（固体力学专业论文）随机有限元在结构优化设计中的应用.pdf

西南交通大学硕士学位论文 1 1 abs t r a c t i n a l l k i n d s o f s t r u c t u r e i n e n g i n e e r i n g ，a c e r t a i n a mo u n t o f u n c e r t a i n t i e s , w h i c h h o l d a n i mp o r t a n t p o s i t i o n i n t h e s t r u c t u r a l d e s i g n , s h o u l d b e n o t i g n o r e d . t h e s e u n c e r t a i n t i e s s h o u l d b e t r e a t e d w i t h a p p r o p r i a t e l y i n o r d e r t o o b t a i n a s t r u c t u r a l d e s i g n a s p o s s i b l e wh i c h i s mo r e e c o n o mi c , r e a s o n a b l e , s a f e a n d r e l i a b l e . he n c e , t h e r e s e a r c h o f t h e f i e l d o n t h e o p t i mu m d e s i g n o f s t o c h a s t i c s t r u c t u r e h a v e p r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e a n d a p p l i e d v a l u e . f o r e x t e n s i o n t h e o p t i ma l d e s i g n me t h o d t o i n c l u d e t h e s t r u c t u r a l u n c e r t a i n t y w i t h r a n d o m p a r a m e t e r s , a n e w o p t i mu m i d e a i s p r o p o s e d w h i c h i s b a s e d t h e s t o c h a s t i c f i n i t e e l e me n t m e t h o d t o a c q u i r e t h e r e s p o n s e a n d s e n s i t i v i t y o f a s t r u c t u r e a n d o p t i m i z e t h e s t r u c t u r e b y u s i n g s e n s i t i v i t y a n d a p p r o p r i a t e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m. t h e n e w d e s i g n a r e t h e d e s i g n w h i c h c a n w i t h s t a n d t h e u n c e r t a i n t i e s o f t h e s t r u c t u r e , s o t h e d e s i g n i s n o t o n l y e c o n o mi c b e n e f i t , b u t a l s o m o r e r e a s o n a b l e . t h e ma i n c o n t e n t s a n d r e s u l t s o f t h i s t h e s i s a r e a s f o l l o ws : p e r t u r b a t i o n f o r mu l a t e a n d d y n a mi c s t o c h a s t i c o f t h e r e s p o n s e a n d s e n s i t i v i t y o f t h e t h e s t a t i c o p t i ma l d i s c u s s e d me t h o d - s t a t e s y s t e m s p a c e wh i c h l a r g e - s c a l e c o mp l e x i s r e l a t i v e s t r uct ur e a r e e s t a b l i s h e d ; t h e h i g h e f f i c i e n c y g r a d i e n t p r o