（光学工程专业论文）激光光束通过像散光学系统的聚焦特性研究.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 光束聚焦中的焦开关特性研究是现代光学中新兴的重要研究内 容，对现代光学和激光技术的发展具有重要意义。本论文首先介绍 焦开关的相关研究背景及进展，阐述了焦开关研究的相关基础理论 和分析方法，描述了本论文所用光束模型。本论文进行的主要工作 有： 1 从广义惠更斯一菲涅尔衍射积分方程出发，推导出余弦高斯光 束通过无光阑像散透镜光学系统的传输公式；详细分析了该系统中聚 焦光束的光强分布及焦移；首次发现了激光光束通过像散光学系统后 的多次焦开关，研究了像散参数、光束参数、菲涅尔数等物理参数对 焦开关产生的影响：发现了：光束通过有像散透镜的光学系统后，在 一定参数条件下，随着系统几何参数的改变，不仅在系统几何参数等 于1 0 ，即入射面在透镜前焦点位置时发生通常所说的焦开关，而且在 系统几何参数不等于1 0 的其它值也可以产生焦开关，且焦开关可以在 几何焦点左侧和右侧多次产生。研究了相对焦移随各系统参数变化的 规律，给出影响多次焦开关产生的像散参数取值范围。详细分析了多 次焦开关的产生过程，并从传输公式出发对多次焦开关的产生作了物 理诠释。 2 从部分相干光的传输理论出发，采用c o l l i n s 公式导出了部分相 干修正贝塞尔一高斯光束通过光阑像散透镜光学系统的轴上光强分布 函数；分别讨论了菲涅尔数，截断参数，像散参数，谱相干度相关参 数对光束聚焦特性的影响。研究发现不仅完全相干光存在多次焦开关， 部分相干光通过有一定像散的光阑透镜聚焦也存在多次焦开关；同时 在一定像散参数范围下改变与谱相干度相关的参数的大小能得到实际 焦点位置的跃变。详细分析了多次焦开关的产生过程，通过研究各参 西南交通大学硕士学位论文第1 i 页 数对焦开关的影响，得出产生多次焦开关的条件，即在一定截断参数 范围内轴上光强存在多个极大值点，通过改变像散参数会得到多个光 强极大值点之间的相互竞争，出现多次焦开关。 3 应用广义惠更斯一菲涅耳衍射积分公式，研究了厄米一余弦一高 斯光束通过像散光学系统的聚焦特性及焦开关。大量的数值计算表 明厄米一余弦一高斯光束在一定参数条件下也能产生多次焦开关。详 细讨论了像散参数及菲涅尔数影响下的相对焦移变化规律，提出通 过增大菲涅尔数可以在较小的像散条件下获得多次焦开关。通过研 究不同模数的厄米一余弦一高斯光束通过像散透镜光学系统的聚焦光 强分布和焦开关，讨论了模数对厄米一余弦一高斯光束通过像散透镜 后的轴上光强分布以及空间光强分布的影响；确定了像散在产生轴 上光强分布的多次焦开关过程中的重要作用。 关键词：像散；焦开关；聚焦特性；余弦高斯光束； 厄米一余弦一高斯光束；部分相干修正贝塞尔高斯光束 西南交通大学硕士学位论文第1 i i 页 a b s t r a c t t h ef o c a ls w i t c hp h e n o m e n ao ff o c u s i n gp r o p e r t i e si nl i g h tf i e l da r e t o p i c so fc u r r e n ti n t e r e s t ，w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h ed e v e l o p m e n t o ft h em o d e r no p t i c st h e o r ya n dl a s e rt e c h n o l o g i e s f i r s t ，ac o m p r e h e n s i v er e v i e wo ft h ep r o g r e s sa n dt h eb a c k g r o u n do f t h er e s e a r c hf o rt h ef o c a ls w i t c hi s g i v e ni nt h et h e s i s t h e n ，t h eb a s i c t h e o r i e sa n da n a l y t i c a lm e t h o d sf o rt h ef o c a ls w i t c hi nb e a mp r o p a g a t i o n a r ei n t r o d u c e d t h em o d e l so fb e a m sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa r ea l s o i n t r o d u c e d t h em a i nw o r k so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep r o p a g a t i o nf o r m u l a0 fc o s i n e - g a u s s i a nb e a m sp a s s i n g t h r o u g ha s t i g m a t i ca b c do p t i