（控制理论与控制工程专业论文）广义系统鲁棒性与鲁棒控制.pdf

硕士毕业论文 摘要 摘要 犷义系统有着广泛地应用背景，且对其研究有重要的理论价值， 因此吸引了国内外诸多学者对其研究。j 本文讨论广义系统的性能鲁棒 性和鲁棒控制，主要包括以下几方面酌内容： ( 1 ) 简要介绍广义系统的背景、研究现状和广义系统的基础知 识。讨论了广义系统的鲁棒能控能观性，给出了鲁棒能观性结论的证 明。 f 2 ) 研究了广义系统稳定性的鲁棒性。对广义定常线性系统在稳 定性未知的情况下，给出了鲁棒稳定性的一个充分性判据；利用矩阵 测度的概念，对不确定性的广义系统，给出了鲁棒稳定的一种表示方 法。 ( 3 ) 基于( 2 ) 的分析结果，得到了由状态反馈作用的鲁棒控制律存 在的两个充分条件。 ( 4 ) 研究了j “义不确定系统的变结构控制，在扰动矩阵满足匹配 条件时，得到了一个变结构控制律，使闭环系统镇定。 关键词：广义不确喜系：统，鲁棒能控睦习性，鲁棒稳定性，鲁棒控 制，变结构控制。搏蒋拖它定挖 雯圭望些笙皇 塑垂 a b s t r a c t p o o e s s t h e s t u d y o fs i n g u l ar s y s t e m i sb o t h p r a c t i c a l l yi m p o r t a n t a n dt h e o r e t i c a l l ya p p e a l i n g a n dh a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no f m a n y r e s e a r c h er st h is p a p e r d i s c u s st h e p e r f o r m a n c e r o b u s t n e s sa n dr o b us tc o n t r o lf o r s i n g u l a rs y s t e m s ，i t so u t l i n e is a r r a n g e da s f o l l o w i n g ： ( 1 ) t h eb a c k g r o u n d ，p r e s e n ts t a t e a n ds o m epr e l i m i n a r i e so f s i n g u l a rs y s t e m a r ei n tr o d u c e d ，t h e n ，t h er e s u l t so nt h e r o b us t c o n t r 0 1 l a b i l i t y a n do bs e r v e r b i l i t y iso b t a i n e da n d p r o o f sa r eg i v e n ( 2 ) t h es t a b i l i t yr o b u s t n e s so fs i n g u l a rs y s t e msiss t u d i e da s u f f i c i e n tc 0 n d i t i o nf orr o b us t s t a b i l i t y i nt h ea bs e n c eo f s t a b i l i t y o fa g i v e n t i m e i n v a r i a n t s i n g u l a rs y s t e m i s g i v e n ( 3 ) b a s e do nt h er es u l t s o f ( 2 ) ，t h et w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c eo fr o b u s ts t a t ef e e d b a c kc 0 n tr 0 1 1 er sa r e g i v e n ( 4 ) t h e v a r i a b iec o n t r o lf oru n c er t a i n s i n g u l a rs y s t e m s is i n v e s t i g a t e d av a r i a b l ec o n t r o l1 a wisd e r i v e di nt h ec a s e o ft h eu n c e r t a i nm a tr i c esm e e tt h em a t c h i n gc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：u