学科论文从新课标全国卷看导数压轴题的常用解法.doc

从全国新课标高考卷看导数压轴题的常用解法西安电子科技大学附中 汪贵宏 周接夏摘要:本文以2010至2015六年新课标全国卷9道函数与导数压轴题为研究对象，讨论了在解决这一类问题中构造函数的主要依据以及避免复杂的分类讨论的主要途径，同时也对今后高考压轴题的考查方式提出了新的预测.关键词：新课标 导数 解法在高等数学教材【1】中，导数概念的起点是极限，从数列的极限到函数的极限，落脚导数.这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限形式的定义.而新课标教材【2】（北师大版）对于导数的引入做了一定地简化，从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利地过渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的工具性作用.近年来，导数在中学数学教学和学习中的地位越来越重要.借助导数这一工具，可以研究函数极值、最值、单调区间，从而来判断函数图像、性质，最终使研究初等函数的方法得以升华和延续.鉴于此，新课标高考全国卷中导数压轴题的考查也变得越来越有韵味.研究2010至2015年新课标全国卷的9道导数压轴题，可以看出，每年压轴题的第一问几乎都是导数几何意义或单调区间、极值的求解，属于基础内容考查.而第二问则是证明含参不等式成立或已知含参不等式在某一区间上成立，求参数范围. 一般而言，这类问题的求解主要遵循“化简构造函数求导判断单调性证明不等关系”的解题流程.但问题在于：第一，就构造函数而言，并不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很大的求导计算量甚至无法继续解答；第二，即使构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很难理清分类讨论的依据.如果以上这两点没有掌握，学生很难在压轴题的解答中有所突破.1. 构造函数的依据是什么？对于区分度颇高的压轴题第二问而言，考生往往是目的性不强的匆忙求导，形成一堆式子之后便无从下手，其原因是考生对构造的函数求导的目的不明确，或对如何构造函数不明确.事实上，如何构造函数，关键在于明确构造函数的目的【3】，即是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而证明不等式.而通过导数研究单调性首先要解构造函数的导数不等式，因此，构造函数的关键就在于的根是否易求或易估，这就是构造函数的标准和依据.例1：（2015新课标卷）设函数(1)证明：在单调递减，在单调递增；(2)若对于任意，都有，求的取值范围解：(1)略；(2)恒成立，等价于由(1)可得最小值为，最大值可能是或，故需，即构造函数综上，的取值范围为 点评：本题采用直接作差法构造，得到从而利用单调性直接得到最值.作差法构造函数是新课标卷高考压轴题所考察的主要方法，例如2014新课标卷、2010-2013四年新课标卷，本文不再一一解析.例2：（2014新课标卷）设函数，曲线在点（1，处的切线为. (1)求；(2)证明：解：(1) (2) 由(1)知，从而等价于设函数，则，所以当时，当时，故在单调递减，在单调递增，从而在(的最小值为.设函数，则，所以当时，当时，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为. 综上：当时，即. 点评：本题求解中，采用分离指数、对数函数的构造法，如果直接采用原函数的最小值，就需要求出导函数的零点，从而无法进行求解.因此，需要转化构造新的函数，容易看出，导函数零点求解运算的难点在于遇到了与这两个式子，为化解这个难点，务必实施与、的分离，转化成不等式证明.从而求得了左边的最小值和右边的最大值.例3：（2013新课标卷）已知函数(1)设为的极值点，求并讨论单调性；(2)当时，证明解：(1)略；(2)由，所以，记，则，所以在上单调递增.又，由零点存在定理知，存在使得，即且又当时，单调递减；当时，单调递增，所以有，得证.点评：本题采用控元法和放缩法构造函数.如果不加思考直接用作差法构造函数，则会无法求解，问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，从而放缩到函数的最值求解中，最后结合二次求导和零点存在定理估算出的根，从而求得最小值. 可以说，这六年的9道题都可以用构造函数的方法来求得最值.