c a ls y s t e mw i t h o u ta p e r t u r ei sd e r i v e db y u s i n gt h eg e n e r a lh u y g e n s - f r e s n e ld i f f r a c t i o ni n t e g r a lf o r m u l a b a s e do n t h i sf o r m u l a ，t h ef o c a ls w i t c hi sf o u n di nt h ea n a l y z eo fb e a m sf o c u s i n g p r o p e r t i e sa n df o c a ls h i f tr e s e a r c h t h ei n f l u e n c eo fp a r a m e t e r so nt h e a x i si n t e n s i t ya n dt h ef o c a ls w i t c he f f e c to fc o s i n e g a u s s i a nb e a m s p a s s i n gt h r o u g ha na s t i g m a t i cl e n sa r ei n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h er e s u l t s o fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h ef o c a ls w i t c ho fc o s i n e g a u s s i a n b e a m sp a s s i n gt h r o u g ha na s t i g m a t i cl e n si s d e p e n d e n to nt h eo p t i c a l s y s t e mp a r a m e t e r f o rt h ef i r s tt i m e ，t h er e s e a r c ho ff o c a ls w i t c hs h o w s t h a t ：t h ef o c a ls w i t c he f f e c to c c u r sn o to n l yw h e nt h e o p t i c a ls y s t e m p a r a m e t e ri s 1 0a su s u a l ，b u ta l s ow h e nt h eo p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e r t a k e so t h e rv a l u e s ，i e t h ef o c a ls w i t c h e sc o u l do c c u ra tb o t hs i d e so ft h e g e o m e t r i cf o c u s t h ed e p e n d e n c e o ft h er e l a t i v ef o c a ls h i f to nt h e a s t i g m a t i cp a r a m e t e rai se x a m i n e da td i f f e r e n to p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e r f o rap a r t i c u l a rb e a mp a r a m e t e r t h ev a l u er a n g eo ft h e a s t i g m a t i c 西南交通大学硕士学位论文第页 p a r a m e t e r 口f o rt h ee m e r g e n c e so ft h eo p t i c a ls w i t c h e si sg i v e nw h e nt h e o p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e rd o e sn o te q u a lt o1 0 t h er e s u l t sa l s oi n d i c a t e t h a tt h em o r ef o c a ls w i t c h e sw i l le x c i t e db yc h a n g i n gt h ef r e s n e ln u m b e r 2 b a s e do nt h ep r o p a g a t i o nt h e o r yo fp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s ， t h ea x i a l i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n so f p a r t i a l l y c o h e