n c er t a i n s i n g u l a r s y s t e m ，r o b u s tc o n t r o l l a b i l i t y a n do bs e v e r b i l i t y ，r o b u s t s t a b i l i t y ，r o b u s t c o n t r o l ，v a r i a b l e c o n t r o l 一一 硕士学位论文 绪论 1 绪论 1 1 引言 从5 0 年代末，6 0 年代初开始发展起来的现代控制论，主要是以 状态空间模型对系统进行分析和综合为其方法特征。用状态变量方法 得到的系统模型的一般形式是 f ( r ( t ) ，x ( t ) ，u ( t ) ，t ) = 0( 11 1 a ) g ( x ( t ) ，u ( t ) ，y ( t ) ，t ) = 0( 1 1 1b ) 这里x ( t ) 是系统的状态变量，u ( t ) 是控制输入，y ( t ) 是测量输出；f 、g 是虫( t ) 、x ( t ) 、u ( t ) 、y ( t ) 芹f lt 的适维向量函数。方程( 11 ia ) 称为状态 方程，方程( 11 1 b ) 称为输出方程。 式r 1 1 1 ) 的一种特殊形式是 e ( t ) 女( t ) = h ( x ( t ) ，u ( t ) ，t )( 11 2 ) y ( t ) = j ( x ( t ) ，u ( t ) ，t ) 这里h 、j 是关于x ( t ) ，u ( t ) ，t 的适维向量函数，e ( t ) 是一般的矩阵。 由方程( 1 1 2 ) 描述的系统被称为广义系统。 一般地，当h 、j 是x ( t ) 、u ( t ) 的线性函数时，( 11 2 ) 可表示为： e k ( t ) 2 a x ( t ) + b u ( t ) f 1 1 31 y ( t ) 2 c x ( t ) + d u ( t ) 、 称由( 11 3 ) 描述的系统为广义线性系统。其中x r 1 、u r 7 、y r 分别为广义系统( 11 3 ) 的状态变量、控制输入和量测输出，e 、a 、b 、 c 、d 分别为n i i 、n n 、n r 、m n 、m r 维的矩阵；e 的秩r a n k e = q n 。 事实上，对系统( 11 3 ) ，在不同的领域有不同的术语 i - 17 。控制 理论家和数学家称之为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m ) ( 这是因为状态导数 的系数矩阵是奇异的) 、广义状态空间系统( g e n e r a l i z e d s t a t e s p a c e 硕士学位论文 绪论 e q u a t i o n ) 或具有代数限制的微分方程；工程经济领域称之为描述器 ( d e s c r i p t o r ) ( 它给出了系统的自然描述) ；在电路领域，称之为半状态 系统( s e m i s t a t es y s t e m ) 。 广义系统和正常系统( 式( 1l3 ) 中矩阵e 是非奇异阵时的系统) 有 着本质的区别，就线性定常系统而言，主要表现在以下几个方面1 3 1 ： 1 1 状态响应：广义系统的状态响应中不仅含有正常系统所具有 的指数项( 对应有限极点) ，而且含有脉冲项和与控制导数有关的项( 它 们对应无穷极点) 。状态响应的确定既需要t 时刻及t 时刻以前的信息， 又需要t 时刻以后的信息，即广义系统不具有传统的因果性。 2 ) 传递函数：正常系统只有真有理分式阵，广义系统还包含多 项式矩阵。 3 ) 极 点：广义系统的极点不仅有d e g ( d e t ( s e a ) ) = n 。个有 限远极点，还有正常系统所不具有的( n n ) 个无穷极点。无穷远极点 又分为动态无穷远极点和静态无穷远极点。 4 )结构稳定：在系统结构参数的扰动下，正常系统具有结构稳 定性，广义系统不具有结构稳定性。 5 ) 广义系统既具有动态特性( 由微分方程描述) 又具有静态特性 ( 由代数方程描述) ，而正常系统不具有静态特性；正常系统有n 个自 由度而广义系统仅有r a n k e 个自由度。 近二十年来，由于广义系统的普遍性，简单性和可实现性己受到 国内外学者的重视，但由于它本身的特性，处理正常系统的方法和手 段对大多数高指标广义系统不再能利用，需要发展和提出新方法。 1 2 广义系统的背景 广义系统是在讨论复杂电网络系统时，由r o s e n b r o c k 最先提出 的8 】。