（应用数学专业论文）关于一类半线性椭圆方程的研究.pdf

博士擘位论文 d o c t o r ld i s s g r t a t i o n 内容摘要 本文主要研究金空同l p 上的一幕罗l 半线性椭圆方程， 缸+ e 叁1c i i 。i l t 矿t = 0 ， d i v ( a ( i x 咿“) + 耳( h ) 矿；0 ( 0 1 1 ) ( o 1 2 ) 和 a u + u ( i x l ) u + p ，( i $ i ) = 0 ，( o 1 3 ) 其中n23 ，a = ：l 鑫是n 维调和算子，指教p 1 ，a l ，岛 - 2 ，q o = 1 ，2 ，k a ( 1 2 1 ) 0 ，k ( i i ) 和f ( 1 x ) 都是i t o ) i - y jh s l d e r 连续非负函数 这类方程起源于黎曼几何，被称为共形内积曲率方程最初问题的简化形式为方程 a u + ( 蚓) 牡：焉= 0 这类方程在物理中也有薯广泛应甩，由于正謦的对称佳，绝大多数数学家研究径岛对称正舞的 存在性和它们的一些性质。例如解的单调分层性无穷远赴衰减等 众所周知，我们考虑的是全空间的问题，这样的无界空问没有紧性，而且所有方程的第二 项系数函数( k ( i z i ) 或者q “，i = 1 ，2 ，k ) 在零点有奇性，这些都是我们要克服的困 难对于方程( o 1 3 ) ，除了以上困难外，还有一非齐次项f ，也对研究造成困难在本文中， 我们考虑方程的径向对称形式，令r = k f 于是方程依次化简为t t ，+ n - rl u , + e 冬l 岛一t 一= o ， r o ， ( n - - 1 a ( r ) t ，) + t “t - - i k ( r ) u p = 0 ，r 0 ( 0 1 4 ) ( 0 1 5 ) 和 。1 t ，+ = - + 耳( r ) t p + p ，( r ) = 0 ，t 0 ( o 1 6 ) ， 对以上方程给定初值 t ( = a ，( o 。1 7 ) 记方程初值为o t 的解u ( a ，t ) 为牡。( r ) 对于方程( o 1 4 ) 和( o 1 5 ) ，当仇，1s is 七 和a d x l ) ，k ( 悻1 ) 分别满足一定条件时，对每个正初值u ( 0 ) = o t 0 ，方程都有正饵；丽对 于方程( o 1 6 ) 。只有正解的无穷多重存在性结果我们将考虑方程( o 1 6 ) 正解关于初值的存 在性结构，并逐个考虑以上三个方程正解的单调分层性( 即解关于初值的单调性) 和它们在无穷 远处的具体淅近行为同时得到方程( o 1 4 ) 和一类h a r d y 方程奇解的存在性分离性结拇和 在零点的奇性以及无穷远处的衰减对于方程( o 1 6 ) 。我们还研究它的奇解( 即在t - ( o 上 的正解) 的存在性和它在零点以及在无穷远处的渐近行为等 博士学位论文 x 小报 l 豁彤巩盯1 0 n 关簟i l l t 半线性椭西方程，径向对称解，正解( 正则解) ，( 正) 奇解。单调分层性，渐近行 为。奇性，存在性 博士学位论文 d o 1 0 r ld i $ $ e j z r a t i o n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ： 让+ 冬l 龟i z 产t 一= 0 i nr ， ( 0 1 1 ) d i v ( a ( x 矽“) + k ( i * i ) u p = 0 i nr ( o 1 2 ) a n d， a u + k c i z l ) u + m ( i z l ) = 0i n 戤，( 0 1 3 ) w h e r en 3 ，= 冬1 筹i st h en - d i m e n s i o nl a p l a c i a no p e r a t o r ，p 1a n d p i 1 ，岛 - - 2 ，c 0 ，i = 1 ，2 ，七a ( i z l ) 0 ，k ( m ) 柚d ，( k 1 ) a r eh s l d e r c o n t i n u o u sn o n n e g a t i v ef u n c t i o n s t h ee q u a t i o n sa r i s ei nr