r e n tm o d i f i e d b e s s e l g a u s sb e a m sp a s s i n g t h r o u g ha na p e r t u r ea s t i g m a t i cl e n s a r e s t u d i e d t h ei n f l u e n c e so ff r e s n e l n u m b e r ，t r u n c a t i o np a r a m e t e r ， a s t i g m a t i cp a r a m e t e ra n ds p e c t r a ld e g r e eo fc o h e r e n c eo nt h ei n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ，m u l t i f o c a l s w i t c h e so fp a r t i a l l yc o h e r e n tm o d i f i e db e s s e l - g a u s sb e a m sc a nb ef o u n d b ya l t e r i n gt h ea s t i g m a t i cp a r a m e t e ro rc h a n g i n gt h es p e c t r a ld e g r e eo f c o h e r e n c eo n p a r t i c u l a r c o n d i t i o n s t h e m u l t i f o c a ls w i t c h e s p h e n o m e n o ni s f o u n di ns o m e s p e c i a l s i t u a t i o n s t h ep r o c e s sa n d c o n d i t i o n sf o rt h em u l t i - f o c a ls w i t c h e sp h e n o m e n o na n dt h ec o n d i t i o n so f f o c a ls w i t c h e sa r er e p r e s e n t e d 3 t h ef o c a ls w i t c he f f e c to fh e r m i t e c o s i n e g a u s s i a nb e a m s p a s s i n gt h r o u g ha na s t i g m a t i cl e n si si n v e s t i g a t e di nd e t a i lb a s e do nt h e g e n e r a lh u y g e n s - f r e s n e ld i f f r a c t i o ni n t e g r a lf o r m u l a t h er e s u l t so f n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a tt h em u l t i f o c a ls w i t c h e sa r ef o u n di n t h ea n a l y z eo fb e a m sf o c u s i n gp r o p e r t i e sa n df o c a ls h i f tr e s e a r c h t h e r e l a t i v ef o c a ls h i f tf o rt h ed i f f e r e n ta s t i g m a t i cp a r a m e t e ra n df r e s n e l n u m b e ra r ee x a m i n e da td i f f e r e n t o p t i c a ls y s t e mp a r a m e t e rf o r a p a r t i c u l a rb e a mp a r a m e t e r t h ei n t e n s i t i e so fh e r m i t e c o s i n e g a u s s i a n b e a m sw i t hd i f f e r e n tm o d u l u sp a s s i n gt h r o u g ha n a s t i g m a t i cl e n s a r e d i s c u s s e d t h ee f f e c to fm o d u l u so na x i s i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o na n d 西南交通大学硕士学位论文第v 页 s p a c ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fh c s gb e a m si se x a m i