j e c t i o n me t h o d i s c o mp l e x b u t i s e a s y t o u s e f o r a p r o g r a m h a s b e e n d e s i g n e d f o r w i t h ma n y c o n s t r a i n t s ; t h e c o m p u t e r s o l v i n g p r o b l e ms o f s t a t i c s e n s i t i v i t y a n a l y s i s a n d o p t i m a l d e s i g n . s o me e x a m p l e s a r e c a l c u l a t e d b y i t a n d g o o d s o l u t i o n s a r e a c q u i r e d , t h e i d e a i s p r o v e d t o b e f e a s i b l e . k e y w o r d s t o c h a s t i c f i n i t e e l e m e n t ; s e n s i t i v i t y a n a l y s i s ; o p t i m a l d e s i g n ; g r a d i e n t p r o j e c t i o n me t h o d / 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第 1 章 绪论 1 . 1引盲 在结构分析中，由于结构的物理、几何参数和约束条件等常常是不确定 的，通常在名义值附近扰动，并且受到的荷载也可能是随机的，例如，结构 承受的风载荷、海浪、地震载荷等等，使得结构的行为亦成随机的了。这样 就为结构的响应计算和结构的优化设计提出了更高的要求。 随着计算机科学、 有限元方法和多种数值分析算法的成熟，使得对复杂结构的高效分析成为可 能。随机有限元正是在这样的背景下应运而生，它较之传统的确定性方法更 能反映工程结构的实际情况，使得人类对真理的探索又迈进了一步。 目前随机有限元方法 ( 主要是摄动随机有限元方法和 mo n t e c a r l o有限 元法)己经广泛应用于实际工程中，不仅可用于 解决多种结构分析问题，如 坝体、边坡、容器、框架结构等的静力和动力问题，而且用于结构的可靠性 设计。随机有限元方法具有广阔的应用前景，其应用领域还有待于进一步的 探索和推广。随机有限元发展的一个方向是将随机和模糊结合起来的模糊随 机有限元，以及在结构优化设计中引入随机有限元法，把随机结构灵敏度分 析与结构的优化设计有机的结合起来。 在结构的优化设计中应用摄动方法始于wu u 。 随后， b a n i c h u k 2 1 对该方 法作了进一步的研究， 它应用具有分布参数的摄动法求解静力和特征值问题， 结果表明，具有分布参数的摄动方法不适宜于大型结构。1 9 9 8年， b y u n g wo o 3 1 提出了一种对于随机结构进行优化的简单方法，其思路是应用摄动法 将控制方程转化为一系列摄动方程组，然后对零阶、一阶、二阶摄动方程关 于设计变量求导，解方程得到灵敏度的零阶、一阶、二阶值。笔者拟在随机 有限元法应用于结构优化设计方面作初步的探讨和研究。反映在结构实际性 能中的不确定性因素已在结构的优化设计方法中占据了重要位置，要进一步 改善结构优化设计方法，必须对不确定性因素给予妥善处理。因此该方面的 研究具有现实意义和实用价值。有关这方面的文献还比较少，但是，研究从 确定优化到不确定性优化( 随机、 模糊优化) 的方向转变将是一个必然的趋势。 1 . 2随机有限元的发.概况 由于力学模型、行为的不确定性，使得在力学分析过程中对随机信息的 处理己不可避免。此时系统的随机行为产生于系统本身的、输入的以及组合 西南交通大学硕士学位论文第2 页 因素的随机性。 随机有限元法通常是指在确定性有限元分析的过程中引入物理量的不确 定性。具体是在传统有限元的基础上引入表征不确定参数的随机变量，对该 原始的随机场进行离散化，变随机输入为一个随机向量。在假定随机参数的 扰动微小的情况下，利用摄动法 ( 或其他技术)将传统有限元法的控制方程 转化为一组递归方程组，可得到待求场变量的均值和方差，进一步可得到其 它待求物理量的均值和方差。 一般地，结构系统的随机分析方法可分为两大类:一类是非统计方法， 另一类是统计方法。 随机有限元方法始于七十年代， c a m b o u 1 4 1 和d e n d r o w 5 1 等人利用一阶泰勒级数展开结合有限元方法，计算了结构响应量的二阶统计 量。八十年代初， h i s a d a和n a k a g i r i 7 - 1 1 1 把这一方法推广到了二阶泰勒级数 展开或二阶摄动法，并对随机有限元法作了比较系统的研究。但是他们提出 的随机有限元法要求给定随机变量的相关函数或谱密度，这在许多情况下是 难以得到的。 