但问题是，有些题中即使构造函数正确，也会存在分类讨论相当复杂的情形，考生最后无法继续进行，例如2013、2011、2010这三年新课标卷压轴题的求解中，均可用作差法构造函数【4】，然后利用导数判断单调性求最值，从而得到参数的范围.但由于解题过程中涉及到较为复杂的分类讨论，考生很容易遗漏或出错.而利用分离参数法简化构造函数，问题就简单多了.2. 利用分离参数法简化构造函数 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，求另一个变量的范围；且在已知条件中，容易通过恒等变形将两个变量分离到不等号两边，则可以将此类恒成立问题转化为函数最值的求解.然而，分离变量后，如果出现“”型的代数式，这便是高等数学中的不定式问题，可以利用洛必达法则进行有效求解.例4：（2013新课标卷）已知函数，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线.(1)求，的值；(2)若2时，求的取值范围.解：(1) ；(2) 题设即证明：恒成立.构造函数，则即证恒成立.得，所以：当时，单调递增，=当时，易知先增后减，=综上，所求的取值范围为.点评：可以看出，本题是在导数的基础上分正负区间讨论，简单易行，相比作差法构造函数分类讨论的方法，可以达到事半功倍的效果.例5：（2010新课标卷）设函数，若当时，求的取值范围.解：题设即恒成立.设则：令，故所以是增函数，得；又得是增函数，得，所以，所以是增函数，最小值在接近0处取，从而可连续使用洛必达法则，得：又因为当，所以参数的取值范围是.点评：本题通过分离参数后，两次求导，得到构造函数在所求区间上的单调性，从而判断出最值所在点，但问题是最值所在点处函数值是“”型的代数式，在这里我们通过两次使用洛必达法则，求得极限值.这种方法其实就和本文开头提到的高等数学中导数的定义相呼应了.因此，对于这类题，我们提倡老师适当讲解“洛必达法则”.对于求导的必要性，需知道，每次求导都是为其原函数服务的，如果求导后会使原函数的单调性判断更简捷，则可以出现多次求导.如2011年新课标卷理科压轴题，在分离参数后对构造函数进行了三次求导，最后利用洛必达法则求得了参数范围【5】.3. 未来新课标高考卷导数压轴题的一种可能的趋势可以看出，不论是分离参数法还是直接构造函数后分类讨论去解压轴题，其解答并没有万能的解法或者通解一说.每年的压轴题都是一次集数学中化归与转换思想、分类讨论思想、导数与函数结合的数学盛宴，强调的是数学综合素养的考查，并非刻意的追求一些技巧.而这两年，在全国范围内压轴题中较多地考查了数形结合的思想方法.可以预测，数形结合在导数题中的考查会在今后的压轴题中略有加重.当然，早先就有人用数形结合的思想方法通解了新课标全国卷07年到13年这7年的所有题【6】，虽然对考生而言要求会较高，但这也是一种很好的训练.而恰好2015年新课标卷，便是在构造函数的基础上，利用数形结合的思想可以得到较标准答案快捷的解答，省去过多的分类讨论.例6：（2015新课标卷）已知函数f（x）=.(1)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；(2)用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数.解：(1) ;(2) 当时，从而， 在无零点. 当时，,若，则，,故是的零点；若，则，,故不是的零点. 当时，所以只需考虑在的零点个数.即.构造函数,则，则，易知的极大值为.画出的函数草图如下：综上，我们可以列表得出零点个数情况：的范围零点个数01111零点个数11210零点个数12321点评：本题相比前几年考题而言，难度有所下降，但试题新颖，对数形结合能力的要求也有所强调.综上可以看出，函数、导数解答题贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的.由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程根的问题转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用.因此，在平常的教学中，思想方法的渗透显得尤为重要.参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社，2012：90-92.2 数学课本选修2-2.M.北京师范大学出版社，2014：30