i e m a n n i a ng e o m e t r y , a r es a i dt ob et h ec o n t f o r m a ls c a l a r c u r v a t u r ee q u a t i o n s t h ef i r s te q u a t i o na f t e rs i m p l i c a t i o ni s a u + k ( i z l ) u 鹈= 0 f o rt h ep h y s i c a lr e a s o n sa n db e c a u s eo ft h er e s u l t so nt h es y m m e t r yo fp o s i t i v e s o l u t i o n s ，m o s to fm a t h e m a t i c i a n ss t u d yt h er a d i a ls o l u t i o n so ft h e m ，s u c ha st h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ra ti n f i n i t ye t c t h eu n d e r l y i n go b s t a c l e sr e s u l tf r o mt h ep r e s e n c eo ft h es e c o n dt e r m s ( k ( i z i ) o rc 忙hi = 1 ，2 ，一，毛i n h o m o g e n e i t ya n dt h el a c k o fc o m p a c t n e s sd u et ot h e u n b o u n d e dd o m a i n ( e n t i r es p a c e ) t h i sd i s s e r t a t i o nd e s e r v et ot h er a d i a ls o l u t i o n s ， w i t hr = k l t h ec l a s bo fe q u a t i o n sr e d u c et ot h ef o l l o w i n gr e s p e c t i v e l yl t 工，+ ! 三! + 叁l q t 一= o ，r 2o ， ( o 。1 4 ) ( r “一1 a ( r ) ) + r n - 1 k ( r ) t ，= 0 ， r20 ( 0 1 5 ) a n d t ，+ 竺 + ( r ) t ，+ p ，( r ) = o ， r 2o ( o 1 6 ) d e n o t et h ep o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so ft h ec l a s so fe q u a t o n s ( r ) w i t hi n i t i a l v a l u et ( o ) = o lf o re v e r y 口 0 ，t h e r ei sap o s i t i v es o l u t i o n ( r ) f o re q ( 0 1 4 ) a n d ( 0 1 ，5 ) 祈t hs o m ea s s u m p t i o n so na ，屯，1si ka n d ( p 1 ) ，k ( i * i ) r e s p e c t i v e l y b u tt h e r ei so n l ym u l t i p l em a n yp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n sf o re q ( 0 1 6 ) t h i sd i s - s e r t a t i o nd e s e r v et os t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sr e s p e c t i v et ot h ei n i t i a l 博士学位论文 d0 l c t o r ld i s s e r t 1 1 0 n v a l u eu ( o ) = o 