随后 v a n m a r c k e 1 2 - 1 4 1 等人提出随机场的局部平均理论并将它 引入随机有限元。 朱位秋 3 3 1 等人也作了类似的工作。 由于局部平均随机场的 方差函数具有对该随机场相关函数不敏感的性质，因而基于局部平均理论的 随机有限元法对原随机场只需己知其均值、方差和相关偏度，从而减弱了对 原始信息的要求，使随机有限元便于实际应用。在随机有限元法中，场变量 的解由两部分组成，其一是均值，其二是偏差值，它们由求解随机有限元的 递归方程得到。随机有限元己成功用于不确定形状的静力分析，岩土工程的 沉陷预报、随机激励的响应等等。近年来，随机有限元的应用领域正在迅速 扩大，l i u 1 9 -2 u 等人把随机有限元法应用于弹塑性静力结构、非线性动力分 析以及大变形问题，并做了大量工作。值得一提的是他们提供了一种主模态 技术，即利用随机变量的特征正交化技术将满秩的协方差矩阵转换成对角的 方差矩阵，从而可以减少计算工作量。陈此、李贤兴等1 2 2 ,2 3 ,3 5 1 将特征正交化 技术和局部平均理论组合起来提出了一种新的随机场模型并建立了等参局部 平均单元，扩大了随机有限元法应用范围。l i u 等 1 8 1 还建立了随机问题的变 分原理;陈扎、 刘先斌 4 5 1 研究了随机有限元法的数学理论， 从而把有限元建 立 在更扎实的基础上。随机有限元法比较引人注目的应用有，大型结构系统 的概率有限元分析，结构振动中具有随机阻尼的响应分析，随机有限元用于 结构的可靠度分析，框架结构屈曲的随机有限元分析等等。由于随机性是事 件的固有属性，在工程中和一些新兴的科学领域中，随机问题大量呈现，因 此以随机有限元为主的随机数值解法，具有广阔的应用前景。 西南交通大学硕士学位论文第3 页 1 . 3结构优化设计的发展概况 优化设计是设计概念与方法的一种深化，它用系统的、目 标定向的和有 良好标准的过程与方法来替代传统的试验纠错的手工方法。优化设计是寻求 最好或最合理的设计方案，而优化方法便是达到这一目的的手段。虽然对大 多数现实问题而言，由于耗费资源 ( 时间、费用)过于巨大，“ 最好”的不 一定能实现， 但它提供了一种指导思想与标准， 形成了概念框架 ( 问题识别、 定义、模型化、求解与评价)和运作手段。优化方法还能被应用于处理其它 问题上，只要该问题存在有多种解方案，故它是求解问题和帮助决策的手段 与工具。 优化设计起源于古代的经典最优化技术，优化方法的出现可追溯到 n e w t o n、 l a g r a n g e 和c a u c h y时代。由 于n e w t o n和l e i b n i z e 对微分学的 贡献，刁使优化的 微分学的发展成为可能。 b e r n o u l i , e u l e r 、 和 l a r g r a n g e 等奠定了变分学的基础。包含待定乘子的约束问题优化方法是由 l a r g r a n g e 创立，并以其命名为l a r g r a n g e 乘子法。c a u c h y 最早应用最速下降法来求解 无约束极小化问题。尽管早期的这些贡献，但是，只是随着高速电子计算机 的出现，才使优化程序的实现成为可能，并促使了各种新方法的发展。值得 注意的是，无约束优化数值方法领域中的主要进展始于六十年代。1 9 4 7年， d a n t z i g提出了求解线性规划问题的单纯形法;1 9 5 7年，对动态规划问题提 出了 最优化原理;这两方面的研究为约束优化方法的进展铺平了道路。1 9 5 1 年，k u h n和 t u c k e : 关于规划问题最优解的必要条件和充分条件的研究工作 为以 后的非线性规划领域内的大量研究奠定了基础。 六十年代初， z o u t e n d ij k 和r o s e n 对非线性规划的贡献有很重要的价值。尽管还没有发现一种方法能 普遍适用于求解非线性规划问题，但 c a r r o l l , f i a c c o 、和 m c c o r m i c k的研 究使很多非线性规划问题能用众所周知的无约束优化方便的予以解决4 1 1 , 特别是近三十年内，结构优化设计在理论、算法和应用方面取得了长足 的发展。由于实际工程问题中待优化的变量往往不是连续变化的，更多的是 离散的，从而数学模型中的目标函数和约束函数不再具有连续性和可微性， 对于离散变量优化问题，原有的连续变量优化中的许多有效的解析算法无法 应用，需采用组合优化方法，除此之外，常用的方式中一种是基于连续变量 优化思路而发展出来的离散或拟离散优化方法，另一种是对模型作变换转化 为相应的连续变量优化问题。值得一提的是离散变量搜索优化方法，这类算 法是在离散空间直接搜索离散最优解， 其中的试探组合方法由s . l i n 于1 9 7 3 西南交通大学硕士学位论文第4 页 年提出，后经 l e e等的改进和推广，由于它能与设计者的经验相结合，受 到工程界的欢迎和重视，被认为是一种较为有效的方法。