（固体力学专业论文）非线性波动方程分岔中的若干问题分析.pdf

摘要 摘要 非线性动力学是非线性科学的一个重要分支，非线性波动方程的 精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问 题之一，极具挑战性。由于非线性波动方程的复杂性，求解它并无统 一的方法，不过针对非线性波动方程的孤立波解，人们在研究过程中， 己经发展了一些有效的研究方法，比如各种求精确解的方法、数值模 拟的方法及实验研究的方法，但这些方法大都针对所研究方程的特定 类型的解，而无法了解非线性方程解的全局渐近行为。本论文研究几 类重要的非线性波动方程的行波解，用动力系统的分岔理论对其进行 定性分析，研究系统所有可能的有界行波解，分析系统参数及奇异线 对系统解的结构的影响，给出各种有界解的存在条件及解的表达式， 讨论各种行波解之间的演化过程及相互作用模式，探讨其动力学行 为，主要内容如下： 论文在第一章回顾了非线性波动方程研究的历史背景和研究方 法。第二章讨论非线性波动方程的分岔行为，以广义k d v 方程、 c a m a s s a h o l m 方程和耦合b o u s i n e s q 方程为例，结合相平面分析系 统的所有行波解的情况，分析参数的变化对系统解的结构的影响，讨 论其在转迁集上的各种分岔模式，给出不同性质的波解及其存在条 件。 论文的第三章考虑奇异性对非线性波动方程解的结构的影响，针 对相空间上出现奇异线的广义k d v 方程，详细讨论了奇异线的存在 对解的结构的影响，分析系统中非光滑行波解产生的原因。 在对系统进行定性分析、了解了系统所有可能解的大致形态的基 江苏大学博十学位论文：非线性波动方程分岔中的若干问题分析 础上，论文第四章给出了w b k 方程的精确有界解，应用动力系统理 论，利用连接平衡点的闭轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系 来研究非线性波方程行波解的有界性及精确的显式表达式。另外，在 同一个参数区域中，当不同类型的波解相互共存时，分析这些解相互 之间的演化机制。 然后，论文考虑不同波解之间的相互作用，目前对非线性波动方 程的理论研究大都集中在单模态解上，论文第五章提出了一个新的方 法，设想由方程的单模态解的非线性叠加，给出非线性波动方程的复 合模态解。这些单模态解可以具有不同的性质，可以具有不同的波速， 也可以是不同形式的波解，论文将作理论推导并借助m a p l e 计算工 具在具体的几个非线性方程中找到了这种复合模态解。 目前对非线性波动方程的研究一般都仅限于静态波解，即所考虑 的波解的波速、振幅、波宽都是不变的，本论文考虑动态的波解，探 讨非线性波动方程的动力学行为，通过能量积分式和选择适当的示性 函数，将复数形式的g i n z b u r g l a n d a u 方程化成为三阶常微分方程， 数值模拟波解的动态行为。 本论文丰富和发展了非线性波动方程解法研究的内容，得到了许 多新的结果，论文最后对所做的研究工作进行了总结，并对今后的研 究方向作了展望。 关键词：非线性波动方程，行波解，分岔，转迁集，奇异线， 精确有界解，多模态解，非线性叠加 摘要 n o n l i n e a rd y n a m i c si so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si nn o n l i n e a r s c i e n c e ，w h e r e a sa sal e a d i n gs u b j e c ta n dh o ti n t e r e s ti nn o n l i n e a rs c i e n c e ， s t u d yo nt h em e t h o df o rf i n d i n gs o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a a i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s h a sb e c o m em o r ea n dm o r ec h a l l e n g i n g b e c a u s eo ft h e c o m p l i c i t yi nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h e r eh a sn os y s t e m i ca n d u n i f o r mm e t h o df o ra l ln l e e s m a n ye f f e c t i v em e t h o d s ，s u c ha sm a n y k i n d so fm e t h o d sf o re x a c t s o l u t i o n s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n d e x p e r i m e n t a lw a y s ，h a v eb e e nf o u n d ，b u