0o fe q ( o 1 6 ) a n dt h em o n o t o n i c i t yp r o p e r t yw i t hr e s p e c t i v e t ot h ei n i t i a lv a l u e so fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so fa b o v et h r e ee q u a t i o n s a n dt h e i r a s y m p t o t i cb e h a v i o r sa ti n f i n i t yr e s p e c t i v e l y m e a n w h i l e ，w eg e ts o m er e s u l t sa b o u t t h ee x i s t e n c e ，m o m o t o n i c i t yp r o p e r t ya n dt h es i n g u l a r i t ya tz e r oo ft h es i n g u l a rs o - l u t i o n so fe q ( o 1 4 ) a n dah a r d ye q u a t i o n a sf o re q ( o 1 6 ) ，w ea l s os t u d yt h e e x i s t e n c e s i n g u l 锄a tz e r oa n da s y m p t o t i ch e l m v i o ra ti n f i n i t yo fs i n g u l a rs o l u t i o n s ( p o s i t i v es o l u t i o n si nr - 0 ) k e y w o r d s ：s e m i l e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，r a d i a ls o l u t i o n s ，p o s i t i v es o l u t i o n s ( r e g u l a r s o l u t i o n s ) ，( p o s i t i v e ) s i n g u l a rs o l u t i o n s ，m o n o t o n i c i t yp r o p e r t y , a s y m p t o t i c b e h a v i o r ，s i n g u l a r i t y , e x i s t e n c e 博士学位论文 ) c r 0 r l 珊胬秭盯j n o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人承担 作者签名：裼鸯 日期：砷年，月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同 t 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：扬每 日期- 年0 月日 本人已经认真阅读。c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交? c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程” 中的规定享受相关权益园蠹! 金塞握銮厦迸厦i 旦坐生i 旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：杨够 日期- 砷年l 月f 日 导师签名：隰 魄峨熬襄 器譬弘+：菇黪矽驴黜一簸黛菩。蠢一；h霉护j|：震 博士学位论文 d d c 氍霞 1 d l 髓蜀订朋弹 第一章概述 1 1 研究的问题及研究背景 本文主要研究全空闽r “上的系列半线性椭西方程。 m + 乏二q t t p i = 0 ， = 1 d 如( a ( j = 1 ) v u ) + k c l * 1 ) u = 0 ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 和 让+ k ( 忙1 ) 矿+ p ，( 陋i ) = 0 ，( 1 1 3 ) 其中n23 ，= 圣1 是是n 维调和算子，指数p 1 ，a 1 ，厶 - 2 ，g 0 ，i = 1 ，2 ，七a ( f 。 ) 0 ，耳( 陋1 ) 和1 ( 1 * 1 ) 都是r 4 o 上的h s l d e r 连续非负函教这一 系列方程的最初形态皆为 a u + 髟( 引) 矿= 0 。( 1 1 4 ) 方程分别起源于物理和数学问题g ( 1 * 1 ) 兰陋r 的情形，方程( 1 1 4 ) 是著名的 l a n e - e m d e n ”方程，在天体物理中有时也被称为 e m d e n - f o w l e r 方程，此时u 表示单个星体 的密度 p = 鹈( n 3 ) 的情形，方程( 1 1 4 ) 被称作金空问上的共形内积曲率问题在 n ( n 3 ) 维黎曼流行( 肘jg ) 中，我给定曲率k 的共形度量g l ( 例如g l = ，扣一2 9 ) 这一 同题等价于拽m 上的椭四方程 芈二岩岛u 一地+ k 钍将= 0 ( 1 1 15 ) 的正解。其中9 是在g 一度量里的”l a p l a c e - b e l t r a m i 算子，七是( 村，9 ) 的内积曲率 当肘紧时，读者可以参考k a z d a n 的文献【3 7 1 等当m 是完全非紧时。倪维明等最先开始 研究这类方程量自然的情形是m = w ，g 是常规度量在这种情形下，方程( 1 - 1 5 ) 经伸缩 变换变为全空问上的方程( 1 1 4 ) ，读者可以参看文献( 5 v 1 对于方程( 1 1 4 ) ，k 俨( r ”o ) ，口( 0 ，1 ) ，除零点外的全空问上的有界解都是经典 但是，在零点处k 可能有一定的奇性，通常我们不能期望解是可徽的，甚至连续都可能不 成立记t 为其一鼻，如果嚣( o ) = l i m 。 扫) 存在，z = 0 番为t ( 功的可去奇点否则， 善= 0 称为不可去奇点倪维明和y o t s u t a n i 在文献f 5 9 】中指出。当z = 0 是正则的可去奇 点时。解的导数的存在依慧于k 在z = 0 点的爆破率( 参看文献【5 9 】中的命题4 4 ) 由于同 样的原因，奉文中研究的方程( 1 1 1 ) “1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 的解在z = 0 点也可能有一定的奇 性我们给出以下定义； 博士学位论文 d o a 的r ld i s s e r t a t i o n 定义：设t i c 哆( r “o ) 是方程( 1 1 4 ) 的一个解如果z = 0 是钍的可去奇点。则称 t 为方程( 1 1 4 ) 的正则解如果z = 0 为u 的不可去奇点。则称让为方程( 1 1 4 ) 的奇解 ( 非正剿解) 类似地，我们定义方程( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 的正舅! i 解和奇鼻 由于物理应用和正解的对称性( 参看文献【1 0 1 ，【1 2 】，【13 】，【2 6 】，【2 7 】，f 3 0 】，【3 1 l ， 4 0 l ， 4 2 1 ， 4 3 1 ， 4 4 1 ， 4 5 1 ， 4 0 1 ， 6 7 1 ，【6 8 1 以及这些文献的参考文献) ，大多数敬学家研究方程的径 向对称解我们考虑的是全空间的问题。这样的无界空阿没有紧性。而且所有方程的第二项系致 函数( k ( i * i ) 或者q 陋hi = 1 ，2 ，七) 在零点有奇性。这些都是我们要克服的困难对于 方程( 1 1 3 ) ，除了以上困难外。还有一非齐次项，也对研兜造成困难在本文中，我们也研究方 程的径向对称解，令r = k i ，方程( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 依次化筒为 t ，+ 兰吾三+ c ；i t 声= o ，r 0 ， ， ( 1 1 6 ) =l ( r n - 1 a ( r ) u ) + r n - 1 耳( r ) 矿= 0 ，r 0 ，( 1 1 7 ) + 竺t ，+ k ( r ) u p - 4 - t * f ( d = 0 ，r 0 ( l 1 8 ) 和 。