此外近年来发展起 来的模仿自然演进的方法，如模拟退火法、遗传基因算法和神经元网络算法 等都属于离散空间搜索优化方法，具有很强的适应能力1 4 2 1 0 结构优化按照不同要求与求解难度可分为四个层次:截面尺寸优化、形 状优化、拓扑与布局优化、结构类型和材料的优化。结构构件截面优化己经 比较成熟:对于结构的形状优化问题，杆系结构的形状优化较为成熟，对于 块体、板、壳类的连续体结构的形状优化的主要研究大致集中在以下几个方 面:( 1 ) 设计模型、分析模型和优化模型的构造及其间的相互转化，以达到 减少设计变量、保证分析精度、满足工程设计要求;( 2 ) 分析模型如有限元 网格的自 动生成与自 适应精化; ( 3 ) 敏度分析与高效优化算法的研制; ( 4 ) 近 似重分析方法的研究: ( 5 ) 多目 标或多准则的优化等:与形状优化和截面尺 寸优化相比较，拓扑优化的难度最大，办最具挑战性，它探讨结构构件的相 互连接方式，使结构能在满足有关平衡、应力、位移等约束条件下，将外载 荷传递到基座，同时使结构的某种性态指标达到最优。结构的拓扑优化研究 是从析架结构开 始的，1 9 6 4年 d o r n . g o m o r y等人提出 基结构法， 将数值 方法引入该领域，此后拓扑优化的研究活跃起来，陆续有一些解析和数值方 面的理论被提出来。随后，许多学者提出了一些新的算法并解决了一些工程 上的结构拓扑优化问题。近年来，一些适合于并行计算且对函数性能要求比 较低的全局搜索算法，如前所提到的基因遗传算法、神经元网络算法和模拟 退火算法开始应用于拓扑优化问题。但目 前只能解决小规模的问题。由于连 续体结构的优化描述的困难和数值算法的巨大计算量，因而发展较慢。目前 的方法都是在基结构基础上的描述方法。连续体结构拓扑优化的一些基本思 想与方法，已被用来进行材料设计研究，这将是一个很有前途的领域。 结构的优化设计是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设 计提供一种重要的科学设计方法。利用这种新的设计方法。人们就可以从众 多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量。因此 优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，优化设计在航空航天、机 械、土木、水利、桥梁、汽车、铁路、轻工纺织、能源工业以及军事工业等 诸领域得到广泛的应用，主要处理那些具有复杂结构系统的设计，如飞机、 p _ 星、机器人、射电远望镜等，或者大规模的工程建设，如大坝、桥梁、核 电站，或者产量大的汽车、机械和轻工产品以及创新型的产品设计，并且取 得了显著的技术、 经济效果。 优化的应用研究还扩大到国土开发与资源利用、 西南交通大学硕士学位论文第5 页 环境监控与生态保护，以及海洋工程等领域，并且作为一种技术手段用于解 决诸如系统辨识、工程反分析等问题。总之，优化设计和技术成为人们改进 工作、 1 . 4 提高效率的必不可少的手段，必将会得到更多关注与广泛的应用。 本文的主要工作 本文基于随机有限元方法对随机结构进行灵敏度分析，并利用提供的敏 度信息对随机结构进行结构的优化设计，主要开展了以下工作: t .建立了随机结构静、动力的响应分析和灵敏度分析的计算列式。 2 .详细介绍并探论了高效的优化算法一状态空间梯度投影法。 3 .给出了随机动力优化问题的设计思路和计算列式。 4 .编制了随机静力问题的结构优化程序，该程序可处理材料性能随机的弹 性静力问题的灵敏度分析和基于敏度信息的优化设计。 s .用算例考察了编制的程序的可靠性，并对弹性模量随机扰动的一重力坝 结构的剖面形状进行了最优化。 西南交通大学硕士学位论文 第6 页 第2 章随机结构的响应分析 2 . 1随机场的局部平均理论 随机有限元不同于传统有限元法的一个最重要的区别是存在随机场的离 散问题，随机有限元分析首先需要将随机场进行离散化，将随机函数表述为 随机向量。目前有关随机场的离散的处理方法主要有:单元中心赋值法、局 部平均法、插值法、局部积分法、规范展开式法、分离法等。本文采用局部 平均理论，它是对参数随机离散后，在一个单元上的局部平均代表该单元的 统计量。 山于平均后的随机场的二阶统计量具有与原随机场的相关结构不敏感的 特点。它只与原随机场的均值、方差、以及相关偏度有关。相关偏度对于特 定的随机场是个常数。刻划二维随机场两个方向上的相关距离，是对原随机 场相关性强弱的量度。局部平均随机场的这个重要特性使人们在选择具有不 同功率谱函数的随机场去拟合真实随机场时具有较大的自由度，并使后面的 数值计算具备了非常便利的条件。 1 .一维局部平均定义及方差函致 设一 个一维连续平稳随 机场x ( t ) ， 其均值为m ， 方差为。 ， 。定义x ( t ) 在 一个离散单元上 t - ( t / 2 ) , t + ( t / 2 ) 的局部平均如下: , , ( t 1 2 ) xt ( t ) 一 t 介 (x )d x ( 2 . 