（机械电子工程专业论文）双负材料的电磁动态特性研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 双负材料( d o u b l e - n e g a t i v em a t e r i a l ) 是指在一定频率下，介电常数和磁导率同时为负 的人工复合材料。在这种材料中，单色均匀平面波的相速方向和坡印亭矢量方向是相反 的，因此使双负材料表现出一系列反常的电磁特性如：回波效应、负折射效应、完美透 镜效应和一种极限情况即零折射率材料等。正是由于双负材料的这些区别于其它介质的 特性使其被美国科学杂志评为2 0 0 3 年度十大科技突破之一，并引起全球极大的关注。 本论文概述了双负材料的发展历史和潜在的应用。从理论上分析了双负材料的奇特 电磁特性而且说明了双负材料的两种制备方法：金属细导线和开口谐振环阵列方法、光 子晶体方法。简介了求解电磁场问题的一种方法：时域有限差分法( f d t d ) 。时域有限 差分法是求解电磁波问题的一种行之有效数值计算方法，基于对偏微分波动方程的离散 化处理，通过时f b j 和空间的离散化，将偏微分方程组转化为差分方程组，进而求解波传 播过程中各个离散点的场量与时间的函数关系。 为了模拟双负材料首先引入得鲁特( d r l l d e ) 模型建立辅助差分方程，并基于传统的时 域有限差分法建立出双负材料( d n g ) 的一维和二维的差分方程组。利用傅立叶变换法计 算出此算法的收敛域，结合时域有限差分法的数值色散理论确定出时间和空间步距。建 立离散方程和计算区域，在计算区域的边界上设置了m u f 吸收边界这样做将大大的节约 计算机的资源。利用建立的差分方程组和计算区域分别模拟了双负材料维和二维的电 磁特性。在一维模拟中，利用连续的高斯波源模拟了双负材料的回波特性和当电磁波在 折射率为零的材料中传播相位不变的特性。在二维仿真中，模拟了当高斯波垂直入射到 双负材料平板时产生的汇聚现象，当高斯波斜入射到双负材料平板时产生的负折射现 象。并利用点源模拟出平面双负材料具有突破r a y l e i g h 衍射极限使倏逝波成像的能力 即：完美透镜现象。最后，建立了由双负材料构成的正方排列的二维周期结构模型。根 据差分方程，编写了周期结构反射系数计算程序，计算当电磁波在由双负材料组成的圆 柱周期性分布材料中传播的特性。结果表明由双负材料组成的单排周期结构对某些频段 有较强的反射性，而在高频段对电磁波的传播几乎没有影响。比较了仿真的结果和理论 分析的结论，同时也验证了f d t d 方法对双负材料仿真的正确性和有效性。 关键词：双负材料；时域有限差分；负折射；完美透镜；二维周期结构 双负材料的电磁动态特性研究 s t u d y i n ge l e c t r o m a g n e t i cd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fd n g m a t e r i a l s a b s t r a c t d o u b l e - n e g a t i v em a t e r i a li sak i n do fa l f i f i c i a lc o m p o s i t em e d i u mi nw h i c hb o t ht h e p e r m i t t i v i t ya n dt h ep e r m e a b i l i t yp e s s sn e g a t i v er e a lv a i u e sa tc e r t a i nf r e q u e n c i e s i ns u c ha m e d i u m ，t h ed i r e c t i o no f t h ep o y n t i n gv e c t o rm o n o c h r o m a t i cp l a n ew a v ei sa n t i p a r a l l e lt ot h a t o fi t sp h a s ev e l o c i t y b e c a u s eo ft h a t ，d n gd i s p l a y ss o m eu n u s u a le l e c t r o m a g n e t i cp r o p e r t i e s s u c ha sb a c k w a r d w a v ee f f e c t n e g a t i v er e f r a c t i v ee f f e c t , p e r f e c tl e n sa n dal i m i ts i t u a t i o n , z 啪i n d e xo fr e f r a c t i o nm a t e d a l s b e c a u s eo fs u c hn o v e lc h a r a c t e r i s t i e sw h i c ha r ed i f f e r e n t f r o mc l a s s i cm e d i u m s t h ed e v e l o p m e n to fd n g si m p r e s s i v e l ye n t e r e dt h ew o r l d 。