（应用数学专业论文）几类plaplacian常微分方程多点边值问题解的存在性.pdf

目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章绪论1 1 1 问题的背景与工作重点1 1 2 相关研究进展及本文的研究方法2 1 3 预备知识4 第二章二阶p - l a p l a c i a n 方程多点边值问题解的存在性6 2 1 引言6 2 2 上、下解及引理6 2 3 解的存在性10 第三章二阶s t u r m l i o u v i l l e 型多点边值闯题解的存在性与拟线性迭代15 3 1 弓f 言1 5 3 2 上、下解及引理1 5 3 3 解的存在性与迭代收敛性1 8 3 4 例子2 8 第四章四阶p - l a p l a c i a n 方程多点边值问题解的存在性3 0 4 1 引言3 0 4 2 上、下解及引理31 4 3 解的存在性。3 3 第五章结束语4 0 参考文献4 1 作者简介4 5 致谢4 6 摘要 p l a p l a e i a n 算子边值问题在应用力学、天体物理和经典电学中有着广泛的 应用背景本文主要运用上下解方法和l e r a y s c h a u d e r 度的一些理论对带 p l a p l a c i a n 算子的微分方程多点边值问题进行了研究 本文共分为五章，其结构如下： 第一章介绍带p l a p l a c i a n 算子的微分方程的边值问题的背景、相关理论进 展、本文的工作重点及研究方法，并给出本文用到的一些预备知识 第二章利用严格上下解方法和l e r a y s c h a u d e r 抉择定理得到了非线性二阶 带p l a p l a c i a n 算子的常微分方程多点边值问题 解的存在性条件 ( pu t ) ) + ( f ，材，甜7 ) = o ，f 【o ，1 】， m - 2m - 2 u ( o ) - - 掣( 专) ，u ( 1 ) - - 6 f “( 舌) i = lt = l 第三章利用上下解构造辅助方程，结合使用l e r a y s c h a u d e r 度紧同伦不变 性研究二阶s t u r m l i o u v i l l e 型多点边值问题 ( p ( z ，) ) 7 + 厂( 枷，甜) = 0 ，f 【o ，1 】， m - 2m - 2 u ( o ) - p 。甜( o ) - - q 甜( 专) ，u ( 1 ) - p ：u7 ( 1 ) = 岛z ，( 毒) i = l，= 1 解的存在性，并用单调迭代技巧与拟线性化方法讨论了解迭代序列的收敛性 第四章利用上下解方法和l e r a y s c h a u d e r 度紧同伦不变性研究带有 p - l a p l a c i a n 算子的四阶微分方程多点边值问题 ( ，( 甜”) ) ”+ ( f ，刚，“”，甜”) = o ，r 【o ，1 】， u ( o ) = 口，材( 舌) ，z ，( 1 ) = o ， ，= 1 m - 2 p , ”( o ) ) = 匆p ( “”( 的) ，甜”( 1 ) = 0 ， 得到了其解的存在性结果 第五章主要是对本文的总结和对未来研究工作的展望 关键词：p - l a p l a c i a n 算子，l e r a y s c h a u d e r 度同伦不变性，l e r a y s c h a u d e r 抉 择定理，n a g u m o 条件，上下解 i i a b s t r a c t t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t l lp - l a p l a c i a no p e r a t o ra r i s e i nav a r i e t yo f a p p l i e da r e a ss u c ha sa p p l i e dm e c h a n i c s ，a s t r o p h y s i t sa n de l e c t r i c i t y i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h em u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 、) ，i t l lp l a p l a c i a no p e r a t o rb yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n a n dl e r a y - s c h a u d e rd e g r e et h e o r y t h ep a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h ep r o g r e s so fr e l a t e dt h e o r y f o rm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp l a p l a c i a no p e r a t o r , a n dd e s c r i b et h e m a i nc o n t e n