1 ) , - ( t l 2 ) 其中t是局部平均单元的长度， x t ( t ) 称为局部平均随机场， 其均值和方差为: e x t ( t ) = m ( 2 .2 ) v a r x ,. ( t ) = a t = q ( t ) . a 2( 2 . 3 ) 其中。 ( t ) 是的x t ( t ) 方差函数， 它表示在局部平均下。 2 的折减。 方差函数。 ( t ) 与标准相关系数p ( ) 之间的关系为: q( t ) =- 2 j j p (tt 0 0 一 ) d t , d t 2 =2 ,.t 2 j(10 一 t )p ( )d ( 2 . 4 ) 无量纲的方差函数有如下性质: q ( t ) q( 0 ) 0 ( 2 . 5 ) s 2 ( - t ) = q ( t ) 西南交通大学硕士学位论文 第7 页 2 .相关偏度 定义随机场x ( t ) 的相关偏度为 b =l i m m ( t )( 2 . 6 ) 将式( 2 .4 ) 代入式( 2 .6 ) 有: “ 一 2 j p ( )d 一 介 ( )d ( 2 . 7 ) 从 上 式 可 看出 ， 若0存 在， 则 当191 oco 时p ( ) -0 , 因 此 存 在0 的 条 件 是 随机场的二阶矩有界。对于一维问题，0 有一个近似计算式，以等间距对随 机场进行采样，设n 表示参加局部平均的样本的个数，对任意给定n ，计算 局部平均样本的方差跟随机场的方差之比 得到方差函数的估计值s 2 ( n ) 0 “ n . q ( n ) . o t ( 2 . 8 ) 由 式( 2 .4 ) 可见， 只要己 知标准 相关系数，随 机场的方差函数就可 确定， 但根 据分析表明， 虽然相关系数差别很大， 但是它们所对应的方差函数差别甚小。 因此，局部平均随机场具有对原始随机场的相关结构不敏感的特点。 对于常见的宽带随机过程，有一个方差函数的近似表达式 q ( t ) 用方差函数在t / 0 的取值来标定， 通常 = 1 + ( t / 0 ) 一 “ . m取( 1 - 3 ) 之间的值。 ( 2 . 9 ) 3 .局部平均一维随机场的二阶特性 考虑随机变量的任意两个长度分别为t和t 的单元上的局部平均，如图 2 - 1 所示，它们分别为: 图2 . 1 一维局部平均单元 西南交通大学硕士学位论文 第8 页 x t = 上 了 r + r i z 丁 x (x )d x - 任18 , 1 ( 2 . 1 0 ) t - ( r i z t 1 , + ( i / 2 ) x , ix (x )d x ( 2 . 1 1 ) 夕 1一t r - ( r了 z 十t 相应的协方差是: 3 c o v ( x t i x t ) = 汀z 2 tt (一 ， k 片s l ( t 4 )( 2 . 1 2 ) 其中二 z 是原随机场的方差。由此可知，当已知方差函数时， 协方差矩阵可以 由 式 ( 2 . 1 2 ) 计算得到。 以 上讨论的关于协方差的 描述可以 直接推广到二维随机 情况。 4 .局部平均二维防机场的二阶特性 设a ( x , y ) 是一个零均值的、二维连续的平稳随机场，则可以用方差a l l 标准互相关函数p ( , 7l ) 来表征a ( x , y ) 的二阶特性， 这里古 及77 分别表示任意 两点 之间的x 和y 方向的间隔。 将该随 机场用矩形的 局部平均单元来划分， 如图 2 - 2所示。 -一- - - 一r1，互 z . l 1 ， . . . . -一-r . . . ， . . . . . ， ， ， . . !一 l一 l一 . .一 卜一 l一 l一 1_一 1 一 一 一一 一 一 一 ! .l 阵l ll 、， .l _1 ! ! ， - - 一 一 r一 - - - 一 一 一 一 一 一， !一 l一 l一 ! !l .一 图2 .2 二维局部平均单元 西南交通大学硕士学位论文 第9 页 设 第i 个单 元 边 长 分 别 为t , 和t n ， 则 互 协 方 差 可 以 表 示 成: s2(t ,t ， 一 4t , t, 一 矛 p ( , r1 )d id r/ ( 2 . 1 3 ) 七护 - 产.jo 卜应!jo 若随机场的相关结构是分离的，即 p ( , 1 7 ) =p ( ) - p ( r l ) 此时，互协方差函数也可以表示成两个方差函数的乘积的分离形式: ( 2 . 1 4 ) w , , t , ) = n , ( t , ) . 0 2 ( t , , ) ( 2 . 1 5 ) 考 虑 第i 和j 个 单 元 的 局 部 平 均 a , 和 a 0 ， 它 们 的 互 协 方 差 类 似 可 表 示 成 如 下 的形式: c o v ( a ,0 , 衅 ) - t ,t , t , t ya 2 3 34 i i (一 ，(一 ，)(t ,t2i)2e2 (t k.t 了 ) ( 2 . 1 6 ) 其中 ( x ， ， yx y ) 是第i 个单 元的中 心坐 标。 至此， 只要己 知原随 机场的 方差和相 关偏度，就可确定该随机场的二阶特性。 