此后，研究发现用广义系统模型描述的实际系统有许多。例 如，在经济系统、生物系统、化工系统、动力系统等系统中，均有用 模型( 1l3 ) 描述的系统。广义系统理论的发展是受实际应用而驱动 一2 一 硬j ：学位论文 绪论 的，下面仅举几例来说明。 例1 1 1 9 1 在考虑市场环境时，据经济学的需求平衡原理，多部门 的一步延滞的l e o n t i e f 动态投入产出模型为 x ( k ) = a x ( k ) + b ( x ( k + 1 ) 一x ( k ) ) + w ( k ) + d ( k ) ( 12 1 ) 其中a = ( a i i ) 。为消耗系数阵，b = ( b 。) 。为投资系数阵，x ( k ) r “为 k 时刻的产量，d ( k ) + w ( k ) 为k 时刻的最终产品量，其中d ( k ) 为确定 性的，被称为计划中的最终消费，w ( k ) 为市场波动对消费的影响。b ，。 表示第 部门每增加单位产量，第i 个部门的投资。由于在多部门的 经济系统中，某一部门的增产并不需要其它所有部门投资，另外从实 际经济系统出发，能够向其它部门提供投资的部门也是少数的，因此 在b 中除少数行具有非负外，其它皆为零，从而知是降秩阵。因此 系统( 12 1 ) 是典型的广义不确定离散系统。系统( 1 21 ) 即所谓的宏观 经济模型，在我国早己受到重视，并加以实际应用。 例2 t ”1 美国某一石化公司对含管理在内的石油催化裂化过程己 实现建模和控制。其过程的简化模型为 文1 = a 1 1 x 1 + a l2 x 2 + b l u + f l f o = a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + b2 u + f2 f( 1 22 ) 其中x ，r 。“为被调节量，如再生温度、滑阀位置、鼓风机能力等； x 。r 。“是由影响过程企业效益和反映企业管理政策的一些量组成， 如压力、油浆回收率、重油回收率等；u r 为调节量，f 是外干扰。 ( 1 ，2 2 ) 为典型的广义连续线性不确定系统。 例3 【2 ”1具有非线性负载的电力系统模型为； = 一s p g ( a g ，a i ，v ) 一a m 】 a g2r g ，1 。、 0 = p 1 ( a e ，8 l v ) + p d 、1 “。7 0 = v 1 q b ( a 。，a l ，v ) + q d ( v ) a 为与一参考母线有关的母线角向量，r 为相关发电机的频率向量，v 是母线电压的振幅向量，p 、q 为实电抗功率，下标g 和1 分别表示 网络中的发电机和负载母线，p 。为机械输入电力，s = z 。m 。t 。，m 。为 一3 硕j ：学位论文 绪论 惯性常对角矩阵，t 。是元素为1 或一1 的相关矩阵，电力p ；、p ，、p 由 p b = ( p i ，p g ) p h i ( a ，v ) = 一v , v j b us i n ( a i a j ) q b i ( a ，v ) = 一v i v j b i j e o n ( a i a j ) 给出，系统( 1 2 3 ) 为典型的广义非线性系统。 例4 【2 3 3 神经网络系统 妒“x i ) b i ( x i 卜争筹黔】。， o = a l ( z l ) b l ( 列一耋w 。k 鬻县y 尹， 其中，x i ，z ；为等i 个神经元的状态，i = 1 ，2 ，n ，a ；( ) 对应神 经细胞相关生存期标度，b ，( ) 对应接受力和时延，也可能包括细 胞的自我反馈，w ，。为网络的连接权，f i l j “，i 。) 为( 1 ，2 ，m + n ) 的l 个无序子集，( 1 2 4 ) 是一个大型广义系统。 在大系统的处理中，扰动分析是一种强有力的工具，理论分析 中就出现了广义系统的模型，如下例： 例5 考虑系统 文l = a l l x l + a 1 2 x 2 + bl u 丈2 = a 2 1 x t + a 2 2 x 2 + b 2 u( 12 5 ) 这里，e 是一个小的扰动参数。奇异扰动是令e = o ，从而得到一个动 态阶数低的简化模型： 鞘a 2 1a 2 1 2 2 j m l i 2 j 褂 n za ， 假定a 。：1 存在，扰动分析的目的是用( 1 26 ) 的性态近似系统( 1 25 ) 的 性态。此处的简化模型( 126 ) 是一个广义系统。 