始康特洛维奇法，设某方向x k 的未知函数f ( x k ) ，用该问题的变分方程求取 f ( x o 。作为耻方向的解析函数。 半解析解函数中分片多项式插值函数的含义与作用类同于有限元的形函数，但具 体形式有所不同，因为半解析解函数中插值函数是用来插值节线、节面的，而不是节 点 半解析有限元法具有以下一些特点f 1 ，j ： ( 1 ) 由于采用部分离散与分片插值，因此对形状、网格、材料、边界有一定的适应 性。 ( 2 ) 由于以变分方程为基础，主要运算化为计算定积分【m 】、f k l 、i f 及求解代数或 常微分方程组，因而具有简易性 ( 3 ) 所有运算采用矩阵形式及化为代数方程组，易于上机计算，并且具有程序统一 7 性的特点。 ( 4 ) 由于引入解析函数，可使多维问题得以降维，因而可减少自由度及计算工作量 不同问题有不同的半解析解函数，正确选择半解析解函数是推导和计算的关键。 1 4 3 半解析球壳单元法简介 半解析球壳单元法是半解析有限单元法中的一种具体形式，它适用于结构为轴对 称( 如球，半球等) ，而受到的外载荷不是轴对称的结构。这类的半解析的球壳单元将采 用球坐标系建立基本算式，采用轴向离散而环向解析的半解析函数，从而将二维问题 降为一维问剧1 4 l 。 1 5 本文研究的主要内容及工作 主要研究半球谐振陀螺仪的核心部件一半球谐振子的振动问题，在理论研究基 础上利用有限元方法对谐振子的振动进行分析，在分析的过程中使用半解析球壳单元 法和m a t l a b 、a n s y s 等软件，并编制m 语言文件程序和v b 语言程序对半球谐振子的 半解析球壳法进行计算 1 、对半球谐振子的振动特性的数学理论研究 半球谐振陀螺仪的核心部件是半球谐振子，它可以简化为一个等壁厚的薄壁半球 壳，开口端的边界条件是自由边界，其封闭端作为固定边界根据经典的薄壁球壳理 论，可以推导出半球壳振动的固有频率和振型，进一步可以得到半球壳在激振力作用 下的响应公式。利用经典薄壁球壳理论，推导出半球壳振动的固有频率和振型，并在 此基础之上引入基希霍夫一李雅夫假设推导半球谐振子的运动方程，求出进动系数k 利用响应公式及半球谐振子的运动方程可以从理论上计算出谐振子相关的振动特性， 这也是我们研究的目的之一 2 、半球谐振子的振动特性分析与软件仿真 从分析半球谐振子的物理特性入手，对球壳的谐振频率，进动特性，环向波数n 进行数学分析。在此基础上对半球壳谐振子的球壳和杆进行耦合振动有限元分析，建 立有限元方程，并给出算例。 建立甲型半球壳谐振子的有限元模型，应用a n s y s 软件对半球谐振陀螺仪谐振 子的振动特性进行有限元分析，计算出谐振子的固有频率及振型，并且分析结构参数 对振动特性的影响，为结构参数设计和激振频率选择奠定基础。最后总结仿真数据和 分析结果给出半球谐振子设计的合理设计参数。 3 、利用半解析球壳单元法计算球壳振动特性及其计算机程序设计 半解析球壳单元法是半解析有限单元法中的一种具体形式，它适用于结构为轴对 称( 如球，半球等) ，而受到的外载荷不是轴对称的结构。这类的半解析球壳单元将采用 8 球坐标系建立基本算式，采用轴向离散而环向解析的半解析函数，从而将二维问题降 为一维问题。利用半解析球壳单元法推导出半球谐振子的振动特性的半解析数学公式。 随后利用v i i 语言和m a t l a b 的m 语言编制半解析数学公式的通用运算程序。 9 第二章半球谐振子振动数学模型推导 半球谐振陀螺仪的核心部件是半球谐振子，它可以简化为一个等壁厚的薄壁半球 壳，开口端的边界条件是自由边界，其封闭端作为固定边界【1 2 1 。根据经典的薄壁球壳 理论，可以推导出半球壳振动的固有频率和振型，进一步可以得到半球壳在激振力作 用下的响应公式 2 1 薄壁球壳固有振动理论推导 在球坐标系下，当薄壁球壳只承受径向激振力且只考虑径向阻尼时其波动振动方 程为【1 2 1 ： f l h ( 仍口，f ) + l 1 2 v ( 妒，0 ，f ) + 工廿w ( 妒，0 ，f ) - 0 l 2 1 u ( 妒，0 ，f ) + 工笠v ( 妒，0 ，f ) + 工嚣以妒，0 ，f ) - 0 ( 2 1 ) l l 3 l “( 妒，0 ，f ) + l 3 2 v ( 妒，0 ，f ) + 工”咖，0 ，f ) + ( 0 a 呱妒，0 ，t ) o t - f ( o 其中： k ( 幻= l ，2 ，3 ) 是偏微分算子，具体形式见振动方程算子表 ，0 ，f ) ，v ，0 ，f ) ，仰，0 ，f ) 分别是球壳的经向、环向和径向的位移分量： ，( f ) 墨笔当6 ( 8 一日( f 咖t 。