n e d t h er e s u l t s i n d i c a t et h a tt h ea s t i g m a t i cp a r a m e t e ri sd e t e r m i n a n ti nm u l t i f o c a l s w i t c h e sp h e n o m e n o n k e y w o r d s ： a s t i g m a t i c ； f o c a l s w i t c h ，f o c u s i n gp r o p e r t i e s ； c o s i n e g a u s s i a nb e a m ；h e r m i t e - c o s i n e g a u s s i a nb e a m ；p a r t i a l l y c o h e r e n tm o d i f i e db e s s e l g a u s sb e a m 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密咖用本授权书。 ( 请在以上方框内打。 ) 学位论文作者签名：弓牝议又 日期：l ) 罗岁，6 指导老师签名：易抚7 日期： 厂f 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研 究工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究 做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： ( 1 )首次得到余弦高斯光束通过像散光学系统后的多次焦开 关，发现光束参数和菲涅尔数的改变能够影响多次焦开关的产 生，给出了对应不同焦开关次数的像散参数范围。从光束传输公 式出发，给出了多次焦开关的物理诠释。 ( 2 )通过对部分相干修正贝塞尔高斯光束在光阑像散透镜光 学系统中的聚焦特性研究，首次得到部分相干光束的多次焦开 关。分析得到截断参数及像散参数对轴上光强分布的影响为产生 多次焦开关的主要原因。 ( 3 )对厄米余弦高斯光束通过像散光学系统后的焦开关特性 做了详细研究。通过讨论横模对光束焦开关特性的影响，分析得 到了像散在多次焦开关产生过程中的重要作用。 学位论文作者签名：染段 日期：加锣年f 月“日 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 在激光技术的应用中，激光光束的传输变换及聚焦特性研究是 一个重要的基础问题。随着激光科学技术及相关学科的迅猛发展， 激光光束聚焦特性的研究可以使人们更深入地认识光束的聚焦特性 和聚焦过程中产生的其他现象，为实际工作中光束聚焦的应用以及 光学系统设计等方面提供充分的理论依据【l 2 】。 1 1 相关研究背景 1 1 1 光束的聚焦特性及焦开关研究 l9 6 0 年第一台红宝石激光器的闯世使高功率密度的光束成为现实。 在一些实际应用中，例如激光加工、微光学加工、惯性约束核聚变等， 要求功率密度更高、光斑更小的光束。光束聚焦是提高光束功率密度、 减小光束光斑的重要手段之一，在实际中得到广泛采用。因此对激光 光束通过光学系统的传输变换和聚焦特性的研究成为人们很感兴趣的 研究课题。 l9 5 7 年，b a c h y n s k i 3 】等人研究球面波通过圆形光阑的衍射时发现， 光强最大值点的轴上位置一般与几何光学预示的焦点位置不一致。不 久g o u b a u t 4 1 ，v a nn i e 5 1 和k o g e l n i k 6 1 分析发现在某些情况下高斯光束 的实际焦面比传统几何光学给出的焦面更靠近透镜。后来h o l m e s 7 1 ， s t a m n e s 8 1 ，和s p je l k a v i k 9 1 研究发现如果会聚光束是受光阑限制的高斯 光束或通过圆形光阑的单色光时也存在类似的现象。w o l f 和l i 【lo 】认为 这一现象是更普遍的会聚相干光束光场的现象并称之为焦移。w o l f 和 l i t l o ，】的研究也表明光束通过光学系统后的实际焦点并不在几何焦点 处，实际焦面通常靠近光阑。焦移量的大小与光学系统参数，特别是 光阑的菲涅尔数有关。当菲涅尔数减小时焦移会增大，在菲涅尔数小 于l0 以后焦移变得较为明显。w e n z e l 1 2 】利用l i 并l jw o l 雠导出的公式对 西南交通大学硕士学位论文第2 页 会聚光束通过光阑透镜的实际焦点位置作了数值计算，计算结果表明： 波长为0 5 “m 的会聚光束通过几何焦距为lm 、直径为4 0 m m ( 菲涅尔数 为8 0 ) 的光阑透镜后，光强极大值点位置朝向光阑移动了0 19 m m ，如 果光阑的直径减小为4 m m ( 菲涅尔数为8 ) ，则移动的距离为18 m m ， 当直径为2 m m 时( 菲涅尔数为2 ) ，则实际焦点与几何焦点之间的差距 将达到191m m ，这对于焦距只有lm 的透镜来说是十分可观的。 自从焦移的概念被明确提出来以后，聚焦光束的焦移就成为人们最 为关注的研究课题之一。