（控制理论与控制工程专业论文）奇异摄动系统的稳定反馈控制.pdf

摘要 奇异摄动理论几十年来在数学领域得以迅速发展，同样在控制领域中也取得了 突破性进展，并一直伴随着控制理论的发展而不断完善。同时，线性矩阵不等式方 法在控制领域中几年来应用越来越广泛，但在奇异摄动系统中的应用还比较少见。 本论文主要针对奇异摄动系统，尝试结合线性矩阵不等式方法做了相关的研究。具 体工作主要集中在如下几个方面： ( 1 ) 将正常连续系统的二次稳定性概念推广到奇异摄动系统，并证明了奇异摄 动系统与其快慢子系统关于二次稳定的等价性。同时，利用矩阵不等式方法，推导 了奇异摄动系统二次稳定性的充分条件，并给出了二次可镇定并可解的充分条件， 以及二次可镇定的状态反馈控制器的一种迭代求法。另外，给出了离散奇异摄动系 统二次稳定和二次可镇定的条件。 ( 2 ) 应用线性矩阵不等式方法设计了非标准离散奇异摄动系统的二次型次优 调节器。根据一般线性离散系统得到了二次型次优的r i c o a t i 不等式条件，通过引 入一个特殊分块带有摄动参数的解矩阵形式，进而将条件化为可解的矩阵不等式， 从而求取其解，设计次优控制器。与繁琐的最优控制方法进行仿真分析比较，结果 表明这种方法的有效性和运算的方便快捷性。 ( 3 ) 讨论了带有干扰抑制的奇异摄动系统的二次型次优调节器问题，沿着逆最 优调节器问题处理思路，将干扰转化到二次性能指标中，通过适当放大指标，将干 扰控制在一定的范围之内。而后将问题转化为一组不含有摄动参数的矩阵不等式问 题处理。 ( 4 ) 用矩阵不等式方法讨论了连续和离散奇异摄动系统的。控制，通过广义 系统途径，结合广义系统的有界实引理，将含有小参数的r i c c a t i 不等式等价转化 为与小参数无关的不等式问题，分别得到了连续和离散奇异摄动系统h 。控制的充 分条件。同时，讨论了奇异摄动系统的正实性问题，给出了正实反馈控制的充要条 件。 ( 5 ) 讨论了d e l t a 算子域上的奇异摄动系统的状态反馈。用直接法分别设计了 快慢子系统的状态反馈控制，使其达到预期的极点配置结果。所得结论将连续与离 散系统的相关结果统一于d e l t a 算子框架。仿真结果证明了方法的有效性，弥补了 连续系统在高速采样下离散化的不足。 此外，本论文还进一步讨论了离散奇异摄动系统的摄动稳定条件问题，得到了 两种摄动形式稳定的充要条件，并将结果推广到了2 一d 情形。 关键词：奇异摄动系统，慢变子系统，快变子系统，线性矩阵不等式( l m i ) 次优控制，正实控制，d e l t a 算子，2 一d 系统。 a b s t r a c t s i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e s f o rt i m es c a l e s y s t e m s h a v ef o t m dw i d e a p p l i c a t i o n si nt h ea r e ao fa n a l y s i sa n ds y n t h e s i so f c o n t r o lp r o c e s s e s ，w h i c hh a sb e e n s t u d i e dr e c e n t l yi nd i f f e r e n ts e t u p sb ym a n yr e s e a r c h e r s o nt h eo t h e rh a n d ，t h el i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c hh a sb e e na t t r a c t i n gm o r ea t t e n t i o nd u et oi t se x t e n s i v e a p p l i c a t i o n s i n s o l v i n g v a r i o u sc o n t r o l p r o b l e m s h o w e v e r ，u p t ot h e p r e s e n t ，t h e p r o b l e mo f r o b u s tc o n t r o lf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m st h r o u g hl m i a p p r o a c h h a sn o t b e e n s o l v e d c o n s i d e r i n gt h i s ，i n t h i s d i s s e r t a t i o n ，a t t e n t i o n i sf o c u s e d0 nt h e d e v e l o p m e n to fa nl m ia p p r o a c