st o pt e n s c i e n t i f i ca d v a n c e s 辩l e c t c db yt h es c i e n c em a g a z i n ei n2 0 0 3 ，a n da t t r a c t e d 百o b a la t t e n t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo fd n ga n di t sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n sa r e r e v i e w e d ，t w om e t h o d st op r o d u c ed n ga r ei n t r o d u c e d t h e ya r ea r r a n g i n gp e r i o d i ca r r a y s o fs m a l lm e t a l l i cw i r e sa n ds p l i t - r i n gr e s o n a t o r sa n dp h o t o n i cc r y s t a l s 1 1 l cf i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o da so n eo ft h ew a y st os o l v et h ee l e c t r o m a g n e t i cf e l d si sm e n t i o n e d f d t di so n eo ft h em o s tp o w e r f u ln u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e m o d e l i n go ft h e e l e c t r o m a g n e t i c w a v ep r o p a g a t i o na n ds c a t t e r i n g i ti sb a s e do nt h ed i s c r e t i z a t i o no f p a r t i a l d i f f e r e n t i a lw a v ee q u a t i o n s t h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e dt o f i n i t e - d i f f e r e n c ee q u a t i o n sb yt h ed i s e r e t i z a t i o ni nt h et i m ea n dt h es p a c e c o n s e q u e n t l y ，t h e r e l a t i o no ff i e l dc o m p o n e n t sa n dt i m ei nt h ed i s c r e tp o i n t si so b t a i n e di nt h ep r o c e s so fw a v e p r o p a g a t i o n f o rs i m u l a t i n gt h ed n g s d r u d em o d e li si n t r o d u c e dt ob u i i dt h ea d e s ( a u x i l i a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) o n ed i m e n s i o n a la n dt w od i m e n s i o n a ls i m u l t a n e o u se q u a t i o n sa l e e s t a b l i s h e db ya d e sa n dm a x w e l le q u a t i o n s 1 1 1 es t a b i l i t ya n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e a l g o r i t h ma l ea l s op r o v e db yf o u r i e rt r a n s f o r m i n gm e t h o d 1 kt i m ei n t e r v a la n ds p a c e i n t e r v a lo ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb ed e t e r m i n e db ya n a l y s i so fs t a b i l i z a t i o na n dt h e t h