人们对多类光束，例如球面波、高斯光束、 复宗量光束、贝塞尔一高斯光束和高斯一谢尔模型光束等光束的聚焦特 性都进行了详细的研究 13 - 2 8 】，得到了有实际参考价值的结果，为实际 工作中光束聚焦的应用以及光学系统设计等方面提供了充分的理论依 据。 在光束聚焦特性的研究过程中，m a n u e l 和c l i m e n t 研究会聚球面波 通过轴向超分辨衍射屏的光学系统时，发现当系统的菲涅尔数减小到 一定程度时，焦点会出现一个突然的跃变，这一焦点跃变的新现象被 称为焦开关【2 9 1 。l i 研究菲涅尔波带片被会聚球面波照明衍射时，也发 现了。焦开关的存在，并且得出实际焦点位置的相对跃变量可以达到 ( 35 36 ) 【3 0 】。同时l i 给出了焦点跃变的物理诠释，即“产生焦开关的 物理原因主要是由于存在两个轴上光强极大值点，以及它们相互竞争 的结果。文献 31 】以拉盖尔一高斯光束通过光阑一透镜分离光学系统为 例，利用对c o l l i n s 公式直接积分的方法研究了由光阑透镜组成的简单 光学系统中高阶高斯光束的焦开关。研究发现光阑一透镜分离量与透镜 的焦距相等时才会出现焦开关，同时截断参数存在一个上限，即当光 学系统的截断参数大于该上限时不会出现焦开关。所做研究表明：“光 阑一透镜相对分离量和截断参数为光阑一透镜分离光学系统中影响焦开 关产生的两个重要因素”】。越来越多的研究工作针对光阑一透镜分离 系统展开 3 2 - 3 9 。文献【3 4 研究发现当拉盖尔一高斯光束通过光阑一透镜 西南交通大学硕士学位论文第3 页 分离系统时，截断参数不仅存在一个上限而且还有一个下限，唯有当 截断参数在上下限之间时才会产生焦开关。同时有研究发现平顶高斯 光束通过双焦透镜系统【4 0 1 ，厄米一双曲余弦一高斯光束、贝塞尔高斯光 束、余弦高斯光束通过无光阑光学系统时仍然可以出现焦开关【4 1 。43 1 ， 因此受光阑限制的光学系统不是出现焦开关的必要条件。 随着激光光束聚焦特性研究的深入，在实际应用中应当考虑焦移 及焦开关的影响。例如，在一些需要精密聚焦的激光应用中，应当控 制焦移和避免焦开关的产生；而在需要较大范围调焦的应用中，则可 利用焦移和焦开关来改变焦点位置以实现调焦的目的。随着新的光束 模型不断被发现以及实际应用中光学系统的多样性和复杂性，对焦移 和焦开关更深入的研究有着极大的理论和实际意义。 1 1 2 部分相干光的焦开关研究 在激光技术应用中很难遇到理想的完全相干光束，一般而言， 所有光源所发出的光都是部分相干的。与完全相干光比较，部分相 干光的一些有害效应减小，如成环、散斑、边缘效应等。自从w o l f 和l i 提出焦移概念，人们对光束聚焦中的焦移和焦开关的研究大都 限于理想化的完全相干光束，对实际应用中更为重要的部分相干光 束的焦开关现象研究较少。光束聚焦特性的研究中对部分相干光的 研究比较合乎实际情况的是采用部分相干光束模型 4 4 - 4 6 ，用时间一 空间域中的互强度或空间频率域中的交叉谱密度函数为特征量，研 究部分相干光的传输变换特性。文献【4 7 ，4 8 】研究了高斯一谢尔模型 光束通过由菲涅尔波带片构成的双聚焦光学系统的聚焦特性。发现 焦移量不仅依赖于系统的菲涅尔数，而且与入射部分相干光的空间 相干度相关，且系统菲涅尔数的变化会引起焦开关。研究发现对于 某一固定的菲涅尔波带片，降低空间相干度，焦开关的临界菲涅尔 数降低，空间相干度太低时，焦开关消失。文献 4 9 】从交叉谱密度矩 阵的传输公式出发，研究了多色矢量高斯一谢尔模型( o s m ) 光束通过 西南交通大学硕士学位论文第4 页 光阑一透镜分离光学系统后的聚焦特性。发现可以通过改变插入的偏 振片的旋转角度来控制焦开关的产生与消失。到目前为止，绝大多 数部分相干光的焦开关研究所用的部分相干光模型都是高斯谢尔模 型光束 4 7 - 5 0 ，很少见到关于其他部分相干光模型的研究。 1 2相关基础理论 1 2 1c o l l i n s 公式 惠更斯一菲涅尔衍射积分公式为经典标量衍射理论中常用的基 本公式，对经典光学中遇到的大量空间域中的衍射问题都是适用的， 在激光光学中常用于处理近轴标量光束在自由空间中的传输问题。 但是当衍射面和观察面之间是复杂光学系统时不再适用，需要进行 推广。c o l l i n s 证明，当衍射面与观察面间不是自由空间，而是用a b c d 变换矩阵表征的复杂光学系统时，菲涅尔衍射积分公式不能直接应 用，应推广为 5 1 】 易( 珏y 2 ) 2 亩e x p ( 一魁) e i ( x l , y 1 ) e x p 一各以；+ y ；+ ) ，；) - 2 ( x l x 2 + y l y 2 ) d x 。d y 。( 1 - 1 ) 式中l 是沿轴上的光程。( 1 1 ) 式就是广义惠更斯一菲涅尔衍射积分公 式，也称c o l l i n s 公式。 在柱坐标下有 最( 也，侥) 2 去e x p ( - i k z ) 肛仍) e x p 一去b 杠斫- 2 r t r 2c o s ( 研刮牺锄( 1 - 2 ) 式中，( r l , t p 。) 和( r 2 , 驴：) 分别为源点和场点的位置坐标。 