t sa n dt h em e t h o d so ft h i sp a p e r , a n dg i v es o m ep r e k n o w l e d g e ，w h i c hi s u s e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s hs o m ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so fs o l u t i o nf o rs e c o n d o r d e rm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 、i t hp l a p l a c i a no p e r a t o rb yu s i n gt h e s t r i c t l yt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dt h el e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v e t h e o r e m i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tt h ea u x i l i a r ye q u a t i o na n ds t u d yt h ee x i s t e n c eo fa t l e a s to n es o l u t i o nf o rs e c o n do r d e rs t u r m - l i o u v i l l e l i k eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，b y u s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o na n dt h eh o m o t o p yi n v a r i a n c eo f l e r a y s c h a u d e rd e g r e e t h e n ，w ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c eb y m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e sa n dt h eq u a s i l i n e a rm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c er e s u l t so fs o l u t i o nf o rf o u r t h o r d e r m u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 、们t hp - l a p l a c i a no p e r a t o rb yu s i n gt h eu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o da n dt h eh o m o t o p yi n v a r i a n c eo fl e r a y - s c h a u d e rd e g r e e i nc h a p t e r5 ，w em a i n l ys u m m a r i z et h ep a p e ra n dp r o s p e c tf o rf u t u r ew o r k k e yw o r d s ：p - l a p l a c i a no p e r a t o r , h o m o t o p yi n v a r i a n c eo fl e r a y - s c h a u d e rd e g r e e ， l e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v et h e o r e m ，n a g u m oc o n d i t i o n s ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n i i i 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀了匕 1 1问题的背景与工作重点 微分方程边值问题来源于相关的应用科学，如经济学、物理学、化学、天文 学、生物学和医学等，这些学科中的许多问题用数学描述后都会出现带边值条件 的微分方程早在1 9 世纪，法国数学家s t u r m 和l i o u v i l l e 1 , 2 l 共同研究了二阶非 线性常微分方程边值问题，得到了关于特征值的一系列结果，形成了系统的特 征值理论2 0 世纪以来，以法国数学家l e r a y 和s c h a u d e r 3 4 】建立的度理论为开端， 形成了常微分方程研究的泛函分析方法，起核心作用的是各类不动点定理的建 立和应用泛函分析逐渐成为研究非线性常微分方程边值问题的重要理论基础 