tw ec a no n l yu n d e r s t a n dt h e s o l u t i o n sp a r t l ya n dn o tm a k es u r eo fo v e r a l ls i t u a t i o n sb ya l lt h e s e m e t h o d s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e ra l lp o s s i b l eb o u n d e dt r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n so fs o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s b i f u r c a t i o n t h e o r i e sa r eu s e dt oa n a l y s et h ep a r a m e t e rc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s t h eb a s i cc o n t e n to ft h i sp a p e ra r eg i v e na s f o l l o w i n g ： c h a p t e ro n ei sd e v o t e dt or e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to f t h en l e e s b i f u r c a t i o n so fk d ve q u a t i o n ，c a m a s s a - h o l me q u a t i o na n dc o u p l e d b o u s i n e s qe q u m i o n s a r er e s e a r c h e d r e s p e c t i v e l y i n c h a p t e r t w o t r a n s i t i o nb o u n d a r i e sa n dp h a s ep o r t r a i t si nd i f f e r e n tr e g i o n sa r eg i v e n ， b a s e do nw h i c hw ec a no b t a i na l lp o s s i b l et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sa s w e l la st h ep a r a m e t e rc o n d i t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w et h i n ka b o u tn o n a n a l y t i c a l n o n s m o o t h ) w a v e s o l u t i o n s t oag e n e r a lk d v e q u a t i o nw i t hs i n g u l a rc u r v e so np h a s ep l a n e ， w ee x p l a i nt h er e a s o nw h yt h e s en o n - s m o o t ht r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s a r i s e b a s e do nt h eb i f u r c a t i o n a n a l y s i s ，a l lp o s s i b l et r a v e l i n gw a v e i n 江苏人学博士学位论文：非线性波动方程分岔中的若干问题分析 s o l u t i o n sh a v eb e e nk n o w nq u a l i t a t i v e l y t h e nw ef i n do u tt h ee x a c t b o u n d e dw a v es o l u t i o n sf o rw b k e q u a t i o ni nc h a p t e rf o u r a c c o r d i n g t o t h et h e o r yo fd y n a m i c a l s y s t e m ，w ei n v e s t i g a t et h ee x p l i c i te x a c tt r a v e l i n g w a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sb yu s i n gt h ec h a r a c t e r so ft h e c l o s e dt r a j e c t o r yc o n n e c t i n ge q u i l i b r i u mp o i n t sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e n o b i t sa n dt r a v e l i n gw a v e s w h e np a r a m e t e r sa r et a k e ni nt h es a m er e g i o n ， t h e r em a ye x i s td i f f e r e n t t y p e so f s o l u t i o n s b i f u r c a t i o nm e c h a n i s m b e t w e e nt h e s es o l u t i o n sa r er e v e a l e d t h e nw ef o c u so ni n t e r a c t i o n sb e t w e e nd i f f e r e n tw a v e s an e w m e t h o di s p r o p o s e di nc h a p t e rf i v e b yn o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o no f d i f f e r e n ts i n g l e m o d ew a v e s ，n e wt y p e so fm u l t i p l e m o d ew a v e sc a nb e d e r i v e d s e v e r a lc a s e sf o rt h et w o m o d ew a v e sa r eo b t a i n e du p o nu s i n g t h ec o m p u t e rl a n g u a g em a p l e s t e a d yw a v es o l u t i o n sw i t hc o n s t a n tv e l o c i t y , a m p l i t u d ea n dw i d t h h a v ef u l l yb e e nu n d e r s t o o d n o ww ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lb e h a v i o r o ft h ec u b i c - q u i n t i cc o m p l e xg i n z b u r g - - l a n d a ue q u a t i o ni nt h i sp a p e r b a s e do nt h ea s s u m p t i o no fas p e c i a lt r i a lf u n c t i o n ，at h r e e - d i m e n s i o n a l v e c t o rf i e l dh a sb e e nd e r i v e df r o mt h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a ld i s s i p a t i v e s y s t e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eu s e dt or e v e a lt h ec o m p l e x i t yo ft h e v e c t o rf i e l d b ym a k i n gu s eo ft h ea p p r o a c h e sp r o p o s e db yu s ，av a r i e t yo fe x a c t s o l u t i o n st om a n ys i g n i f i c a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ee a s i l y p r e s e n t e d f i n a l l y , t h es u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o na n dt h ep r o s p e c to f s t u d yo nt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r e 酉v e n k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n , b i f u r c a t i o n ，t r a n s i t i o ns e t s ，s i n g u l a rl i n e ，e x a c tb o u n d e d s o l u t i o n ，m u l t i p l e m o d es o l u t i o n ，n o n - l i n e a rs u p e r p o s i t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：弓缸酷嗜 硼年l 乙月陟日 指导教师签名：军薹痧粒 - 船年j1 月艿日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：弓使正姊 日期：加口阵f l 月i d h 7 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性波动方程研究的历史背景 非线性问题是当代科学发展的重人前沿课题之一，非线性科学是当代迅速发展的，对自 然科学影响深远的综合学科。