e o r yo fn u m e r i c a ld i s p e r s i o n n 地a r c ao fc a l c u l a t i o ni sb u i l ta n dt h em u l a b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o ni sa p p l i e da tt h eb o u n d a r yo fc a l c u l a t i o n a la r e ai no r d e rt oe c o n o m i z et h e r e s o u r c eo fc o m p u t e rg r e a t l y b a s e do nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dc a l c u l a t i o n a la r e a , t h e e l e c t r o m a g n e t i cp r o p e r t i e so fd n g sa r es i m u l a t e di i lo n e a n dt w o d i m e n s i o n a ls p a c e i n1 d s i m u l a t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so fd n g s ，b a c k w a r d w a v ea n dn op h a s ec h a n g i n gw h e n c o n t i n u o u sw a v e ( c w ) p r o p a g a t ei i lm e t a m a t e r i a l h a v i n gaz g r oi n d e xo fr e f r a c t i o na r e s i m u l a t e d w h e n2 ds i m u l a t i o n sa l em a d e ，t h ei n t e r a c t i o n so fc wg a n s s i a nb e a m sw i t h 大连理工大学硕士学位论文 d o u b l en e g a t i v em e t a m a t e r i a l s ( d n g ) a r ec o n s i d e r e d s u b - w a v e l e n g t hf o c u s i n go f ad i v e r g i n g ， n o r m a l l yi n c i d e n tg a u s s i a nb e a l nw i t hap l a n a rd n g s l a bi sd e m o n s t r a t e d t h en e g a t i v e a n g l eo fr e f r a c t i o nb e h a v i o ra s s o c i a t e dw i t ht h en e g a t i v ei n d e xo fr e f r a c t i o ne x h i b i t e c lb y d n gm e t a m a t e f i a l si sd e m o n s t r a t e d w h e np o i n ts o u i c ei ss e t , t h er e s u l t so fs i m u l a t i o ns h o w t h a t “p e r f e c tl e n s f o c u sb e y o n dt h er a y l e i g hd i f f r a c t i o nl i m i t f i n a l l y ，s q u a r es t r u c t u r em o d e l o f t w o d i m e n s i o n a lp e r i o d i cd n g si sd e v e l o p e d b a s e do nt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s p r o g r a m s a r ed e v e l o p e dt oc a l c u l a t et h er e t i e c t i o nc o e f f i c i e n tw h e ne mw a v ep r o p a g a t e si np e r i o d i c m a t e r i a lb u i l tw i t hd n g sc y l i n d e r s t h er e s u l t sd i s p l a yt h a tp e r i o d i cg t m c t i l r eh a s1 1 i g h r e f r a c t i o ni n d e xa tc e r t a i nf r e q u e n c y b u tw h e ne mw a v eh a sv e r y h i g hf r e q u e n c y ， c o e f f i c i e n t so fr e f r a c t i o na p p r o a c ht oz e r o c o m p a r i n gt h er e s u l t so fs i m u l a t i n ga n dt h e a n a l y s i so u t c o m e s 。