再如特大风的预报模型j ( 风形成过程的描述方程中有动态和代 硕士学位论文 绪论 数限制一空气和水的运动为动态、气体和热力学定律及毗邻环境的关 联条件为代数限制) ，受限机器人模型1 2 5 | 人口模型等等皆为广义系 统模型；另外，正常系统的最优控制问题，指定输出问题，奇异扰 动问题，都可化为一个广义系统。因此对广义系统的研究既具有实际 意义又具有理论价值。 1 3 广义系统的研究现状 经过二十多年的发展，广义系统理论得到了长足的进展。到八 十年代后期，线性时不变广义系统的理论达到了相当成熟的水平。阶 段性的综述文章( l e w i s ，1 9 8 6 ) 和专著( d a i ，1 9 8 9 l 【2 6 1 被大量引用，j 。义系 统理论的各种新的应用也标志着广义系统理论逐渐走向成熟。广义系 统的研究领域几乎涉及到正常系统研究的每个方面 2 6 , 2 7 ：能控能观 性、极点配置、实现理论、观测器理论、稳定性、最优控制、分散控 制等。近几年，广义系统的研究正向纵深推进：一方面已有理论得到 了不断的丰富和完善，另一方面在新的领域发掘广义系统更深刻的本 质特性。这两个方面所取得的成就是令人鼓舞的。而广义系统的多数 结果是建立在假设广义系统模型能够精确得到的基础上得出的。在实 际控制问题中，随机因素的作用是客观存在的，例如建模误差、量测 误差、工况的变化等不可能用精确的数来确定，即客观上，系统存在 着不确定性。虽然基于精确模型所得到的结果对实际应用有一定的指 导意义，但是在具体的应用时常存在着不尽人意的方面。因此广义系 统的鲁棒性分析及鲁棒控制的研究就显得非常必要。 正常系统的鲁棒性研究已有综述性文献给出m 】。系统鲁棒性研 究主要集中在两类方法上：( 1 ) 对象是闭环系统的状态矩阵或特征多 项式的，一般用代数方法，其中心问题是讨论多项式族或矩阵的稳定 性问题，例如在给定稳定的矩阵( 或多项式) 后，如何在其所在空间中 给出最大可允许扰动界；对于给定的对象是否存在控制器同时镇定对 象族，等等。由于用系统的特征值来判断系统的性质仅适用于常系数 5 硕士学位论文l 绪 论 线性系统，因而此时的参数扰动只能是时不变的，即是未知的但不变 的。如果采用李亚普诺夫方法来研究对应系统的性质，则所得的结果 常能适用于时变参数扰动的情形。采用李亚普诺夫方法对状态空间模 型的不确定性进行研究，己成为一个重要的方向。但) 研究是从系统 的传递函数矩阵出发时，常采用频率域方法。近年来兴起的h 。方法， 开始的目的是压低外界干扰，但其结果对于系统存在参数扰动的情形 很有意义。 鲁棒控制是当前控制领域的热门课题睥”，但在广义系统中，这方 面的研究结果不多。对于不确定往广义系统来说，其鲁棒性分析及鲁 棒镇定比正常系统要复杂得多。因为在这里既要考虑其鲁棒稳定性， 又要兼顾系统的正则性及脉冲模的存在性，而广义系统的正则性及脉 冲摸对系统参数的变化非常敏感。广义系统的模有三神：有限动态 模、无限动态模和无限非动态模，无限动态模可能产生不希望的脉冲 行为。因此，广义系统的主要工作是设计控制器消除系统的无限动态 模或避免产生无限动态模。当系统具有扰动时，系统的结构性质有可 能被改变。例如： 假设系统为 e x ( t ) = a x ( 0 + a a x ( t )( 13 1 ) d e g ( d e t ( s e - a ) ) = q = r a n k e ，则当a a = 0 时，( 131 ) 有q 个有限动态模和 ( n q ) 个无限非动态模，没有无限动态模；若a a ：0 ，( 131 ) 的无限动 态有可能出现，甚至有可能摧毁系统的正则性。取 e = a a ：p n 1 l 020 a = 22 1 44 , 2 j a a ，：| o n 1 10 0 2 d e g ( d e t ( s e a ) ) = 1 = r a n k e ，d e g ( d e t ( s e a 一a 2 ) ) = o r a n k e ，而d e t ( s e a - a 】) 恒等于零。因此，广义系统的鲁棒控制设计，既要考虑鲁棒稳定性又 要考虑系统的正则性和消除脉冲，显然，后两个问题是广义系统所特 有的。 