它研究在自然科学的不同领域内不同系统中的非线性复杂现象 简单地说，它是一门研究复杂性的科学。正如非线性不满足整体是部分之和的原理这一本质 特点一样，非线性科学不是非线性数学、非线性物理、非线性力学等分支的简单相加，而是 对它们的共同特性即复杂性的探索。鉴于这样的原因，我们首先对非线性科学的进展作简单 的介绍。 由伽利略一牛顿所创立的经典力学是确定论描述的典范，它统治自然科学的各个领域 直至- 1 1 2 0 世纪初，甚至著名的物理学家爱因斯坦一生都坚定地认为自然界的规律是确定论的。 然而法国数学力学家p o i n c a r e 1 】在本世纪初却认识到：一个系统的状态中的任意小的不确 定因素可能会逐渐增大，使未来的状态是不可预测的，他的这点认识成了非线性理论的起萌 在此同时，微观粒子波粒二象性和不确定性关系的发现，也使人们认识到客观世界是复杂的， 然而尽管如此非线性问题仍然没有引起足够的重视，直至l j 2 0 世纪六十年代，l o r e n z 【2 6 】在研 究大气运动时发现了混沌现象，这才引发人们对复杂性问题的深入研究。人们逐渐认识到非 线性因素是这种复杂性问题的集中体现，并且发现了各个领域里出现的非线性现象都有其共 同的特点，这启发科学家们突破不同领域的局限性，形成了非线性科学这样一门综合性交叉 性的前沿学科非线性问题是非常复杂的，对于它的研究仍然没有完全系统的可以普遍使用 的处理方法，更多的是集中于典型范例的研究和作一些定性定量的分析，国内外近期非线性 问题的研究大致可归纳为以卜九个方面：非线性映射的宏观特性：混沌与分形：动力系 统的时间反演问题：自组织与耗散结构：随机非线性微分方程：湍流：神经网络系统： 孤立子与拟序结构：复杂性探索。 非线性波动方程是非线性科学的一个重要分支，是数学物理中一类重要的偏微分方程， 它通常描述自然界中各种各样的波动现象。例如从我们日常熟悉的声波、光波和水波，直到 银河系以及很多河外星系中的密度波和星系激波等，都可以由波动方程来描述。非线性波动 方程的研究具有悠久的历史，早在十七世纪，科学家们以牛顿运动定律为基础开始了一系列 波动理论的研究，将波动理论从光的传播领域发展应用到声和弹性扰动，在很长一段时间主 要研究线性波动，也就是说它们是在振动振幅为无限小的情况下的近似。若振幅有限，那么运 江苏大学博士学位论文：非线性波动方程分岔中的若干问题分析 动的非线性和介质的非线性都不能忽略，线性波动问题也就变成了非线性波动问题。非线性 波的一般理论可以追溯到1 9 世纪p o s s i o n 、s t o k e s 、r i e m a n n 和e a m s h a n 在流体力学和气 体动力学中的研究。p o s s i o n 【7 】确定了在等温气体中流动的波动方程的简单波解 u = f x 一( 【厂+ c ) q ，式中f 是一个任意函数，u 为位移，x 为传播方向，c 为速度，f 为传 播时间s t o k e s 【7 ，8 ，1 1 】注意到这个方程不能唯一求解，并且指出当u ，变成无穷大的时候，流 体的速度会发生间断，同时s t o k e s 又证明了在物理上决不会出现间断，因为造成间断的任 何趋势都将被粘性力抹平掉，另外他还指出，含有间断的流动必定也包含着某些反射现象。 e a m s h a n 发展了满足任何关系的气体流动的简单波解。他论证了，由于穿过压缩面时局部传 播速度在增加，所以这样的一个波在某波面上将不断“增幅”，最后将形成一个“冲击波”， 即间断这之后，r i e m a n n 利用“r i e m a n n 不变量”独立地发展了简单波理论和流动问题的 一般解，他又发现并详细建立了冲击波理论，但他却做出了一个错误的假设即认为穿过冲击 波的跃变是绝热和可逆的，实际上，冲击波的形成是不可逆的。 随着气体和流体中非线性波动的进展，特别是物理实验中各种奇特的非线性波现象的发 现，很多科学家投入了非线性波动的研究，围绕着对b u r g e r s 方程、k d v 方程、k l e i n - g o r d o n 方程等非线性方程的研究和探索，非线性波理论取得了巨大的成果。 