b 6 ( o 一日( f ) p ； 己厅 式中：一( f ) - r ( o a t 气 r ：球壳的中面半径，v ：球壳材料的p o i s s o n 比，h ：球壳的厚度，0 ，妒分别是球壳 的环向角和纬向角，p ：球壳的质量密度，e ：球壳的弹性模量，f o 激振力力幅，( f ) ： 半球壳的转动角速度，- ：激振力频率。假定阻尼c 很小，可以忽略不计，则方程( 2 1 ) 所对应的齐次方程( 自由波动方程) 的解可以写成下述形式： 。 ，口，f ) 一薹u ，疗) c o s ( q 。f f ) y ，口，t ) - 屹 ，口) s i n ( q t f ) ( 2 2 ) w ，p ，t ) - z 既如，o ) c o s ( q f f ) l o 式中： q - w m - g ； q ：球壳的频率系数； 图( 2 1 a ) 球坐标系图( 2 1 b ) 球壳微兀受力分析 将式( 2 2 ) 代入到方程( 2 1 ) 5 b ，则方程( 2 1 ) 变成如下形式： f 。u ( 妒，口) + 厶：( 中，口) + t ，- 吃( 妒，一) 一0 t ，u 。( 妒，一) + 屯圪( 妒，口) + 二件o ( 妒，口) 一0 ( 2 3 ) i t 。u ( 妒，p ) + 如匕仰，口) + t ，伟o ，口) 一0 其中： o ，- 1 , 2 , 3 ) 是算子，具体形式见振动方程算子表 设辅助函数u ，p ) ，妒 ，0 ) 为： 以。掣一妒。s i n ( v ) y 。1 _ 旦竺二( 2 4 ) s i n ( 妒) 8 0 将辅助函数( 2 4 ) 代入到方程组( 2 3 ) 中第二式中，并将整个式子对0 积分，则： 一( 半蛳2 娜妒弘一枷巾吵堆：正 晓5 ， 十v 一击p + 2 + ( 3 宁9 ) 叫卜一。 再将( 2 5 ) 式两端对妒微分得到： 1 1 得到： ( 2 6 1 ) + “姻：毋妒卜妒。咖妒) + 警c s c 妒等 一 + 二妒篆一争粤，礤扔等 眩繇 一2 嘟。妒害u u 笔。 r + 半- 舷妒c s c 2 妒等 紫i 篓麓+ 堂些胍耐螂拙+ 。 由( 2 6 1 ) 减去( 2 6 2 ) 式，注意结果中消去荧予u 。利w ”恍”一 陋2 m 鲁q ：弘一却 羲蘩滋数( 猫 戴入爨方程( 2 。) 孛棼三式褥熬： + 陪卜2 p 卜 2 一一l + k 璐 l + v ? 致方程( 2 5 ) 彝( 2 8 ) 孛溃去露2 v 2 参- 压褥裂杉_ 零表达式： 一一- 啬黼赫一番矧 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 1 2 袅拳 等幽州 t 亟扩乳 曼 矿 嚣0撇蹦出 一 锵 七一十 。一枷 觯 一，中 、t， 庸一： 一矿爿亟矿工婶 塾：扩百 砖 铲一印 叶 哈 妒t|几一审 谴 _涟一d 雌 誓等榔 v 州 妒 ” 榭鲁 轳 蕊 俐芬 醐 姗 渊争 舢 删 旺 妒曼 婶p 吁 圆 明k r “r 再 ：m 。q q i 孬 2 _ 娜南 以- ( 1 + v ) f l - v + k o y ) 】+ 1 - ( 2 + 5 v ) k + ( 1 2 - 鬲5 6 广v ) k 2 _ ( 2 + 一0 6 v ) k 3 2 k 2 ( 1 0 6 x 1 + 1 8 k ) 5 ( 1 + 七) 注意到恒等式： 叫s 缸伊等) 。击寺( s 证2 则劬) 将( 2 7 ) 式代入到( 2 1 0 ) 得： 叫s 蛔矿等) 一拙篙剖扣血2 9 ) 将( 2 9 ) 两边以足2 v 2 作用，注意到( 2 i i ) 式则得到： 足：v z 况一上! 鲤! 墅：翌! 。 