一6 硕士学位论文 1 绪论 在广义系统的稳定性、镇定和鲁棒镇定方面，已取得了一定的成 果，c o m p b e l l 和d a i 分别在其专著 3 ，4 】和 2 6 】中对线性定常广义系 统的稳定性、镇定问题进行了研究；目前，还没有形成一套完整的稳 定性理论，所得结果或是对无扰动的线性定常广义系统或是针对实际 问题中的一具体特殊非线性模型( 例如神经网络模型、电网络模型) 或 是局部性地利用嵌入化为常微分方程，方法皆为l y a p u n - o v 函数方法； 我的导师杨成梧教授研究了脉冲能控广义系统的输入输出稳定化问 题，提出了适用于脉冲能控系统的f a s a 解法 2 “3 0 1 ；在鲁棒镇定方 面， s y r m o s 与l e w i s ( 1 9 9 2 ) t ”1 引入了“弦度量”概念，并分析了广 义系统的鲁棒稳定性；利用模矩阵的性质来研究具有结构摄动下的广 义系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制问题的有f a n g 与c h a n g ( 1 9 9 3 ) t ”1 等 人，可以说用模矩阵的性质来解决广义系统的鲁棒性问题是有成效 的：国内学者，王朝珠在 3 3 】中，张庆灵在 3 4 中分别用连续状态反 馈控制考虑了形如： e 文= ( a + a ) x + ( b 十b ) u e 文= ( a + a ) x + u 的鲁棒镇定问题，设计过程比较复杂。对于带有不确定性广义系统至 今所得到的鲁棒镇定结果相对有限，还有许多问题值得进一步探讨， 如在正常情形下，利用l y a p u n o v 函数。基于r i c c a t i 方程给出鲁棒稳 定及可鲁棒镇定的条件是相当普遍的，但此方法未能有效地引入到广 义系统的鲁棒性分析及鲁棒镇定中。 变结构控制的特点口5 1 是设计方法比较简单，便于理解和应用， 容易被广大科技工作者所接受，特别是它具有一定意义下的鲁棒性。 在变结构控制中，任意一个运动从初始状态向原点的整个过程可分为 两个阶段，即两种模态，第一段是趋近模态即趋近运动或称非滑动模 态，第二段是滑动运动即滑动模态。对于正常系统，正是那段滑动 模态对系统的摄动和外扰动在一定条件下具有不变性。对于非滑动模 态，这种不变性并不成立。变结构控制的思想由胡跃明等学者凹引于 1 9 9 3 年引入到广义系统中，设计的控制器是基于广义系统的第二种 7 硕士学位论文 绪论 受限等价，设计出的切换函数使滑动运动的阶数等于系统的阶数，设 计的控制器仅能保证闭环系统的部分状态稳定( 即e 一稳定) ，不能保 证全状态稳定( 即完全稳定) 。广义系统的变结构控制研究较正常系统 复杂，且有一定的适用范围。 1 4 本文主要工作及内容安排 为了使论文的内容具有系统性，第2 章简要介绍广义系统的基本 知识。这里的结论在以后的章节中经常被引用，因其证明在诸多文献 中均能查到 2 6 1 ，故没有给出证明。另外，在此安排了一些数学预备 知识。 能控能观性是广义系统的基本概念，在第3 章，讨论了几种能控 能观性的鲁棒性，并给出了鲁棒能观性结论的证明。 第4 章讨论广义系统的鲁棒稳定性问题。由于系统中不确定因素 的不同，对应模型的形式也不尽相同，因此，本章在不确定性矩阵的 不同形式下，分别给出了广义系统鲁棒稳定性的判椐。其中的一个充 分性判据”a + a 7 o ，u ( t ) c c 。“1 ，使得t = 0 从x 1o 出发( 211 ) 的解x ( t ) 满足x ( t ，) = w ) 为x ，。的能达集。而系统( 21 1 ) 的能达集定义为： r = u r ( x l o ) 硕士学位论文 2 广义系统基础与数学知识预各 定义2 1 3如果系统( 21 1 ) 在其能达集r 中是能控的，( 即可选 到u ( t ) c 。“1 ，使得系统( 21 1 ) 把能达集r 中任一固定点引导到能达 集中的任意一点) 则广义系统( 2 11 ) 是r 能控的。 定义2 1 4 在零初值条件下，用非脉冲输入u ( t ) c 。“1 ，能激励 出来的系统( 2 11 ) 的脉冲模，称为能控脉冲模。如果系统( 2 11 ) 的所 有脉冲模都是能控的，则称广义系统( 2 1 1 ) 是脉冲能控的( 记为i 能 控) 。 【4 0 】给出了广义系统三种能观性定义并介绍了对偶性。 在这三种能控能观性中，r 一能控能观性反映广义系统的正则部 分，即k r o n e c k e r 标准分解( 2l3 ) 中慢子系统( 2l3 a ) 的能控能观性； 脉冲能控能观性( i 能控能观) 则是反映广义系统所特有的在无穷远处 的能控能观性；c 能控能观性反映广义系统的状态点任意转移及检 测的能力，对系统的要求很高。因此，引入广义系统的强能控能观性 竺微慧。暴慧薯攀獭龋烁觚肌确瞪侑2 观) 的又是脉冲能( 能观) 的s 一瑚宇坳渊) 定义2 1 5 称系统( 2l1 ) 是( 输入) 能正常化，系指系统( 2 1 3 b ) 是c 一能控的，即系统( 2l3 b ) 的所有非广义状态均可由从0 点出发 达到。 定义2 1 6 称系统( 2 1 1 ) 是输出能正常化，系指系统( 213 b ) 是 c 能观的。 