2 . 2随机结构静力晌应有限元列式 线弹性结构系统静力行为的控制方程为 k v 二f ( 2 . 1 7 ) 假定结构的某一参数z 扰动的，对该参数建立随机场模型后，其扰动量可以 j 月一 个随机小参数。 来表示，即将z 表示为确定部分和随机部分之和。 z = z . ( 1 + a ) ( 2 . 1 8 ) z 。 为z 的均值，。 是均值为零的随机场，它反映了参数的随机性。 对随机场离散后，。 可以 化为随机向 量a 。当有限元离散网格确定以 后，刚 度矩阵k 、荷载列阵f 和未知位移v 在。 均值处按泰勒级数展开，并略去二 阶以上项，有 k = k o + 艺k ,a艺 艺 k oa ,a j ( 2 . 1 9 ) ，1， 习 1长2 f 二f o 十 菩 f a , + 言 菩 买 f ,a ,a , ( 2 . 2 0 ) 西南交通大学硕士学位论文 第1 0 页 一 v, + 客 v，a ， 1v,a , + 2 黛v a ,a , ( 2 .2 1 ) 其中，k o 和f 。 分别表示刚度矩阵k和荷载矩阵f的均值矩阵，它们是确定 性的 量， n 是a 向 量中 的 随 机 变 量 总 数， k , f 和v 的 下 标i 和j 表 示 对a ， 和a , 求偏导数。 将 式 ( 2 . 1 9 ) , ( 2 .2 0 ) 和 ( 2 .2 1 ) 代 入 控制 方 程式 ( 2 . 1 7 ) 运用中 心二 阶 摄 动法可 得 如下的递归方程组。 k o v o = f o ( 2 .2 2 a ) k o v ; = f , 一 k ; v o ( 2 .2 2 b ) k o v= 凡一 kv ， 一 k , v , ( 2 .2 2 c ) 解此递归方程组可得零阶、一阶和二阶位移。 在式( 2 .2 1 ) 中， 若保留二阶项， 则得到位移的二阶近似。 此时， 位移的均值为: e v = 一 + 2买 一 “ a ,a i 一 。 + v 2 ( 2 . 2 3 ) 其 中 ，v2 一 告 转v,e a ,a ,， 由 下 式 “ 定 e ( f2 k ,v ， 一 k o v o ) e a ,a i 1 = 1 i 司 位移的协方差为 臼几砚 c o v ( v , v t ) = 艺 艺v ,v i e a ;a , + 艺 艺艺 v ,v ik e a ,a i a k = i 1 = 1! = 1了 司 k 习 艺 艺艺 艺v v k, ( e ( a ,a , ) x e a ,a , + e a ,a k e a , a , ) = 1j 司 k = 1扬1 1+-4 ( 2 . 2 4 ) 2 . 3防机结构动力晌应有限元列式 线弹性结构系统的动力行为的控制方程为: 域 + 心+ 均 二 f ( 2 . 2 5 ) 式中m. c . k分别为结构的整体质量矩阵、 阻 尼矩阵、 刚度矩阵; 9 . 4 , 4 分别为节点的 位 移列阵、 速度列阵、 加速度列阵。 f 既可以 是 任意随机的 动力荷载，如:正弦波、方波、三角波等，也可以是爆炸冲击波荷载。 西南交通大学硕士学位论文 第1 1 页 在问题中考虑随机扰动，设一随机变量b ，它是均值为零的随机场。首 先 用t a y l o r 级 数 对随 机向 量些 展 开， 并 保留 二 阶 项， 则 位 移向 量4 关 于夕 的 几 阶摄动式为 、 (。 ，) 一 。 。 (，) + 。 ， () 。 。 + 去 s zq (t)46,4b, 乙 ( 2 . 2 6 ) 同 样对m ( b ) , c ( b ) , k ( b ) 和f ( b ,t ) 作关于些 的二阶摄动展开式如下: m (b ) = m 0 + “ ， ”， + 告 e 2m - 4 b0 a bo c (b ) 一 c 0 + ， ”， + 1 ,_ 2c2，二 ”， ”。 、 (。 ) = k 0 + ， ” ， + 全 c k - o b 0tlba ( 2 . 2 7 ) ( 2 . 2 8 ) 、! n，n曰 勺，j . f (b ,t) 一 f 0 (t) + cf 0 (t )a b 0 + 合 e 2 f - (t)o b 04 b, (， 将 ( 2 .2 6 ) 一 ( 2 . 3 0 ) 式代入 ( 2 .2 5 ) 式， 并 在关于q 0 q ,” 和q .0 a的方程中归并 。 ， 和。 z 项 ， 得 到 零阶方程: m040(t)+c040 ( t ) + k 0 q 0 ( t ) = f 0 ( t ) ( 2 .3 1 ) 一 阶方程: m 0 q 0 ( t ) + c 0 q 0 ( t ) + k 0 q 0 ( t ) = f 0 ( t ) 一 ( m0 q 0 ( t ) + c 0 4 0 ( t ) + k q 0 ( t ) ) ( 2 . 