ht os o l v i n g r o b u s tc o n t r o l p r o b l e m sf o rs i n g u l a r l y p e r t u r b e ds y s t e m s t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i ) q u a d r a t i cs t a b i l i t y i se x t e n d e dt o s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e s y s t e m s ，r e s p e c t i v e l y i ti ss h o w n t h a tq u a d r a t i cs t a b i l i t yo fa s i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m i s e q u i v a l e n tt o t h a to ft h es l o wa n df a s ts y s t e m ，u s i n gt h el m ia p p r o a c h ，w eo b t a i n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fq u a d r a t i cs t a b i l i t ya n dq u a d r a t i cs t a b i l i z a b i l i t yf o r s i n g u l a r l y p e r t u r b e ds y s t e m s a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mi sp r o p o s e df o rt h ed e s i g no f d e s i r e dq u a d r a t i c s t a b i l i z i n gf e e d b a c k c o n t r o l l e r s i nas u b o p t i m a l r e g u l a t o ri sd e s i g n e df o rn o n s t a n d a r dd i s c r e t e t i m es i n g u l a r l y p e r t u r b e ds y s t e m st h r o u g ht h el m im e t h o d ；i ti s d i f f e r e n tf r o mt h e g e n e r a lf a s t s l o w d e c o m p o s i t i o nm e t h o d b yi n t r o d u c i n g as o l u t i o nm a t r i xw i t hp e r t u r b e dp a r a m e t e r s ， s u b - o p t i m a lc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e d as i m u l a t i o nr e s u l ti sp r e s e n t e d t od e m o n s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dd e s i g nm e t h o d i i i ) b yas i m i l a rm e t h o dt o t h ei n v e r s eo p t i c a lq u a d r a t i cc o n t r o l ，t h ep r o b l e mo f s u b o p t i c a ld i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o ns u b j e c tt oaq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x i sd i s c u s s e d b yt h el m ia p p r o a c h i v ) t h e8 一i n d e p e n d e n th 。