作为本文以后常用到的预备知识，下面给出能控能观性的判据。 定理2 1 4 下列各组命题每组都是相互等价的： i 1 ) 系统( 211 ) 是r 能观的； f s e 一爿 2 ) r a n k l，l = n ；v s c ，s o 。； l l j 3 ) 系统( 2 1 3 a ) 是完全能观的，即( a ，c 。) 是完全能观对。 i i 1 ) 系统( 2 11 ) 是c 能观的； 2 ) r 能观且r a n k ( e c ) = n ； 3 )在系统( 213 ) 中，( a 。，c ) 和( n ，c ：) 都是能观对。 硕士学位论文 2 广义系统基础与数学知识预备 i i i 1 ) 系统( 21 1 ) 是脉冲能观的； 2 ) 其快子系统( 2 13 b ) 是脉冲能观的； ， 告瓮 是列满秩的； 其中一铷由k c a 一r 含 觚列满秩 而得到的； ( 4 ) 存在g r 使 d e g fd e t 【s e 一( a + g c ) 】) 2r a n ke 成立。 i v 1 ) 系统( 211 ) 输出能正常化； 2 ) r a n k ( e c ) = r l ； 3 ) 存在g r 使r a n k ( e + g c ) = n 。 对于广义系统的能控性，利用对偶性可以得到与定理214 相应 的能控性判据。 定理2 1 5 对于系统( 211 ) ir 一能控与下面的两个命题等价： 1 ) r a n k 【s e a ，b 2n ； v s c ，s o o ； 2 ) 其慢子系统( 213 a ) 是完全能控的，即( a ，b 。) 是完全能 控对。 i ic 一能控与下面的两个命题题等价： 1 ) r 一能控且r a n k 【e ，b = n ； 2 ) 在其k r o n e c k e r 标准分解中，( a 。，b ) 和( n ，b ：) 都是完 全能控对。 i i i 脉冲能控与下面的三个命题等价： 1 ) 其快子系统( 21 3 b ) 是脉冲能控的： z ，l 主：量l 是行满秩的， 1 3 硕士学位论文 2 广义系统基础与数学知识预各 叫是跏邮川一 8 譬孙晰 满秩而得到： 3 1 存在k r 使 d e g d e t s e 一( a + b k ) ) = r a n k e 。 i v 系统( 2 1 1 ) 能正常化与下面命题等价； 1 ) r a n k ( eb ) = n ； 2 ) 存在k r ”“使r a n k ( e + b k ) = n 。 晟后，我们指出广义系统与其受限等价系统有相同的能控能观 性。 2 2 广义系统的稳定性 定义2 2 1 广义系统( 211 ) 称为稳定的，如果存在常数、1 3 0 ， 使当u ；0 ( t o ) 时，其状态响应 l i x ( t ) 1 1 2 qe 9 肛( t ) 1 1 2 ，t o 定理2 2 1 广义系统( 2 11 ) 稳定的充分必要条件是o ( e ，a ) c c 一。 这里c - = ( sis c c ，r e ( s ) 0 ，代表左开复半平面。 定义2 2 2 称系统( 2li ) 是能稳的，如果存在一状态反馈 u = k x + v 使闭环系统 e i2 ( a + b k ) x + b v y2c x 是稳定的。 定理2 2 2 系统( 2 1 1 ) 能稳的充分必要条件是 r a n k s e - a ，b 】= n ，v s c c +，s o o 。 其中c + = s1s c ，r e ( s ) 0 ) 定理222 表明，广义系统可稳定与其慢子系统( 2 13 a ) 稳定等价。 一1 4 硕士学位论文 2 广义系统基础与数学知识预备 由定理21 7 可得 推论广义系统( 211 ) 可稳定的充分条件是系统r 一能控的。 2 3 数学预备知识 在后面几章常用到一些矩阵的有关概念。矩阵测度和正定阵的性 质是讨论广义系统重要的工具，在这里我们给出它们的定义和一些结 论。 2 3 1矩阵的测度及其性质 定义2 3 1 i矩阵x 的测度定义为 “( x ) = ( ( 1 i i + 6 x lj 1 ) i e )( e o ) 其中i 是适维的单位矩阵。 定理2 3 1 1 4 1 1 矩阵x 的测度u ( x ) 有如下性质 ( 1 ) 一i x ! ，r e ( o ( x ) ) “( x ) x 0 1 ( 2 ) u ( x ) = = 1o - 。