（应用数学专业论文）plaplace共振问题的非平凡解.pdf

兮莲。t 一 fi ? 2 。： 慷 少l a p l a c e 共振问题的非平凡解 摘要：本文讨论了p 拉普拉斯问题的非平凡解更确切地说，考虑以下问题： ( i ) 共振问题的非平凡解的存在性： c 最， ：笺2 掣盈出川m 帅， 其中q 是r 中的一个有光滑边界的有界区域2 p 2 i nf 4 1 ，t h ea u t h o r sd i s c u s s e dt h ed r o b l e m ： ( r ) 一p 钆= 入i 乱l p 一2 乱+ 9 ( z ，乱) i nq 饥= 0o na q w h e na = 入】，w h e r ea 】i st h e 丘r s te i g e n v a i u eo fp l a p l a c i a n ，t h e yd e r i v ean o i l t r i v i a l s o l u t i o nb yu s i n gm o r s ei n d e x t h ec a s e 入g 盯( 一p ) ( 入 a m ，入m + 1 ) h a sb e e nc o n s i d e r e d b y 5 ，w h e r e 盯( 一p ) d e n o t e st h es e to fa l lt h ee i g e i l 、吼l u e so fp l a p l a c i a n t h e yd e r i v et h e e x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o n h o 他v e r ，t h ec o n c l u s i o nd o e s n tt e uu sa n yp r o p e r t i e 8o f t h es o l u t i o n ( i n c l u d i n gt h e 】v 【o r s ei n d e x ) w bc a nn o te x t e n dt h e i rr e s u l t st ot h er e s o n a n c e p r o b l e m i n 1 】，b o t h 入m a a m + 1a n d 入= 入mh a sb e e nd i s c u s s e d ，b u tt h e yd o n t c o n s i d e rw h e t h e rt h es o l u t i o ni sn o l l t r i v i a l i nt h er e c e n tv e a r s ，s e v e r a l 的r k sh a eb e e nd e n o t e dt ot h es t u d vo ft h er e s o n a n c e p r o b l e mo ff h 芒n 【s p e c t r u mo fp l a p l a c i a n ，s u c ha s 9 i n 9 ，p e r e r ad e r i v e dt h ee x i s t e n c e o fas o l u t i o no ft h er e s o n a n c ep r o b l e mw i t hr e s p e c tt ot h ef u 芒i ks p e c t r u mo fp l a d l a c i a n ， b u tw h e t h e rt h es o l u t i o ni sn o n t r i v i a li su n k n o w n i nt h i sp a p e r 伧e s t i m a t et h em o r s ei n d e xo ft h es o l u t i o no f ( r ) f b ra ua 入m ， a m + 1 【，a n dd e r i v et h ee x i s t e n c eo fan o n t r i v i a ls o l u t i o no ft h en o n r e s o n a n c ep r o b l e m ( f 父) f b r 入 a m ，a m + 1 盯( 一p ) ，a n dt h er e s o n a n c ep r o b l e mf b r 入】a m ，久m + 1 n 仃( 一p ) ， r e s p e c t i v e l l nf u r t h e r m o r e ，u s i n gt h e s e o r s ei n d e xe s t i m a 上e s ，w ea l s oo b t a i nan o n t r i v i a l s o l u t i o nf o rt h er e s o n a n c ep r o b l e m ( b 。) f i n a l l y ) w ee x t e n do u rr e s u l t st ot h ef u 6 m s p e c t r u m 0 u rp 印e ri so r g a n i z e db yf o u rc h a