c o n t r o lp r o b l e mf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n t i n u o u s a n dd i s c r e t es y s t e m si si n v e s t i g a t e d ，r e s p e c t i v e l y s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e da n d s u b - o p t i m a l c o n t r o l l e r sa r e d e s i g n e d ，r e s p e c t i v e l y b y t h e p o s i t i v e r e a ll e m m a sf o r s i n g u l a rs y s t e m sa n dr e g u l a rs y s t e m s ，w ep r e s e n tas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r t h es o l v a b i l i t yo f p o s i t i v er e a lc o n t r o lp r o b l e mf o rs i n g u l a r l yp e a u r b e ds y s t e m s v ) s t a t ef e e d b a c kd e s i g nf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m si sd i s c u s s e di nt h ed e l t a ( 占) d o m a i n s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r so fs l o wa n df a s ts i n g u l a r l yp e r t u r b e ds u b s y s t e m s a r e d e s i g n e d ，r e s p e c t i v e l y , s u c ht h a t t h e c l o s e d l o o ps y s t e mh a sd e s i r e dp o l e s t h e d e r i v e dr e s u l tc a l lb ev i e w e da sau n i f i e do n ef o rc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m es y s t e m si n t h eu n i f i e dd e l t af r a m e w o r k a ne x a m p l ei sp r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n d e f f e c t i v e n e s so fo u rd e s i g nm e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t y a n a l y s i sf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dd i s c r e t e s y s t e m si s c o n s i d e r e d an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o rs i n g u l a r l y p e a u r b e dd i s c r e t es y s t e m s w i t ht w ok i n d sp e r t u r b a t i o n s t h i si sa l s oe x t e n d e dt ot h ec a s e o f t w o d i m e n s i o n a ls i n g u l a r l yp e r t u r b e dr o e s s e rm o d e l k e y w o r d s ：s i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s ；s l o ws u b s y s t e m a n df a s t s u b s y s t e m ； l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ；s u b o p t i m a l ；p o s i t i v er e a lc o n t r o l ；d e l t ao p e r a t o l2 - d s y s t e m s v 声明 y 6 8 3 3 2 1 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除 了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我 为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文 做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。 