（固体力学专业论文）有限元法在期权定价中的应用.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 期权作为金融工程领域中最重要的衍生产品，种类繁多，品种各异。除了极 少数标准的欧式期权具有解析解以外，其他大多数期权的价格都只能通过数值求 解得到。本文应用迦辽金有限元方法进行不同种类的期权数值定价以及美式期权 自由边界求解的计算研究。定价研究的对象包括四种不同的期权，即单资本期权、 双资本篮子期权、连续算术平均亚式期权和离散算术平均亚式期权。在每一种期 权中，还包括欧式、美式、看涨、看跌等各种类型。 计算探讨了单资本期权有关的风险控制参数d e l t a 、t h e m 、v e g a 和r h o ，数 值比较了美式期权和欧式期权中这些参数的异同。并对单资本美式期权的定价和 自由边界的确定进行了方法探索性的研究，为进一步求解双变量美式期权自由边 界问题打下基础。 双资本篮子期权是本论文研究的第一个双变量期权定价方程，通过建立其二 维有限元模型，计算探讨了三角形和四边形平面单元对定价精度的影响，以寻求 最优的单元形式。特别需要指出：由于采用局部加密网格这一有限元最具特色的 离散方案，精度和收敛性显著改善，比获得同样精度的均匀网格方案要少用很多 节点和单元，从而节省了计算时间。这部分的研究成果对亚式期权的研究具有非 常好的指导意义。 论文尤其对亚式期权的有限元法定价算法进行了较深入的计算研究，研究的 亚式期权对象，既有欧式的，也有美式的；既有基于固定执行价格型的，也有基 于浮动固定执行价格型的。采用不同有限元离散网格模型，尤其是局部加密网格 模型，结合不同的时间差分格式进行了精度和收敛性的计算研究。探讨了求解域 的截取，单元密度等对定价精度的影响。此外，对美式一亚式期权定价问题的自 由边界进行了数学描述并进行了数值求解确定，结果表明有限元法能有效地确定 美式一亚式期权的自由边界。 本文通过大量期权算例的测试，计算分析了有限元法进行不同种类的期权定 价的精度和收敛性，以及局部加密网格模型对改善定价精度的影响。计算结果充 分表明了有限元法是一种具有良好精度和收敛性的有效的数值定价方法。 关键词有限元法、期权定价、自由边界问题、美式期权、篮子期权、亚式 a b s t r a c t o p t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n td e r i v a t i v e si nf i n a n c i a lm a r k e t t h e r ea i e m a n y t y p e s o f o p t i o n , b a t f e w o f t h e m h a v e a v a i l a b l e 锄a 1 _ y t i c a ls o l u t i o n s s o w e h a v e t od e v e l o pn u m e r i c a lm e t h o df o rp r i c i n go p t i o n sw h i c hd on o th a v ea n a l y t i c a l s o l u t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w ea l ed e v o t e dt oa p p l y i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) f o rp r i c i n go p t i o n s w er e s o l v ef o u rd i f f e r e n tt y p e so fo p t i o n ：s i n g l e a s s e t o p t i o n ，t w o a s s e t b a s k e to p t i o n , c o n t i n u o u s l yo b s e r v e da s i a no p t i o na n d d i s c r e t e l yo b s e r v e da s i a no p t i o n w h e np r i c i n gs i n g l e - a s s e to p t i o n , w ei n v e s t i g a t et h ea m e r i c a n - s t y l eo p t i o n s w i t hf r e eb o u n d a r y w ea l s od i s c u s st h er i s km a n a g e m e n tp a r a m e t e r s ( g r e e k s ) o f s i n g l e - a s s e to p t i o n , s u c ha sd e l t a , t h e m , v e g aa n dr h o ，a n dc o m p a r et h ed i f f e r e n t p r o p e r t yo f g r e e k so f a m e r i c a no p t i o nt ot h o s eo f e u r o p e a no p t i o n ，。 