p t e r s ： c h a p t e rli n 七i o d u c t i o n c h 印t e r2 i sd e v o t e dt or e s o n a n c eo f 矿l 印l a c i a n w bu s et h el i n k i n ga n dm o r s ei n d e x m e t h o d st oo b t a i n e dan o n t r i v i a ls o l u t i o n c h 印t e r3 、7 l 陀c h a n g et h ec o n d i t i o n so ft h ep e r t u r b a t i o n 夕( z ，仳) u s i n gt h es a m e m e t h o d w ed e r i v ean o n t r i v i a ls o l u t i o n c h a p t e r41 w ee x t e n dt h er e s u l t st ot h ei 、1 】芒f ks p e c t r u m 2 2r e s o n a n c ep r o b l e m so fp l a p l a c i a n l e tu sc o n s i d e rt h eq u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ( r ) 一p u = 入i u i p 一2 缸+ 9 ( z ，乱) i nq 乱= 0o na q w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni n 酞川w i t hs m o o t hb o u n d a r 亿2 入1 ， h a e b e e ni v e s t i g a t e di n1 6 1 ka l s ok n o wt h a t 仃( 一f ) h a u sa t1 e a s tt h r e es e q u e n c e s ( s e e ，f o r i n s t a n t ，f 5 1 ) b u tw h e t h e rt h e s ed e 缸i t i o n sa r ee q u i v a l l e n tf o rn 3o rw h e t h e rt h ew h o l e 8 e to fe i g e l l 、，a l u e si sc o v e ra r es t i l lu n k n o w n i nt h i sp a p e r ，w c o n s i d e rt h ee i g e l l 、协l u e sa s ： k = i n ， s u p 上i v 乱i p 如：4 m ，a z ss 秒m m e 托。竹d ，佗d e z ( a ) m ) w n e r e ， m = 钆嚼护( q ) ：- | “i p 如= 1 ) l ，s 2 w b c a l l ( r ) t h en o n r e s o n a n c ep r o b l e mi f 入g 盯( 一p ) ，w ec a l l i tt h er e s o n a n c ep r o b l e m i f 入盯( 一p ) t h em a i nr e s u l to ft h i ss e c t i o ni st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 1 舰卿o s e 冼以9 ( z ，0 ) = o ， 伽九e 代q = p ( p 一1 ) ，s 乱c 九饶o t1 9 ( z ，亡) i 口s s 乱m e 饶o t ( 三l ) ac d 佗也挽d 佗? 比( z ，o ) 雪( z ) on 佗d 饶e 他i so 丘竹c 悦d 佗雪l 口( q ) ， 凡疗危e 册z d 他，矿入盯( 一p ) 伽em o 可 厶。办+ z 。， 讹m ， 砒e 7 e 、k = 秒可瑶p ( q ) _ o ) ： s d 如e s 一p u = a i 口l p 一2 口i 佗牡7 e o 忌f 秒s e 佗s e ) 夕士( z ) l i m t 叶士o 。夕( z ，芒) ，of i m 祝沈o i sn s s m e dt oe 捌s t 如r 口e z q 7 况e 扎，扣ro f f 入 a m ，a m + 1 ，( f 久) o so 礼d 几疵口i 口fs d f 乱t i o 佗 t h e o r e m2 2 可搋e 卯d 饶e s e s 9 ( z ，) 盯沈e o 他仇f jo 他s o i 妒e 以饶e 死扣r 入= a m ，( r ) 九n so 礼d 竹死秽i 口fs o f 乱忱d 佗 3 r e m a r k1a 礼e z o 妒彪盯。知扎c 既d ns o t i 点匆t n 9 ( l 三) z s n ，乱礼c 亡z d n 9 ( z ，亡) s 让c 危饶o t ? 。黑夕( z ，) 2 夕+ ( z ) o ，。三9 ( z ，亡) 29 一( z ) o ，弋7 l r eh a e2 ( z ) 争o 。