非线性方程所描述的波，波形往往随着波的传播而发生畸变，而英国科学家r u s s e l 【1 2 】 在1 8 3 4 年观察到了水表面孤波传播的存在，并建造了一个水槽来专门研究它的性质，他认识 到孤立波是具有特殊性质的新现象，但限于当时数学理论和科学水平的限制，无法从理论上 给予孤立波以圆满的解释直至：l j18 9 5 年，瑞典数学教授k o r t e w e g 指导他的学生d er i l e s 写 了一篇博士论文，提出了流体中单向波传播的数学模型，其运动方程就是通常所说的k d v 方程 1 3 】用行波方法，加上在无穷远处迅速衰减的条件，可得出k d v 方程波形不变的行波 解，当波速固定时，波形和波速是不变的，这就在理论上证明了r u s s e l 观察到的孤立波的 存在性1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u k a l 【1 4 】把k d v 方程应用于等离子体的研究，借助电子 计算机详细考察了等离子体中孤立波的互相碰撞过程，计算表明，两个孤立波碰撞后仍以它 们碰撞前的同一速度和形状离开，孤立波这种经碰撞不改变波形和速度的非常稳定的奇特性 质，止象物理上的粒子一样，于是孤立子这个词被用米生动地表示孤立波的粒子行为，从此， 孤立子作为应用科学中的新概念诞生了。 由于孤立波在传输中具有不损失波形，不改变波速和保密性好等优点，因而具有潜在的 巨大应用价值，孤立波研究迅速被推广到各个领域中。k i n g n e p 等人认为，强烈的等离子体 ，, f i e 第一章绪论 扰动可用具有相互作用的孤立子气体来描述，i k e j i 等人的实验证实，在弱色散等离子体中 有离子声孤立子存在，它们满足k d v 方程，若等离子体不均匀，离子声孤立子则由变系数 的k d v 方程描述 1 5 1 ，1 9 7 3 年，贝尔实验室h a s e g a w a 提出了有关光纤中光孤立子传输的 概念，1 9 8 4 年m o l l e n a u e r 等人研制成功光孤立子激光器【1 6 】，并运用于光纤通讯上，从而使 得光纤通讯事业得到迅速的发展，这也是孤立子理论运用于实际的一个典范，具有重大意 义，我国也已将光纤孤子通讯列入重大攻关课题1 9 8 6 年以来，新的生物能量与传递的孤立 子理论逐步发展起来，理论研究和实验结果都表明，传递神经冲动的确是一种孤立子，从分 子水平上，运用传递生物能量和信息的孤立子模型，可较完整地说明横纹肌的收缩问题，由 蛋白质被污染后的孤立子变化( 传递生物能量与信息的孤立子被反射、散射、发射能量、衰 减、陷落消失等) 可以说明生命体发病的微观机理，显然，这些研究工作对发展和揭示生物 奥秘都有至关重要的意义。 典型的孤立子解有以下三种类型：第一种叫k d v 型( 又叫钟型) 孤立子，它就是前面 已经提到过的k d v 方程的解：第二种叫n l s 孤立子，也叫包络型孤立子，它实际上是非 线性薛定谔方程的解；第三种叫s g 孤立子，也称为扭结孤立子，其遵守的方程叫s - g 方 程是应用科学中出现的重要的非线性发展方程，如晶体位错、磁旋波在铁磁材料中的传播以 及两相介质中的激光脉冲的研究都导致s g 方程除了这三种类型外，还有止孤立子、反 孤立子、呼吸子，以及它们的迭加形成的形形色色的孤立子。随着研究的深入，愈来愈多的 孤立子解被不断地揭示出来，如k i n k 解、l a k o n 解、c o m p a c t o n 解、和k i n k - c o m p a c t o n 解等等。 1 2 非线性波动方程的研究概述 非线性波动方程在发展中遇到的一个重大障碍即波动方程求解的困难，这首先归冈于 非线性问题的本身，线性问题和非线性问题的本质上的差别即是线性问题的任意两个解可 以加在一起构成一个新解，然而在非线性问题中，两个解不能加在一起构成一个解，叠加原 理失效了这使得与叠加有关的经典f o u r i e r 变换方法和l a p l a c e 变换方法都在非线性问 题的研究中失效非线性问题不得不整个地考虑而不能象线性问题那样分成许多小问题进 行研究其次，非线性波传播的速度不但和介质的特性有关，而且和波的扰动有关，在流体 力学中，波的传播速度为v = c ”，而在固体介质中，波的传播速度为1 ，= c f l u ，波的传 播速度和扰动的导数有关，这使得不管是一个怎么光滑的边值问题，在经过一段时问之后总 3 江苏大学博士学位论文：非线性波动方程分俞中的若干问题分析 会出现不再连续可微的解即间断解。 1 2 1 非线性波动方程的精确解 由于非线性发展方程的复杂性，求解它并无统一的方法。不过针对寻求非线性波动方程 的精确孤立波解，人们在研究过程中，己经发展了一些构造精确解的有效方法，如散射反演 方法 1 7 - 2 0 、d a r b o u x 变换 2 1 2 3 、h i r o t a 双线性变换 2 4 2 6 ，b a c k l u n d 变换 2 7 2 9 、l a x 对非线性方法 3 0 - 3 1 、以及齐次平衡法 3 2 3 7 1 等等。孤立子的形状在相互作用期间经过了暂 时变形后又严格得到了复原，这一现象启发了g a r d n e r 等人【3 8 】在19 6 7 年发展了散射反 演方法，求解过程中用到f o u r i e r 变换及逆变换，又称为非线性f o u r i e r 变换法，它的基本 思想是将这类非线性问题通过常微分算子与本征值转化为线性问题来求解，随后，l a x 3 9 】 推广并提高了g g k m 的上述方法，使之能够用于求解其它非线性发展方程的初值问题，从而 逐步形成一种系统的求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 【4 0 本质地推广了这一方法， 求出高阶k d v 方程，立方s c h r 6 d i n g e r 方程等的精确解。