i ti ss h o w e dt h a tt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sc a nb es i m u l a t e dc o r r e c t l y k e yw o r d s ：d o u b l e - n e g a t i v em a t e m a t e r i a l s ； n e g a t i v er e f r a c t i o n ；p e r f e c tl e n s f i n t o d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) ； 2 dp e r i o d i cs t r u c t u r e s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连j 星- r _ 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理7 大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理： 大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借唰。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 丑晚绷 塑年且月盟| _ i = i 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 物理学中，介电常数f 和磁导率是描述均匀媒质中电磁场性质的最基本的两个物 理量。在已知的物质世界中，对于电介质而言，介电常数和磁导率都为j 下值。电场、 磁场和波矢三者构成右手关系，这样的物质被称为右手材料( r i g h t - h a n d e dm a t e r i a l s ， r h m ) 。这种右手规则一直以来被认为是物质世界的常规，但这一常规却在上世纪6 0 年代开始遭遇颠覆性的挑战。1 9 6 7 年，前苏联物理学家v e s e l a g o 在前苏联一个学术刊 物上发表了一篇论文，首次报道了他在理论研究中对物质电磁学性质的新发现，即：当 和u 都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关系【”。他称这种假想的物质为左 手材料( l e f t - h a n d e dm a t e r i a l s ，l h m ) 。 1 1 双负材料的提出及发展现状 左手材料的研究发展并不一帆风顺。在这一具有颠覆性的概念被提出后的三十年里， 尽管它有很多新奇的性质，但由于只是停留在理论上，所以并没有受到人们的关注。直 到近本世纪时才开始出现转机。英国科学家p e n d 一2 垮人在1 9 9 8 1 9 9 9 年提出了一种 巧妙的设计结构可以实现负介电系数与负磁导率，从此以后，人们开始对这种材料投入 了越来越多的兴趣。2 0 0 1 年美国加州大学s a nd i e g o 分校的d a v i ds m i t h 3 1 等物理学家根 据p e n d r y 等人的建议，利用以铜为主的复合材料首次制造出在微波波段具有负介电常 数、负磁导率的物质。这一突破为左手材料的研究形成热潮奠定了历史性的基础。 2 0 0 2 年7 月，瑞士e t h z 实验室的科学家们宣布制造出三维的左手材料，这将可 能对电子通讯业产生重大影响，相关研究成果也发表在当月的美国应用物理快报上。 2 0 0 2 年底，麻省理工学院孔金瓯教授从理论上证明了左手材料存在的合理性，并称 这种人工介质可用来制造高指向性的天线、聚焦微波波束、实现“完美透镜”、用于电 磁波隐身等等。左手材料的前景开始引发学术界、产业界尤其是军方的无限遐想。 2 0 0 3 年是左手材料研究获得多项突破的一年。美国西雅图b o e i n gp h a n t o mw o r k s 的c p a r a z z o l i 与加拿大u n i v e r s i t yo f t o r o m o 电机系的g e l e f l h e r i a d e s 所领导的两组研 究人员在实验中直接观测到了负折射定律【4 】：i o w as t a t e u n i v e r s i t y 的s f o m i n o p o u l o u 也 发表了利用光子晶体做为介质的左手物质理论仿真结果：美国麻省理工学院的 e c u b u k c u 和k a y d i n 在自然杂志发表文章，描述了电磁波在两维光子晶体中的负 折射现象的实验结果。