研究生签名趱加z 年i j 月) 口日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位 论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本 学位论文的全部或部分内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名盛越 瓢壶呸 0 年，j 月却日 博士学位论文奇异摄动系统的稳定反馈控制 第一章绪论 奇异摄动技术随着复杂大系统理论的深入发展在现代控制理论中发挥了 越来越重要的作用。本章简要叙述了奇异摄动系统的产生背景，阐述了奇异摄 动系统在控制理论中的研究现状及存在的问题，最后简要介绍了本文的研究内 容和主要工作。 1 1 引言 在物理、化学、天文等工程科学以及交通、经济等管理科学的建模过程中 大量出现诸如小的时间常数、惯量、电导或电容等，会使得模型有相当高的阶 数，以及病态的数值特征出现在微分方程中。早期的这类问题的处理方法一般 将这些小量级的数值直接忽略达到模型降阶，也就是忽略了高频部分，保留低 频部分，或不考虑小时间常数等的影响。然而，这种简化处理方法使得设计效 果往往与期望要求相距甚远“1 。 后来，物理学家、工程师和应用数学家们将这类系统看作含有小参数s 的 微分方程问题。这种参数可以是反映一定的物理性质而自然出现，也可以是人 为地引进。这类问题的解“除了与变量x 有关外，还与小参数s 有关，即 “= “( x ，s ) 小参数有的包含在微分方程的低阶导数项中( 包括方程的右端) ，有 的包含在高阶导数项中，还有的包含在定解条件和所讨论区域的边界中。由于 含占的形式不同，相应定解问题的解h ，( x ) 也具有不同性质。这类问题统称为摄 动问题。若摄动问题的解“。( x ) ，当s _ 0 时，不存在关于变量x 一致收敛的 极限，则称为奇异摄动问题。 由于奇异摄动问题的类型很多，因而有许多种解决各类问题的方法。奇异 摄动问题作为应用数学领域的一个活跃分支，其晟早的数值方法是差分方法“” 和有限元方法”。由于奇异摄动的边界层奇性，在参数占非常小的情况下要达 到必要的精度须要求网格步长很小，从而出现数值不稳定现象，使得数值方法 失效；奇异摄动问题中出现的方程往往是非对称的，如果用通常的有限元方法 求解，则不能得到正确结果。也就是说，以上常用的两种数值计算方法解决奇 异摄动问题是不适用的。因此，研究人员近三十年主要专注于研究适用处理奇 博士学位论文绪论 异摄动问题的差分方法( 如拟合差分法“，加权差分法“1 和非均匀网格差分 法“) 和广义g a l e r k i n 方法( 如迎风有限元方法“1 和指数型拟合有限元方法 ) ，其中涉及到常微分方程的初值问题和边值问题以及偏微分方程的奇异摄 动问题。 在控制系统的奇异摄动问题中普遍适用的方法是边界层法扭1 。边界层法也 叫边界层校正法，其思想是首先忽略快变量以降低系统阶数，然后通过引入边 界层校正项来提高近似程度。得到快慢两个子系统，一部分是不计及边界层影 响的系统，在时间尺度上变化缓慢，称为慢变系统；另一部分则由边界层影响 确定的边界层校正项，只在边界层内起作用，变化迅速，称为快变系统。根据 不同的控制要求分别设计快慢两个控制器。这实际上相当于在两个时间尺度范 围内分别独立完成设计任务。对动态系统，上述分解实际上就是一种时标的分 解“。 由此分析，过去的处理奇异摄动问题的方法，是把原问题近似为它的一个 简化系统。这样的做法只考虑了问题解的外解部分对s 渐近幂级数展开的零次 项，对系统的慢变量来说，它忽略了s 的一次及高次项，而对系统的快变量来 说，它不仅忽略了占的高阶项，而且在边界层内的误差已达失真的程度。 因此，过去的处理方法在外部区域是一个近似的方法，而在边界层内，则 是丢失了主要项。从数学的角度来看，这种方法把高阶含有小参数的奇异摄动 问题，化成低阶的不含小参数的问题来求解，并可以得到具有任意精度的解析 解。这对分析、设计系统将带来很大的好处。另一方面，在数值计算上，也避 免了“维数的灾难”及求解刚性( s t i f f ) 方程的困难，起到了大大减少计算工作 量的作用。 对于奇异摄动系统的快慢分解，基本观点是假设在快变量的响应期间内， 认为慢变量保持不变，而在分析慢变量的响应过程中，认为快变量已达到稳态。 1 2 奇异摄动系统在控制理论中的研究现状 奇异摄动理论几十年在各个领域得以迅速发展，同样在控制领域中也取得 了突破性进展，并一直伴随着控制理论的发展而发展。文献 3 全面回顾了几 十年来奇异摄动系统的发展和应用。