a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 4 i 4 2 贝i j 更加一般化反散射方法。李诩神、屠规彰 4 3 - 4 4 】也为发展反散射方法作了很好的工 作。其主要缺点是：( 1 ) 涉及到较高深和晦涩的数学知识，使用较复杂的数学丁具；( 2 ) 只适 用于求解可积系统；( 3 ) 求解过程比较繁杂和迂回曲折，绝大多数能用反散射法求解的非线 性方程用别的方法也能求解，而且简单得多，因此，实际上人们很少用这种方法来求解1 f 线 性偏微分方程。正因为反散射法存在以上一些无法克服的缺点，人们陆续提出和发展了一些 别的更适用的方法。1 9 7 1 年，h i r o t a 2 5 弓1 进双线性变换法，它是构造非线性发展方程n 一 孤子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。1 9 7 5 年w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 【4 5 】 提出延拓结构法，以外微分形式为t 具，给出寻找与散射方法相联系的线性特征问题的系统 的方法。w a d a t i 4 6 等人在1 9 7 5 年将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e g o r d o n 方程中， 1 9 8 6 年谷超豪 4 7 - 4 8 等人将d a r b o u x 变换推广到k d v 族，a n k s 族及( 1 + 2 ) 维，高维方程 组，并将d a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中。 计算机代数的出现，极人提高了非线性方程的求解速度，拓广了求解的方法，近年来围 绕计算机代数的兴起，许多学者构造出一些行之有效的机械化方法。1 9 9 5 年王明亮等 4 9 - 5 0 】 提出了齐次平衡法米求解很多方程，随后高以天、范恩贵、闰振亚等 5 1 5 5 在这方面也作了 许多r t 作。在计算机符号计算的基础上发展起来双曲函数法，三角函数法，并有相应的软件 包【5 6 】的出现使得复杂的计算变得更加容易。曹策问教授提出的形式分离变量法，后来由李 栩神，程艺，耿献国，曾云波等人在这方面作了许多工作。z h d a n o v 和屈长征等人提出泛函 4 第一章绪论 分离变晕法 5 7 】，楼森岳和张顺利等推广了这一方法提出导数相关泛函分离变量法【5 8 】。2 0 0 2 年f e n g 【5 9 1 利用代数环论中的除法定理和h i i b e r t - - n u l l s t e l l e n s a t z 定理构造出首次积分来 求解方程。随着研究的深入，各种方法不断涌现出来，例如谐波平衡法、双曲正切函数法、 s i n e - c o s i n e 法、广义齐次平衡法等等，这些方法都可以非常有效地求出非线性系统的精确解， 尤其是孤立波解。 1 2 2 非线性波动方程的数值模拟和实验分析 能用解析方法求得精确解的只是少数方程性质比较简单的问题。对于大多数问题，由于 方程的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到其解析解。这类问题的 解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得 到问题在简化状态下的解答。但这种方法只是在有限的情况下是可行的，且只能给出方程的 部分特殊形式的解，过多的简化可能导致很大的误差甚至错误的解答。t h o m p s o n 和t i e r s t e n 【6 0 6 1 】在1 9 7 7 年提出了近似求解非线性波动方程的方法：逐步近似法，它的基本思想是把方 程中非线性项看作是产生非线性谐波的源，而这源又是间接源，它是原来介质中传播的波相 互作用产生的，用前一阶近似的解代入后一阶方程的非线性项，求解非齐次方程，可得各阶近 似解w i n f r e e 【6 1 】在1 9 8 2 年又发展了初始为任意脉冲的非线性波动方程普适解，进一步 简化了这一方程，这一方法的优点是简单易懂，但它的解只在短距离和非线性波精确相近，不 能完全反映非线性波传播的特点。人们多年来寻找和发展了多种数值模拟求解方法。在各种 数值模拟方法中，最早出现的就是有限差分法，它的主要优点是计算速度快，占用内存小： 缺点是精度低，难以克服频散效应，而要解决频散问题，须加密数值计算的网格，这势必导 致计算量增加、效率下降，所以仅适合于相对较简单的地质模裂。有限元法也是偏微分方程 的数值解法之一，其缺点是占用内存和运算量均较大，使得计算速度过慢。伪谱法是偏微分 方程的另一种数值解法，利用空间的全部信息对波场函数进行三角函数插值，所以能更加精 确地模拟波的传播规律。同时，利用快速傅立叶变换进行计算，还可以提高运算效率。