c o l l i n s 的工作将衍射积分公式与光学系统的传输矩阵公式有 机地结合起来，使得衍射积分方法和矩阵光学方法处理问题的范围 由自由空间拓宽到更一般的光学系统，并使得处理方法更加简明规 西南交通大学硕士学位论文第5 页 范。原则上，近轴光束通过非成像光学系统的传输变换都可以用 c o l l i n s 公式统一加以处理。 1 2 2 厄米一正弦类一高斯光束 在波恩( m b o r n ) 和沃耳夫( e w o l f ) 的名著光学原理【1 】中，对 均匀球面波的标量衍射理论作了详尽的阐述，并认为“衍射问题是 光学中遇到的最困难的问题之一，在衍射理论中很少存在某种意义 上可以认为是严格的解。在实际中处理衍射问题时人们都采用了近 似方法。高斯光束就是近轴近似条件下波动方程的解，较之球面波 可以更好的描述激光束的性质。从近轴近似波动方程出发，还可以 得出其他解系，如c a r s p e r s o n 和t o v a r 给出的近轴近似波动方程直 角坐标系下的一类解厄米一正弦类一高斯( h s g ) 光束【52 1 。其中的厄米一 余弦一高斯( h c s g ) 光束【5 3 1 包含了厄米一双曲余弦一高斯( h c h g ) 光束、 余弦一高斯( c s g ) 光束【54 1 、双曲余弦一高斯( c h g ) 光束和厄米一高斯光束 等光束，对其聚焦特性的研究具有重要的理论及实际意义。 h c s g 光束在z = 0 平面上的场分布为5 2 】： 0 ( 粕，j ，o ，0 ) = e m ( x o ，0 ) e ( y o ，0 ) ：e x p 【萼+ y。( 压鱼) c o) h 。( 压马c ( 1 4 ) - - i 2 ) h s ( f l o x oo s ( q o y o ) 峋峋 其中h 。( 三确w o ) 和h 。( 虿y o w o ) 分别为m 和忍阶厄米多项式w o 为相应 基模高斯光束束腰宽度，q o 是与余弦项相关的参数。 如当阶数脚，刀为0 时，光束退化为余弦高斯( c s g ) 光束： ( j ，夕，o ) ：e x p ( 一掣) c o s ( f 2 0 x ) c o s ( f l o y )( 1 5 ) w 0 。 此外，厄米一双曲余弦一高斯光束、双曲余弦一高斯光束和厄米高 斯光束的传输公式都可以作为厄米一余弦一高斯光束传输公式的特例 得出。 1 2 3 部分相干光的研究方法及模型 基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁理论是激光传输变换 西南交通大学硕士学位论文第6 页 研究的主要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分 方程。目前，国内外对部分相干光束的传输变换特性的研究已经建立 了较为完善的基础理论方法。包括矩阵光学方法、波动方程方法、广 义衍射积分方法、傅里叶光学方法、w i g n e r 分布函数方法、算子光学 方法等，其中最广泛采用的为广义衍射积分方法 1 - 2 , 5 5 1 。 最早用来描述这类具有良好方向性但只有部分空间相干性的多模 激光光束的数学物理模型是高斯一谢尔模型( g s m ) 光束 5 6 - 6 0 ，其光强分 布和复空间相干度都是高斯函数。作为较早启用的描述部分相干光束 的物理模型，g s m 光束在现代光学中扮演着重要的角色。它的性质和 传输变换特性受到了广泛的重视和关注。g s m 光束的强度、空间相干 度和相位分布都是轴对称高斯型的，空间相干度为传输不变量，广义 复参数满足广义a b c d 定律。若在光源z = 0 处光强，和复光谱相干度 都具有高斯函数的形式 m 聊小p _ 钢 m 4 ， 比如旷e x p - 管 m 5 ， 则交叉谱密度函数为 r v ( r , ，2 ，0 ) = ，( ，l ，o ) ，( ，l ，o ) ( ，l ，2 ，0 ) ( 1 - 6 ) 即 期却x 一警h 一簪 m 南 式1 7 即为高斯谢尔模型( g s m ) 光束。其中l o 为一常数，w 0 和分 别为g s m 光束的束腰宽度和空间相干长度。通过g s m 光束不仅能 相对容易地作理论分析，而且在实际应用中很容易实现。 西南交通大学硕士学位论文第7 页 近年来还出现了多种描述部分相干光束的数学模型，其中比较 有代表性的是扭曲高斯谢尔模型( t g s m ) 光束、各向异性扭曲高 斯谢尔模型( a g s m ) 光束、山谢尔模型( j s m ) 光束等 6 1 , 6 2 】。 值得注意的是p o n o m a r e n k o 引入的一类新的部分相干光模型， 该光束可由拉盖尔一高斯光束非相干叠加而成，称为部分相干修正贝 塞尔一高斯( m b g ) 光束【6 3 】。部分相干m b g 光束在z = 0 处的交叉谱 密度函数可表示为 6 3 】 0 ) ( 7 揣棚) = 可孝- m 2e x p 【- 洲叫恻一鬈半玑 篙百r r ；矿徊( 7 ，硝，巧，硝o ) 2 t 了e x p 卜砌( 纠一硝) 】e x p 卜嚣王子】l l 亡等百j ( 1 - 8 ) 其中，( ，t ，伊f ) ( i = 1 ，2 ) 为光束在z = o 平面上点的极坐标，孝为与光谱相 干度相关的参数，且有0 孝 l ，w 0 为高斯光束的束宽，厶( x ) 为m 阶 修正贝塞尔函数。