本节的许多内容引自于文献 3 ，下面就 几个方面阐述其取得的重大成就，一些成功的应用和存在的若干问题。 博士学位论文奇异摄动系统的稳定反馈控制 1 2 1 摄动稳定性 对于线性连续时不变奇异摄动系统，其标准形式为 描a 2 2 2 n j l z j 卧 t ， 其中摄动参数0 s 0 ，使得落在0 s 占内的系统族( 1 1 ) 的全体都是稳定的。2 0 世纪6 0 年代k l i m u s h e v 通过“快慢分解”的思想分析 得到了经典的稳定性结果“：如果慢、快子系统均是稳定的，则摄动参数必 存在一个稳定上界。在此范围之内，奇异摄动系统是稳定的。这一方法由于将 快慢子系统单独讨论各自稳定性，避免了由于摄动参数引起的病态问题。因而 直至现在，这依然是分析稳定性的主要方法之一。但该方法的关键问题在于对 摄动参数s 上界的求取计算。多年来，众多研究人员为此作了大量的工作，最 早出现的求取上界的方法是频域法“，即将状态空间模型转化为等价的频域 模型，通过检验相关条件求取g 的最大值。 文献 6 采用广义n y q u i s t 作图，得到了当快模态维数为1 时的确切上界， 但该方法难以推广到高维系统情形。然而，时域方法所需的假设条件较少，且 可以用于高阶系统，许多学者得到了相关的结果，文献 7 将问题转化为摄动 参数的不确定性的系统鲁棒问题，得到了时域上的临界稳定性判据，只需求解 矩阵的实特征值。 文献 8 采用频域时域相结合的方法给出摄动参数的上界闭合式解析式， 得到了线性时不变奇异摄动系统的严格稳定性判别条件，但这种方法的计算相 当复杂，难以推广。文献 9 则利用l y a p u n o v 方程，研究了可以使稳定摄动参 数上界达到无穷大的状态反馈控制律。文献 1 0 研究了输出反馈的闭环稳定 性，给出了鲁棒稳定性的定量分析。 但这些关于奇异摄动系统鲁棒稳定的分析，约束条件都相当多，且在快 慢分解过程中化简非常复杂，计算量很大。 对于线性离散奇异摄动系统，其标准形式由于采样速率的不同存在多种形 式，主要的有四种 博士学位论文 令z 2 ( 女) = 。z l ( ) ，则 令屯( ) = z 。( k ) ，则 瞵斟匕 c a ：1 f x i ( t ) 4 ：j l z ，( 孟) j ( 1 2 ) ( 1 3 ) 始：； = 幺川a i 地2 斟 。， 上述三种形式通过变换可看作统一的。另外还有一种被称为快模态标准型的为 f x ：( ( 七k + + 1 1 ) ) 1 l = 7 + 爿c ：a ，1 1 翻a ：n 21 j l x z ( 。k ) j ， ( 1 5 ) l z ( 七+ 1 ) j l 爿2 l “h v 。 许多离散奇异摄动系统的相关结果根据讨论实际问题的快慢侧重点的不 同采用不同釉类的模型。l it s 等”用n y q u i s t 图讨论了离散奇异摄动系统稳 定摄动参数的边界，而后此作者又用状态空间方法讨论了( 1 3 ) ，( 1 4 ) 分别在慢 快采样率下的两种离散模型，将摄动参数作为结构不确定性来处理，利用临界 稳定判据计算得到了摄动参数稳定上界的确切值。 文献 1 2 进一步讨论研究了多摄动参数的情形。在此基础上，g h o s h r 等 ”提出了一种基于k r o n e c k e r 积的直接方法，讨论了稳定上界。广大研究人员 基于连续系统快慢分解思想，重点讨论稳定摄动参数上界问题，却忽略了关于 离散奇异摄动系统的稳定性与状态矩阵之间的直接关系讨论。 对于时滞系统，文献 1 3 研究了线性定常奇异摄动系统单时滞情形，在估 计稳定上界时提出了与时滞无关的充分条件，但这种单时滞只存在于慢变状态 中。文献 1 4 采用l a p l a c e 变换，利用吼指标，得出了同时存在快慢状态中 的多时滞情形的稳定上界，这一结果依赖于时滞。 关于奇异摄动系统稳定的性的相关讨论非常多。连续奇异摄动系统的基本 摄动稳定性问题早在2 0 世纪6 0 年代已经被k l i m u s h e v 解决“对于离散奇异 摄动情形，虽然如上文例举的有许多相关研究，但是，因为讨论的对象大多是 连续采样情形，因而这些工作大多基于连续快慢分解的思想，直接讨论离散快 慢子系统的稳定性，大量的工作都集中在摄动参数上界的求取上。而针对包括 r = 列 q 砭 i i 儿似勿 卜 s 占 i 4 爿p 、l = 1ij u d + +七 ( ( 1 z x z l 博士学位论文奇异摄动系统的稳定反馈控制 非采样情形在内的一般离散系统模型摄动稳定性的解析条件，却长期被研究人 员忽略。 1 2 2 奇异摄动系统的日。控制方法 奇异摄动系统的日。控制方法主要分为时域方法、频域方法和微分对策方 法。频域方法主要处理的问题集中在模型匹配问题上“1 ，如跟踪问题、鲁棒 稳定性和干扰抑制等反馈问题均可转化为模型匹配问题。文献 16 解决了将两 时标转化为两频标的也d i s k 问题，但并没有给出最优控制器的设计方法。