基于科学家们的多项发现，左手材料的研制赫然进入了美国科 学杂志评出的2 0 0 3 年度全球十大科学进展，引起全球瞩目。 双负材料的电磁动态特性研究 2 0 0 4 年，国际学术界开始出现中国科学家的身影。9 7 3 ”光子晶体项目首席科学 家、复旦大学的资剑教授领导的研究小组经过两年的研究与巧妙设计，利用水的表面波 散射成功实现了左手介质超平面成像实验，论文发表于著名的美国物理评论杂志上， 即刻引起学术界的高度关注。被推荐作为自然杂志焦点新闻之一。同济大学波耳固 体物理研究所以陈鸿教授为首的研究小组从2 0 0 1 年开始对左手材料展开研究，经过两 年的研究，在基础理论和材料的制备与表征方面取得了重大进展，成果在国际物理学著 名刊物上发表，2 0 0 4 年在国际微波与毫米波技术大会上作大会报告，并在2 0 0 5 年日本 召开的国际微波与光学技术研讨会上作邀请报告。左手材料在本世纪初己迅速成为科学 界的研究热点。 1 2 双负材料的回波特性 当单色平面电磁波在各向同性介质中传播时i s 】，应满足h e l m h o l t z 波动方程： 甲2 豆+ | 2 豆= 0v 2 疗4 - k 2 曰：0 ( 1 1 1 其中k 是波矢云的大小，营为电场强度，詹为磁场强度： k 2 = d 2 掣( 1 2 ) 其中是角频率，f 是介电常数，是磁导率。且由电磁理论可知，折射率为： 片- - - - - - c v 。( 1 3 ) 其中v ，是相速，c 是真空中的光速，v ，可以写成以下形式： v ，= 1 弘s = c j y , ，= c n ( 1 4 ) 式中的c = 巳心，聆= 所，矗为真空中的介电常数，儿真空中的磁导率，相对介 电常数，以为相对磁导率。 由式( 1 ，1 ) 一( 1 3 ) 可知，当以、占，同时为负时( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的值是不发生变化的。根据 m a x w e l l 电磁方程组和本构关系可得到以下方程： k h = 一m 岛昱k x e = 扛o 芦，h e x h = 上j 一 ( 1 5 ) 一一一i 豆1 2 i a ) f l o p ? 由方程组( 1 5 ) 可知当”、0 同时为正时，电磁场分量五，磁场分量膏与波矢云满足右 手定则。 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) ( b ) 图1 1 右手系和左手系 f i g 1 。1t h er i g h t - h a n d e ds y s t e ma n dt h el e f t - h a n d e ds y s t e m 由p o y n t i n g 矢量公式： s = e h 可知p o y n t i n g 矢量亏、电场豆、磁场膏总是符合右手定则 矢石与p o y a t i n g 矢量j 方向一致( 如图a 所示) 。而当以 o ， 0 波 0 时，设电场、磁 其中七0 真空中波矢的大小，仉为本征阻抗，且波矢量满足i 豆= 0 因此 ；i x ( f 磊) = 一( i f ) 磊= 焉炳”x 豆o = 一砖以q 磊 由p o y n t i n g 矢量公式： i 。互1 2 。成= 瓦k m 。1 2 = 匙阿 且。 ( 1 7 ) 0 8 1 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 双负材料的电磁动态特性研究 撕2 鼍阱丁k o p , 野o i 鼋0 1 2 ( 1 1 1 ) 从式( 1 1 1 ) 可知在d n g 材料中( 一 o ， 0 斜入射到负折射介质屯 + 髟 ( 1 2 6 ) 如公式( 1 2 6 ) 所示当珊2 c - 2 + 砖时，t 为实数波沿z 轴传播；而当脚2 c - 2 0 且其折射 率： 大连理工大学硕士学位论文 图1 5 双层结构，左边是传统的d p s 材料毛 0 鸬 0 ，右边是d n g 材料巳 0 鸬 0 4 o o n a n o t h e rp a r ti sd n gm a t e r i a l sa n di t sp a r a m e t e r si s 岛 0 鸬 0 ( 1 3 3 ) 其厚度为4 ，波阻抗为r , = “，l 。自由空间的波阻抗为仉= 硒占o 。令仇= 仉此时 由于波阻抗匹配，在自由空间和d p s 材料之间将不会产生反射。且由电磁理论可知， 当平面波从自由空间穿过此介质时，波的相位变化为h i 4 ，其中岛= 曲巳胁为真空 中的波数。当为d n g 材料时，由1 2 中的理论分析可知：在特定的频率段时s ， 0 ，鸬 0 。p e n a r y 指出利用图1 6 所示的金属细导线和开口谐振环阵列，当频率稍低于共振频率时，就可 以得到负的介电常数和负的磁导率。 