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，非线性常微分方程边值问题的研 究在近几十年里发展迅速上世纪8 0 年代出现了带p l a p l a c i a n 算子的微分方程 边值问题，它们是二阶微分方程边值问题的推广这类问题产生于牛顿流体理 论和多孔介质中气体的湍流理论，最早提出的模型【5 ，6 】是 ( p ( z ，) ) = q ( t ) f ( t ，u ，u7 ) ， u ( o ) = 口，u ( 1 ) = 6 或“( o ) = 口，“( 1 ) = 6 ， 其中p ( s ) - - i s l p 2s ( p 1 ) 称为p - l a p l a c i a n 算子智利数学家【7 】较早地研究了此 类边值问题，并很快引起了数学界的重视，取得了一系列成果，成为至今不衰的 研究热点几乎与此同时，在8 0 年代中期出现了关于二阶线性常微分方程多点 边值问题的研究，由i i i n 和m o i s e e v 首先开始【8 ，9 】其后，许多著名的数学家投 入此类问题的研究，做出一系列重要工作，提出了拟特征值、拟线性算子、共振 问题等新的概念这些工作促进了微分方程理论研究中泛函分析方法的进一步 发展，同时也使多点边值问题成为一个新的研究方向近年来，一维带 p l a p l a c i a n 算子非线性方程多点边值问题成为较为活跃的研究领域之一本文 南京信息工程大学硕士学位论文 继续这方面的研究，主要考虑二阶p - l a p l a c i a n 算子多点边值问题解的存在性及 迭代收敛性；四阶p - l a p l a c i a n 算子多点边值问题至少一个解存在的充分条件 1 2 相关研究进展及本文的研究方法 最近几年，一些数学工作者探讨了带p - l a p l a c i a n 算子多点边值问题正解的 存在性以及迭代解的收敛性 2 0 0 8 年，在文【1 0 】中作者运用单调迭代技巧及锥理论方法研究了奇异边值 问题 ( p ( “) ) + g ( f ) 厂( f ，“，“7 ) = 0 ，f ( o ，1 ) ， n - 2n - 2 u ( o ) = 口，甜( 钓，“( 1 ) = 屈甜( 纠， ，= 1i = 1 其中g ( f ) 在仁。和f = 1 处可奇异，作者构造了单调迭代序列逼近该问题的正解 其他相关的文献可参见文【11 】- 【1 3 】 2 0 0 8 年，在文【1 4 】中作者运用m a w h i n 延拓性定理得到边值问题 ( o p ( x7 ) ) 7 = 厂( f ，x ，x ) ，r ( o ，1 ) ， x ( o ) = 鸬x ( 苣) ，x ( 1 ) = l t i u ( r l i ) ，= 1t z l 至少一个对称解的存在性结果，其中在 o ，1 】具有对称性 2 0 0 8 年，在文 1 5 中作者研究了下述问题 i ( p ( x ) ) 7 可( ) = o , t ( o ，1 ) ， lx ( o ) = o ，x ( 1 ) = 彬( 叩f ) ， l f - 1 应用上下解方法、单调迭代技巧及推广的m a w h i n 定理，得到达代序列逼近该问 题的解 2 0 0 9 年，在文【1 6 】中作者运用不动点指数定理讨论了如下边值问题 2 弟- - 5 绪论 l ( m p ( 材) ) 7 + 厂( 埘，材) = o , te o ，1 】， l “( o ) = q 材( 专) ，u ( 1 ) = 6 ，”( 舌) 一个或两个正解的存在性，其中厂可变号在文献【1 7 卜 2 0 q h 作者运用不动点指 数理论研究了多个正解或者对称正解的存在性 2 0 0 9 年，在文 2 1 1 d p 作者运用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理研究了下述问题 l ( p ( x 7 ) ) + 乃( r ) ( ，x ( ，) ，i x ( ，) i ) = o ，【o ，1 】， 卜( o ) 一q x ( 引= o ，x ( 1 ) + a t x ( r l i ) = 0 三个对称正解的存在性，其中厂在【o ，1 】具有对称性近年来运用此方法解决多 点边值问题正解或对称正解存在性的文献还有 2 2 1 1 2 4 2 0 1 0 年，在文【2 5 】中作者运用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究下述问题 i ( p ( “) ) + 口( ，) 厂( 甜( 们= o , te ( o ，1 ) ， l 甜( o ) 一口甜( 专) = o ，“7 ( 1 ) + a ，u ( r i ，) = 0 ， 讨论了该问题的多个正解的存在性 在文 1 5 】中，引理2 1 的证明过程存在瑕疵根据极值第一充分条件，设厂 在f o 连续，在扩( t o , 万) 内可导，若 t ( t o - 8 ，t o ) 有( f ) 0 ；r ( t o , t o + 万) 有厂( f ) 0 ， ( 1 1 ) 则t o 是极小值点文【1 5 】引理2 1 证明中的推理模式是由t o 是极小值点推出( 1 1 ) ， 这是不正确的，因为该条件是充分的，但不必要的 反例可取函数 厂( x ) ：x 4 s i i l 2j 1 ，x 。