一1 t ，+ = - - 二+ k ( r ) u p = 0 ，r 0 ( 1 1 9 ) 由于同样的原因，正解 f 起了很多数学家的注意对以上方程给定初值 u ( o ) = a 0 ，( r n 1 = 0 或7 n - 1 a ( r ) u = 0 ，)( 1 1 1 0 ) 记其解为u a = u ( r ，q ) 许多数学家研究了方程( 1 1 9 ) ，文献1 4 9 j 和 5 6 】中指出t 如果存 在正常数c 使得在无穷远处k ( r ) 一c r ( “- 2 ) 0 , _ 1 j ，则方程( 1 1 4 ) 投有正解而对于存 在正常敦c 和6 使得在无穷远处i k i 口r 扣一2 ) o 卜。1 卜纠的情形，许多致学家研究过无穷多 重解的存在性和渐近行为，这里我们仅给出部分致学家的结果作为饲子对于熟称的快速衰减 的情形( 即存在常数c 0 和f 0 ， ，、fc 衅“p 崧， 仕) 0 ，则在无穷远处 fc 1 1 2 - “ f 一n ， t 一。l s p 1 2 一“l o g i z i f = 一n ， 幺悻i + 2 一珏 一2 使得当r 充分大时， k ( r ) g 一本章首先给出如下记号 m 三等，b o 兰n 一2 一概， 工兰f m ( n 一2 一m ) 】寿，c o 兰( p 一1 ) 三p 一1 ， ( 1 1 1 1 ) p c ：j ( n - 2 ) 2 - 2 ( 1 + 2 ) 矿( + 面z ) + 石2 ( 面1 + 习2 ) v 厂( - + 0 2 - 一( n - 2 ) 2 n l o + 4 l ， p c = 百刁而j 正酉一 川 l l 3 s n s l 0 + 4 1 特别地。当z ；0 时， 轧：j ( n - 2 ) 1 2 - i 4 n 丽+ 4 i v n 面2 - 一( n - 2 ) 2 。1 0 ， 剪。= ( n 一2 ) ( n l o ) u i o o3sns1 0 满足初值条件( 1 1 z o ) 的方程( 1 1 9 ) 舞的存在性是由倪维明私s y a s u t a n i 在文欺f 5 9 j 中证 明的，他们指出t 当r - i 耳在零点有正的右授限，在全空f 可上可徽单调递减且ms 墨笋时， 对每个q 0 方程( 1 1 9 ) 有唯解而当m 0 使得对每个d 口1 ，方程( 1 1 9 ) 没有解在这种意义下，m = 2 笋是问 题( 1 1 9 ) 解存在的临界指标而且文瓤f 2 1 】和【4 3 】中分别建立了解的存在性，文献【3 8 1 和 f 6 7 1 也分别获得了正解的唯性文献【2 8 】，【2 9 和【6 2 】中还分另0 指出t 如果k ( r ) = 一，当 p ( n + 2 + 2 0 1 ( - 一2 ) 时，所有正謦是个关于r 单调递减的单参数集 “。) 。 o ，r = 陋f ，“ t b ( o ) = 口，而巨对每个口 0 ，u 。( r ) = d t l ( 口1 m r ) ， l i 巴，( r ) = 工 r + 而且以= d r 一“是它的唯奇解特别地，当p = + 2 + 2 z ) 一2 ) 时，所有的非平凡 正解( 相差个变换) 为t 嘶，= ( 努) ， 其中a 0 ，李毅在文献【4 l 】中进一步研究了这些正解在无穷远处的衰减行为，得到t 假设 k 0 ，k 在无穷远处可徽且l i i r 。r k ( r ) = 。 0 ，如果0 m 一2 ) 2 且在无穷远处胁协p 一蜀( r ) ) l + 或者恤一2 ) 2 一2 ，设在( 0 ，0 0 ) 上k 连续非负。r 一1 k ( r ) 非增且 厶r k ( r ) 0 ，方程( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 0 ) 有正解且解 在无穷远处的衰减为r 一”。如果当r - - o o 时，r k ( r ) - - 七 0 方程( 1 1 9 ) 的每个 正解在无穷远处的渐近行为为z l i m r - + t m “( r ) = 南 许多数学家考虑了带初值条件( 1 1 1 0 ) 的方程( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) ，获得了很多的存在性 结果下面列举些重要结果， 对于满足初值条件( 1 1 1 0 ) 的方程( 1 1 6 ) ，在适当的条件下解会绕零值振动。