，s o a n d l i m 仃 o o黼= 舰“z ) 志厂出隅刮咖托) w h e r et h el a s tl i m i ti sj u s t i f i e db yl h o s p i t a l sr u l e s i m i l a r l y ，f o ra e z z ： w eh a 、伦乱n ( z ) 一o 。，s o a n d l i m9 ( z ，乱几( z ) ) ( z ) = 9 一( z ) 口( z ) ， n o 。 熙矧刮咖飞) 口( z ) 0 厂， 夕+ 口+ g 一秽】 ， o ，( ( 乱o ) 钉，钉) 一p ( k ) i i 秽1 1 2 ， f o ra 1 1 y 钉y s i m i l a r l y f o rn l a r g ee n o u g h ，w eh a e ( 彤( u n ) 口，钉) 一坐笋i 川1 2 ，w h i c h i m p l i e sm ( 厶，钆n ) k s ol i mi n f n _ + o o m ( 厶，“n ) = h e n c e ，m ( 以“o ) l i m i l l f 竹- o om ( 厶，) t h r o u 曲o u tt h i ss e c t i o n ，xw i l ld e n o t ear e a lb a n a u c hs p a c ea n d 厂：x _ raf u n c t j o no fc l a s se 1 ，w ea l s od e n o t eb y 日js i n g u l a rh o m o l o g ya n db y 日+ a l e x a n d e r - s p a n i e r c o h o m o l o g y t h ef o l l o w i n gd e 丘n i t i o nc o m e s 矗o m 5 d e f i n i t i o n2 7l e d ，so 几矗a6 e 饶他es 乱如e 拈吖叉，mo 佗d 佗扎印。既口e 轨t 叼e 乃。佗dko 乒e 触肌s n 可饶o tp ，剐玩乱砖a 九d m d f 凹i c n f 匆溉d i 仇e 礼s i d 仃m 阳秽e rk ) ，矿s d ，sn a = do 他d 饶e 代e 觑s 拈z j k ( x ，s ；k ) 6 e f d 咒9 i 咒9 幻饶ei m 凹e 吖i + ：月么( d ，s ；k ) ( x ，s ；k ) 6 钆t 礼d td ， ：( x a ，s ；k ) 一( x ，s ；k ) 伽 e 代i ：( d ，s ) _ ( x ，s ) ，歹： ( x a ) _ ( x ，s ) o 他饶e 饥c f 乱s i d 竹m 印s z 口n d 歹+ o 他九d 仇d f 叼ym 印s 轨d 乱c e d6 秒zo n d 歹， 他s p e c t i 可e 幻 r e m a r k3 巧p ，剐屁以4 危d m d f 凹z c o j 匆，饶e 礼dn a 仍 l i n k i n gm e t h o df o rn o n t r i v i a ls o l u t i o n so fp l a p l a c ee q u a t i o n sh a sb e e nu s e db ym a n y a u t h o r s ，s e e ，f o re x a m p l e ，【8 a n dr e f e r e n c e st h e r e i n t h ee q u a t i o ni n 8 i ss i m i l a rt ou s ， b u tt h ep e r t u r b a t i o ni sp s u p e r l i n e a r ，w h i c hi sd i 髓r e n tf r o mt h er e s o n a n c ep r o b l e m 8i n t h i sp a p e r t h e o r e m2 8 ( t h e o r e m3 2i n 5 ) 眈td ，so 佗da6 e 饶他es 乱如e 饴吖xs 乱c 危饶o t p ，纠f 讥加a 庇d m d f 叩i c o 朋秒饥比m e 佗新d 礼mo 礼df e t 名日_ ( x ，s ；k ) 6 eo s 饥d 咖犯旌i d 佗 3 j a s s 钆m et o t 一 i n f 厂， a s u p ， + o 。， d 7 v 乱s ：- 厂( u ) i n f t 厂 口礼dd 币佗e c = i 形 6 r ：s ，6n 佗dz6 e f d 凹s 幻饶ez m 叼e 盯沈e 危d m d m d 印 话m 饥d 乱c 甜 叻饥c 胁z d 礼上k ( ，6 ，s ；k ) 一三( x ，s ；k ) ) 理矽d s e 饶以，s o t i 妒e s ( p s ) o 扎d 饶耐c 危 e f e m e 僦盯i s 诒d f o z 以锄托死e 礼i n “，c s u p d 厂。