双负材料的电磁动态特性研究 图l6 开口环共振器阵列 f i g 1 6s p l i t 血l gr e s o n a t o r ( s r r ) 理论分析和传输特性实验也证明了开1 ：3 环共振器阵列与金属线阵列交错构成的结构 在某一微波频段同时具有负的介电常数和磁导率圆口1 。2 0 0 1 年，加州大学圣迭戈分校 的s m i t h 等人成功地实p e n d r y 的构想，制作出负折射率材料并通过实验观察到了光线的 负折射【”1 1 2 6 1 。 1 7 2 光子晶体 除了利用共振效应产生负的介电常数和磁导率外进而实现负折射外，还可以利用光 子晶体实现负折射2 7 】。【3 3 1 。基本原理是利用光子晶体在带隙边缘( b 姐d g a pe d g e ) 黼 散关系制造出“负的群折射率”( n e g a t i v eg r o u pi n d e x ) ，在负折射率频率范围内，波向 量k 的方向由一个推广了的s n e l l 。s l a w 所决定，而平均能流的方向等于群速度。此种介 质的工作频率对应的入射波波长与光子晶体的晶格常数在同一个尺度。图1 7 的数值模 拟结果证明了光子晶体中的负折射。除了普通电介质光子晶体外，金属光子晶体也可以 实现负折射。 大连理工大学硕士学位论文 图1 7 光子晶体中的负折射 f i g1 7n e g a t i v er e f r a c t i o nb yp c 1 8 本论文的研究工作 作为一种数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的优于其它数值计算方 法的特点。上世纪7 0 年代，时域有限差分法被成功的引入电磁计算领域。目前，在国 内外利用时域有限差分法研究正常电磁参数材料比较普遍，但利用有限时域差分法研究 双负材料相对来说比较少，更重要的是时域有限差分法可以克服矩量法和传输矩阵法等 的诸多缺点。基于此，本文采用时域有限差分法来研究双负材料的电磁特性。主要工作 如下： ( 1 ) 介绍了双负材料提出的历史，研究的现状和未来发展的趋势。简述了双负材料的理 论分析过程及结论。 ( 2 ) 从麦克斯韦方程出发，研究了电磁场中的时域有限差分方法的计算元胞及其网格剖 分，以及计算空间的吸收边界条件。介绍了利用固体物理学中经典的d r u d e 模型， 并由d r u d e 模型得出双负材料的辅助差分方程并推导出一维和二维双负材料的差分 方程组。利用付利叶级数法验证该差分方程组的稳定性。 ( 3 ) 利用推导出的差分方程组，编制程序。选取不同的激励源、入射角度和电磁参数分 别数值模拟出双负材料的回波、负反射、完美透镜、波在折射系数为零的材料中传 播的结果，并与理论分析对比。 ( 4 ) 最后，对由双负材料组成的二维周期机构材料作出了分析。 双负材料的电磁动态特性研究 2 电磁场中的时域有限差分方法 2 1 时域有限差分法的发展和特点 在电磁场数值分析的计算方法中，有限差分法( 也称网格法) 是应用最早的一种方 法。早在上个世纪五十年代0 4 1 ，有限差分法以其简单、直观的特点，在电磁场数值分析 领域内得到了广泛的应用。近代科学的发展，使方法本身经历了由手算到计算机运算的 变革，与此相应，方法涉及的方面也由线性场扩展到非线性场；由恒定场扩展到时变场。 虽然现阶段电磁场数值计算方法发展很快，即使是在有限差分法与变分法相结合的基础 上形成的有限元法同益得到广泛的应用，有限差分法以其固有的特点仍然是一种不可忽 视的数值分析方法。 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法，它用各离散点上函数的差商来 近似替代该点的偏导数，即：利用时域有限差分法对电磁场e 、h 分量在空间和时间上 采取交替抽样的离散方式，每一个电场( 磁场) 分量周围有四个磁场( 电场) 分量环绕， 应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴 上逐步推进地进行求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后来被称为y e e 元胞。有 限差分法是把电、磁场连续场域内的问题变换为离散系统的问题来求解：也就是说，通 过网格状离散化模型上各离散点( 节点) 的数值解来逼近连续场域内的真实解，因此是一 种近似的计算方法，但现阶段电子计算机在存贮容量和运算速度方面的发展水平，己能 充分保证它的计算精度。 由于f d t d 方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法，在计算中将空间某一样 本点的电场( 磁场) 与周围各点的磁场( 电场) 直接相关联，且介质参数已赋值给空间 的每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐 射等问题。 本文采用时域有限差分法是鉴于它的诸多优点m 】，主要体现在以下六个方面： ( 1 1 直接时域计算。