1 1 l et w o - a s s e t b a s k e to p t i i st h ef i r s tt w o - d i m e n s i o no p t i o np r o b l e m i n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n w eb u l i dt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lf o rt h eb a s k e t o p t i o n , a n da p p l yt r i a n g l ea n dq u a d r a n g l ee l e m e n t si i lt h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n b e s i d e s ，w eu s el o c a lr e f i n e m e n tm e s h e si nc o m p u t a t i o n sa n do b t a i nb e t t e rr e s u l t s p r i c i n gt h ea s i a no p t i o nw i t hf e m i st h ek e yp a r ti nt h i sd i s s e r t a t i o n a s i a n o p t i o nc 髓b ec l a s s i f i e di n t om a n yc a t e g o r i e sa c c o r d i n gt od i f f e r e n tc r i t e r i o n s 。s u c ha s e u r o p e a nt y p ea n da m e r i c a nt y p e ；f i x e ds t r i k et y p e a n df l o a t i n gs t r i k et y p e ； c o n t i n u o u s l yo b s e r v e dt y p ea n dd i s c r e t e l yo b s e r v e dt y p e w ea p p l yf e m f o rp r i c i n g d i f f e r e n tt y p e so ft h ea s i a no p t i o n , a n dp r e s e n tt h em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o no ft h e f l e eb o u n d a r yw h i c ht h ea m e r i c a na s i a no p t i o nh a s w ea l s oa p p l yl o c a lr e f i n e m e n t m e s hs c h e m e si nn u m e r i c a lt e s t i n g s a n dl e a dt os i g n i f i c a n te f f i c i e n c yg a i n so v e r u n i f o r mm e s h e sw i t hc o m p a r a b l en u m b e ro f e l e m e n t s f i n a l l y , w et e s tm a n yn u m e r i c a le x a m p l e sf o ro p t i o np r i c i n g ，a n dt h en u m e r i c a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h ea c c u r a c y , c o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n c y k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，o p t i o np r i c i n g , a m e r i c a no p t i o n , b a s k e to p t i o n , a s i a no p t i o n , f r e eb o u n d a r yp r o b l e m 1 l - 学号边纽盆舀 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。掘我所j 玎，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘鎏盘鲎或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 笱握朴 签字日期：歹缈莎年6 月z 目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解澎姿盘鲎有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝姿盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学雠文储躲觞州 签字日期：劢咿每彦月力扫 一名：参i 签字日期：以年c 月i 弓日 浙江大学硕士学位论文 第一章期权及其定价概述 1 1引言 期权作为一种重要的金融衍生产品，随着金融市场的不断发展和开放，扮 演着越来越举足轻重的角色。