3 2 ) 二阶方程: m 0 q (2 ) ( t ) + c 0 4 z 1 ( t ) + k 0 q (2 1 ( t ) 一 f 0 0 ( t ) - 2 m0 百 厂 ( t ) + c 0 4 0 ( t ) + k ,- q .a ( t ) - m .0 o q 0 (t ) + c 0 0 4 0 (t ) + k - q 0 ( t ) l 灿v ( b 0 , b a ) 其中 q (2 ) ( t ) = q 0 0 ( t ) c o v ( b 0 , b , ) ( 2 . 3 3 ) ( 2 . 3 4 ) 求解递归微分方程组 ( 2 .3 1 ) 一( 2 .3 3 ) ，可同时得到护 q ”和q .0 a及其对时 间导数，这样节点位移、速度、加速度可以求得。 西南交通大学硕士学位论文 第1 2 页 对于所考虑的问题中，假定随机参数扰动是微小的。这样，在均值附近 所有的解都可获得。在任何时刻，可以确定节点位移的均值和在 咨 、 一 ( x , (1) , 1 1 ) 2 一 ( x , (2 ) , t z ) 的 协 方 差 ， 我 们 得 到 : e lq (z ) 一 1 f 二 ! q ( z ) p p (b ,b 2 b ,. )d b ,d b : 二 d b n ( 2 . 3 5 ) c o v q (t , ), q (1 2 ) 一 j 1 .f q ( t , ) 一 e q ( t ) q ( t ) 一 e q ( t ) ) ( 2 . 3 6 ) 如r.j污 、 凡( b b 2 ， 一 ， 气) d b , d b 2 . . . d b n 把式( 2 .2 6 ) 代入式( 2 .3 5 ) ，再应用式( 2 . 3 4 ) 可以 得到t = t 二阶精度位移均值: : 。 ( : ) = 。 。 ( : ) + 巴 、 ，二 ( z )c o v ( b o , b , ) = 二 阶节点位移的协方差可由 方程( 2 .3 6 ) 和( 2 .3 5 ) 得到: 。 。 ( : ) 、 粤 、 ， ( : ) 艺 ( 2 . 3 7 ) c o v (q ,.，。 ， ) 一 、 .p (t i ) q (t2 ) c o v (b o ,瓦 ) 十 喜 q p (1,)q ,- (12 ) + q0 (q 。 二 (1 2 )s p w 艺 + i q 0a (1, )q ，一 (t2 )s 600 ( 2 . 3 8 ) 其中s 0 h和s ; ”分别 表示第 三、 四 阶随 机变量的中 心 矩。 如果 仅考虑节点 位 移的一阶方差，上式则变为: c o v ( t , , t 2 ) = q 0 ( 1 1 ) q ( 1 2 ) c o v ( b o , b o ) 基于摄动随机有限元方法导出了随机结构问题的动力响应计算列式 ( 2 . 3 9 ) ， 由导 出的动力响应的系列表达式，可以计算各种复杂结构系统的响应。 2 . 4特征化正交技术 为了减少计算工作量，我们将满秩的协方差矩阵变换为一个对角的方差 矩阵，也就是将相关的随机变量转化为一组互不相关的随机变量。 将协 方 差 矩阵 c o v ( b b , ) 化为 对 角 的 方 差 矩 阵v a r ( c , , c , ) ， 即 : 西南交通大学硕士学位论文 第1 3 页 var一 ，一 0 v a r ( c , ) *j =1 ( 2 .4 0 ) 式 中 ， 。 一 i 。 ， ， c ; )tlc . . . c 9 ) 是 一 个 构 造 的 随 机 向 量 ， 相 应 分 量 之 间 相 互 独 立 。 为 了 确 定 c 和 b 之 间 的 关 系 ， 可 设 随 机 向 量 ， 一 卜 : ， ， 气 it ， 用 矩 阵 g 来 代 表 c o v ( b , , 幼， 用 对 角 矩 阵a 来 代 表v a r ( c ; , c j ) o 由 于 协 方 差 矩 阵g 是 对 称 正 定 阵， 所以 必存 在 一正 交 矩阵p ， 使c与人 存在 相 似的 变换。 v t v = 9 4p t = i ( 2 .4 1 ) a = v t g v ( 2 .4 2 ) 式中v 是正交 矩阵， 它使g与 对角 矩阵a 相似。 a 的 对角 元素是 矩阵c的 特 阵值。有: b =卯 分量形式为: b j 一 艺,p y c j ( 2 . 4 3 ) ( 2 . 4 4 ) 至 此， 协 方 差 矩阵 c o v ( b ; , b i ) 已 化 为 对 角的 方 差阵 。 西南交通大学硕士学位论文 第1 4 页 第3 章 状态空间梯度投影法和结构的优化设计 3 . 1优化设计概论 3 . 1 . 1优化设计的谷本概念 优化设计方法是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划方法 或其它方法，借助于电子计算机的高速运算速度和逻辑判断的巨大能力，从 满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目 标，自动寻找最优的设计方 案的一种设计方法。用数学语言表达，就是求出某些变量的函数值在一定条 件下的极值 ( 极大值或极小值)的问题。