参看文献 【1 4 】，【17 】，【5 9 】和【6 0 】等特别地，倪维叨和s y o t s u t a n i ( 1 5 9 】) 考虑了如下方程 i + 笔t ，+ 节( 矿严= o ， 让( o ) = 口 0 ， ( o ) = o ，( 1 1 6 ，) = l 其中“+ ；m n z 扣( r ) ，o 他们得到t ( i ) 如果p ( n + 2 + 2 岛) ( n 一2 ) ，1 l 七，且至少一个不等式是严格的，则对每个q ， 方程( 1 1 6 ，) 的解p ) 有限十零点； 一 ( i i ) 如果a ( n + 2 + 2 _ f d ( n 一2 ) ，1 i 七，捌对每个口，方程( 1 1 6 ，) 的解t ( r ) 都是 正解 即当( i i ) 中a ，i = 1 ，2 ，七条件成立时，方程( 1 1 6 ) 有正解在文献【1 4 和【1 7 】中。作 者研究了当南= 2 ，巩和f “i = 1 ，2 满足一定条件时。解的相邻两个零点问的臣离的渐近行 为我们将进一步研究正解在无穷远处的渐近行为和它们的单调分层性，并利用k e l v i n 变换和 对称性得到奇解的存在性以及它们在零点的奇性和在无穷远处的衰减 对于满足初值条件( 1 1 1 0 ) 的方程( 1 1 7 ) ，定义 n ( r ) = 产- 1 a ( o ，b ( r ) = r n - 1 k ( r ) ， f ( r ) = ，”a 一1 ( s ) d s ，( ( r ) = z a ( s ) d s ，r e ( r ) ：= z i ；5 ； 揣 m g a r c i a ，r m a m a s e v i c h 和c s y a n l r 得到一如果6e 二1 ( o ，1 ) ，口- l 工1 ( 1 ，) ， ( n ( r ) ) - 1 e ( r ) 工1 ( o ，1 ) ，s u p ，e ( o ，。) m ( r ) p 十1 且m ( r ) p + 1 ，则对每个n 0 ， 方程( 1 1 7 ) 有慢速衰减正解，即l i n b 一* 牡( f ) ( r ) = 0 0 ( 参看文献【2 5 】中的定理1 3 0 0 ) 我们将进一步研究慢速衰减正解在无穷远处的渐近行为以及它们的单调分层性，并由此得出一 类h a r d y 方程奇解的存在性，在无穷远处的衰减，在零点的奇性和相应的单调分层性 4 博士学位论文 d o c t d r ld i 豁翻积朋k 尉 而对于方程( 1 1 3 ) ，一些数学家先后分别得到了如下结果 在1 9 9 6 年g b e r n a r d 在文献【9 】中考虑了方程 a u + t ，+ ，( ) = 0( 1 1 1 2 ) 正解存在性，建立了一些存在性和非存在性结果量主要的存在性结果为t 定理b 令p ，l ( l 一2 ) ，n 3 ，如果- ，h s l d e r 连续，大于零且不恒等于零。并且 ，sc ( 1 + i z l 2 ) ，扣，( 1 1 1 3 ) 其中 c = 两南( 鲁 ) 胁” 列，方程( 1 1 1 2 ) 有解且满足如下不等式 0 乳时。如果，在零点和无穷远处满足一定的可积或衰减条件。则当p 小时，方程( l 1 1 4 ) 有无穷多个在无穷远处渐近行为为工悻i 一的正( 全局) 解在此结果的弓i 导和激励下，邓引斌。 郭玉劲和李毅在文献 1 8 】中考虑了方程 u + x ( z ) 矿+ ，( 刁= 0 ，( 1 1 1 5 ) 得到了类似定理b ( 文献f 9 】) 的存在性结果尤其值得注意的是s b a e ，t k c h a n g 和d 一h p a h k ，继续研究了方程( 1 1 1 5 ) 无穷多重正解的存在性( 参看文椒f 7 】) ，得到了芰一般的结 果在介绍他们的结果前，我们先考虑方程 酽+ b a + c 口= 0 ， ( 1 1 1 6 ) 其中b o 和c o 同( 1 1 1 1 ) 中记号当p p c 时，( 1 1 1 6 ) 有两个负根一a 2 0 ， r t k m 加+ 1 ) ，如 同( 1 1 1 6 ) 的记号； ( k 2 ) 