文 献 1 7 解决了两频标系统的n e v a n l i n n a p i c k 插值问题，提供了一种解决何。问 题的特殊方法。频域方法中得到了一些直观且较时域方法宽松的结论。但其缺 陷是难以推广到非线性和高维情形。 时域方法研究线性奇异摄动系统以控制问题的文献较多，较早的文献 1 8 利用典型的奇异摄动快慢分解思想，将其分解为两个降阶模型的矾控制问题。 一个是快子系统，另一个是和慢予系统同阶等价的系统。文献 1 9 给出了严 格的分解方法和高精度子系统控制器。从而得到复合的次优控制器，同时证明 了如果控制器精度达到o ( e ) ，则干扰抑制水平可达到y + o ( e 2 ) 。而文献 2 0 用迭代方法求解广义r i c c a t i 方程，得到了形式上更为简单的高精度复合控制 器，且该方法可以适用于非标准情形。 文献 2 i 从广义系统出发，利用快慢分解思想，通过分解r i c c a t i 方程得 到了奇异摄动系统h 。次优控制器存在的条件。所得条件与摄动参数无关，且 得到的控制器形式也具有奇异摄动形式。该方法同样适用于非标准情形。这些 处理巩控制的方法都基于快慢分解思想，解决三个复杂的r i c c a t i 方程，而由 此得出快慢予系统的各自的r i c c a t i 方程，证明其等价性过程复杂。 微分对策具有数学上的直观与简洁性，微分对策方法容易解决由干扰、 控制和状态在幔变子系统性能指标中构成交叉项问题。也控制问题与一类线 性二次微分对策问题关系密切，因此这为研究人员提供了一种新的思路，取得 了许多有意义的结果”“1 。 以上各种控制方法，涉及几个r i c c a t i 方程的求解问题，在相关的仿真计 算软件中，均无相关的解法，所以对于高阶系统，r i c c a t i 方程的求解是一个非 常困难的问题。线性矩阵不等式求解方法的发展可以解决这一困难，但对于奇 异摄动h 。控制的矩阵不等式方法，在作者能及范围却未发现相关文献。 博士学位论文 1 2 3 二次型最优控制 奇异摄动系统的二次型最优控制早在2 0 世纪7 0 年代起就引起了研究人员 的关注“应用传统的研究二次型最优的方法，奇异摄动系统中会遇到在 r i c c a t i 方程求解过程由于含有摄动参数的困难，因为小参数的存在会弓i 起数值 病态问题。因此，解决奇异摄动系统的二次型最优问题一般是将系统分解为快 慢子系统，对于两个子系统分别设计二次型最优控制器，从而得到原系统的复 合控制器。 这样的设计方法其实只是求出了一个次优控制器。文献 2 7 最主要贡献在 于提出著名的“两步法”，设计出独立于摄动参数的次优调节器，但由于未能实 现严格分解，受快变尺度的影响，在求解慢变系统时可能导致无解文献 2 6 3 利用著名的c h a n g 变换”对其做了严格的快慢分解，可以获得o ( 2 ) 的近似精 度。文献 2 介绍了适用于有限时间调节的“两步法”，给出了时变的调节器。 文献 2 9 在“两步法”的基础上，提出了若干修正算法，包括忽略快动力学的降 阶控制和对最优控制的零阶近似、阶近似等。 另一种分解方法是直接对r i c o a t i 方程进行分解。文献 3 0 从b a m i l t o n 矩阵块对角化的角度对奇异摄动r i c c a t i 方程的分解作了研究，从数学意义上 将其严格地分解为两个低阶的不对称r i c c a t i 方程，由于方程的0 ( s ) 近似是 对称的，并且实际上就是对应于快、慢子系统的r i c o a t i 方程，故可以通过对 近似方程求解作为初始解，再用n e w t o n 迭代逼近原方程的解。这一理论对于 奇异摄动系统的二次型最优控制问题有着十分重要的意义。文献 3 1 将其推广 到一类特殊的非标准情形。考虑到当s 不是充分小时用n e w t o n 迭代等方法收 敛性较差，文献 3 2 3 提出了“特征向量法”。 近年来有学者尝试使用线性矩阵不等式( l m i s ) 方法来替代r i c o a t i 方程 求解最优控制问题，文献 3 3 将这一思想应用到了奇异摄动系统。使用l m i s 的优点在于可以方便地考虑对控制系统结构的约束问题，例如分散控制、输出 反馈等。最近，文献 3 4 提出了一种迭代l m i s 方法，由于直观、简便，该方法 在将来很可能有较大发展。本文也在此基础上将其推广到了离散奇异摄动系统 中。文献 3 5 采用t i k h o n o v 定理设计二次型最优调节器，不用求解r i c c a t i 方程，所得结果可以直接应用于时变情形。由于求解过程中没有对控制作用的 形式作出假设，故适用于控制量受约束的情形。 由于采用快慢分解的方法比较难以处理非标准情形，因此许多学者转而借 博士学位论文奇异摄动系统的穗定反馈控制 助广义系统来研究奇异摄动系统，从而可以统一地处理标准和非标准的情形。 