本章从期权市场的历史发展、期权产品的种类与特 点等方面对期权做了一个比较详尽的介绍。同时还介绍和推导了期权定价模型 b l a c k s c h o l e r s 模型，并概述了几种有代表性的期权数值定价方法。 1 2 期权的发展历史 期权交易的雏形可以追溯到公元前3 5 0 0 年，当时古希腊和腓尼基的商人为 应付贸易运输中出现的突发事件，事先向船东支付一笔保证金，以便在必要时得 到额外的舱位，从而保证能按时运货。到公元1 7 世纪，荷兰出口大量的郁金香， 荷兰商人为了避免郁金香价格的波动，便采用期权方式进行规避风险。期权在美 国和英格兰的盛行是从1 9 世纪初开始的，主要是涉及农产品的看涨期权和看跌 期权。 现代期权交易的一个具有历史性的时刻是1 9 7 3 年。在此以前，期权的交易 都是在场外进行的，期权类型包括商品期权和股票期权等。到了1 9 7 3 年2 月1 日，美国证券和交易委员会( s e c ) 同意芝加哥期权交易所( c b o e ) 注册成为 全国性证券交易所，并在c b o t 试验上市普通股票期权的交易。1 9 7 3 年4 月2 6 日，随着芝加哥期权交易所的正式成立，开创了期权交易的新时代。从此，期权 合约在交易程序、交易品种以及交易月份等方面实行了标准化。此后期权交易又 推广到了美国各大期货交易所，比如芝加哥商业交易所( c m e ) 、纽约商品交易 所( c o m e x ) 、芝加哥期货交易所( c b o t ) 、堪萨斯期货交易所( k c b t ) 、费 城期货交易所( p b o t ) 等。 随着世界期货市场的发展，英国、日本、加拿大、法国、德国、瑞士、新加 坡、荷兰、澳大利亚，芬兰乃至中国香港等都成立了期权交易所或期权交易市场。 期权交易的种类也开始丰富多彩起来，包括股票、商品，股指期货、外汇，国债 等近1 0 0 多个品种。 而我国也将于2 0 0 7 年，根据w t o 协定，全面开放我国的金融市场，所以 金融市场的创新将成当务之急。上海证券交易所和深证证券交易所也在2 0 0 5 年 下半年开创了数支权证，而中国证券期货监督管理委员会也决定在上海创办一家 金融衍生品交易所，以进行金融期货和金融期权的交易。相信在不久的将来，中 浙江大学硕士学位论文 国的期权市场一定会大有作为。 1 3 期权及其分类 1 3 1 期权的概念与特点 期权( o p t i o n ) ，它是指在确定的日期或该日期之前，持有人享有依照事先 约定的执行价格( s t r i k ep r i c e 或e x e r c i s ep r i c e ) 买进或者卖出某种标的资产的 权利。所谓期权交易，实际上就是这种“权利”的买卖。对于期权的买方来说， 购买期权就是购买了一种权利，该权力可以使他在一定日期内或到期日之时，以 一定的价格购买或者出售一定数量的某种标的资产，条件是他必须在购买时支付 一定的权利金。对于期权的卖方而言，他必须承诺在期权有效期内，当买方行使 期权时，则必须按事先约定的价格，出售或购买该标的资产，这是他必须履行的 义务，但他可以事先收取一定的费用作为补偿。这种费用就称为期权费，即期权 价格。 与其他的金融工具相比，期权交易更加复杂，一般而言，有以下三大特点： ( 1 ) “标的”的特殊性。期权是一种可以买卖的权利。期权交易是以这种特 定权利作为交易标的，而不同于其他交易方式。比如期货交易的交易标的是期货 合约，而股票交易的交易标的就是股票本身。 ( 2 ) 权利义务的非对等性。在期权交易中，期权的购买方享有在有效内买进 或卖出一定数量的某种标的资产的权利，但并不负有必须买进或卖出的义务，因 此对以期权购买者来说，当支付了期权费后，他只有权力，而没有义务。但对于 期权的出售方，在收取一定数额的期权费用后，他只有义务，而没有权利，该义 务便是一旦买方要求行使期权，他则必须及时按约定的执行价格卖出或买进一定 数量的某种商品。 ( 3 ) 风险与收益的不平衡性。对于期权的购买方来说，其所承担的风险是有 限的。其可能遭受到的最大损失就是购买期权时已经支付的期权费，然而由于购 买方具有行使买进或卖出期权合约标的资产的决定权，所以获利机会比较多。特 别是购买看涨期权的情况下，其收益额理论上可能将是无限的。但对于期权的出 售方，他在期权交易中所面临的风险是很难准确预测的，具体的说，在出售看涨 期权情况下其风险可能是无限的，在出售看跌期权的情况下可能是有限的，但也 是非常巨大的。与其所承担的风险相比，期权出售方的收益永远是有限的，即期 权购买方所支付的权利金。 由此可以看出，期权的确具有很多其它金融工具所没有的特点，但也就是这 些特点，使得期权更具魅力，在风险规避方面有其独特的作用。 浙江大学硕士学位论文 1 3 2 期权的种类 ( 一) 按照期权相关标的资产的买进和卖出的性质划分，期权可以分为看涨期权和 看跌期权两大类 看涨期权( c a l lo p t i o n ) ：它是指期权买方将按照事先约定的执行价格，在规 定的期限内享有向期权卖方购入某种标的资产的权利，但不负有必须买进的义 务。 看跌期权( p u to p t i o n ) ：它是指期权买方按照事先约定的执行价格，在规定 的期限内享有向期权卖方出售标的资产的权利，但不负有必须卖出的义务。 ( 二) 按照期权交割的标的资产进行划分，期权又可分为期货期权、指数期权、外 汇期权和利率期权 期货期权：它是指以商品期货合约为标的资产的期权形式，期货期权在实际 交割时并不是期货合约所代表的商品，而是期货合约本身。 指数期权：它是指以股票指数作为标的资产的期权形式，但到期日不进行实 物交割，而是直接用现金结算。 外汇期权：它是指以外汇为标的资产的期权形式，包括外汇现货期权与外汇 期货期权两种类型。 利率期权：它是指以国库券等债券作为标的资产的期权形式，这类债券主要 有国库券、政府债券、大额可转让订单等。 ( 三) 按照期权交易履行合约的日期划分，又可分为欧式期权和美式期权 欧式期权是指期权的购买方只有在期权合约期满日( 即到期日) 这一时问点 上，才能要求行使其权利的期权。 美式期权是指期权购买方于合约有效期内的任何一天均可以行使其权利的 期权形式。可见美式期权与欧式期权相比，在权利行使日期上更具有弹性。因此， 在一般情况下，美式期权的价格要比欧式期权贵一些。 前面谈得这些期权类型主要是针对标准期权而言，此外，还有奇异期权 ( e x o t i co p t i o n ) 。奇异期权由于其非标准性，一般在场外市场( 0 t c ) 交易的 比较多。当然也有少数历史久远、交易量较大的也在交易所进行交易，比如亚式 期权。虽然奇异期权的种类繁多，但根据其基本特点，将它们大致分为三类： 第一类，路径相关性期权。它的特点是期权的最终价值基本上取决于标的资 产的价格变动过程。主要包括以下几种期权类型： ( 1 ) 亚式期权( a s i a no p t i o n ) 。其又可分为固定执行价格型期权和浮动执 行价格型期权。其中固定执行价格型亚式期权是指在到期日的收益函数与标的资 产在一定时间段内的平均值与执行价格之间的差值有关，其中执行价格在合约开 始时就已经确定下来。浮动执行价格型期权是指在到期日的收益函数与标的资产 浙江大学硕士学位论文 在一定时间段内的平均价格与其在到期日的终点价格之间的差值有关，其中的执 行价格没有预先确定下来，而是取这段时间的平均价格作为执行价格。 ( 2 ) 障碍式期权( b a r r i e ro p t i o n ) 。其又可分为两大类：敲入期权和敲出期 权。敲入期权是指因标的资产的价格到达一定水平而开始生效的期权；敲出期权 是指当标的资产的价格达到一定水平而失效的期权。因此障碍期权的损益取决于 在某一特定时间段内标的资产的价格是否达到一定水平。它是典型的路径相关型 期权，其最终价值取决于标的资产价格的运动轨迹。 ( 3 ) 回顾式期权( l o o k b a c ko p t i o n ) 。其又可分为两类：浮动敲定价格回顾 期权和固定敲定价格回顾期权。前者是指在期权到期日，期权持有者可以选择期 权期限内标的资产的最低价格( 对于看涨期权) 或最高价格( 对于看跌期权) 作 为其执行价格，从而使收益最大化。而后者是指它赋予持有者在到期日以期权期 限内标的资产价格的最大值( 对于看涨期权) 或最小值( 对于看跌期权) ，而非 最终价格作为结算的价格，从而使其收益最大化。 第二类，路径非相关性期权。路径非相关性的含义是指该类期权的最终价值 只由标的资产的最终价格决定，而与达到这个最终价格的路径无关。它主要包括 以下几种期权类型： ( 1 ) 二项式期权( b i n a r yo p t i o n ) 。其损益就只有两种情况。如果期权在到 期日处于有利价，则持有者可获得一定数量的现金支付；否则，则持有人的收益 为零。 ( 2 ) 复合期权。即看涨期权的看涨期权、看涨期权的看跌期权、看跌期权 的看涨期权和看跌期权的看跌期权。 ( 3 ) 选择人期权( c h o o s e ro p t i o n ) 。它赋予持有者的权利是在一个确定的时 段后，持有者可以选择决定所购买的期权类型，是看涨期权还是看跌期权。 第三类，其他奇异期权，比如有彩虹期权、篮子期权、交换期权、百慕大期 权等，在这里就不具体展开了，有兴趣的读者可以阅读有关书籍和文献嘲m 。 1 3 2 期权合约的基本参数 无论是看涨期权还是看跌期权，它们都有一下4 个基本参数： 第一，标的资产。即期权购买者行使权利时所买入或卖出的资产。可供选择 的标的资产种类很多，包括股票、债券、货币、利率等金融资产，以及铜、大豆 等其他商品。 第二，执行价格。即期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。执行价 格在签订期权合同时已经固定，不再随标的资产市场价格的变化而变化。 第三，到期日。即期权合同所规定的有效期限。根据期权购买者在期权有效 浙江大学硕士学位论文 期内行使权利的自由度不同，可分为美式期权和欧式期权。其中，美式期权的做 多方在到期日之前的任何一天都可以行使权利，而欧式期权的做多方只能在到期 日那一天行使权利。 第四，权利金。即期权的价格。 此外，一张标准的期权合约还规定了最小变动价位、每日价格的最大波动限 制和交易时间等其他内容。 1 4 期权的价格及其影响因素 期权价值亦即期权权利金的价值，期权价格是期权权利金价值的具体货币表 现。一般的来说，期权价值由两个部分组成：内涵价值和时间价值。 期权的内涵价值是指当期权被立刻执行时，期权的持有者所获得的损益，具 体地说： 看涨期权的内涵价值= 标的资产价格一执行价格 看跌期权的内涵价值= 执行价格一标的资产价格 可见，期权的内涵价值可正、可负，也可为零。