( x + x 7 ) 上 ( 3 ) l l ( x + y ) “( x ) + u ( y ) ( 4 ) 当常数k o 时，l _ t ( k x ) = k l x ( x ) 当常数k 0 来表示，x 负定表示为x o ，相 应x 0 ( 或0 ) 表示x 半正定( 或半负定) 。 定理z 。z 若m 、n 是对称阵且m 三 。，其中p 是适维 阵，则 ( 1 ) n 可逆且n 0 对所有满足x 1 m x = 0 ，x o ，x r ”都成立，则存在常数a 0 使得 n + om0 成立。 定理2 3 7 若m 、n 、p r 是对称阵，m 0 ，n o ，p 0 对所有的x r ”，x o 都成立，则存在常数珍0 使得 九2 m + 九p + n 0 ，使得i k 时 r a n k a | r a n k a o 其中a 。、a 。同阶的矩阵。 定理2 3 1 0 若n = i ；薹l ，其中p , x , y , z 是给定的适维阵且 z 可逆，n + n 1 0 ，则有 p + p 一x z y y 7 ( z 1 ) 。1 x 0 ，当恼圳 占时，相应的扰动系统仍然是 r 一能观的。”觏芘瓠礅 这里，爷( e ，a ，c ，a ，c ) ，( e ，a ，c ) 。而是指对译扰动后得到的 同阶矩阵，相应的扰动系统是指参数经过扰动后得到的广义系统，如 取母= ( a ，c ) ，则= ( a + a a ，c + a c ) ，而扰动系统为形如： e 文2fa + a a ) x + b u y = ( c + a c ) x 的广义系统，简记为系统( e ，a + a a ，b ，c + a c ) 。 类似地可阻定义系统的c 能观、强能观、脉冲能观等对p 具有鲁 棒性的概念。 广义系统的r 能观性是正常系统能观性的推广。下面举例说明对 于广义系统，r 能观性一般对( e ，a ，c ) 的扰动不具有鲁棒性，尤其对 e 的扰动特别敏感。 一1 7 一 硕士学位论文3 广义系绕能观( 能控! 堕堕量壁丝 们嘲一叫叫 系统t e ，a ，c ，显然是正则的r 能观的广义系统，取e = ：! 显然忪酬可任意小，但是r a n k s ( e c e j 。= l 2 ； 从而系统( e + a e ，a ，c ) 己不再具有r 一能观性。 于是为了使广义系统的r 一能观性对( e ，a ，c ) 具有鲁棒性，就需要 加一定的条件。 定理3 1 1系统( 311 ) 的r 一能观性对e 具有鲁棒性的充分必要 条件是 系统( 31 1 ) c 一能观。 证明必要性。设系统( e ，a ，c ) 的r 能观性对e 具有鲁棒性 令a n = a 。 ，则r 一能观性对e 具有鲁棒性( 简记为系统r e 鲁棒能观1 ，用反证法。若系统r e 鲁棒能观，而不是c 能观的，则 由r e 鲁棒能观的定义知： 系统( e ，a ，c ) 是r 一能观的 即r a n k ( s e - a ) c = n ，且r a n k ( e c ) 0 即可。 用反证法。若( e ) = 0 ，则必有( a e k ) 使a e k _ 0 ( k 斗o 。) ，且 系( e + a e ，a ，c ) 非r 一能观，从而有f s 。 c ，使 r a n k s k ( e + a e k ) 一a c 】n 1 n 。 由聚点原理知 s 。) 必有一子列 s k i ) 使 8 u s o ( jj ) ，s o c 或s o = c o 且r a n k s k i ( e + a ek i ) 一a c 】 n 一1 n 。 若s o c，s o ，则有 s k i ( e + a e o a c 】斗( ( s o e a ) c ) ( j - - - - ) c o ) 。 从而有 r a n k ( ( s o e a ) c ) r a n k s k j ( e + a e k ，) a c n l 0 。 用反证法。若( e ，a ，c ) = 0 ，则必有一列( ( a e 。，a a 。，a c 。) ) 及一列 ( s k ) cc 使 ( a e k ，a k ，a c k ) 斗o ；( k _ ) s k j s o ，( k - - - o o ) ；s o c 或s o = o o 并且，r a n k 【( s k e k a k ) c k 】s ( n 一1 ) n ； 其中，( e k ，a k ，c k ) = ( e + e k ，a + a k ，c + c k ) 。若s o o o ，则有 ( s k e k a k ) ，c k 】手【( s o e a ) c 】； r a n k ( 【( s o e a ) c 】 n ，这与c - 能观矛盾，故必有s o = o o 。 