在零点对慕个r 一2 ，k ( x ) = o ( i x l 7 ) a t 净l = o ； ( k f ) - ( a + m p ) ，( z ) r a i n i ：i ：h k ( ：) ； ( f 1 ) 在零点对某个r - 2 ，扛) = o ( i x l 7 ) ； ( f 2 ) 在无穷远处对某个常效q 佗一m a 2 ，( z ) = o ( i x l 一9 ) 则，存在以 0 使得对每个p 【o ，雎) ，方程( 1 1 1 5 ) 有无穷多个在无穷远处淅近行为为 j 7 ；可l 霉1 1 的正( 全局) 锈 七晶” 虽然以上结果都给出了正( 全局) 解的存在性甚至当p 大p p c ) 时在无穷远处衰藏为 r 一”的正( 全局) 解的无穷多重性，但是对于同题( l 1 8 ) ，是否对每个初值( o ) = a 0 都有 正解或n 多大时才有正解没有回答。正解在无穷远处的衰减是否唯一具体是多少也不知道 而且当p 小( o j 墨笋 p 一2 ) ，当p 较大时，方程( 1 1 9 ) 的正解有单调分层性质，并且给出了p 的精确下界，这就是我们在( 1 1 1 1 ) 中定义的记号& 而且壬学峰还得到如果k = 一。当胁+ 2 + 2 z ) ( n 一2 ) p 0 ，t 。 绕奇解以= z 矿一”振荡；而当p 乳时，t i 。和以不相交( 即 0 ， 记u n 和t 口为方程( 1 1 9 ) 的初值分别为u o ( o ) = n 和u o ( o ) = 卢的正解则。 6 博士学位论文 d o ( 玎0 r ld i 胬鳓舢a 辩 ( i ) 当p 之乳时。u a 和坳彼此不相交( 即印 札o ) 且，“u ( r ) 关于r 严格单增； ( i i ) 当+ 2 + 2 f ) ( n 一2 ) p 2 一，l 使得当r 充分大时a ( r ) c 广； ( a 2 ) a ( r ) 在( 0 ，) 上可徽； ( k 1 ) 对某些常数c 0 ，l | ，一2 ( 且l 一n ) 使得当r 充分大时耳( r ) 2 c r t ； ( 9 1 ) ，一2 2 m 0 , ，一z ) + i n f r _ o r a 7 ( r ) a ( r ) o ； ( h 1 ) l i 珥训r ( r ) ，a ( r ) = h e ； ( 地) l i m r 。r ( r ) a ( r ) = h o e ； ( 3 ) r ( r ) 似( r ) 在( 0 ，) 上单调不减； 忙1 ) l i r n r + 。广一( r ) a ( r ) = o ； ( 七2 ) l i m r 。r ”2 k ( r ) a ( r ) = 惫。 o ； ( 七3 ) 广一k r ) , 4 ( r ) 在( 0 ，) 上单调不增； ( k 1 ) 在无穷远处耳( z ) = k 。吲+ o ( n ”) ，这里k o o 0 ，伊 n a 2 一m p + 1 ) ，k 同( 1 1 1 6 ) 的记号； ( k 2 ) 在零点对莱个r - 2 ，k ( z ) = o ( 1 z l ) ； ( k 3 ) r - l 耳( r ) 在( 0 ，) 上单调不增； ( k f ) - ( 1 + h 邺) ，( 喾) sm i n t ，i ：| l k ( 2 ) ； ( ，1 ) 在零点对莱个r - 2 ，扛) = o ( i z l 7 ) ； ( ，2 ) 在无穷远处对某个常数q n r f t a 2 ，( 功= o ( 1 z l 一。) 和记号， m ，a ) = ( 2 + a ) ( p 一1 ) ，l ( n ，p ，a ， ) = m ( p ，a ) 一2 一m ( p ，a ) + 州 i 0 , 一1 ) b o = n 一2 2 m ( p ，f ) ，c d ，萄= p 一1 】倪瓴a ) k 一2 一m ( 弘a ) 】， c o = 匈( p ，l p ) + ( p 一1 ) m ( p ，l p ) 。 g o = n 一2 2 m 扫，f 一正，) + h o ，如= n 一2 2 m ( p ，f p ) + h 8 博士擘往论文 d o 囝l o r lm 胬吲黝o n 乳( 忭，l ，以a ) 特别地， 再万巧而再：i 熹0 萄4 1f 硒丽伽+ 仃- 2 ) 2( n + 仃一2 ) ( ，l + 盯一 一 ) 一4 ( 2 + z ) d 一盯) u 。 