所以与之相对应的，内涵价 值为正的称为实值期权；内涵价值为负的称为虚值期权；而内涵价值正好为零的 称为平价期权。 期权的时间价值是指期权的价格中超出其内涵价值以外的那一部分。期权是 一段时间内的权利，在这段时间内，价格的变动给期权买方以选择最有利的时机 实施期权的机会。时间越长，这种机会也就越大。这就赋予了期权时间价值，作 为超过期权内涵价值的金额表示出来。 一般影响期权价格的因素有很多，以股票期权为例，概括起来主要有6 大因 素影响其期权价格：股票的现价、执行价格、到期时间、股票价格的波动率、无 风险利率和预计红利。下表假设其中只有一种因素发生变化而其他因素保持不变 时，期权价格的变化： 表卜l ：因素影响表 因素欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权 股票价格升高上升下降上升下降 执行价格变大下降上升下降上升 到期期限增长 不确定不确定 上升 上升 波动率变丈上升上升上升上升 无风险利率上升上升下降上升下降 红利增加下降上升 下降 上升 现对上表进行具体解释说明： ( 1 ) 股票价格和执行价格 如果看涨期权在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的差 浙江大学硕士学位论文 值。随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大；随着执行价格的上升，看 涨期权的价值就越小。对于看跌期权来说，则正好相反，其收益为执行价格与股 票价格的差值，因此当股票价格上升时，看跌期权的价值下降；当执行价格上升 时，看跌期权的价值上升。 ( 2 ) 到期期限 当期权的有效期限增加时，美式期权，不论看涨还是看跌类型，其价值都会 增加，因为有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有 执行机会，还有其他获利机会，因此随着到期时间的增加，美式期权的价值也会 随着上升。 但是欧式期权的价值就不一定随着到期时间的增加而上升。这是因为欧式期 权只能在到期日那一天才能行使，所以有效期长的期权的执行机会并不一定包含 有效期短的期权的所有执行机会。比如同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期 期限为2 个月，另一个到期期限为4 个月。假定，预计在3 个月后将支付大量的 红利。因为红利会使股票价格下降，这就有可能使得2 个月期限的期权的价值超 过4 个月期限的期权价值。 ( 3 ) 波动率 股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的 增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。对于看涨期权的购买者来说， 他能够从股价的上升中获利，并且理论上利润是无限的。但如果股价下跌了，他 的最大损失就是期权费，所以他仅有有限的损失。与此类似，看跌期权的持有者 从股价下跌中获利，但当股价上升时，仅有有限的损失。因此，随着波动率的增 加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。 ( 4 ) 无风险利率 无风险利率对股票期权的影响则不是那么直接。当整个经济中的利率增加 时，股票价格的预期增长率也倾向增加，然而，期权持有者收到的未来现金流的 现值将减少。这两种影响都将减少看跌期权的价值。而对于看涨期权来说，前者 将增加看涨期权的价格，而后者将倾向于减少看涨期权的价格，但可以证明对看 涨期权来说，前者的影响将其主导作用，即随着利率的增加，看涨期权的价格也 随着增加。 需强调的是，所用这些结果都建立在其他变量保持不变的基础上。尤其是， 当利率上升( 或下降) 时，股票价格也将下降( 或上升) 。若考虑利率变化和随 之而来的股价变化的净效应，则可能会得到与上面相反的结论。 ( 5 ) 红利 在除息日后，红利将减少股票的价格。对于看涨期权的价值来说这是个利空 消息，而对于看跌期权来说则是个利多消息。因此看涨期权的价值与预期红利的 浙江大学硕士学位论文 大小呈反向变动，而看跌期权的价值与预期红利的大小成正向变动。 1 5 期权定价及b s 方程 关于期权定价问题的研究最早可以追溯到1 9 0 0 年，一个叫b a c h e l i e r 的学 者在其博士论文中首次给出了欧式看涨期权的定价公式。1 9 6 4 年，s p r e n k l e 提 出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的 可能性。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 基于无套利原理推导了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价方程，为金融衍生产品定价的研究开创了一个新的时代。此外，m e r t o n 于1 9 7 6 年，把b - s 期权定价模型推广到股票价格可能存在跳跃变化的情况，并 包含股票存在连续支付股利的情况，学术界将其称为m e r t o n 模型。 