钆d 琥e 7 1 be 蕊拈乱k 伽i 饶 ( ，u ) 0 i nt h en e x tt h e o r e mw es h a l le v 缸u a t et h em o r s ei n d e xo fs o m em i l l i m a xc r i t i c a lp o i n t s i no u rb a n a c hf r a m e 的r k t h e o r e m2 9 眈tt 厂m ( 哪p ( q ) ) 6 es o 抚置乃i 删饶e 卯d 饶e s 妇d ，孤e o r e m2 毋n 礼d 饶e ( p s ) c d n d z 抚d 扎j 吼e 扎 e 他e 疵s 括口c 疵忱c o fp d i 扎亡乱o 厂s 珏c 危t 九n 7 n ( 厂，让o ) = m p r o o fb yt h e o r e m2 8 ，t h e r ee 妇s t 8ac r i t i c a lp o i n t “oo f 厂a t1 e v e lci n t r o d u c e d ， s u c ht h a tc k ( 厂，让o ) o ) m o r e o v e r ，a u c c o r d i n gt ot h et h e o r e m2 5 ，w ec a ni n f e rt h a t g ( 厂，乱o ) = o ) ，i fg m ( 厂，乱o ) t h e r e f o r e ，r ec a n d e d u c et h a tm ( 厂，乱o ) = 7 n n e x tw eu s et h e o r e m3 2t op r o 、厂et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ns t e pb ys t e p t h e o r e m2 1 0 ( t h e o r e m4 1i n 5 】) 三e m 1 ，a m q p o 玎 伽es e t = 乱嚼 p ( q ) ：上lv 乱i p 如= 殿，上fv u | p 0s u c ht h a t 以( u ) i i ， f o ra l lu ( ) ：；a 1 加 t h e r e f o r e ，b yt h e o r e m2 4 ，w ec a nc o n s t r u c ta o fz ：= unk a n das e q u e n c e 厶m ( 巩) 踏( 秽) 一苁( u ) j j ， s e q u e n c eo fo p e nb o u n d 占dn e i g h b o r h o o d s u c ht h a t f o ra l l 口魄p ( q ) ，z = o ，1 ，2 ， a n dt h ec r i t i c a lp o i n t so f 厶i nu ，i fa n y ，a r ei n nu i f 竹i sg r e a te n o u g h ，厶h a sn oc r i t i c a lp o i n t si n ( 厶) ：；i z 1 n m o r e o v e r ，l i k e 厶，v e r i 矗e st h eh y p o t h e s e so ft h e o r e m2 8 ，w h e r e d e n o t e st h e c r i t i c a lv a l u eo f 矗d e 丘n e da si nt h e o r e m2 8 t h e r e f o r ef o r 咒s u m c i e n t l yl a r g e ，t h e o r e m 2 9c a nb ea p p l i e dt o 厶s ot h e r ee x i s t sac r i t i c a lp o i n t 札no f 厶s u c ht h a tm ( 厶，“n ) = m a s 札。，z 1 加，w eh a v et h a td ( “札，z ) 一oa u s 几o 。o f u r t h e r m o r e ，a u sz = u nk i sc o m p a c t ，t h e r ee x i s t ss o m e 钆o z ，s u c ht h a t 钆几c o n w r g e st o 钆o ，a u snjo 。，u pt o s u b s e q u e n c e s b y ( 5 ) o ft h e o r e m2 6 ，w ed e d u c et h a tm ( ，乱o ) m 9 n o w ，w ea r ei nt h ep o s i t i o nt od r ( v et h e o r e m2 1 p r o o fo ft h e o r e m2 1 i tr e m a i n st os h o wt h a t 乱o 0 i nf a c t ，( 最) h a sat r i v i a l8 0 l u t i o n ，w es t u d yt h em o r s e i n d e xo f a to = 一j 五瓯( z ，o ) 口2 如s i n c e 蜕( z ，o ) o ，以( o ) i sn e g a t i v e d e 丘n i t ei nw 苫p ( q ) a n di t sm o r s ei n d e xm ( ，o ) i s + 。