f = o 和善= 1 分别对应着完全相干及完全不相干两种情 况。文献 6 4 】从部分相干光的传输理论出发，给出了部分相干m b g 光 束通过近轴a b c d 光学系统后的传输表达式并以薄透镜为例分析研究 了轴上光强分布，为研究其焦移及焦开关奠定了理论基础。 1 2 4 像散对光束聚焦特性的影响 多数对光束传输特性的研究采用理想光束和理想透镜，而实际 的光学系统存在不同程度的像差。激光束通过非理想光学系统产生 的像不能满足如下性能：( 1 ) 物方各点发出的同心光束在像方仍保持 为同心光束；( 2 ) 垂直于光轴的物平面上各点的像仍在垂直于光轴的 一个平面上：( 3 ) 像平面上横向放大率是常数，从而保持物、像之间 的几何相似性。任何偏离理想成像的现象称为像差【6 5 】。透镜的单色 像差包含五种：球面像差、彗形像差、像散、像场弯曲和畸变。实 际中往往几种像差相伴出现，很难截然分开。 本文内容主要涉及像差中的一种现象一像散。当光束在非轴对 西南交通大学硕士学位论文第8 页 称光学系统中传输时，会产生像散。像散光束也可由非轴对称光腔 产生。一般地，像散光束包括在子午面和弧矢面内光束参数可分离 的简单像散光束和光束参数有耦合的或者有扭曲项的复杂像散光 束。聚焦透镜的像散使波前发生畸变，导致光强分布发生变化。 光学系统的像差对光场的影响可用一个相位因子e x p ( i 由) 乘以原 光场分布函数来描述，并且通常把像差波前相位展开成z e r n i k e 正交多 项式【66 1 。利用z e r n i k e 多项式可以将光学系统的像散对光场的影响用一 个相位因子项 烈，) = e x p - i k c 6 r 2 】- c x p - i k c 6 ( 工2 一y 2 ) 】( 1 - 9 ) 来描述 6 7 , 6 8 】，其中c 6 称为像散系数：k = 2 1 r 2 为波数，五为波长。 1 3 论文的结构及主要内容 目前焦开关的研究普遍采用理想光学系统及理想光束。为了更切 合实际的深入研究焦开关，本文从c o l l i n s 公式出发，对余弦高斯光 束、部分相干修正贝塞尔高斯光束、厄米一余弦一高斯光束通过像散 光学系统后的聚焦特性进行了详细地研究。针对系统中各物理参数 对焦开关的影响进行了详细地研究分析，得到了一些有价值的结论。 本论文内容安排如下： 第一章为绪论，简要介绍光束聚焦特性的相关研究背景及焦开 关研究的目的、意义和进展。介绍了本论文采用的主要研究方法以 及光束模型，重点介绍了厄米一余弦一高斯光束模型以及部分相干修 正贝塞尔高斯光束模型，同时还介绍了透镜的像散理论。 第二章研究了余弦高斯光束通过无光阑像散光学系统的传输特 性。利用c o l l i n s 公式，推导了余弦高斯光束通过像散透镜光学系统 的传输公式，进而详细讨论了像散参数、菲涅尔数、光束参数以及 光学系统的几何参数对焦开关产生的影响。最后详细分析了多次焦 西南交通大学硕士学位论文第9 页 开关的产生过程，并从传输公式出发对多焦开关的产生作了物理诠 释。 第三章为部分相干修正贝塞尔高斯光束的聚焦特性及焦开关的 研究。以部分相干修正贝塞尔高斯光束为模型，从部分相干光的传 输理论出发，采用c o l l i n s 公式导出了部分相干修正贝塞尔高斯光束 通过光阑像散透镜a b c d 光学系统的轴上光强分布函数；研究了通 过像散透镜聚焦的部分相干修正贝塞尔高斯光束的轴上光强分布及 其多焦开关现象。分析了像散参数、截断参数和与谱相干度相关的 参数对光束聚焦特性的影响。讨论了多次焦开关的过程并分析得出 多焦开关现象的主要成因。 第四章：详细研究了厄米一余弦一高斯光束通过像散透镜的聚焦 特性，应用广义惠更斯一菲涅耳衍射积分公式推导出了厄米一余弦一高 斯光束通过像散透镜的场分布函数及空间光强分布的解析表达式， 进而研究了其轴上光强分布及多次焦开关现象。分析了像散参数、 光束参数等系统参数对焦开关的影响。通过不同模数的厄米一余弦一 高斯光束的聚焦特性讨论，分析了模数对光束聚焦特性及焦开关的 影响，并指出像散在多次焦开关的产生过程中起到的重要作用。 最后对本文得到的主要结果进行了总结。 西南交通大学硕士学位论文第1 0 页 第二章余弦高斯光束通过像散透镜的 焦移及焦开关 l9 9 7 年c a s p e r s o n 和t o v e r 等人已证明，厄米正弦类高斯( h s g ) 光束是傍轴近似下波动方程的新解。此后对h s g 光束的特例，如双 曲正弦、双曲余弦高斯光束、正弦、余弦高斯光束的研究十分活跃。 另一方面，实际光束通过非轴对称光学元件或实际光学系统时总会 受到像散的影响。像散对各种激光光束的光场分布、传输特性、聚 焦特性会产生一定的影响 6 9 , 7 0 】。已有研究发现激光光束通过简单的 光阑一透镜分离光学系统时会出现焦开关【”】，而且已有许多文献对厄 米高斯光束、贝塞尔高斯光束等光束通过不同光学系统的焦移和焦 开关现象进行了研究【j 卜 j ，其中绝大多数文献研究的是由于光阑一透 镜分离光学系统的几何参数s f 的变化，即在系统几何参数s f = 1 0 时产生的实际焦点的跃变。