s i n 妒a 妒 注意到( 2 8 ) 式与( 2 1 2 ) 式左边完全相同，得到： 妇6 v 6 + k a l r 4 v + 口：r 2 v 2 + 口，舷。0 其中： a 。- 岛+ g y + 七。q ：) 口z 。芦：+ 七【2 + ( ，一；1 七) q ：】6 一v + 七- q ：) 口，一【2 ( 1 + v ) 一o + k ) w a l + k 地一v + 七。q ：) 将方程( 2 1 3 ) 作因式分解 伍2 v 2 一，。肚2 v 2 一，：妇2 v 2 ，3 ) 。0 其中： y t ，y ：，r ，是特征根方程( 2 1 5 ) 的三个根。 k y 3 + k a l ，2 + 口2 y + 口3 - 0 则可以得到w m 的解： ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 警 f 忸“v 凤一0 ( r 2 v 2 一r ：k - o l 伍：v ：一，k 0 将方程( 2 1 6 ) 代入辅助函数( 2 4 ) 中，得到关于西的表达式 珏妻嘎一布翩一百a c y 铲瓦兰* ( f - 1 ，确 毛。f 万面硒i 习f 巧研 p 训 将式( 2 1 7 ) 和( 2 7 ) 代入到辅助函数( 2 4 ) 式中，则得到u 的表达式： 以一扣+ 布而而1 一等 屹一塞s t 百a w 一布而而1 一等 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 对于环向封闭的球壳，进一步可以将振型u i ，圪，矸0 和辅助函数妒- 设为如下形式： u 。- 【，_ ) c o s 似口) 硒 匕一p 乙如) s i n b 8 ) 怠 ( 2 2 0 ) 服一b ) c o s b 口) 九- 艺妒。b ) c o s b 口) 将方程组( 2 2 0 ) 三式代入式( 2 1 6 ) ，注意到球坐标下l a p l a c e 算子的表达式，得到： 掣一掣+ 卜击卜阱。 令：一y t m m 一+ 1 l ，则： 三 聊一。( 扣) 2 一三 则得到a s s o c i a t e dl e g e n d r e 方程： 1 4 掣掣十。似“) 一矧咖。 ( 2 2 l 葡理将_ 蠢程维( 2 ) 霞式代入式( 勰) 串： 掣+ 铆掣一戋妒一( 2 + 焉2 k ! q ：弘如) 却 令： 2 + 一2 10 2 。埘。b 。+ 1 ) 工一y 嬲： 母矧q ：) 2 粥又褥爨a s s o c i a t e dl e g e n d r e 方舔； 氇掣涮妒墼d q 趔, 十小1 ) 一番卜“) - o 心忽 d 妒i跚甲j 方程( 2 1 2 l 窝( 羔2 2 ) 熬簿秀： 钆吃汹s 妒) + b 。q 乞协妒) ( i - 1 2 ，3 ) 2 2 3 妒。巴如妒) + 戤酸。协妒) 2 2 4 其中： k ，一。，b m 为常数，建第一类加粼 c i a t c d k g c n d 砧函数，q 乞协妒) 是 第二类加s o e i 8 瞳k 黟n 盘e 丞数，x ( 2 。2 3 ) 式霹爨褥舞谤么和 瓣表达式： 既b ) 。妻k 咒如妒) + 吃舾矿) 】 2 蕊1 将( 2 渤) 一式和二忒代入( 2 1 8 ) 可以得飘) 的表达式： u 川一妻s 儿掣一羽丽硒1 两妒一 将( 2 2 0 ) 二式和三式代入( 2 1 9 ) 可以得羽) 的表达式： 吃咖一南妻+ 莉赢碉掣 旺捱3 在计算频率系数的时候，预先选定一组球蠢的参数，包括球壳的p 面s s o n 比v 以及 厚度和半径比h 服，然厝假设一个节径数m ，采用越代法求频率数q * ，如果浆一个q 一 蓬傻矩簿方程( 复鏊) 成立，辩为掰求戆频率系数。 球巍的解表达交簧交量b g e 矗纛瓣函数豹形式，嚣露绣霉劐戆矩黪必复数矩蓐，毽 是根据复变量l e g e n d r e 函数的圆锥污程性质，当频率系数在不同的区域内时，选取不 礤瓣憝瑗方式，侵复楚簿交舞实矩簿，蓑爵潋秘疆上述办法求勰。 2 。