此时对充分大的k 及任意给定的f o r 均有 r a n k 【( e k + f c k 一( 1 s k ) a k ) ( 1 s k ) c k 】 2 r a n k 【( s e k a k ) c k 】( n 一1 ) n 从而，由【( e k + f c 。一( 1 s k ) a k ) o s k ) c k 】- + ( e + f c 0 ) ，( k 七) 及定 理239 知：对任意给定的f r 有 r a n k ( e + f c ) 0 成立a 证 毕。 由以上证明可得 推论31 1 广义系统( 31 1 ) 的c 一能观性对( e ，a ，c ) 具有整体鲁棒 性。 下面讨论关于( a ，c ) 的r 一鲁棒能观性。 定理3 13 系统( 3 1 1 ) 具有r ( a ，c ) 鲁棒能观性的充分必要条件 是 系统s 能观。 证明 必要性。用反证法。假设系统具有r 一( a c ) 鲁棒能观性， 且非s - 能观。由r - ( a ，c ) 鲁棒能观性定义知，必有n o r 使 ( s e - a ) c n = r 乏 其中e ，是列满秩的，而r a n t 暑会：2 n ； 设 黼a 2 地a 2 1 州纠锻 i 风a n - ，1 因为 r a n t ra ：2 0c n ， l，l 故必有( a ：c ：) 中某列( 钐，) ( k i n ) 可用 le l 口k a 。1i l0 风几j 线性( 列) 表出。不失一般性。设( a ：c ：) 的最后一列( 0 c 。，d 。) 可用 言会： 列线性表出，则有适当维数的向量p 使 2 l 硕士学位论文3 广义系统能观( 能控) 性的鲁棒性 t 2 。一f e 划料舻【o c 州陶 取扰动 a = c 。，e c a 。， 金 ，n ，c = c 。e r c ，。， 爱 ，n 则i i ( a a ，c ) 0 显然可以任意的小。 r a n k s e 一( a + a ) ( c + c ) ) 】i ，：( 1 ，。， = r a n k s e 一( a + a ) ( c + c ) ) 】nj 。- ( i ，；， 2 r a n 。f 兰一一i - 盒一 害 l e ，- e a , 川 ： j l p 纠2 a 1 百谢i l 【芘；c ，】旧 这与前面已知系统的r 鲁棒能观性矛盾。必要性成立。下证充分 性。 设系统是s 能观的系统，则 r a n k ( s e a c ) = n ，v s c ，s ：o o 且存在方阵n 使 ( s e - a ，cm r 乏 其中e t 是列满秩的，而r a n k 曹瓮 0 。 若不然，则由( a ，c ) 之定义及w e r e s t r a s s 聚点原理知，必有序 列( ( a a 。，a c 。) j 及复数列 s 。 存在，使得 ( a a k ，a c k ) _ 0 ，( k ) s k j s o ，s o c 且有限或s o = 而 r a n k ( s k e a k c k ) ( n 一1 ) n 一2 2 亟主兰垫笙奎 ! 墨墨竺墼翌! ! i 垄塑堂堕苎丝一 若s 。o o ，则 ( s k e a k c k ) j ( s o e a c ) ，( k - - o o ) 在这里( a k ，c k ) = ( a + a a k ，c + a c k ) 由定理2 3 9 ，则 ( s o e a c ) ( n 一1 ) n ， 这与系统的s - 能观性矛盾。于是必有 此时对充分大的k 有 r a n k ( s k e a k c k ) = r a n k ( s k e a k c k ) n r a 喇ra k l 乏”， ， 一r a 喇k 挚乏 ) 于是 r a n t c e 1 矗麦“- c a 。k ，2 1 ，s t n - ， ea：2c 0c t h m ， js ：c 。，l ：j 一 故 r a n t 导会： 兰c n 。， n ， 这与系统是s - 能观矛盾。充分性得证。证毕。 由上面的定理可得下面推论： 推论1系统( 3 1 1 ) 的s - 能观性仅对( a ，c ) 具有鲁棒性。 推论1 系统( 3 11 ) 的r - 能观性对a 具有鲁棒性的充分条件是： 它是s 一能观的。 定理3 1 4 系统( 31i ) 的r 一能观性对c 具有鲁棒性。 硕士学位论文3 广义系统能观( 能控) 性的鲁捧性 因为系统的r 一能观性等价于其慢子系统的能观性，而仅对c 扰 动时并不影响a ，只是连续地影响c 。，故系统( 311 ) 的r - 能观性对c 具有