谱元 法是一种新的波动方程数值解法，它首先由p a t e r a 【6 2 在流体动力学研究中提出积分方程法 是建立在波动方程的积分表达基础上的，其理论基础是惠更斯原理，谱元法本质上是一种基 于g a l e r k i n 变分法的近似求解以积分形式表示的偏微分方法的离散方法，它结合了伪谱法 和有限元法的优点，既具有伪谱法的高精度和快速收敛性，又具有有限元法的几何灵活性。 有了计算机后，利用数值方法求出非线性方程的数值解的方法发展十分迅速，有很大的 实用价值。数值试验有其强有力的一面，它可以大大丰富我们对系统的认识，已经成为研究 5 江苏人学博上学位论文：非线性波动方程分岔中的若干问题分析 非线性方程的重要手段。然而，它并不是万能的，是有其本身的局限性。数值试验每一次都 只能对一定的初值进行，而且只能进行有限时间的积分，得到有限时段内的演变情况。它无 法解决两个无穷的问题，即对所有可能的初值的解在时间趋于无穷时的极限情况，也就无法 知道系统的全局渐近行为。而且，在有限时段内讨论的情况，如果放在无限时段内考虑则情 况可能人不一样。由此可见，数值试验不能代替动力学研究，普遍的理论结果是不能从有限 的数值试验中直接产生的。 实验室模拟作为补充观测和理论研究的手段，无论从科学研究目的，还是从解决问题的 方法，都是很有意义和很必要的。它提供了许多直观的形象，是检验有关方程解的性质的有 效手段。然而，它也有无法克服的缺陷，实验方法受实验手段和实验材料的限制较大，是不 能使实际系统的复杂现象完全再现出来的。 1 2 3 非线性波动方程的定性理论 在了解非线性方程解的全局渐近行为上，直接求解方法、数值方法以及实验方法都有着 无法克服的困难，而且在许多实际问题中也并不需要给出解的具体表达形式，而只需要知道 微分方程解的一些定性性质。定性方法是直接从方程本身的特点来了解方程解的性态，而并 不需要求出方程的解就能直观地、清楚地展示出非线性系统运动的主要性质和特征，对方程 进行全面、系统的认识，这是定性方法显著的优越性。 微分方程定性理论是由十九世纪末法国数学家p o i n c a r 6 6 3 】在研究多体问题运动稳定 性时开创的，当时，只限丁常微分方程。他发现即使是三体的运动方程都不可能用已知函数 明显地解出，因此，它们的稳定性问题就不可能通过求出解析解来得到解决。于是，p o i n e a r 6 寻找通过考察微分方程本身就可以回答问题的方法。他把自己所创立的这个理论叫做微分方 程的定性理论。在1 8 8 1 年，p o i n c a r 6 发表了他的著名论文微分方程定义的积分曲线，其 中阐明了他的思想：由复域转回到实域；由解析研究转到定性研究；由函数研究转到曲线的 研究；由等式转移到不等式；由小范围分析转到大范同分析；由数值的研究转移到拓扑性质 的研究：由定解转移到曲线的全体研究，这就是( 实) 定性理论的实质。差不多是同一时期， 俄国数学家l y a p u n o v 完成了他的运动稳定性理论的杰出工作，从而共同奠定了常微分方程 定性理论和运动稳定性理论的牢固基础。近一百多年来，这方面的研究得到迅速的发展，由 于电子计算机的发展给定性理论研究提供了有力的工具，同时定性理论分析也往往给数字计 算提供理论依据，已成为许多科学和技术中不可缺少的数学工具。尤其是近二十年来，定性 研究已开始由常微分方程转向偏微分方程，由有限维动力系统转向无穷维动力系统 6 4 - 6 8 1 。 6 第一章绪论 定性理论在常微分方程的研究中是十分重要的，对维数较低的系统特别是二维平面系 统，定性理论的研究已取得丰富的结果。其中，一个基本内容是研究系统的所有极限集( 或 不变集) 的拓扑结构或者定性结构，它们包括：( 1 ) 奇点，( 2 ) 周期解( 闭轨线) ，( 3 ) 奇点与t 一+ 、 t 一一一时趋于这些奇点的轨道( 如：同宿轨和异宿轨) 。当这些极限集形式被讨论清楚之后， 系统的基本的定性结构就可以确定了。另外，随着系统参数的连续变化，系统发生的分岔现 象也是讨论的主要内容之一，它是指对含参数的微分系统当参数变动并经过某些临界值时系 统拓扑结构会发生突然变化的现象。弄清了系统的分岔特性及机理，该系统所发生的所有物 理现象都将昭然若示。 随着定性理论的开创，动力系统理论有了很大的发展，它已经渗透剑数学的各个分支中。 简单的说- 动力系统是单参数连续的变换群，它是研究系统随时间演化的科学。非线性波方 程也是研究波随时间演化行为的学科，尤其是波方程中的孤立波，实际上就是一种特殊的相 干结构，是非线性波方程某些行波解的一种极限状态，可以被看作行波解所满足的常微分方 程的同宿轨道或异宿轨道等来研究，由非线性波方程本身所蕴含的参数的变化对应着相应的 动力系统的分岔行为的变动引起新的波行为的产生，这些都可以利用动力系统的相关理论来 研究并加以证明。 对非线性波动方释的定性分析不仅能够了解非线性系统运动的主要性质和特征，而且 对求出它们的精确解或近似解都是有意义的，所得结果可使我们知道解的人致形状，从而用 待定方法把解求出来。