2 毕球壳谐攮予运动方程 壳热戆教学逶魂方程是建立客蒸攀霍夫一一攀稚夫黻浚熬麓主戆，戴瑕设包掇以 下a 焘：变形翦经弼蘩轰予麦钵孛瓣表瑟豹壹线在交形嚣猿然垂直予这一袭霆；辫壳 体厚度的法线段的长度在变形过程巾保持常值；猩相邻的平行予中间表面的薄壳层表 瑟潮产璧鹣法两成秀毒痰宓张萋戆箕它努爨狸魄是，奎量，霉錾忽蝰不诤i 坶。 基希餐夫一李猿失弦浚傻褥掰戳建藏薄袁嶷形豹惩秀瀚彤。在藏祷凝下，变 形楚中阗表面点豹留囱位移x 和这一平面豹法囱位移x 的稻，这里x 是率球薄壳串麓 表磁上点的局部嫩标( 燃2 动。 ( l ( 力，( ”坐檬；口，v + 坤位嚣矢量分蘸；毛，如，嚣薏蟪艇量， 鞠2 2 薄巍交澎鞲 这爨爨接绘掇毁热速疫q 绕对嚣辘旋转舞鲶予癸毒载薅穆耀下熬半絮游援子边缘 的运动方程： 蓐 ( 何+ - d 胁、la 2 u r + ( 即堕r 2 1 ) 堕o 妒2 + v h 巩+ 半) 啬 坩( 1 + v ) 石a w 一旦a of l 塑a 0 2 + 鱼a 。7 21 ) 旦r 2 一班2 _ i l 塑o t 2 + r x i 。 一+ 鲁) 意+ ( 日+ 旦r 2 ) 1 立o q j 2 + ( 日t + 生r 2 1 ) 立0 0 2 + ( 1 + v ) 嚣 - - d 却8l ( 护8 2 w + 塑a q 。2 k ) 害掣2 q 詈峭_ 。 一日o 丽o u + 导寺( 器+ 鲁) 一日。川嚣+ i d ：。0 烈( 。a 口2 v r + 等) 一日( 1 一咖一詈( 害+ 2 o o e a 生。r 2 + 塑a f t 4 1 ) 一加2 害+ 2 肛2 q 詈 + r z 。= o ( 2 2 6 ) 式中： h - e h ( 1 一，2 ) ： h 。- e h 【2 0 + v ) 】： d - e h 3 止2 ( 1 _ v 2 ) j ： d l - e h 3 2 4 1 + v ) 】： 工，k ，z 外作用分布载荷在局部坐标系轴上的投影当俾- l - z io ) 时为 谐振子自由振动的情况，同时假设谐振子是理想的，也就是它的所有参数：密度、厚 度、半径、杨氏模量和泊松比与圆周角度无关，都是常值。 为了得到右端为零的方程( 2 2 6 ) 的解，使用布勃诺夫一一加廖尔金法，得到描述 理想的半球谐振子二阶固有振型的动力学方程： i m op o ) 一2 q b q ( t ) + c o p ( f ) - 0 l m o 口( f ) 一2 q b p o ) + c o q ( t ) 一0 式中， 珊。2 月2 n 珊。2月2了(u2+v2+weph s i n o d 0 ( 2 2 7 ) 1 7 j 2 b - 2 , c h r 3 掣s i n o d 0 e c o 。驭+ 詈) 如一2 ) + ( 峨+ 导妙_ 引2 ) + p ( 1 + d + 詈1 缈移+ 删棚谚 _ 2 i - 1 0 + v 矽2 + 暑眵。形一圳r 一一2 拓v + y 矽+ 8 w w + 矽切一1 6 w 2 珏s i n o d 0 谐振予边缘的径向搬动： 以妒，f ) 一矽p ，2 妇( f ) o 姻却+ g ( f ) s j n 却】 ( 2 2 8 ) 褒警嚣上取燕誊零坐标系著磷究其蓉专尔擞耩按x = 文1 ) ，y 镧( | ) 袈律黛囊二熬各熹黪 轨迹。由方程( 2 2 7 ) 哪见，如果q 一常值，p ( t ) 筹q lq ( t ) 按谐波规律变化那么平面t 各点的轨迹是李萨如图，可以证蜜，波动过程的特性影响李萨如图的形状。如果( 2 2 8 ) 是纯的鹱波，那么誉萨如图就是段直线( 图2 3 , a ) ，如果谯谐振子的边缘土的振动过 程是缝戆行渡，那么李萨鲡蚕蓑楚一令函( 强2 3 , b ) 。式g 。2 s ) 莛旋转豹谤强予孛被激聚 的驻波，那么李萨如图就是一个椭圆，其主轴相对坐标系变换方位，并殿这一椭圆的 一个主轴与o x 轴的倾角等于2 0 , 0 为驻波波腹相对于谐振予的当前方位角( 图2 3 ，c ) 。 半弗 i i , 豳2 3 李萨如图 巍磷究半球陀螺谐蕹子振动跨发现，嘉一耱瓣藩半球落缀懿影穗较大，送建对方 程( 2 2 7 ) 迸一步详细研究为： 将( z 2 7 ) 的第一组方程乘上i ，同第二缀相加，引入复函数z ( t ) -