1 2 ( 2 + 0 - + 驴+ l + 2 d 一力】一 + 2 “+ 2 ) 识雨孑霸f 习再了巧f i 硒干蕊f 可) n + 口 6 + 2 j + 2 、霹f f 巧r 罕下r f 万巧i 万， 2 n + a 糟，1 i 七，t 是方程( 1 1 6 ) 的径向对称正_ f ，则 ，堍 ( r ) 勃* = 置 其中是方程 ： 芝二q 9 一1 m ( n 一2 一m ) = 0 - 一。 的正椎。a j 和勺u = 1 ，2 ，z ) 分别是方程( 1 1 6 ) 的指囊和隶敷使碍m 由= m = 撇 他l i = 1 ，2 ，时而且。如幕t k = 0 ，刖 l i r at n - - 2 u ( r ) r - 斗o o 定理l 。3 2 设尹l = m a x 协，i = l ，2 ，3 ，。，】| c ，仇警，l i 七且至少一 个为严格不等式。m l = m 争u o ( r ) = t | 。( r ，n ) 和u a ( r ) = 扯口( r 卢) 是方程( 1 1 6 ) 的两 个正解分别满足让。( o ) = 口，坳( o ) = 声，0 n 卢_ 一唔 且 l i mr ，“n ( r ) = s 0 ， r + 例当p l m ( 2 1 ) ，u 。( r ) 和u a ( r ) 彼此不相交，即“n ( r ) u a ( r ) 而且存在唯一的在无穷 远处衰减为r m 的奇解； 一砂当p l p c ( z i ) ，m 是一重的且m l = m ，u 。( r ) 和t 口( r ) 将相交无穷多次 注解1 3 3 如果m 是一重的且m l = m ，则 蚬，= = 参兰 半广 1 0 博士学位论文 c r o 忆 l 懿礤m 岍a n 注解1 3 4 从定理( 1 3 2 ) 的证碉我们可以得到更一般的结论，即如果去掉条侔“m l = 矿。则结论为 ( i ) 当b 2 4 ( p l 一1 ) m ( n 一2 一m ) o 时。( r ) 和u b ( r ) 往此不会相交。印 u 。r ) u b ( r ) 而且存在唯一的在无穷远处衰减为r - 斟的奇解； ( i i ) 当b 2 4 0 , 1 一1 ) m ( n 一2 一m ) 熹笺，as n + 万2 + 2 1 i ， 15is 七且至少一个不等式为严格不等式。m 1 = m e 争u ( d 和( 砷走方程( 1 1 1 ) 在r - o 上的一个径向冲毋正解，瓣足r u m _ 。r ”一2 钍( p ) = 凸l i m ，_ r ”一2 缸( d ) = 秽， 0 p 0 ，方程( 1 1 1 ) 有一 个奇解缸( 曲且，j ”t ( p ) ( r ) 关于r 单调适囊并且， ( 1 1 1 ) 还有唯一一个在无穷远处衰 减为r m 的奇解 一砂当肌( z 1 ) 0 ，方程( 1 1 7 ) 和( i i 1 0 ) 的正解存在且在无穷远 处为慢速衰减下面的定理依次给出了正解在无穷远处的衰藏行为，正解的单调分层性以及一类 h a r d y 方程无穷多奇解的存在性，无穷远处衰减，零点奇性和相应的单调分层性 定理1 3 6 霞a ( r ) 和k ( r ) 分别满足条件似1 ) ，( a 2 ) ，( k r ) ，( g a ) ，( h 2 ) ，( k 1 ) 和 ( k 2 ) 如果缸是方程( 1 1 7 ) 的一个慢适衰瘴正解，则 l i r ar m 4 ) t ( r ) = l ( n ，p ，f hk ) j 5 芝沪n r + 定理1 3 7 霞a ( r ) 和k ( r ) 分别满足条件( a 2 ) ，( 9 1 ) ，( k 1 ) ，( ，z 2 ) ，( 3 ) ，( k 1 ) ，( k 2 ) 和( k 3 ) 记( r ) = 札。( r 口) 和u a ( r ) = “口( r ，卢) 为方程( 1 1 7 ) 的两个慢速衰减正解满 工u 。( o ) = o t 和u a ( o ) = ，0 n p c ( n ，f 一h o ， ) ，缸n ( r ) 和t 卢( r ) 彼此不会相交，印t i d ( r ) p “( n ，z m ，k ，k