这里所要求的变量相当于所要选择 方案的参数，在工程设计中称为设计变量;所要求出函数的极值相当于预定 的优化目标;所需优化的变量的函数称为目标函数;所要满足的条件称为约 束条件;求出的变量的解称为最优解。 结构系统优化设计的一般过程与传统的设计方法有所不同。它是以计算 机 自动选优为其基本特征的。一个结构优化设计的实际问题，其解决过程一 般可分为四个阶段: 1 .工程问题的提出 首先确定设计目标，然后分析一下设计应满足的要求，主要有以 下几类:一类是某些设计参数的取值范围;一类是由某种设计性能或指标根 据设计规范推导出的性能要求;一类是工艺条件对某些设计参数的限制等。 z .建立数学模型 将以上工程设计问题用数学方程式予以 全面的、 准确地描述， 其中包括: 根据设计目 标建立起评价方案优劣的目标函数;确定设计变量，把设计应满 足的各类要求以等式或不等式的形式建立约束方程。值得注意的是，实际结 构问题，往往十分复杂，涉及各种因素，受多方面的制约，因此必须抓住问 题的主要方面和主要矛盾，删繁就简、进行抽象，形成数学模型。优化提供 的最优解或最优设计只是一个相对的最优结构，它仅仅是在所选用的约束与 评价函数下才是最优的. 3 .根据数学模型中函数的性质、设计精度的要求等，选择适用的优化方法， 并作出相应的程序设计。 4 .上机计算，并自 动取得最优解，然后对计算结果作出分析和正确的判断， 得出最优设计方案。 3 . 1 . 2优化方法的分类 西南交通大学硕士学位论文 第1 5 页 优化方法的种类很多，但在工程优化设计中，常用的优化设计方法可以 粗略的按设计变量的数量、约束条件与目标函数的情况以及求解方法的特点 而分为以下几大类: 1 . 按变量数量的不同，可分为单变量优化方法和多变量优化方法两大类; 2 .目标函数数量的不同，可分为单目标优化方法和多目 标优化方法两大类; 3 . 按求解方法特点的不同，可分为准则法和数学规划法两大类; 4 ， 按约束情况的不同，可分为无约束优化方法和约束优化方法两大类; 结构最优设计方法又可分为两种不同的方法:直接法和间接法。用直接 法时，以最优设计的一个估计量为起点。在这个起点上，根据目 标函数与各 种约束函数的局部特性估计搜索方向。沿此方向略为移动，可得一改进的设 计。这样对设计作一系列的改进，即使目标函数值降低，同时又满足各种设 计约束条件。间接法与直接法的根本区别在于前者的基础把k u h n - t u c k e r 最 优性必要条件用于原设计问题，在每迭代一次时寻求一个能满足最优性条件 的设计，而不考虑约束的局部特性。因此， 在直接法中， 设计改变通常很小， 而在间接法中改变量可能很大。 3 . 1 . 3优化设计的一般流粗圈 开 始 西南交通大学硕士学位论文 第1 6 页 3 . 2非妞性规划中的梯魔投形法 在工程设计问题中，大都是约束最优化问题，并且约束函数和目标函数 通常是非线性的，所以这类优化问题又可称为非线性规划问题 ( n l p ) o 非线性规划问题可描述为:求b e r ，使 p nl 脚 w o ( b ) 且满足约束条件 w , ( b ) = 0 w , ( b ) 0 极小化( 3 . 1 ) 1 , . . . , n n十1 , . ( 3 . 2 ) ( 3 . 3 ) 在非线性规划问题中，如果属于凸规划问题，则相对极小点是绝对极小 点，如果不是凸规划问题，就很难谈非线性规划问题的全局性，然而可用局 部理论来表征 局部极小。 局部理论的 方法是 先假定w o ( b ) 在约束 集b 中的一 点处有一相对极小 值，然后寻求在该点处必须成立的y i u ( b ) 和y / ( b ) 之间的条 件。 这样可消去b中作为相对极值候选的许多点。 所以， 这类条件称“ 必要” 。 在某些问题中，能求得一组条件来保证一点产生一相对极值，这类条件称为 充分条件。在得出非线性规化问题的有意义结论之前，约束函数必须满足 k u h n - t u c k e r 必要条件。 非线性规划的 最 重要的 条 件 k u h n - t u c k e r 必 要条 件为: 设函 数w , ( b ) 和 是w ( b ) 可 微的， 而b 是b 的 正 则点， 为b 使是非 线性 规划问 题的 相对问 题的 极小点，必须存在一个乘子向量v e r 0 ，使 v , _ o , i = n + 1 , - - . , m ( 3 .4 ) v , v , ( b ) 二 0 , i = n + l ， 二 ， m a 二 : 一 l ( b , v ) =u , j = 1 ， 一， k o v i ( 3 . 5 ) ( 3 . 6 ) 式中 l ( b , v ) 二 w 0 ( b ) + v t v i ( b )( 3 . 7 ) 称为拉格朗日函数。 k u h n - t u c k e r条件用于求解最优设计问题会发生很大困难，因为不知道 最优设计中那些不等式成为等式。若问题中不等式约束不多，特别是设计者 对于那些约束将成为等式已有很好的