， 【0 ， x = 0 ， 它在x = 0 时取极小值对( x ) 求一阶导数 南京信息工程大学硕士学位论文 ，( x ) ：x 2 ( 4 x s i n 一s i n 要) x 。， 【0 ， x = 0 令= ( 2 ”万+ - 1 屯= ( 2 刀万+ 三) ，则 。，虬 。( 门= t 幺) ，。l i + m 。矗= 。， l i my = o 通过计算可知f ( ) o ( ”= 1 ，2 ，) 于是f ( x ) 在任一 - 0 0 啦( o ，6 ) 内变号，从而厂不满足( 1 1 ) 本文拟运用n a g u m o 条件、l e r a y s c h a u d e r ) 变紧同伦不变或l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理来研究p - l a p l a c i a n 算子多点边值问题解的存在性，将非线性方程转化 为拟线性方程来讨论迭代序列的收敛性问题，所用这些方法不同于上述文献 本文还将运用极限保号性来弥补文 1 5 】引理2 1 证明的不足 1 3 预备知识 本文中将边值问题记为b v p , r 表示实数集，c 1 【0 , 1 】为定义在【o ，1 】上具有 一阶连续可导函数的全体，c 2 【o ，1 】为定义在【o ，1 】上具有二阶连续可导函数的全 体，表示恒等算子，0 为零元素定义b a n a c h 空间c 1 【o ，1 】中范数为i = m a x ( 1 l 甜0 。，0 “7 l l 。) ，i l u l l 。= m 。呵a 。叫xi “( r ) l ，i l u l l 。= m ，。【a 。 l 】x 甜( ，) i 定义1 3 1 【2 吲若任意占 o ，存在万 o ，使得对于五，恐ed ，忱一恐i l 0 ，对于任意x a ，t 2 e ，当 p ( q ，t 2 ) 矿x ( t 1 ) 一x ( t 2 ) i 0 ，使得当甜= 允砌，允( o ，1 ) 时，有l l u l i m ，则 丁有一个不动点 5 南京信息工程大学硕士学位论文 第二章二阶p - l a p l a c i a n 方程多点边值问题解的存在性 文 3 0 】运用上下解方法、n a g u m o 条件及l e r a y s c h a u d e r 度理论讨论了二阶 常微分方程三点边值问题 f x ”= 厂( f ，石，x ) ，【o ，1 】， 【缈( z ( o ) ，x ( o ) ) = o ，y ( 石( 1 ) ，( 1 ) ) = g ( x ( 叩) ) 解的存在性在文 3 1 1 q b ，作者利用s c h a u d e r 不动点定理和l e r a y s c h a u d e r 抉择 定理得到了一维p - l a p l a c i a n 奇异边值问题 r j ( p ( “) ) + ( 埘) = o ，0 f 1 ) ，o 盏 厶一： 1 ，_ l ia j ，包，满 足 m - 2 m - 2 ( q ) o q ，匆 1 ( f = l ，2 ，m 一2 ) 满足o q ，岛 ( 川) ( m a xr ( 咖m 【o i n 。】y ( ，) ) ( 2 2 ) 下面证明对任意f 【o ，1 】，有i 甜( ，) i 于是存在 ，t z ( o ，1 ) ，f 1 f 2 f 或厶 f l t 2 ，使得下面四种情形之一成立： 情形1 r ( f 1 ，t 2 ) 有0 “7t ) 且材t 1 ) = o ，甜( f 2 ) = n ； 情形2 t ( t it 2 ) ：0 甜( r ) 且“7t 1 ) = ，材t 2 ) = o ； 情形3 ，( ，f 2 ) 有一n u7 ( f ) 01 7 u 7t ，) = o ，z f7 化) = 一； 情形4f ( f 1 ，f ：) 有一n 甜( f ) o r u ( r 。) = 一，甜t ：) = 0 只考虑情形1 ，其他情形类似可证按n a g u m o 条件，有 i ( p ( 甜) ) 7 i 甜= l 厂( ，“，“) l “力( 1 材i ) 甜7 ， 两边同时除以办( “心) ) 并对f 求积分得 f 2 嵴吲：唆挚西 所以 j r i l 击p1 幽h 篇u 掣西 一 ff ，) l = 击r 锚d ( “俐= 面1r 焉出 f 2 甜( r ) 衍2 “( f ：) 一”( f - ) m ，。f o a x 。】f ( 、f ) m f e l 。i n ，l j 7 ( f ) ， 8 第二章二阶p - l a p l a c i a n 方程多点边值问题解的存在性 j i 。o n 办s ( p - s i y 凼( p 一，) ( m a x r ( r ) 一m ，。【o i n l 】，( ，) ) ， 与( 2 2 ) 式矛盾! 故对任意f 【o ，1 】，有i 甜7 ( f ) i 0 ，取占= - p 1 ( c r l ) + l 则对任意的f l ，t 2 【o ，1 】，当i t ，- - t 2 l 万时， 有 i 砌( ，。) 