时域有限差分法直接把含时间变量的m a x w e l l 旋度方程在y e e 网格空间上转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场( 磁场) 分量仅仅 与它相邻的磁场( 电场) 分量及上一时间步该点的场值有关。在每一个时间步，计算网 格空白j 各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，即能直接模拟电磁波的传播及其与 物体的相互作用过程，这就使得电磁波的时域特性能被直接反映出来。这一特点使时域 有限差分法能直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清 晰的物理图像。如需频域信息，只需对得到的时域信息进行傅立叶变换即可。 一1 4 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 广泛的适用性。由于时域有限差分法的直接出发点是概括电磁场普遍规律的 m a x w e l l 方程，这就预示着这一方法应具有最广泛的实用性。从具体的算法看，在时域 有限差分法的差分格式中被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需 设定相应空间点以适当的参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向 异性、色散特性和非线性等均能很容易地进行精确模拟。由于在网格空间中电场和磁场 分量是被交叉放置的，而且计算中用差分代替了微商，使得介质交界面上的边界条件能 自然得到满足，这就为模拟复杂的结构提供了极大的方便。任何问题只要能正确地对源 和结构进行模拟，时域有限差分法就应该给出正确的解答，不管是散射、辐射、传输、 透入或吸收中的哪一种，也不论是瞬态问题还是稳态问题。 ( 3 ) 节约存储空间和计算时间。在时域有限差分法中每个网格电场和磁场的六个分量 及其上一时间步的值是必须存储的，此外还有描述各网格电磁性质的参数以及吸收边界 条件的有关参量，它们一般是空间网格总数n 的数倍。所以，时域有限差分法所需要的 存储空间直接由所需的网格空间决定，与网格总数n 成正比。相比之下，若离散单元也 是n ，则矩量法所需的存储空间与( 3 n ) 2 成正比。而所需的c p u 时间则与( 3 n ) 2 至( 3 ) 3 成正比。当n 比较大时，两者的差距是很明显的。所以，当n 很大时，时域有限差分 法是更为合适的方法。 ( 4 ) 适合并行计算。很多复杂的电磁场问题或弹性媒质问题的计算不能进行，往往不 是没有可选用的方法，而是由于计算条件的限制。当代电子计算机的发展方向是运用并 行处理技术，以进一步提高计算速度，并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的 研究，适用于并行计算的方法将更多的发挥作用。如前面所指出的，时域有限差分法的 计算特点是，每一网格点上的场量只与其周围相邻网格点处的相关场量及其上一时间步 的场值相关，这使得它特别适合并行计算。施行并行计算可使时域有限差分法所需的存 储空间和计算时间减少为只与“3 成正比。由此看来，时域有限差分法将随着并行计算 机的发展而越来越显得重要。 ( 5 ) 计算程序的通用性。由于m a x w e l l 方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模 型，因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。对于吸收条件和边界条件对很多问 题是通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现，对以上各部分没有直接 联系，可以独立进行。因此，一个基础的时域有限差分程序对广泛的电磁场问题具有通 用性。对不同的问题或不同的计算对象只需修改有关部分，而大部分是共同的。 ( 6 ) 计算格式较简单，描述物理过程直观，容易掌握。由于时域有限差分法直接从 m a x w e l l 方程出发，不需要任何导出方程使用很多的数学工具，使得它成为所有电磁场 的计算方法中最简单的一种。其次由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体 双负材料的电磁动态特性研究 作用的物理过程，所以它又是非常直观的一种方法。由于它既简单又直观，掌握它就不 是件很困难得事情。只要有电磁场的基本理论知识，不需要数学上的很多准备，就可以 学习运用这一方法解决很复杂的电磁场问题这样，这一方法很容易得到使用。并在很 广泛的领域发挥作用 2 2 麦克斯韦方程及其f d t d 形式 2 2 1m a x w e i i 方程 在时域和空域内求解电磁问题的一个很方便途径是运用麦克斯韦方程，因此简述一 下包含有不同形式媒质参数的麦克斯韦方程的微分、积分和修正形式是很必要的。