1 5 1 b s 模型基本假设 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型基于以下7 大基本假设m ： 1 无风险利率，已知，且为一个常数，不随时间变化 2 标的资产价格s 的变化为几何布朗运动 d s = 9 s d t + a s d z 3 波动率盯和收益率为常数，不随时间变化 4 标的股票不支付股利 5 对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说，不存在交易费用，且不 用赋税 6 投资者可以自由借入或贷出资金，借入利息与贷出利息相等，均为无风 险利率。而且，所有证券交易可以无限制细分，即投资者可以购买任意数量的标 的股票 7 对卖空没有任何限制( 如不设保证金) ，卖空所得资金可以由投资者自由 使用 1 5 2 b s 方程推导 b l a c k s c h o l e s 期权定价的核心在于设计一个套期组合策略，它由一个期权和 若干标的股票组合而成，并且使得该组合在某一很小时间段内的风险为零，然后 根据无套利定价原理，该组合的收益率就应当是无风险利率，。另一种理解方式 为：认识到一个期权的损益特征可以由标的股票和无风险债券的适当组合来精确 浙江大学硕士学位论文 复制，因此该合成期权所需成本即为所对应期权的价值。下面就对b s 方程进行 具体推导； 首先根据假设，股价的变化是一个几何布朗运动过程 d s = g s d + e r s d z ( 1 - 1 ) 然后假设矿是基于股票s 的某个期权的价格，因此矿一定的是变量s 和时间 t 的函数，根据伊藤( i r a s ) 定理，有 肌学+ 詈+ 圭盯2 豢) a t + 盯- 豢s d zmz ， 接着构造如下套期组合：即在当前t 时刻，以s 买入标的股票a v a s 股，同 时以y 卖空一份期权，则该组合的构造成本a = ( a g a s ) s v ，由于时间变化了 很微小的一个区间缸，所以近似认为a v a s 是一个常数，则该组合的价值彳的 变动刎如下 d a ：竺d s d 矿 ( 1 3 ) 将上面的豳和d y 的具体表达式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 代入( 1 3 ) ，最终得 姒= + i 1t t 2 爱d 矿 ( 1 t ) 根据无套利定价原理、不考虑交易成本等因素，在该时间段组合的收益率应 当是无风险利率，则 d a = r a 一 ( 等 卜 也s ， 最终得到，b - s 偏微分方程 丝+ r s 竺+ 三盯2 s 2 坚：，v( 1 6 ) 它适用于任何一种衍生产品的定价，只要该衍生产品的标的资产价格变化服 从几何布朗运动。对于不同类型的衍生产品来说，其价值矿对应不同的初始条件 和边界条件。而且该方程与反映投资者风险偏好的瞬时期权收益率无关。 最后，b l a c k 和s c h o l e s 给出了由此方程( l6 ) 外加边界条件和初始条件，解 出的标准欧式看涨期权和欧式看跌期权的解析表达式 欧式看涨期权：c = s n ( d 1 ) - k e 一吖“n ( a 2 ) ( 1 7 ) 欧式看跌期权：p = k e 一，“( 破) 一s ( _ 匾) ( 1 8 ) 浙江大学硕士学位论文 其中正：一in(sk)+(r+or22)(t-t) a 4 t t 西：l n ( s k ) + ( r 芒- ：t 7 ；2 2 ) ( t 一- t ) ：吐一盯歹j 1 仃0 t t 1 r 0 ) 为均值为0 标准偏差为1 的标准正态分布变量的累积概率分布函数 k 为期权的执行价格 1 6 期权定价的数值方法简介 1 6 1 各数值方法简介 上面给出的期权价格的解析解，只是针对标准形式的欧式看涨期权和欧式看 跌期权的，然而还有很多复杂的期权类型，它们涉及到多种标的物、复杂的收益 函数、提前执行的可能以及各种动态随机变化的参数等，使得很难得到它们的解 析解。于是一般就用数值方法来求它们的数值解，通常采用的方法有二叉树法、 蒙特卡罗模拟法、有限差分法和有限元法。 二叉树法直观易懂，在计算时是从期权到期日开始，倒推回该期权的初始时 刻，可计算美式和欧式期权。但是当状态变量有多个时，其计算量就会变得相当 庞大。早在1 9 7 9 年，c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 就发展了二叉树模型，以代替b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年发现的b s 方程形式。二叉树模型相对更加直观易懂，因此 自从c o x 等人的文章发表后，有大量的学者将此方法进行改进，扩展，应用更复 杂的期权类型。比如，b o y l e ( 1 9 8 8 ) 将二叉树法应用于带两个状态变量的期权 中。h u l l 和w l l i t c ( 1 9 8 8 ) 将c o s 等人的二叉树模型扩展成为更广泛的多叉树模 型，并用以求解美式期权。b o y l e ，e v n i n e 和g i b b s ( 1 9 8 9 ) 也将其扩展成可以处 理多变量的期权问题。t h o m p s o n ( 1 9 9 5 ) 用扩展的二叉树法求解了带多种执行 决定的期权。f i g l e w s k i 和g a o ，a i m 使用一种网格自适应模型，该方法可以在 计算中局部小范围精细网格以减少计算误差。 蒙特卡罗模拟法利用随机数对许多不同的路径进行抽样，在风险中性世界里 标的资产的价格遵循这些轨迹。每个路径都可以计算出一个终值，并将这个终值 按无风险利率进行贴现，贴现后的终值算术平均值就是该期权的估计值。