b u ta si nl e m m a2 1 1 ，t h ec r i t i c a l p o i n tu os a t i s f i e sm ( ，u o ) m ，s du o 0 n e x tw ed e a lw i t ht h ec a s e 入= 入。f i r s t ，w _ en e e da1 e m m a ： l e m m a2 1 2 ( l e m m a7i n 1 ) 可( 厶l ) a 。诂s o i 妒e 弓沈e 佗饶e 他诂o6 7 os 让c 九饶口亡 ( l l ) 入。i ss o t 拈沂e d 加rn f ? 肛 a m 一6 7 ，入m + 6 7 t h i sl e m m ai m p l i e st h a ti f 。s a t i s f i e s ( p s ) c o n d i t i o n s ，s oa r ea l l 厶f o rp 】k 一 6 ，a 庇+ 矶 w ba s s u m et h a tt h e r ee ) ( i s t sa6 oa n d6 6 7 ( 6 7i sd e f i n e da si nl e m m a2 1 2 ) s u c ht h a 七入m + 6 a m + 6 ) ，o b s e r v et h a tt h ee s t i m a t e “三( 卢一训乱q ) 一上咖，乱a s o ) i sb o u n d e db e l o w i nt h ef o u o w i n gw ew i l lp r 伽e u 佗) i sb o u n d e db yc o n t r 础c t i o n f i r s tw en e e da l e m m a ： l e m m a2 1 3 ( l e m m a9i n 1 ) 矽i i 仳n | | o ，娩e n ( u 付川乱n 1 1 ) 一口义。 i nt h ef o l l o w i n g 伧w i l lp r o v e _ 【乱n ) i sb o u n d e db yc o n t r a d i c t i o n 0 b s e r v et h a t h 伽旧v e r p = p 丘。( u n ) 一。( 乱n ) “n = 一p 上g ( z ，饥n ) + 上9 ( z ，u 礼) 札n 熙h 上哥+ 上出心h 】_ - p - 1 ) ( 厶。咖+ 一小。 s o1 i m 州o o 渤 o ，( 1 ，：( 乱) 口，口) 一p ( k ) j 川1 2 ， f o ra n y 口y s i m i l a r l y f o r 佗l a r g ee n o u g h ，w eh a e ( 。( 仳竹) 口，秽) 一些笋钌i f 2 ，w h i c h i m p l i e sm ( 厶。，乱礼) k s ol i m n o 。m ( 丘。，乱礼) = o 。 h e n c e ，m ( 。，u ) l i m i n f n - o 。m ( 丘。，n ) n o w ，w ea r ei nt h ep o s i t i o nt op r o 、r et h e o r e m2 2 p r o o f p r o o fo ft h e o r e m2 2 】i tr e m a i n st os h o wt h a tu o i nf a c t ，( r ，n ) h a sa t r i v i a ls o l u t i o ns i n c e9 ( z ，o ) = o ，、 r es t u d yt h em o r s ei n d e xo f 。a t o = 一如吼7 ( z ，o ) 口2 出s i n c e 比( z ，o ) o ，以( o ) i sn e g a t i v ed e f i n i t ei n 耐p ( q ) a n dt h e m o r s ei n d e xm ( 厶。，0 ) i si n f i n i t y b u tu s i n gl e m m a2 1 5a n dt h ef a u c tm ( 九。，“礼) m ， w ec a nd e d u c et h a tt h ec r i t i c a l p o i n t 乱s a t i s f i e sm ( 竹t ，u ) m ，w h i c hi m p l i e s “i 8a n o n t r i v i a ls o l u t i o no f ( 最。) 1 1 3p e r t u r b a t i o no f 少l i n e a u rg r o w t ha ti n f i n i t y w es t i uc o n s i d e rt h ep r o b l e m ( r ) l 一一 l 饥 入i 钍i p 一2 “+ 夕( z ，饥) ， i nq ， 0 ， o na q ， w h e