文献 3 6 证明了，对充分小的摄动参数，与广义系统的最优控制器是对应奇异 摄动系统的次优控制器，其性能指标与最优指标之间只相差0 ( 8 ) 数量级。文献 3 7 进一步证明了该性能指标的近似能力可以达到0 ( s 2 ) 。此结论已被推广到 非标准、多参数多时标的奇异摄动系统”“对于标准离散奇异摄动系统，文献 3 9 研究了调节器问题，但直到最近才由文献 4 0 定义了非标准离散奇异摄动 系统的形式，并初步研究了它的二次型调节问题。 关于二次型的讨论存在着和h 。控制一样解决多个r i c c a t i 方程的复杂问 题。难以实际应用于高阶系统。本文在第三章，用矩阵不等式方法讨论了离散 奇异摄动系统的二次型次优调节器问题。 1 2 4 非线性奇异摄动系统 非线性奇异摄动系统状态方程的一般形式为 主= f ( x ，“，s ，f ) ，x ( o ) = x o ， 应= g ( x ，“，s ，f ) z ( o ) = z o ( 1 6 a ) ( i 6 b ) 其中摄动参数0 s 0 为奇异摄动 参数。令 铲”w 归心a t t ：& + 鲋。l ( r )削。2 ( f ) a 。ia 0 2 l s 。削2 ，( ，) s 1 州，：( f ) j1 8 - i a 。g - i a 。j + 根据奇异摄动系统的不同时间尺度特性，将其分解成快慢两个子系统”1 ： 假设2 2 1 a 2 2 + a a 2 2 ( f ) 可逆。 鉴于爿。非可逆的情形在理论上造成的困难，通常：在奇异摄动系统快慢 分解方法中，几乎所有的工作总是在上述假设下展开的。 在( 2 1 b ) 式中，当占= 0 时，汜z 为o ，x 为x 。整理得慢变子系统为 i ，= ( a 。一如4 矗彳) x ， ( 2 2 ) 其中 a o i a 0 2 爿蔷彳叮= a l l + a , 4 l l ( t ) 一( a 1 2 + 爿1 2 0 ) ) ( 彳2 2 + 爿2 2 ( f ) ) 叫( a 2 i + 彳2 l ( r ) ) = a l l + a a l l ( f ) 一( 4 1 2 + a 1 2 a 丢爿2 2 ( r ) ) ( 4 2 2 + a a 2 2 ( f ) ) - 。( a 2 l + a a 2 i ( f ) ) 十( 彳1 2 爿丢爿2 2 ( t ) 一a , 4 1 2 ( f ) ) ( 彳2 2 + a a 2 2o ) ) _ 1 ( a 2 i + a a 2 lo ) ) = a 1 i + 矗1 】( ，) 一名1 2 ( j + 彳丢彳2 2 ( f ) ) ( 爿2 2 + a a 2 2 ( f ) ) 叫( 2 l + 爿2 i “) ) + ( a 1 2 a ；：a a 2 2 0 ) 一a a l 2 ( f ) ) ( 爿2 2 + 爿2 2 ( f ) ) 一( a 2 1 + b a 2 1 ( r ) ) = a l l + a a l l ( f ) 一爿1 2 爿丢( a 2 l + a a 2 i o ) ) + ( 一l2 爿丢爿2 2 ( f ) 一a a l 2 ( ，) ) ( 一2 2 + 爿2 2 ( f ) ) - 1 ( a 21 + a a 2 j ( r ) ) = ( a i l 一爿1 2 一丢爿2 1 ) + ( 4 i i ( ，) 一爿1 2 爿爿4 2 l ( f ) + ( 4 1 2 爿丢爿2 2 ( ，) 一4 1 2 ( f ) ) ( 爿2 2 + 爿2 2 ( ，) ) 一( 一2 l + 4 2 l ( f ) ) ) 令 a ，= a 1 1 一a t 2 一丢彳2 l ， a a ，( t ) = a a l l ( t ) 一4 1 2 彳丢m 2 i ( f ) + ( a t2 爿爿鲋2 2 ( t ) 一a 1 2 ( r ) ) ( 彳2 2 + 4 2 2 ( f ) ) - 1 ( 爿2 i + a a 2 lu ) ) 堡圭耋堡逢塞耋耋基垫垂鎏墼三姿要基塞堡 n ( 2 2 ) 式为 i ：= 。+ 5 4 。( f ) ) x 。， ( 2 3 ) 且此n ( 2 ，1 ) e e 第二式记为z ，= 一4 ：爿。，x ，令x ，= z z 。，并假定在很短的时间区 间上，x ，l 均是不变的。则x ，满足下式，称为快变子系统 i ，= ( a 2 2 + 5 4 2 2 0 ) ) 。， ( 2 4 ) 2 2 2 问题描述 定义2 2 1 “”如果系统( 2 1 ) 中结构摄动z x a ( t ) 对于状态矩阵a 满足 i i 埘 0 以及某一个s 0 使得对于所有的s ( o ，s 】，不等式爿j p + 删o o 成 立，则系统是二次稳定的。 2 2 3 主要结果 引理2 2 1 ( 1 若( ，) = l ；曷兰暑i ，这里j p ( 线z ( f ) ，r ( 。及z 是给定的适 维函数阵，对所有的f 0 ，z ( t ) 可逆