一死( r ：) l - 1 1 ( r 厂( s ，甜( s ) ( s ) ) 出) 咖i 1 1 ( 仃三) i 一乞i c ， 一c v c ， ， ( ，) ， a ( t ) u ( t ) ( f ) ， u ( t ) 0 ，当旯( o ，1 ) ，甜= z t u 时，有l l u l l m 记 6 e 。2 = m ，。【。i ，n 。】a ( 、f ) ，。= = m ，。i a 。x jf l ( t ) ， l = m a x l ( t ，叩) ) 【o ，1 】e a 。，。 卜c ，c 】 考虑f o ，仃】，有 i u ( t ) = 1 2 。t u ( t ) i a 西m 副- 2 哪蝌州忡 + 2 如f + - 尸1 ( f i 以( s ，“( j ) ，甜( s ) ) i 凼) 办 ( 一薯口) 一薯qr - l ( f 三丞d r + j ：- 1 ( f 三幽) 咖 ( 一薯口，) 一薯qr - l ( r 三凼d r + j ：7 ( r 三出) 咖 = ( 一喜q 7 ( 仃三) ( 一薯q - l ( 三) 全m ， ) 孙砌俐= a hr 正( 蹦( 砂( s ) ) 西) i m i l ( r i 五( s ，甜( s ) ( s ) ) i 凼) ；1 ( r 出) = ；1 ( 仃三) m ， 这蕴含在，【o ，仃】时有忱i = m a x ( 、鼢l z f ( r ) l ，【m 。a 卅xp ( ，) i j m 类似地，当f 盯，1 】时，也有陋i = m a x ( m 1 a x i “( ，) | ，m 呵a x 。 甜7 ( f ) u m 故对任 第二章二阶p l a p l a c i a n 方程多点边僵i q 越解的存征住 意的r 【o ，1 】，均有= m a ) 【( i 。，i l u 忆) o 考虑下述三种情形： 情形1 ，当t o ( o ，1 ) 时因t 。是极大值点，故口t o ) - - u t o ) = 0 由辅助函数 z ，五及严格下解的定义知 ( p ( 材) ) ( ) = 一厶o ，材( b ) ，甜7 ( 气) ) = 一石o ，口( 气) ，材( 气) ) = 一o ，口( f 。) ，口7 ( ) ) ( ，( 口) ) ( ) ， 于是有 o p ( z ，( r ) ) ；f 矿( ) 有p ( 口( f ) ) “( f ) ；t 矿( ) 有口7 ( f ) 0 ， 故 口7 ( r ) = ( r ) ，( p ( 口，) ) 7 ( ，) = ( p ( 甜) ) ( ，) 由上面的证明可知 ( p ( 甜) ) ( ，) = 一左( r ，甜( r ) ，“( ，) ) = 一z ( r ，口( ，) ，“( r ) ) = 一( r ，口( r ) ，口( ，) ) ； 而由注2 2 3 知一( p ( 口) ) ( ，) o 注意到 口( o ) 一“( o ) 口，口( 纠一叩( 专) = q ( 口( 每) 一“( 专) ) q ( 口( o ) 一甜( o ) ) ， 于是 ( ，一副( 呻卜( 0 ) ) o ，类似于上述 情形2 可导出矛盾 于是，对任意，【o ，1 】，有口( f ) z ，( f ) ( f ) 接下来，证明当r o ，1 】时有p ( 刮c 事实上，因为厂( f ，“，v ) 在 d = ( f ，甜，1 ，) 【o ，1 】r 2 ：口( f ) “( 州上满足n a g u m o 条件，类似于引理2 2 5 的讨论，可得 叭f ) | c ，t e o ，l 】 因此，”是b v p ( 2 1 ) 的一个解，且满足当f 【o ，1 i 对_ 0 - t ：z ( t ) 甜( f ) ( f ) 第三章二阶s t u r m - l i o u v i l l e 型多点边值i n j 题解的存在性与拟线性迭代 第三章二阶s t u r m l i o u v i l l e 型多点边值问题解的存在性与 拟线性迭代 3 1 引言 在上一章，我们运用n a g u m o 条件结合l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理，得到了二 阶p - l a p l a c i a n 算子的方程多点边值问题解的存在性本章在此基础上运用 n a g u m o 条件、l e r a y - s c h a u d e r 紧同伦不变性和单调迭代技巧，考虑 s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 ( p ( 材) ) 7 + ( f ，甜，材7 ) = o ，f o ，1 】， m - 2 m - 2 ( 3 1 ) u ( o ) - p , u7 ( o ) = q “( 专) ，u ( 1 ) - p 2 u ( 1 ) = 6 “( 专) f - li = l 至少一个解的存在性和拟线性迭代解逼近序列的收敛性在本章，我们总假设 册一2m - 2 ( 4 , ) 0 a i ，6 1 ( 扛1 ，2 ，朋一2 ) 满足o q ，6 ， 1 ，且a o ，p 2 0 ( 吼) f ( t ，“，v ) 在 o ，1 x r 2 上连续 3 2 上、下解及引理 定义3 2 1 若口c 1 【o ，1 】且p ( 口) c 1 【o ，1 】满足 一( p ( 口) ) 厂( ，口) ，f 【o ，1 】， m - 2m - 