蒙特卡 罗模拟法从期权的有效期开始到结束一直都在运作，因此只适用于欧式期权，但 是该方法能够处理许多盈亏状态很复杂的情况，特别适用于路径依赖型期权的定 价。并且随着标的资产的增加，其相对而言的效率也会提高。 有限差分法是将b l a c k - s c h o l e s 方程转化为差分方程来求解，和二叉树法一 浙江大学硕士学位论文 样，计算时从期权有效期的最后时刻开始，倒推回到该期权的初始时刻，可以处 理欧式期权和美式期权，并且可以通过不同的差分格式，提高求解精度。 有限元法和有限差分法一样，都是离散b l a c k - s c h o l e s 方程，将全局性的连 续问题转化为求解离散节点上的离散问题，最终求得数值解。当然两者也有很大 的不同。有限元法，不同于有限差分法直接作用于原偏微分方程，而是将原方程 转化成与其等效的弱形式，比如变分形式或是残余加权的积分形式，然后再进行 离散化处理。但同有限差分法一样，都是将原偏微分方程转化成一系列的线型方 程，并将离散节点上的值来代替原连续变量。一般构造有限元方程有两种典型的 方法，一种是变分法，另一种是加权残余法。具体的构造方法详见第二章“有限 元简介”部分。 有限元法比有限差分法具有三大优越之处： 1 ) 有限元法的精度更高，有限元法可以处理不规则区域，但有限差分法却 不行。 2 ) 有限元法在处理边界条件时更具灵活性，因为很多金融问题的，当标的 资产的价格趋近于无穷大时，边界条件都是n e u m a n n 条件，即边界条件包含变 量的导数，这类问题用有限差分法很难解决，但有限元法就相对比较容易。 3 ) 有限元法的最大优点是可以在局部感兴趣的区域细分单元，使得在不增 大很多计算量的前提下，得到要求的精度。所以在离散节点一样的情况下，利用 有限元在局部细分单元，将得到比有限差分法更好的结果。 此外还可以通过应用高阶单元，直接求解期权的各种参数，比如d e l t a 值和 g a m m a 值。因此我们最终选择有限元法来数值求解期权价格。 1 6 2 有限元法文献综述 有限元法应用于期权定价近1 0 年来在西方发达国家出现了不少研究成果。 j 6 r 6 m eb u s c a 在af i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h ev a l u a t i o no f a m e r i c a no p t i o n s ) ) 懈中对最简单的单资本美式期权进行了定价，采用了时空有限元法，其并不区分 时间变量和空间变量的不同，把时空作为一个整体来进行有限元离散，并给出了 具体的推导公式和算例。 s u n b uk a n g , t a e k k e u nk i m y o n g h o o nk w o n 在 f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h e p r i c ea n dt h ef r e eb o u n d a r yo f a m e r i c a nc a l la n dp u to p t i o n ) ”中对单资本期权 的定价问题，采用在空间上使用有限元离散，在时间上使用差分法离散的手法， 对看涨类型和看跌类型都进行了具体的公式推导，同时还具体的对美式期权中的 自由边界进行介绍，给出其数学表达式，并将原来的b s 方程转化为j a m s h i d i a n 方程，使得美式期权的定价和自由边界得以解决。最后还给出了大量丰富的算例 浙江大学硕士学位论文 以说明该方法的有效性。 m i c h a e lj t o m a s , k i s h o r ei c y a l a m a n e h i l i 在( a n a p p l i c a t i o no f f i n i t ee l e m e n t s t oo p t i o n 蹦c i i l g 啊中采用有限元法给单资本期权进行定价，虽然该类期权已经 有了解析解，但文献目的在于展现用有限元法进行数值计算的一般过程，并体现 有限元的优越性。文中通过两种方法，在原有的b - s 定价方程下，进行了有限元 方程的构造。一是通过变分法构造，二是通过迦辽金法构造。同时，文中还给出 了多种类型的形函数进行求解，其中h e r m i t e 类形函数就可以将除了期权价格以 外的其他参数作为离散变量，进行直接求解，比如期权的d e l t a 值。借以说明有 限元的优越性。 g i o v a n n ib a r o n e - a d e s i 。a n ab e r m u d e z , j o h nh a t g i o a n n i d e s 在t w o - f a c t o r c o n v e r t i b l e b o n d s v a l u a t i o n u s i n g t h e m e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i c f i n i t ee l e m e n t s ) ) 嗍中针 对的是可转换证券，并有两个状态变量，即标的资产价格s 和无风险利率，。其 主要思想是在空间上用有限元进行离散，在时间上用特征值法进行离散，成功的 解决了由于定价方程的对流占优问题所引发的数值解震荡现象。