对于 任意媒质，麦克斯韦方程的微分形式是： v 雁詈+ ，( z i ) v 屉一詈一厶 ( 2 2 ) 阢否= 0 ( 2 3 ) v 五= p( 2 4 ) 其中， e 为电场强度，单位为伏特米( 、，m ) ； d 为电通量密度，单位为库仑米2 ( c l m 2 ) ； h 为磁场强度，单位为安培，米( 彤m ) ： b 为磁通量密度，单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ； ，为电流密度，单位为安培米2 ( a i m 2 ) ； 厶为磁流密度，单位为伏特，米2 ( v m 2 ) i p 为电荷密度，单位为库仑米2 ( c m 2 o 式( 2 1 ) 中a ，石十，表示总电流密度，它包括位移电流密度b 五和传导电流密度y 。各向 同性线性介质中的本构关系为 d = 占e ，b = 日，j = o e ，厶= 吒( 2 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中s 表示介质介电常数，单位为法拉米，m ) ；表示导磁系数，单位为亨利米( h ，m ) ： 仃表示电导率，单位为西门子米( s m ) ；c r y , 表示导磁率，单位为欧姆米( q l m ) ，盯和 分别表示介质的电损耗和磁损耗。真空中a = 0 ，仃，= o ，以及在正常材料中。 占= 岛= 8 8 5 x 1 0 1 2 f m 声= 胁= 4 石1 0 1 h m 一般地讲，均匀各向同性媒质中和是标量常数。对于非均匀各向同性媒质，占和 是随空间位置而变化的标量。对于各向异性媒质占和是张量，媒质是均匀还是不均 匀将取决于占和是否随位置变化。 2 2 。2y o o 元胞 为了建立差分方程，首先要在变量空间把连续变量离散化。通常是用一定形式的网 格来划分变量空间，且只取网格结点上的未知量作为计算对象。这样，自变量变为离散 的，又只在有限个点上计算未知量【3 6 1 。当在每个离散点上用差商来替代微商时，就把在 一定空间解微分方程的向题化为解有限个差分方程的问题。由微分方程导出的差分方程 的一般通式，常常称为该方程的差分格式。 图2 1 时域有限差分法中的y e e 元胞 f i g 2 1y e ec e l lo f f d t dm e t h o d 双负材料的电磁动态特性研究 一个逼近程度很高的差分格式，不见得能给出非常好的近似解，这是因为差分格式 还必须合理的反应原问题的基本物理性质。对于电磁场的最基本规律m a x w e l l 方程组， 在构造差分格式时应利用m a x w e l l 方程中两个依赖时间变量的旋度方程，以便建立高精 度近似解的差分方程。 一般情况下，在时域内计算电磁场要在包括时间在内的四维空间进行。如果采用有 限差分法，首先就要把问题的变量空间进行离散化，也就是要建立合适的网格剖分体系。 从m a x w e l l 方程出发建立差分方程的复杂性在于不仅要在四维空间中进行，还要能同时 计算电场和磁场的六个分量。在四维空间中如何合理地离散六个未知场量成为建立差分 格式的关键问题。y e e 氏的最大贡献也正是因为提出了这个合理的网格体系，并成功地 创立了时域有限差分法。图2 1 展示在直角坐标系中的y e e 氏网格，这个网格体系就是 把电场和磁场各分量在空间的取值点交叉地放置。如图2 1 所示使得在每个坐标平面上 每个电场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个磁场分量的四周由电场分量环绕。将电 磁场作如上的空自j 配置，它就符合电磁场的两个基本规律：法拉第电磁感应定律和安培 环流定律，也就满足m a x w e l l 方程的基本要求，因而也符合电磁波在空间传播的规律。 正是由于电磁场分量在空间网格中的这种配置，使得用时域有限差分法在计算机的存储 空间中可以模拟电磁波的传播及其与散射体的相互作用过程。在这种电磁场的配置下， 当空间出现介质突变面时，可以使突变面上场分量的连续性条件自然得到满足，因而为 一些复杂结构的电磁场计算问题带来很大方便这一点保证了时域有限差分法应用的广 泛性。 电磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质有重要关系，在网格空间不仅要规定电磁 场的离散点的取值，还必须同时给出各离散点相应媒质的电磁参数即：介电常数s 和磁 导率这也说明，通过赋予空间点电磁参数的方法可在网格空间中模拟各种媒质空间及 各种电磁结构，这使得用时域有限差分法模拟电磁波与各种复杂的电磁结构的相互作用 变得比较容易。当然用立方体模拟复杂的弯曲几何表面在精度上会出现问题，但可以通 过采用其他形式的网格来克服这一缺点。 在y e e 氏网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因而同一种 场分量之间相隔正好为一个空间步长。在图2 i 的网格单元中只显示了电场和磁场在空 问的排布，并没有给出时间的离散规则。为了保证计算中不出现数值色散，时间离散的 步长与空间步长必须满足一定的关系，不能任意给定。由1 7 7 】中分析可知。时间步长可选 为电磁波传播一个空间步长所需时间的一半。这样，在实际运用时域有限差分法时，一 旦网格的空间步长选定后，时间变量的离散规则也就完全确定了