国内外学者在非线性波动方程的定性分析上做了很多的工作，取得了 一些较有意义的结果，早在上世纪八十年代末，h 1 k e d a 等人【6 9 】分析了一些双稳态反应扩 散系统的行波解的全局分岔现象，s d t a l i a f e r r o 【7 0 分析了神经轴突系统方程的行波解的 稳定性和分岔，随后h i r o s h ik o k u b u 【7 1 等讨论了双稳态扩散系统的同宿、异宿分岔问题， 数值分析、正规形、中心流形、近似分析等方法也被应用到研究行波解的分岔和混沌研究上 【7 2 7 6 ，m a n f r e de g 6 z 7 7 在1 9 9 3 年讨论了一个两维的流化层模型，基于行波解的形式，将 方程化为常微分方程后结合相平面分析的方法进行分岔分析，这种分析方法随后也成为对行 波解分析的最常用方法之- - 7 8 8 3 。 1 3 具有孤立波解的几类重要的非线性方程 1 3 1k d v 方程和它的推广形式 k d v 方程是非线性数学物理中的一个基本模型方程，现在不断发现，相当广泛的一批 描述弱非线性作用下的波动方程，在长波近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结为k d v 7 江苏大学博士学位论文：非线性波动方程分岔中的若干问题分析 方程，如冷等离子体的磁流体波的运动；非谐振品格的振动；等离子体的离子声波；在液、 气两种混合态的压力波的运动；在一个管底下部的流体的运动；在低温下非线性品格的声子 波包的热激发；在弹性杆中的纵向色散波的传播等。18 9 5 年，k o i t e w e g 和d e v r i e s 推出了 k d v 方程，它的原始形式是研= 吾等( 圭i t 2 + 詈口刁+ 三唧。) ，人们经过研究知，当方程建立 在整个实数轴上或是在一个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转化为标准形式： 旃+ 口西丸+ 允。= 0 ， 其中“是常数，丸= a o x ，以= a l a t ( 下同) 。当t 很大时，相应的解的渐进形式为 ：毕s e c 2 【屯。一4 砰f ) + q 1 ( f ：1 2 ) ， 其中劬是常数，表示相位，南= 1 ，艺= 2 时表示两个孤子，均是波包型( 钟形) 孤波。 对于形如谚+ 却丸+ 丸：，q = 0 的方程称为推广的k d v 方程，其中口为常数，1 和，为非负 整数，丸：，“= 爱，r = 2 m , 聊为非负整数。推广的k d v 方程中最简单形式是修正的k d v 方程识+ 却2 吮+ 虹= o ，它可以用来描述非调和品格中声波的传播和在一个无碰撞的等离 子体中的a l l e n 波的运动。m i a r a 证明了如果矿是口= - 6 时方程的解，则( 丸+ 矿) 也是它的 孤波解。 k d v 方程还有很多推广的形式，例如： 高阶的k d v 方程：旃+ 4 5 口t 2 丸+ 1 5 ( 农丸+ 红) + 屯。= 0 l a x 的k d v 方程 谚+ 3 0 2 以+ 1 0 ( 2 丸丸+ 以。力+ 谚。= 0 浅水波动的k d v 模式方程旃一缸一3 抛+ 3 识f 旃出+ 丸= o a b i o u i t n 的k d v 模式方程磅一虹一4 触+ 2 丸r 力出+ 丸= o _ c - - 维的k d v 方程 九缸+ 6 ( 触) ，+ = 0 k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i 方程3 p 2 。+ ( 丸+ 。+ 6 妒识) ，= 0 以上这些运动方程大多数都对应一定的物理过程。 1 3 2 s c h r 5 d i n g c r 方程( n l s e 方程) s c h r 6 d i n g e r 方程是非线性系统或非线性场中的微观粒子的基本动力学方程，有着，“泛 用途，可以用米描述定态二维平面波的自聚焦、非线性光学中的自陷现象、在等离子体中的 l u n g m u i r 波、在固体中的热脉冲的传播、一维口螺旋蛋白质中生物能的传输等物理过程， 8 第一章绪论 其最简单形式为 f 谚+ 丸+ 6 i 1 2 妒= 0 它具有波包型的孤子解 = 西os e c h 知仲争删， 其中匕和v c 分别为包迹( 波包) 的群速度和载波速度( 相速度) ，v c 2 v c n l s e 方程有很多其它的形式，如： 二维的形式：磁2i j 2 = - - 2 k i 旃一九一妨 c h e ns i n g h e n 和l i nc h u a n s h e n g 推出的n l s e 方程：磁一丸+ 2i 1 2 = 2 锻，它有 孤立波解，并作匀加速运动。 k a u p 和m e w e u 的n l s e 方程：磁+ 丸+ 2f 1 2 = 2 苏0 一i g t ) ，当双曲= 缈，p 0 为小常数时，方程有频率正比于的振荡孤波解。 1 3 3c a m a s s a h o l m 方程 1 9 9 3 年，c a m a s s a 和h o l m 考虑重力作用下，浅水层自由表面的水波运动，用物理原 理导出了c a m a s s a - h o l m 方程( 简称c h 方程) 谚一吮。+ 3 西丸= 2 丸丸+ 谚。， 其中触，t ) 表示水波在x 方向的流速。c h 方程是对不可压缩e u l e r 方程的h a m i l t o n i