在处理美式类型 的自由边界问题时，将问题转变成了一个变分不等式。在求解该不等式时，采用 迭代算法将其转化为一系列的等效变分等式来进行处理。最后通过将计算结果和 真实的可转换债券价格进行比较，说明该方法的有效性。 j u r g e nt o p p e r 在f i n i t ee l e m e n tm o d e l i n go f e x o t i co p t i o n s ) ) “”中对路径依 赖型期权，进行了有限元的定价计算，特别是亚式期权中的两大类型：连续算术 平均模型和离散算术平均模型。通过有限元离散，得到了时间迭代方程。并通过 大量的算例，体现了该方法在处理非规则障碍和处理带局部加密网格方案中体现 出来的优越性，同时还表明了该算法的鲁棒性和稳定性以及通用性。 浙江大学硕士学位论文 z1 引言 第二章有限元法简介 有限元在数学、力学以及工程方面，已经非常成熟，也被广泛应用。在这里， 我们将有限元法应用于金融工程领域，为期权进行数值定价。本章将概述有限元 的发展历史、基本思想，以及通过对双资本篮子期权的有限元方程的具体推导， 展现构造期权定价方程有限元模型的具体方法：迦辽金有限元法。 2 2 有限元的发展历史 有限元的基本思想的提出可以追溯到1 9 4 3 年，c o u r a n t 在求解圣维南扭转问 题，第一次提出了在三角形区域上的片分连续函数和最小位能原理结合的思想。 但只有到了1 9 6 0 年以后，随着电子数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法 才快速发展起来。 现代有限单元法的第一个成功的尝试是1 9 5 6 年t u r n e r ，c l o u g h 等人在分析 飞机结构强度时，将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，并第一次给出了 用三角形单元求得平面问题的正确解答，开创了利用电子计算机求解复杂平面弹 性问题的新纪元。在1 9 6 0 年c l o u g h 进一步处理了平面弹性问题的有限元求解研 究，并首次提出了“有限单元法”的名称，使人们开始认识了有限单元法的强大 功能。 从此，随着现代力学、计算数学和计算机技术等领域的发展，有限单元法越 来越被广泛地应用于各个领域和学科。它由弹性力学平面问题扩展到空间问题、 板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题，分析的对象 从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体 力学，传热学等连续介质力学领域，甚至于非力学领域的一切可用边值问题描述 的模型中。在工程分析中的作用己从分析和校核扩展到优化设计和计算机辅助设 计技术相结合，并形成了巨大的商品产业。 2 3 有限元的基本思想 有限单元法的基本思想是将连续的求解区域通过网格划分，离散成有限个单 元体。由于单元有不同的类型、不同的形状、以及不同的连结方式，因此可以模 拟几何形状复杂的求解域。有限单元法另一大特点是利用在每个单元内假设的分 片近似函数表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场 浙江大学硕士学位论文 函数或其导数在单元的每个节点的数值和其插值函数来表达，于是就变成了求解 未知场函数及其导数在各个节点上的数值，即自由度。最终将原来连续的无限自 由度问题变成了离散的有限自由度问题。当求解出了这些未知量后，就可以通过 插值函数求解各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显 然，随着单元个数的增加，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解 的近似程度也将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将最终收敛于精 确解。 有限单元法是根据原方程及其定解条件，得到其相等效的积分形式，然后再 进行近似求解。一般认为构造有限元方程的方法有两种。一是变分法，二是迦辽 金法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为 某个泛函的交分，因此可以利用变分原理建立有限元方程，从而相当于求解该泛 函的驻值问题。但如果原问题变分的泛函还未找到或者根本不存在的情况，则可 以采用加权余量法来建立有限元方程，其中最主要的就是迦辽金( g a l e r k i a ) 法。 由于本论文讨论的期权偏微分定价方程，除了单资本期权类型外，其它类型 的方程很难找到它所对应的泛函形式，使该泛函的变分正好是该偏微分方程，所 以将采用第二种方法来构造有限元方程，即迦辽金有限元法。 2 4 期权定价方程有限元建模举例 本节针对于双资本期权定价方程的有限元建模说明，展现了整个有限元法的 构造过程。由于主要是为了说明如何构造有限元方程，所以对双资本期权的边界 条件和收益函数，不做具体表述，其详细展开可参见第三章节“双资本篮子期权”。 双资本期权的定价偏微分方程为 詈+ 峨詈+ 嘎爰+ j 1q 2 墨2 筹+ 圭巳2 砰署+ 腭吒墨置器吖肚。q m 写成算子的形式为 k4 - z v 矿+ ( d v ) v 矿一r v = 0 ( 2 2 ) 其中z =d = 丢砰砰 丢婀c r 2 s 是 委阳c