本文从广义惠更斯一菲涅尔衍射积分公式 出发，推导了通过像散透镜的余弦高斯光束的传输公式，详细研究 了其聚焦特性，分析讨论了像散参数、菲涅尔数、光束参数以及光 学系统几何参数s f 的改变对焦开关及其临界参数值引起的变化。结 果表明：不仅在s f = 1 0 时发生通常所谓的焦开关，而且在关于s f = 1 o 对称的s f 的其它位置也可以产生焦开关，这种多次焦开关可以只 存在于几何焦点的一侧；同时发现随像散参数或光束菲涅尔数的改 变能产生二次甚至三次焦开关：并从传输公式出发，做出了详细的 多次焦开关的物理诠释。 西南交通大学硕士学位论文第1 1 页 2 1 余弦高斯光束通过像散光学系统的传输公式 如图2 1 所示，波 长为九的余弦高斯光束 r p i 通过焦距为的像散透镜- l 。设入射余弦高斯光束 r p 2 z 一- 一 的光腰位于入射面r p t 图2 1像散透镜光学系统 处，入射面r p l 与透镜距 离为s 。从入射面r p i 到出射面r p 2 的光束变换矩阵为： 三三 = 一- 1 i f 厂卜衫。f 一) s + f + z c 2 ， 入射面上场分布为 5 4 】： 岛( x ，y ，o ) ：e x p ( 一! 半) c o s ( f l o x ) c 。s 洲 ( 2 2 ) 其中w o 为相应基模高斯光束束腰宽度，q o 是与余弦项相关的参数。 由c o l l i n s 公式得到出射面r p 2 处场分布为： e ( w z ) 2 万ie d x p 【一蔷+ 鲁) 】c 0 s ( 知) c o s ( q 。托) 唧卜汝c 6 ( 靠一y j ) 】 e x p - 芸b 彳( + y ；) 一2 ( x o x + y o y ) + d ( x 2 + y 2 ) 】 出。妙。( 2 - 3 ) 其中e x p 一i k c 6 ( x 2 一y 0 2 ) 为像散透镜的简单像散因子【68 1 ，c 6 为像散系数。 彳，b ，c ，d 为平面r p l 至平面r p 2 的变换矩阵元素。由积分公式 t t 】 j ：e x p ( 一般2 + k ) 出= 1 i 唧b 2 ) ( 2 4 ) 得出射面r p 2 处场分布为 胁加导屏唧鼍# 旧卜_ ( - i d o r + i k x ) 2 胁 居晰( i d o4 + g i ：ky ) 2 哪【( _ i ( 1 0f + i k y ) 2 】( 2 - 5 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 2 页 其中： c o2 万i e x p 【r 百- i k d ( x 2 + y 2 ) 】，g i 专+ 谤( c 6 + 西a ) ；g z = 去一腩( c 6 一昙) 将( 2 - 1 ) 式代x ( 2 5 ) 式并化简得： e(工，y，z)=im4v”exp卜警(石2+y2)】j-=q=+=i2=m=v=w=(=a=q=-=z=2=f=)【_=q=-=i=2r=d=v=w=(=a=q一+z2f) 其中： q ( f l + 譬工) 2q ( 一+ 婺z ) 2 e x p 卜面瓦】+ e x p 【一面瓦薪】) q ( d + 譬夕) 2q ( 一+ 婺y ) 2 卜面历】+ e x p 一砸瓦瓦】 ( 2 - 6 ) q = ( 1 一s f ) z f + i ，a = c 6 f 表示像散参数，n w = w 0 2 可为菲涅尔数， p = f ) - o w o 为光束参数。 由场分布( 2 6 ) 式，可得余弦高斯光束通过像散透镜聚焦后的光 强分布 i c x ，y ，力= 耳x ，y ，z ) e + ( 工，y ，z ) 当令x 可= o ，可得轴上光强分布： j(。，。，z)2：茌i?：?歹i乏；了iiii尹ii翥i芋主毒2j：毫2；i三：i歹亏乏i歹i丽 j 。= = ( = 1 2 - = = 2 s 5 。f 2 5 ) 2 2 2 2 = f 2 2 2 + = 2 2 1 2 2 2 = 2 + 5 2 4 2 2 7 r 2 2 2 2 n 。2 。：2 2 0 2 2 r 2 ( 2 1 2 2 - 2 2 s 2 2 。f 2 2 ) 2 2 2 。2 f 2 2 2 + 2 2 1 2 1 2 + 2 2 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 f 2 2 ) 2 2 2 2 7 唧t 一譬而丽而等怒篙高而， 唧 一t p 2 而而两鬲再 虿( 1 _ 葡s f 面) z f i + l 瓦 2 万面丽 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 当像散参数a = 0 时，若仅考虑x 方向情况，则( 2 8 ) 式和文献【4 3 】 中轴上光强分布式 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 邢0，加示sf)(z意f)赢n：(zf)卅壁2而s盟f)(zf