2 口( o ) 局口7 ( o ) + q 口( 鲁) ，a ( 1 ) 0 ， 于是有 o p ( ( ，) ) ；，矿( ) 有p ( 口( ，) ) ( r ) ；f 矿( f o ) 有口t ) o ， 故口( f ) = 7 ( ，) ，( p ( 口) ) 7 ( f ) = ( p ( 7 ) ) 7 ( f ) 由上下解定义和条件( 2 ) 可知 一( p ( 口) ) ( f ) 厂( f ，口( ，) ，口7 ( ，) ) = ( f ，( f ) + c ，7 ( f ) ) 0 ，从而有 口( o ) 一7 ( o ) 0 注意至0 口( o ) 一( o ) q 口( 鲁) 一q ( 专) + a 口( o ) 一a ( o ) = q ( 口( 毒) 一( 毒) ) + a ( 口( o ) 一( o ) ) q ( 口( o ) 一( o ) ) + a ( 口( o ) 一( o ) ) ， 于是 厂 一2 、 l1 - - e a i1 ( 口( o ) 一f l ( o ) ) 0 ，类似于上述情 形2 可导出矛盾 综上所述，对f 【o ，1 】，有口( f ) ( f ) g i l a3 2 4 若办：【o ，佃) 专( o ，佃) 是连续函数，则 一 堕室堕星兰堡奎竺婴主兰堡笙兰 - _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - - _ _ _ 一一 。 一( ，( 甜) ) = 甜办( i 甜i ) ，r 0 , 1 1 ，( 3 2 ) 【 ( o ) = o ，甜( 1 ) = 0 只有平凡解 证明假设( t ) 是b v p ( 3 2 ) 的非平凡解，那么必存在t o ( o ，1 ) ，使得 “。( t 。) 0 或者( t o ) 0 ，且不妨设u o ( ) 全胥蹄( f ) 0 n t o 是极大值点，有 u ；( t 。) = 0 由于 ( p ( 引) 7 ( 岛) = u o ( ，。) 办( 岛) 1 ) 0 ， 于是有 l i m 盟型掣：( p ( 引) ( ，。) o i - - 1 0 r 一厶 、 注意到p ( 甜：( ) ) = o ，根据极限的局部保号性可得 t 啦( f 0 ) 有p ( 甜；( f ) ) o ；f 矿( ) 有p ( 甜；( f ) ) o ；t 妒( t o ) c 百u ；( ，) ( f ) ， 甜( f ) ，口( f ) u ( 0 - ( f ) ， 口( ，) ，扰( f ) 0 ，使得 - m o o ( 3 8 ) 以下分四步进行证明： ( i ) 证明b v p ( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) 的每一个解“( f ) 都满足卜( ，) i o 1 9 里巫! 里璺三堡奎兰竺主兰堡堡圣 _-_-_-_-_-_i_-_-_。-_-_-_-。-_。-_-_。一一一 情形1 ，t o ( o ，1 ) 时此时因是极大值点，有z f ( t o ) = 0 当兄= o 时， ( p ( ”，) ) ( f 0 ) = 甜( ，。) 办( 叭) i ) o ； 当旯( o ，1 】时，由( 3 6 ) 式与( 3 7 ) 式可得 ( o p ( 材) ) 7 ( ) = 一x s ( , o ，w ( 甜( ) ) ，”( 乇) ) + “( 气) 一a w ( 材( f o ) ) 办( i 甜7 ( ) 1 ) = 一2 f ( t 。，p ( t o ) ，o ) + 甜( ) 一丑( ) - l h ( o ) 允 材t 。) 一( ) 办( o ) 一厂( ，( f 。) ，o ) ) 旯 m 。一( f o ) 办( o ) 一f ( t o ，( f 。) ，o ) ) o ， 于是有 l i m 虹型掣：( ，( 甜，) ) ( ) o 1 - - - 1 0 t 一“ 、 。 根据极限的局部保号性得到 r 啦t 。) 时有，( 都( f ) ) o ；，矿( f 。) 时有中p ( 甜7 ( f ) ) o ；t v 田( t o ) 时有“( f ) o 由( 3 4 ) 式，可知旯o ， 即力( o ，1 】，从而有 m o u ( 。) = 南m 。) ) 仰，( o ) + 薯嘶饽) ) 南h w ，( o ) + m 驴- 2 南 ( o ) + ( 。) = 而2 2 ( 。) ( 。) 0 ，类似于上述情形2 可导 ” 、7 i e l 0 ，j l 7 。 出矛盾 综上所述，对任意f 【o ，1 】，有卜( f ) i 0 ，使得b v p ( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) n 每一 个解甜( r ) 都满足p ( f ) 怿m 。 令石= ( f ，甜，v ) o ，1 】r 2 ：l u ( , ) l - m o ，定义算子：【o ，1 】r 2 - + ry g e ( 枷，v ) 全一2 f ( t ，w ( 甜) ，v ) 材一a w ( “) 办( | v i ) m o = i w ) - m a ) 【 l a l ，例 m 。，hf ( t ，“，v ) 在x 上满足n a g u m o 条件，得